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高中数学复习笔记
一、
函数图象
1、对称：
y=f（x）与y=f（-x）关于y 轴对称，例如：
与 （ ）关于y 轴对称
y=f（x）与y= —f（x）关于x 轴对称，例如：
与 关于x 轴对称
y=f（x）与y= —f（-x）关于原点对称，例如：
与 关于原点对称
y=f（x）与y=f （x）关于y=x 对称，例如：
y=10 与y=lgx 关于y=x 对称
y=f（x）与y= —f （—x）关于y= —x 对称，如：y=10 与y= —lg（—x）关于y= —x 对称
注：偶函数的图象本身就会关于y 轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：
图象本身就会关于y 轴对称， 的图象本身就会关于原点对称。
y=f（x）与y=f（a—x）关于x=
对称（
）
注：求y=f（x）关于直线 x y c=0（注意此时的系数要么是1 要么是-1）对称的方程，只需由x
y+c=0 解出x、y 再代入y=f（x）即可，例如：求y=2x+1 关于直线x-y-1=0 对称的方程，可先由
x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=0
2、平移：
y=f（x） y= f（ x+ ）先向左（ >0）或向右（ <0）平移| |个单位，再保持纵坐标不变，横坐标压
（x）则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的 倍，再将整个图象向右（ >0）或向左
（ <0）平移| |个单位，即与原先顺序相反）
y=f（x） y= f
先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的|
|倍，然后再将整个图象向左
（ >0）或向右（ <0）平移|
|个单位，（反之亦然）。
3、必须掌握的几种常见函数的图象
1、 二次函数y=a +bx+c（a ）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值）
2、 指数函数 （ ）（理解并掌握该函数的单调性与底数a 的关系）
3、 幂函数 （ ）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a 的关系）
4、 对数函数y=log x（ ）（理解并掌握该函数的单调性与底数a 的关系）
5、 y=
（a 为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间）
6、 三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx（能根据图象判断这些函数的单调区间）
注：三角中的几个恒等关系
sin x+ cos x=1 1+tan x=sec x 1+cot x=csc x tanx =1
利用函数图象解题典例
已知 分别是方程x +10 =3 及x+lgx=3 的根，求：
分析：x +10 =3 可化为10 =3—x，x+lgx=3 可化为lgx=3—x，故此可认为是曲线
y=10 、y= lgx 与直线y=3—x 的两个交点，而此两个交点关于y=x 对称，故问题迎刃而解。
答案：3
4、函数中的最值问题：
1、 二次函数最值问题
结合对称轴及定义域进行讨论。
典例：设a∈R，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R，求f（x）的最小值．
考查函数最值的求法及分类讨论思想．
【解】（1）当x≥a 时，f（x）=x2+x－a+1=（x+
）2－a+
若a≤－
时，则f（x）在［a，+∞］上最小值为f（－
）=
－a
若a>－
时，则f（x）在［a，+∞）上单调递增
f
min=f（a）=a2+1
（2）当x≤a 时，f（x）=x2－x+a+1=（x－
）2+a+
若a≤
时，则f（x）在（－∞， 单调递减，f
min=f（a）=a2+1
当a>
时，则f（x）在（－∞， 上最小值为f（
）=
+a
综上所述，当a≤－
时，f（x）的最小值为
－a
当－
≤a≤
时，f（x）的最小值为a2+1
当a>
时，f（x）的最小值为
+a
2、 利用均值不等式
典例：已知x、y 为正数，且x
=1，求x 的最大值
分析：x = =
（即设法构造定值x
=1）=
=
故最大值为
注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos ，
=sin 求解，（解略）
3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。
4、 利用函数的单调性
典例：求t
的最小值（分析：利用函数y=
在（1，+ ）的单调性求解，解略）
5、 三角换元法（略）
6、 数形结合
例：已知x、y 满足x ，求
的最值
5、抽象函数的周期问题
已知函数y=f（x）满足f（x+1）= —f（x），求证：f（x）为周期函数
证明：由已知得f（x）= —f（x —1），所以f（x+1）= —f（x）= — （—f（x —
1））
= f（x —1）即f（t）=f（t —2），所以该函数是以2 为最小正周期的函数。
解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解
二、圆锥曲线
1、 离心率
圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0<e<1）、抛物线（离心率e=1）、双曲线（离心率
e>1）。
2、 焦半径
椭圆：PF =a+ex 、PF =a-ex （左加右减）（其中P 为椭圆上任一点，F 为椭圆左焦
点、F 为椭圆右焦点）
注：椭圆焦点到其相应准线的距离为
双曲线：PF = |ex +a|、PF =| ex -a|（左加右减）（其中P 为双曲线上任一点，F
为双曲线左焦点、F 为双曲线右焦点）
注：双曲线焦点到其相应准线的距离为
抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用）
圆锥曲线中的面积公式：（F 、F 为焦点）
设P 为椭圆上一点， = ，则三角形F PF 的面积为：b
注：|PF | |PF |cos
=b 为定值
设P 为双曲线上一点， = ，则三角形F PF 的面积为：b
注：|PF | |PF |sin
=b 为定值
附：三角形面积公式：
S=
底 高=
absinC=
=
r（a+b+c）=（R 为外接圆半径，r 为内切圆半径）= （这就是著名
的海伦公式）
三、数列求和
裂项法：若 是等差数列，公差为d（ ）则求
时可用裂项法求解，即 =
（
）=
求导法： （典例见高三练习册p86 例9）
倒序求和：（典例见世纪金榜p40 练习18）
分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比
数列然后分组求和
求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30 例4——构造新数列
即可
四、向量与直线
向量（a，b），（c，d）垂直的充要条件是ac+bd=0
向量（a，b），（c，d）平行的充要条件是ad—bc=0
附：直线A x+B y+C =0 与直线A x+B y+C =0 垂直的充要条件是A A + B B =0
直线A x+B y+C =0 与直线A x+B y+C =0 平行的充要条件是A B -A B =0
向量的夹角公式：
cos =
注1：直线的“到角”公式： 到 的角为tan =
；“夹角”公式为tan =|
|
（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为
之间的角）
注2：异面直线所成角的范围：（0，
]
注3：直线倾斜角范围[0， ）
注4：直线和平面所成的角[0，
]
注5：二面角范围：[0， ]
注6：锐角：（0，
）
注7：0 到
的角表示（0，
]
注8：第一象限角（2k ，2k +
）
附：三角和差化积及积化和差公式简记
S + S = S C
S + S = C S
C + C = C C
C — C = — S S
五、集合
1、集合元素个数的计算
card（A ）=card（A）+ card（B）+ card（C）—card（A ）—card（ ）—card（C A）
速）
2、从集合角度来理解充要条件：若A B，则称A 为B 的充分不必要条件，（即小的可推出
大的）此时B 为A 的必要不充分条件，若A=B，则称A 为B 的充要条件
经纬度
六、二项展开式系数：
C +C +C +…C =2 （其中C + C + C +…=2 ；C +C + C +…=2 ）
例：求（2+3x） 展开式中
1、所有项的系数和
2、奇数项系数的和
3、偶数项系数的和
方法：只要令x 为1 或—1 即可
七、离散型随机变量的期望与方差
E（a +b）=aE +b；E（b）=b
D（a +b）=a D ；D（b）=0
D =E —（E ）
特殊分布的期望与方差
（0、1） 分布：期望：E =p；方差D =pq
二项分布： 期望E =np；方差D =npq
注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。
八、圆系、直线系方程
经过某个定点（ ）的直线即为一直线系，可利用点斜式设之（k 为参数）
一组互相平行的直线也可视为一直线系，可利用斜截式设之（b 为参数）
经过圆f（x、y）与圆（或直线）g（x、y）的交点的圆可视为一圆系，可设为：
f（x、y）+ g（x、y）=0（此方程不能代表g（x、y）=0）；或 f（x、y）+g（x、y）=0
（此方程不能代表f（x、y）=0）
附：回归直线方程的求法：设回归直线方程为 ＝bx＋a，则b＝
a＝ －b
