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专题九
解析几何
第二十六讲椭圆
答案部分
1. 解析
解析
解析
解析
解析 如图所示，设
2
BF
x
=
，则
2
2
AF
x
=
，所以
2
3
BF
AB
x
=
=
.
由椭圆定义
1
2
2
BF
BF
a
+
=
，即4
2
x
a
=
.
又
1
2
2
4
AF
AF
a
x
+
=
=
，
2
2
AF
x
=
，所以
1
2
AF
x
=
.
因此点
为椭圆的上顶点，设其坐标为
A
(
)
0,b .
由
2
2
2
AF
BF
=
可得点
的坐标为
B
3 ,
2
2
b
−
.
因为点
在椭圆
B
(
)
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
上，所以
2
9
1
1
4
4
a +
= .
解得
2
3
a = .又
1
c = ，所以
2
2
b =
.所以椭圆方程为
2
2
1
3
2
x
y
+
=
.
B.
故选
2．解析
解析
解析
解析
解析（）由题设得
1
1
2
2
2
y
y
x
x
= −
+
−
，化简得
2
2
1(|
| 2)
4
2
x
y
x
+
=
，所以
为中心在
C
坐标原点，焦点在
轴上的椭圆，不含左右顶点．
x
3
. 解析
解析
解析
解析
解析由题意，
1
2
c
e
a
=
=
，得
2
2
1
4
c
a
=
，则
2
2
2
1
4
a
b
a
−
=
，
所以
2
2
2
4
4
a
b
a
−
=
，即
2
2
3
4
a
b
=
．故选
．
B
4. 解析
解析
解析
解析
解析 设
( , )
M m n ，
,
0
m n
，椭圆C：
2
2
:
1
36
20
x
y
C
+
= 的
6
a =
，
2 5
b =
，
2
c =
，
y
x
F2
F1
O
B
A
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2
3
c
e
a
=
=
，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得
1
2
|
| |
|
MF
MF
，
1
2
MF F
△
为等腰三角形，可能
1
|
|
2
MF
c
=
或
2
|
| 2
MF
c
=
，
即有
2
6
8
3 m
+
=
，即
3
m =
，
15
n =
；
2
6
8
3 m
−
=
，即
3
0
m = −
，舍去．可得
(3, 15)
M
.
2010-2018
年
1
D
．【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，
O
y
x
P
F2
F 1
A
设
1
2
|
| 2
=
F F
c，所以
1
2
PF F 为等腰三角形，且
1
2
=120
FF P
，
∴
2
1
2
|
| |
| 2
PF
F F
c
=
=
，∵
2
|
|
OF
c
=
，∴点P 坐标为
(
2 cos60 ,2 sin60 )
c
c
c
+
，即点
(2 , 3 )
P c
c ．∵点P 在过点A，且斜率为
3
6
的直线上，
∴
3
3
2
6
c
c
a =
+
，解得
1
4
c
a =
．∴
1
4
e =
，故选
．
D
2．C【解析】由题意
2
5
=
a
，
5
=
a
．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距离
之和为
2
2 5
=
a
，故选
．
C
3
B
．【解析】由题意可知
2
9
a =
，
2
4
b =
，∴
2
2
2
5
c
a
b
=
−
=
，∴离心率
5
3
c
e
a
=
=
，
选B
4
A
．【解析】以线段
1
2
A A 为直径的圆是
2
2
2
x
y
a
+
=
，直线
2
0
bx
ay
ab
−
+
=
与圆相切，
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所以圆心到直线的距离
2
2
2ab
d
a
a
b
=
=
+
，整理为
2
2
3
a
b
=
，
即
(
)
2
2
2
2
2
3
2
3
a
a
c
a
c
=
−
=
，即
2
2
2
3
c
a =
，
6
3
c
e
a
=
=
，故选
．
A
5．A【解析】设
(0,
)
E
m ，则直线AE 的方程为
1
x
y
a
b
−
+
=
，由题意可知
(
,
)
mc
M
c m
a
−
−
，
(0,
)
2
m
和
( ,0)
B a
三点共线，则
2
2
mc
m
m
m
a
c
a
−
−
=
−
−
，化简得
3
a
c
=
，则C 的离心率
1
3
c
e
a
=
=
．故选
．
A
6
A
．【解析】由题意知
2
2
1
1
m
n
−=
+ ，即
2
2
2
m
n
=
+
，
2
2
2
2
2
1 2
2
2
2
2
1
1
1
1
(
)
2
m
n
n
n
e e
m
n
n
n
−
+
+
+
=
=
+
4
2
4
2
4
2
2
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
+
+
=
= +
+
+
，
所以
1 2
1
e e
．故选A．
7．D【解析】由题意可设
( 10cos ,sin )
Q
，圆的圆心坐标为(0,6)
C
，圆心到Q的距离
为
2
2
2
2
|
|
( 10cos )
(sin
6)
50 9(sin
)
50
5 2
3
CQ
=
+
−
=
−
+
=
≤
，当且仅
当
2
sin
3
= −
时取等号，所以
max
max
|
|
|
|
5 2
2
6 2
PQ
CQ
r
+ =
+
=
≤
，所以
Q
P,
两点间的最大距离是6 2 ．
8
D
．【解析】设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，则
1
2
x
x
+
=2，
1
2
y
y
+
=
2
－，
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
+
=
①
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
②
①－②得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
+
−
+
−
+
=
，
∴
AB
k
=
1
2
1
2
y
y
x
x
−
−
=
2
1
2
2
1
2
(
)
(
)
b
x
x
a
y
y
+
−
+
=
2
2
b
a
，又
AB
k
= 0 1
3 1
+
−
=1
2
，∴
2
2
b
a
=1
2
，又 9=
2c =
2
2
a
b
−
，
解得
2b =9，
2
a =18，∴椭圆方程为
2
2
1
18
9
x
y
+
=
，故选D.
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9
C
．【解析】
2
1
F PF 是底角为30 的等腰三角形
2
2
1
3
3
2(
)
2
2
4
c
PF
F F
a
c
c
e
a
=
=
−
=
=
=
10．5【解析】设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，由
2
AP
PB
=
，得
1
2
1
2
2
1
2(
1)
x
x
y
y
−
=
−
=
−
，
即
1
2
2
x
x
= −
，1
2
3
2
y
y
=
−
．因为点A，B 在椭圆上，所以
2
2
2
2
2
2
2
2
4
(3
)
4
4
x
x
m
x
y
m
+
−
=
+
=
，得
2
1
3
4
4
y
m
=
+
，所以
2
2
2
2
2
2
1
5
9
1
(3 2
)
(
5)
4
4
4
2
4
4
x
m
y
m
m
m
=
−
−
= −
+
−
= −
−
+
≤
，
所以当
5
m =
时，点B
横坐标的绝对值最大，最大值为．
2
11．
3
1
2
−
；【解析】设椭圆的右焦点为
( ,0)
F c
，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象
限内的交点为A ，由题意可知
3
( ,
)
2
2
c
c
A
，由点A在椭圆M 上得，
2
2
2
2
3
1
4
4
c
c
a
b
+
= ，
∴
2
2
2
2
2
2
3
4
b c
a c
a b
+
=
，
2
2
2
b
a
c
=
−
，∴
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
3
4
(
)
a
c c
a c
a
a
c
−
+
=
−
，
∴
4
2
2
4
4
8
0
a
a c
c
−
+
=
，∴
4
2
8
+4
0
e
e
−
=
椭
椭
，∴
2
4
2 3
e
=
椭
，
∴
3 1
e =
+
椭
（舍去）或
3 1
e =
−
椭
，∴椭圆M 的离心率3
1
−，
∵双曲线的渐近线过点
3
( ,
)
2
2
c
c
A
，渐近线方程为
3
y
x
=
，
故双曲线的离心率
2
2
2
2
m
n
e
m
+
=
=
双
．
y
x
A
F
O
12．6
3
【解析】由题意得
(
)
,0
F c
，直线
2
b
y =
与椭圆方程联立可得
3 ,
2
2
a b
B
−
，
3 ,
2
2
a b
C
，
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由
90
BFC
=
可得
0
BF CF
=
，
3 ,
2
2
a
b
BF
c
=
+
−
，
3 ,
2
2
a
b
CF
c
=
−
−
，则
2
2
2
3
1
0
4
4
c
a
b
−
+
=
，由
2
2
2
b
a
c
=
−
可得
2
2
3
1
4
2
c
a
=
，
则
2
6
3
3
c
e
a
=
=
=
．
13．
2
2
3
25
(
)
2
4
−
+
=
x
y
【解析】 由题意圆过
(4,0),(0,2),(0, 2)
-
三个点，设圆心为 ( ,0)
a
，
其中
0
a > ，由
2
4
4
−
=
+
a
a
，解得
3
2
a =
，所以圆的方程为
2
2
3
25
(
)
2
4
−
+
=
x
y
．
14．
2
2
【解析】设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，分别代入椭圆方程相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
−
+
−
+
+
=
，根据题意有
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
+
=
+
=
，
且
1
2
1
2
1
2
y
y
x
x
−
= −
−
，所以
2
2
2
2
1
(
)
0
2
a
b
+
−
=
，得
2
2
2
a
b
=
，整理
2
2
2
a
c
=
，
所以
2
2
e =
．
15．12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接
1F P 和
2
F P ，利用中位线定理可得
AN
BN
+
=
1
2
2
2
2 2
4
12
FP
F P
a
a
+
=
=
=
．
16．3
3
【解析】由题意可得
2
( ,
)
b
A c
a
，
2
( ,
)
b
B c
a
−
，由题意可知点D 为
1F B 的中点，所
以点D 的坐标为
2
(0,
)
2
b
a
−
，由
B
F
AD
1
⊥
，所以
1
1
AD
FB
k
k
= −，整理得
2
3
2
b
ac
=
，
解得
3
3
e =
．
17．
2
2
3
1
2
x
y
+
=
【解析】由题意得通径
2
2
AF
b
=
，∴点
坐标为
B
2
5
1
(
,
)
3
3
c
B
b
−
−
将点
坐标带入椭圆方程得
B
2
2
2
2
1
(
)
5
3
(
)
1
3
b
c
b
−
−
+
=
，
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又
2
2
1
b
c
= −
，解得
2
2
2
3
1
3
b
c
=
=
∴椭圆方程为
2
2
3
1
2
x
y
+
=
．
18．
1
3 −【解析】由题意可知，
2
1F
MF
中，
=
=
=
90
,
30
,
60
2
1
1
2
2
1
MF
F
F
MF
F
MF
，
所以有
=
=
+
=
=
+
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
3
2
)
2
(
MF
MF
a
MF
MF
c
F
F
MF
MF
，整理得
1
3 −
=
= a
c
e
，故答案为
1
3 −．
19．5
5
【解析】由椭圆的性质可知：
1
AF
a
c
=
−，
1
2
2
FF
c
=
，1
FB
a
c
=
+
.又已知
1
AF ，
1
2
F F
，
1FB 成等比数列，故
2
(
)(
)
(2 )
a
c a
c
c
−
+
=
，即
2
2
2
4
a
c
c
−
=
，则
2
2
5
a
c
=
.
故
5
5
c
e
a
=
=
.即椭圆的离心率为5
5
．
20．
(0, 1)
【解析】设点A的坐标为
( , )
m n ，B 点的坐标为
( , )
c d ．1
2
(
2,0),
( 2,0)
F
F
−
，
可得
1
(
2, )
F A
m
n
=
+
，
2
(
2, )
F B
c
d
=
−
，∵
1
2
5
F A
F B
=
，
∴
6 2 ,
5
5
m
n
c
d
+
=
=
，又点,
A B 在椭圆上，
∴
2
2
1
3
m
n
+
= ，
2
2
6 2
(
)
5
( )
1
3
5
m
n
+
+
= ，解得
0,
1
m
n
=
= ，
∴点A的坐标是
(0, 1)
．
21．【解析】(1)由已知得
(1,0)
F
，l 的方程为
1
=
x
．
由已知可得，点A 的坐标为
2
(1,
)
2
或
2
(1,
)
2
−
．
所以AM 的方程为
2
2
2
y
x
= −
+
或
2
2
2
y
x
=
−
．
(2)当l与x 轴重合时，
0
OMA
OMB
=
= ．
当l与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以
OMA
OMB
=
．
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当l与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
(
1)(
0)
y
k x
k
=
−
，
1
2
2
1
( ,
), (
,
)
A
y
x
y
x
B
，
则
1
2
x
，
2
2
x
，直线MA ，MB 的斜率之和为
2
1
2
1
2
2
MA
MB
x
x
y
y
k
k
+
=
+
−
−
．
由
1
1
=
−
y
kx
k ，
2
2
=
−
y
kx
k 得
1 2
1
2
1
2
(
2
3 (
)
4
2)(
2)
MA
MB
x x
x
x
k
k
x
x
k
k
k
−
+
+
+
=
−
−
．
将
(
1)
y
k x
=
−
代入
2
2
1
2
x
y
+
= 得
2
2
2
2
(2
1)
4
2
2
0
k
x
k x
k
+
−
+
−
=
．
所以，
2
1
2
2
4
2
1
+
=
+
k
k
x
x
，
2
1
2
2
2
2
2
1
−
=
+
x
k
k
x
．
则
3
1
3
1
3
2
2
2
4
4
12
8
4
2
3 (
)
4
0
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x x
x
x
−
−
+
+
−
+
+
=
=
+
．
从而
0
MA
MB
k
k
+
=
，故MA，MB 的倾斜角互补，所以
OMA
OMB
=
．
综上，
OMA
OMB
=
．
22．【解析】(1)设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则
2
2
1
1
1
4
3
x
y
+
=
，
2
2
2
2
1
4
3
x
y
+
= ．
两式相减，并由
1
2
1
2
y
y
k
x
x
−
=
−
得
1
2
1
2
0
4
3
x
x
y
y
k
+
+
+
=
．
由题设知
1
2
1
2
x
x
+
=
，
1
2
2
y
y
m
+
=
，
于是
3
4
k
m
= −
．①
由题设得
3
0
2
m
，故
1
2
k −
．
(2)由题意得
(1,0)
F
，设
3
3
(
,
)
P x
y
，则
3
3
1
1
2
2
(
1,
)
(
1,
)
(
1,
)
(0,0)
x
y
x
y
x
y
−
+
−
+
−
=
．
由
及题设得
(1)
3
1
2
3
(
)
1
x
x
x
=
−
+
=
，
3
1
2
(
)
2
0
y
y
y
m
= −
+
= −
．
又点P 在C 上，所以
3
4
m =
，从而
3
(1,
)
2
P
−
，
3
|
| 2
FP =
．
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于是
2
2
2
2
1
1
1
1
1
|
|
(
1)
(
1)
3(1
)
2
4
2
x
x
FA
x
y
x
=
−
+
=
−
+
−
=
−
．
同理
2
|
| 2
2
x
FB =
−
．
所以
1
2
1
|
|
|
| 4
(
)
3
2
FA
FB
x
x
+
=
−
+
=
．
故
2|
| |
|
|
|
FP
FA
FB
=
+
，即|
|
FA ，|
|
FP ，|
|
FB 成等差数列．
设该数列的公差为d ，则
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2|
| ||
|
|
||
|
|
(
)
4
2
2
d
FB
FA
x
x
x
x
x x
=
−
=
−
=
+
−
．②
将
3
4
m =
代入①得
1
k = −．
所以l 的方程为
7
4
y
x
= −+
，代入C 的方程，并整理得
2
1
7
14
0
4
x
x
−
+
=
．
故
1
2
2
x
x
+
=
，1
2
1
28
x x =
，代入②解得
3 21
|
|
28
d =
．
所以该数列的公差为 3 21
28
或
3 21
28
−
．
23．【解析】设椭圆的焦距为2c，由已知知
2
2
5
9
c
a =
，又由
2
2
2
a
b
c
=
+
，可得2
3
a
b
=
．
由已知可得，
FB
a
=
，
2
AB
b
=
，由
6 2
FB
AB
=
，可得
6
ab =
，从而
3
a =
，
2
b =
．
所以，椭圆的方程为
2
2
1
9
4
x
y
+
=
．
(2) 设点P 的坐标为
1
1
( ,
)
x y
，点Q 的坐标为
2
2
(
,
)
x
y
．
由已知有
1
2
0
y
y
，故
1
2
sin
PQ
AOQ
y
y
=
−
．
又因为
2
sin
y
AQ
OAB
=
，而
4
OAB
=
，故
2
2
AQ
y
=
．
由
5 2 sin
4
AQ
AOQ
PQ =
，可得
1
2
5
9
y
y
=
．
由方程组
2
2
1
9
4
y
kx
x
y
=
+
=
，
，消去x ，可得
1
2
6
9
4
k
y
k
=
+
．
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易知直线AB 的方程为
2
0
x
y
+
−
=
，由方程组
2
0
y
kx
x
y
=
+
−
=
，
，
消去x ，可得
2
2
1
k
y
k
=
+ ．由
1
2
5
9
y
y
=
，可得
2
5(
1)
3 9
4
k
k
+
=
+
，
两边平方，整理得
2
56
50
11
0
k
k
−
+
= ，解得
1
2
k =
，或
11
28
k =
．
所以，k 的值为 1
11
2
28
或
．
24．【解析】（）由于
1
3P ，
4P
两点关于
轴对称，故由题设知
经过
y
C
3P ，
4P 两点．
又由
2
2
2
2
1
1
1
3
4
a
b
a
b
+
+
知，
不经过点
C
1P ，所以点
2
P
在
上．
C
因此
2
2
2
1
1
1
3
1
4
b
a
b
=
+
=
，解得
2
2
4
1
a
b
=
=
．
故
的方程为
C
2
2
1
4
x
y
+
=
．
（）设直线
2
2P A 与直线2P B 的斜率分别为
1k ，
2k ，
如果l 与x 轴垂直，设l：x
t
= ，由题设知
0
t
，且 | | 2
t
，可得
，
的坐标分别为
A
B
（，
t
2
4
2
t
−
），（，
t
2
4
2
t
−
−
）．
则
2
2
1
2
4
2
4
2
1
2
2
t
t
k
k
t
t
−
−
−
+
+
=
−
= −，得
2
t = ，不符合题设．
从而可设l ：
y
kx
m
=
+
（
1
m
）．将
y
kx
m
=
+
代入
2
2
1
4
x
y
+
= 得
2
2
2
(4
1)
8
4
4
0
k
x
kmx
m
+
+
+
−
=
由题设可知
2
2
=16(4
1)
0
k
m
−
+
．
设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则
1
2
2
8
4
1
km
x
x
k
+
= −
+
，
2
1
2
2
4
4
4
1
m
x x
k
−
=
+
．
而
1
2
1
2
1
2
1
1
y
y
k
k
x
x
−
−
+
=
+
1
2
1
2
1
1
kx
m
kx
m
x
x
+
−
+
−
=
+
1
2
1
2
1
2
2
(
1)(
)
kx x
m
x
x
x x
+
−
+
=
．
由题设1
2
1
k
k
+
= −，故
1
2
1
2
(2
1)
(
1)(
)
0
k
x x
m
x
x
+
+
−
+
=
．
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即
2
2
2
4
4
8
(2
1)
(
1)
0
4
1
4
1
m
km
k
m
k
k
−
−
+
+
−
=
+
+
．
解得
1
2
m
k
+
= −
．
当且仅当
1
m −时，
0
，欲使l：
1
2
m
y
x
m
+
= −
+
，即
1
1
(
2)
2
m
y
x
+
+ = −
−
，
所以l过定点（2，1
−）
25．【解析】（1）设
( , )
P x y ，
0
0
(
,
)
M x
y
，则
0
(
,0)
N x
，
0
(
, )
NP
x
x y
=
−
，
0
(0.
)
NM
y
=
．
由
2
NP
NM
=
得
0x
x
=
，
0
2
2
y
y
=
．
因为
0
0
(
,
)
M x
y
在C上，所以
2
2
1
2
2
x
y
+
= ．
因此点P 的轨迹方程为
2
2
2
x
y
+
=
．
（）由题意知
2
( 1,0)
F −
．设
( 3, )
Q
t
−
，
( , )
P m n ，则
( 3, )
OQ
t
= −
，
( 1
,
)
PF
m
n
= −−
−
，
3 3
OQ PF
m tn
= +
−
，
( , )
OP
m n
=
，
( 3
,
)
PQ
m t
n
= − −
−
，
由
1
OP PQ
= 得
2
2
3
1
m
m
tn
n
−
−
+
−
=
，又由（1）知
2
2
2
m
n
+
=
，
故
3 3
0
m tn
+
−
=
．
所以
0
OQ PF
=
，即
OQ
PF
⊥
．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且
垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．
26．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c .
因为椭圆E 的离心率为1
2
，两准线之间的距离为8，所以
1
2
c
a =
，
2
2
8
a
c
=
，
解得
2,
1
a
c
=
=
，于是
2
2
3
b
a
c
=
−
=
，
因此椭圆E 的标准方程是
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）由（1）知，
1
( 1,0)
F −
，
2(1,0)
F
.
设
0
0
(
,
)
P x
y
，因为点P 为第一象限的点，故
0
0
0,
0
x
y
.
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当
0
1
x = 时，2l 与1l 相交于
1F ，与题设不符.
当
0
1
x 时，直线
1
PF 的斜率为
0
0
1
y
x +
，直线
2
PF 的斜率为
0
0
1
y
x −
.
因为1
1
l
PF
⊥
，2
2
l
PF
⊥
，所以直线
1l 的斜率为
0
0
1
x
y
−
+
，直线2l 的斜率为
0
0
1
x
y
−
−
，
从而直线1l 的方程：
0
0
1 (
1)
x
y
x
y
+
= −
+
， ①
直线2l 的方程：
0
0
1 (
1)
x
y
x
y
−
= −
−
. ②
由①②，解得
2
0
0
0
1
,
x
x
x
y
y
−
= −
=
，所以
2
0
0
0
1
(
,
)
x
Q
x
y
−
−
.
因为点Q 在椭圆上，由对称性，得
2
0
0
0
1
x
y
y
−
=
，即
2
2
0
0
1
x
y
−
=
或
2
2
0
0
1
x
y
+
=
.
又P 在椭圆E 上，故
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
=
.
由
2
2
0
0
2
2
0
0
1
1
4
3
x
y
x
y
−
=
+
=
，解得
0
0
4 7
3 7
,
7
7
x
y
=
=
；
2
2
0
0
2
2
0
0
1
1
4
3
x
y
x
y
+
=
+
=
，无解.
因此点P 的坐标为
4 7 3 7
(
,
)
7
7
.
27．【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为 (
,0)
c
−
.依题意，
1
2
c
a =
，2
p
a
=
，
1
2
a
c
−
=
，解得
1
a =
，
1
2
c =
，
2
p =
，于是
2
2
2
3
4
b
a
c
=
−
=
.
所以，椭圆的方程为
2
2
4
1
3
y
x +
=
，抛物线的方程为
2
4
y
x
=
.
（Ⅱ）设直线AP 的方程为
1(
0)
x
my
m
=
+
，与直线l的方程
1
x = −联立，可得点
2
( 1,
)
P
m
−−
，故
2
( 1,
)
Q
m
−
.将
1
x
my
=
+ 与
2
2
4
1
3
y
x +
=
联立，消去x ，
整理得
2
2
(3
4)
6
0
m
y
my
+
+
=
，解得
0
y =
，或
2
6
3
4
m
y
m
−
=
+
.
关注微信公众号：加油高三
由点B 异于点A ，可得点
2
2
2
3
4
6
(
,
)
3
4
3
4
m
m
B
m
m
−
+
−
+
+
.
由
2
( 1,
)
Q
m
−
，可得直线BQ 的方程为
2
2
2
6
2
3
4
2
(
)(
1)
(
1)(
)
0
3
4
3
4
m
m
x
y
m
m
m
m
−
−
+
−
+
−
+
−
=
+
+
，令
0
y =
，解得
2
2
2
3
3
2
m
x
m
−
=
+
，
故
2
2
2
3
(
,0)
3
2
m
D
m
−
+
.所以
2
2
2
2
2
3
6
|
| 1
3
2
3
2
m
m
AD
m
m
−
= −
=
+
+
.
又因为
APD
△
的面积为
6
2
，故
2
2
1
6
2
6
2
3
2
|
|
2
m
m
m
=
+
，
整理得
2
3
2 6 |
| 2
0
m
m
−
+ =
，解得
6
|
|
3
m =
，所以
6
3
m =
.
所以，直线AP 的方程为
3
6
3
0
x
y
+
−=
，或
3
6
3
0
x
y
−
−= .
28．【解析】（）由题意知
I
2
2
c
e
a
=
=
，
2
2
c =
，
所以
2,
1
a
b
=
= ，
因此椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= ．
（Ⅱ）设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
，
联立方程
2
2
1
1,
2
3,
2
x
y
y
k x
+
=
=
−
得 (
)
2
2
1
1
4
2
4 3
1
0
k
x
k x
+
−
−=
，
由题意知
0
，
且
(
)
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2 3
1
,
2
1
2 2
1
k
x
x
x x
k
k
+
=
= −
+
+
，
所以
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1 8
1
2
1+2
+
+
=
+
−
=
k
k
AB
k
x
x
k
．
由题意可知圆M 的半径r 为
2
2
1
1
2
1
1 +
1 + 8
2
2 2
3
3
2
+ 1
k
k
r
AB
k
=
=
由题设知
1
2
2
4
k k =
，
关注微信公众号：加油高三
所以
2
1
2
4
k
k
=
因此直线OC 的方程为
1
2
4
y
x
k
=
．
联立方程
2
2
1
1,
2
2 ,
4
x
y
y
x
k
+
=
=
得
2
2
2
1
2
2
1
1
8
1
,
1
4
1
4
k
x
y
k
k
=
=
+
+
，
因此
2
2
2
1
2
1
1 8
1
4
k
OC
x
y
k
+
=
+
=
+
．
由题意可知
1
sin
2
1
SOT
r
OC
r
OC
r
=
=
+
+
，
而
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
8
1
4
1
1
8
2 2
3
2
1
k
OC
k
r
k
k
k
+
+
=
+
+
+
2
1
2
2
1
1
1
2
3 2
4
1
4
1
k
k
k
+
=
+
+
，
令
2
1
1
2
t
k
= +
，
则
(
)
1
1,
0,1
t
t
，
因此
2
2
2
3
3
1
3
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
9
2
2
4
OC
t
r
t
t
t
t
t
=
=
=
+ −
+
−
−
−
+
，
当且仅当1
1
2
t
=
，即
2
t =
时等号成立，此时
1
2
2
k =
，
所以
1
sin
2
2
SOT
，
因此
2
6
SOT
，
所以
SOT
最大值为3
．
综上所述：
SOT
的最大值为3
，取得最大值时直线l 的斜率为1
2
2
k =
．
关注微信公众号：加油高三
29．【解析】（Ⅰ）由题意得
+
=
=
=
,
,1
2
1
,
2
3
2
2
2
c
b
a
ab
a
c
解得
1
,2
=
=
b
a
.
所以椭圆C 的方程为
1
4
2
2
=
+ y
x
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
)1,0
(
),
0,2
(
B
A
，设
)
,
(
0
0 y
x
P
，则
4
4
2
0
2
0
=
+ y
x
.
当
0
0
x
时，直线PA的方程为
)
2
(
2
0
0
−
−
=
x
x
y
y
.
令
0
=
x
，得
2
2
0
0
−
−
=
x
y
yM
.从而
2
2
1
1
0
0
−
+
=
−
=
x
y
y
BM
M
.
直线PB 的方程为
1
1
0
0
+
−
=
x
x
y
y
.
令
0
=
y
，得
1
0
0
−
−
=
y
x
xN
.从而
1
2
2
0
0
−
+
=
−
=
y
x
x
AN
N
.
所以
2
2
1
1
2
0
0
0
0
−
+
−
+
=
x
y
y
x
BM
AN
2
2
8
8
4
4
2
2
4
8
4
4
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
0
+
−
−
+
−
−
=
+
−
−
+
−
−
+
+
=
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
4
=
.
当
0
0 =
x
时，
1
0
−
=
y
，
,2
,2
=
=
AN
BM
所以
4
=
BM
AN
.
综上，
BM
AN
为定值.
30．【解析】(Ⅰ)设直线
:l y
kx
b
=
+
(
0,
0)
k
b
，
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
(
,
)
M
M
M x
y
．
将
y
kx
b
=
+
代入
2
2
2
9x
y
m
+
=
得
2
2
2
2
(
9)
2
0
k
x
kbx
b
m
+
+
+
−
=
，
故
1
2
2
2
9
M
x
x
kb
x
k
+
=
= −
+
，
2
9
9
M
M
b
y
kx
b
k
=
+
=
+
．
于是直线OM 的斜率
9
M
OM
M
y
k
x
k
=
= −
，即
9
OM
k
k
= −．
关注微信公众号：加油高三
所以直线OM 的斜率与l的斜率的乘积为定值．
（）四边形
Ⅱ
OAPB 能为平行四边形．
因为直线l 过点
(
,
)
3
m m ，
所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是
0
k
，
3
k
．
由
得
(Ⅰ)
OM 的方程为
9
y
x
k
= −
．设点P 的横坐标为
P
x ．
由
2
2
2
9 ,
9
,
y
x
k
x
y
m
= −
+
=
得
2
2
2
2 9
81
P
k m
x
k
=
+
，即
2
3
9
P
km
x
k
=
+
．
将点
(
,
)
3
m m 的坐标代入直线l 的方程得
(3
)
3
m
k
b
−
=
，因此
2
(
3)
3(
9)
M
mk k
x
k
−
=
+
．
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即
2
P
M
x
x
=
．
于是
2
3
9
km
k
=
+
2
(
3)
2
3(
9)
mk k
k
−
+
．解得
1
4
7
k =
−
，
2
4
7
k =
+
．
因为
0,
3
i
i
k
k
，
1
i = ，2 ，所以当l的斜率为4
7
−
或4
7
+
时，四边形OAPB 为
平行四边形．
31．【解析】（Ⅰ）由题意得
2
2
2
1,
2
,
2
.
b
c
a
a
b
c
=
=
=
+
解得
2
a =2．
故椭圆C的方程为
2
2
1
2
x
y
+
=
．
设M (
N
x ，
．因为
0)
0
m
，所以
1
1
n
−
．
直线PA 的方程为
1
1
n
y
x
m
−
−=
，
所以
M
x
=1
m
n
−
，即
(
,0)
1
m
M
n
−
．
（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以
( ,
)
B m
n
−
，
设
(
,0)
N
N x
，则
N
x = 1
m
n
+
．
关注微信公众号：加油高三
“存在点
(0,
)
Q
Q
y
使得
OQM
=
ONQ
等价”，“存在点
(0,
)
Q
Q
y
使得OM
OQ
= OQ
ON
”
即
Q
y 满足
2
Q
M
N
y
x
x
=
．
因为
1
M
m
x
n
= −
，
1
N
m
x
n
=
+
，
2
2
1
2
m
n
+
=
，
所以
2
2
2
2
1
Q
M
N
m
y
x
x
n
=
=
=
−
．
所以
Qy = 2 或
2
Q y = −
．
故在y 轴上存在点Q，使得
OQM
= ONQ
．
点Q的坐标为
(0, 2)或
(0,
2)
−
．
32．【解析】（）由题设条件知，点
1
M 的坐标为2
1
(
,
)
3
3
a
b ，又
5
10
OM
k
=
，从而
5
2
10
b
a =
，
进而得
2
2
5 ,
2
a
b c
a
b
b
=
=
−
=
，故
2 5
5
c
e
a
=
=
．
（）由题设条件和（）的计算结果可得，直线
2
I
AB 的方程为
1
5
x
y
b
b
+
=
，点N 的坐
标为
5
1
(
,
)
2
2
b
b
−
，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为
1
7
( , )
2
x
，则线段NS 的
中点T的坐标为
1
5
1
7
(
,
)
4
2
4
4
x
b
b
+
−
+
．又点T 在直线AB 上，且
1
NS
AB
k
k
= −,从而
有
1
1
5
1
7
4
2
4
4
1
5
7
1
2
2
5
5
2
x
b
b
b
b
b
b
x
+
−
+
+
=
+
=
−
，解得
3
b =
，所以
3 5
b =
，
故椭圆E 的方程为
2
2
1
45
9
x
y
+
=
．
关注微信公众号：加油高三
33．【解析】（）由题意知
Ⅰ
4
2 =
a
，则
2
=
a
，又
3
2
c
a =
，
2
2
2
a
c
b
−
=
，
可得
1
=
b
，所以椭圆C 的方程为
1
4
2
2
=
+ y
x
．
（）由（
Ⅱ
I）知椭圆E 的方程为
1
4
16
2
2
=
+ y
x
．
（i）设
=
|
|
|
|
),
,
(
0
0
OP
OQ
y
x
P
，由题意知
)
,
(
0
0
y
x
Q
−
−
，
因为
1
4
2
0
2
0
=
+ y
x
，又
1
4
)
(
16
)
(
2
0
2
0
=
−
+
−
y
x
，即
1
)
4
(
4
2
0
2
0
=
+ y
x
，
所以
2
=
，即
2
|
|
|
|
=
OP
OQ
．
（）设
ii
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
，将
m
kx
y
+
=
代入椭圆E 的方程，
可得
0
16
4
8
)
4
1(
2
2
2
=
−
+
+
+
m
kmx
x
k
，
由
0
，可得
2
2
16
4
k
m
+
，
则有
2
2
2
1
2
2
1
4
1
16
4
,
4
1
8
k
m
x
x
k
km
x
x
+
−
=
+
−
=
+
，
所以
2
2
2
2
1
4
1
4
16
4
|
|
k
m
k
x
x
+
−
+
=
−
．
因为直线
m
kx
y
+
=
与y 轴交点的坐标为
)
,0
(
m ，
所以OAB
的面积
|
||
|
2
1
2
1
x
x
m
S
−
=
2
2
2
4
1
|
|
4
16
2
k
m
m
k
+
−
+
=
2
2
2
2
4
1
)
4
16
(
2
k
m
m
k
+
−
+
=
2
2
2
2
4
1
)
4
1
4
(
2
k
m
k
m
+
+
−
=
令
t
k
m
=
+
2
2
4
1
，将
m
kx
y
+
=
代入椭圆C 的方程，
可得
0
4
4
8
)
4
1(
2
2
2
=
−
+
+
+
m
kmx
x
k
，
由
0
≥，可得
2
2
4
1
k
m
+
，
关注微信公众号：加油高三
由①②可知
1
0
t
，因此
t
t
t
t
S
4
2
)
4
(
2
2 +
−
=
−
=
，
故
2 3
S ≤
，
当且仅当
1
=
t
时，即
2
2
4
1
k
m
+
=
时取得最大值
3
2
，
由（）知，
i
ABQ
面积为S
3 ，
所以ABQ
面积的最大值为
3
6
．
34．【解析】
2
2 3
(c,0)
=
= 3.
3
F
c
c
（I）设
，由条件知，
，得
2
2
2
3
,
=2,
1.
2
c
a
b
a
c
a
=
=
−
=
又
所以
2
2
1.
4
x
E
y
+
=
故的方程为
（Ⅱ）
1
1
2
2
: =
2, ( ,
),
(
,
).
l
x
l y kx
P x y
Q x
y
⊥
−
当
轴时不合题意，故设
2
2
2
1
4
x
y
kx
y
=
−
+
=
将
代入
得
2
2
(1
4
)
16
12
0.
k
x
kx
+
−
+
=
2
2
2
1,2
2
3
8
2 4
3
=16(4
3)
0,
.
4
4
1
k
k
k
k
x
k
−
−
=
+
当
即
时，
2
2
2
1
2
2
4
1
4
3
1
.
4
1
k
k
PQ
k
x
x
k
+
−
=
+
−
=
+
从而
2
2
.
1
O
PQ
d
OPQ
k
=
+
又点到直线
的距离
所以
的面积
2
2
1
4 4
3
=
.
2
4
1
OPQ
k
S
d PQ
k
−
=
+
2
2
4
4
4
3
,
0,
.
4
4
OPQ
t
k
t
t
S
t
t
t
−
=
=
=
+
+
设
则
4
7
4,
2
0.
2
t
t
k
t
+
=
=
因为
当且仅当
，即
时等号成立，且满足
OPQ
所以，当
的面积最大时，的方程为
7
7
2
2
2
2
y
x
y
x
=
−
= −
−
或
．
关注微信公众号：加油高三
35．【解析】（Ⅰ）设直线l 的方程为
(
)
0
y
kx
m k
=
+
，由
2
2
2
2
1
y
kx
m
x
y
a
b
=
+
+
=
，
消去y 得， (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
b
a k
x
a kmx
a m
a b
+
+
+
−
=
，
由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故
0
=
，即
2
2
2
2
0
b
m
a k
−
+
=
，
解得点P 的坐标为
2
2
2
2
2
2
2
2
,
a km
b m
b
a k
b
a k
−
+
+
，由点P 在第一象限，
故点P 的坐标为
2
2
2
2
2
2
2
2
,
a k
b
b
a k
b
a k
−
+
+
；
（Ⅱ）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为
0
x
ky
+
=
，
所以点P 到直线1l 的距离
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
a k
b
b
a k
b
a k
d
k
−
+
+
+
=
+
，
整理得
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
d
b
b
a
a k
k
−
=
+
+
+
，因为
2
2
2
2
2
b
a k
ab
k
+
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
b
b
a
ab
b
a
a k
k
−
−
=
−
+
+
+
+
+
，当且仅当
2
b
k
a
=
时等号成立，
所以点P 到直线1l 的距离的最大值为
b
a−.
36．【解析】（Ⅰ）根据
2
2
c
a
b
=
−
及题设知
2
2
( ,
),2
3
b
M c
b
ac
a
=
将
2
2
2
b
a
c
=
−
代入
2
2
3
b
ac
=
，解得
1,
2
2
c
c
a
a
=
= −（舍去）
故
的离心率为
C
1
2
．
（Ⅱ）由题意，原点O 为
1
2
F F 的中点，
2
MF ∥y 轴，所以直线
1
MF 与y 轴的交点
(0,2)
D
是线段
1
MF 的中点，故
2
4
b
a =
，即
2
4
b
a
=
①
由
1
5
MN
FN
=
得
1
1
2
DF
F N
=
。
关注微信公众号：加油高三
设
1
1
(
,
)
N x y
，由题意知
1
0
y
，则
1
1
2(
)
2
2
c
x
c
y
−−
=
−
=
，即
1
1
3 ,
2
1
x
c
y
= −
= −
代入
的方程，得
C
2
2
2
9
1
1
4
c
a
b
+
= 。②
将①及
2
2
c
a
b
=
−
代入②得
2
2
9(
4 )
1
1
4
4
a
a
a
a
−
+
=
解得
2
7,
4
28
a
b
a
=
=
=
，
故
7,
2 7
a
b
=
=
.
37．【解析】：（）由
Ⅰ
1
1
|
| 3|
|, |
| 4
AF
F B
AB
=
=
得
1
1
|
| 3, |
| 1
AF
F B
=
= ．
因为
2
ABF
的周长为
，所以由椭圆定义可得
16
1
2
4
16, |
|
|
| 2
8
a
AF
AF
a
=
+
=
=
故
2
1
|
| 2
|
| 8
3
5
AF
a
AF
=
−
=
−
=
．
（Ⅱ）设
1
|
|
F B
k
=
，则
0
k
且
1
|
| 3 , |
| 4
AF
k
AB
k
=
=
，由椭圆定义可得
2
2
|
| 2
3 , |
| 2
AF
a
k
BF
a
k
=
−
=
−
在
2
ABF
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
2|
| |
| cos
AB
AF
BF
AF
BF
AF B
=
+
−
即
2
2
2
6
(4 )
(2
3 )
(2
)
(2
3 ) (2
)
5
k
a
k
a
k
a
k
a
k
=
−
+
−
−
−
−
化简可得
(
) (
3 )
0
a
k
a
k
+
−
=
，而
0
a
k
+
，故
3
a
k
=
于是有
2
1
2
|
| 3
|
|, |
| 5
AF
k
AF
BF
k
=
=
=
，
因此
2
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
BF
AF
AB
=
+
，可得
1
2
AF
AF
⊥
故
1
2
AF F
为等腰直角三角形．从而
2
2
c
a
=
，所以椭圆的离心率
2
2
c
e
a
=
=
．
38．【解析】（Ｉ）由题意知
2
2
3
2
a
b
a
−
=
，可得
2
2
4
a
b
=
.
椭圆
的方程可化简为
C
2
2
2
4
x
y
a
+
=
.
关注微信公众号：加油高三
将y
x
=
代入可得
5
5
a
x =
，
因此
2 5
4 10
2
5
5
a
=
，可得
2
a =
.
因此
1
b = ，
所以椭圆
的方程为
C
2
2
1
4
x
y
+
=
.
（Ⅱ）（ⅰ）设
1
1
1
1
2
2
( ,
)(
0),
(
,
)
A x y
x y
D x
y
，则
1
1
(
,
)
B
x
y
−
−
，
因为直线
的斜率
AB
1
1
AB
y
k
x
=
，
又
AB
AD
⊥
，所以直线
的斜率
AD
1
1
x
k
y
= −
，
设直线
的方程为
AD
y
kx
m
=
+
，
由题意知
0,
0
k
m
，
由
2
2
1
4
y
kx
m
x
y
=
+
+
=
，可得
2
2
2
(1
4
)
8
4
4
0
k
x
mkx
m
+
+
+
−
=
.
所以
1
2
2
8
1
4
mk
x
x
k
+
= −+
，
因此
1
2
1
2
2
2
(
)
2
1
4
m
y
y
k x
x
m
k
+
=
+
+
= +
，
由题意知，
1
2
x
x
，所以
1
2
1
1
1
2
1
1
4
4
y
y
y
k
x
x
k
x
+
=
= −
=
+
，
所以直线
的方程为
BD
1
1
1
1
(
)
4
y
y
y
x
x
x
+
=
+
，
令
0
y = ，得
1
3
x
x
=
，即
1
(3 ,0)
M
x
．可得
1
2
1
2
y
k
x
= −
．
所以
1
2
1
2
k
k
= −
，即
1
2
= −
．
因此存在常数
1
2
= −
使得结论成立.
关注微信公众号：加油高三
（ⅱ）直线
的方程
BD
1
1
1
1
(
)
4
y
y
y
x
x
x
+
=
+
，
令
0
x =
，得
1
3
4
y
y
= −
，即
1
3
(0,
)
4
N
y
−
，
由（ⅰ）知
1
(3 ,0)
M
x
，
可得OMN
的面积
1
1
1
1
1
3
9
3|
|
|
|
|
||
|
2
4
8
S
x
y
x
y
=
=
，
因为
2
2
1
1
1
1
|
||
|
1
4
x
x
y
y
+
= ，当且仅当
1
1
|
|
2
|
|
2
2
x
y
=
=
时等号成立，
此时
取得最大值
S
9
8
，所以OMN
的面积的最大值为9
8
.
39．【解析】（Ｉ）设
2
C 的焦距为
2
2c ,由题可得
2
1
2
2,2
2
c
a
=
=
,从而
1
2
1,
1
a
c
=
=
,
因为点
2 3 ,1
3
P
在双曲线
2
2
2
1
1
y
x
b
−
=
上,所以
2
2
1
2
1
2 3
2
1
3
3
b
b
−
=
=
,
由椭圆的定义可得
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2 3
2 3
2
1 1
1 1
2 3
3
3
a
=
+
−
+
+
+
=
2
3
a
=
,
2
2
2
2
2
2
2
b
a
c
=
−
=
,所以
1
2
,
C C 的方程为
2
2
2
2
1,
1
3
3
2
y
y
x
x −
=
+
=
.
（Ⅱ）不存在符合题设条件的直线.
(1)若直线l 垂直于x 轴因为
,
l 与
2
C 只有一个公共点,
所以直线的方程为
2
x =
或
2
x = −
,
当
2
x =
时,易知
(
)
(
)
2, 3 ,
2,
3 ,
A
B
−
所以
2 2,
2 3
OA OB
AB
+
=
=
,
此时
OA
OB
AB
+
.当
2
x = −
时同理可得
,
OA
OB
AB
+
.
（）当直线
2
l不垂直于x 轴设
,
l 的方程为
y
kx
m
=
+
,
由
2
2
1
3
y
kx
m
y
x
=
+
−
=
可得 (
)
2
2
2
3
2
3
0
k
x
kmx
m
−
−
−
−=
,当l 与
1
C 相交于,
A B 两点时,
设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
,则
1
2
,
x x 满足上述方程的两个实根,从而
关注微信公众号：加油高三
2
1
2
1
2
2
2
2
3
,
3
3
km
m
x
x
x x
k
k
+
+
=
=
−
−
,
于是
(
)
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
3
3
3
k
m
y y
k x x
km x
x
m
k
−
=
+
+
+
=
−
,
由
2
2
1
3
2
y
kx
m
y
x
=
+
+
=
可得 (
)
2
2
2
2
3
4
2
6
0
k
x
kmx
m
+
+
+
−
=
,因为直线l 与
2
C 只有一个公
共点，所以上述方程的判别式
(
)(
)
2
2
2
2
0
16
8 2
3
3
0
k m
k
m
=
−
+
−
=
,
化简可得
2
2
2
3
k
m
=
−
，因此
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
3
3
3
3
0
3
3
3
m
k
m
k
OA OB
x x
y y
k
k
k
+
−
−
−
=
+
=
+
=
−
−
−
，
于是
2
2
2
2
2
2
OA
OB
OA OB
OA
OB
OA OB
+
+
+
−
,
即
2
2
OA
OB
OA
OB
+
−
,所以
OA
OB
AB
+
,
综合（i）（ii）可知，不存在符合题目条件的直线．
40．【解析】：（）依条件
1
2
2
2
2
2
2
6
3
2
4
c
a
a
b
b
a
b
c
=
=
=
=
−
=
=
，
所以椭圆
的标准方程为
C
2
2
1
6
2
x
y
+
=
（Ⅱ）设
( 3,
)
T
m
−
，
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
(
,
)
Q x
y
，又设PQ 中点为
0
0
(
,
)
N x
y
（）因为
i
( 2,0)
F −
，所以直线PQ 的方程为：
2
x
my
=
−
2
2
2
2
2
(
3)
4
2
0
1
6
2
x
my
m
y
my
x
y
=
−
+
−
−
=
+
=
所以
2
2
2
1
2
2
1
2
2
16
8(
3)
24(
1)
0
4
3
2
3
m
m
m
m
y
y
m
y y
m
=
+
+
=
+
+
=
+
−
=
+
关注微信公众号：加油高三
于是
1
2
0
2
2
2
3
y
y
m
y
m
+
=
=
+
，
2
0
0
2
2
2
6
2
2
3
3
m
x
my
m
m
−
=
−
=
−
=
+
+
所以
2
2
6
2
(
,
)
3
3
m
N m
m
−
+
+
．因为
3
OT
ON
m
k
k
= −
=
所以O，N ，T 三点共线
即
平分线段
OT
PQ（其中
为坐标原点）
O
（）
ii
2
|
|
1
TF
m
=
+ ，
2
2
2
1
2
2
24(
1)
|
| |
|
1
1
3
m
PQ
y
y
m
m
m
+
=
−
+ =
+
+
所以
2
2
2
2
2
2
|
|
1
3
|
|
24(
1)
24(
1)
1
3
TF
m
m
PQ
m
m
m
m
+
+
=
=
+
+
+
+
，令
2
1
m
x
+ =
（
1
x ）
则
2
|
|
2
1
2
3
(
)
|
|
3
2 6
2 6
TF
x
x
PQ
x
x
+
=
=
+
（当且仅当
2
2
x =
时取“= ”）
所以当|
|
|
|
TF
PQ
最小时，
2
2
x =
即
1
m = 或1
−
，
此时点
的坐标为
T
( 3,1)
−
或
( 3, 1)
−
−
41．【解析】（Ⅰ）因为焦距为，所
4
2
2
4
a
b
−
=
，又因为椭圆
过点
C
( 2, 3)
P
，
所以
2
2
2
3
1
a
b
+
−，故
2
8
a =
，
2
4
b =
，从而椭圆
的方程为
C
2
2
1
8
4
x
y
+
−
。
（Ⅱ）由题意，
点坐标为
E
0 (
,0)
x
，设
(
,0)
D
D x
，则
(
)
0
, 2 2
AE
x
=
−
，
(
)
0
, 2 2
AD
x
=
−
，再由
AD
AE
⊥
知，
0
AE
AD
•
=
，即
0
8
0
D
x x + =
．
由于
0
0
0
x y
，故
0
8
D
x
x
= −
．因为点
轴的对称点，
G 是点D 关于y
所以点
0
8
(
,0)
G x
．
故直线QG的斜率
0
0
0
2
0
0
0
8
8
QG
y
x y
k
x
x
x
=
=
−
−
．
又因
(
)
0
0
,
Q x y
在椭圆
上，所以
C
2
2
0
0
2
8
x
y
+
=
．
①
关注微信公众号：加油高三
从而
0
2
QG
n
x
k
y
=
故直线QG 的方程为
0
0
0
8
2
x
y
x
y
x
= −
−
②
将②代入椭圆
方程，得：
C
(
)
2
2
2
2
0
0
0
2
16
64 16
0
n
x
y
x
x x
y
+
−
+
−
=
③
再将①代入③，化简得：
2
2
0
2
0
n
x
x x
x
−
+
=
解得
0
0
,
x
x
y
y
=
=
，即直线QG
与椭圆
一定有唯一的公共点．
C
42．【解析】依题意可设椭圆
1
C 和
2
C 的方程分别为
1
C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
m
+
=
，
2
C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
n
+
= . 其中
0
a
m
n
，
1.
m
n
=
（Ⅰ）
，若
解法
解法
解法
解法
解法1：如图1
直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为
0
x =
，则
1
1
1
|
| |
|
|
|
2
2
S
BD
OM
a BD
=
=
，
2
1
1
|
| |
|
|
|
2
2
S
AB
ON
a AB
=
=
，所以
1
2
|
|
|
|
S
BD
S
AB
=
.
在C1
和C2 的方程中分别令
0
x =
，可得
A
y
m
=
，
B
y
n
=
，
D
y
m
= −
，
于是
|
|
|
|
1
|
|
|
|
1
B
D
A
B
y
y
BD
m
n
AB
y
y
m
n
−
+
+
=
=
=
−
−
−．
若
1
2
S
S
=
，则
1
1
+ =
−
，化简得
2
2
1
0
−
−=
. 由
1
，可解得
2
1
=
+
．
故当直线l 与y 轴重合时，若
1
2
S
S
=
，则
2
1
=
+ ．
解法
解法
解法
解法
解法：
2
如图，若直线
1
l 与y 轴重合，则
|
| |
|
|
|
BD
OB
OD
m
n
=
+
=
+
，
|
| |
|
|
|
AB
OA
OB
m
n
=
−
=
−
；
1
1
1
|
| |
|
|
|
2
2
S
BD
OM
a BD
=
=
，
2
1
1
|
| |
|
|
|
2
2
S
AB
ON
a AB
=
=
．.
所以
1
2
|
|
1
|
|
1
S
BD
m
n
S
AB
m
n
+
+
=
=
=
−
−
．
若
1
2
S
S
=
，则
1
1
+ =
−
，化简得
2
2
1
0
−
−=
. 由
1
，可解得
2
1
=
+
．
故当直线l 与y 轴重合时，若
1
2
S
S
=
，则
2
1
=
+ ．
关注微信公众号：加油高三
（Ⅱ）
，若
与坐标轴不重合的直线，使得
解法
解法
解法
解法
解法1：如图2
存在
l
1
2
S
S
=
. 根据对称性，
不妨设直线l ：
(
0)
y
kx k
=
，
点
(
, 0)
M
a
−
，
( , 0)
N a
到直线l 的距离分别为
1d ，
2
d ，则
因为
1
2
2
|
0|
1
1
ak
ak
d
k
k
−
−
=
=
+
+
，
2
2
2
|
0|
1
1
ak
ak
d
k
k
−
=
=
+
+
，所以
1
2
d
d
=
.
又
1
1
1 |
|
2
S
BD d
=
，
2
2
1 |
|
2
S
AB d
=
，所以
1
2
|
|
|
|
S
BD
S
AB
=
=
，即
|
|
|
|
BD
AB
=
.
由对称性可知
|
| |
|
AB
CD
=
，所以
|
| |
|
|
|
(
1)|
|
BC
BD
AB
AB
=
−
=
−
，
|
| |
|
|
| (
1)|
|
AD
BD
AB
AB
=
+
=
+
，于是
|
|
1
|
|
1
AD
BC
+
=
−
.
①
将l
的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得
2
2
2
A
am
x
a k
m
=
+
，
2
2
2
B
an
x
a k
n
=
+
.
根据对称性可知
C
B
x
x
= −
，
D
A
x
x
= −
，于是
2
2
2
2
2
2
2
2
1
|
|
2
|
|
|
|
2
1
|
|
A
D
A
B
B
C
k
x
x
x
AD
m
a k
n
BC
x
n
a k
m
k
x
x
+
−
+
=
=
=
+
+
−
.
②
从而由①和②式可得
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
a k
n
a k
m
+
+
=
+
−
.
③
令
1
(
1)
t
+
=
−
，则由m
n
，可得
1
t ，于是由③可解得
2
2 2
2
2
2
(
1)
(1
)
n
t
k
a
t
−
=
−
.
因为
0
k
，所以
2
0
k
. 于是③式关于k有解，当且仅当
2
2 2
2
2
(
1)
0
(1
)
n
t
a
t
−
−
，
等价于
2
2
2
1
(
1)(
)
0
t
t
−
−
. 由
1
，可解得1
1
t
，
即1
1
1
(
1)
+
−
，由
1
，解得
1
2
+
，所以
O
x
y
B
A
第
题解答图
28
1
C
D
M
N
O
x
y
B
A
第
题解答图
28
2
C
D
M
N
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当
1
1
2
+
时，不存在与坐标轴不重合的
，使得
直线l
1
2
S
S
=
；
当
1
2
+
时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得
1
2
S
S
=
.
解法
解法
解法
解法
解法：
2
如图，若存在与坐标轴不重合的直线，使得
2
l
1
2
S
S
=
. 根据对称性，
不妨设直线l ：
(
0)
y
kx k
=
，
点
(
, 0)
M
a
−
，
( , 0)
N a
到直线l 的距离分别为
1d ，
2
d ，则
因为
1
2
2
|
0|
1
1
ak
ak
d
k
k
−
−
=
=
+
+
，
2
2
2
|
0|
1
1
ak
ak
d
k
k
−
=
=
+
+
，所以
1
2
d
d
=
.
又
1
1
1 |
|
2
S
BD d
=
，
2
2
1 |
|
2
S
AB d
=
，所以
1
2
|
|
|
|
S
BD
S
AB
=
=
.
因为
2
2
1
|
|
|
|
|
|
1
|
|
B
D
A
B
A
B
A
B
k
x
x
x
x
BD
AB
x
x
k
x
x
+
−
+
=
=
=
−
+
−
，所以
1
1
A
B
x
x
+
=
−.
由点
(
,
)
A
A
A x
kx
，
(
,
)
B
B
B x
kx
分别在C1，C2 上，可得
2
2
2
2
2
1
A
A
x
k x
a
m
+
= ，
2
2
2
2
2
1
B
B
x
k x
a
n
+
= ，两式相减可得
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
0
A
B
A
B
x
x
k
x
x
a
m
−
−
+
=
，
依题意
0
A
B
x
x
，所以
2
2
A
B
x
x
. 所以由上式解得
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
A
B
B
A
m
x
x
k
a
x
x
−
=
−
.
因为
2
0
k
，所以由
2
2
2
2
2
2
2
(
)
0
(
)
A
B
B
A
m
x
x
a
x
x
−
−
，可解得1
A
B
x
x
.
从而
1
1
1
+
−
，解得
1
2
+
，所以
当
1
1
2
+
时，不存在与坐标轴不重合的
，使得
直线l
1
2
S
S
=
；
当
1
2
+
时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得
1
2
S
S
=
.
43．【 解析】(
)
(
Ⅰ设F －c,0)，由
3
3
c
a =
，知
3
a
c
=
.过点
且与
轴垂直的直线为
F
x
x＝－
c，代入椭圆方程有
2
2
2
2
(
)
1
c
y
a
b
−
+
=
，
解得
6
3
b
y =
，于是
2 6
4 3
3
3
b =
，解得
2
b =
，
又a 2－c2＝b2
，从而＝
a
3 ，＝，
c
1
所以椭圆的方程为
2
2
=1
3
2
x
y
+
.
(
)
(
Ⅱ设点C x1，y1)
(
，D x2，y2
)
(
1,0)
，由F －
得直线
的方程为＝
＋
CD
y
k x(
1)，
由方程组
2
2
1 ,
1
3
2
y
k x
x
y
= ( + )
+
=
消去，整理得
＋
y
(2
3k 2)x2＋6k2x
k
＋3 2－＝
6
0.
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求解可得x1＋x2＝
2
2
6
2
3
k
k
−
+
，x1x2＝
2
2
3
6
2
3
k
k
−
+
.
因为A(
3
−
，0)，B( 3 ，
，
0)
所以AC ·DB＋AD ·CB
＝(x 1＋3 ，y1)·(
3 －x2，－y2)
(
＋x2＋3 ，y2)·( 3 －x1，－y1)
＝－
6
2x1x2－2y1y2＝－
6
2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝－
＋
6
(2
2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)
2
－k2
＝
2
2
2
12
6
2
3
k
k
+
+
+
．
由已知得
2
2
2
12
6
2
3
k
k
+
+
+
＝，解得＝
8
k
2
．
44．【解析】：（Ⅰ）由于
2
2
2
c
a
b
=
−
，将x
c
= −
代入椭圆方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
得
2
b
y
a
=
由题意知
2
2
1
b
a
=
，即
2
2
a
b
=
，又
c
e
a
=
=
3
2
所以
2
a =
，
1
b = ，所以椭圆方程为
2
2
1
4
x
y
+
=
（Ⅱ）由题意可知：
1
1
|
||
|
PF PM
PF
PM
=
2
2
|
||
|
PF PM
PF
PM
,
1
1
|
|
PF PM
PF
=
2
2
|
|
PF
PM
PF
,设
0
0
(
,
)
P x
y
其中
2
0
4
x
，将向量坐标代入并化简得：
2
3
0
0
0
(4
16)
3
12
m
x
x
x
−
=
−
，因为
2
0
4
x
，
所以
0
3
4
m
x
=
，而
0
( 2,2)
x −
，所以
3 3
(
, )
2 2
m−
（Ⅲ）由题意可知，l 为椭圆的在
点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
p
0
0
1
4
x x
y y
+
=
，所以
0
0
4
x
k
y
= −
，而
0
0
1
2
,
3
3
y
y
k
k
x
x
=
=
+
−
，代入
1
2
1
1
kk
kk
+
中得
0
0
1
2
0
0
3
3
1
1
4(
)
8
x
x
kk
kk
x
x
+
−
+
= −
+
= −
为定值．
45．【解析】（Ⅰ）由题意得
2
2
2
2
2
2
a
c
a
a
b
c
=
=
=
+
解得
2
b =
.所以椭圆
的方程为
C
2
2
1
4
2
x
y
+
= .
（Ⅱ）由
2
2
(
1)
1
4
2
y
k x
x
y
=
−
+
=
得
2
2
2
2
(1
2
)
4
2
4
0
k
x
k x
k
+
−
+
−
=
.
设点M,N 的坐标分别为
1
1
( ,
)
x y
，
2
2
(
,
)
x
y
，则
1
1
(
1)
y
k x
=
−
，
2
2
(
1)
y
k x
=
−
，
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2
1
2
2
4
1
2
k
x
x
k
+
=
+
，
2
1
2
2
2
4
1
2
k
x x
k
−
=
+
．
所以|MN|=
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
y
y
−
+
−
=
2
2
1
2
1
2
(1
)[(
)
4
]
k
x
x
x x
+
+
−
=
2
2
2
2 (1
)(4
6
)
1 2
k
k
k
+
+
+
.
由因为点A(2,0)到直线
(
1
y
k x
=
−）的距离
2
|
|
1 2
k
d
k
=
+
，
所以△
的面积为
AMN
2
2
1
|
|
4
6
|
|
2
1 2
k
k
S
MN d
k
+
=
=
+
. 由
2
2
|
|
4
6
10
1 2
3
k
k
k
+
=
+
，
解得
1
k = .
46．【解析】（Ⅰ）
1
2
1
60
2
2
c
F AF
a
c
e
a
=
=
=
=
（Ⅱ）设
2
BF
m
=
；则
1
2
BF
a
m
=
−
在
1
2
BF F
中，
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
cos120
BF
BF
FF
BF
FF
=
+
−
2
2
2
3
(2
)
5
a
m
m
a
am
m
a
−
=
+
+
=
，
1
AF B
面积：
2
1
1
1
3
3
sin60
(
)
40 3
2
2
5
2
10,
5,
5 3
S
F F
AB
a
a
a
a
c
b
=
+
=
=
=
=
47．【解析】（Ⅰ）由
2
2
2
2
3
3
c
e
c
a
a
=
=
=
，所以
2
2
2
2
1
3
b
a
c
a
=
−
=
设
( , )
P x y 是椭圆C 上任意一点，则
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
，所以
2
2
2
2
2
2
(1
)
3
y
x
a
a
y
b
=
−
=
−
2
2
2
2
2
2
2
|
|
(
2)
3
(
2)
2(
1)
6
PQ
x
y
a
y
y
y
a
=
+
−
=
−
+
−
=
−
+
+
+
所以，当
1
y = −时，|
|
PQ 有最大值
2
6
3
a +
=
，可得
3
a =
，所以
1,
2
b
c
=
=
故椭圆C 的方程为：
2
2
1
3
x
y
+
=
（Ⅱ）存在点M 满足要求，使OAB
得面积最大．
假设直线
:
1
l mx
ny
+
=
与圆
2
2
:
1
O x
y
+
=
相交于不同两点,
A B ,
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则圆心O 到l 的距离
2
2
1
1
d
m
n
=
+
，∴
2
2
1
m
n
+
①
因为
( , )
M m n 在椭圆C 上，所以
2
2
1
3
m
n
+
=
②，由①②得：
2
0
3
m
„
∵
2
2
2
2
2
1
|
| 2 1
2 m
n
AB
d
m
n
+
−
=
−
=
+
所以
2
2
2
2
1
1
1
|
|
(1
)
2
OAB
S
AB d
m
n
m
n
=
=
−
+
+
，由②得
2
2
1
3
m
n = −
代入上式
得
2
2
2
2
1
3
3
2
2
2
1
2 1
3
3
OAB
m
m
S
m
m
=
=
+
„
，当且仅当
2
2
2
3
1
(0,3]
3
2
m
m
=
=
，
∴
2
2
3
1
,
2
2
m
n
=
=
，此时满足要求的点
6
2
(
,
)
2
2
M
有四个．
此时对应的OAB
的面积为1
2
．
48．【解析】（Ⅰ）将（，）代入
的方程得
0
4
C
2
16
1
b = ，∴
b=4
又
3
5
c
e
a
=
=
得
2
2
2
9
25
a
b
a
−
=
即
2
16
9
1
25
a
−
=
，∴a=5
∴
的方程为
C
2
2
1
25
16
x
y
+
=
．
（Ⅱ）过点
(
)
3,0 且斜率为4
5
的直线方程为
(
)
4
3
5
y
x
=
−
，
设直线与Ｃ的交点为
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
将直线方程
(
)
4
3
5
y
x
=
−
代入C 的方程，得
(
)
2
2
3
1
25
25
x
x
−
+
= ，
即
2
3
8
0
x
x
−
−=
，解得
1
3
41
2
x
−
=
，
2
3
41
2
x
+
=
，
AB 的中点坐标
1
2
3
2
2
x
x
x
+
=
=
，
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(
)
1
2
1
2
2
6
6
2
5
5
y
y
y
x
x
+
=
=
+
−
= −
，即中点为3
6
,
2
5
−
．
49．【解析】（Ⅰ）设直线
(
0)
l
y
kx
t k
=
+
的方程为
，
由题意，
0.
t
由方程组
2
2
,
1,
3
y
kx
t
x
y
=
+
+
=
得
2
2
2
(3
1)
6
3
3
0
k
x
ktx
t
+
+
+
−
=
，由题意
0
，所以
2
2
3
1
.
k
t
+
设
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
A x y
B x
y
，由韦达定理得
1
2
2
6
,
3
1
kt
x
x
k
+
= −
+
所以
1
2
2
2
.
3
1
t
y
y
k
+
=
+
由于
为线段
的中点，因此
E
AB
2
2
3
,
,
3
1
3
1
E
E
kt
t
x
y
k
k
=
=
+
+
此时
1 .
3
E
OE
E
y
k
x
k
=
= −
所以
所在直线方程为
OE
1
,
3
y
x
k
= −
又由题设知
，
D（－3
m），
令x =
3
－，得
1
m
k
=
，即mk =1，所以
2
2
2
2,
m
k
mk
+
=
当且仅当m = k =1 时上式等号成立，此时
由
0
得 0
2,
t
因此
当
1
0
2
m
k
t
=
=
且
时，
2
2
m
k
+
取最小值．
2
（Ⅱ）（）由（
所在直线的方程为
i
I）知OD
1
,
3
y
x
k
= −
将其代入椭圆
的方程，并由
C
0,
k
解得
2
2
3
1
(
,
)
3
1
3
1
k
G
k
k
−
+
+
又
2
2
3
1
(
,
),
( 3, )
3
1 3
1
k
t
E
D
k
k
k
−
−
+
+
，
由距离公式及
0
t
得
关注微信公众号：加油高三
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
9
1
|
|
(
)
(
)
,
3
1
3
1
3
1
1
9
1
|
|
( 3)
( )
,
3
9
1
|
|
(
)
(
)
,
3
1
3
1
3
1
k
k
OG
k
k
k
k
OD
k
k
kt
t
t
k
OE
k
k
k
+
= −
+
=
+
+
+
+
=
−
+
=
+
=
−
+
=
+
+
+
由
2
|
|
|
| |
|
,
OG
OD
OE
t
k
=
=
得
因此，直线l 的方程为
(
1).
y
k x
=
+
所以，直线
( 1,0).
l
−
恒过定点
（）由（）得
ii
i
2
2
3
1
(
,
)
3
1
3
1
k
G
k
k
−
+
+
若
，
轴对称，
B
G 关于x
则
2
2
3
1
(
,
).
3
1
3
1
k
B
k
k
−
−
+
+
代入
2
2
(
1)
3
1
3
1,
y
k x
k
k
k
=
+
−=
+
整理得
即
4
2
6
7
1
0
k
k
−
+ =
，
解得
2
1
6
k =
（舍去）或
2
1,
k =
所以
，
k=1
此时
3
1
3 1
(
,
),
(
, )
2
2
2 2
B
G
−
−
−
关于
轴对称。
x
又由（I）得
1
1
0,
1,
x
y
=
=
所以
（，
A
0
1）．
由于ABG
的外接圆的圆心在
轴上，可设
x
ABG
的外接圆的圆心为（，
d
0），
因此
2
2
3
1
1
1
(
)
,
,
2
4
2
d
d
d
+ =
+
+
= −
解得
故ABG
的外接圆的半径为
2
5
1
2
r
d
=
+ =
，
所以ABG
的外接圆方程为
2
2
1
5
(
)
.
2
4
x
y
+
+
=
50．【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知
2
2
F
+
F
+
=
关注微信公众号：加油高三
又
2
=
AB
AF
F
AB
Β
+
=
得
（Ⅱ）
的方程式为
L
y
x
c
=
+
，其中
2
1
c
b
=
−
设
1
1
1
1
(
),B(
)
A x
x
，
，
y
y
,
A
则
，B 两点坐标满足方程组
2
2
2
1
y
x
c
y
x
b
=
+
+
=
，化简得
2
2
2
(1
)
2
1 2
0.
b
x
cx
b
+
+
+ −
=
则
2
1
2
1 2
2
2
2
1 2
,
.
1
1
c
b
x
x
x x
b
b
−
−
+
=
=
+
+
因为直线
的斜率为，所以
AB
1
2
1
x
x
=
−
即
2
1
4
2
3
x
x
=
−
.
则
2
2
4
2
1
2
1 2
2 2
2
2
8
4(1
)
4(1 2
)
8
(
)
4
9
(1
)
1
1
b
b
b
x
x
x x
b
b
b
−
−
=
+
−
=
−
=
+
+
+
解得
2
2
b =
．
51．【解析】设
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
A x y
B x
y
，由题意知
1y ＜，
0
2y ＞0.
（Ⅰ）直线的方程为
l
3(
)
y
x c
=
−
，其中
2
2
c
a
b
=
−
.
联立
2
2
2
2
3(
),
1
y
x
c
x
y
a
b
=
−
+
=
得
2
2
2
2
4
(3
)
2 3
3
0
a
b
y
b cy
b
+
+
−
=
解得
2
2
1
2
2
2
2
2
3
(
2 )
3
(
2 )
,
3
3
b c
a
b c
a
y
y
a
b
a
b
−
+
−
−
=
=
+
+
因为
2
AF
FB
=
，所以
1
2
2
y
y
−
=
.
即
2
2
2
2
2
2
3
(
2 )
3
(
2 )
2
3
3
b c
a
b c
a
a
b
a
b
+
−
−
=
•
+
+
得离心率
2
3
c
e
a
=
=
.
（Ⅱ）因为
2
1
1
1 3
AB
y
y
=
+
−
，所以
2
2
2
2
4 3
15
3
4
3
ab
a
b
•
=
+
.
关注微信公众号：加油高三
由
2
3
c
a =
得
5
3
b
a
=
.所以 5
15
4
4
a =
，得
，
a=3
5
b =
.
椭圆
的方程为
C
2
2
1
9
5
x
y
+
= ．
