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高中文科数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)
设
2
1
2
1
],
,
[
x
x
b
a
x
x
、
那么
]
,
[
)
(
0
)
(
)
(
2
1
b
a
x
f
x
f
x
f
在
上是增函数；
]
,
[
)
(
0
)
(
)
(
2
1
b
a
x
f
x
f
x
f
在
上是减函数.
(2)
设函数
)
(x
f
y
在某个区间内可导，若
0
)
(
x
f
，则
)
(x
f
为增函数；若
0
)
(
x
f
，则
)
(x
f
为减
函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的x ，都有
)
(
)
(
x
f
x
f
，则
)
(x
f
是偶函数；
对于定义域内任意的x ，都有
)
(
)
(
x
f
x
f
，则
)
(x
f
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
3、函数
)
(x
f
y
在点
0x 处的导数的几何意义
函数
)
(x
f
y
在点
0x 处的导数是曲线
)
(x
f
y
在
))
(
,
(
0
0
x
f
x
P
处的切线的斜率
)
(
0x
f
，相应的切线方
程是
)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y
.
*二次函数： （1）顶点坐标为
2
4
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a
；（2）焦点的坐标为
2
4
1
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a
4、几种常见函数的导数
①
'
C
0
；②
1
')
(
n
n
nx
x
； ③
x
x
cos
)
(sin
'
；④
x
x
sin
)
(cos
'
；
⑤
a
a
a
x
x
ln
)
(
'
；⑥
x
x
e
e
')
(
； ⑦
a
x
x
a
ln
1
)
(log
'
；⑧
x
x
1
)
(ln
'
5、导数的运算法则
（1）
'
'
'
(
)
u
v
u
v
. （2）
'
'
'
(
)
uv
u v
uv
. （3）
'
'
'
2
( )
(
0)
u
u v
uv v
v
v
.
6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数
y
f x
的极值的方法是：解方程
0
f
x
．当
0
0
f
x
时：
(1) 如果在
0x 附近的左侧
0
f
x
，右侧
0
f
x
，那么
0
f x
是极大值；
(2) 如果在
0x 附近的左侧
0
f
x
，右侧
0
f
x
，那么
0
f x
是极小值．
指数函数、对数函数
分数指数幂
(1)
m
n
m
n
a
a
（
0,
,
a
m n
N
，且
1
n
）.
(2)
1
1
m
n
m
n
m
n
a
a
a
（
0,
,
a
m n
N
，且
1
n
）.
根式的性质
（1）当n 为奇数时，n
n
a
a
；
当n 为偶数时，
,
0
|
|
,
0
n
n
a a
a
a
a a
.
有理指数幂的运算性质
第2 页（共10 页）
(1)
(
0, ,
)
r
s
r s
a
a
a
a
r s
Q
.
(2)
(
)
(
0, ,
)
r
s
rs
a
a
a
r s
Q
.
(3)
(
)
(
0,
0,
)
r
r
r
ab
a b a
b
r
Q
.
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理
数指数幂都适用.
.指数式与对数式的互化式:
log
b
a N
b
a
N
(
0,
1,
0)
a
a
N
.
.对数的换底公式 :
log
log
log
m
a
m
N
N
a
( 0
a
,且
1
a
,
0
m
,且
1
m ,
0
N
).
对数恒等式：
log a N
a
N
(
0
a
,且
1
a
,
0
N
).
推论 log
log
m
n
a
a
n
b
b
m
(
0
a
,且
1
a
,
0
N
).
常见的函数图象
k<0
k>0
y=kx+b
o
y
x
a<0
a>0
y=ax2+bx+c
o
y
x
-1
-2
1
2
y=x+1
x
o
y
x
0<a<1
a>1
1
y=ax
o
y
x
0<a<1
a>1
1
y=logax
o
y
x
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
2
2
sin
cos
1
，tan=
cos
sin
.
9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
k
的正弦、余弦，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号；
2
k
的正弦、余弦，等于的余名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号。
1 sin 2
sin
k
，
cos 2
cos
k
，
tan 2
tan
k
k
．
2 sin
sin
，
cos
cos
，
tan
tan
．
3 sin
sin
，
cos
cos
，
tan
tan
．
4 sin
sin
，
cos
cos
，
tan
tan
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
5 sin
cos
2
，cos
sin
2
．
6 sin
cos
2
，cos
sin
2
．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
10
、和角与差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
;
第3 页（共10 页）
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
.
11
、二倍角公式
sin 2
sin
cos
.
2
2
2
2
cos 2
cos
sin
2cos
1
1 2sin
.
2
2tan
tan 2
1
tan
.
公式变形：
;
2
2
cos
1
sin
,
2
cos
1
sin
2
;
2
2
cos
1
cos
,
2
cos
1
cos
2
2
2
2
2
12
、 函数
sin(
)
y
x
的图象变换
①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数
sin
y
x
的图象；再将函数
sin
y
x
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1
倍（纵坐标不变），得到函数
sin
y
x
的图象；
再将函数
sin
y
x
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数
sin
y
x
的图象．
②数
sin
y
x
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1
倍（纵坐标不变），得到函数
sin
y
x
的图象；再将函数
sin
y
x
的图象上所有点向左（右）平移
个单位长度，得到函数
sin
y
x
的图象；再将函数
sin
y
x
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍
（横坐标不变），得到函数
sin
y
x
的图象．
13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
sin
y
x
cos
y
x
tan
y
x
图象
定义域
R
R
,
2
x x
k
k
值域
1,1
1,1
R
函 数
性 质
第4 页（共10 页）
最值
当
2
2
x
k
k
时
，
max
1
y
；
当
2
2
x
k
k 时，
min
1
y
．
当
2
x
k
k
时，
max
1
y
；当
2
x
k
k 时，
min
1
y
．
既无最大值也无最小值
周期性
2
2
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在2
,2
2
2
k
k
k 上是增函数；在
3
2
,2
2
2
k
k
k 上是减函数．
在
2
,2
k
k
k
上是增
函数；在
2
,2
k
k
k 上是减函数．
在
,
2
2
k
k
k 上是增函数．
对称性
对称中心
,0
k
k
对称轴
2
x
k
k
对称中心
,0
2
k
k
对称轴
x
k
k
对称中心
,0
2
k
k
无对称轴
14
、辅助角公式
)
sin(
cos
sin
2
2
x
b
a
x
b
x
a
y
其中
a
b
tan
15.
正弦定理 ：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
（R为ABC
外接圆的半径）.
2 sin
,
2 sin
,
2 sin
a
R
A b
R
B c
R
C
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
16.
余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
; 2
2
2
2
cos
b
c
a
ca
B
; 2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
.
17.
面积定理
（1）
1
1
1
2
2
2
a
b
c
S
ah
bh
ch
（
a
b
c
h
h
h
、、
分别表示a、b、c边上的高）.
（2）
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ca
B
.
18
、三角形内角和定理
在△ABC
中，有
(
)
A
B
C
C
A
B
2
2
2
C
A
B
2
2
2(
)
C
A
B
.
19
、a 与b 的数量积(或内积)
第5 页（共10 页）
cos
|
|
|
|
b
a
b
a
20
、平面向量的坐标运算
(1)
设A
1
1
(
,
)
x y
，B
2
2
(
,
)
x
y
,则
2
1
2
1
(
,
)
AB
OB
OA
x
x y
y
.
(2)
设a =
1
1
(
,
)
x y
,b =
2
2
(
,
)
x
y
，则
b
a
=
2
1
2
1
y
y
x
x
.
(3)
设a =
)
,
(
y
x
，则
2
2
y
x
a
21
、两向量的夹角公式
设a =
1
1
(
,
)
x y
,b =
2
2
(
,
)
x
y
，且
0
b
，则
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
|
| |
|
x x
y y
a b
a
b
x
y
x
y
(a =
1
1
(
,
)
x y
,b =
2
2
(
,
)
x
y
).
22
、向量的平行与垂直
设a =
1
1
(
,
)
x y
,b =
2
2
(
,
)
x
y
，且b 0
b
a //
a
b
1
2
2
1
0
x y
x y
.
)
0
(
a
b
a
0
b
a
1
2
1
2
0
x x
y y
.
*平面向量的坐标运算
(1)
设a =
1
1
(
,
)
x y
,b =
2
2
(
,
)
x
y
，则a +b =
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
.
(2)
设a =
1
1
(
,
)
x y
,b =
2
2
(
,
)
x
y
，则a -b =
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
.
(3)
设A
1
1
(
,
)
x y
，B
2
2
(
,
)
x
y
,则
2
1
2
1
(
,
)
AB
OB
OA
x
x y
y
.
(4)
设a =( , ),
x y
R
，则a =(
,
)
x
y
.
(5)
设a =
1
1
(
,
)
x y
,b =
2
2
(
,
)
x
y
，则a ·b =
1
2
1
2
x x
y y
.
三、数列
23
、数列的通项公式与前n项的和的关系
1
1
,
1
,
2
n
n
n
s
n
a
s
s
n
(
数列{
}
na
的前n项的和为
1
2
n
n
s
a
a
a
).
24
、等差数列的通项公式
*
1
1
(
1)
(
)
na
a
n
d
dn
a
d n
N
；
25
、等差数列其前n项和公式为
1
(
)
2
n
n
n a
a
s
1
(
1)
2
n n
na
d
2
1
1
(
)
2
2
d n
a
d n
.
26
、等比数列的通项公式
1
*
1
1
(
)
n
n
n
a
a
a q
q
n
N
q
；
27
、等比数列前n项的和公式为
1
1
(1
) ,
1
1
,
1
n
n
a
q
q
s
q
na q
或
1
1
,
1
1
,
1
n
n
a
a q q
q
s
na q
.
四、不等式
第6 页（共10 页）
28
、
xy
y
x
2
。必须满足一正（
y
x,
都是正数）、二定（xy 是定值或者
y
x
是定值）、三相等（
y
x
时等号成立）才可以使用该不等式）
（1）若积xy 是定值p ，则当
y
x
时和
y
x
有最小值
p
2
；
（2）若和
y
x
是定值s ，则当
y
x
时积xy 有最大值
2
4
1 s .
五、解析几何
29、直线的五种方程
（1）点斜式
1
1
(
)
y
y
k x
x
(直线l 过点
1
1
1
(
,
)
P x y
，且斜率为k )．
（2）斜截式 y
kx
b
(b为直线l 在y轴上的截距).
（3）两点式
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
(
1
2
y
y
)(
1
1
1
(
,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
(
1
2
x
x
)).
(4)
截距式
1
x
y
a
b
(a
b
、分别为直线的横、纵截距，
0
a
b
、
)
（5）一般式
0
Ax
By
C
(其中A、B 不同时为0).
30、两条直线的平行和垂直
若
1
1
1
:
l
y
k x
b
，
2
2
2
:
l
y
k x
b
①
1
2
1
2
1
2
||
,
l
l
k
k b
b
;
②
1
2
1
2
1
l
l
k k
.
31
、平面两点间的距离公式
,
A B
d
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
y
y
(A
1
1
(
,
)
x y
，B
2
2
(
,
)
x
y
).
32、点到直线的距离
0
0
2
2
|
|
Ax
By
C
d
A
B
(点
0
0
(
,
)
P x
y
,直线l ：
0
Ax
By
C
).
33、 圆的三种方程
（1）圆的标准方程
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
.
（2）圆的一般方程 2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
(
2
2
4
D
E
F
＞0).
（3）圆的参数方程
cos
sin
x
a
r
y
b
r
.
*
点与圆的位置关系：点
0
0
(
,
)
P x
y
与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
的位置关系有三种
若
2
2
0
0
(
)
(
)
d
a
x
b
y
，则d
r
点P 在圆外;d
r
点P 在圆上;d
r
点P 在圆内.
34
、直线与圆的位置关系
直线
0
C
By
Ax
与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
的位置关系有三种:
0
相离
r
d
;
0
相切
r
d
;
0
相交
r
d
.
弦长=
2
2
2
d
r
其中
2
2
B
A
C
Bb
Aa
d
.
35
、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，
2
2
2
b
c
a
，离心率
2
2
1
c
b
e
a
a
<1
，参数方程是
cos
sin
x
a
y
b
.
第7 页（共10 页）
双曲线：
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(a>0,b>0)，
2
2
2
b
a
c
，离心率
1
a
c
e
，渐近线方程是
x
a
b
y
.
抛物线：
px
y
2
2
，焦点
)
0,
2
( p
,准线
2
p
x
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
36
、双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1
）若双曲线方程为
1
2
2
2
2
b
y
a
x
渐近线方程：
2
2
2
2
0
x
y
a
b
x
a
b
y
.
(2)
若渐近线方程为
x
a
b
y
0
b
y
a
x
双曲线可设为
2
2
2
2
b
y
a
x
.
(3)
若双曲线与
1
2
2
2
2
b
y
a
x
有公共渐近线，可设为
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
，焦点在x 轴上，
0
，
焦点在y 轴上）.
37
、抛物线
px
y
2
2
的焦半径公式
抛物线
2
2
(
0)
y
px p
焦半径
2
|
|
0
p
x
PF
.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）
38
、过抛物线焦点的弦长
p
x
x
p
x
p
x
AB
2
1
2
1
2
2
.
六、立体几何
39.证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
40．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
41.证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
42．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
43．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
44．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=
rl
2
，表面积=
2
2
2
r
rl
圆椎侧面积= rl
，表面积=
2
r
rl
1
3
V
Sh
柱体
（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
1
3
V
Sh
锥体
（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
球的半径是R ，则其体积
3
4
3
V
R
,其表面积
2
4
S
R
．
46
、若点A
1
1
1
( ,
,
)
x y z
，点B
2
2
2
(
,
,
)
x
y
z
，则
,
A B
d
=|
|
AB
AB AB
2
2
2
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
x
x
y
y
z
z
47
、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
第8 页（共10 页）
48
、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49
、平均数、方差、标准差的计算
平均数:
n
x
x
x
x
n
2
1
方差:
]
)
(
)
(
)
[(
1
2
2
2
2
1
2
x
x
x
x
x
x
n
s
n
标准差:
]
)
(
)
(
)
[(
1
2
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
n
s
n
50
、回归直线方程
（了解即可）
y
a
bx
，其中
1
1
2
2
2
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nx y
b
x
x
x
nx
a
y
bx
.经过（x ，y ）点。
51
、独立性检验
)
)(
)(
)(
(
)
(
2
2
d
b
c
a
d
c
b
a
bd
ac
n
K
（了解即可）
52
、古典概型的计算（必须要用列举法
．．．、列表
．．法．、树状
．．图．的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗
漏）
八、复数
53
、复数的除法运算
2
2
)
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
d
c
i
ad
bc
bd
ac
di
c
di
c
di
c
bi
a
di
c
bi
a
.
54
、复数z
a
bi
的模|
|z =|
|
a
bi
=
2
2
a
b
.
55
、复数的相等：
,
a
bi
c
di
a
c b
d
.（, , ,
a b c d
R
）
56
、复数z
a
bi
的模（或绝对值）|
|z =|
|
a
bi
=
2
2
a
b
.
57
、复数的四则运算法则
(1)
(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
;
(2)
(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
;
(3)
(
)(
)
(
)
(
)
a
bi c
di
ac
bd
bc
ad i
;
(4)
2
2
2
2
(
)
(
)
(
0)
ac
bd
bc
ad
a
bi
c
di
i c
di
c
d
c
d
.
58
、复数的乘法的运算律
对于任何
1
2
3
,
,
z z
z
C
，有
交换律:
1
2
2
1
z
z
z
z
.
结合律:
1
2
3
1
2
3
(
)
(
)
z
z
z
z
z
z
.
分配律:
1
2
3
1
2
1
3
(
)
z
z
z
z
z
z
z
.
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
55
、
y
x
sin
cos
)
0
(
tan
2
2
2
x
x
y
y
x
十、命题、充要条件
第9 页（共10 页）
原命题
若p则q
否命题
若┐p则┐q
逆命题
若q则p
逆否命题
若┐q则┐p
互
为
逆
否
互
逆
否
互
为
逆
否
互
互逆
否
互
充要条件（记p 表示条件，q 表示结论）
（1）充分条件：若p
q
，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q
p
，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p
q
，且q
p
，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
56.
真值表
十一、直线与平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'
与b'
所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直
线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ ∈
；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假
真
真
真 假 假
真
假
假 真 真
真
假
假 假 真
假
假
共面直线
(0,
)
2
第10 页（共10 页）
直线、平面平行的判定及其性质
直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
直线、平面垂直的判定及其性质
直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L与平面α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α 互相垂直，记作L⊥α ，
直线L叫做平面α 的垂线，平面α 叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂
足。
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l
β
B
α
2、二面角的记法：二面角α -l-
β 或α -AB-
β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
