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高中数学公式及知识点速记
1、函数的单调性
(1)设
1
2
1
2
[ , ],
x
x
a b
x
x
、
且
那么
]
,
[
)
(
0
)
(
)
(
2
1
b
a
x
f
x
f
x
f
在
上是增函数；
]
,
[
)
(
0
)
(
)
(
2
1
b
a
x
f
x
f
x
f
在
上是减函数.
(2)设函数
)
(x
f
y
在某个区间内可导，
若
0
)
(
x
f
，则
)
(x
f
为增函数；
若
0
)
(
x
f
，则
)
(x
f
为减函数；
若
( )=0
f
x
，则
)
(x
f
有极值。
2、函数的奇偶性
若
)
(
)
(
x
f
x
f
，则
)
(x
f
是偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称。
若
)
(
)
(
x
f
x
f
，则
)
(x
f
是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。
3、函数
)
(x
f
y
在点
0x 处的导数的几何意义
函数
)
(x
f
y
在点
0x 处的导数
)
(
0x
f
是曲线
)
(x
f
y
在
))
(
,
(
0
0
x
f
x
P
处的切线的斜率，相应
的切线方程是
)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y
.
4、几种常见函数的导数
①
'
C
0
； ②
1
')
(
n
n
nx
x
； ③
x
x
cos
)
(sin
'
； ④
x
x
sin
)
(cos
'
；
⑤
a
a
a
x
x
ln
)
(
'
； ⑥
x
x
e
e
')
(
； ⑦
a
x
x
a
ln
1
)
(log
'
； ⑧
x
x
1
)
(ln
'
5、导数的运算法则
（1）
'
'
'
(
)
u
v
u
v
.
（2）
'
'
'
(
)
uv
u v
uv
.
（3）
'
'
'
2
( )
u
u v
uv
v
v
.
6、求函数
y
f x
的极值的方法是：解方程
0
f
x
得
0x ．当
0
0
f
x
时：
① 如果在
0x 附近的左侧
0
f
x
，右侧
0
f
x
，那么
0
f x
是极大值；
② 如果在
0x 附近的左侧
0
f
x
，右侧
0
f
x
，那么
0
f x
是极小值．
7、分数指数幂
(1)
m
n
m
n
a
a
.
(2)
1
1
m
n
m
n
m
n
a
a
a
.
8、根式的性质
（1）(
)n
n a
a
.
（2）当n 为奇数时，n
n
a
a
；
当n 为偶数时，
,
0
|
|
,
0
n
n
a a
a
a
a a
.
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9、有理指数幂的运算性质
(1)
r
s
r s
a
a
a
；
(2)(
)
r
s
rs
a
a
；
(3)(
)r
r
r
ab
a b
.
10、对数公式
（1）指数式与对数式的互化式: log
b
a N
b
a
N
。
（2）对数的换底公式 :
log
log
log
m
a
m
N
N
a
.
（ 3）对数恒等式：①log
log
n
a
a
b
n
b
； ②log
log
m
n
a
a
n
b
b
m
；
③
log a N
a
N
； ④log 1
0
a
； ⑤log
1
a a
11、常见的函数图象
k<0
k>0
y=kx+b
o
y
x
a<0
a>0
y=ax2+bx+c
o
y
x
0<a<1
a>1
1
y=ax
o
y
x
0<a<1
a>1
1
y=logax
o
y
x
12、同角三角函数的基本关系式
2
2
sin
cos
1
，tan=
cos
sin
.
13、正弦、余弦的诱导公式
诱导公式一：sin(+k2)=sin(+2k)=sin；
cos(+k2)=cos(+2k)=cos
tan(+k2)=tan(+2k)=tan
诱导公式二：sin(
)=－sin；
cos(
)=－cos；
tan(
)=tan.
诱导公式三：sin（
－
）=－sin；
cos（
－
）=cos；
tan（
－
）=－tan.
诱导公式四：sin(
)=sin；
cos(
)=－cos；
tan(
)=－tan.
诱导公式五：sin( 2
)=cos；
cos( 2
)=sin；
诱导公式六：sin( 2
)=cos；
cos( 2
)=－sin.
14、和角与差角公式
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sin(
)
sin
cos
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
.
sin
cos
a
b
=
2
2 sin(
)
a
b
；(辅助角所在象限由点( , )
a b 的象限决定, tan
b
a
).
15、二倍角公式
sin 2
sin
cos
.
2
2
2
2
cos 2
cos
sin
2cos
1
1 2sin
.
2
2tan
tan 2
1
tan
.
公式变形：
;
2
2
cos
1
sin
,
2
cos
1
sin
2
;
2
2
cos
1
cos
,
2
cos
1
cos
2
2
2
2
2
16、三角函数的周期
函数
sin(
)
y
A
x
及函数
cos(
)
y
A
x
的周期
2
|
|
T
，最大值为|A| ；函数
tan(
)
y
A
x
（
2
x
k
）的周期
|
|
T
.
17.正弦定理 ：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
（R 为ABC
外接圆的半径）.
2 sin
,
2 sin
,
2 sin
a
R
A b
R
B c
R
C
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
18.余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
;
2
2
2
2
cos
b
c
a
ca
B
;
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
.
19.面积定理
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ca
B
.
20、三角形内角和定理
在△ABC 中，有A
B
C
(
)
C
A
B dx
2
2
2
C
A
B
2
2
2(
)
C
A
B
.
21、三角函数的性质
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22、a 与b 的数量积:a·b=|a||b|cosθ．
23、平面向量的坐标运算
(1)设A
1
1
(
,
)
x y
，B
2
2
(
,
)
x
y
,则
2
1
2
1
(
,
)
AB
OB
OA
x
x y
y
(2)设a=
1
1
(
,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
，则a+b=
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
.
(3)设a=
1
1
(
,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
，则a-b=
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
.
(4)设a=( , ),
x y
R
，则a= (
,
)
x
y
.
(5)设a=
1
1
(
,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
，则a·b=
1
2
1
2
x x
y y
.
(6)设a=
)
,
(
y
x
，则
2
2
y
x
a
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24、两向量的夹角公式：
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
x x
y y
a b
x
y
x
y
a
b
；(a=
1
1
(
,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
).
25、平面两点间的距离公式：
,
A B
d
=|
|
AB
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
y
y
26、向量的平行与垂直： 设a=
1
1
(
,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
，则
a∥bb=λa
1
2
2
1
0
x y
x y
.
a b a·b=0
1
2
1
2
0
x x
y y
.
27、数列的通项公式与前n 项的和的关系
1
1
,
1
,
2
n
n
n
s
n
a
s
s
n
；( 数列{
}
na
的前n 项的和为
1
2
n
n
s
a
a
a
).
28、等差数列的通项公式
1
1
(
1)
n
a
a
n
d
dn
a
d
；
29、等差数列其前n 项和公式为
1
(
)
2
n
n
n a
a
s
1
(
1)
2
n n
na
d
.
30、等差数列的性质：
①等差中项：2
n
a =
1
n
a
+
1
n
a
；
②若m+n=p+q，则
m
a +
na =
p
a +
q
a ；
③
m
S ，
2m
S
，
3m
S
分别为前m，前2m，前3m 项的和，则
m
S ，
2m
S
-
m
S ，
3m
S
-
2m
S
成等差数列。
31、等比数列的通项公式
1
1
n
na
a q
；
32、等比数列前n 项的和公式为
1
1
(1
) ,
1
1
,
1
n
n
a
q
q
q
s
na
q
或
1
1
,
1
1
,
1
n
n
a
a q q
q
s
na
q
.
33、等比数列的性质：
①等比中项：
2
nb =
1
1
n
n
b
b
；
②若m+n=p+q，则
m
n
b
b
=
p
q
b
b
；
③
m
S ，
2m
S
，
3m
S
分别为前m，前2m，前3m 项的和，则
m
S ，
2m
S
-
m
S ，
3m
S
-
2m
S
成等比数列。
34、常用不等式：
（1）,a b
R
2
2
2
a
b
ab
(当且仅当a＝b 时取“=”号)．
（2）,a b
R
2
a
b
ab
(当且仅当a＝b 时取“=”号)．
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35、直线的3 种方程
（1）点斜式：
1
1
(
)
y
y
k x
x
； (直线l 过点
1
1
1
(
,
)
P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式：y
kx
b
；(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）一般式：
0
Ax
By
C
；(其中A、B 不同时为0).
36、两条直线的平行和垂直
若
1
1
1
:
l
y
k x
b
，
2
2
2
:
l
y
k x
b
①
1
2
1
2
1
2
||
,
l
l
k
k
b
b
且
;
②
1
2
1
2
1
l
l
k
k
.
37、点到直线的距离
0
0
2
2
|
|
Ax
By
C
d
A
B
； (点
0
0
(
,
)
P x
y
,直线l ：
0
Ax
By
C
).
38、 圆的2 种方程
（1）圆的标准方程
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
.
（2）圆的参数方程
cos
sin
x
a
r
y
b
r
.
39、点与圆的位置关系：点
0
0
(
,
)
P x
y
与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
的位置关系有三种
若
2
2
0
0
(
)
(
)
d
a
x
b
y
，则
d
r
点P 在圆外;
d
r
点P 在圆上;
d
r
点P 在圆内.
40、直线与圆的位置关系
直线
0
C
By
Ax
与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
的位置关系有三种: 其中
2
2
B
A
C
Bb
Aa
d
2
=
4ac
0
b
d
r
相离
方程组无解：
；
2
=
4ac
0
b
d
r
相切
方程组有唯一解：
；
2
=
4ac
0
b
d
r
相交
方程组有两个解：
.
41、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
①椭圆：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，焦点（±c,0），
2
2
2
b
c
a
，离心率
2
= 2
a
c
e
c
a
焦距
长轴
，参
数方程是
cos
sin
x
a
y
b
.
②双曲线：
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(a>0,b>0)，焦点（±c,0），
2
2
2
b
a
c
，离心率
2
= 2
a
c
e
c
a
焦距
长轴
，
渐近线方程是
x
a
b
y
.
③抛物线：
px
y
2
2
，焦点
)
0,
2
( p
,准线
2
p
x
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的
距离.
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42、双曲线的方程与渐近线方程的关系
若双曲线方程为
1
2
2
2
2
b
y
a
x
渐近线方程：
2
2
2
2
0
x
y
a
b
x
a
b
y
.
43、抛物线
px
y
2
2
的焦半径公式
抛物线
2
2
y
px
的焦半径
2
|
|
0
p
x
PF
.（抛物线上的点（
0x ，
0y ）到焦点（2
p ，0）距离。）
44、平均数、方差、标准差的计算
平均数:
n
x
x
x
x
n
2
1
；
方差:
]
)
(
)
(
)
[(
1
2
2
2
2
1
2
x
x
x
x
x
x
n
s
n
；
标准差:
]
)
(
)
(
)
[(
1
2
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
n
s
n
；
45、回归直线方程
y
a
bx
，其中
1
1
2
2
2
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nx y
b
x
x
x
nx
a
y
bx
.
46、独立性检验
)
)(
)(
)(
(
)
(
2
2
d
b
c
a
d
c
b
a
bd
ac
n
K
；n=a+b+c+d.
①K﹥6.635，有99%的把握认为X 和Y 有关系；
②K﹥3.841，有95%的把握认为X 和Y 有关系；
③K﹥2.706，有90%的把握认为X 和Y 有关系；
④K≤2.706，X 和Y 没关系。
47、复数
①z
a
bi
共轭复数为z
a
bi
；
②复数的相等：
,
a
bi
c
di
a
c b
d
；
③复数z
a
bi
的模（或绝对值）|
|z =|
|
a
bi
=
2
2
a
b
；
④复数的四则运算法则
(1) (
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
；
(2) (
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
；
(3) (
)(
)
(
)
(
)
a
bi c
di
ac
bd
bc
ad i
；
(4)
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
ac
bd
bc
ad i
ac
bd
bc
ad
a
bi
c
di
i
c
d
c
d
c
d
⑤ 复数的乘法的运算律
交换律:
1
2
2
1
z
z
z
z
.
结合律:
1
2
3
1
2
3
(
)
(
)
z
z
z
z
z
z
.
分配律:
1
2
3
1
2
1
3
(
)
z
z
z
z
z
z
z
.
1y
2y
1x
a
b
2x
c
d
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原命题
若p则q
否命题
若┐p则┐q
逆命题
若q则p
逆否命题
若┐q则┐p
互
为
逆
否
互
逆
否
互
为
逆
否
互
互逆
否
互
48、参数方程、极坐标化成直角坐标
①
y
x
sin
cos
； ②
)
0
(
tan
2
2
2
x
x
y
y
x
49、命题、充要条件
充要条件（记p 表示条件，q 表示结论；即命题“若p，则q”）
①充分条件：若p
q
，则p 是q 充分条件.
②必要条件：若q
p
，则p 是q 必要条件.
③充要条件：若p
q
，且q
p
，则p 是q 充要条件.
④命题“若p，则q”的否命题：若
p
，则
q
；
否定：若p，则
q
50、真值表
51、量词的否定
①含有一个量词的全称命题的否定:
全称命题p：
, ( )
x
M p x
,它的否定
p
：
0
0
,
(
)
x
M
p x
②含有一个量词的特称命题的否定:
特称命题p：
0
0
,
(
)
x
M p x
,它的否定p
：
,
( )
x
M
p x
ｐ ｑ 非ｐ（
p
） ｐ或ｑ（p∨q）
ｐ且ｑ(p∧q)
真 真
假
真
真
真 假
假
真
假
假 真
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52、空间点、直线、平面之间的位置关系
①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理1 的作用：判断直线是否在平面内
②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理2 的作用：确定一个平面的依据。
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面。 公理2
推论3：两条平行直线确定一个平面。
③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3 的作用：判定两个平面是否相交的依据
53、空间中直线与直线之间的位置关系
①空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内；有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内；没有公共点；
异面直线：不在同一个平面内；没有公共点。
②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c 是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4 作用：判断空间两条直线平行的依据。
③等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
注意点：
1.两条异面直线所成的角θ∈(0， ]；
2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
3.两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
54、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线在平面外 直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
直线在平面平行 —— 没有公共点
注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
55、直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平
面平行。简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a α
b β a∥α
a∥b
C
·
B
·
A
·
α
P
·
α
L
β
共面直线
a∥c
2
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56、平面与平面平行的判定
①两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面
平行。
符号表示：a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
②判断两平面平行的方法有三种：
（1）判定定理；
（2）平行于同一平面的两个平面平行；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
57、直线与平面、平面与平面平行的性质
①定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
②定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
③两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。
58、直线与平面垂直的判定
①定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，
记作l ⊥α。 l
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
α p
②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意：1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
59、平面与平面垂直的判定
①两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
60、直线与平面、平面与平面垂直的性质
①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
②性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
