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教材习题答案
２６３
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
练习
１.解析 (１)是.满足集合中元素的确定性.
(２)不是. “ 游泳能手” 无明确的标准ꎬ因此
“高中学生中的游泳能手”不能组成集合.
２.答案 ∈ꎻ∉ꎻ∉ꎻ∉ꎻ∈ꎻ∈
３.解析 (１)方程ｘ
２－９＝０的根为３ꎬ－３ꎬ
∴该集合为{３ꎬ－３}.
(２)集合中的元素是点ꎬ用坐标表示ꎬ
∴该集合为{(１ꎬ４)}.
(３)集合中的元素满足４ｘ－５<３ꎬ即ｘ<２ꎬ
∴该集合为{ｘ｜ｘ<２}.
◆习题1.1
复习巩固
１.答案 (１)∈ꎻ∉ꎻ∈ꎻ∉
(２)∉ (３)∉ (４)∈ꎻ∉
２.解析 (１)大于１且小于６的整数有４个:
２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ∴集合为{２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}.
(２)(ｘ－１)(ｘ＋２)＝０的解为ｘ＝１或ｘ＝－２ꎬ
∴集合Ａ＝{１ꎬ－２}.
(３)由－３<２ｘ－１<３ꎬ得－１<ｘ<２.
∵ｘ∈Ｚꎬ∴ｘ＝０或ｘ＝１.
∴集合Ｂ＝{０ꎬ１}.
综合运用
３.解析 (１){ｘ｜ｘ＝２ｎꎬｎ∈Ｚ且１≤ｎ≤５}.
(２){１ꎬ２ꎬ３ꎬ１２ꎬ２１ꎬ１３ꎬ３１ꎬ２３ꎬ３２ꎬ１２３ꎬ１３２ꎬ
２１３ꎬ２３１ꎬ３１２ꎬ３２１}.
(３){４ꎬ５ꎬ６}.
(４){造纸术ꎬ印刷术ꎬ指南针ꎬ火药}.
４.解析 (１){ｙ｜ｙ＝ｘ
２－４ꎬｘ∈Ｒ}
＝{ｙ｜ｙ≥－４}.
(２)ｘ≠０时ꎬ函数ｙ＝２
ｘ有意义ꎬ
∴集合为{ｘ｜ｘ≠０}.
(３)由３ｘ≥４－２ｘ得ｘ≥４
５ꎬ
∴集合为ｘ
ｘ≥４
５
{
} .
拓广探索
５.解析 略.
1.2 集合间的基本关系
练习
１.解析 ⌀ꎬ{ａ}ꎬ{ｂ}ꎬ{ｃ}ꎬ{ａꎬｂ}ꎬ{ａꎬｃ}ꎬ{ｂꎬ
ｃ}ꎬ{ａꎬｂꎬｃ}.
２.答案
( １) ∈
( ２) ∈
( ３) ＝
( ４) ⫋
(５)⫋ (６)＝
３.解析 (１)Ａ⫋Ｂ.
(２)Ａ＝{ｘ｜ｘ＝３ｋꎬｋ∈Ｎ}是由自然数中３的
倍数构成的集合ꎬＢ＝{ ｘ｜ｘ＝６ｚꎬｚ∈Ｎ} 是由
自然数中６的倍数构成的集合ꎬ６的倍数一
定是３的倍数ꎬ但３的倍数不一定是６的倍
数ꎬ∴Ａ⫌Ｂ.
(３)４和１０的公倍数是２０的倍数ꎬ因而Ａ＝
{ｘ∈Ｎ＋｜ｘ是４与１０的公倍数} ＝{ｘ∈Ｎ＋｜ｘ
是２０的倍数} ＝{ｘ｜ｘ＝２０ｍꎬｍ∈Ｎ＋} ＝Ｂ.
◆习题1.2
复习巩固
１.答案 (１)∉ꎻ∉ꎻ⫋ꎻ⫋ (２)∈ꎻ⫋ꎻ⫋ꎻ＝
(３)⫋ꎻ⫌
２.解析 Ｄ⫋Ｃ⫋Ｂ⫋Ａꎬ
用Ｖｅｎｎ图表示如图.
综合运用
３.解析 (答案不唯一) (１) {ｘ｜ｘ是立德中学
高一一班的学生}.
(２){ｘ｜ｘ是等边三角形}.
(３)⌀.
(４){４}.
４.解析 集合Ｄ表示直线２ｘ－ｙ＝１与直线ｘ＋
４ｙ＝５的交点(１ꎬ１)组成的集合ꎬ而(１ꎬ１) 在
直线ｙ＝ｘ上ꎬ∴Ｄ⫋Ｃ.
拓广探索
５.解析 (１)∵Ｐ＝Ｑꎬ
∴
ａ＝－１ꎬ
１＝－ｂꎬ
{
即
ａ＝－１ꎬ
ｂ＝－１ꎬ
{
∴ａ－ｂ＝０.
(２)∵Ｂ⊆Ａꎬ
∴利用数轴分析法(如图)ꎬ可知ａ≥２.
1.3 集合的基本运算
练习
１.解析 Ａ∩Ｂ＝{３ꎬ５ꎬ６ꎬ８}∩{４ꎬ５ꎬ７ꎬ８} ＝{５ꎬ
８}ꎻＡ∪Ｂ＝{３ꎬ５ꎬ６ꎬ８} ∪{４ꎬ５ꎬ７ꎬ８} ＝{３ꎬ４ꎬ
５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}.
２.解析 Ａ＝{ｘ｜ｘ
２－４ｘ－５＝０} ＝{ｘ｜(ｘ－５)(ｘ
＋１)＝０} ＝{５ꎬ－１}ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ
２＝１} ＝{－１ꎬ１}ꎬ
∴Ａ∪Ｂ＝{５ꎬ－１} ∪{ －１ꎬ１} ＝{ －１ꎬ１ꎬ５}ꎬ
Ａ∩Ｂ＝{５ꎬ－１}∩{－１ꎬ１} ＝{－１}.
３.解析 Ａ∩Ｂ＝{ｘ｜ｘ是等腰三角形ꎬ且ｘ是直
角三角形} ＝{ｘ｜ｘ是等腰直角三角形}.
Ａ∪Ｂ＝{ｘ｜ｘ是等腰三角形ꎬ或ｘ是直角三角
形} ＝{ｘ｜ｘ是等腰三角形或直角三角形}.
４.解析 Ａ∪Ｂ＝{ｘ｜ｘ是幸福农场的汽车或货
车}.
练习
１.解析 ∁ＵＡ＝{１ꎬ３ꎬ６ꎬ７}ꎬ∁ＵＢ＝{２ꎬ４ꎬ６}ꎬ
∴Ａ∩(∁ＵＢ)＝{２ꎬ４ꎬ５}∩{２ꎬ４ꎬ６} ＝{２ꎬ４}ꎬ
(∁ＵＡ)∩( ∁ＵＢ) ＝{１ꎬ３ꎬ６ꎬ７} ∩{２ꎬ４ꎬ６} ＝
{６}.
２.解析 Ｂ∩Ｃ＝{ｘ｜ｘ是菱形ꎬ且ｘ是矩形} ＝
{ｘ｜ｘ是正方形}ꎬ
∁ＳＢ＝{ｘ｜ｘ是平行四边形或梯形ꎬ但ｘ不是
菱形} ＝{ｘ｜ｘ是邻边不相等的平行四边形或
梯形}ꎬ
∁ＳＡ＝{ｘ｜ｘ是平行四边形或梯形ꎬ但ｘ不是平
行四边形} ＝{ｘ｜ｘ是梯形}.
３.解析
(１)
(２)
◆习题1.3
复习巩固
１.解析 Ｂ＝{ｘ｜３ｘ－７≥８－２ｘ} ＝{ｘ｜ｘ≥３}ꎬ
∴Ａ∪Ｂ＝{ｘ｜２≤ｘ<４}∪{ｘ｜ｘ≥３} ＝{ｘ｜ｘ≥
２}ꎬ
Ａ∩Ｂ＝{ｘ｜２≤ｘ<４}∩{ｘ｜ｘ≥３}
＝{ｘ｜３≤ｘ<４}.
２.解析
Ａ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}ꎬＢ＝{１ꎬ２ꎬ
３}ꎬＣ＝{３ꎬ４ꎬ５ꎬ６}ꎬ
∴Ａ∩Ｂ＝{１ꎬ２ꎬ３}ꎬＡ∩Ｃ＝{３ꎬ４ꎬ５ꎬ６}ꎬ
Ｂ∪Ｃ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６}ꎬＢ∩Ｃ＝{３}ꎬ
∴Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６}ꎬ
Ａ∪(Ｂ∩Ｃ)＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}.
３.解析 “每个参加比赛的同学最多只能参加
两项比赛”表示为Ａ∩Ｂ∩Ｃ＝⌀.
(１)Ａ∪Ｂ表示参加１００ｍ或参加２００ｍ跑
的同学组成的集合.
(２) Ａ∩Ｃ表示既参加１００ｍ又参加４００ｍ
跑的同学组成的集合.
综合运用
４. 解析
因为Ａ＝{ ｘ｜３≤ｘ< ７}ꎬＢ＝
{ｘ｜２<ｘ<１０}ꎬ所以Ａ∪Ｂ＝{ｘ｜２<ｘ<１０}ꎬＡ∩Ｂ
＝{ｘ｜３≤ｘ<７}ꎬ∁ＲＡ＝{ｘ｜ｘ<３ꎬ或ｘ≥７}ꎬ∁ＲＢ＝
{ｘ｜ｘ≤２ꎬ或ｘ≥１０}ꎬ所以∁Ｒ(Ａ∪Ｂ)＝{ｘ｜ｘ≤
２ꎬ或ｘ≥１０}ꎻ∁Ｒ(Ａ∩Ｂ)＝{ｘ｜ｘ<３ꎬ或ｘ≥７}ꎻ
(∁ＲＡ)∩Ｂ＝{ｘ｜２<ｘ< ３ꎬ或７≤ｘ< １０}ꎻＡ∪
(∁ＲＢ)＝{ｘ｜ｘ≤２ꎬ或３≤ｘ<７ꎬ或ｘ≥１０}.
５.解析 当ａ＝３时ꎬＡ＝{３}ꎬＢ＝{１ꎬ４}ꎬＡ∪Ｂ
＝{１ꎬ３ꎬ４}ꎬＡ∩Ｂ＝⌀ꎻ
当ａ＝１时ꎬＡ＝{１ꎬ３}ꎬＢ＝{１ꎬ４}ꎬＡ∪Ｂ＝{１ꎬ
３ꎬ４}ꎬＡ∩Ｂ＝{１}ꎻ
当ａ＝４时ꎬＡ＝{３ꎬ４}ꎬＢ＝{１ꎬ４}ꎬＡ∪Ｂ＝{１ꎬ
３ꎬ４}ꎬＡ∩Ｂ＝{４}ꎻ
当ａ≠１ꎬ且ａ≠３ꎬ且ａ≠４时ꎬＡ∪Ｂ＝{１ꎬ３ꎬ
４ꎬａ}ꎬＡ∩Ｂ＝⌀.
拓广探索
６.解析 Ｕ＝{０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎬ１０}ꎬ∵Ａ
∩(∁ＵＢ)＝{１ꎬ３ꎬ５ꎬ７}ꎬ∴{１ꎬ３ꎬ５ꎬ７}⊆Ａꎬ而
各种高中资料一手更新，认准公众号：一枚试卷君
２６４
集合Ｂ中不包含{１ꎬ３ꎬ５ꎬ７}ꎬ
∴Ｂ＝{０ꎬ２ꎬ４ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎬ１０}.
1.4 充分条件与必要条件
１.４.１ 充分条件与必要条件
练习
１.解析
(１) 是充分条件.(２) 不是充分条件.
(３)是充分条件.
２.解析 (１)是必要条件.(２)不是必要条件.
３.解析
充分条件:(１) ∠１＝∠４ꎬ(２) ∠１＝
∠２ꎬ(３)∠１＋∠３＝１８０°.
必要条件:(１) ∠１＝∠４ꎬ(２) ∠１＝∠２ꎬ(３)
∠１＋∠３＝１８０°.
１.４.２ 充要条件
练习
１.解析
(１) ｐ是ｑ的充要条件.(２) ｐ不是ｑ
的充要条件.(３)ｐ不是ｑ的充要条件.
２.解析 “两个三角形全等”的充要条件:
(１)两个三角形三边对应相等.
(２)两个三角形的两边及夹角对应相等.
“两个三角形相似”的充要条件:
(１)两个三角形三边对应成比例.
(２)两个三角形三角对应相等.
３.证明 作ＡＥ⊥ＢＣ于ＥꎬＤＦ⊥ＢＣ于Ｆ.
∵ＡＤ∥ＢＣꎬ∴ＡＥ＝ＤＦ.
(１)充分性.由ＡＥ＝ＤＦꎬＡＣ＝ＢＤ知ꎬＲｔ△ＡＥＣ
≌Ｒｔ△ＤＦＢꎬ∴∠ＡＣＥ＝∠ＤＢＦꎬ∴△ＡＢＣ≌
△ＤＣＢꎬ∴ＡＢ＝ＤＣꎬ∴梯形ＡＢＣＤ是等腰梯形.
(２)必要性.由梯形ＡＢＣＤ为等腰梯形知ＡＢ＝
ＤＣꎬＲｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦꎬ∴∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＦꎬ
∴△ＡＢＣ≌△ＤＣＢꎬ∴ＡＣ＝ＤＢ.
综上ꎬ梯形ＡＢＣＤ为等腰梯形的充要条件为
ＡＣ＝ＢＤ.
◆习题1.4
复习巩固
１.解析 (１)ｐ:０<ｘ<１ꎬｑ:０<ｘ<２.
(２)ｐ:０<ｘ<２ꎬｑ:０<ｘ<１.
(３)ｐ:ｘ>１ꎬｑ:ｘ－１>０.
２.解析 (１) ｐ是ｑ的必要不充分条件.(２) ｐ
是ｑ的充要条件.(３)ｐ是ｑ的充分不必要条
件.(４) ｐ是ｑ的必要不充分条件.(５) ｐ是ｑ
的既不充分又不必要条件.
３.解析 (１)真.(２)假.(３)假.(４)真.
综合运用
４.解析 (１)充分条件.(２)必要条件.(３)充要
条件.
５.证明 ａ
２＋ｂ
２＋ｃ
２＝ａｂ＋ａｃ＋ｂｃ⇔ａ
２＋ｂ
２＋ｃ
２－ａｂ－
ａｃ－ｂｃ＝０⇔(ａ－ｂ)
２
２
＋(ｂ－ｃ)
２
２
＋(ｃ－ａ)
２
２
＝０⇔
ａ－ｂ＝０ꎬ
ｂ－ｃ＝０ꎬ
ｃ－ａ＝０
{
⇔ａ＝ｂ＝ｃ.
拓广探索
６.解析 (１)若△ＡＢＣ是锐角三角形ꎬ则ａ
２＋ｂ
２
>ｃ
２.
证明:必要性:当△ＡＢＣ是锐角三角形时ꎬ如
图①ꎬ过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣꎬ垂足为Ｄꎬ设ＣＤ＝
ｘꎬ则有ＢＤ＝ａ－ｘꎬ根据勾股定理ꎬ得ｂ
２－ｘ
２＝
ｃ
２－(ａ－ｘ)
２ꎬ
整理得ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２＋２ａｘꎬ
∵ａ>０ꎬｘ>０ꎬ∴２ａｘ>０ꎬ∴ａ
２＋ｂ
２>ｃ
２.
充分性:在△ＡＢＣ中ꎬａ
２＋ｂ
２>ｃ
２ꎬ∴∠Ｃ不是
直角.
假设∠Ｃ为钝角ꎬ如图②ꎬ过Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣꎬ
交ＡＣ的延长线于Ｄ.
设ＣＤ＝ｙꎬ则ＢＤ
２＝ａ
２－ｙ
２ꎬ
根据勾股定理ꎬ得ｃ
２＝(ｂ＋ｙ)
２＋( ａ
２－ｙ
２) ＝ａ
２
＋ｂ
２＋２ｂｙ>ａ
２＋ｂ
２ꎬ
与ａ
２＋ｂ
２>ｃ
２矛盾ꎬ
∴∠Ｃ为锐角ꎬ即△ＡＢＣ为锐角三角形.
∴△ＡＢＣ为锐角三角形的一个充要条件是
ａ
２＋ｂ
２>ｃ
２.
图①
图②
(２)若△ＡＢＣ是钝角三角形ꎬ∠Ｃ为钝角ꎬ则
有ａ
２＋ｂ
２<ｃ
２.
证明:必要性:当△ＡＢＣ是钝角三角形时ꎬ如
图②ꎬ
根据勾股定理ꎬ得( ｂ＋ｙ)
２＋( ａ
２－ｙ
２) ＝ｃ
２ꎬ即
ａ
２＋ｂ
２＋２ｂｙ＝ｃ
２ꎬ∵ｂ>０ꎬｙ>０ꎬ∴２ｂｙ>０ꎬ∴ａ
２＋
ｂ
２<ｃ
２.
充分性:在△ＡＢＣ中ꎬａ
２＋ｂ
２<ｃ
２ꎬ∴∠Ｃ不是
直角.
假设∠Ｃ为锐角ꎬ如图①ꎬ显然ｃ
２＝(ｂ
２－ｘ
２)＋
(ａ－ｘ)
２＝ａ
２＋ｂ
２－２ａｘ< ａ
２＋ｂ
２ꎬ与ａ
２＋ｂ
２< ｃ
２
矛盾ꎬ
∴∠Ｃ为钝角ꎬ即△ＡＢＣ为钝角三角形.
∴△ＡＢＣ为钝角三角形的一个充要条件是
ａ
２＋ｂ
２<ｃ
２.
1.5 全称量词与存在量词
１.５.１ 全称量词与存在量词
练习
１.解析 (１)真.(２)假.(３)假.
２.解析 (１)真.(２)假.(３)真.
１.５.２ 全称量词命题和存在量词
命题的否定
练习
１.解析 (１)∃ｎ∈Ｚꎬｎ∉Ｑ.
(２)存在一个奇数ꎬ它的平方不是奇数.
(３)存在一个平行四边形不是中心对称
图形.
２.解析 (１)所有三角形都不是直角三角形.
(２)所有梯形都不是等腰梯形.
(３)任意实数的绝对值都是正数.
◆习题1.5
复习巩固
１.解析 (１)真.(２)真.(３)真.(４)假.
２.解析 (１)真.(２)真.(３)真.
(４)若ｎ＝２ｋꎬｋ∈Ｚꎬ则ｎ
２＋１＝４ｋ
２＋１不是４
的倍数ꎻ
若ｎ＝２ｋ－１ꎬｋ∈Ｚꎬ则ｎ
２＋１＝４ｋ
２－４ｋ＋２不是
４的倍数ꎬ故命题为假命题.
３.解析 (１)∃ｘ∈Ｚꎬ｜ｘ｜∉Ｎ.
(２)存在一个可以被５整除的整数ꎬ末位数
字不是０.
(３)∀ｘ∈Ｒꎬｘ＋１<０.
(４)所有四边形的对角线都不互相垂直.
综合运用
４.解析 (１)假.平面直角坐标系下ꎬ有些直线
不与ｘ轴相交.
(２) 真. 有些二次函数的图象不是轴对称
图形.
(３) 假. 任意一个三角形的内角和都不小
于１８０°.
(４)真.任意一个四边形的四个顶点都在同
一个圆上.
５.解析 (１)所有的平行四边形的对角线互相
平分.
否定:有的平行四边形的对角线不互相平分.
(２)任意三个连续整数的乘积是６的倍数.
否定:存在三个连续整数的乘积不是６的
倍数.
(３)至少有一个三角形不是中心对称图形.
否定:所有的三角形都是中心对称图形.
(４)有些一元二次方程没有实数根.
否定:任意一个一元二次方程都有实数根.
拓广探索
６.解析 (１)不对.
①的否定:∃ｘ>１ꎬ２ｘ＋１≤５.(真命题)
②的否定:至少有一个等腰梯形的对角线不
相等.(假命题)
(２)略.
复习参考题1
复习巩固
１.解析 (１)Ａ＝{－３ꎬ３}.(２)Ｂ＝{１ꎬ２}.
(３)Ｃ＝{１ꎬ２}.
２.解析 (１){Ｐ｜ＰＡ＝ＰＢ} 表示到两定点距离
相等的点组成的集合ꎬ即ＡＢ的垂直平分线.
(２){Ｐ｜ＰＯ＝３ｃｍ} 表示到定点Ｏ的距离等
于３ｃｍ的点组成的集合ꎬ即以Ｏ点为圆心ꎬ
３ｃｍ为半径的圆.
３.解析 △ＡＢＣ的外心.
４.答案 (１)充要条件
(２)充分不必要条件
(３)必要不充分条件
(４)既不充分也不必要条件
５.答案 (１)假 (２)假 (３)假 (４)真
教材习题答案
２６５
６.解析 (１)∀ｘ∈Ｒꎬｘ
２≥０.是真命题.
(２)∀ａ∈Ｒꎬ二次函数ｙ＝ｘ
２＋ａ的图象关于ｙ
轴对称.是真命题.
(３)∃ｘꎬｙ∈Ｚꎬ２ｘ＋４ｙ＝３.是假命题.
(４)∃ｘ∈{无理数}ꎬｘ
３∈Ｑ.是真命题.
７.解析 (１)∃ａ∈Ｒꎬ一元二次方程ｘ
２－ａｘ－１
＝０没有实数根.是假命题.
(２)至少有一个正方形不是平行四边形.是
假命题.
(３)∀ｍ∈Ｎꎬ
ｍ
２＋１∉Ｎ.是假命题.
(４)任意一个四边形ＡＢＣＤ的内角和都等于
３６０°.是真命题.
综合运用
８.解析 Ａ∩Ｂ＝
(ｘꎬｙ)
２ｘ－ｙ＝０
３ｘ＋ｙ＝０
{
}
{
＝{(０ꎬ０)}ꎬ
Ａ∩Ｃ＝
(ｘꎬｙ)
２ｘ－ｙ＝０
２ｘ－ｙ＝３
{
} ＝⌀.
{
Ａ∩Ｂ＝{(０ꎬ０)} 的几何意义:直线２ｘ－ｙ＝０
与直线３ｘ＋ｙ＝０交于坐标原点.
Ａ∩Ｃ＝⌀的几何意义:直线２ｘ－ｙ＝０与直线
２ｘ－ｙ＝３平行.
９.解析 ∵Ａ∪Ｂ＝Ａꎬ∴Ｂ⊆Ａꎬ∴ａ＋２∈Ａ.
当ａ＋２＝３ꎬ即ａ＝１时ꎬａ
２＝１ꎬ不满足集合中
元素的互异性ꎬ不符合题意ꎻ
当ａ＋２＝ａ
２时ꎬａ＝－１(舍去)或ａ＝２.
此时Ａ＝{１ꎬ３ꎬ４}ꎬＢ＝{１ꎬ４}ꎬ符合题意.
∴存在实数ａ＝２ꎬ使得Ａ∪Ｂ＝Ａ.
１０.解析 (１)任意一个直角三角形的两直角
边的平方和等于斜边的平方.
(２)任意一个三角形的内角和都等于１８０°.
拓广探索
１１.解析 设只参加田径一项比赛的有ｘ人.根
据题意作出如图所示的Ｖｅｎｎ图.
由Ｖｅｎｎ图知只参加游泳一项比赛的有９人ꎬ
又由题意知９＋３＋３＋ｘ＋５－ｘ＋６＋ｘ＝２８ꎬ解得
ｘ＝２.
故同时参加田径和球类比赛的有３人.
１２.解析 (１)∀ｎ∈Ｎ＋ꎬ１＋３＋５＋＋(２ｎ－１)
＝ｎ
２.
(２)任意一个三角形三边上的高交于一点.
第二章 一元二次函数、
方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
练习
１.解析 (１)０<ｈ≤４.
(２)ａ＋ｂ≥０.
(３)
(Ｌ＋１０)(Ｗ＋１０)<３５０ꎬ
Ｌ>４Ｗ.
{
２.解析 ∵(ｘ＋３)(ｘ＋７)－(ｘ＋４)(ｘ＋６)
＝ｘ
２＋１０ｘ＋２１－ｘ
２－１０ｘ－２４
＝－３<０ꎬ
∴(ｘ＋３)(ｘ＋７)<(ｘ＋４)(ｘ＋６).
３.证明 ∵ａ>ｂꎬ∴ａ－ａ＋ｂ
２＝ａ－ｂ
２>０ꎬ
∴ａ>ａ＋ｂ
２ꎬ
又ａ＋ｂ
２－ｂ＝ａ－ｂ
２>０ꎬ∴ａ＋ｂ
２>ｂꎬ
∴ａ>ａ＋ｂ
２>ｂ.
练习
１.证明 性质１:ａ>ｂ⇔ａ－ｂ>０⇔ｂ－ａ<０⇔ｂ<ａ.
性质３:(ａ＋ｃ)－(ｂ＋ｃ)＝ａ－ｂꎬ∵ａ>ｂꎬ∴ａ－ｂ>
０ꎬ∴ａ＋ｃ>ｂ＋ｃ.
性质４:ａｃ－ｂｃ＝(ａ－ｂ)ｃꎬ∵ａ>ｂꎬ∴ａ－ｂ>０ꎬ
当ｃ>０时ꎬ(ａ－ｂ)ｃ>０ꎬ
∴ａｃ－ｂｃ>０ꎬ即ａｃ>ｂｃ.
当ｃ<０时ꎬ(ａ－ｂ)ｃ<０ꎬ∴ａｃ－ｂｃ<０ꎬ即ａｃ<ｂｃ.
性质６:
ａ>ｂ>０ꎬｃ>０⇒ａｃ>ｂｃ
ｃ>ｄ>０ꎬｂ>０⇒ｂｃ>ｂｄ} ⇒ａｃ>ｂｄ.
２.答案 (１)> (２)< (３)< (４)<
◆习题2.1
复习巩固
１.解析 略.
２.解析 经ｎ年后ꎬ方案Ｂ的投入不少于方案
Ａ的投入ꎬ
所以１００＋１０(ｎ－１)≥５００ꎬ即ｎ≥４１.
３.解析 (１)因为２ｘ
２＋５ｘ＋９－(ｘ
２＋５ｘ＋６)＝ｘ
２＋
３>０ꎬ所以２ｘ
２＋５ｘ＋９>ｘ
２＋５ｘ＋６.
(２)因为(ｘ－３)
２－(ｘ－２)(ｘ－４)＝(ｘ
２－６ｘ＋９)
－(ｘ
２－６ｘ＋８)＝１>０ꎬ
所以(ｘ－３)
２>(ｘ－２)(ｘ－４).
(３)因为ｘ
２－(ｘ
２－ｘ＋１)＝ｘ－１ꎬｘ>１ꎬ
所以ｘ－１>０ꎬ所以ｘ
２>ｘ
２－ｘ＋１.
(４)因为ｘ
２＋ｙ
２＋１－２(ｘ＋ｙ－１)
＝ｘ
２＋ｙ
２＋１－２ｘ－２ｙ＋２
＝(ｘ－１)
２＋(ｙ－１)
２＋１>０ꎬ
所以ｘ
２＋ｙ
２＋１>２(ｘ＋ｙ－１).
４.解析 由题意得ｂ＝ａ＋２ꎬ５０<１０ａ＋ｂ<６０ꎬａ∈
Ｎ
∗ꎬｂ∈Ｎꎬ∴ａ＝５ꎬｂ＝７ꎬ即这个两位数是５７.
５.解析 ∵２<ａ<３ꎬ∴４<２ａ<６ꎬ
又∵－２<ｂ<－１ꎬ∴２<２ａ＋ｂ<５.
６.证明
ｃ<ｂ⇒ｃ－ｂ<０
ｂ<ａ⇒ｂ－ａ<０} ⇒(ｃ－ｂ)＋(ｂ－ａ)<０ꎬ
即ｃ－ａ<０ꎬ∴ｃ<ａ.
综合运用
７.证明 ∵ｃ<ｄ<０ꎬ∴－ｃ>－ｄ>０ꎬ
又∵ａ>ｂ>０ꎬ∴ａ－ｃ>ｂ－ｄ>０ꎬ
∴０< １
ａ－ｃ< １
ｂ－ｄꎬ又ｅ<０ꎬ
∴
ｅ
ａ－ｃ> ｅ
ｂ－ｄ.
８.Ｂ 对于Ａꎬｃ
２＝０时不成立ꎻ对于Ｂꎬ∵ａ>ｂ>
０ꎬ∴ａ
２－ｂ
２＝(ａ＋ｂ) (ａ－ｂ) >０ꎬ∴ａ
２>ｂ
２ꎬ∴Ｂ
成立ꎻ对于Ｃꎬａ<ｂ< ０⇒ａ
２>ａｂ>ｂ
２ꎬ∴Ｃ不成
立ꎻ对于Ｄꎬ∵ａ<ｂ<０ꎬ∴１
ａ> １
ｂꎬ∴Ｄ不成立.
９.证明
设周长为ｌꎬ则圆的半径为ｌ
２πꎬ正方
形的边长为ｌ
４ꎬ
∴Ｓ圆＝π
ｌ
２π
(
)
２
＝ｌ
２
４πꎬ
Ｓ正方形＝
ｌ
４
(
)
２
＝ｌ
２
１６.
∵ｌ
２
４π> ｌ
２
１６ꎬ∴圆的面积更大.
原因:自来水管的横截面是圆形的ꎬ可以最
大面积地使水通过ꎬ减少阻力.
１０.解析 ａ＋ｍ
ｂ＋ｍ> ａ
ｂ.
证明:ａ＋ｍ
ｂ＋ｍ－ａ
ｂ＝(ｂ－ａ)ｍ
ｂ(ｂ＋ｍ) ꎬ
∵ｂ>ａ>０ꎬｍ>０ꎬ∴ｂ－ａ>０ꎬｂ＋ｍ>０ꎬ
∴(ｂ－ａ)ｍ
ｂ(ｂ＋ｍ) >０.
∴ａ＋ｍ
ｂ＋ｍ> ａ
ｂ.
拓广探索
１１.证明 证法一:假设ａ≤ｂ.
由性质７知( ａ)
２≤( ｂ)
２ꎬ
即ａ≤ｂꎬ这与已知ａ>ｂ矛盾ꎬ
故假设不正确ꎬ从而ａ> ｂ.
证法二:因为ａ>ｂ>０ꎬ所以ａ－ｂ＝ａ－ｂ
ａ＋ｂ
>
０ꎬ故ａ> ｂ.
１２. 解析
设安排Ａ型货厢ｘ节ꎬＢ型货厢
ｙ节.
由题意可得
３５ｘ＋２５ｙ≥１５３０ꎬ
１５ｘ＋３５ｙ≥１１５０ꎬ
ｘ＋ｙ＝５０ꎬ
ｘꎬｙ∈Ｎ
∗ꎬ
ì
î
í
ïï
ïï
解得２８≤ｘ≤３０ꎬ
所以
ｘ＝２８ꎬ
ｙ＝２２
{
或
ｘ＝２９ꎬ
ｙ＝２１
{
或
ｘ＝３０ꎬ
ｙ＝２０.
{
所以共有三种方案ꎬ方案一:安排Ａ型货厢
２８节ꎬＢ型货厢２２节ꎻ方案二:安排Ａ型货
厢２９节ꎬＢ型货厢２１节ꎻ方案三:安排Ａ型
货厢３０节ꎬＢ型货厢２０节.
当
ｘ＝２８ꎬ
ｙ＝２２
{
时ꎬ总运费为０.５×２８＋０.８×２２＝
３１.６(万元)ꎻ
当
ｘ＝２９ꎬ
ｙ＝２１
{
时ꎬ总运费为０.５×２９＋０.８×２１＝
３１.３(万元)ꎻ
当
ｘ＝３０ꎬ
ｙ＝２０
{
时ꎬ总运费为０.５×３０＋０.８×２０＝
３１(万元).
因为３１.６>３１.３>３１ꎬ所以方案三运费最少.
２６６
2.2 基本不等式
练习
１.证明
∵
ａ＋ｂ
２
(
)
２
－ａｂ＝ａ
２＋ｂ
２－２ａｂ
４
＝(ａ－ｂ)
２
４
≥０ꎬ∴ａｂ≤ａ＋ｂ
２
(
)
２
.
２.证明 (１)∵ｘꎬｙ都是正数ꎬ且ｘ≠ｙꎬ∴
ｘ
ｙ＋
ｙ
ｘ>２
ｘ
ｙｙ
ｘ＝２ꎬ即ｘ
ｙ＋ｙ
ｘ>２.
(２)∵ｘꎬｙ都是正数ꎬ且ｘ≠ｙꎬ∴ｘ＋ｙ>２
ｘｙ>
０ꎬ∴
１
ｘ＋ｙ<
１
２
ｘｙ
ꎬ∴２ｘｙ
ｘ＋ｙ< ２ｘｙ
２
ｘｙ
＝
ｘｙꎬ即２ｘｙ
ｘ＋ｙ
<
ｘｙ.
３.解析 ｘ
２＋１
ｘ
２≥２
ｘ
２１
ｘ
２＝２ꎬ当且仅当ｘ
＝±１时ꎬ等号成立ꎬ故ｘ＝±１时ꎬｘ
２＋１
ｘ
２取得
最小值ꎬ最小值是２.
４.解析 ∵－１≤ｘ≤１ꎬ∴１＋ｘ≥０ꎬ１－ｘ≥０ꎬ∴１－
ｘ
２＝(１＋ｘ)(１－ｘ)≤
(１＋ｘ)＋(１－ｘ)
２
[
]
２
＝１ꎬ
当且仅当１－ｘ＝１＋ｘꎬ即ｘ＝０时ꎬ等号成立ꎬ
∴当ｘ＝０时ꎬ１－ｘ
２取最大值１.
５.解析
设两条直角边的长分别为ａｃｍ、
ｂｃｍꎬａ>０且ｂ>０.
因为直角三角形的面积等于５０ꎬ
所以１
２ａｂ＝５０ꎬ即ａｂ＝１００.
所以ａ＋ｂ≥２
ａｂ＝２
１００＝２０ꎬ
当且仅当ａ＝ｂ＝１０时等号成立.
所以当两条直角边的长均为１０ｃｍ时ꎬ两条
直角边的和最小ꎬ最小值是２０ｃｍ.
练习
１.解析 设矩形的长、宽分别为ａｃｍ、ｂｃｍꎬａ>
０ꎬｂ>０ꎬ
因为周长等于２０ｃｍꎬ所以ａ＋ｂ＝１０.
所以Ｓ＝ａｂ≤(
ａ＋ｂ
２)
２
＝(
１０
２)
２
＝２５ꎬ
当且仅当ａ＝ｂ＝５时等号成立.
所以折成长与宽均为５ｃｍ的矩形ꎬ面积最大.
２.解析 设矩形的长为ｘｍꎬ宽为ｙｍꎬ菜园的
面积为Ｓｍ
２ꎬ则ｘ＋２ｙ＝３０(０<ｘ≤１８)ꎬ
由基本不等式的性质ꎬ可得
Ｓ＝１
２ｘ２ｙ≤１
２(
ｘ＋２ｙ
２)
２
＝１
２×９００
４＝２２５
２ꎬ
当且仅当ｘ＝２ｙꎬ即ｘ＝１５ꎬｙ＝１５
２时ꎬ等号成立ꎬ
此时菜园的面积最大ꎬ最大面积是２２５
２ｍ
２.
３.解析 设底面的长、宽分别为ａｍ、ｂｍꎬａ>
０ꎬｂ>０.
因为体积等于３２ｍ
３ꎬ高为２ｍꎬ所以底面积
为１６ｍ
２ꎬ即ａｂ＝１６.
所以用纸面积为２ａｂ＋４ｂ＋４ａ＝３２＋４(ａ＋ｂ)≥
３２＋４×２
ａｂ＝３２＋３２＝６４ꎬ
当且仅当ａ＝ｂ＝４时等号成立.
所以当底面的边长为４ｍ时ꎬ用纸最少.
４.解析 设矩形的长和宽分别为ｘｃｍ和ｙｃｍꎬ圆
柱的侧面积为ｚｃｍ
２ꎬ因为２(ｘ＋ｙ)＝３６ꎬ即ｘ＋
ｙ＝１８ꎬ
所以ｚ＝２πｘｙ≤２π (
ｘ＋ｙ
２)
２
＝１６２πꎬ
当且仅当ｘ＝ｙ＝９时ꎬ等号成立ꎬ即长、宽均
为９ｃｍ时ꎬ圆柱的侧面积最大.
◆习题2.2
复习巩固
１.解析 (１)∵ｘ>１ꎬ∴ｘ－１>０ꎬ
∴ｘ＋
１
ｘ－１＝( ｘ－１) ＋
１
ｘ－１＋１≥２
(ｘ－１)１
ｘ－１＋１＝３ꎬ
当且仅当ｘ－１＝１
ｘ－１ꎬ即ｘ＝２(ｘ＝０舍去)时ꎬ
等号成立ꎬ此时ｘ＋１
ｘ－１取最小值３.
(２)∵ｘ(１０－ｘ)≤
ｘ＋(１０－ｘ)
２
[
]
２
＝２５ꎬ
当且仅当ｘ＝１０－ｘꎬ即ｘ＝５时ꎬ等号成立ꎬ
∴ｘ(１０－ｘ)的最大值为２５ꎬ
∴
ｘ(１０－ｘ) 的最大值为５.
２.解析 (１)设两个正数分别为ａ、ｂꎬ且ａｂ＝３６ꎬ
则ａ＋ｂ≥２
ａｂ＝２
３６＝１２ꎬ
当且仅当ａ＝ｂ＝６时等号成立.
所以当这两个正数均为６时ꎬ它们的和最小.
(２)设两个正数分别为ａ、ｂꎬ且ａ＋ｂ＝１８ꎬ
则ａｂ≤(
ａ＋ｂ
２)
２
＝(
１８
２)
２
＝８１ꎬ
当且仅当ａ＝ｂ＝９时等号成立.
所以当这两个正数均为９时ꎬ它们的积最大.
３.解析 设房屋垂直于墙的边长为ｘｍꎬ平行于
墙的边长为ｙｍꎬ总造价为ｚ元ꎬ
则ｘｙ＝４８ꎬ即ｙ＝４８
ｘꎬ
ｚ＝３ｙ×１２００＋６ｘ×８００＋５８００
＝４８×３６００
ｘ
＋４８００ｘ＋５８００
≥２
３６００×４８×４８００＋５８００
＝６３４００.
当且仅当４８×３６００
ｘ
＝４８００ｘꎬ即ｘ＝６时ꎬ等号成
立ꎬ此时ｙ＝８ꎬ最小值为６３４００ꎬ则当房屋垂直
于墙的边长为６ｍꎬ平行于墙的边长为８ｍ时ꎬ
房屋总造价最低ꎬ最低总造价为６３４００元.
综合运用
４.证明 ∵ｘ>０ꎬｙ>０ꎬｚ>０ꎬ∴ｘ＋ｙ≥２
ｘｙꎬ
ｙ＋ｚ≥２
ｙｚꎬｚ＋ｘ≥２
ｚｘꎬ
∴(ｘ＋ｙ)(ｙ＋ｚ)(ｚ＋ｘ)≥８ｘｙｚꎬ
当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ时等号成立.
５.证明
∵ｘ> ０ꎬ∴３ｘ＋４
ｘ≥２
３ｘ４
ｘ
＝
４３ꎬ当且仅当３ｘ＝
４
ｘꎬ即ｘ＝２３
３
ｘ＝－２３
３舍去
(
) 时ꎬ等号成立ꎬ
∴－３ｘ－４
ｘ≤－４３ꎬ∴２－３ｘ－４
ｘ≤２－４３ꎬ即
２－３ｘ－４
ｘ的最大值是２－４３.
６.解析 仓库应建在距离车站ｘ千米处.
由题意设ｙ１＝
ｋ１
ｘꎬ当ｘ＝１０时ꎬｙ１＝
ｋ１
１０＝２ꎬ
∴ｋ１＝２０ꎬ∴ｙ１＝２０
ｘ.
设ｙ２＝ｋ２ｘꎬ当ｘ＝１０时ꎬｙ２＝１０ｋ２＝８ꎬ
∴ｋ２＝４
５ꎬ∴ｙ２＝４
５ｘ.
两项费用之和ｙ＝ｙ１＋ｙ２＝２０
ｘ＋４
５ｘ≥
２
２０
ｘ４
５ｘ＝８ꎬ
当且仅当２０
ｘ＝４
５ｘꎬ即ｘ＝５(ｘ＝－５舍去)时ꎬ
等号成立ꎬ∴仓库应建在距离车站５ｋｍ处ꎬ才
能使两项费用之和最小ꎬ最小费用为８万元.
拓广探索
７.解析 设天平的左臂长为ａꎬ右臂长为ｂꎬ不
妨设ａ>ｂꎬ第一次称得的黄金为ｘｇꎬ第二次
为ｙｇꎬ则５ａ＝ｂｘꎬｙａ＝５ｂꎬ
∴ｘ＋ｙ＝５ａ
ｂ＋５ｂ
ａ>５×２
ａ
ｂｂ
ａ＝１０ꎬ
∴顾客实际所得黄金大于１０ｇ.
８.解析 如图ꎬＡＢ＝ｘｃｍꎬ则ＢＣ＝(１２－ｘ)ｃｍ(６
<ｘ<１２)ꎬＡＰ＝ｘ－ＤＰꎬ
∵ＤＰ
２＋(１２－ｘ)
２＝(ｘ－ＤＰ)
２ꎬ
∴ＤＰ＝１２－７２
ｘꎬ
∴Ｓ△ＡＤＰ＝１
２ＡＤＤＰ＝１
２( １２－ｘ)
１２－７２
ｘ
(
) ＝１０８－６ｘ＋４３２
ｘ
(
) (６<ｘ<１２).
∵ｘ>６ꎬ∴６ｘ＋４３２
ｘ≥２
６ｘ４３２
ｘ
＝７２２ꎬ
∴Ｓ△ＡＤＰ＝１０８－６ｘ＋４３２
ｘ
(
) ≤１０８－７２２ꎬ
当且仅当６ｘ＝４３２
ｘꎬ即ｘ＝６２( ｘ＝－６２舍
去)时ꎬ等号成立ꎬ即△ＡＤＰ面积的最大值为
(１０８－７２２)ｃｍ
２ꎬ此时ｘ＝６２.
2.3 二次函数与
一元二次方程、不等式
练习
１.解析 (１){ｘ｜ｘ<－２ꎬ或ｘ>３}.
教材习题答案
２６７
(２) ｘ
－１≤ｘ≤１０
３
{
} .
(３){ｘ｜ｘ≠２}.
(４)⌀.
(５) ｘ
ｘ≤－１ꎬ或ｘ≥３
２
{
} .
(６)Ｒ.
２.解析 (１) 使ｙ＝３ｘ
２－６ｘ＋２的值等于０的ｘ
的取值集合是{ １－３
３ꎬ１＋３
３} ꎻ
使ｙ＝３ｘ
２－６ｘ＋２的值大于０的ｘ的取值集合
是{ ｘ
ｘ<１－３
３ꎬ或ｘ>１＋３
３} ꎻ
使ｙ＝３ｘ
２－６ｘ＋２的值小于０的ｘ的取值集合
是{ ｘ
１－３
３<ｘ<１＋３
３} .
(２)使ｙ＝２５－ｘ
２的值等于０的ｘ的取值集合
是{－５ꎬ５}ꎻ
使ｙ＝２５－ｘ
２的值大于０的ｘ的取值集合是
{ｘ｜－５<ｘ<５}ꎻ
使ｙ＝２５－ｘ
２的值小于０的ｘ的取值集合是
{ｘ｜ｘ<－５ꎬ或ｘ>５}.
(３)因为对于方程ｘ
２＋６ｘ＋１０＝０ꎬΔ ＝３６－４０<
０ꎬ所以使ｙ＝ｘ
２＋６ｘ＋１０的值等于０的ｘ的取
值集合为⌀ꎻ使ｙ＝ｘ
２＋６ｘ＋１０的值小于０的
ｘ的取值集合为⌀ꎻ使ｙ＝ｘ
２＋６ｘ＋１０的值大
于０的ｘ的取值集合为Ｒ.
(４)使ｙ＝－３ｘ
２＋１２ｘ－１２的值等于０的ｘ的
取值集合为{２}ꎻ
使ｙ＝－３ｘ
２＋１２ｘ－１２的值小于０的ｘ的取值
集合为{ｘ｜ｘ≠２}ꎻ
使ｙ＝－３ｘ
２＋１２ｘ－１２的值大于０的ｘ的取值
集合为⌀.
练习
１.解析 令ｘ
２＋ｘ－１２≥０ꎬ解得ｘ≤－４或ｘ≥３ꎬ
即当ｘ≤－４或ｘ≥３时ꎬ
ｘ
２＋ｘ－１２有意义.
２.解析 设花卉带的宽度为ｘｍꎬ则草坪面积
为(８－２ｘ)(６－２ｘ)ꎬ
由题意得(８－２ｘ) (６－２ｘ) ≤２４ꎬ即ｘ
２－７ｘ＋６
≤０ꎬ解得１≤ｘ≤６ꎬ
又∵
ｘ>０ꎬ
８－２ｘ>０ꎬ
６－２ｘ>０ꎬ
{
∴０<ｘ<３ꎬ故１≤ｘ<３.
∴花卉带的宽度应在１ｍ到３ｍ之间(包括
１ｍꎬ不包括３ｍ).
３.解析 设每个削笔器的售价为ｘ元ꎬ
由题意得
ｘ≥１５ꎬ
ｘ[３０－２(ｘ－１５)]>４００ꎬ
{
解得１５≤ｘ<２０ꎬ
所以售价应大于或等于１５元ꎬ且小于２０元.
◆习题2.3
复习巩固
１.解析 (１) ｘ
－
１３
２
<ｘ<
１３
２
{
} .
(２){ｘ｜３<ｘ<７}.
(３){ｘ｜ｘ<－２或ｘ>５}.
(４)⌀.
２.解析 (１)令ｘ
２－４ｘ＋９＝０ꎬ
因为Δ ＝－２０<０ꎬ所以方程ｘ
２－４ｘ＋９＝０无实
数根ꎬ
所以不等式ｘ
２－４ｘ＋９≥０的解集是Ｒ.
所以当ｘ∈Ｒ时ꎬ
ｘ
２－４ｘ＋９有意义.
(２)由题意得－２ｘ
２＋１２ｘ－１８≥０ꎬ即( ｘ－３)
２
≤０ꎬ
所以当ｘ＝３时ꎬ
－２ｘ
２＋１２ｘ－１８有意义.
综合运用
３.
解
析
由
题
意
得ꎬ
Ｍ
＝
ｘ
ｘ<－３
２或ｘ> ５
２
{
} ꎬＮ＝{ｘ｜ｘ<－１或ｘ
>６}ꎬ
∴Ｍ∩Ｎ＝
ｘ
ｘ<－３
２或ｘ>６
{
} ꎬ
Ｍ∪Ｎ＝
ｘ
ｘ<－１或ｘ> ５
２
{
} .
４.解析 ｈ＝ｖ０ｔ－１
２×１０ｔ
２＝１２ｔ－５ｔ
２ꎬ由ｈ>２得
１２ｔ－５ｔ
２>２ꎬ
即５ｔ
２－１２ｔ＋２<０ꎬ解得６－
２６
５
<ｔ<６＋
２６
５
ꎬ即
６＋
２６
５
－６－
２６
５
≈２. ０４( ｓ)ꎬ最多停留
２.０４ｓ.
５.解析 ∵Ａ＝{ｘ｜ｘ
２－１６<０} ＝{ｘ｜－４<ｘ<４}ꎬ
Ｂ＝{ｘ｜ｘ
２－４ｘ＋３>０} ＝{ｘ｜ｘ<１或ｘ>３}ꎬ
∴Ａ∪Ｂ＝{ｘ｜－４<ｘ< ４} ∪{ ｘ｜ｘ< １或ｘ> ３}
＝Ｒ.
拓广探索
６.解析
设风暴中心坐标为( ａꎬｂ)ꎬ则ａ＝
３００２ꎬ
所以
(３００２)
２＋ｂ
２<４５０ꎬ即－１５０<ｂ<１５０.
而３００２－１５０
２０
＝１５
２(２２－１)≈１３.７ꎬ
３００
２０＝１５.０ꎬ
所以大约经过１３.７小时后码头将受到热带
风暴的影响ꎬ影响时间为１５.０小时.
复习参考题2
复习巩固
１.解析 Ａ型号帐篷有ｘ顶ꎬ则Ｂ型号帐篷有
(ｘ＋５)顶ꎬ
则
ｘ>０ꎬｘ∈Ｎ
∗ꎬ
ｘ＋５>０ꎬ
４ｘ<４８ꎬ
０<５ｘ－４８<５ꎬ
３(ｘ＋５)<４８ꎬ
４(ｘ＋５)>４８.
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
ïï
２.答案 (１)< (２)> (３)>
解析 (１) １
ａ－１
ｂ＝ｂ－ａ
ａｂ>０.
∵ａ>ｂꎬ∴ｂ－ａ<０ꎬ∴ａｂ<０.
(２)解法一: ａ
ｃ－ａ－ｂ
ｃ－ｂ＝ａｃ－ａｂ－ｂｃ＋ａｂ
(ｃ－ａ)(ｃ－ｂ)
＝
(ａ－ｂ)ｃ
(ｃ－ａ)(ｃ－ｂ)ꎬ
∵ｃ>ａ>ｂ>０ꎬ∴ｃ－ａ>０ꎬｃ－ｂ>０ꎬａ－ｂ>０ꎬ
∴
(ａ－ｂ)ｃ
(ｃ－ａ)(ｃ－ｂ) >０ꎬ∴
ａ
ｃ－ａ> ｂ
ｃ－ｂ.
解法二:∵ｃ>ａ>ｂ>０ꎬ
∴ｃ－ｂ>ｃ－ａ>０ꎬ
∴
１
ｃ－ａ> １
ｃ－ｂ>０
ａ>ｂ>０
} ⇒ａ
ｃ－ａ> ｂ
ｃ－ｂ.
(３) ａ
ｂ－ａ＋ｃ
ｂ＋ｃ＝ａｂ＋ａｃ－ａｂ－ｂｃ
ｂ(ｂ＋ｃ)
＝(ａ－ｂ)ｃ
ｂ(ｂ＋ｃ) ꎬ
∵ａ>ｂ>ｃ>０ꎬ∴ａ－ｂ>０ꎬｂ＋ｃ>０ꎬ
∴(ａ－ｂ)ｃ
ｂ(ｂ＋ｃ) >０ꎬ∴ａ
ｂ>ａ＋ｃ
ｂ＋ｃ.
３.解析 (１)设弧长为ｌꎬ半径为Ｒꎬ则１
２ｌＲ＝
Ｓꎬ周长ｙ＝２Ｒ＋ｌ≥２
２Ｒｌ＝２
４Ｓ＝４Ｓꎬ当
且仅当２Ｒ＝ｌꎬ即Ｒ＝Ｓ时ꎬ等号成立ꎬ此时周
长最小ꎬ为４Ｓ.
(２)设弧长为ｌꎬ半径为Ｒꎬ则２Ｒ＋ｌ＝Ｐꎬ面积Ｓ
＝１
２ｌＲ≤Ｒ＋１
２ｌ
２
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
２
＝Ｐ
２
１６ꎬ
当且仅当Ｒ＝１
２ｌꎬ即Ｒ＝Ｐ
４时ꎬ等号成立ꎬ此
时面积最大ꎬ为Ｐ
２
１６.
４.解析 (１) ｘ
－２≤ｘ≤７
４
{
} .
(２){ｘ｜５≤ｘ≤９}.
(３)Ｒ.
(４) ｘ
ｘ<－１
２或ｘ>１
{
} .
综合运用
５.解析 ∵ａꎬｂ>０ꎬ∴ａｂ－３＝ａ＋ｂ≥２
ａｂꎬ
∴ａｂ－２
ａｂ－３≥０ꎬ
∴
ａｂ≤－１(舍去)或
ａｂ≥３ꎬ
∴ａｂ≥９ꎬ当且仅当ａ＝ｂ＝３时等号成立ꎬ
∴ａｂ的取值范围是ａｂ≥９.
６.解析 由题意可得ｋ≠０ꎬ
∵２ｋｘ
２＋ｋｘ－３
８<０对一切实数ｘ都成立ꎬ
∴ｋ<０ꎬ且对于方程２ｋｘ
２＋ｋｘ－３
８＝０ꎬ
Δ ＝ｋ
２－４２ｋ－３
８
(
) <０ꎬ
解得－３<ｋ<０.
综上所述ꎬｋ的取值范围是－３<ｋ<０.
７.解析 (１)设窗户面积为ｘｍ
２ꎬ则地板面积
为(２２０－ｘ)ｍ
２.
由题意可得
ｘ<２２０－ｘꎬ
ｘ
２２０－ｘ≥１０％ꎬ
ｘ>０ꎬ
２２０－ｘ>０ꎬ
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
２６８
解得２０≤ｘ<１１０ꎬ
故窗户面积至少为２０ｍ
２.
(２)公寓的采光效果变好了.
设公寓原来的窗户面积和地板面积分别为
ｘꎬｙ(ｘ>０ꎬｙ>０ꎬｘ<ｙ)ꎬ增加的面积为ｍｍ
２(ｍ
>０)ꎬ
由题意可得ｘ＋ｍ
ｙ＋ｍ－ｘ
ｙ＝ｍ(ｙ－ｘ)
(ｙ＋ｍ)ｙ>０ꎬ
即增加ｍｍ
２之后ꎬ比值变大了ꎬ故采光效果
变好了.
８.解析
相等关系
不等关系
相等关系的命题
不等关系的命题
判断正误
(１) 若ｘ＝ｙꎬ则
ｘ３＝ｙ３
(１)若ｘ>ｙꎬ则ｘ３
>ｙ３
正确
(２) 若ｘ＝ｙꎬ则
｜ｘ｜＝｜ｙ｜
(２) 若ｘ> ｙꎬ则
｜ｘ｜> ｜ｙ｜
错误
(３) 若ｘ＝ｙꎬ则
ｘ２＝ｙ２
(３)若ｘ>ｙꎬ则ｘ２
>ｙ２
错误
(４) 若ｘ＝ｙ≠０ꎬ
则１
ｘ＝１
ｙ
(４) 若ｘ> ｙ> ０ꎬ
则１
ｘ> １
ｙ
错误
理由略.
拓广探索
９.解析 设ＡＭ＝ｙｍꎬ
则ｘ
２＋４ｘｙ＝２００ꎬ
从而ｙ＝２００－ｘ
２
４ｘ
ꎬ
于是Ｓ＝４２００ｘ
２＋２１０×４ｘｙ＋８０×２ｙ
２
＝４２００ｘ
２＋２１０× ４ｘ２００－ｘ
２
４ｘ
＋８０×
２２００－ｘ
２
４ｘ
(
)
２
＝３８０００＋４０００ｘ
２＋４０００００
ｘ
２
≥３８０００＋２
４０００ｘ
２４０００００
ｘ
２
＝１１８０００ꎬ
当且仅当４０００ｘ
２＝４０００００
ｘ
２
ꎬ
即ｘ＝
１０(ｘ＝－
１０舍去)时等号成立ꎬ
由上可知ꎬ当ＡＤ为
１０ｍ时ꎬ休闲场所总
造价Ｓ取最小值ꎬ为１１８０００元.
１０.解析 按第一种策略购物ꎬ设第一次购物
时价格为Ｐ１元ꎬ购ｎｋｇꎬ第二次购物时价
格为Ｐ２元ꎬ仍购ｎｋｇ(Ｐ１>０ꎬＰ２>０ꎬｎ>０)ꎬ
两次购物的平均价格为
Ｐ１ｎ＋Ｐ２ｎ
２ｎ
＝
Ｐ１＋Ｐ２
２
ꎻ
若按第二种策略购物ꎬ第一次花ｍ元ꎬ能购
ｍ
Ｐ１
ｋｇ物品ꎬ第二次仍花ｍ元ꎬ能购ｍ
Ｐ２
ｋｇ
物品ꎬ两次购物的平均价格为
２ｍ
ｍ
Ｐ１
＋ｍ
Ｐ２
＝
２Ｐ１Ｐ２
Ｐ１＋Ｐ２
ꎬ
比较两次购物的平均价格.
解法一:
Ｐ１＋Ｐ２
２
－
２Ｐ１Ｐ２
Ｐ１＋Ｐ２
＝
(Ｐ１＋Ｐ２)
２－４Ｐ１Ｐ２
２(Ｐ１＋Ｐ２)
＝
(Ｐ１－Ｐ２)
２
２(Ｐ１＋Ｐ２)≥０ꎬ
∴
Ｐ１＋Ｐ２
２
≥
２Ｐ１Ｐ２
Ｐ１＋Ｐ２
ꎬ当且仅当Ｐ１＝Ｐ２时等号
成立.
解法二:
２Ｐ１Ｐ２
Ｐ１＋Ｐ２
≤
２Ｐ１Ｐ２
２
Ｐ１Ｐ２
＝
Ｐ１Ｐ２
≤
Ｐ１＋Ｐ２
２
ꎬ
当且仅当Ｐ１＝Ｐ２时等号成立ꎬ
所以用第二种购物策略比较经济.
一般地ꎬ如果ｎ次购买同一种物品ꎬ用第二
种策略购买比较经济.
第三章 函数的概念
与性质
3.1 函数的概念及其表示
３.１.１ 函数的概念
练习
１.解析 定义域为Ａ＝{ｔ｜０≤ｔ≤２６}ꎬ
值域为Ｂ＝{ｈ｜０≤ｈ≤８４５}ꎬ
从问题的实际意义可知ꎬ对于数集Ａ中的任
意一个时间ｔꎬ按照对应关系ꎬ在数集Ｂ中都
有唯一确定的高度ｈ和它对应.
２.解析 (１)由题图可知函数的定义域为
{ｔ｜８≤ｔ≤０８}ꎬ值域为{ｙ｜２≤ｙ≤１２}.
(２)当ｔ＝１２时ꎬｙ≈９℃.
３.解析 是.定义域为{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}ꎬ
值域为{２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}.对应关系略.
４.解析 略.
练习
１.解析 (１)由４ｘ＋７≠０ꎬ得ｘ≠－７
４ꎬ
所以函数ｆ( ｘ) ＝
１
４ｘ＋７的定义域为
ｘ
ｘ≠－７
４
{
} .
(２)由
１－ｘ≥０ꎬ
ｘ＋３≥０
{
得－３≤ｘ≤１.
所以函数ｆ(ｘ)＝
１－ｘ＋
ｘ＋３－１的定义域
为{ｘ｜－３≤ｘ≤１}.
２.解析 (１) ｆ(２)＝３×２
３＋２×２＝２８ꎬ
ｆ(－２)＝３×(－２)
３＋２×(－２)＝－２８ꎬ
ｆ(２)＋ｆ(－２)＝２８＋(－２８)＝０.
(２) ｆ(ａ)＝３×ａ
３＋２×ａ＝３ａ
３＋２ａꎬ
ｆ(－ａ)＝３×(－ａ)
３＋２×(－ａ)＝－(３ａ
３＋２ａ)ꎬ
ｆ(ａ)＋ｆ(－ａ)＝３ａ
３＋２ａ＋[－(３ａ
３＋２ａ)] ＝０.
３.解析
( １) 由实际意义知ꎬ前者定义域为
{ｔ｜０≤ｔ≤２６}ꎬ而后者定义域为Ｒꎬ两函数定
义域不同ꎬ∴两函数不是同一个函数.
(２) ｆ(ｘ)＝１的定义域为Ｒꎬｇ( ｘ) ＝ｘ
０的定
义域为{ｘ｜ｘ≠０}ꎬ定义域不同ꎬ∴两函数不
是同一个函数.
３.１.２ 函数的表示法
练习
１.解析
如图ꎬ圆的直径ＡＣ＝５０ｃｍꎬ边ＡＢ＝
ｘｃｍꎬ在Ｒｔ△ＡＢＣ中ꎬ由勾股定理ꎬ知ＢＣ＝
２５００－ｘ
２ｃｍ.
∴矩形ＡＢＣＤ的面积ｙ＝ＡＢＢＣ＝
ｘ
２５００－ｘ
２.
∵０<ＡＢ<ＡＣ＝５０ꎬ
∴０<ｘ<５０ꎬ
∴ｙ＝ｘ
２５００－ｘ
２(０<ｘ<５０).
２.解析 ｙ＝｜ｘ－２｜＝
ｘ－２ꎬｘ≥２ꎬ
２－ｘꎬｘ<２
{
的图象如图.
３.解析 (１)
(２)
ｍ(ｘ)＝
－ｘ＋１ꎬｘ≤０ꎬ
(ｘ－１)
２ꎬ０<ｘ<１ꎬ
－ｘ＋１ꎬｘ≥１.
{
练习
１.解析 (１)与Ｄ图ꎬ(２)与Ａ图ꎬ(３) 与Ｂ图
吻合得最好.与Ｃ图相符的一件事可能为:
我以一定的速度出发ꎬ后来发现时间还很充
裕ꎬ于是ꎬ放慢了速度.
２.解析 设票价为ｙ元ꎬ里程为ｘ元ꎬ由题意可
知ꎬ自变量ｘ的取值范围是(０ꎬ２０]ꎬ
∴函数解析式为ｙ＝
２ꎬ０<ｘ≤５ꎬ
３ꎬ５<ｘ≤１０ꎬ
４ꎬ１０<ｘ≤１５ꎬ
５ꎬ１５<ｘ≤２０.
ì
î
í
ïï
ïï
根据这个解析式ꎬ可画出函数图象ꎬ如图
所示.
教材习题答案
２６９
◆习题3.1
复习巩固
１.解析 (１)要使分式３ｘ
ｘ－４有意义ꎬ应满足ｘ－４
≠０ꎬ即ｘ≠４ꎬ
∴函数ｆ(ｘ)＝３ｘ
ｘ－４的定义域为{ｘ｜ｘ≠４}.
(２) 因为对于ｘ∈Ｒ的任何一个值ｆ(ｘ) ＝
ｘ
２都有意义ꎬ所以ｆ( ｘ) ＝
ｘ
２的定义域
为Ｒ.
(３)要使分式
６
ｘ
２－３ｘ＋２有意义ꎬ应满足ｘ
２－３ｘ
＋２≠０ꎬ即ｘ≠１ꎬ且ｘ≠２ꎬ
∴函数ｆ(ｘ)＝
６
ｘ
２－３ｘ＋２的定义域为{ｘ｜ｘ≠１ꎬ
且ｘ≠２}.
(４)要使
４－ｘ
ｘ－１有意义ꎬ
应有
４－ｘ≥０ꎬ
ｘ－１≠０ꎬ
{
∴ｘ≤４ꎬ且ｘ≠１ꎬ
∴函数ｆ(ｘ)＝
４－ｘ
ｘ－１的定义域为{ｘ｜ｘ≤４ꎬ且
ｘ≠１}.
２.解析 (１) ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬｇ(ｘ)的定义
域为{ｘ｜ｘ≠０}ꎬ它们的定义域不同ꎬ
∴ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)不是同一个函数.
(２) ｆ( ｘ) 的定义域为Ｒꎬｇ( ｘ) 的定义域为
[０ꎬ＋∞)ꎬ它们的定义域不同ꎬ
∴ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)不是同一个函数.
(３) ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)的定义域都是Ｒꎬ
∵
３ｘ
６＝ｘ
２ꎬ
∴它们的对应关系也相同ꎬ
∴ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)是同一个函数.
３.解析 (１)如图①ꎬ定义域为Ｒꎬ值域为Ｒ.
(２)如图②ꎬ定义域为{ｘ｜ｘ≠０}ꎬ值域为{ｙ｜
ｙ≠０}.
图① 图②
(３)如图③ꎬ定义域为Ｒꎬ值域为Ｒ.
(４)如图④ꎬ定义域为Ｒꎬ值域为{ｙ｜ｙ≥－２}.
图③ 图④
４.解析 ｆ(－２)＝３×( －２)
２－５×(－２) ＋２＝
８＋５２ꎻ
ｆ(－ａ)＝３×(－ａ)
２－５×(－ａ)＋２＝３ａ
２＋５ａ＋２ꎻ
ｆ(ａ＋３)＝３×(ａ＋３)
２－５×(ａ＋３) ＋２＝３ａ
２＋１３ａ
＋１４ꎻ
ｆ(ａ)＋ｆ(３)＝３ａ
２－５ａ＋２＋３×３
２－５×３＋２＝３ａ
２
－５ａ＋１６.
５.解析 (１)∵ｆ(３)＝３＋２
３－６＝－５
３≠１４ꎬ
∴点(３ꎬ１４)不在ｆ(ｘ)的图象上.
(２) ｆ(４)＝４＋２
４－６＝－３.
(３)由ｆ(ｘ)＝ｘ＋２
ｘ－６＝２ꎬ解得ｘ＝１４.
６.解析 解法一:
由
ｆ(１)＝１
２＋ｂ１＋ｃ＝ｂ＋ｃ＋１＝０ꎬ
ｆ(３)＝３
２＋ｂ３＋ｃ＝３ｂ＋ｃ＋９＝０ꎬ
{
解得
ｂ＝－４ꎬ
ｃ＝３.
{
∴ｆ(ｘ)＝ｘ
２－４ｘ＋３ꎬ
∴ｆ(－１)＝(－１)
２－４×(－１)＋３＝８.
解法二:由ｆ(１)＝ｆ(３)＝０知ꎬ
１ꎬ３是ｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个根ꎬ
∴ｂ＝－(１＋３)＝－４ꎬｃ＝１×３＝３.
∴ｆ(ｘ)＝ｘ
２－４ｘ＋３ꎬ
∴ｆ(－１)＝(－１)
２－４×(－１)＋３＝８.
解法三:由ｆ(１)＝ｆ(３)＝０知ꎬ
１ꎬ３是ｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个根ꎬ
∴ｆ(ｘ)＝ｘ
２＋ｂｘ＋ｃ＝(ｘ－１)(ｘ－３)ꎬ
∴ｆ(－１)＝(－１－１)×(－１－３)＝８.
７.解析
( １) 是分段函数ꎬ图象由两条射线
(ｆ(ｘ)＝０ꎬｘ≤０含端点ꎬｆ(ｘ)＝１ꎬｘ>０不含端
点)组成(如图１).
(２)图象由(１ꎬ４)、(２ꎬ７)、(３ꎬ１０) 三个点组
成(如图２).
图１ 图２
综合运用
８.解析 由题意得
ｘｙ＝１０ꎬ
ｄ
２＝ｘ
２＋ｙ
２ꎬ
ｌ＝２ｘ＋２ｙꎬ
ｘ>０ꎬｄ>０.
ì
î
í
ïï
ïï
由此可得ｘ、ｙ、ｄ、ｌ
任意两个量的函数关系式.
例如:ｙ＝１０
ｘ(ｘ>０)ꎬｌ＝２ｘ＋２０
ｘ(ｘ>０)ꎬ
ｌ＝２
ｄ
２＋２０(ｄ>０).
９.解析 依题意得π
ｄ
２
(
)
２
ｘ＝ｖｔꎬ
∴ｘ＝４ｖ
πｄ
２ｔ.
由题意可知函数的值域为[０ꎬｈ]ꎬ∴函数的
定义域为
０ꎬｈπｄ
２
４ｖ
[
] .
１０.解析
ｘ
１
２
３
４
５
６
ｙ
５
３
４
２
４
５
ｙ是ｘ的函数.
定义域是{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６}ꎬ
值域是{２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}.
１１.解析 定义域是自变量的取值范围ꎬ值域
是函数值的集合.
(１)由题图可知ꎬ定义域为[－５ꎬ０] ∪[ ２ꎬ
６).
值域为[０ꎬ＋∞).
(２)当ｒ∈[０ꎬ２)∪(５ꎬ＋∞)时ꎬ只有唯一的
ｐ值与之对应.
１２.解析 满足条件的一个函数的图象如图.
(１)略.
(２)定义域为{ｘ｜－３≤ｘ≤８ꎬ且ｘ≠５}ꎬ图象
在－３≤ｘ≤８范围内ꎬ
且横坐标为５的点不在图象上ꎻ
值域为{ｙ｜－１≤ｙ≤２ꎬｙ≠０}ꎬ图象在－１≤ｙ
≤２范围内ꎬ
且所有纵坐标为０的点不在图象上.
１３.解析
ｆ(ｘ)＝
－３ꎬｘ∈(－２.５ꎬ－２)ꎬ
－２ꎬｘ∈[－２ꎬ－１)ꎬ
－１ꎬｘ∈[－１ꎬ０)ꎬ
０ꎬｘ∈[０ꎬ１)ꎬ
１ꎬｘ∈[１ꎬ２)ꎬ
２ꎬｘ∈[２ꎬ３)ꎬ
３ꎬｘ∈{３}ꎬ
ì
î
í
ï
ï
ïï
ï
ï
ïï
则ｆ(ｘ)的图象如图.
１４.解析 略.
拓广探索
１５.解析 (１)如图ꎬ∵∠ＡＰＢ＝９０°ꎬ
∴ＡＢ＝
ｘ
２＋４ｋｍꎬ
∴由Ａ到Ｂ所用的时间为
ｘ
２＋４
３
ｈ.
又ＢＣ＝(１２－ｘ)ｋｍꎬ
∴由Ｂ到Ｃ所用的时间为１２－ｘ
５
ｈ.
∴从小岛到城镇共用的时间为ｔ＝
ｘ
２＋４
３
＋１２－ｘ
５
(
) ｈ.
由题意知０≤ｘ≤１２.
２７０
∴函数关系式为ｔ(ｘ)＝
ｘ
２＋４
３
＋１２－ｘ
５
ꎬ０≤
ｘ≤１２.
(２)由(１)及题意ꎬ可得ｔ(４)≈３ｈ.
１６.解析 (１)ｖ＝－１
２ｕ
２ꎬ是函数.
(２)ｕ＝±
－２ｖꎬｖ∈(－∞ꎬ０]ꎬ不是函数.
１７.解析
(１) 存在满足条件的函数.如:ｆ( ｘ)
＝ｘꎬｇ(ｘ)＝ｘ＋１.
(２)存在满足条件的函数.如:ｆ(ｘ)＝ｘ
２ꎬｘ∈
(－∞ꎬ０]ꎬｇ(ｘ)＝ｘ
２ꎬｘ∈Ｒ.
１８.解析 ｙ是ｎ的函数.
定义域为{ｎ｜１≤ｎ≤２００ꎬｎ∈Ｎ
∗}ꎬ值域为
{０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎬ９}.
对应关系略.
3.2 函数的基本性质
３.２.１ 单调性与最大(小)值
练习
１.解析 由题中图象先上升后下降可知ꎬ工人
数在一定范围内时ꎬ生产效率随着工人数的
增加而提高ꎬ而当工人数超过某一数量后ꎬ
随着工人数的增加ꎬ生产效率反而降低.
２.证明 ∀ｘ１ꎬｘ２∈Ｒꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ则ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)
＝３ｘ２＋２－３ｘ１－２＝３(ｘ２－ｘ１)ꎬ
∵ｘ１<ｘ２ꎬ∴ｘ２－ｘ１>０ꎬ∴ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ꎬ
∴ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ
∴函数ｆ(ｘ)＝３ｘ＋２是增函数.
３.证明 ∀ｘ１ꎬｘ２∈(－∞ꎬ０)ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
则ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝－２
ｘ２
＋２
ｘ１
＝
２(ｘ２－ｘ１)
ｘ１ｘ２
ꎬ
∵ｘ１<ｘ２<０ꎬ
∴ｘ１ｘ２>０ꎬｘ２－ｘ１>０ꎬ
∴ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ꎬ
∴ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ
∴函数ｆ( ｘ) ＝－２
ｘ在区间( －∞ꎬ０) 上单调
递增.
４.解析
(１)定义域Ｉ＝{ｘ｜ｘ≠０}.
(２)当ｋ>０时ꎬｙ＝ｋ
ｘ在( －∞ꎬ０) 和(０ꎬ＋∞)
上单调递减ꎻ
当ｋ<０时ꎬｙ＝ｋ
ｘ在(－∞ꎬ０)和(０ꎬ＋∞)上单
调递增.
证明:∀ｘ１ꎬｘ２∈(－∞ꎬ０)ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
则ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝ｋ
ｘ２
－ｋ
ｘ１
＝
ｋ(ｘ１－ｘ２)
ｘ１ｘ２
.
∵ｘ１<ｘ２<０ꎬ∴ｘ１－ｘ２<０ꎬｘ１ｘ２>０ꎬ
∴当ｋ>０时ꎬｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)ꎻ
当ｋ<０时ꎬｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２).
∴当ｋ>０时ꎬｙ＝ｋ
ｘ在( －∞ꎬ０)上单调递减ꎻ
当ｋ<０时ꎬｙ＝ｋ
ｘ在(－∞ꎬ０)上单调递增.
同理可证ꎬｙ＝ｋ
ｘ在(０ꎬ＋∞)上的单调性.
练习
１.解析 函数图象可能如图所示.
由图可知ꎬ增区间为[８ꎬ１２]ꎬ[１３ꎬ１８]ꎻ减区
间为[１２ꎬ１３]ꎬ[１８ꎬ２０].
２.答案 最小值
解析 ｆ(ｘ)在[－６ꎬ１１]上的大致图象如图.
由图可知ｆ(－２)是函数ｆ(ｘ)的一个最小值.
３.解析
∵函数ｆ(ｘ)＝１
ｘ在区间[２ꎬ６] 上单
调递减ꎬ
∴ｆ(ｘ) ｍａｘ＝ｆ(２)＝１
２ꎬｆ(ｘ) ｍｉｎ＝ｆ(６)＝１
６.
３.２.２ 奇偶性
练习
１.解析 ∵ｆ(ｘ)是偶函数ꎬ
∴ｆ(ｘ)的图象关于ｙ轴对称ꎬ补充后的图象
如图１.
∵ｇ(ｘ)是奇函数ꎬ
∴ｇ(ｘ)的图象关于原点对称ꎬ补充后的图象
如图２.
２.解析 (１)函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ关于原
点对称.
∵ｆ( －ｘ) ＝２( －ｘ)
４＋３( －ｘ)
２＝２ｘ
４＋３ｘ
２＝
ｆ(ｘ)ꎬ∴ｆ(ｘ)＝２ｘ
４＋３ｘ
２为偶函数.
(２)函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ关于原点对称.
∵ｆ(－ｘ)＝(－ｘ)
３－２(－ｘ)＝－ｘ
３＋２ｘ＝－(ｘ
３－２ｘ)＝
－ｆ(ｘ)ꎬ∴ｆ(ｘ)＝ｘ
３－２ｘ为奇函数.
３.证明 (１)充分性:如果ｆ( ｘ) 的图象关于ｙ
轴对称ꎬ则ｆ(ｘ)＝ｆ(－ｘ)ꎬ∴ｆ(ｘ)是偶函数.
必要性:由偶函数的定义知ꎬ∀ｘ∈Ａꎬ都有－ｘ
∈Ａ且ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬ
∴Ｐ(ｘꎬｆ(ｘ)) 与Ｐ′( －ｘꎬｆ( －ｘ)) 关于ｙ轴
对称.
由任意性可得ｆ(ｘ)的图象关于ｙ轴对称.
∴函数ｙ＝ｆ(ｘ)是偶函数的充要条件是它的
图象关于ｙ轴对称.
(２) 充分性:如果ｆ( ｘ) 的图象关于原点对
称ꎬ则ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬ
∴ｆ(ｘ)是奇函数.
必要性:由奇函数的定义知ꎬ∀ｘ∈Ａꎬ都有－ｘ
∈Ａ且ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬ
∴Ｐ(ｘꎬｆ(ｘ)) 与Ｐ′( －ｘꎬｆ( －ｘ)) 关于原点
对称ꎬ
由任意性可得ｆ(ｘ)的图象关于原点对称.
∴函数ｙ＝ｆ(ｘ)是奇函数的充要条件是它的
图象关于原点对称.
◆习题3.2
复习巩固
１.解析 单调区间为[ －１ꎬ０]ꎬ[０ꎬ２]ꎬ[２ꎬ４]ꎬ
[４ꎬ５].
函数在[－１ꎬ０]上是减函数ꎬ在[０ꎬ２]上是增
函数ꎬ在[２ꎬ４]上是减函数ꎬ在[４ꎬ５] 上是增
函数.
２.解析
( １) 函数ｙ＝ｘ
２－５ｘ－６的图象如图
所示.
由图象可知ꎬ
单调减区间是－∞ꎬ５
２
(
] ꎬ
单调增区间是
５
２ꎬ＋∞
[
) .
(２)函数ｙ＝９－ｘ
２的图象如图所示.
由图象可知ꎬ
单调增区间是( －∞ꎬ０]ꎬ单调减区间是
[０ꎬ＋∞).
３.证明 (１)∀ｘ１ꎬｘ２∈Ｒꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
则ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝－２ｘ１＋１－( －２ｘ２＋１)＝２(ｘ２
－ｘ１)ꎬ
∵ｘ１<ｘ２ꎬ
∴ｘ２－ｘ１>０ꎬ
∴ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)>０ꎬ
∴ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)ꎬ
∴函数ｆ(ｘ)＝－２ｘ＋１是减函数.
(２)∀ｘ１ꎬｘ２∈(０ꎬ＋∞)ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
教材习题答案
２７１
则ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝(ｘ
２
１＋１)－(ｘ
２
２＋１)
＝(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)ꎬ
∵ｘ２>ｘ１>０ꎬ
∴ｘ１＋ｘ２>０ꎬｘ１－ｘ２<０.
∴ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)<０ꎬ即ｆ(ｘ１)< ｆ(ｘ２).
∴函数ｆ(ｘ)＝ｘ
２＋１在(０ꎬ＋∞)上单调递增.
(３)∀ｘ１ꎬｘ２∈(－∞ꎬ０)ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ则
ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝１－１
ｘ１
－１－１
ｘ２
(
)
＝１
ｘ２
－１
ｘ１
＝
ｘ１－ｘ２
ｘ１ｘ２
ꎬ
∵ｘ１<ｘ２<０ꎬ
∴ｘ１－ｘ２<０ꎬｘ１ｘ２>０ꎬ
∴ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)<０ꎬ
即ｆ(ｘ１)< ｆ(ｘ２).
∴函数ｆ(ｘ)＝１－１
ｘ在(－∞ꎬ０)上单调递增.
４.解析 ｙ＝－ｘ
２
５０＋１６２ｘ－２１０００
＝－１
５０(ｘ
２－８１００ｘ)－２１０００
＝－１
５０(ｘ－４０５０)
２＋３０７０５０.
所以当ｘ＝４０５０时ꎬｙ取得最大值ꎬｙｍａｘ＝
３０７０５０.
故每辆车的月租金为４０５０元时ꎬ租赁公司
的月收益最大ꎬ为３０７０５０元.
５.解析 (１)函数ｆ(ｘ)＝ｘ
２＋１的定义域为Ｒꎬ
关于原点对称.
∵ｆ(－ｘ)＝(－ｘ)
２＋１＝ｘ
２＋１＝ｆ(ｘ)ꎬ
∴函数ｆ(ｘ)＝ｘ
２＋１为偶函数.
(２)函数ｆ(ｘ) ＝
ｘ
ｘ
２＋１的定义域为Ｒꎬ关于原
点对称.
∵ｆ(－ｘ)＝
－ｘ
(－ｘ)
２＋１
＝－
ｘ
ｘ
２＋１
＝－ｆ(ｘ)ꎬ
∴函数ｆ(ｘ)＝
ｘ
ｘ
２＋１为奇函数.
综合运用
６.解析
心率关于时间的一个可能的图象
如图.
心率减慢ꎬ则图象下降ꎻ心率升高ꎬ则图象
上升.
７.解析 (１) ｆ(ｘ)＝ｘ
２－２ｘ＝(ｘ－１)
２－１ꎬ
故ｆ(ｘ)的单调递增区间为[１ꎬ＋∞)ꎬ
单调递减区间为(－∞ꎬ１].
ｇ(ｘ)＝ｘ
２－２ｘ＝(ｘ－１)
２－１ꎬｘ∈[２ꎬ４]ꎬ
故ｇ(ｘ)的单调递增区间为[２ꎬ４].
(２)由(１)知ꎬ当ｘ＝１时ꎬｆ(ｘ)取最小值－１.
当ｘ＝２时ꎬｇ(ｘ)取最小值０.
８.解析 (１)证明:设ｙ＝ｆ( ｘ)＝ｘ＋９
ｘ.∀ｘ１ꎬｘ２
∈[３ꎬ＋∞)ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
则ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)
＝ｘ２＋９
ｘ２
－ｘ１－９
ｘ１
＝ｘ２－ｘ１＋
９(ｘ１－ｘ２)
ｘ１ｘ２
＝(ｘ２－ｘ１) １－９
ｘ１ｘ２
(
)
＝(ｘ２－ｘ１)
ｘ１ｘ２－９
ｘ１ｘ２
.
因为ｘ１≥３ꎬｘ２≥３ꎬ且ｘ２>ｘ１ꎬ所以ｘ２－ｘ１>０ꎬ
ｘ２ｘ１>９ꎬ所以ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ꎬ
所以ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ所以ｙ＝ｘ＋９
ｘ在区间[３ꎬ
＋∞)上单调递增.
(２)∀ｘ１ꎬｘ２∈(０ꎬ＋∞)ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
由(１)知ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝(ｘ２－ｘ１)
ｘ１ｘ２－９
ｘ１ｘ２
ꎬ
因为０<ｘ１<ｘ２ꎬ所以ｘ２－ｘ１>０ꎬｘ１ｘ２>０ꎬ
当ｘ１ꎬｘ２∈(０ꎬ３]时ꎬｘ１ｘ２－９<０ꎬ
所以ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<０ꎬ即ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)ꎬ
此时函数ｆ(ｘ)为减函数ꎻ
当ｘ１ꎬｘ２∈(３ꎬ＋∞)时ꎬｘ１ｘ２－９>０ꎬ
所以ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ꎬ即ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ
此时函数ｆ(ｘ)为增函数.
综上ꎬ函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋９
ｘ在区间(０ꎬ３] 上为减
函数ꎬ在区间[３ꎬ＋∞)上为增函数.
(３)设ｙ＝ｆ(ｘ)＝ｘ＋ｋ
ｘ(ｋ>０)ꎬ∀ｘ１ꎬｘ２∈(０ꎬ
＋∞)ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ则
ｆ(ｘ２) －ｆ( ｘ１) ＝
ｘ２＋ｋ
ｘ２
(
) －ｘ１＋ｋ
ｘ１
(
) ＝( ｘ２－
ｘ１)＋
ｋ
ｘ２
－ｋ
ｘ１
(
) ＝(ｘ２－ｘ１) ＋ｋ
ｘ１－ｘ２
ｘ１ｘ２
＝(ｘ２－
ｘ１)
ｘ１ｘ２－ｋ
ｘ１ｘ２
ꎬ
因为０<ｘ１<ｘ２ꎬ所以ｘ２－ｘ１>０ꎬｘ１ｘ２>０ꎬ
当ｘ１ꎬｘ２∈(０ꎬｋ]时ꎬｘ１ｘ２－ｋ<０ꎬ
所以ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<０ꎬ即ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)ꎬ
此时函数ｆ(ｘ)为减函数ꎻ
当ｘ１ꎬｘ２∈[ ｋꎬ＋∞)时ꎬｘ１ｘ２－ｋ>０ꎬ
所以ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ꎬ即ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ
此时函数ｆ(ｘ)为增函数.
综上ꎬ函数ｆ( ｘ) ＝ｘ＋ｋ
ｘ( ｋ> ０) 在区间
(０ꎬｋ]上为减函数ꎬ在[ ｋꎬ＋∞) 上为增
函数.
９.证明 (１) 充分性:∵∀ｘ１ꎬｘ２∈Ｄꎬｘ１≠ｘ２ꎬ
都有Δｙ
Δｘ>０ꎬ∴
Δｘ>０ꎬ
Δｙ>０
{
或
Δｘ<０ꎬ
Δｙ<０ꎬ
{
即ｘ１>ｘ２时ꎬｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)或ｘ１<ｘ２时ꎬｆ(ｘ１)
<ｆ(ｘ２).
由增函数的定义可知ꎬｙ＝ｆ( ｘ) 在区间Ｄ上
单调递增.
必要性:∵∀ｘ１ꎬｘ２∈Ｄꎬｘ１≠ｘ２ꎬｙ＝ｆ( ｘ) 在Ｄ
上单调递增ꎬ
∴当Δｘ＝ｘ１－ｘ２>０时ꎬΔｙ＝ｆ(ｘ１) －ｆ(ｘ２) >０ꎬ
∴Δｙ
Δｘ>０.
∴当Δｘ＝ｘ１－ｘ２<０时ꎬΔｙ＝ｆ(ｘ１) －ｆ(ｘ２) <０ꎬ
∴Δｙ
Δｘ>０.
综上ꎬ函数ｙ＝ｆ(ｘ) 在区间Ｄ上单调递增的
充要条件是:∀ｘ１ꎬｘ２∈Ｄꎬｘ１≠ｘ２ꎬ都有Δｙ
Δｘ
>０.
(２)同理可证.
１０.解析 设每间熊猫居室的面积为ｙｍ
２ꎬ
由宽为ｘｍꎬ得每间熊猫居室的长为
３０－３ｘ
２
ｍꎬ那么ｙ＝ｘ３０－３ｘ
２
＝－３(ｘ
２－１０ｘ)
２
＝－３(ｘ－５)
２＋７５
２
(０<ｘ<１０).
所以当ｘ＝５时ꎬｙ有最大值３７.５.
故宽为５ｍ时才能使所建造的每间熊猫居
室面积最大ꎬ最大面积是３７.５ｍ
２.
１１.解析 因为ｆ(ｘ)是Ｒ上的奇函数ꎬ
所以ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ).
因为当ｘ≥０时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ(１＋ｘ)ꎬ
所以当ｘ<０时ꎬ－ｘ>０ꎬ
所以ｆ(－ｘ)＝(－ｘ)(１－ｘ)＝－ｘ(１－ｘ)ꎬ
所以ｆ(ｘ)＝－ｆ(－ｘ)＝ｘ(１－ｘ).
所以ｆ(ｘ)＝
ｘ(１＋ｘ)ꎬｘ≥０ꎬ
ｘ(１－ｘ)ꎬｘ<０.
{
它的图象如图所示.
拓广探索
１２.解析
偶函数ｆ( ｘ) 在(０ꎬ＋∞) 上是减函
数ꎬ那么ｆ(ｘ)在(－∞ꎬ０)上是增函数.
证明如下:
∀ｘ１ꎬｘ２∈(－∞ꎬ０)ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
则－ｘ１>－ｘ２>０.
因为函数ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋∞)上是减函数ꎬ
所以ｆ(－ｘ１)<ｆ(－ｘ２).
又因为ｆ(ｘ)是偶函数ꎬ
所以ｆ(－ｘ１)＝ｆ(ｘ１)ꎬ
ｆ(－ｘ２)＝ｆ(ｘ２).
于是ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ
所以偶函数ｆ(ｘ)在(－∞ꎬ０)上是增函数.
１３.解析 (１)∵ｆ(ｘ＋ａ)＝(ｘ＋ａ)
３－３(ｘ＋ａ)
２
＝ｘ
３＋２ａｘ
２＋ａ
２ｘ＋ａｘ
２＋２ａ
２ｘ＋ａ
３－３ｘ
２－６ａｘ－３ａ
２
＝ｘ
３＋(３ａ－３)ｘ
２＋(３ａ
２－６ａ)ｘ＋ａ
３－３ａ
２ꎬ
∴ｙ＝ｆ(ｘ＋ａ)－ｂ＝ｘ
３＋(３ａ－３)ｘ
２＋(３ａ
２－６ａ)ｘ
＋ａ
３－３ａ
２－ｂ是奇函数ꎬ
∴
３ａ－３＝０ꎬ
ａ
３－３ａ
２－ｂ＝０ꎬ
{
∴
ａ＝１ꎬ
ｂ＝－２.
{
∴ｆ( ｘ) ＝ｘ
３－３ｘ
２的图象的对称中心为
(１ꎬ－２).
(２)函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ对称的
充要条件是ｙ＝ｆ(ｘ＋ａ)为偶函数.
２７２
3.3 幂函数
练习
１.解析 设所求幂函数的解析式为ｙ＝ｆ(ｘ) ＝
ｘ
α.因为幂函数的图象过点(２ꎬ２)ꎬ所以有
２＝２
αꎬ解得α ＝１
２ꎬ所以所求函数的解析
式为ｙ＝ｆ(ｘ)＝ｘ
１
２(ｘ≥０).
２.解析 (１)令ｆ(ｘ)＝ｘ
３.
∵ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎬ且－１.５<－１.４ꎬ
∴ｆ(－１.５)<ｆ(－１.４)ꎬ即(－１.５)
３<(－１.４)
３.
(２)令ｇ(ｘ)＝１
ｘ.
∵ｇ(ｘ) 在( －∞ꎬ０) 上单调递减ꎬ且－１.５<
－１.４ꎬ∴ｇ(－１.５)>ｇ(－１.４)ꎬ∴
１
－１.５>
１
－１.４.
３.解析 ∀ｘ１ꎬｘ２∈Ｒꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
∴ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝ｘ
３
２－ｘ
３
１
＝(ｘ２－ｘ１)(ｘ
２
２＋ｘ１ｘ２＋ｘ
２
１)
＝(ｘ２－ｘ１)
ｘ
２
２＋ｘ１ｘ２＋１
４ｘ
２
１
(
) ＋３
４ｘ
２
１
[
]
＝(ｘ２－ｘ１)
ｘ２＋１
２ｘ１
(
)
２
＋３
４ｘ
２
１
[
] ꎬ
∵ｘ２>ｘ１ꎬ∴ｘ２－ｘ１>０ꎬ∴ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ
∴ｆ(ｘ)＝ｘ
３在Ｒ上单调递增.
∵ｆ(ｘ)＝ｘ
３的定义域Ｒ关于原点对称ꎬ
且ｆ(－ｘ)＝(－ｘ)
３＝－ｘ
３＝－ｆ(ｘ)ꎬ
∴ｆ(ｘ)是Ｒ上的奇函数.
◆习题3.3
复习巩固
１.解析 函数ｙ＝
｜ｘ｜的图象ꎬ如图.
∵函数ｙ＝ｆ(ｘ)＝
｜ｘ｜的定义域为Ｒꎬ关于
原点对称ꎬ
又ｆ(－ｘ)＝
｜－ｘ｜＝
｜ｘ｜＝ｆ(ｘ)ꎬ
∴ｙ＝
｜ｘ｜为偶函数.
函数ｙ＝ｆ(ｘ)在(－∞ꎬ０]上单调递减ꎬ
在[０ꎬ＋∞)上单调递增.
综合运用
２.解析 (１)由题意得ｖ＝ｋｒ
４(ｋ>０).
(２)将ｒ＝３ꎬｖ＝４００代入ｖ＝ｋｒ
４得
ｋ＝４００
８１ꎬ
故流量速率ｖ的表达式为ｖ＝４００
８１ｒ
４(ｒ>０).
(３)当ｒ＝５时ꎬ
ｖ＝４００
８１ｒ
４＝４００
８１×５
４≈３０８６(ｃｍ
３/ ｓ).
３.解析 利用函数解析式列出表格.
ｘ
－２
－１－１
２
１
２
１
２
ｙ
１
４
１
４
４
１
１
４
根据表中的数据作出函数图象如图所示:
通过观察图象得函数的定义域为{ｘ｜ｘ≠０}ꎬ
值域为(０ꎬ＋∞)ꎬ
∵函数的定义域关于原点对称ꎬ且ｆ( ｘ) ＝
ｆ(－ｘ)ꎬ∴ｆ(ｘ)＝ｘ
－２为偶函数.
函数ｆ( ｘ) ＝ｘ
－２在( －∞ꎬ０) 上单调递增ꎬ在
(０ꎬ＋∞)上单调递减.
证明:∀ｘ１ꎬｘ２∈(－∞ꎬ０)ꎬ且ｘ１<ｘ２.
∴ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝１
ｘ
２
２
－１
ｘ
２
１
＝
ｘ
２
１－ｘ
２
２
ｘ
２
１ｘ
２
２
＝
(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)
ｘ
２
１ｘ
２
２
ꎬ
∵ｘ１<ｘ２<０ꎬ∴ｘ１＋ｘ２<０ꎬｘ１－ｘ２<０ꎬ
∴ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ꎬ
∴ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ∴ｆ(ｘ)＝ｘ
－２在( －∞ꎬ０) 上单
调递增ꎬ同理可证: ｆ(ｘ)＝ｘ
－２在(０ꎬ＋∞) 上
单调递减.
3.4 函数的应用（一）
练习
１.解析 由２０
１０
３＝(６０)
２ａ得ａ＝
１
３６×５×１０
３ꎬ
由５０
１０
３＝
１
３６×５×１０
３ｘ
２得ｘ＝３０
１０.
∵３０
１０<１００ꎬ
∴这辆车没有超速行驶.
２.解析
设矩形广告牌的长为ｘｍ( ０< ｘ<
ｌ
２) ꎬ则其宽为ｌ－２ｘ
２
ｍꎬ
∴Ｓ＝ｘｌ－２ｘ
２
＝－ｘ
２＋ｌ
２ｘ
＝－ｘ
２－ｌ
２ｘ＋ｌ
２
１６
(
) ＋ｌ
２
１６
＝－ｘ－ｌ
４
(
)
２
＋ｌ
２
１６
０<ｘ< ｌ
２
(
) .
∴当ｘ＝ｌ
４时ꎬ广告牌的面积Ｓ最大ꎬ且Ｓｍａｘ
＝ｌ
２
１６.
３.解析 (１)由题意可得
ｙ１＝１５０＋０.２５ｘ(ｘ≥０)ꎬｙ２＝１５０
ｘ＋０.２５(ｘ>０)ꎬ
ｙ３＝０.３５ｘ(ｘ≥０)ꎬ
ｙ４＝０.３５ｘ－(１５０＋０.２５ｘ)＝０.１ｘ－１５０(ｘ≥０).
(２)画出ｙ４＝０.１ｘ－１５０(ｘ≥０)的图象如图.
由图象可知ꎬ当０≤ｘ<１５００时ꎬ该公司亏损ꎻ
当ｘ＝１５００时ꎬ该公司不赔不赚ꎻ
当ｘ>１５００时ꎬ该公司赢利.
◆习题3.4
综合运用
１.解析 根据题意得
ｘ＝
６０ｔ(０≤ｔ≤２.５)ꎬ
１５０(２.５<ｔ≤３.５)ꎬ
３２５－５０ｔ(３.５<ｔ≤６.５).
{
函数图象如图１.
图１
由题意得ｖ＝
６０(０≤ｔ≤２.５)ꎬ
０(２.５<ｔ≤３.５)ꎬ
－５０(３.５<ｔ≤６.５).
{
函数图象如图２.
图２
２.解析 设水池底的长、宽分别为ｘｍ、ｙｍꎬ总
造价为ｗ元ꎬ
根据题意知ｘｙ＝１２００
６
＝２００ꎬ
∴ｙ＝２００
ｘ.
∵底面积为２００ｍ
２ꎬ
侧面积为２ｘ６＋２ｙ６＝１２(ｘ＋ｙ)ｍ
２ꎬ
∴总造价ｗ＝１２(ｘ＋ｙ)×９５＋２００×１３５
＝１１４０ｘ＋２００
ｘ
(
) ＋２７０００(ｘ>０).
要使总造价ｗ<７００００ꎬ
则１１４０ｘ＋２００
ｘ
(
) ＋２７０００<７００００.
∵ｘ>０ꎬ∴５７ｘ
２－２１５０ｘ＋１１４００<０ꎬ
∴６.４<ｘ<３１.３.
∴水池的长在(６.４ꎬ３１.３) 范围内变化时ꎬ总
造价可控制在７万元以内.
３.解析 设每户每月用水量为ｘｍ
３ꎬ需交纳的
水费为ｆ(ｘ)元ꎬ则
ｆ(ｘ)＝
３ｘꎬ０≤ｘ≤１２ꎬ
３６＋６(ｘ－１２)ꎬ１２<ｘ≤１８ꎬ
７２＋９(ｘ－１８)ꎬｘ>１８.
{
若该居民交纳的水费为４８元ꎬ那么用水量ｘ
∈(１２ꎬ１８]ꎬ
令３６＋６(ｘ－１２)＝４８得ｘ＝１４ꎬ
∴该居民本月用水量为１４ｍ
３.
拓广探索
４.解析 (１) 根据题图(１) 可得ꎬ点Ａ的实际
教材习题答案
２７３
意义为当乘客量为０时ꎬ亏损１(单位)ꎻ点Ｂ
的实际意义为当乘客量为１.５( 单位) 时ꎬ收
支持平ꎻ射线ＡＢ上的点的实际意义为当乘
客量小于１.５时公司将亏损ꎬ当乘客量大于
１.５时公司将赢利.
(２)题图(２)的建议是降低成本且保持票价
不变ꎻ题图(３)的建议是提高票价且保持成
本不变.
５.解析 由题中表格画出散点图ꎬ如图所示.
由图可考虑以Ｆ＝ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０)作为刻画长度
与拉力的函数模型.
取两组数据(１４.２ꎬ１)ꎬ(５７.５ꎬ４)ꎬ
有
１４.２ｋ＋ｂ＝１ꎬ
５７.５ｋ＋ｂ＝４
{
⇒
ｋ≈０.０６９ꎬ
ｂ≈０.０１６.
{
∴Ｆ＝０.０６９ｘ＋０.０１６.
将已知数据代入解析式ꎬ或作出图象ꎬ可以
发现ꎬ这个模型与已知数据拟合程度较好ꎬ
说明它能较好地反映弹簧伸长长度与拉力
的关系.
复习参考题3
复习巩固
１.解析 (１)由
ｘ－２≥０ꎬ
ｘ＋５≥０
{
得ｘ≥２ꎬ
故所求定义域为{ｘ｜ｘ≥２}.
(２)由
ｘ－４≥０ꎬ
｜ｘ｜－５≠０
{
得ｘ≥４ꎬ且ｘ≠５ꎬ
故所求定义域为{ｘ｜ｘ≥４ꎬ且ｘ≠５}.
２.解析 (１) ｆ(ａ)＋１＝１－ａ
１＋ａ＋１＝２
１＋ａ(ａ≠－１).
(２) ｆ(ａ＋１)＝１－(ａ＋１)
１＋(ａ＋１) ＝－ａ
ａ＋２(ａ≠－２).
３.证明 (１) ｆ(－ｘ)＝１＋(－ｘ)
２
１－(－ｘ)
２＝１＋ｘ
２
１－ｘ
２＝ｆ(ｘ).
(２) ｆ
１
ｘ
(
) ＝
１＋
１
ｘ
(
)
２
１－
１
ｘ
(
)
２＝ｘ
２＋１
ｘ
２－１
＝－１＋ｘ
２
１－ｘ
２＝－ｆ(ｘ)(ｘ≠０).
４.解析 函数ｆ(ｘ) 的图象的对称轴是直线ｘ
＝ｋ
８.
当ｋ
８≤５ꎬ或ｋ
８≥２０ꎬ
即ｋ≤４０ꎬ或ｋ≥１６０时ꎬｆ(ｘ)在[５ꎬ２０]上是
单调函数.
所以实数ｋ的取值范围为{ ｋ｜ｋ≤４０或ｋ≥
１６０}.
５.解析
令ｆ( ｘ) ＝ｘ
αꎬ∵ｆ( ｘ) 的图象过点
２ꎬ２
２
(
) ꎬ∴
２
２＝２
αꎬ解得α＝－１
２ꎬ
∴ｆ(ｘ)＝ｘ
－
１
２.
根据函数解析式作出函数的图象ꎬ如图所示.
∵ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ＋∞)ꎬ不关于原点对
称ꎬ∴该函数为非奇非偶函数ꎬ
由图象得ｙ＝ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋∞)上单调递减.
６.解析 (１)∵Ｐ＝Ｒ－１００ｘ－２００００ꎬ
∴Ｐ＝
－１
２ｘ
２＋３００ｘ－２００００ꎬ０≤ｘ≤４００ꎬ
６００００－１００ｘꎬｘ>４００.
{
(２)当０≤ｘ≤４００时ꎬ
Ｐ＝－１
２[( ｘ
２－６００ｘ＋９００００) －９００００] －
２００００＝－１
２(ｘ－３００)
２＋２５０００ꎬ
∴当ｘ＝３００时ꎬＰｍａｘ＝２５０００ꎻ
当ｘ>４００时ꎬＰ＝６００００－１００ｘ<６００００－１００×
４００＝２００００ꎬ
∵２５０００>２００００ꎬ∴月产量为３００台时ꎬ公
司所获利润最大ꎬ最大利润为２５０００元.
综合运用
７.解析 ｆ(１)＝５ꎻｆ(－３)＝２１ꎻ
ｆ(ａ＋１)＝
(ａ＋１)(ａ＋５)ꎬａ≥－１ꎬ
(ａ＋１)(ａ－３)ꎬａ<－１.
{
８.证明 (１) ｆｘ１＋ｘ２
２
(
) ＝ａｘ１＋ｘ２
２
(
) ＋ｂ
＝
ａｘ１＋ｂ
２
＋
ａｘ２＋ｂ
２
＝
ｆ(ｘ１)
２
＋
ｆ(ｘ２)
２
＝
ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)
２
.
(２) ｇｘ１＋ｘ２
２
(
) ＝１
４(ｘ
２
１＋ｘ
２
２＋２ｘ１ｘ２) ＋ａ
ｘ１＋ｘ２
２
＋ｂꎬ
ｇ(ｘ１)＋ｇ(ｘ２)
２
＝１
２[(ｘ
２
１＋ａｘ１＋ｂ)＋(ｘ
２
２＋ａｘ２＋ｂ)]
＝１
２(ｘ
２
１＋ｘ
２
２)＋ａ
ｘ１＋ｘ２
２
＋ｂ.
因为１
４(ｘ
２
１＋ｘ
２
２＋２ｘ１ｘ２)－１
２(ｘ
２
１＋ｘ
２
２)
＝－１
４(ｘ１－ｘ２)
２≤０ꎬ
即１
４(ｘ
２
１＋ｘ
２
２＋２ｘ１ｘ２)≤１
２(ｘ
２
１＋ｘ
２
２)ꎬ
所以ｇｘ１＋ｘ２
２
(
) ≤
ｇ(ｘ１)＋ｇ(ｘ２)
２
.
９.解析 (１)奇函数ｆ(ｘ)在[－ｂꎬ－ａ]上单调递
减.证明如下:
∀ｘ１ꎬｘ２∈[－ｂꎬ－ａ]ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
则ａ≤－ｘ２<－ｘ１≤ｂ.
因为ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是减函数ꎬ
所以ｆ(－ｘ２)> ｆ(－ｘ１).
又因为ｆ(ｘ)是奇函数ꎬ
所以ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬ
于是－ｆ(ｘ２)>－ｆ(ｘ１)ꎬ即ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２).
所以ｆ(ｘ)在[－ｂꎬ－ａ]上单调递减.
(２)偶函数ｇ(ｘ)在[－ｂꎬ－ａ]上单调递增.
证明如下:∀ｘ１ꎬｘ２∈[－ｂꎬ－ａ]ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
则ａ≤－ｘ２<－ｘ１≤ｂ.
因为ｇ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是减函数ꎬ
所以ｇ(－ｘ２)>ｇ(－ｘ１).
又因为ｇ(ｘ)是偶函数ꎬ所以ｇ(－ｘ)＝ｇ(ｘ).
于是ｇ(ｘ２)>ｇ(ｘ１).
所以ｇ(ｘ)在[－ｂꎬ－ａ]上单调递增.
１０. 解析
( １) 依题意知用电量增至
ｋ
ｘ－０.４＋ａ
(
) ｋＷｈꎬ则电力部门的收益为ｙ
＝
ｋ
ｘ－０.４＋ａ
(
) (ｘ－０.３)(０.５５≤ｘ≤０.７５).
(２)依题意有
０.２ａ
ｘ－０.４＋ａ
(
) (ｘ－０.３)≥ａ(０.８－０.３)(１＋２０％)ꎬ
０.５５≤ｘ≤０.７５ꎬ
{
整理得
ｘ
２－１.１ｘ＋０.３≥０ꎬ
０.５５≤ｘ≤０.７５ꎬ
{
解得０.６０≤ｘ≤０.７５ꎬ
∴当电价最低定为０.６元/ (ｋＷｈ) 时ꎬ仍
可保证电力部门的收益比上年至少增
长２０％.
拓广探索
１１.解析 厂商希望产品价格低的时候ꎬ卖出
的产品少ꎬ价格高的时候ꎬ卖出的多ꎻ而客
户希望价格低时多买入ꎬ价格高时少买入.
故厂商希望的供应曲线是题图(１)曲线ꎬ客
户希望的需求曲线是题图(２)曲线.
１２.解析 ｙ＝ｘ－１
ｘ的定义域为{ｘ｜ｘ≠０}ꎬ值域
为Ｒ.
∵函数ｙ＝ｆ(ｘ)的定义域关于原点对称ꎬ且
ｆ(－ｘ)＝－ｘ＋１
ｘ＝－ｘ－１
ｘ
(
) ＝－ｆ(ｘ)ꎬ
∴ｙ＝ｘ－１
ｘ为奇函数. 函数ｙ＝ｘ－１
ｘ在
(－∞ꎬ０)和(０ꎬ＋∞)上单调递增.
∀ｘ１ꎬｘ２∈(０ꎬ＋∞)ꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝
ｘ２－１
ｘ２
(
) －ｘ１－１
ｘ１
(
)
＝ｘ２－ｘ１＋１
ｘ１
－１
ｘ２
＝(ｘ２－ｘ１)
ｘ１ｘ２＋１
ｘ１ｘ２
ꎬ
∵ｘ１ꎬｘ２∈(０ꎬ＋∞)ꎬ
∴ｘ１ｘ２>０.
又ｘ１<ｘ２ꎬ∴ｘ２－ｘ１>０ꎬ
∴ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)>０ꎬ
∴ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ
∴函数ｙ＝ｆ(ｘ) ＝ｘ－１
ｘ在(０ꎬ＋∞) 上单调
递增ꎬ
同理函数ｙ＝ｆ(ｘ) ＝ｘ－１
ｘ在( －∞ꎬ０) 上单
调递增ꎬ函数图象如图.
２７４
１３.解析 ｙ＝ｆ(ｔ)＝
３
２ｔ
２ꎬ０<ｔ≤１ꎬ
－３
２(ｔ－２)
２＋３ꎬ１<ｔ≤２ꎬ
３ꎬｔ>２.
ì
î
í
ï
ïï
ï
ïï
函数图象如图.
１４.解析 (１)由题表中所给数据ꎬ在平面直角
坐标系中作出( ３０ꎬ６０)ꎬ( ４０ꎬ３０)ꎬ( ４５ꎬ
１５)ꎬ(５０ꎬ０)的对应点ꎬ它们近似地分布在
一条直线上ꎬ如图所示.
设ｙ＝ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０)ꎬ则
５０ｋ＋ｂ＝０ꎬ
４５ｋ＋ｂ＝１５ꎬ
{
解得
ｋ＝－３ꎬ
ｂ＝１５０ꎬ
{
∴ｙ＝－３ｘ＋１５０(０≤ｘ≤５０ꎬ且ｘ∈Ｎ
∗).
(２)依题意ꎬ得Ｐ＝ｙ(ｘ－３０)
＝(－３ｘ＋１５０)(ｘ－３０)
＝－３(ｘ－４０)
２＋３００(０≤ｘ≤５０ꎬ且ｘ∈Ｎ
∗)ꎬ
∴当ｘ＝４０时ꎬＰ有最大值３００.
故销售单价为４０元时ꎬ才能获得最大日销
售利润.
第四章 指数函数与
对数函数
4.1 指数
４.１.１ ｎ次方根与分数指数幂
练习
１.解析 (１)ａ
１
２＝ａ.(２)ａ
３
４＝
４ａ
３.
(３)ａ
－３
５＝
１
５ａ
３.(４)ａ
－２
３＝
１
３ａ
２.
２.解析 (１)
３ｘ
２＝ｘ
２
３(ｘ>０).
(２)
５(ｍ－ｎ)
４＝(ｍ－ｎ)
４
５(ｍ>ｎ).
(３)
ｐ
６
ｐ
５＝ｐ
３ｐ
５
２＝ｐ
１１
２(ｐ>０).
(４) ａ
３
ａ
＝ａ３－１
２＝ａ
５
２(ａ>０).
３.解析 (１)
３６
４９
(
)
３
２
＝
６
７
(
)
２
[
]
３
２
＝
６
７
(
)
３
＝２１６
３４３.
(２)２３×３
３１.５×
６１２
＝２×３
１
２×３×
３
３
２×(２
２×３)
１
６
＝２×３
１
２×３×３
１
３×２
－１
３×２
１
３×３
１
６
＝２１－１
３
＋１
３×３１＋１
２
＋１
３
＋１
６
＝２×３
２＝１８.
(３)ａ
１
２ａ
１
４ａ
－１
８＝ａ
１
２
＋１
４
－１
８＝ａ
５
８.
(４) ２ｘ
－１
３
１
２ｘ
１
３－２ｘ
－２
３
(
) ＝ｘ
－１
３
＋１
３－４ｘ
－１
３
－２
３
＝１－４ｘ
－１.
４.１.２ 无理数指数幂
及其运算性质
练习
１.解析 (１)(２
３
ｍ
３)
２３
＝２
３×２３ｍ
３
２×２３
＝２
６ｍ
３＝６４ｍ
３.
(２)ａ
π
３ａ
２π
３ａ
－π ＝ａ
π
３＋２π
３－π ＝ａ
０＝１.
２.解析
(１) 当ｘ趋向负无穷大时ꎬ２
ｘ的值不
断变小ꎬ并且趋近于０.
(２)当ｘ趋向正无穷大时ꎬ
１
２
(
)
ｘ
的值不断
变小ꎬ并且趋近于０.
◆习题4.1
复习巩固
１.解析 (１)原式＝１００.
(２)原式＝－０.１.
(３)原式＝４－π.
(４)原式＝｜ｘ－ｙ｜.
２.答案 (１)Ｄ (２)Ａ
解析 (１)对于Ａꎬａ
４
３ａ
３
４＝ａ
４
３＋３
４＝ａ
２５
１２ꎻ对于
Ｂꎬａ÷ａ
２
３＝ａ
１－２
３＝ａ
１
３ꎻ对于Ｃꎬａ
２
３ａ
－２
３＝ａ
０＝１ꎻ
对于Ｄꎬ(ａ
１
４)
４＝ａ.故选Ｄ.
(２)ａ
ｍ
ｎ＝
ｎａ
ｍꎬａ
０＝１ꎬａ
－ｍ
ｎ＝
１
ｎａ
ｍꎬ故选Ａ.
３.答案 (１)
１
２
(
)
－１
(２)２
３<３
２<２
π <π
５
４.解析 (１)原式＝
ｂ
３
ａ
ａ
２
ｂ
６
æ
è
ç
ö
ø
÷
１
２
＝
ｂ
３
ａ
(
)
１
２
ａ
２
ｂ
６
(
)
１
４
＝ｂ
３
２ａ
１
２
ａ
１
２ｂ
３
２
＝１.
(２)原式＝(ａ
１
２
ａ
１
２ａ)
１
２
＝ａ
１
４(ａ
１
４
４ａ)
１
２
＝ａ
１
４ａ
１
８(ａ
１
４)
１
２＝ａ
１
２.
(３)原式＝ｍ
１
２ｍ
１
３ｍ
１
４
ｍ
５
６ｍ
１
４
＝ｍ
１
２
＋１
３
＋１
４
－５
６
－１
４＝ｍ
０＝１.
５.解析 (１)原式＝ａ
１
３
＋３
４
＋７
１２＝ａ
５
３.
(２)原式＝ａ
２
３
＋３
４
－５
６＝ａ
７
１２.
(３)原式＝ｘ
１
３×１２ｙ
－３
４×１２＝ｘ
４ｙ
－９.
(４)原式＝(－６)ａ
２
３
＋１
３ｂ
－１
３＋１
３＝－６ａｂ
０＝－６ａ.
综合运用
６.答案 ６４
解析 ∵细菌每１０ｍｉｎ分裂１次ꎬ１ｈ共分
裂６次ꎬ∴１个细菌分裂成２
６＝６４个.
７.解析 (１)∵１０
ｍ＝２ꎬ１０
ｎ＝３ꎬ
∴１０
３ｍ－２ｎ
２
＝(１０
３ｍ－２ｎ)
１
２＝
１０
３ｍ
１０
２ｎ
(
)
１
２
＝
(１０
ｍ)
３
(１０
ｎ)
２
[
]
１
２
＝
２
３
３
２
(
)
１
２
＝２２
３.
(２)∵ａ
２ｘ＝３ꎬ∴ａ
３ｘ＋ａ
－３ｘ
ａ
ｘ＋ａ
－ｘ＝(ａ
ｘ)
３＋(ａ
－ｘ)
３
ａ
ｘ＋ａ
－ｘ
＝ａ
２ｘ－ａ
ｘａ
－ｘ＋ａ
－２ｘ＝３－１＋１
３＝７
３.
８.解析 已知ａ
１
２＋ａ
－１
２＝３ꎬ
(１)ａ＋ａ
－１＝(ａ
１
２＋ａ
－１
２)
２－２ａ
１
２ａ
－１
２
＝３
２－２ａ
０＝７.
(２)ａ
２＋ａ
－２＝(ａ＋ａ
－１)
２－２ａａ
－１
＝４９－２＝４７.
拓广探索
９.解析 (１)当进行１次之后ꎬ容器中酒精含
量为２
３Ｌꎻ第２次之后为２
３× ２
３＝４
９Ｌꎻ
ꎻ第５次之后为
２
３
(
)
５
Ｌ.
(２)由(１)得出第ｎ次之后为
２
３
(
)
ｎ
Ｌ.
１０.解析 (１)略.
(２)当ｎ越来越大时ꎬ１＋１
ｎ
(
)
ｎ
也会越来
越大.没有最大值.
4.2 指数函数
４.２.１ 指数函数的概念
练习
１.Ｃ Ａ为一次函数图象ꎬＢ为二次函数图象ꎬ
Ｄ可以为ｙ＝ｘ
３的图象.
２.解析 ｆ(０)＝３２
０ꎻ
ｆ(０.５)＝２ｆ(０)＝３２
１ꎻ
ｆ(１)＝２ｆ(０.５)＝４ｆ(０)＝３２
２ꎻ
ｆ(１.５)＝２ｆ(１)＝８ｆ(０)＝３２
３ꎻ
ｆ(０.５ｎ)＝２ｆ(０.５(ｎ－１))＝３２
ｎ.
所以函数ｙ＝ｆ(ｘ) 的一个解析式为ｆ(ｘ) ＝３
２
２ｘ＝３４
ｘ.
３.解析 令ｆ(ｘ)＝(１＋６.２５％)
ｘꎬ
则ｆ(３０)＝(１＋６.２５％)
３０≈６.１６ꎬ
所以该湖泊的蓝藻变为原来的６.１６倍.
教材习题答案
２７５
４.２.２ 指数函数的图象和性质
练习
１.解析 在同一平面直角坐标系中ꎬ函数ｙ＝
３
ｘꎬｙ＝
１
３
(
)
ｘ
的图象如图所示.它们的图象
关于ｙ轴对称.
２.解析 (１)由函数ｙ＝６
ｘ、ｙ＝７
ｘ的图象可知
６
２<７
２.
(２) 由函数ｙ＝０. ３
ｘ的图象可知０. ３
－３.５>
０.３
－２.３.
(３)由函数ｙ＝１.２
ｘ、ｙ＝０.５
ｘ的图象可知１.２
０.５
>１>０.５
１.２ꎬ即１.２
０.５>０.５
１.２.
３.解析 略.
◆习题4.2
复习巩固
１.解析 (１)对任意的ｘ∈Ｒꎬ函数ｙ＝２
３－ｘ都有
意义ꎬ所以ｙ＝２
３－ｘ的定义域为(－∞ꎬ＋∞).
(２)对任意的ｘ∈Ｒꎬ函数ｙ＝３
２ｘ＋１都有意义ꎬ
所以ｙ＝３
２ｘ＋１的定义域为(－∞ꎬ＋∞).
(３)对任意的ｘ∈Ｒꎬ函数ｙ＝
１
２
(
)
５ｘ
都有意
义ꎬ所以ｙ＝
１
２
(
)
５ｘ
的定义域为(－∞ꎬ＋∞).
(４)由题意知ｘ≠０ꎬ所以ｙ＝０.７
１
ｘ的定义域
为(－∞ꎬ０)∪(０ꎬ＋∞).
２.解析 由题意可得ꎬ
经过１年后ꎬ年产量为ａ＋ａｐ％＝ａ( １
＋ｐ％)ꎻ
经过２年后ꎬ年产量为ａ(１＋ｐ％) ＋ａ(１＋ｐ％)
ｐ％＝ａ(１＋ｐ％)
２ꎻ
经过３年后ꎬ年产量为ａ( １＋ｐ％)
２＋
ａ(１＋ｐ％)
２ｐ％＝ａ(１＋ｐ％)
３ꎻ
经过ｘ年后ꎬ年产量为ａ(１＋ｐ％)
ｘ.
∴ｙ＝ａ(１＋ｐ％)
ｘ(ｘ∈Ｎ
∗ꎬｘ≤ｍ).
３.解析 (１)ｍ<ｎ.(２)ｍ>ｎ.(３)ｍ>ｎ.(４)ｍ>ｎ.
４.解析 (１)２０.２３＝Ｑ０(１＋ｒ)
１０ꎬ①
２３.２６＝Ｑ０(１＋ｒ)
１１ꎬ②
②
①得２３.２６
２０.２３＝１＋ｒꎬ∴ｒ＝２３.２６
２０.２３－１≈０.１５.
(２)由(１)知ꎬＱ０≈５ꎬｆ(１２)＝５×(１＋０.１５)
１２
＝５×１.１５
１２≈２６.７５.
综合运用
５.解析 (１)设ｆ(ｘ)＝３.５ａ
ｘ(ａ>０且ａ≠１)ꎬ
由ｆ(１)＝４.２０ꎬ得ａ＝１.２ꎬ
∴ｆ(ｘ)＝３.５×１.２
ｘ.
(２)设ｇ(ｘ)＝ｃａ
ｘ(ｃ≠０ꎬａ>０且ａ≠１)ꎬ
由ｇ(－１)＝８ꎬｇ(１)＝２ꎬ得
ｃａ
－１＝８ꎬ
ｃａ＝２ꎬ
{
解得
ａ＝１
２ꎬ
ｃ＝４ꎬ
{
∴ｇ(ｘ)＝４
１
２
(
)
ｘ
.
６.解析 (１)∵ｙ＝３
ｘ是增函数ꎬ且０.８>０.７ꎬ
∴３
０.８>３
０.７.
(２)∵ｙ＝０.７５
ｘ是减函数ꎬ且－０.１<０.１ꎬ
∴０.７５
－０.１>０.７５
０.１.
(３)∵ｙ＝１.０１
ｘ是增函数ꎬ且２.７<３.５ꎬ
∴１.０１
２.７<１.０１
３.５.
(４)∵ｙ＝０.９９
ｘ是减函数ꎬ且３.３<４.５ꎬ
∴０.９９
３.３>０.９９
４.５.
７.解析 能.设原来碳１４的含量为１ꎬ则经过９
个“半衰期”后ꎬ碳１４的含量为
１
２
(
)
９
＝１
５１２
>
１
１０００ꎬ所以能探测到.
８.解析 (１)本利和ｙ关于存期数ｘ的函数解
析式为ｙ＝ａ(１＋ｒ)
ｘ.
(２)当ａ＝１０００ꎬｒ＝２.２５％ꎬｘ＝５时ꎬ
ｙ＝１０００× ( １＋２. ２５％)
５＝１０００× １.０２２５
５
≈１１１８(元).
∴５期后的本利和约为１１１８元.
拓广探索
９.解析 (１)由题意ꎬ得
ｆ(０)＝０ꎬ
ｂ＝２ꎬ
{
∴
ａ＝－２ꎬ
ｂ＝２ꎬ
{
∴ｙ＝－２
１
２
(
)
｜ｘ｜
＋２.
图象如图所示:
(２)该函数是偶函数.在( －∞ꎬ０] 上单调递
减ꎬ在[０ꎬ＋∞)上单调递增.
１０.解析 (１)当ａ>１时ꎬｆ(ｘ)单调递增ꎬｇ(ｘ)
单调递减ꎻ
当０<ａ<１时ꎬｆ(ｘ)单调递减ꎬｇ(ｘ)单调递增.
(２)
图①
图②
当ａ>１时ꎬ若ｆ(ｘ)<ｇ(ｘ)ꎬ由图①ꎬ得ｘ<０ꎻ
当０<ａ< １时ꎬ若ｆ( ｘ) < ｇ( ｘ)ꎬ由图②ꎬ得
ｘ>０.
4.3 对数
４.３.１ 对数的概念
练习
１.解析 (１)ｌｏｇ２８＝３.
(２)ｌｎｍ＝３.
(３)ｌｏｇ２７
１
３＝－１
３.
(４)３
２＝９.
(５)１０
２.３＝ｎ.
(６)３
－４＝１
８１.
２.解析 (１)∵５
２＝２５ꎬ∴ｌｏｇ５２５＝２.
(２)∵０.４
０＝１ꎬ∴ｌｏｇ０.４１＝０.
(３)∵ｅ
－１＝１
ｅꎬ∴ｌｎ１
ｅ＝－１.
(４)∵１０
－３＝０.００１ꎬ∴ｌｇ０.００１＝－３.
３.解析 (１)ｌｏｇ
１
３ｘ＝－３ꎬ∴ｘ＝
１
３
(
)
－３
＝２７.
(２)∵ｌｏｇｘ４９＝４ꎬ∴ｘ
４＝４９ꎬ
又ｘ>０且ｘ≠１ꎬ∴ｘ＝７.
(３)∵ｌｇ０.００００１＝ｘꎬ∴ｘ＝ｌｇ１０
－５＝－５.
(４)∵ｌｎｅ＝－ｘꎬ∴ｘ＝－ｌｎｅ
１
２＝－１
２.
４.３.２ 对数的运算
练习
１.解析 (１)ｌｏｇ３(２７×９
２)＝ｌｏｇ３３
３＋ｌｏｇ３３
４＝３＋４
＝７.
(２)ｌｇ５＋ｌｇ２＝ｌｇ(５×２)＝ｌｇ１０＝１.
(３)ｌｎ３＋ｌｎ１
３＝ｌｎ３× １
３
(
) ＝ｌｎ１＝０.
(４)ｌｏｇ３５－ｌｏｇ３１５＝ｌｏｇ３
５
１５＝ｌｏｇ３
１
３＝－１.
２７６
２.解析 (１)ｌｇ(ｘｙｚ)＝ｌｇｘ＋ｌｇｙ＋ｌｇｚ.
(２)ｌｇｘｙ
２
ｚ＝ｌｇ(ｘｙ
２)－ｌｇｚ
＝ｌｇｘ＋ｌｇｙ
２－ｌｇｚ
＝ｌｇｘ＋２ｌｇｙ－ｌｇｚ.
(３)ｌｇｘｙ
３
ｚ
＝ｌｇ(ｘｙ
３)－ｌｇｚ
＝ｌｇｘ＋ｌｇｙ
３－１
２ｌｇｚ
＝ｌｇｘ＋３ｌｇｙ－１
２ｌｇｚ.
(４)ｌｇｘ
ｙ
２ｚ
＝ｌｇｘ－ｌｇ(ｙ
２ｚ)
＝１
２ｌｇｘ－ｌｇｙ
２－ｌｇｚ
＝１
２ｌｇｘ－２ｌｇｙ－ｌｇｚ.
３.解析 (１)原式＝ｌｇ３
ｌｇ２×ｌｇ４
ｌｇ３×ｌｇ５
ｌｇ４×ｌｇ２
ｌｇ５＝１.
(２)原式＝２(
１
２ｌｏｇ２３＋１
３ｌｏｇ２３) ( ｌｏｇ３２＋
１
２ｌｏｇ３２)
＝２× ５
６ｌｏｇ２３× ３
２ｌｏｇ３２＝５
２.
◆习题4.3
复习巩固
１.解析 (１)ｌｏｇ３１＝ｘ.
(２)ｌｏｇ４
１
６＝ｘ.
(３)ｌｇ６＝ｘ.
(４)ｌｎ２５＝ｘ.
(５)５
ｘ＝２７.
(６)７
ｘ＝１
３.
(７)１０
ｘ＝０.３.
(８)ｅ
ｘ＝３.
２.答案 (１)Ｄ (２)Ｃ
解析 (１)根据题意ꎬ知
２－ｘ>０ꎬ
２ｘ－１>０ꎬ
２ｘ－１≠１
{
⇒１
２<ｘ<
２ꎬ且ｘ≠１ꎬ故选Ｄ.
(２)∵ｌｇａ＋ｌｇｂ＝０ꎬ且ａ>０ꎬｂ>０ꎬ∴ｌｇ(ａｂ)＝
０ꎬ即ａｂ＝１ꎬ故选Ｃ.
３.解析 (１)ｌｏｇａ２＋ｌｏｇａ
１
２
＝ｌｏｇａ２× １
２
(
) ＝ｌｏｇａ１＝０.
(２)ｌｏｇ３１８－ｌｏｇ３２＝ｌｏｇ３
１８
２＝ｌｏｇ３９＝２.
(３)ｌｇ１
４－ｌｇ２５＝ｌｇ
１
４×２５＝ｌｇ１
１００＝－２.
(４)２ｌｏｇ５２５－３ｌｏｇ２６４＝２×２－３×６＝４－１８＝－１４.
(５)ｌｏｇ２(ｌｏｇ２１６)＝ｌｏｇ２４＝２.
(６)ｌｏｇ２２５×ｌｏｇ３４×ｌｏｇ５９
＝ｌｇ２５
ｌｇ２×ｌｇ４
ｌｇ３×ｌｇ９
ｌｇ５
＝２ｌｇ５
ｌｇ２×２ｌｇ２
ｌｇ３×２ｌｇ３
ｌｇ５＝８.
４.解析 (１)ｌｎｘ＝ｌｎａ＋ｌｎｂ＝ｌｎａｂꎬ
∴ｘ＝ａｂ.
(２)ｌｇｘ＝３ｌｇｎ－ｌｇｍ＝ｌｇｎ
３－ｌｇｍ＝ｌｇｎ
３
ｍꎬ
∴ｘ＝ｎ
３
ｍ.
(３)ｌｏｇａｘ＝１
２ｌｏｇａｂ－ｌｏｇａｃ＝ｌｏｇａｂ－ｌｏｇａｃ
＝ｌｏｇａ
ｂ
ｃꎬ∴ｘ＝ｂ
ｃ.
(４)∵ｌｏｇ２[ｌｏｇ３(ｌｏｇ４ｘ)] ＝０ꎬ
∴ｌｏｇ３(ｌｏｇ４ｘ)＝１ꎬ
∴ｌｏｇ４ｘ＝３ꎬ∴ｘ＝４
３＝６４.
综合运用
５.解析 (１)ｌｇ６＝ｌｇ２＋ｌｇ３＝ａ＋ｂ.
(２)ｌｏｇ３４＝ｌｇ４
ｌｇ３＝２ｌｇ２
ｌｇ３＝２ａ
ｂ.
(３)ｌｏｇ２１２＝ｌｇ１２
ｌｇ２＝ｌｇ３＋ｌｇ４
ｌｇ２
＝ｌｇ３＋２ｌｇ２
ｌｇ２
＝２ａ＋ｂ
ａ
.
(４)ｌｇ３
２＝ｌｇ３－ｌｇ２＝ｂ－ａ.
６.解析 (１)ｘｌｏｇ３４＝１ꎬ∴ｘ＝ｌｏｇ４３ꎬ
∴４
ｘ＋４
－ｘ＝４
ｌｏｇ４３＋４
－ｌｏｇ４３＝３＋１
３＝１０
３.
(２)ｆ(ｌｏｇ３２)＝３
ｌｏｇ３２＝２.
７.证明 (１)左边＝ｌｇｂ
ｌｇａｌｇｃ
ｌｇｂｌｇａ
ｌｇｃ＝１ꎬ
∴ｌｏｇａｂｌｏｇｂｃｌｏｇｃａ＝１.
(２)ｌｏｇａ
ｍｂ
ｎ＝ｌｇｂ
ｎ
ｌｇａ
ｍ＝ｎ
ｍｌｇｂ
ｌｇａ
＝ｎ
ｍｌｏｇａｂ.
８.解析 设ｘ年后该地ＧＤＰ会翻两番.
由题意知ꎬ(１＋６.５％)
ｘ＝４ꎬ
∴ｘ＝ｌｏｇ１.０６５４≈２２.０１.
∴２３年后该地ＧＤＰ会翻两番.
拓广探索
９.解析 (１)１.０１
３６５
０.９９
３６５≈１４８０.６６.
(２)１.０１
ｘ１＝１０×０.９９
ｘ１ꎬ
∴ｘ１≈１１５.１３.
∴大约经过１１６天后“进步” 的是“ 落后” 的
１０倍.同理可得ꎬ大约经过２３１天、３４６天后
“进步”的分别是“落后”的１００倍、１０００倍.
１０.解析
设经过ｘ个小时才能驾驶ꎬ由题
意ꎬ得
１００×(１－３０％)
ｘ≤２０ꎬ
∴ｘ≥ｌｇ０.２
ｌｇ０.７≈４.５.
∴至少经过５个小时才能驾驶.
4.4 对数函数
４.４.１ 对数函数的概念
练习
１.解析 (１)由１－ｘ>０ꎬ得ｘ<１ꎬ
故ｙ＝ｌｎ(１－ｘ)的定义域为{ｘ｜ｘ<１}.
(２)由
ｘ>０ꎬ
ｌｇｘ≠０ꎬ
{
得
ｘ>０ꎬ
ｘ≠１ꎬ
{
∴ｙ＝１
ｌｇｘ的定义域为{ｘ｜ｘ>０ꎬ且ｘ≠１}.
(３)由
１
１－３ｘ>０ꎬ得１－３ｘ>０ꎬ
∴ｘ< １
３.
∴ｙ＝ｌｏｇ７
１
１－３ｘ的定义域为ｘ
ｘ< １
３
{
} .
(４)ｙ＝ｌｏｇａ｜ｘ｜( ａ> ０ꎬ且ａ≠１) 的定义域为
{ｘ｜ｘ≠０}.
２.解析
( １) 函数ｙ＝ｌｇ１０
ｘ＝ｘ的图象如图
所示.
(２)ｙ＝１０
ｌｇｘ＝ｘ(ｘ>０)的图象如图所示.
３.答案 ①
４.４.２ 对数函数的图象和性质
练习
１.解析 函数ｙ＝ｌｏｇ３ｘ和ｙ＝ｌｏｇ
１
３ｘ的图象如图
所示.
ｙ＝ｌｏｇ３ｘ的图象与ｙ＝ｌｏｇ
１
３ｘ的图象关于ｘ轴
对称.
２.解析
(１) ∵ｙ＝ｌｇｘ在(０ꎬ＋∞) 上是增函
数ꎬ且０.６<０.８ꎬ
∴ｌｇ０.６<ｌｇ０.８.
(２)∵ｙ＝ｌｏｇ０.５ｘ在(０ꎬ＋∞)上是减函数ꎬ且６
>４ꎬ
∴ｌｏｇ０.５６<ｌｏｇ０.５４.
(３)当ｍ>１时ꎬｙ＝ｌｏｇｍｘ在(０ꎬ＋∞) 上是增
函数ꎬ
∵５<７ꎬ∴ｌｏｇｍ５<ｌｏｇｍ７ꎻ
当０<ｍ<１时ꎬｙ＝ｌｏｇｍｘ在(０ꎬ＋∞)上是减函数ꎬ
∵５<７ꎬ∴ｌｏｇｍ５>ｌｏｇｍ７.
３.解析 (１)由题意得ꎬｙ＝３０００(１＋６.８％)
ｘꎬ
１≤ｘ≤５且ｘ∈Ｎ
∗.
(２)３０００(１＋６.８％)
ｘ＝３９００ꎬ
解得ｘ≈３.９９ꎬ
∴经过４年该地区ＧＤＰ能达到３９００亿元
人民币.
教材习题答案
２７７
４.４.３ 不同函数增长的差异
练习
１.答案 ｙ２
解析 由题表中的数据可知ꎬ关于ｘ呈指数
增长的变量是ｙ２.
２.解析 由题图(１)知０≤ｘ<０.２７时３
ｘ>５ｘꎬ
由题图(２)(３)知ꎬｘ>２.１７时３
ｘ>５ｘꎬ
∴使３
ｘ>５ｘ的ｘ的取值范围是[０ꎬ０.２７) ∪
(２.１７ꎬ＋∞).
３.解析 由题图可知Ａ(１ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬｌｇ２).
设一次函数的解析式为ｆ(ｘ)＝ｋｘ＋ｂ(ｋ≠０)ꎬ
由题意得
０＝ｋ＋ｂꎬ
ｌｇ２＝２ｋ＋ｂꎬ
{
∴
ｂ＝－ｌｇ２ꎬ
ｋ＝ｌｇ２ꎬ
{
∴ｆ(ｘ)＝ｘｌｇ２－ｌｇ２.
４.Ｃ 根据ｆ(２)<１ꎬｆ(３)>１可知ｙ＝ｌｎｘ满足.
◆习题4.4
复习巩固
１.解析 (１)由题意知ｘ>０ꎬ
所以函数的定义域为(０ꎬ＋∞).
(２)由
ｌｏｇ０.５(４ｘ－３)≥０ꎬ
４ｘ－３>０ꎬ
{
得０<４ｘ－３≤１ꎬ解得３
４<ｘ≤１.
故函数的定义域是
３
４ꎬ１
(
] .
２.解析 (１)ｍ<ｎ.(２)ｍ>ｎ.
(３)ｍ>ｎ.(４)ｍ>ｎ.
３.解析 若火箭的最大速度ｖ＝１２ｋｍ/ ｓꎬ
则２０００ｌｎ１＋Ｍ
ｍ
(
) ＝１２ꎬ
则ｌｎ１＋Ｍ
ｍ
(
) ＝３
５００ꎬ
即１＋Ｍ
ｍ＝ｅ
３
５００ꎬ
所以Ｍ
ｍ≈０.００６.
故当燃料质量是火箭质量的０.６％时ꎬ火箭
的最大速度可达到１２ｋｍ/ ｓ.
４.解析 (１)①对应函数ｙ＝ｌｇｘꎬ②对应函数ｙ
＝ｌｏｇ５ｘꎬ③对应函数ｙ＝ｌｏｇ２ｘ.当底数大于１
时ꎬ图象在ｘ＝１的右侧ꎬ底数越大的图象越
靠近ｘ轴.
(２)如图ꎬ
(３)从(２)的图中发现ꎬｙ＝ｌｏｇ２ｘꎬｙ＝ｌｏｇ５ｘꎬｙ＝
ｌｇｘ的图象分别与ｙ＝ｌｏｇ１
２ｘꎬｙ＝ｌｏｇ１
５ｘꎬ
ｙ＝ｌｏｇ１
１０ｘ的图象关于ｘ轴对称.
可推广到一般情况.
∵ｌｏｇ１
ａｘ＝－ｌｏｇａｘ(ａ>０ꎬ且ａ≠１)ꎬ
∴ｙ＝ｌｏｇ１
ａｘ(ａ>０ꎬ且ａ≠１)的图象与ｙ＝ｌｏｇａｘ
(ａ>０ꎬ且ａ≠１) 的图象关于ｘ轴对称ꎬ它们
的单调性相反.
５.解析 (１)令Ｏ＝２７００ꎬ
则ｖ＝１
２ｌｏｇ３
２７００
１００＝１.５(ｍ/ ｓ).
∴当一条鱼的耗氧量是２７００个单位时ꎬ它
的游速为１.５ｍ/ ｓ.
(２)令ｖ＝０ꎬ则１
２ｌｏｇ３
Ｏ
１００＝０ꎬ解得Ｏ＝１００.
∴一条鱼静止时的耗氧量为１００个单位.
６.Ｂ
综合运用
７.解析 (１)互为反函数.
ｙ＝ｌｎｘ的定义域为(０ꎬ＋∞)ꎬ值域为Ｒꎻ
ｙ＝ｅ
ｘ的定义域为Ｒꎬ值域为(０ꎬ＋∞).
(２)互为反函数.
由ｙ＝－ｌｏｇａｘꎬ得ｌｏｇａｘ＝－ｙꎬ
∴ｘ＝ａ
－ｙ＝
１
ａ
(
)
ｙ
ꎬ∴ｙ＝－ｌｏｇａｘ的反函数是ｙ
＝
１
ａ
(
)
ｘ
.
ｙ＝－ｌｏｇａｘ的定义域为(０ꎬ＋∞)ꎬ值域为Ｒꎻ
ｙ＝
１
ａ
(
)
ｘ
的定义域为Ｒꎬ值域为(０ꎬ＋∞).
８.解析 (１)ｙ＝ｇ(ｘ) 表示该学校男生体重为
ｘｋｇ时平均身高为ｙｃｍ.
(２)∵ｆ(１７０)＝５５ꎬ∴ｇ(５５)＝１７０.
其实际意义是男生体重为５５ｋｇ时的平均身
高为１７０ｃｍ.
９.解析 设疾病的患病率与经过的年数的函
数关系式为ｆ(ｘ)＝(１－１５％)
ｘꎬ
依题意得(１－１５％)
ｘ＝５０％ꎬ
即０.８５
ｘ＝０.５ꎬ
∴ｘ＝ｌｇ０.５
ｌｇ０.８５≈４.２６５.
∴要将当前的患病率降低一半ꎬ大约需要
５年.
１０.解析 (１)∵ＬＩ＝１０ｌｇ
Ｉ
１０
－１２
(
) 为增函数ꎬ
∴(ＬＩ) ｍａｘ＝１０ｌｇ
１
１０
－１２
(
) ＝１２０ꎬ
(ＬＩ) ｍｉｎ＝１０ｌｇ１０
－１２
１０
－１２
(
) ＝０ꎬ
∴人听觉的声强级范围为[０ꎬ１２０] (单位:
ｄＢ).
(２)ＬＩ＝１０ｌｇ
１０
－６
１０
－１２
(
) ＝６０ｄＢ.
１１.解析 (１)设Ｐ１＝ｆ(ｔ)＝ｋｔ＋ｂ(ｋ≠０)ꎬ
由ｆ(０)＝２０ꎬｆ(１０)＝４０ꎬ
得
ｂ＝２０ꎬ
１０ｋ＋ｂ＝４０ꎬ
{
∴
ｋ＝２ꎬ
ｂ＝２０.
{
∴Ｐ１＝ｆ(ｔ)＝２ｔ＋２０(ｔ≥０).
(２)设Ｐ２＝ｇ(ｔ) ＝ｃａ
ｔ( ｃ> ０ꎬａ> ０ꎬ且ａ≠
１)ꎬ
由ｇ(０)＝２０ꎬｇ(１０)＝４０ꎬ得
ｃａ
０＝２０ꎬ
ｃａ
１０＝４０ꎬ
{
∴
ｃ＝２０ꎬ
ａ＝２
１
１０ꎬ
{
∴Ｐ２＝ｇ(ｔ)＝２０(２
１
１０)
ｔ＝２０２
ｔ
１０(ｔ≥０).
(３)补全表格如下:
ｔ
０
５
１０
１５
２０
Ｐ１/ 万元
２０
３０
４０
５０
６０
Ｐ２/ 万元
２０
２０２
４０
４０２
８０
图象如图所示:
当ｔ＝０或ｔ＝１０时ꎬＰ１＝Ｐ２ꎻ
当０<ｔ<１０时ꎬＰ１>Ｐ２ꎻ
当ｔ>１０时ꎬＰ１<Ｐ２.
拓广探索
１２.解析 ｌｏｇａ
１
２<１＝ｌｏｇａａꎬ
当ａ>１时ꎬａ> １
２ꎬ∴ａ>１ꎻ
当０<ａ<１时ꎬａ< １
２ꎬ∴０<ａ< １
２.
∴ａ>１或０<ａ< １
２.
∵
１
２
(
)
ａ
<１＝
１
２
(
)
０
ꎬ
∴ａ>０.
∵ａ
１
２<１ꎬ即ａ<１ꎬ∴
ａ<１ꎬ
ａ≥０ꎬ
{
∴０≤ａ<１.
综上ꎬ实数ａ的取值范围是０<ａ< １
２.
１３.解析 (１)解法一:如图ꎬ
由图象可知ꎬｌｏｇ０.２６>ｌｏｇ０.３６>ｌｏｇ０.４６.
解法二:∵ｌｏｇ６０.２<ｌｏｇ６０.３<ｌｏｇ６０.４<０ꎬ
∴
１
ｌｏｇ６０.２>
１
ｌｏｇ６０.３>
１
ｌｏｇ６０.４ꎬ即ｌｏｇ０.２６>ｌｏｇ０.３６
>ｌｏｇ０.４６.
(２)如图ꎬ
由图象可知ꎬｌｏｇ２３>ｌｏｇ３４>ｌｏｇ４５.
２７８
4.5 函数的应用（二）
４.５.１ 函数的零点与方程的解
练习
１.解析
不能.不能仅根据其中一个图象得出
函数ｙ＝ｆ(ｘ)在某个区间只有一个零点的判
断ꎬ应结合函数零点存在定理和函数单调性
判断.
２.解析
( １) 作出函数图象( 如图１)ꎬ因为
ｆ(１)＝１>０ꎬｆ(１.５)＝－２.８７５<０ꎬ所以ｆ(ｘ)＝
－ｘ
３－３ｘ＋５在区间(１ꎬ１.５) 上至少有一个零
点.又因为ｆ(ｘ) 是( －∞ꎬ＋∞) 上的减函数ꎬ
所以ｆ(ｘ)＝－ｘ
３－３ｘ＋５在区间(１ꎬ１.５)上有且
只有一个零点.
(２)作出函数图象( 如图２)ꎬ因为ｆ(３) <０ꎬ
ｆ(４)>０ꎬ所以ｆ(ｘ) ＝２ｘｌｎ( ｘ－２) －３在区间
(３ꎬ４)上至少有一个零点.
又因为ｆ(ｘ)＝２ｘｌｎ(ｘ－２)－３在(２ꎬ＋∞)上是
增函数ꎬ所以ｆ(ｘ)在(３ꎬ４) 上有且仅有一个
零点.
(３)作出函数图象( 如图３)ꎬ因为ｆ(０) <０ꎬ
ｆ(１)>０ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｅ
ｘ－１＋４ｘ－４在区间(０ꎬ１)
上至少有一个零点.
又因为ｆ(ｘ)＝ｅ
ｘ－１＋４ｘ－４在(－∞ꎬ＋∞)上是
增函数ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ１) 上有且仅有一个
零点.
(４)作出函数图象(如图４)ꎬ因为ｆ(－４) <０ꎬ
ｆ(－３)>０ꎬｆ(－２) <０ꎬｆ(２) <０ꎬｆ(３)>０ꎬ所以
ｆ(ｘ)＝３(ｘ＋２) (ｘ－３) (ｘ＋４)＋ｘ在( －４ꎬ－３)ꎬ
(－３ꎬ－２)ꎬ(２ꎬ３)上各有一个零点.
图１ 图２
图３ 图４
４.５.２ 用二分法求方程的近似解
练习
１.解析
由题设可知ｆ(０) ＝－１.４<０ꎬｆ(１) ＝
１.６>０ꎬ于是ｆ(０)ｆ(１)<０ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在
区间(０ꎬ１) 内存在零点ｘ０.下面用二分法求
函数ｆ(ｘ)＝ｘ
３＋１.１ｘ
２＋０.９ｘ－１.４在区间(０ꎬ
１)内的零点.
取区间(０ꎬ１)的中点ｘ１＝０.５ꎬ用计算器可算
得ｆ(０.５)＝－０.５５.
因为ｆ(０.５)ｆ(１)<０ꎬ所以ｘ０∈(０.５ꎬ１).
再取区间(０.５ꎬ１)的中点ｘ２＝０.７５ꎬ
用计算器可算得ｆ(０.７５)≈０.３２ꎬ
因为ｆ(０.５)ｆ(０.７５)<０ꎬ
所以ｘ０∈(０.５ꎬ０.７５).
同理可得ｘ０∈(０.６２５ꎬ０.７５)ꎬ
ｘ０∈(０.６２５ꎬ０.６８７５).
由于｜０.６８７５－０.６２５｜＝０.０６２５<０.１ꎬ
所以函数在区间(０ꎬ１)内零点的近似值约为
０.６８７５.
２.解析 原方程可化为ｘ＋ｌｇｘ－３＝０ꎬ令ｆ(ｘ)＝
ｘ＋ｌｇｘ－３ꎬ用计算器可算得ｆ(２)≈－０.７０ꎬ
ｆ(３)≈０.４８.于是ｆ(２)ｆ(３)<０ꎬ所以这个方
程在区间(２ꎬ３)内存在实数解ｘ０.
下面用二分法求方程ｘ＝３－ｌｇｘ在区间(２ꎬ
３)内的近似解.
取区间(２ꎬ３)的中点ｘ１＝２.５ꎬ用计算器可算
得ｆ(２.５)≈－０.１０.
因为ｆ(２.５)ｆ(３)<０ꎬ
所以ｘ０∈(２.５ꎬ３).
再取区间(２.５ꎬ３)的中点ｘ２＝２.７５ꎬ用计算器
可算得ｆ(２.７５)≈０.１９.
因为ｆ(２.５)ｆ(２.７５)<０ꎬ
所以ｘ０∈(２.５ꎬ２.７５).
同理可得ｘ０∈(２.５ꎬ２.６２５)ꎬ
ｘ０∈(２.５６２５ꎬ２.６２５).
由于｜２.６２５－２.５６２５｜＝０.０６２５<０.１ꎬ
此时区间(２.５６２５ꎬ２.６２５) 中任意一个值都
是零点ｘ０满足精确度的近似值ꎬ所以原方
程的近似解可取为２.６.
４.５.３ 函数模型的应用
练习
１.解析 (１)根据马尔萨斯人口增长模型ｙ＝
ｙ０ｅ
ｒｔꎬ对于１６５０年ꎬｙ０＝５亿ꎬｒ＝０.００３ꎬ
∴ｙ＝５ｅ
０.００３ｔ.
要使世界人口是１６５０年的２倍ꎬ
则ｙ＝１０亿ꎬ∴１０＝５ｅ
０.００３ｔꎬ
解得ｔ≈２３１年ꎬ
∴１８８１年的世界人口是１６５０年的２倍.
同理ꎬ对于１９７０年ꎬｙ０＝３６亿ꎬｒ＝０.０２１ꎬ
∴ｙ＝３６ｅ
０.０２１ｔ.令ｙ＝７２亿ꎬ则７２＝３６ｅ
０.０２１ｔꎬ解
得ｔ≈３３年ꎬ
∴约２００３年的世界人口是１９７０年的２倍.
(２)根据实际情况ꎬ对于１６５０年得到的结
论ꎬ公式中的增长速度要小于实际的增长速
度ꎬ而对于１９７０年得到的结论ꎬ公式中的增
长速度要大于实际的增长速度.可见近几十
年ꎬ各国为控制人口增长而采取了一定的措
施ꎬ已经有了一定成效ꎬ或者此模型不太适
宜估计时间跨度非常大的人口增长情况.
２.解析 设野兔基数为ｍꎬ增长率为ａꎬ则ｍ
(１＋ａ)
２１＝２ｍꎬ
∴(１＋ａ)
２１＝２ꎬ∴１＋ａ＝２
１
２１.
设１万只野兔增长到１亿只野兔需要ｔ个
月ꎬ依题意ꎬ有１０
８＝１０
４( ２
１
２１)
ｔꎬ解得
ｔ≈２７９ꎬ∴２７９
１２≈２３.２５(年).
∴１万只野兔增长到１亿只野兔大约需要
２４年.
３.解析 能.设样本中碳１４的初始量为ｋꎬ衰
减率为ｐ(０<ｐ<１)ꎬ经过ｘ年后ꎬ残余量为ｙ.
根据问题的实际意义ꎬ可选择如下模型:ｙ＝
ｋ(１－ｐ)
ｘ(ｋ∈Ｒꎬ且ｋ≠０ꎻ０<ｐ<１ꎻｘ≥０).由碳
１４的半衰期为５７３０年ꎬ得
ｋ(１－ｐ)
５７３０＝１
２ｋꎬ于是１－ｐ＝
５７３０
１
２ꎬ
所以ｙ＝ｋ
５７３０
１
２
(
)
ｘ
.
由样本中碳１４的残余量约为初始量的
６２.７６％ꎬ可知
ｋ
５７３０１
２
(
)
ｘ
＝６２. ７６％ｋꎬ即
５７３０
１
２
(
)
ｘ
＝
０.６２７６.
解得ｘ＝ｌｏｇ
５７３０
１
２０.６２７６.
由计算工具得ｘ≈３８５１.
因为１９５９年之前的３８５１年是公元前１８９２年ꎬ所
以推理二里头遗址大概是公元前１８９２年建成的.
练习
１.解析 乙选择的模型更符合实际.
对于甲选择的模型ｙ＝ａｘ
２＋ｂｘ＋ｃꎬ代入数据
(１ꎬ５２)ꎬ(２ꎬ６１)ꎬ(３ꎬ６８)ꎬ
得
５２＝ａ＋ｂ＋ｃꎬ
６１＝４ａ＋２ｂ＋ｃꎬ
６８＝９ａ＋３ｂ＋ｃꎬ
{
解得
ａ＝－１ꎬ
ｂ＝１２ꎬ
ｃ＝４１.
{
∴ｙ＝－ｘ
２＋１２ｘ＋４１ꎬ
检验:
当ｘ＝４时ꎬｙ＝７３ꎬ
当ｘ＝５时ꎬｙ＝７６ꎬ
当ｘ＝６时ꎬｙ＝７７.
当ｘ＝６时ꎬ偏差较大.
对于乙选择的模型ｙ＝ｐｑ
ｘ＋ｒꎬ代入数据
有
５２＝ｐｑ＋ｒꎬ
６１＝ｐｑ
２＋ｒꎬ
６８＝ｐｑ
３＋ｒꎬ
{
∴
ｐ＝－７２９
１４ꎬ
ｑ＝７
９ꎬ
ｒ＝１８５
２.
ì
î
í
ï
ïï
ï
ïï
∴ｙ＝－７２９
１４
７
９
(
)
ｘ
＋１８５
２.
检验:当ｘ＝４时ꎬｙ≈７３.４４ꎬ
当ｘ＝５时ꎬｙ≈７７.６８ꎬ当ｘ＝６时ꎬｙ≈８０.９７ꎬ
与实际数据相差都不算太大ꎬ
所以乙选择的模型更符合实际.
２.解析 (１)记２００８年为第一年.设第ｘ年的
肉鸡数量为ｙ吨ꎬ由题中第一个表中的数据
可知ꎬ每一年的肉鸡数量比上一年平均增长
１５５吨ꎬ则
ｙ＝７６９０＋１５５(ｘ－１)＝７５３５＋１５５ｘ.
设第ｘ年的人口数为ｚ万人ꎬ由同期该地人
口数表中的数据可知ｚ＝１００(１＋１.２％)
ｘ－１＝
２５０００
２５３×１.０１２
ｘ.
(２)设人均消费ｔｋｇ肉鸡ꎬ由题意ꎬ得１１１３ｔ
＝９０８０ꎬ∴ｔ≈８.１６.
２０１８年的肉鸡需求量为１１２７× ８. １６＝
教材习题答案
２７９
９１９６.３２( 吨)ꎬ小于２０１８年的产量９２３０
吨ꎬ故２０１８年能满足市场要求.
(３)由题中两表的变化趋势ꎬ可知２０１８年后
可先减少增加量ꎬ而后再增大增加量.
◆习题4.5
复习巩固
１.答案 ①③
解析
题图①③中不存在区间[ ａꎬｂ]ꎬ使
ｆ(ａ)ｆ(ｂ)<０.
２.解析 函数ｆ(ｘ) 在区间(２ꎬ３)ꎬ(３ꎬ４)ꎬ(４ꎬ
５)内有零点.
理由如下:由ｘ、ｆ(ｘ)的对应值表可得ｆ(２)
ｆ(３)<０ꎬｆ(３)ｆ(４)<０ꎬｆ(４)ｆ(５)<０ꎬ结合
函数零点存在定理可知函数ｆ(ｘ) 分别在区
间(２ꎬ３)ꎬ(３ꎬ４)ꎬ(４ꎬ５)内有零点.
３.证明 ｆ(ｘ)＝ｘ⇐⇒ｆ(ｘ)－ｘ＝０.
令ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｘ＝ｘ
３－３ｘ＋１.
∵ｇ(－１)＝３>０ꎬ
ｇ
１
２
(
) ＝
１
２
(
)
３
－３
２＋１＝－３
８<０ꎬ
ｇ(２)＝８－６＋１＝３>０ꎬ
∴ｇ(－１)ｇ
１
２
(
) <０ꎬｇ
１
２
(
) ｇ(２)<０.
由函数零点存在定理知ꎬ
ｇ(ｘ)在－１ꎬ１
２
(
) 内至少存在一个零点ꎬ
在
１
２ꎬ２
(
) 内至少存在一个零点ꎬ
综上ꎬｆ( ｘ) ＝ｘ在( －１ꎬ２) 内至少有两个实
数解.
４.解析 由题设有ｆ(２)≈－０.３１<０ꎬ
ｆ(３)≈０.４３>０ꎬ
于是ｆ(２)ｆ(３)<０ꎬ
所以函数ｆ(ｘ)在区间(２ꎬ３)内存在零点ｘ０.
下面用二分法求函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－２
ｘ在区间
(２ꎬ３)内的近似解.
取区间(２ꎬ３)的中点ｘ１＝２.５ꎬ
用计算器可算得ｆ(２.５)≈０.１２ꎬ
因为ｆ(２)ｆ(２.５)<０ꎬ
所以ｘ０∈(２ꎬ２.５).
再取区间(２ꎬ２.５)的中点ｘ２＝２.２５ꎬ
用计算器可算得ｆ(２.２５)≈－０.０８.
因为ｆ(２.２５)ｆ(２.５)<０ꎬ
所以ｘ０∈(２.２５ꎬ２.５).
同理可得ｘ０∈(２.２５ꎬ２.３７５)ꎬ
ｘ０∈(２.３１２５ꎬ２.３７５)ꎬ
由于｜２.３７５－２.３１２５｜＝０.０６２５<０.１ꎬ
所以函数在区间( ２ꎬ３) 内的零点可取为
２.３７５.
５.解析 原方程可化为０.８
ｘ－１－ｌｎｘ＝０ꎬ
令ｆ(ｘ)＝０.８
ｘ－１－ｌｎｘꎬｆ(０)没有意义ꎬ
用计算器算得ｆ(０.５)≈０.５９ꎬｆ(１)＝－０.２ꎬ
于是ｆ(０.５)ｆ(１)<０ꎬ
所以这个方程在区间(０.５ꎬ１) 内存在实数
解ｘ０.
下面用二分法求方程０.８
ｘ－１＝ｌｎｘ在区间
(０.５ꎬ１)内的近似解.取区间(０.５ꎬ１) 的中点
ｘ１＝０.７５ꎬ用计算器可算得ｆ(０.７５)≈０.１３.
因为ｆ(０.７５)ｆ(１)<０ꎬ
所以ｘ０∈(０.７５ꎬ１).
再取区间(０.７５ꎬ１)的中点ｘ２＝０.８７５ꎬ
用计算器可算得ｆ(０.８７５)≈－０.０４.
因为ｆ(０.８７５)ｆ(０.７５)<０ꎬ
所以ｘ０∈(０.７５ꎬ０.８７５).
同理可得ｘ０∈(０.８１２５ꎬ０.８７５).
由于｜０.８１２５－０.８７５｜＝０.０６２５<０.１ꎬ
所以原方程的近似解可取为０.８７５.
６.解析 设复制次数为ｎꎬ
则２×２
ｎ＝６４×１０２４ꎬ
∴ｎ＝１５ꎬ１５×３＝４５(分)ꎬ
∴开机后４５分ꎬ该病毒会占据６４ＭＢ内存.
综合运用
７.证明 ∵ｆ(１)＝ａ＋ｂ＋ｃ＝－ａ
２ꎬ
∴３ａ＋２ｂ＋２ｃ＝０ꎬ即２ｂ＝－３ａ－２ｃ.
∵ｆ(０)ｆ(１)＝－ａｃ
２ꎬ
ｆ(１)ｆ(２)＝－ａ
２(４ａ＋２ｂ＋ｃ)＝－ａ
２(ａ－ｃ).
当ｃ>０时ꎬｆ(０)ｆ(１)<０ꎬ
∴ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)内至少存在一个零点.
当ｃ≤０时ꎬ
ｆ(１)ｆ(２)＝－ａ
２(ａ－ｃ)<０ꎬ
∴ｆ(ｘ)在(１ꎬ２)内至少存在一个零点.
综上所述ꎬ函数ｆ(ｘ) 在(０ꎬ２) 内至少有一个
零点.
８.解析 (１)由题设有ｇ(ｘ)＝２－[ｆ(ｘ)]
２＝２－
(－ｘ
２－３ｘ－２)
２＝－ｘ
４－６ｘ
３－１３ｘ
２－１２ｘ－２.
(２)函数图象如图所示.
(３)由图象可知ꎬ函数ｇ( ｘ) 分别在区间
(－３ꎬ－２)和区间(－１ꎬ０)内各有一个零点.
取区间(－３ꎬ－２)的中点ｘ１＝－２.５ꎬ用计算器
可算得ｇ(－２.５)＝１.４３７５.
因为ｇ(－３)ｇ(－２.５)<０ꎬ
所以ｘ０∈(－３ꎬ－２.５).
再取区间(－３ꎬ－２.５)的中点ｘ２＝－２.７５ꎬ用计
算器可算得ｇ(－２.７５)≈０.２８ꎬ
因为ｇ(－３)ｇ(－２.７５)<０ꎬ
所以ｘ０∈(－３ꎬ－２.７５).
同理可得ｘ０∈(－２.８７５ꎬ－２.７５)ꎬ
ｘ０∈(－２.８１２５ꎬ－２.７５).
由于｜－２.７５－(－２.８１２５) ｜＝０.０６２５<０.１ꎬ
所以函数在区间( －３ꎬ－２) 内的零点约为
－２.８.同样可求得函数在区间( －１ꎬ０)内的零
点约为－０.２.
所以函数ｇ(ｘ)的零点约为－２.８ꎬ－０.２.
９.Ｃ 设ｙ＝ｆ(ｔ)＝ａ
ｔ.由ｆ(１)＝２ꎬ得ａ＝２ꎬ
∴ｙ＝２
ｔꎬ①正确ꎻ
ｆ(５)＝２
５＝３２>３０ꎬ故②正确ꎻ
ｆ(２)－ｆ(１)＝２
２－２
１＝２ꎬ
ｆ(３)－ｆ(２)＝２
３－２
２＝４ꎬ
∴浮萍每月增加的面积不断增长ꎬ③错误ꎻ
２
ｔ１＝２ꎬ２
ｔ２＝３ꎬ２
ｔ３＝６ꎬ
∴ｔ１＋ｔ２＝ｌｏｇ２２＋ｌｏｇ２３＝ｌｏｇ２６＝ｔ３ꎬ
∴ｔ１＋ｔ２＝ｔ３成立ꎬ④正确.故选Ｃ.
１０.解析 设应在病人注射这种药ｔｈ后再向
病人的血液补充这种药.
依题意ꎬ可得５００≤２５００( １－２０％)
ｔ≤
１５００ꎬ
整理得１
５≤
４
５
(
)
ｔ
≤３
５ꎬ
∴ｌｏｇ
４
５
３
５≤ｔ≤ｌｏｇ
４
５
１
５ꎬ
∴２.３≤ｔ≤７.２.
∴应在用药后２.３ｈ至７.２ｈ再向病人的血
液补充这种药.
１１.解析
年份２００８２００９２０１０２０１１
２０２０
ｙ/ ＺＢ０.４９
０.８
１.２
１.８２
１.８２×４４
根据表格中数据可选ｇ(ｘ)＝ａｂ
ｘ模型.
则
ａｂ
２＝０.８ꎬ
ａｂ
３＝１.２ꎬ
{
解得
ａ＝１６
４５ꎬ
ｂ＝３
２ꎬ
ì
î
í
ïï
ïï
∴ｇ(ｘ)＝１６
４５
３
２
(
)
ｘ
.
１２.解析 (１)以身高为横坐标ꎬ平均体重为纵
坐标ꎬ画出散点图如图所示.根据点的分布
特征ꎬ可考虑以ｙ＝ａｂ
ｘ作为刻画这个地
区未成年男性平均体重与身高的函数
模型.
如果取其中的两组数据(７０ꎬ７.９０)ꎬ(１６０ꎬ
４７.２５)ꎬ
代入ｙ＝ａｂ
ｘ得
７.９０＝ａｂ
７０ꎬ
４７.２５＝ａｂ
１６０ꎬ
{
用计算器算得ａ≈２ꎬｂ≈１.０２.
这样ꎬ就得到了一个函数模型ｙ＝２×１.０２
ｘ.
(２)将ｘ＝１７５代入ｙ＝２× １.０２
ｘꎬ得ｙ＝２×
１.０２
１７５ꎬ
由计算器算得ｙ≈６３.９８.
由于７８÷６３.９８≈１.２２>１.２ꎬ所以这个男生
偏胖.
拓广探索
１３.解析 不正确.
２８０
理由如下:
ｆ(－１)ｆ(１) <０仅说明变号零点的性质ꎬ还
应讨论不变号零点的情况.
由
ａ≠０ꎬ
Δ ＝１６＋４×２４ａ＝０
{
得ａ＝－１
６ꎬ
此时ｆ(ｘ) ＝－４ｘ
２＋４ｘ－１ꎬ零点为１
２ꎬ符合
题意.
所以实数ａ的取值范围是
－１
８ꎬ５
２４
(
) ∪
－１
６
{
} .
１４.解析 (１)由题意可知ꎬ符合题意的函数模
型必须满足２个条件:定义域为[０ꎬ１２０]ꎻ
在[０ꎬ１２０] 上为增函数. 而ｙ＝０. ５
ｖ＋ａ在
[０ꎬ１２０]为减函数ꎬ故不符合题意.
又ｙ＝ｋｌｏｇａｖ＋ｂ的定义域为(０ꎬ＋∞).也不满
足题意ꎬ故选Ｑ＝ａｖ
３＋ｂｖ
２＋ｃｖ.
代入已知数据ꎬ
得
８.１２５＝ａ６０
３＋ｂ６０
２＋ｃ６０ꎬ
１０＝ａ８０
３＋ｂ８０
２＋ｃ８０ꎬ
２０＝ａ１２０
３＋ｂ１２０
２＋ｃ１２０ꎬ
{
解得
ａ＝
１
３８４００ꎬ
ｂ＝－１
２４０ꎬ
ｃ＝７
２４.
ì
î
í
ï
ïï
ï
ïï
∴Ｑ＝
１
３８４００ｖ
３－１
２４０ｖ
２＋７
２４ｖꎬｖ∈[０ꎬ１２０].
(２)设该汽车从甲地到乙地总耗油量为ｙꎬ
行驶时间为ｔꎬ则
ｙ＝Ｑｔ＝２４０
ｖ
１
３８４００ｖ
３－１
２４０ｖ
２＋７
２４ｖ
(
)
＝
ｖ
２
１６０－ｖ＋７０＝
１
１６０( ｖ－８０)
２＋
３０ꎬｖ∈[０ꎬ１２０].
∵０≤ｖ≤１２０ꎬ
∴当ｖ＝８０时ꎬｙｍｉｎ＝３０.
∴该汽车以８０ｋｍ/ ｈ的速度行驶才能使总
耗油量最少.
复习参考题4
复习巩固
１.答案 (１)Ｃ (２)Ｂ (３)Ｃ
解析 (１) ｙ＝２
ｘ中用－ｘ代替ｘꎬ用－ｙ代替
ｙꎬ则得到ｙ＝－２
－ｘꎬ所以函数ｙ＝－２
－ｘ与ｙ＝２
ｘ
的图象关于原点对称.
(２) ∵ｙ＝２
ｘꎬｙ＝６
ｘꎬｙ＝
１
２
(
)
ｘ
都是指数函
数ꎬ它们的图象过定点(０ꎬ１)ꎬ而②的图象不
过点(０ꎬ１).故选Ｂ.
(３) ①②③④分别为函数ｙ＝ｌｏｇ
１
２ｘꎬｙ＝
ｌｏｇ
１
３ｘꎬｙ＝ｌｏｇ３ｘꎬｙ＝ｌｏｇ２ｘꎬ故选Ｃ.
２.答案 (１)> (２)< (３)> (４)> (５)>
(６)<
３.解析 (１)令ｆ(ｘ)＝２ｘ
３－４ｘ
２－３ｘ＋１ꎬ函数图
象如图所示:
函数分别在区间( －１ꎬ０)、(０ꎬ１) 和区间(２ꎬ
３)内各有一个零点ꎬ
所以方程２ｘ
３－４ｘ
２－３ｘ＋１＝０的最大的根应
在区间(２ꎬ３)内.
取区间(２ꎬ３)的中点ｘ１＝２.５ꎬ用计算器可算
得ｆ(２.５)＝－０.２５.
因为ｆ(２.５)ｆ(３)<０ꎬ
所以ｘ０∈(２.５ꎬ３).
再取(２.５ꎬ３)的中点ｘ２＝２.７５ꎬ
用计算器可算得ｆ(２.７５)≈４.０９.
因为ｆ(２.５)ｆ(２.７５)<０ꎬ
所以ｘ０∈(２.５ꎬ２.７５).
同理可得ｘ０∈( ２. ５ꎬ２. ６２５)ꎬｘ０∈
(２.５ꎬ２.５６２５)ꎬｘ０∈(２.５ꎬ２.５３１２５)ꎬ
ｘ０∈(２.５１５６２５ꎬ２.５３１２５)ꎬ
ｘ０∈(２.５１５６２５ꎬ２.５２３４３７５)ꎬ
由于｜２.５２３４３７５－２.５１５６２５｜
＝０.００７８１２５<０.０１ꎬ
所以方程２ｘ
３－４ｘ
２－３ｘ＋１＝０的最大根约为
２.５２.
(２)令ｌｇｘ＝１
ｘꎬ即ｌｇｘ－１
ｘ＝０ꎬ
令ｔ(ｘ)＝ｌｇｘ－１
ｘꎬ用二分法求得交点的横
坐标约为２.５.
４.解析 画出ｆ(ｘ)的图象与直线ｙ＝ｋꎬ如图.
由图象可知ꎬ
当ｋ<－４时ꎬｆ(ｘ)＝ｋ有１个解ꎻ
当ｋ＝－４或ｋ>－３时ꎬｆ(ｘ)＝ｋ有２个解ꎻ
当－４<ｋ≤－３时ꎬｆ(ｘ)＝ｋ有３个解.
综合运用
５.答案 (１)Ａ (２)Ｄ (３)Ｂ
解析 (１)Ａ＝{ｙ｜ｙ＝ｌｏｇ２ｘꎬｘ>１} ＝{ｙ｜ｙ>０}ꎬ
Ｂ＝
ｙ
ｙ＝１
２
ｘꎬｘ>１
{
} ＝
ｙ０<ｙ< １
２
{
} ꎬ
所以Ａ∩Ｂ＝
ｙ０<ｙ< １
２
{
} .故选Ａ.
(２)ｆ(ｘ)＝｜ｌｇｘ｜的图象如图所示ꎬ
由图象知ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减ꎬ
ｃ＝ｆ(２)＝｜ｌｇ２｜＝
ｌｇ１
２
＝ｆ
１
２
(
) ꎬ
∵
１
４< １
３< １
２ꎬ∴ｆ
１
４
(
) > ｆ
１
３
(
) >
ｆ
１
２
(
) ꎬ即ａ>ｂ>ｃꎬ故选Ｄ.
(３)在同一直角坐标系中分别作出函数ｙ＝
２
ｘꎬｙ＝ｌｏｇ２ｘꎬｙ＝ｘ
３及ｙ＝－ｘ的图象ꎬ如图
所示.
由图象可知ｂ>ｃ>ａꎬ故选Ｂ.
６.证明
( １) 因为ｇ( ｘ) ＝ｅ
ｘ＋ｅ
－ｘ
２
ꎬｆ( ｘ)
＝ｅ
ｘ－ｅ
－ｘ
２
ꎬ
所以[ｇ(ｘ)]
２－[ｆ(ｘ)]
２
＝
ｅ
ｘ＋ｅ
－ｘ
２
(
)
２
－ｅ
ｘ－ｅ
－ｘ
２
(
)
２
＝ｅ
２ｘ＋２＋ｅ
－２ｘ
４
－ｅ
２ｘ－２＋ｅ
－２ｘ
４
＝１.
(２)因为ｆ(２ｘ)＝ｅ
２ｘ－ｅ
－２ｘ
２
ꎬ
而２ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)＝２ｅ
ｘ－ｅ
－ｘ
２
ｅ
ｘ＋ｅ
－ｘ
２
＝ｅ
２ｘ－ｅ
－２ｘ
２
ꎬ
所以ｆ(２ｘ)＝２ｆ(ｘ)ｇ(ｘ).
(３)因为ｇ(２ｘ)＝ｅ
２ｘ＋ｅ
－２ｘ
２
ꎬ
又[ｇ(ｘ)]
２＋[ｆ(ｘ)]
２
＝ｅ
２ｘ＋ｅ
－２ｘ＋２
４
＋ｅ
２ｘ＋ｅ
－２ｘ－２
４
＝ｅ
２ｘ＋ｅ
－２ｘ
２
ꎬ
所以ｇ(２ｘ)＝[ｇ(ｘ)]
２＋[ｆ(ｘ)]
２.
７.解析 由指数函数ｙ＝
ｂ
ａ
(
)
ｘ
图象可知ꎬ０<
ｂ
ａ<１ꎬ
∴－１
２<－ｂ
２ａ<０ꎬ
∴二次函数ｙ＝ａｘ
２＋ｂｘ图象顶点的横坐标的
取值范围是－１
２ꎬ０
(
) .
８.解析
( １－２. ４７％)
８００× １００％＝０.９７５３
８００×
１００％≈０.００００００２０４％.
∴８００年后原有的锶９０还剩０.００００００２０４％.
９.解析 当ｔ＝０时ꎬＰ＝Ｐ０ｅ
－ｋ０＝Ｐ０.
当ｔ＝５时ꎬ由题意得
Ｐ０ｅ
－５ｋ
Ｐ
＝
Ｐ０ｅ
－５ｋ
Ｐ０
＝
９０％ꎬ即ｅ
－５ｋ＝０.９ꎬ
则ｋ＝－１
５ｌｎ０.９.
(１) 当ｔ＝１０时ꎬ
Ｐ０ｅ
－１０ｋ
Ｐ０
＝ｅ
－１０ｋ＝( ｅ
－５ｋ)
２＝
教材习题答案
２８１
０.９
２＝０.８１.
所以１０ｈ后还剩８１％的污染物.
(２)设污染物减少５０％需经过ｔｈꎬ则有ｅ
－ｋｔ
＝０.５ꎬ
两边取以ｅ为底的对数ꎬ得－ｋｔ＝ｌｎ０.５.
所以ｔ＝－ｌｎ０.５
ｋ
＝－
ｌｎ０.５
－１
５ｌｎ０.９
≈３３.
所以经过３３ｈ污染物减少５０％.
(３)函数图象如图所示.
１０.解析 (１)将θ１＝６２ꎬθ０＝１５ꎬｔ＝１ꎬθ ＝５２代
入θ＝θ０＋( θ１－θ０) ｅ
－ｋｔ中ꎬ得５２＝１５＋(６２－
１５)ｅ
－ｋꎬ所以ｅ
－ｋ＝３７
４７ꎬ
两边取以ｅ为底的对数ꎬ
得－ｋ＝ｌｎ３７
４７ꎬ
所以ｋ＝－ｌｎ３７
４７≈０.２３９２≈０.２４.
(２)把θ－θ０＝(θ１－θ０)ｅ
－ｋｔꎬ
两边同时取以１０为底的对数ꎬ
得ｌｇ(θ－θ０)＝ｌｇ(θ１－θ０)－ｋｔｌｇｅꎬ
所以ｔ＝
ｌｇ(θ１－θ０)－ｌｇ(θ－θ０)
ｋｌｇｅ
≈
ｌｇ(θ１－θ０)－ｌｇ(θ－θ０)
０.１０３９
.
把θ１＝６２ꎬθ０＝１５代入上式ꎬ得
ｔ≈ｌｇ４７－ｌｇ(θ－１５)
０.１０３９
≈１.６７２１－ｌｇ(θ－１５)
０.１０３９
.
当θ＝４２时ꎬｔ＝１.６７２１－ｌｇ２７
０.１０３９
≈２.３１７(ｍｉｎ)ꎬ
２.３１７ｍｉｎ≈２ｍｉｎ１９ｓ.
当θ＝３２时ꎬｔ＝１.６７２１－ｌｇ１７
０.１０３９
≈４.２５１(ｍｉｎ)ꎬ
４.２５１ｍｉｎ≈４ｍｉｎ１５ｓ.
所以冷却２ｍｉｎ１９ｓ后ꎬ物体温度为４２℃ꎻ
冷却４ｍｉｎ１５ｓ后ꎬ物体温度为３２℃.
拓广探索
１１.解析 (１)ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)＝ｌｏｇａ(ｘ＋１)＋ｌｏｇａ(１－
ｘ)(ａ>０ꎬ且ａ≠１).
要使该函数有意义ꎬ应满足
ｘ＋１>０ꎬ
１－ｘ>０ꎬ
{
所以－１< ｘ< １ꎬ故所求函数的定义域为
{ｘ｜－１<ｘ<１}.
(２)由(１) 易得函数ｆ( ｘ) ＋ｇ( ｘ) 的定义域
关于原点对称.令Ｍ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)ꎬ
则Ｍ(ｘ)＝ｌｏｇａ(ｘ＋１)＋ｌｏｇａ(１－ｘ)ꎬ
则Ｍ(－ｘ)＝ｌｏｇａ(－ｘ＋１)＋ｌｏｇａ(１＋ｘ)
＝ｌｏｇａ(ｘ＋１)＋ｌｏｇａ(１－ｘ)＝Ｍ(ｘ)ꎬ
故Ｍ(ｘ)为偶函数ꎬ即ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)为偶函数.
１２.解析 (１)易知函数ｆ(ｘ)＝ａ－
２
２
ｘ＋１的定义
域为Ｒꎬ而ｙ＝２
ｘ为增函数ꎬ所以ｙ＝
２
２
ｘ＋１为
减函数ꎬ故ｆ(ｘ)＝ａ－
２
２
ｘ＋１是增函数.
证明如下:
∀ｘ１ꎬｘ２∈Ｒꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ
则ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝
ａ－
２
２ｘ２＋１
(
) －ａ－
２
２ｘ１＋１
(
)
＝
２
２ｘ１＋１
－
２
２ｘ２＋１
＝
２(２ｘ２－２ｘ１)
(２ｘ１＋１)(２ｘ２＋１)
因为ｘ２>ｘ１ꎬ所以２
ｘ２－２
ｘ１>０ꎬ
又２
ｘ１＋１>１ꎬ２
ｘ２＋１>１ꎬ
所以
２(２
ｘ２－２
ｘ１)
(２
ｘ１＋１)(２
ｘ２＋１) >０ꎬ
所以ｆ( ｘ２) >ｆ( ｘ１)ꎬ故ｆ( ｘ) 在Ｒ上是增
函数.
(２)存在.假设存在实数ａꎬ使ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬ
则ａ－
２
２
－ｘ＋１
＝－ａ＋
２
２
ｘ＋１ꎬ
即２ａ＝
２
２
ｘ＋１
＋
２
２
－ｘ＋１
＝２ꎬ
所以ａ＝１.
故存在实数ａ＝１ꎬ使函数ｆ(ｘ)为奇函数.
１３.解析 (１)当０≤ｘ≤２时ꎬ
令ｆ(ｘ)＝ａ
ｘ＋ｂ(ａ>０).
由ｆ(０)＝０ꎬｆ(２)＝３ꎬ
得
１＋ｂ＝０ꎬ
ａ
２＋ｂ＝３ꎬ
{
∴
ｂ＝－１ꎬ
ａ＝２ꎬ
{
∴ｆ(ｘ)＝２
ｘ－１.
当２≤ｘ≤５时ꎬ令ｆ(ｘ)＝ｋｘ＋ｍ(ｋ≠０).
由ｆ(２)＝３ꎬｆ(５)＝０ꎬ
得
２ｋ＋ｍ＝３ꎬ
５ｋ＋ｍ＝０ꎬ
{
∴
ｋ＝－１ꎬ
ｍ＝５ꎬ
{
∴ｆ(ｘ)＝－ｘ＋５ꎬ
∴ｆ(ｘ)＝
２
ｘ－１ꎬ０≤ｘ<２ꎬ
－ｘ＋５ꎬ２≤ｘ≤５.
{
(２)略.
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
５.１.１ 任意角
练习
１.解析 锐角是第一象限角ꎬ第一象限角不一
定是锐角ꎬ例如４００°角的终边与４０°角的终
边相同ꎬ都是第一象限角ꎬ但４００°角不是锐
角.直角不属于任何一个象限ꎬ直角的终边
在第一象限与第二象限的分界线上(ｙ轴的
非负半轴上)ꎬ但是在第一象限与第二象限
的分界线上的角不一定是直角ꎬ例如－２７０°ꎬ
４５０°等角的终边都在第一象限与第二象限的分
界线上ꎬ但它们都不是直角.钝角是第二象限
角ꎬ但第二象限角不一定是钝角ꎬ例如－２００°ꎬ
４６０°角是第二象限角ꎬ但它们都不是钝角.
２.解析
今天是星期三ꎬ那么７ｋ(ｋ∈Ｚ) 天后
的那一天是星期三ꎬ７ｋ( ｋ∈Ｚ) 天前的那一
天也是星期三ꎬ１００天后的那一天是星期五.
可以先把７ｋ(ｋ∈Ｚ) 天换为７天ꎬ１４天来判
断ꎬ由１００＝７×１４＋２可知ꎬ１００天后的那一天
相当于是７×１４天后的两天后ꎬ故为星期五.
３.解析 (１)第一象限角.(２)第四象限角.
(３)第二象限角.(４)第三象限角.
如图中的①~ ④.
４.解析 (１)－５４°１８′＝３０５°４２′＋(－１)×３６０°ꎬ
∴在０° ~ ３６０° 范围内ꎬ与－５４°１８′角终边相
同的角是３０５°４２′ꎬ是第四象限角.
(２)３９５°８′＝３５°８′＋３６０°ꎬ
∴在０° ~３６０°范围内ꎬ与３９５°８′角终边相同
的角是３５°８′ꎬ是第一象限角.
(３)－１１９０°３０′＝２４９°３０′＋(－４)×３６０°ꎬ
∴在０° ~ ３６０°范围内ꎬ与－１１９０°３０′角终边
相同的角是２４９°３０′ꎬ是第三象限角.
５.解析
(１) { β ｜β ＝１３０３°１８′＋ｋ３６０°ꎬｋ∈
Ｚ}(或{β ｜β ＝２２３°１８′＋ｋ３６０°ꎬｋ∈Ｚ}).
由－７２０°≤β<３６０°得－７２０°≤１３０３°１８′＋ｋ
３６０°<３６０°ꎬ
解得－２０２３°１８′≤ｋ３６０°<－９４３°１８′ꎬ
又ｋ∈Ｚꎬ所以ｋ＝－５ꎬ－４ꎬ－３.
当ｋ＝－５时ꎬ１３０３°１８′＋ｋ３６０° ＝１３０３°１８′
＋(－５)×３６０° ＝－４９６°４２′ꎻ
当ｋ＝－４时ꎬ１３０３°１８′＋ｋ３６０° ＝１３０３°１８′
＋(－４)×３６０° ＝－１３６°４２′ꎻ
当ｋ＝－３时ꎬ１３０３°１８′＋ｋ３６０° ＝１３０３°１８′
＋(－３)×３６０° ＝２２３°１８′.
所以适合不等式－７２０°≤β<３６０°的元素β 是
－４９６°４２′ꎬ－１３６°４２′ꎬ２２３°１８′.
(２){β ｜β ＝－２２５°＋ｋ３６０°ꎬｋ∈Ｚ}.
由－７２０° ≤β < ３６０° 得－７２０° ≤－２２５° ＋ｋ
３６０°<３６０°ꎬ
解得－４９５°≤ｋ３６０°<５８５°ꎬ
又ｋ∈Ｚꎬ
所以ｋ＝－１ꎬ０ꎬ１.
当ｋ＝－１时ꎬ－２２５° ＋ｋ３６０° ＝－２２５° ＋( －１)
×３６０° ＝－５８５°ꎻ
当ｋ＝０时ꎬ－２２５°＋ｋ３６０° ＝－２２５° ＋０×３６０°
＝－２２５°ꎻ
当ｋ＝１时ꎬ－２２５°＋ｋ３６０° ＝－２２５° ＋１×３６０°
＝１３５°.
所以适合不等式－７２０°≤β<３６０°的元素β 是
－５８５°ꎬ－２２５°ꎬ１３５°.
５.１.２ 弧度制
练习
１.解析 (１)２２°３０′＝π
１８０× ４５
２＝π
８.
(２)－２１０° ＝π
１８０×(－２１０)＝－７π
６.
(３)１２００° ＝π
１８０×１２００＝２０π
３.
２.解析 (１) π
１２＝
１８０
π
(
)
°× π
１２＝１５°.
２８２
(２)－４π
３＝
１８０
π
(
)
°× －４π
３
(
) ＝－２４０°.
(３) ３π
１０＝
１８０
π
(
)
°×３π
１０＝５４°.
３.解析 (１){α｜α＝２ｋπꎬｋ∈Ｚ} ∪{α ｜α ＝２ｋπ
＋πꎬｋ∈Ｚ} ＝{α｜α＝ｋπꎬｋ∈Ｚ}.
(２)
α
α＝２ｋπ＋π
２ꎬｋ∈Ｚ
{
} ∪{ α
α ＝
２ｋπ＋３π
２ꎬｋ∈Ｚ} ＝{ α
α ＝ｋπ ＋π
２ꎬ
ｋ∈Ｚ} .
４.解析 (１)∵ｃｏｓ０.７５°≈１.０００ꎬ
ｃｏｓ０.７５≈０.７３２ꎬ
∴ｃｏｓ０.７５°>ｃｏｓ０.７５.
(２)∵ｔａｎ１.２°≈０.０２１ꎬｔａｎ１.２≈２.５７２ꎬ
∴ｔａｎ１.２°<ｔａｎ１.２.
５.解析 角度制下:ｒ＝１ｍꎬθ＝６０°ꎬ
∴弧长ｌ＝πθｒ
１８０＝π×６０×１
１８０
＝π
３(ｍ).
弧度制下:ｒ＝１ｍꎬθ＝π
３ꎬ
∴弧长ｌ＝θｒ＝π
３(ｍ).
６.解析 α＝ｌ
Ｒ＝１４４
１２０＝１.２ꎬ
即该弧所对的圆心角( 正角) 的弧度数为
１.２.
习题5.1
复习巩固
１.解析 (１)－２６５° ＝－１×３６０° ＋９５°ꎬ故在０° ~
３６０°范围内与－２６５°角终边相同的角为９５°ꎬ
为第二象限角.
(２)－１０００° ＝－３×３６０° ＋８０°ꎬ故在０° ~ ３６０°
范围内与－１０００°角终边相同的角为８０°ꎬ为
第一象限角.
(３)－８４３°１０′＝－３×３６０°＋２３６°５０′ꎬ故在０° ~
３６０°范围内与－８４３° １０′角终边相同的角为
２３６°５０′ꎬ为第三象限角.
(４)３９００° ＝１０× ３６０° ＋３００°ꎬ故在０° ~ ３６０°
范围内与３９００°角终边相同的角为３００°ꎬ为
第四象限角.
２.解析
(１) { β ｜β ＝ｋ３６０° ＋６０°ꎬｋ∈Ｚ}ꎬ
在－３６０°≤β<３６０°范围内ꎬβ 为６０°ꎬ－３００°.
(２){β ｜β ＝ｋ３６０°－７５°ꎬｋ∈Ｚ}ꎬ
在－３６０°≤β<３６０°范围内ꎬβ 为２８５°ꎬ－７５°.
(３){β ｜β ＝ｋ３６０°－８２４°３０′ꎬｋ∈Ｚ}ꎬ
在－３６０° ≤β < ３６０° 范围内ꎬβ 为２５５°３０′ꎬ
－１０４°３０′.
(４){β ｜β ＝ｋ３６０°＋４７５°ꎬｋ∈Ｚ}ꎬ
在－３６０°≤β<３６０°范围内ꎬβ 为１１５°ꎬ－２４５°.
(５){β ｜β ＝ｋ３６０°＋９０°ꎬｋ∈Ｚ}ꎬ
在－３６０°≤β<３６０°范围内ꎬβ 为９０°ꎬ－２７０°.
(６){β ｜β ＝ｋ３６０° ＋２７０°ꎬｋ∈Ｚ}ꎬ
在－３６０°≤β<３６０°范围内ꎬβ 为－９０°ꎬ２７０°.
(７){β ｜β ＝ｋ３６０°＋１８０°ꎬｋ∈Ｚ}ꎬ
在－３６０°≤β<３６０°范围内ꎬβ 为１８０°ꎬ－１８０°.
(８){β ｜β ＝ｋ３６０°ꎬｋ∈Ｚ}ꎬ
在－３６０°≤β<３６０°范围内ꎬβ 为０°ꎬ－３６０°.
３.解析 第一象限角:{β ｜ｋ３６０°<β<ｋ３６０°
＋９０°ꎬｋ∈Ｚ} 或{ β
２ｋπ<β< ２ｋπ＋π
２ꎬｋ∈
Ｚ} ꎻ
第二象限角:{β ｜ｋ３６０° ＋９０° <β<ｋ３６０° ＋
１８０°ꎬｋ∈Ｚ} 或{ β
２ｋπ＋π
２<β< ２ｋπ＋πꎬｋ
∈Ｚ} ꎻ
第三象限角:{β ｜ｋ３６０° ＋１８０° <β<ｋ３６０°
＋２７０°ꎬｋ∈Ｚ}或{ β
２ｋπ＋π<β<２ｋπ＋３π
２ꎬｋ
∈Ｚ} ꎻ
第四象限角:{β ｜ｋ３６０° ＋２７０° <β<ｋ３６０°
＋３６０°ꎬｋ∈Ｚ}或{ β
２ｋπ＋３π
２<β<２ｋπ＋２πꎬ
ｋ∈Ｚ} .
４.解析
不等于１弧度.这是因为长度等于半
径长的弧所对的圆心角为１弧度的角ꎬ而等
于半径长的弦所对的弧比半径长ꎬ所以等于
半径长的弦所对的圆心角大于１弧度.
５.解析 (１)３６° ＝π
１８０×３６＝π
５.
(２)－１５０° ＝π
１８０×(－１５０)＝－５π
６.
(３)１０９５° ＝π
１８０×１０９５＝７３π
１２.
(４)１４４０° ＝π
１８０×１４４０＝８π.
６.解析 (１)－７π
６＝
－７π
６
(
) × １８０
π
(
)
° ＝－２１０°.
(２)－１０π
３＝
－１０π
３
(
) × １８０
π
(
)
° ＝－６００°.
(３)１.４＝１.４× １８０
π
(
)
°≈８０.２１°.
(４) ２
３＝２
３× １８０
π
(
)
°≈３８.２０°.
综合运用
７.答案 (１)Ｃ (２)Ｄ
解析
(１) 因为０° <α< ９０°ꎬ所以０° < ２α<
１８０°ꎬ故选Ｃ.
(２)因为ｋ３６０°<α<９０°＋ｋ３６０°ꎬｋ∈Ｚꎬ所
以ｋ１８０°< α
２<４５°＋ｋ１８０°ꎬｋ∈Ｚ.
当ｋ为奇数时ꎬα
２是第三象限角ꎻ当ｋ为偶
数时ꎬα
２是第一象限角.故选Ｄ.
８.解析 设∠ＡＯＢ＝α.
解法一:由ｌ＝αＲꎬ得１１２＝１００αꎬ
∴α＝１１２
１００＝１.１２(ｒａｄ)≈６４°.
解法二:由ｌ＝παＲ
１８０ꎬ得１１２＝πα×１００
１８０
ꎬ
∴α≈６４°.
９.解析 ２００° ＝２００× π
１８０＝１０π
９(ｒａｄ)ꎬ
∴所求半径ｒ＝５０
１０π
９
≈１４(ｃｍ).
拓广探索
１０.解析
设半径为Ｒꎬ扇子的圆心角为θꎬ则
剩余部分的圆心角为２π－θ.
(１)
Ｓ１
Ｓ２
＝
１
２θＲ
２
１
２(２π－θ)Ｒ
２
＝
θ
２π－θ.
(２)由
Ｓ１
Ｓ２
＝
θ
２π－θ ＝０.６１８ꎬ
可得θ＝０.６１８(２π－θ)ꎬ
则θ＝１.２３６
１.６１８π≈１３８°.
１１.解析
(１) 时针转了－１２０°ꎬ等于－２π
３
弧
度ꎻ分针转了－１４４０°ꎬ等于－８π 弧度.
(２)不正确.理由:设从午夜零时算起ꎬ经过
ｔｍｉｎ分针就与时针重合ꎬｎ为两针一天内
重合的次数.
因为分针旋转的角速度为
２π
６０＝π
３０(ｒａｄ/ ｍｉｎ)ꎬ
时针旋转的角速度为
２π
１２×６０＝π
３６０(ｒａｄ/ ｍｉｎ)ꎬ
所以
π
３０－π
３６０
(
) ｔ＝２πｎꎬ所以ｔ＝７２０
１１ｎ.
时针旋转一天所需的时间为２４× ６０＝
１４４０(ｍｉｎ)ꎬ
令７２０
１１ｎ≤１４４０ꎬ解得ｎ≤２２.
故时针与分针一天内只会重合２２次.
１２.解析 (１)∵相互啮合的两个齿轮ꎬ大轮有
４８齿ꎬ小轮有２０齿ꎬ
∴当大轮转动一周时ꎬ小轮转动４８
２０＝１２
５
周ꎬ即１２
５×２π＝２４π
５(ｒａｄ)ꎬ
∴小轮转动的角度为２４π
５
ｒａｄ.
(２)∵大轮的转速为１８０ｒ/ ｍｉｎꎬ
∴小轮的转速为１２
５×１８０＝４３２(ｒ/ ｍｉｎ).
∴小轮周上一点每１ｓ转过的弧度为４３２×
２π÷６０＝７２
５π.
∵小轮的半径为１０.５ｃｍꎬ
∴小轮周上一点每１ｓ转过的弧长为７２π
５×
１０.５＝１５１.２π(ｃｍ).
5.2 三角函数的概念
５.２.１ 三角函数的概念
练习
１.解析
α
０
π
２
π
３π
２
教材习题答案
２８３
续表
α
０
π
２
π
３π
２
ｓｉｎα
０
１
０
－１
ｃｏｓα
１
０
－１
０
ｔａｎα
０
—
０
—
２.解析
设７π
６角的终边与单位圆的交点是
Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ则ｙ＝－１
２ꎬ
∴ｘ＝－
１－－１
２
(
)
２
＝－３
２ꎬ
即Ｐ－３
２ꎬ－１
２
(
) ꎬ
∴ｓｉｎ７π
６＝－１
２ꎬｃｏｓ７π
６＝－３
２ꎬ
ｔａｎ７π
６＝３
３.
３. 解析
点Ｐ到原点的距离是ｒ＝
(－１２)
２＋５
２＝１３ꎬ
∴ｓｉｎθ＝５
１３ꎬｃｏｓθ＝－１２
１３ꎬｔａｎθ＝－５
１２.
４.解析 设ｒ为圆的半径ꎬα 为一个任意角ꎬ由题
知ꎬｒ＝２ꎬα＝－２ｒａｄꎬ
∴ｘ＝ｒｃｏｓα＝２ｃｏｓ(－２)ꎬｙ＝ｒｓｉｎα＝２ｓｉｎ(－２)ꎬ
∴点Ｐ的坐标为(２ｃｏｓ(－２)ꎬ２ｓｉｎ(－２)).
练习
１.答案
α
２π
１３π
６
－π
－４π
３
１５π
４
ｓｉｎα
０
１
２
０
３
２
－２
２
ｃｏｓα
１
３
２
－１
－１
２
２
２
ｔａｎα
０
３
３
０
－３
－１
２.解析 ∵０<α<πꎬ∴ｓｉｎα>０ꎬ０< α
２< π
２ꎬ
∴ｔａｎ
α
２> ０. 当α 为钝角时ꎬｃｏｓα < ０ꎬ
ｔａｎα<０ꎬ即ｃｏｓα 与ｔａｎα 有可能取负值.
３.解析 (１)１５６°角的终边在第二象限ꎬ
∴ｓｉｎ１５６°>０.
(２)ｃｏｓ１６π
５＝ｃｏｓ６π
５＋２π
(
) ＝ｃｏｓ６π
５<０.
(３)ｃｏｓ(－４５０°)＝ｃｏｓ(２７０°－７２０°)
＝ｃｏｓ２７０° ＝０.
(４)ｔａｎ－１７π
８
(
) ＝ｔａｎ１５π
８－４π
(
)
＝ｔａｎ１５π
８<０.
(５)－４π
３角的终边在第二象限ꎬ
∴ｓｉｎ－４π
３
(
) >０.
(６)ｔａｎ５５６° ＝ｔａｎ(１９６°＋３６０°)＝ｔａｎ１９６°>０.
４.答案 (１)①③(或①⑤或③⑤)
(２)①④(或①⑥或④⑥)
(３)②④(或②⑤或④⑤)
(４)②③(或②⑥或③⑥)
５.解析 (１)ｃｏｓ１１０９° ＝ｃｏｓ(２９° ＋３×３６０°)＝
ｃｏｓ２９°≈０.８７４６.
(２)ｔａｎ１９π
３＝ｔａｎ
π
３＋６π
(
) ＝ｔａｎπ
３＝３.
(３)ｓｉｎ(－１０５０°)＝ｓｉｎ(３０°－３×３６０°)
＝ｓｉｎ３０° ＝１
２.
(４)ｔａｎ－３１π
４
(
) ＝ｔａｎ
π
４－８π
(
) ＝ｔａｎπ
４＝１.
５.２.２ 同角三角函数的基本关系
练习
１.解析 ∵ｃｏｓα＝－４
５ꎬ且α 为第三象限角ꎬ
∴ｓｉｎα＝－
１－ｃｏｓ
２α ＝－３
５.
∴ｔａｎα＝ｓｉｎα
ｃｏｓα＝３
４.
２.解析 ∵ｔａｎφ＝－３<０ꎬ
∴φ 为第二或第四象限角.
∵ｔａｎφ＝ｓｉｎφ
ｃｏｓφ ＝－３ꎬ
∴ｓｉｎφ＝－３ｃｏｓφꎬ
代入ｓｉｎ
２φ＋ｃｏｓ
２φ＝１得ｃｏｓ
２φ＝１
４.
当φ 为第二象限角时ꎬｃｏｓφ＝－１
２ꎬ
ｓｉｎφ＝３
２ꎻ
当φ 为第四象限角时ꎬｃｏｓφ＝１
２ꎬ
ｓｉｎφ＝－３
２.
３.解析 由题可知θ 为第一或第二象限角.
当θ 为第一象限角时ꎬｃｏｓθ ＝
１－ｓｉｎ
２θ ＝
１－０.３５
２≈０.９４ꎬ
又ｓｉｎθ＝０.３５ꎬ∴ｔａｎθ＝ｓｉｎθ
ｃｏｓθ≈０.３７ꎻ
当θ 为第二象限角时ꎬｃｏｓθ ＝－
１－ｓｉｎ
２θ ＝
－
１－０.３５
２≈－０.９４ꎬ
又ｓｉｎθ＝０.３５ꎬ∴ｔａｎθ ｓｉｎθ
ｃｏｓθ≈－０.３７.
４.解析 (１)ｃｏｓθｔａｎθ＝ｃｏｓθｓｉｎθ
ｃｏｓθ＝ｓｉｎθ.
(２)２ｃｏｓ
２α－１
１－２ｓｉｎ
２α
＝２ｃｏｓ
２α－(ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α)
(ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α)－２ｓｉｎ
２α
＝ｃｏｓ
２α－ｓｉｎ
２α
ｃｏｓ
２α－ｓｉｎ
２α
＝１.
(３) ( １＋ｔａｎ
２α) ｃｏｓ
２α ＝
１＋ｓｉｎ
２α
ｃｏｓ
２α
(
) ｃｏｓ
２α ＝
ｃｏｓ
２α＋ｓｉｎ
２α＝１.
５.证明
左边＝ｓｉｎ
２α( ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α) ＋ｃｏｓ
２α ＝
ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α＝１＝右边.
所以原等式成立.
◆习题5.2
复习巩固
１.解析 (１)∵－１７π
３＝－６π＋π
３ꎬ
∴ｓｉｎ－１７π
３
(
) ＝ｓｉｎπ
３＝３
２ꎬ
ｃｏｓ－１７π
３
(
) ＝ｃｏｓπ
３＝１
２ꎬ
ｔａｎ－１７π
３
(
) ＝ｔａｎπ
３＝３.
(２)∵２１π
４＝４π＋５π
４ꎬ
∴ｓｉｎ２１π
４＝ｓｉｎ５π
４＝－２
２ꎬ
ｃｏｓ２１π
４＝ｃｏｓ５π
４＝－２
２ꎬ
ｔａｎ２１π
４＝ｔａｎ５π
４＝１.
(３)∵－２３π
６＝－４π＋π
６ꎬ
∴ｓｉｎ－２３π
６
(
) ＝ｓｉｎπ
６＝１
２ꎬ
ｃｏｓ－２３π
６
(
) ＝ｃｏｓπ
６＝３
２ꎬ
ｔａｎ－２３π
６
(
) ＝ｔａｎπ
６＝３
３.
(４)∵１５００° ＝４×３６０°＋６０°ꎬ
∴ｓｉｎ１５００° ＝ｓｉｎ６０° ＝３
２ꎬ
ｃｏｓ１５００° ＝ｃｏｓ６０° ＝１
２ꎬ
ｔａｎ１５００° ＝ｔａｎ６０° ＝３.
２.解析 ∵Ｐ(３ａꎬ４ａ)ꎬ∴ｒ＝５｜ａ｜.
∴ｓｉｎα＝４ａ
５｜ａ｜ꎬｃｏｓα＝３ａ
５｜ａ｜.
当ａ>０ꎬ即α 为第一象限角时ꎬ
ｓｉｎα＝４
５ꎬｃｏｓα＝３
５ꎬｔａｎα＝４
３ꎻ
当ａ<０ꎬ即α 为第三象限角时ꎬ
ｓｉｎα＝－４
５ꎬｃｏｓα＝－３
５ꎬｔａｎα＝４
３.
３.解析 (１)原式＝６×( －１) ＋３×０－８× (－１) ＋
１２×(－１)＝－１０.
(２)原式＝１０×０＋４×０＋９×０＋１５×１＝１５.
(３)原式＝２×０－１＋３
４×
３
３(
)
２
－１
２＋
３
２(
)
２
＋(－１)＝－３
２.
(４)原式＝
３
２(
)
２
＋０
４－( ３)
２＝－９
４.
４.解析 (１)原式＝ａ０＋ｂ０＋ｃ０＝０.
(２) 原式＝－ｐ
２× ( －１) ＋ｑ
２× １－２ｐｑ× １＝
(ｐ－ｑ)
２.
(３)原式＝ａ
２×１－ｂ
２×( －１) ＋ａｂ×(－１) －ａｂ×１
＝(ａ－ｂ)
２.
(４)原式＝ｍ×０＋ｎ×０－ｐ×０－ｑ×０－ｒ×０＝０.
５.解析
( １) ∵１８６° 角的终边在第三象限ꎬ
∴ｓｉｎ１８６°<０.
(２)ｔａｎ５０５° ＝ｔａｎ(１４５°＋３６０°)＝ｔａｎ１４５°<０.
(３)ｓｉｎ７.６π＝ｓｉｎ(１.６π＋６π)＝ｓｉｎ１.６πꎬ
２８４
∵１.６π∈３π
２ꎬ２π
(
) ꎬ∴ｓｉｎ７.６π<０.
(４)ｔａｎ－２３π
４
(
) ＝ｔａｎ
π
４－６π
(
) ＝ｔａｎπ
４>０.
(５)ｃｏｓ９４０° ＝ｃｏｓ(２２０°＋７２０°)＝ｃｏｓ２２０°<０.
(６)ｃｏｓ－５９π
１７
(
) ＝ｃｏｓ９π
１７－４π
(
) ＝ｃｏｓ９π
１７<０.
６.解析 (１)∵α 为第四象限角ꎬ
∴ｃｏｓα ＝
１－ｓｉｎ
２α ＝
１－－３
２
(
)
２
＝１
２ꎬ
ｔａｎα＝ｓｉｎα
ｃｏｓα＝
－３
２
(
) ×２＝－３.
(２)∵α 为第二象限角ꎬ
∴ｓｉｎα ＝
１－ｃｏｓ
２α ＝
１－－５
１３
(
)
２
＝１２
１３ꎬ
ｔａｎα＝ｓｉｎα
ｃｏｓα＝１２
１３× －１３
５
(
) ＝－１２
５.
(３)∵ｔａｎα＝－３
４<０ꎬ
∴α 为第二或第四象限角.
当α 为第二象限角时ꎬ
ｃｏｓα＝－４
５ꎬｓｉｎα＝３
５ꎻ
当α 为第四象限角时ꎬ
ｃｏｓα＝４
５ꎬｓｉｎα＝－３
５.
(４)∵ｃｏｓα＝０.６８>０ꎬ
∴α 为第一或第四象限角.
当α 为第一象限角时ꎬｓｉｎα ≈０.７３ꎬ
ｔａｎα≈１.０７ꎻ
当α 为第四象限角时ꎬｓｉｎα≈－０.７３ꎬ
ｔａｎα≈－１.０７.
综合运用
７.解析 (１) 当ｘ＝π
４时ꎬｆ
π
４
(
) ＝ｓｉｎπ
２＋
２ｓｉｎ０－４ｃｏｓπ
２＋３ｃｏｓπ ＝１＋０－０＋３×(－１) ＝
－２.
(２) 当ｘ＝３π
４时ꎬｆ
３π
４
(
) ＝ｓｉｎπ＋２ｓｉｎπ
２－
４ｃｏｓ３π
２＋３ｃｏｓ３π
２＝０＋２－０＋０＝２.
８.解析 (１)ｔａｎ１２５°<０ꎬｓｉｎ２７３°<０ꎬ
∴ｔａｎ１２５°ｓｉｎ２７３°>０.
(２)ｔａｎ１０８°<０ꎬｃｏｓ３０５°>０ꎬ
∴ｔａｎ１０８°
ｃｏｓ３０５°<０.
(３)ｓｉｎ５π
４<０ꎬｃｏｓ４π
５<０ꎬｔａｎ１１π
６<０ꎬ
∴ｓｉｎ５π
４ｃｏｓ４π
５ｔａｎ１１π
６<０.
(４)ｃｏｓ５π
６<０ꎬｔａｎ１１π
６<０ꎬｓｉｎ２π
３>０ꎬ
∴
ｃｏｓ５π
６ｔａｎ１１π
６
ｓｉｎ２π
３
>０.
９.解析 (１)ｓｉｎ－６７π
１２
(
) ＝ｓｉｎ－６π＋５π
１２
(
)
＝ｓｉｎ５π
１２≈０.９６５９.
(２)ｔａｎ－１５π
４
(
) ＝ｔａｎ－４π＋π
４
(
)
＝ｔａｎπ
４＝１.
(３)ｃｏｓ３９８°１３′＝ｃｏｓ(３６０°＋３８°１３′)
＝ｃｏｓ３８°１３′≈０.７８５７.
(４)ｔａｎ７６６°１５′＝ｔａｎ(７２０°＋４６°１５′)
＝ｔａｎ４６°１５′≈１.０４４６.
１０.证明 (１)ｓｉｎθｔａｎθ＝ｓｉｎ
２θ
ｃｏｓθ.
若θ 为第二或第三象限角ꎬ则ｃｏｓθ<０ꎬｓｉｎ
２θ
>０ꎬ∴ｓｉｎθｔａｎθ<０.
反过来ꎬ若ｓｉｎθｔａｎθ<０ꎬ则ｃｏｓθ<０ꎬ
∴θ 为第二或第三象限角.
(２)(３)(４)可仿证(略).
１１.解析 ∵ｓｉｎｘ＝－１
３<０ꎬ
∴ｘ是第三或第四象限角.
当ｘ为第三象限角时ꎬ
ｃｏｓｘ＝－２２
３ꎬｔａｎｘ＝２
４ꎻ
当ｘ为第四象限角时ꎬ
ｃｏｓｘ＝２２
３ꎬｔａｎｘ＝－２
４.
１２.解析 ∵ｔａｎα＝３ꎬπ<α<３π
２ꎬ
∴α＝４π
３ꎬ∴ｃｏｓα＝－１
２ꎬｓｉｎα＝－３
２.
∴ｃｏｓα－ｓｉｎα＝－１
２－－３
２
(
) ＝３－１
２
.
１３.解析 (１)∵ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α＝１ꎬ
∴ｓｉｎα＝±
１－ｃｏｓ
２αꎬ
∴ｔａｎα＝ｓｉｎα
ｃｏｓα＝±
１－ｃｏｓ
２α
ｃｏｓα
.
(２)∵ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α＝１ꎬ
∴ｃｏｓα＝±
１－ｓｉｎ
２αꎬ
∴ｔａｎα＝ｓｉｎα
ｃｏｓα＝±
ｓｉｎα
１－ｓｉｎ
２α
.
１４.证明 (１)左边＝
(ｓｉｎ
２ｘ＋ｃｏｓ
２ｘ)－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ
ｃｏｓ
２ｘ－ｓｉｎ
２ｘ
＝
(ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ)
２
(ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ)(ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ)
＝ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ
ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＝１－ｔａｎｘ
１＋ｔａｎｘ＝右边.
所以原等式成立.
(２) 左边＝ｓｉｎ
２α
ｃｏｓ
２α
－ｓｉｎ
２α ＝ｓｉｎ
２α(１－ｃｏｓ
２α)
ｃｏｓ
２α
＝
ｔａｎ
２α ｓｉｎ
２α＝右边.
所以原等式成立.
(３)左边＝ｃｏｓ
２β－２ｃｏｓβ＋１＋ｓｉｎ
２β ＝２－２ｃｏｓβ
＝右边.
所以原等式成立.
(４) 左边＝ｓｉｎ
４ｘ＋ｃｏｓ
４ｘ＋２ｓｉｎ
２ｘｃｏｓ
２ｘ－
２ｓｉｎ
２ｘｃｏｓ
２ｘ＝( ｓｉｎ
２ｘ＋ｃｏｓ
２ｘ)
２－２ｓｉｎ
２ｘｃｏｓ
２ｘ＝
１－２ｓｉｎ
２ｘｃｏｓ
２ｘ＝右边.
所以原等式成立.
１５.解析 ∵ｔａｎα＝２ꎬ
∴原式＝ｔａｎα＋１
ｔａｎα－１＝３
１＝３.
拓广探索
１６.解析 ∵α 为第二象限角ꎬ
∴原式＝
(１＋ｓｉｎα)
２
(１－ｓｉｎα)(１＋ｓｉｎα)
－
(１－ｓｉｎα)
２
(１＋ｓｉｎα)(１－ｓｉｎα)
＝
(１＋ｓｉｎα)
２
ｃｏｓ
２α
－
(１－ｓｉｎα)
２
ｃｏｓ
２α
＝－１＋ｓｉｎα
ｃｏｓα ＋１－ｓｉｎα
ｃｏｓα
＝－２ｔａｎα.
１７.解析 如ｓｉｎ
４ｘ＋ｃｏｓ
４ｘ＝１－２ｓｉｎ
２ｘｃｏｓ
２ｘ也
是ｓｉｎ
２ｘ＋ｃｏｓ
２ｘ＝１的一个变形ꎻ
１
ｃｏｓ
２ｘ
＝１＋
ｔａｎ
２ｘ是ｓｉｎ
２ｘ＋ｃｏｓ
２ｘ＝１和ｓｉｎｘ
ｃｏｓｘ＝ｔａｎｘ的变
形等.
１８.解析 (１)∵ｓｉｎ
４π
３－ｃｏｓ
４π
３
＝
３
２(
)
４
－
１
２
(
)
４
＝１
２ꎬ
ｓｉｎ
２π
３－ｃｏｓ
２π
３＝
３
２(
)
２
－
１
２
(
)
２
＝１
２ꎬ
∴ｓｉｎ
４π
３－ｃｏｓ
４π
３＝ｓｉｎ
２π
３－ｃｏｓ
２π
３.
(２)当α＝π
４时ꎬ
ｓｉｎ
４π
４－ｃｏｓ
４π
４＝
２
２(
)
４
－
２
２(
)
４
＝０ꎬ
ｓｉｎ
２π
４－ｃｏｓ
２π
４＝
２
２(
)
２
－
２
２(
)
２
＝０ꎬ
∴ｓｉｎ
４π
４－ｃｏｓ
４π
４＝ｓｉｎ
２π
４－ｃｏｓ
２π
４.
(３)证明:∀ｘ∈Ｒꎬ∵ｓｉｎ
４ｘ－ｃｏｓ
４ｘ
＝(ｓｉｎ
２ｘ＋ｃｏｓ
２ｘ)(ｓｉｎ
２ｘ－ｃｏｓ
２ｘ)
＝ｓｉｎ
２ｘ－ｃｏｓ
２ｘꎬ
∴ｓｉｎ
２ｘ－ｃｏｓ
２ｘ＝ｓｉｎ
４ｘ－ｃｏｓ
４ｘ.
5.3 诱导公式
练习
１.答案 (１)－ｃｏｓ４π
９ (２)－ｓｉｎ１
(３)－ｓｉｎπ
５ (４)－ｔａｎ７０°６′
(５)－ｃｏｓπ
７ (６)－ｔａｎ７９°３９′
２.解析 (１)ｃｏｓ(－４２０°)＝ｃｏｓ４２０°
＝ｃｏｓ(１×３６０°＋６０°)＝ｃｏｓ６０° ＝１
２.
(２)ｓｉｎ－７
６π
(
) ＝－ｓｉｎ７
６π
＝－ｓｉｎπ＋π
６
(
) ＝ｓｉｎπ
６＝１
２.
(３)ｔａｎ(－１１４０°)＝ｔａｎ(－６０°－３×３６０°)
＝ｔａｎ(－６０°)＝－ｔａｎ６０° ＝－３.
教材习题答案
２８５
(４)ｃｏｓ－７７
６π
(
) ＝ｃｏｓ７７
６π
＝ｃｏｓ１２π＋５
６π
(
) ＝ｃｏｓπ－π
６
(
)
＝－ｃｏｓπ
６＝－３
２.
(５)ｔａｎ３１５° ＝ｔａｎ(３６０°－４５°)
＝－ｔａｎ４５° ＝－１.
(６)ｓｉｎ－１１
４π
(
) ＝－ｓｉｎ２π＋３π
４
(
)
＝－ｓｉｎ３π
４＝－ｓｉｎπ－π
４
(
) ＝－２
２.
３.解析
( １) 原式＝ｓｉｎ[ －( α ＋１８０°)]
ｃｏｓ(－α)ｓｉｎ( １８０° －α) ＝－ｓｉｎ( α ＋１８０°)
ｃｏｓ(－α)ｓｉｎ(１８０°－α) ＝ｓｉｎαｃｏｓαｓｉｎα
＝ｓｉｎ
２αｃｏｓα.
(２)原式＝－ｃｏｓ
３αｓｉｎαｔａｎ
３(α＋π)
＝－ｃｏｓ
３αｓｉｎαｔａｎ
３α＝－ｓｉｎ
４α.
４.答案
α
－４π
３
－５π
４
－５π
３
－７π
４
－８π
３
－１１π
４
ｓｉｎα
３
２
２
２
３
２
２
２
－
３
２
－
２
２
ｃｏｓα
－１
２
－
２
２
１
２
２
２
－１
２
－
２
２
ｔａｎα
－３
－１
３
１
３
１
练习
１.解析 (１)－３
２.(２) ２
２.(３)－０.２１１６.
(４)－０.７５８７.(５) ３.(６)０.８４９６.
２.证明 (１)ｃｏｓ
５
２π－α
(
)
＝ｃｏｓ２π＋
π
２－α
(
)
[
]
＝ｃｏｓ
π
２－α
(
) ＝ｓｉｎα.
(２)ｃｏｓ
７
２π＋α
(
)
＝ｃｏｓ３π＋
π
２＋α
(
)
[
]
＝－ｃｏｓ
π
２＋α
(
) ＝ｓｉｎα.
(３)ｓｉｎ
９
２π－α
(
)
＝ｓｉｎ４π＋
π
２－α
(
)
[
]
＝ｓｉｎ
π
２－α
(
) ＝ｃｏｓα.
(４)ｓｉｎ１１π
２－α
(
)
＝ｓｉｎ５π＋
π
２－α
(
)
[
]
＝－ｓｉｎ
π
２－α
(
) ＝－ｃｏｓα.
３.解析 (１) 原式＝
ｃｏｓ
π
２－α
(
)
ｓｉｎ
π
２＋α
(
)
ｓｉｎ(α－２π)
ｃｏｓ(２π－α)＝ｓｉｎα
ｃｏｓαｓｉｎαｃｏｓα＝ｓｉｎ
２α.
(２)原式＝ｃｏｓ
２α－ｔａｎα
－ｓｉｎα＝ｃｏｓ
３α＋１
ｃｏｓα .
(３)原式＝－ｃｏｓα(－ｓｉｎα)
ｃｏｓ
２α
＝ｓｉｎα
ｃｏｓα＝ｔａｎα.
◆习题5.3
复习巩固
１.解析 (１) 原式＝ｃｏｓ１７
４π ＝ｃｏｓ４π＋π
４
(
) ＝
ｃｏｓπ
４＝２
２.
(２)原式＝－ｓｉｎ１５７４° ＝－ｓｉｎ(４×３６０°＋１３４°)
＝－ｓｉｎ１３４° ＝－ｓｉｎ４６°≈－０.７１９３.
(３) 原式＝－ｓｉｎ２１６０° ５２′ ＝－ｓｉｎ(６× ３６０° ＋
５２′)＝－ｓｉｎ５２′≈－０.０１５１.
(４)原式＝ｃｏｓ１７５１°３６′＝ｃｏｓ(４×３６０°＋３１１°３６′)
＝ｃｏｓ(３６０°－４８°２４′)＝ｃｏｓ４８°２４′≈０.６６３９.
(５)原式＝ｃｏｓ(４×３６０°＋１７５°８′)
＝ｃｏｓ１７５°８′＝ｃｏｓ(１８０°－４°５２′)
＝－ｃｏｓ４°５２′≈－０.９９６４.
(６)原式＝－ｓｉｎ１０π－４π
３
(
) ＝ｓｉｎ４π
３
＝ｓｉｎπ＋π
３
(
) ＝－ｓｉｎπ
３＝－３
２.
２.证明
( １) 左边＝ｓｉｎ[ ３６０° ＋(－α) ] ＝
ｓｉｎ(－α)＝－ｓｉｎα＝右边.
(２) 左边＝ｃｏｓ[ ３６０° ＋( －α)] ＝ｃｏｓ(－α) ＝
ｃｏｓα＝右边.
(３)左边＝ｔａｎ[ ３６０° ＋( －α)] ＝ｔａｎ(－α) ＝
－ｔａｎα＝右边.
３.解析 (１)原式＝１＋[－ｓｉｎ(２π－α)] ｓｉｎ(π
＋α) －２ｃｏｓ
２α ＝１－ｓｉｎα ｓｉｎα －２ｃｏｓ
２α ＝
－ｃｏｓ
２α.
(２) 原式＝( －ｓｉｎ１０７１°) ｓｉｎ９９° ＋
(－ｓｉｎ１７１°)(－ｓｉｎ２６１°) ＝－ｓｉｎ(２× ３６０° ＋
３５１°)ｓｉｎ(９０° ＋９°) ＋[－ｓｉｎ(１８０°－９°)]
[－ｓｉｎ(２７０° －９°)] ＝－ｓｉｎ３５１° ｃｏｓ９° －
ｓｉｎ９°ｃｏｓ９° ＝ｓｉｎ９°ｃｏｓ９°－ｓｉｎ９°ｃｏｓ９° ＝０.
４.解析
∵角α 的终边与单位圆的交点为
Ｐ－３
５ꎬ４
５
(
) ꎬ由三角函数的定义可知ꎬ
ｓｉｎα＝４
５ꎬｃｏｓα＝－３
５ꎬ
∴ｓｉｎ(π＋α)＝－ｓｉｎα＝－４
５ꎬ
ｃｏｓ(π＋α)＝－ｃｏｓα＝３
５ꎬ
ｓｉｎ(－α)＝－ｓｉｎα＝－４
５ꎬ
ｃｏｓ(－α)＝ｃｏｓα＝－３
５ꎬ
ｓｉｎ
π
２＋α
(
) ＝ｃｏｓα＝－３
５ꎬ
ｃｏｓ
π
２＋α
(
) ＝－ｓｉｎα＝－４
５.
综合运用
５.Ｂ ∵ｓｉｎ７π
２＋α
(
) ＝ｓｉｎ
３π＋
π
２＋α
(
)
[
]
＝－ｓｉｎ
π
２＋α
(
) ＝－ｃｏｓα＝３
５ꎬ
∴ｃｏｓα＝－３
５.故选Ｂ.
６.解析 ∵ｓｉｎ(π＋α)＝－ｓｉｎα＝－１
２ꎬ
∴ｓｉｎα＝１
２.
(１)原式＝ｓｉｎα＝１
２.
(２)原式＝ｃｏｓα＝
３
２ꎬα 为第一象限角ꎬ
－３
２ꎬα 为第二象限角.
ì
î
í
ïï
ïï
(３)原式＝－ｓｉｎα＝－１
２.
(４)原式＝ｃｏｓα
ｓｉｎα＝
３ꎬα 为第一象限角ꎬ
－３ꎬα 为第二象限角.
{
７.解析 (１)不成立.
∵ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)＝ｃｏｓ(π－Ｃ)＝－ｃｏｓＣꎬ
∴不成立.
(２)成立.
∵ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝ｓｉｎ(π－Ｃ)＝ｓｉｎＣꎬ
∴成立.
(３)不成立.
∵ｓｉｎＡ＋Ｂ
２
＝ｓｉｎ
π
２－Ｃ
２
(
) ＝ｃｏｓＣ
２ꎬ
∴不成立.
(４)不成立.
∵ｃｏｓＡ＋Ｂ
２
＝ｃｏｓ
π
２－Ｃ
２
(
) ＝ｓｉｎＣ
２ꎬ
∴不成立.
８.解析 ∵ｓｉｎ
π
３－ｘ
(
) ＝１
３ꎬ且０<ｘ< π
２ꎬ
∴ｓｉｎ
π
６＋ｘ
(
) ＝ｓｉｎ
π
２－
π
３－ｘ
(
)
[
]
＝ｃｏｓ
π
３－ｘ
(
) ＝
１－
１
３
(
)
２
＝２２
３.
ｃｏｓ２π
３＋ｘ
(
) ＝ｃｏｓ
π－
π
３－ｘ
(
)
[
]
＝－ｃｏｓ
π
３－ｘ
(
) ＝－２２
３.
拓广探索
９.解析 (１)当ｎ＝４ｋꎬｋ∈Ｚ时ꎬ
ｓｉｎｎπ
２＋α
(
) ＝ｓｉｎ(２ｋπ＋α)＝ｓｉｎαꎻ
当ｎ＝４ｋ＋１ꎬｋ∈Ｚ时ꎬ
ｓｉｎｎπ
２＋α
(
) ＝ｓｉｎ２ｋπ＋π
２＋α
(
)
＝ｓｉｎ
π
２＋α
(
) ＝ｃｏｓαꎻ
当ｎ＝４ｋ＋２ꎬｋ∈Ｚ时
ｓｉｎｎπ
２＋α
(
) ＝ｓｉｎ(２ｋπ＋π＋α)
＝ｓｉｎ(π＋α)＝－ｓｉｎαꎻ
当ｎ＝４ｋ＋３ꎬｋ∈Ｚ时ꎬ
ｓｉｎｎπ
２＋α
(
) ＝ｓｉｎ２ｋπ＋３π
２＋α
(
)
＝ｓｉｎ３π
２＋α
(
) ＝－ｃｏｓα.
(２)当ｎ＝４ｋꎬｋ∈Ｚ时ꎬ
２８６
ｃｏｓｎπ
２－α
(
) ＝ｃｏｓ(２ｋπ－α)＝ｃｏｓαꎻ
当ｎ＝４ｋ＋１ꎬｋ∈Ｚ时ꎬ
ｃｏｓｎπ
２－α
(
) ＝ｃｏｓ２ｋπ＋π
２－α
(
)
＝ｃｏｓ
π
２－α
(
) ＝ｓｉｎαꎻ
当ｎ＝４ｋ＋２ꎬｋ∈Ｚ时ꎬ
ｃｏｓｎπ
２－α
(
) ＝ｃｏｓ(２ｋπ＋π－α)
＝ｃｏｓ(π－α)＝－ｃｏｓαꎻ
当ｎ＝４ｋ＋３ꎬｋ∈Ｚ时ꎬ
ｃｏｓｎπ
２－α
(
) ＝ｃｏｓ２ｋπ＋３π
２－α
(
)
＝ｃｏｓ３π
２－α
(
) ＝－ｓｉｎα.
１０.解析 略.
5.4 三角函数的
图象与性质
５.４.１ 正弦函数、余弦
函数的图象
练习
１.解析 可以用单位圆中的三角函数线作出
它们的图象ꎬ也可以用“五点法”作出它们的
图象.两条曲线形状相同、位置不同.例如函
数ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘ∈[０ꎬ２π] 的图象ꎬ可以通过将
函数ｙ＝ｃｏｓｘꎬｘ∈
－π
２ꎬ３π
２
[
] 的图象向右平
移π
２个单位长度而得到(如图所示).
２.解析 (１)
ｘ
－π
－π
２
０
π
２
π
ｙ
０
１
０
－１
０
(２)
ｘ
－π
－π
２
０
π
２
π
ｙ
３
２
１
２
３
３.解析 把ｙ＝ｓｉｎｘ在ｘ轴下方的部分翻折到
ｘ轴上方ꎬ就得到ｙ＝｜ｓｉｎｘ｜的图象. 如图
所示.
４.ＡＢＣ 函数ｙ＝１＋ｃｏｓｘꎬｘ∈
π
３ꎬ２π
(
) 的图
象如图所示ꎬ当ｔ<０或ｔ≥２时ꎬ无交点ꎻ当ｔ
＝０或３
２≤ｔ<２时ꎬ只有１个交点ꎻ当０<ｔ<
３
２时ꎬ有２个交点ꎬ故选ＡＢＣ.
５.４.２ 正弦函数、余弦函数的性质
练习
１.解析 等式ｓｉｎ
π
６＋２
３π
(
) ＝ｓｉｎπ
６成立.但
不能说２
３π 是ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘ∈Ｒ的一个周期ꎬ
因为不满足函数周期的定义ꎬ对定义域内任
意ｘꎬｓｉｎ
ｘ＋２
３π
(
) 不一定等于ｓｉｎｘꎬ如
ｓｉｎ
π
３＋２
３π
(
) ≠ｓｉｎπ
３ꎬ故２
３π 不是正弦
函数ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘ∈Ｒ的一个周期.
２. 解析
画图略. ( １) 因为ｓｉｎ
３
４
ｘ＝
ｓｉｎ
３
４ｘ＋２π
(
) ＝ｓｉｎ
３
４
ｘ＋８π
３
(
)
[
] ꎬ所以由
周期函数的定义可知ꎬ原函数的周期为８π
３.
( ２) 因为ｃｏｓ４ｘ＝ｃｏｓ( ４ｘ＋２π ) ＝
ｃｏｓ４ｘ＋π
２
(
)
[
] ꎬ所以由周期函数的定义
可知ꎬ原函数的周期为π
２.
( ３) 因为
１
２
ｃｏｓ
２ｘ－π
３
(
) ＝
１
２
ｃｏｓ２ｘ－π
３＋２π
(
) ＝１
２
２(ｘ＋π)－π
３
[
] ꎬ所
以由周期函数的定义可知ꎬ原函数的周期
为π.
(４)因为ｓｉｎ
１
３ｘ＋π
４
(
)
＝ｓｉｎ[
１
３ｘ＋π
４
(
) ＋２π ]
＝ｓｉｎ
１
３(ｘ＋６π)＋π
４
[
] ꎬ
所以由周期函数的定义可知ꎬ原函数的周期
为６π.
３.解析
(１) 奇函数.(２) 偶函数.(３) 奇函数.
(４)奇函数.
４.解析 ∵Ｔ＝２ꎬ
∴ｆ(３)＝ｆ(１)＝０ꎬ
ｆ
７
２
(
) ＝ｆ
７
２－２
(
)
＝ｆ
３
２
(
) ＝
３
２－１
(
)
２
＝１
４.
练习
１.解析 (１)(２ｋπꎬ２ｋπ＋π)(ｋ∈Ｚ).
(２)(２ｋπ－πꎬ２ｋπ)(ｋ∈Ｚ).
(３) ２ｋπ－π
２ꎬ２ｋπ＋π
２
(
) (ｋ∈Ｚ).
(４) ２ｋπ＋π
２ꎬ２ｋπ＋３
２π
(
) (ｋ∈Ｚ).
２.解析 (１) 当ｘ∈{ ｘ
ｘ＝π
２＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ}
时ꎬ函数取得最大值ꎬ为２ꎻ当ｘ∈
ｘ
ｘ＝－π
２＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ
{
} 时ꎬ函数取得最小
值ꎬ为－２.
(２)当ｘ∈{ｘ｜ｘ＝６ｋπ＋３πꎬｋ∈Ｚ} 时ꎬ函数取
得最大值ꎬ为３ꎻ当ｘ∈{ｘ｜ｘ＝６ｋπꎬｋ∈Ｚ}时ꎬ
函数取得最小值ꎬ为１.
３.Ｃ 由函数在[０ꎬ２π]上的图象可知选Ｃ.
４.解析 (１)ｃｏｓ－３π
５
(
) ＝ｃｏｓ３π
５ꎬ
∵０<２π
７<３π
５<πꎬ
函数ｙ＝ｃｏｓｘ在[０ꎬπ]上单调递减ꎬ
∴ｃｏｓ２π
７>ｃｏｓ３π
５＝ｃｏｓ－３π
５
(
) .
(２)∵９０°<２５０°<２６０°<２７０°ꎬ
函数ｙ＝ｓｉｎｘ在９０°≤ｘ≤２７０°上单调递减ꎬ
∴ｓｉｎ２５０°>ｓｉｎ２６０°.
５.解析 令ｚ＝２ｘ＋π
４ꎬ易知函数ｙ＝３ｓｉｎｚ的单
调递减区间为２ｋπ＋π
２ꎬ２ｋπ＋３
２π
[
] ꎬｋ∈Ｚꎬ
∴２ｋπ＋π
２≤２ｘ＋π
４≤２ｋπ＋３
２πꎬ
解得ｋπ＋π
８≤ｘ≤ｋπ＋５
８π.
设Ａ＝[０ꎬπ]ꎬ
Ｂ＝
ｘ
ｋπ＋π
８≤ｘ≤ｋπ＋５
８πꎬｋ∈Ｚ
{
} ꎬ
易知Ａ∩Ｂ＝
π
８ꎬ５
８π
[
] .
故函数ｙ＝３ｓｉｎ２ｘ＋π
４
(
) ꎬｘ∈[０ꎬπ] 的单调
递减区间为
π
８ꎬ５
８π
[
] .
５.４.３ 正切函数的性质与图象
１.解析 由ｙ＝ｔａｎｘ的图象可知ꎬ
不等式ｔａｎｘ≥－１ꎬｘ∈０ꎬπ
２
[
) ∪
π
２ꎬπ
(
)
的解集为０ꎬπ
２
[
) ∪
３π
４ꎬπ
[
) .
教材习题答案
２８７
２.解析 (１) ｋπꎬｋπ＋π
２
(
) (ｋ∈Ｚ).
(２){ｘ｜ｘ＝ｋπꎬｋ∈Ｚ}.
(３) ｋπ－π
２ꎬｋπ
(
) (ｋ∈Ｚ).
３.解析 由３ｘ≠ｋπ＋π
２(ｋ∈Ｚ)ꎬ得ｘ≠ｋ
３π＋
π
６( ｋ∈Ｚ)ꎬ所以函数ｙ＝ｔａｎ３ｘ的定义域
为ｘ
ｘ≠ｋ
３π＋π
６ꎬｋ∈Ｚ
{
} .
４.解析
( １) 因为ｔａｎ２ｘ＝ｔａｎ( ２ｘ＋π) ＝
ｔａｎ
２ｘ＋π
２
(
)
[
] ꎬ所以函数ｙ＝ｔａｎ２ｘꎬ
ｘ≠π
４＋ｋπ
２(ｋ∈Ｚ)的周期为π
２.
( ２) 因为５ｔａｎ
ｘ
２
＝５ｔａｎ
ｘ
２＋π
(
) ＝
５ｔａｎｘ＋２π
２
ꎬ所以函数ｙ＝５ｔａｎｘ
２ꎬｘ≠( ２ｋ＋
１)π(ｋ∈Ｚ)的周期为２π.
５.解析 (１)∵－９０°<－５２°<－４７°<０°ꎬ
函数ｙ＝ｔａｎｘ在－９０°<ｘ≤０°上单调递增ꎬ
∴ｔａｎ(－５２°)<ｔａｎ(－４７°).
(２)ｔａｎ１３π
４＝ｔａｎ３π＋π
４
(
) ＝ｔａｎπ
４ꎬ
ｔａｎ１７π
５＝ｔａｎ３π＋２π
５
(
) ＝ｔａｎ２π
５.
∵０< π
４
< ２π
５
< π
２ꎬ函数ｙ＝ｔａｎｘ在
０ꎬπ
２
(
) 上单调递增ꎬ∴ｔａｎπ
４<ｔａｎ２π
５ꎬ
∴ｔａｎ１３π
４<ｔａｎ１７π
５.
习题5.4
复习巩固
１.解析 (１)如图所示.
(２)如图所示.
２.解析 (１)Ｔ＝３π.(２)Ｔ＝π
２.
( 可直接由函数ｙ＝Ａｓｉｎ( ωｘ＋φ) 或ｙ＝
Ａｃｏｓ(ωｘ＋φ)的周期Ｔ＝２π
｜ω｜来求解)
３.解析 (１)偶函数.
(２)偶函数.
(３)奇函数.
(４)既不是奇函数ꎬ也不是偶函数.
４.解析 (１) ｘ∈{ｘ｜ｘ＝６ｋ＋３ꎬｋ∈Ｚ} 时ꎬ函数
取最大值ꎬｙｍａｘ＝３
２ꎻ
ｘ∈{ｘ｜ｘ＝６ｋꎬｋ∈Ｚ} 时ꎬ函数取最小值ꎬｙｍｉｎ
＝１
２.
(２) ｘ∈ｘ
ｘ＝ｋπ＋π
８ꎬｋ∈Ｚ
{
} 时ꎬ函数取最
大值ꎬｙｍａｘ＝３ꎻ
ｘ∈
ｘ
ｘ＝ｋπ－３π
８ꎬｋ∈Ｚ
{
} 时ꎬ函数取最小
值ꎬｙｍｉｎ＝－３.
(３)ｘ∈ｘ
ｘ＝４ｋπ＋７
３πꎬｋ∈Ｚ
{
} 时ꎬ函数取
最大值ꎬｙｍａｘ＝３
２ꎻ
ｘ∈ｘ
ｘ＝４ｋπ＋π
３ꎬｋ∈Ｚ
{
} 时ꎬ函数取最小
值ꎬｙｍｉｎ＝－３
２.
(４) ｘ∈
ｘ
ｘ＝４ｋπ＋π
３ꎬｋ∈Ｚ
{
} 时ꎬ函数取
最大值ꎬｙｍａｘ＝１
２ꎻ
ｘ∈
ｘ
ｘ＝４ｋπ－５
３πꎬｋ∈Ｚ
{
} 时ꎬ函数取最
小值ꎬｙｍｉｎ＝－１
２.
５.解析
(１) ∵９０° <１０３°１５′<１６４°３０′<１８０°ꎬ
且ｙ＝ｓｉｎｘ在９０°<ｘ<１８０°内为减函数ꎬ
∴ｓｉｎ１０３°１５′>ｓｉｎ１６４°３０′.
(２)∵－π<－４π
９<－３π
１０<０ꎬ
函数ｙ＝ｃｏｓｘ在[－πꎬ０]上单调递增ꎬ
∴ｃｏｓ－３π
１０
(
) >ｃｏｓ－４π
９
(
) .
(３)ｓｉｎ５０８° ＝ｓｉｎ(３６０°＋１４８°)＝ｓｉｎ１４８°ꎬ
∵９０°<１４４°<１４８°<１８０°ꎬ
且ｙ＝ｓｉｎｘ在９０°<ｘ<１８０°内为减函数ꎬ
∴ｓｉｎ１４４°>ｓｉｎ１４８°ꎬ即ｓｉｎ５０８°<ｓｉｎ１４４°.
(４)ｃｏｓ
４７
１０π
(
) ＝ｃｏｓ５π－３π
１０
(
) ＝－ｃｏｓ３π
１０ꎬ
ｃｏｓ
４４
９π
(
) ＝ｃｏｓ５π－π
９
(
) ＝－ｃｏｓπ
９ꎬ
∵０< π
９<３π
１０< π
２ꎬ且ｙ＝ｃｏｓｘ在
０ꎬπ
２
[
] 上
单调递减ꎬ
∴ｃｏｓπ
９>ｃｏｓ３π
１０ꎬ∴－ｃｏｓπ
９<－ｃｏｓ３π
１０ꎬ
∴ｃｏｓ
４７
１０π
(
) >ｃｏｓ
４４
９π
(
) .
６. 解析
( １)
单调递增区间为
０ꎬπ
２
[
] 和
３π
２ꎬ２π
[
] ꎻ
单调递减区间为
π
２ꎬ３π
２
[
] .
(２)单调递增区间为[０ꎬπ]ꎻ
单调递减区间为[πꎬ２π].
７.解析 由ｘ＋π
６≠π
２＋ｋπ(ｋ∈Ｚ)得ｘ≠π
３＋
ｋπ ( ｋ∈Ｚ)ꎬ∴
原函数的定义域
为ｘ
ｘ≠π
３＋ｋπꎬｋ∈Ｚ
{
} .
８.解析 所求函数的周期Ｔ＝π
｜ω｜＝π
２.
９.解析 (１)ｔａｎ－１
５π
(
) ＝－ｔａｎπ
５ꎬ
ｔａｎ－３
７π
(
) ＝－ｔａｎ３
７π.
∵０< π
５< ３
７π< π
２ꎬ
且ｙ＝ｔａｎｘ在ｘ∈０ꎬπ
２
(
) 内为增函数ꎬ
∴ｔａｎπ
５<ｔａｎ３
７πꎬ
故ｔａｎ－１
５π
(
) >ｔａｎ－３
７π
(
) .
(２)ｔａｎ１５１９° ＝ｔａｎ(４×３６０°＋７９°)＝ｔａｎ７９°ꎬ
ｔａｎ１４９３° ＝ｔａｎ(４×３６０°＋５３°)＝ｔａｎ５３°.
∵０°<５３°<７９°<９０°ꎬ
且ｙ＝ｔａｎｘ在０°<ｘ<９０°内为增函数ꎬ
∴ｔａｎ５３°<ｔａｎ７９°ꎬ即ｔａｎ１５１９°>ｔａｎ１４９３°.
(３) ｔａｎ６９
１１π ＝ｔａｎ９
１１πꎬｔａｎ－５３
１１π
(
) ＝
ｔａｎ８
１１π.∵π
２< ８
１１π< ９
１１π< ３
２πꎬ
且ｙ＝ｔａｎｘ在ｘ∈
π
２ꎬ３
２π
(
) 内为增函数ꎬ
∴ｔａｎ８
１１π<ｔａｎ９
１１πꎬ
即ｔａｎ６９
１１π>ｔａｎ－５３
１１π
(
) .
(４)ｔａｎ７π
８＝ｔａｎπ－π
８
(
) ＝ｔａｎ－π
８
(
) ꎬ
∵－π
２<－π
８< π
６< π
２ꎬ
且ｙ＝ｔａｎｘ在ｘ∈－π
２ꎬπ
２
(
) 内为增函数ꎬ
∴ｔａｎ－π
８
(
) <ｔａｎπ
６ꎬ即ｔａｎ７
８π<ｔａｎπ
６.
综合运用
１０.解析 (１)∵ｘ∈
π
４ꎬ５π
４
[
] ꎬ∴－２
２≤ｓｉｎｘ
≤１ꎬ∴ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘ∈
π
４ꎬ５π
４
[
] 的值域
为
－２
２ꎬ１
[
] .
(２)∵０≤ｘ≤π
２ꎬ∴π
３≤ｘ＋π
３≤５π
６ꎬ
∴－３
２≤ｃｏｓｘ＋π
３
(
) ≤１
２ꎬ
２８８
∴ｙ＝ｃｏｓ
ｘ＋π
３
(
) ꎬｘ∈
０ꎬπ
２
[
] 的值域
为
－３
２ꎬ１
２
[
] .
１１.解析 (１){ ｘ
π
３＋２ｋπ≤ｘ≤２π
３＋２ｋπꎬｋ
∈Ｚ} .
(２){ ｘ
－３π
４＋２ｋπ≤ｘ≤３π
４＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ} .
１２.Ａ
ｙ＝｜ｓｉｎｘ｜的最小正周期为πꎬ且在
π
２ꎬπ
(
) 上单调递减ꎻ
ｙ＝ｃｏｓｘ的最小正周期为２πꎻ
ｙ＝ｔａｎｘ在
π
２ꎬπ
(
) 上单调递增ꎻ
ｙ＝ｃｏｓｘ
２的最小正周期为４π.故选Ａ.
１３.解析 (１) ｋπ＋π
２ꎬｋπ－３
４π
(
] (ｋ∈Ｚ).
(２)
ｋπ＋π
３ꎬｋπ＋π
２
[
) (ｋ∈Ｚ).
１４.解析
函数ｙ＝－ｔａｎ２ｘ－３π
４
(
) 的单调递减
区间为(
ｋπ
２＋π
８ꎬｋπ
２＋５π
８) ꎬｋ∈Ｚ.
１５.解析 ∵ｆ(ｘ)是周期为２的奇函数ꎬ
∴ｆ(１)＝ｆ(１－２)＝ｆ(－１)＝－ｆ(１)ꎬ
∴２ｆ(１)＝０ꎬ∴ｆ(１)＝０ꎬ
∴ｆ(３.５)＝ｆ(３.５－４)＝ｆ( －０.５)＝－ｆ(０.５)＝
－１.
１６.解析 (１)Ｔ＝２π
２＝π.
(２)－π
４≤ｘ≤π
４ꎬ∴－５π
６≤２ｘ－π
３≤π
６ꎬ
∴－１≤ｓｉｎ２ｘ－π
３
(
) ≤１
２ꎬ
∴－１
２≤１
２ｓｉｎ２ｘ－π
３
(
) ≤１
４ꎬ
∴ｆ(ｘ) ｍａｘ＝１
４ꎬ此时ｘ＝π
４ꎻ
ｆ(ｘ) ｍｉｎ＝－１
２ꎬ此时ｘ＝－π
１２.
拓广探索
１７.解析
设☉Ｏ的半径为ｒꎬ由三角函数的定
义ꎬ知ｓｉｎｘ＝ｙ
ｒꎬ又ｒ＝２ꎬ∴ｙ＝２ｓｉｎｘ.画图略.
１８.解析 (１)Ｔ＝２.
(２)ｙ＝ｆ(ｘ＋１)的图象如下图所示.
(３)ｙ＝｜ｘ－２ｋ｜ꎬｘ∈[２ｋ－１ꎬ２ｋ＋１]ꎬｋ∈Ｚ.
１９.解析 正弦曲线是中心对称图形ꎬ它有无
数个对称中心ꎬ对称中心坐标为(ｋπꎬ０)ꎬｋ
∈Ｚꎻ正弦曲线也是轴对称图形ꎬ有无数条
对称轴ꎬ对称轴方程为ｘ＝π
２＋ｋπꎬｋ∈Ｚ.
由余弦函数和正切函数的周期性可知ꎬ余
弦曲线的对称中心为
π
２＋ｋπꎬ０
(
) ( ｋ∈
Ｚ)ꎬ对称轴方程为ｘ＝ｋπꎬｋ∈Ｚꎻ正切曲线
的对称中心为
ｋπ
２ꎬ０
(
) ( ｋ∈Ｚ)ꎬ正切曲线
不是轴对称图形.
5.5 三角恒等变换
５.５.１ 两角和与差的
正弦、余弦和正切公式
练习
１.证明
( １) ｃｏｓ
３π
２－α
(
) ＝ｃｏｓ３π
２ｃｏｓα ＋
ｓｉｎ３π
２ｓｉｎα＝－ｓｉｎα.
(２)ｃｏｓ(－α)＝ｃｏｓ(０－α)
＝ｃｏｓ０ｃｏｓα＋ｓｉｎ０ｓｉｎα＝ｃｏｓα.
２.解析 ｃｏｓ１５° ＝ｃｏｓ(４５°－３０°)
＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°
＝２
２× ３
２＋２
２× １
２＝６＋２
４
.
３.解析 ∵ｃｏｓα＝－３
５ꎬα∈(
π
２ꎬπ ) ꎬ
∴ｓｉｎα＝４
５ꎬ
∴ｃｏｓ(
π
４－α ) ＝ｃｏｓ
π
４ｃｏｓα ＋ｓｉｎπ
４
ｓｉｎα＝２
２× ( －３
５) ＋２
２× ４
５＝２
１０.
４.解析 ∵ｓｉｎθ＝１５
１７ꎬθ 是第二象限角ꎬ
∴ｃｏｓθ＝－８
１７ꎬ
∴ｃｏｓ( θ－π
３) ＝ｃｏｓθｃｏｓπ
３＋ｓｉｎθｓｉｎπ
３
＝
－８
１７
(
) × １
２＋１５
１７× ３
２＝１５３－８
３４
.
５.解析 ∵ｓｉｎα＝－２
３ꎬα∈( πꎬ３π
２) ꎬ
∴ｃｏｓα＝－５
３.
∵ｃｏｓβ ＝３
４ꎬβ∈(
３π
２ꎬ２π ) ꎬ∴ｓｉｎβ ＝－７
４.
∴ｃｏｓ(β－α)＝ｃｏｓβｃｏｓα＋ｓｉｎβｓｉｎα
＝３
４× ( －５
３) ＋( －７
４) × ( －２
３)
＝２７－３５
１２
.
练习
１.解析 (１)ｓｉｎ１５° ＝ｓｉｎ(４５°－３０°)
＝ｓｉｎ４５°ｃｏｓ３０°－ｃｏｓ４５°ｓｉｎ３０°
＝２
２× ３
２－２
２× １
２＝６－２
４
.
(２)ｃｏｓ７５° ＝ｃｏｓ(４５°＋３０°)＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°－
ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０° ＝２
２× ３
２－２
２× １
２＝６－２
４
.
( ３) ｓｉｎ７５° ＝ｓｉｎ( ４５° ＋３０°) ＝ｓｉｎ４５°
ｃｏｓ３０°＋ｃｏｓ４５° ｓｉｎ３０° ＝
２
２×
３
２＋
２
２× １
２
＝６＋２
４
.
(４)ｔａｎ１５° ＝ｔａｎ(６０°－４５°)
＝ｔａｎ６０°－ｔａｎ４５°
１＋ｔａｎ６０°ｔａｎ４５° ＝３－１
１＋３
＝
( ３－１)
２
( ３＋１)( ３－１)
＝４－２３
２
＝２－３.
２.解析 (１)∵ｃｏｓθ＝－３
５ꎬθ∈(
π
２ꎬπ ) ꎬ
∴ｓｉｎθ＝
１－ｃｏｓ
２θ ＝４
５ꎬ
∴ｓｉｎ( θ＋π
３) ＝ｓｉｎθｃｏｓπ
３＋ｃｏｓθｓｉｎπ
３
＝４
５× １
２＋( －３
５) × ３
２
＝４－３３
１０
.
(２)∵ｓｉｎθ＝－１２
１３ꎬθ 是第三象限角ꎬ
∴ｃｏｓθ＝－
１－ｓｉｎ
２θ ＝－５
１３ꎬ
∴ｃｏｓ(
π
６＋θ ) ＝ｃｏｓπ
６ｃｏｓθ－ｓｉｎπ
６ｓｉｎθ
＝３
２× ( －５
１３) －１
２× ( －１２
１３) ＝１２－５３
２６
.
(３) ∵ｔａｎα ＝３ꎬ∴ｔａｎ( α ＋π
４) ＝
ｔａｎα＋ｔａｎπ
４
１－ｔａｎαｔａｎπ
４
＝３＋１
１－３×１＝－２.
３.解析 (１)原式＝ｓｉｎ(７２°＋１８°)
＝ｓｉｎ９０° ＝１.
(２)原式＝ｃｏｓ(７２°－１２°)＝ｃｏｓ６０° ＝１
２.
(３)原式＝ｔａｎ(１２°＋３３°)＝ｔａｎ４５° ＝１.
(４)原式＝ｓｉｎ(１４°－７４°)＝ｓｉｎ(－６０°)＝－３
２.
(５) 原式＝－( ｃｏｓ３４° ｃｏｓ２６° －ｓｉｎ３４°
ｓｉｎ２６°)
＝－ｃｏｓ(３４°＋２６°)＝－ｃｏｓ６０° ＝－１
２.
(６)原式＝－ｓｉｎ２０°ｃｏｓ７０°－ｃｏｓ２０°ｓｉｎ７０°
＝－(ｓｉｎ２０°ｃｏｓ７０°＋ｃｏｓ２０°ｓｉｎ７０°)
＝－ｓｉｎ(２０°＋７０°)＝－ｓｉｎ９０° ＝－１.
４.解析 (１)原式＝ｃｏｓπ
３ｃｏｓｘ－ｓｉｎπ
３ｓｉｎｘ
＝ｃｏｓ(
π
３＋ｘ) .
(２)原式＝２(
３
２ｓｉｎｘ＋１
２ｃｏｓｘ)
＝２( ｓｉｎｘｃｏｓπ
６＋ｃｏｓｘｓｉｎπ
６)
＝２ｓｉｎ( ｘ＋π
６) .
教材习题答案
２８９
(３)原式＝２(
２
２ｓｉｎｘ－２
２ｃｏｓｘ)
＝２( ｓｉｎｘｃｏｓπ
４－ｃｏｓｘｓｉｎπ
４)
＝２ｓｉｎ( ｘ－π
４) .
(４)原式＝２２(
１
２ｃｏｓｘ－３
２ｓｉｎｘ)
＝２２( ｃｏｓπ
３ｃｏｓｘ－ｓｉｎπ
３ｓｉｎｘ)
＝２２ｃｏｓ(
π
３＋ｘ) .
５.解析 由已知得ｓｉｎ(α－β) ｃｏｓα－ｃｏｓ(α－β)
ｓｉｎα＝３
５ꎬ
即ｓｉｎ[(α－β)－α] ＝３
５ꎬ即ｓｉｎ(－β)＝３
５ꎬ
所以ｓｉｎβ ＝－３
５.
又β 是第三象限角ꎬ所以ｃｏｓβ ＝－
１－ｓｉｎ
２β
＝－
１－( －３
５)
２
＝－４
５ꎬ
因此ꎬ
ｓｉｎ( β＋５π
４)
＝ｓｉｎ
βｃｏｓ
５π
４
＋
ｃｏｓβｓｉｎ５π
４＝( －３
５) × ( －２
２) ＋( －４
５)
× ( －２
２) ＝７２
１０.
练习
１.解析 ∵８π<α<１２πꎬ∴２π< α
４<３πꎬ
π< α
８<３π
２.
又ｃｏｓα
８＝－４
５ꎬ∴ｓｉｎα
８＝－３
５ꎬ
∴ｓｉｎ
α
４＝２ｓｉｎ
α
８ｃｏｓ
α
８＝２４
２５ꎬｃｏｓ
α
４＝
２ｃｏｓ
２α
８－１＝７
２５ꎬｔａｎα
４＝２４
７.
２.解析 ∵ｓｉｎ(α－π)＝３
５ꎬ∴ｓｉｎα＝－３
５.
∴ｃｏｓ２α＝１－２ｓｉｎ
２α＝７
２５.
３.解析 ∵ｓｉｎ２α＝－ｓｉｎαꎬ
∴２ｓｉｎαｃｏｓα＝－ｓｉｎα.
又α∈(
π
２ꎬπ ) ꎬ∴ｓｉｎα≠０ꎬ
从而有ｃｏｓα＝－１
２ꎬ
∴ｓｉｎα＝３
２ꎬｔａｎα＝－３.
４.解析 ∵ｔａｎ２α＝２ｔａｎα
１－ｔａｎ
２α
＝１
３ꎬ
∴ｔａｎ
２α＋６ｔａｎα－１＝０ꎬ
∴ｔａｎα＝－３±
１０ꎬ
∴ｔａｎα＝－３＋
１０或ｔａｎα＝－３－
１０.
５.解析 (１) ｓｉｎ１５° ｃｏｓ１５° ＝１
２ｓｉｎ３０° ＝１
４.
(２)ｃｏｓ
２π
８－ｓｉｎ
２π
８＝ｃｏｓπ
４＝２
２.
(３) ｔａｎ２２.５°
１－ｔａｎ
２２２.５°
＝１
２ｔａｎ４５° ＝１
２.
(４)２ｃｏｓ
２２２.５°－１＝ｃｏｓ４５° ＝２
２.
５.５.２ 简单的三角恒等变换
练习
１.证明
ｔａｎ
α
２＝
ｓｉｎα
２
ｃｏｓα
２
＝
２ｓｉｎα
２ｃｏｓα
２
２ｃｏｓ
２α
２
＝
ｓｉｎα
１＋ｃｏｓαꎬｔａｎα
２＝
ｓｉｎα
２
ｃｏｓα
２
＝
２ｓｉｎ
２α
２
２ｓｉｎα
２ｃｏｓα
２
＝１－ｃｏｓα
ｓｉｎα ꎬ∴ｔａｎα
２＝ｓｉｎα
１＋ｃｏｓα＝１－ｃｏｓα
ｓｉｎα .
２.解析 ∵２７０°<θ<３６０°ꎬｃｏｓθ＝１
３ꎬ
∴１３５°< θ
２<１８０°ꎬ
∴ｓｉｎθ
２＝
１－ｃｏｓθ
２
ꎬ
＝
１－１
３
２
＝３
３.
ｃｏｓθ
２＝－
１＋ｃｏｓθ
２
＝－
１＋１
３
２
＝－６
３.
３.解析 设等腰三角形的顶角为θꎬ
则ｃｏｓθ＝７
２５ꎬ底角为π
２－θ
２ꎬ
∴ｓｉｎ
π
２－θ
２
(
) ＝ｃｏｓ
θ
２
＝
１＋ｃｏｓθ
２
＝
１＋７
２５
２
＝４
５ꎬｃｏｓ
π
２－θ
２
(
) ＝３
５ꎬ
∴ｔａｎ
π
２－θ
２
(
) ＝４
３.
４.证明 (１)∵ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓα
ｓｉｎβꎬ
ｓｉｎ(α－β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβꎬ
∴ｓｉｎ(α＋β)－ｓｉｎ(α－β)＝２ｃｏｓαｓｉｎβꎬ
即ｃｏｓαｓｉｎβ ＝１
２[ｓｉｎ(α＋β)－ｓｉｎ(α－β)].
(２) ∵ｃｏｓ( α ＋β) ＝ｃｏｓαｃｏｓβ －ｓｉｎαｓｉｎβꎬ
ｃｏｓ(α－β)＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβꎬ
∴ｃｏｓ(α＋β)＋ｃｏｓ(α－β)＝２ｃｏｓαｃｏｓβꎬ
即ｃｏｓαｃｏｓβ ＝１
２[ ｃｏｓ( α＋β) ＋ｃｏｓ( α－β)].
(３)由(２)得ｃｏｓ(α＋β)－ｃｏｓ(α－β)
＝－２ｓｉｎαｓｉｎβꎬ
即ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１
２[ｃｏｓ(α＋β)－ｃｏｓ(α－β)].
５.证明 (１)令４(１)题中α＋β＝θꎬα－β＝φꎬ
则α＝θ＋φ
２ꎬβ ＝θ－φ
２.
从而有ｃｏｓθ＋φ
２ｓｉｎθ－φ
２＝１
２(ｓｉｎθ－ｓｉｎφ)ꎬ
即ｓｉｎθ－ｓｉｎφ＝２ｃｏｓθ＋φ
２ｓｉｎθ－φ
２.
(２)令４(２)题中α＋β ＝θꎬα－β＝φꎬ
则α＝θ＋φ
２ꎬβ ＝θ－φ
２.
从而有ｃｏｓθ＋φ
２ｃｏｓθ－φ
２＝１
２(ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ)ꎬ
即ｃｏｓθ＋ｃｏｓφ＝２ｃｏｓθ＋φ
２ｃｏｓθ－φ
２.
(３)令４(３)题中α＋β ＝θꎬα－β＝φꎬ
则α＝θ＋φ
２ꎬβ ＝θ－φ
２.
从而有ｓｉｎθ＋φ
２ｓｉｎθ－φ
２＝－１
２(ｃｏｓθ－ｃｏｓφ)ꎬ
即ｃｏｓθ－ｃｏｓφ＝－２ｓｉｎθ＋φ
２ｓｉｎθ－φ
２.
练习
１.解析
(１) ｙ＝５ｃｏｓｘ－１２ｓｉｎｘ＝１３ｃｏｓ( ｘ＋φ)
( 其中ｃｏｓφ ＝５
１３ꎬｓｉｎφ ＝１２
１３) ꎬ∴Ｔ＝２πꎬ
ｙｍａｘ＝１３ꎬｙｍｉｎ＝－１３.
(２)ｙ＝ｃｏｓｘ＋２ｓｉｎｘ＝５ｓｉｎ(ｘ＋φ) ( 其中ｓｉｎφ
＝５
５ꎬｃｏｓφ＝２５
５) ꎬ
∴Ｔ＝２πꎬ
ｙｍａｘ＝５ꎬｙｍｉｎ＝－５.
２.解析 如图ꎬＢＤ＝２Ｒꎬ
设∠ＤＢＣ＝θꎬ
则ＢＣ＝２ＲｃｏｓθꎬＣＤ＝２Ｒｓｉｎθꎬ
∴Ｓ花坛＝２Ｒｃｏｓθ２Ｒｓｉｎθ＝２Ｒ
２ｓｉｎ２θ.
当θ＝π
４时ꎬｓｉｎ２θ＝１.
∴Ｓ花坛ｍａｘ＝２Ｒ
２.
此时ＢＣ＝ＣＤ＝２Ｒ.
３.证明 如图ꎬＡＢ为正ｎ边形的一条边ꎬＯＡ＝
ＲꎬＯＭ＝ｒꎬ∠ＡＯＭ＝π
ｎꎬ
∴Ｒ＋ｒ＝
ａ
２
ｓｉｎπ
ｎ
＋
ａ
２
ｔａｎπ
ｎ
＝
ａ１＋ｃｏｓπ
ｎ
(
)
２ｓｉｎπ
ｎ
＝
ａ
２
ｓｉｎπ
ｎ
１＋ｃｏｓπ
ｎ
＝
ａ
２ｔａｎπ
２ｎ
.
２９０
◆习题5.5
复习巩固
１.解析 ∵ｓｉｎα＝２
３ꎬα∈(
π
２ꎬπ ) ꎬ
ｃｏｓβ ＝－３
４ꎬβ∈( πꎬ３π
２) ꎬ
∴ｃｏｓα＝－５
３ꎬｓｉｎβ ＝－７
４ꎬ
∴ｃｏｓ(α－β)＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ
＝( －５
３) × －３
４
(
) ＋２
３× ( －７
４)
＝３５－２７
１２
.
２.解析 ∵α、β 都是锐角ꎬ∴０<α＋β<π.
又ｃｏｓα＝１
７ꎬｃｏｓ(α＋β)＝－１１
１４ꎬ
∴ｓｉｎα＝４３
７ꎬｓｉｎ(α＋β)＝５３
１４ꎬ
∴ｃｏｓβ＝ｃｏｓ[(α＋β) －α] ＝ｃｏｓ(α＋β) ｃｏｓα＋
ｓｉｎ(α＋β)ｓｉｎα ＝
－１１
１４
(
) × １
７＋５３
１４× ４３
７
＝１
２.
３.解析 ∵６０°<α<１５０°ꎬ
∴９０°<α＋３０°<１８０°ꎬ
又ｓｉｎ(α＋３０°)＝３
５ꎬ
∴ｃｏｓ(α＋３０°)＝－４
５.
于是ｃｏｓα＝ｃｏｓ[(α＋３０°)－３０°]
＝ｃｏｓ(α＋３０°)ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ(α＋３０°)ｓｉｎ３０°
＝３－４３
１０
.
４.解析 ∵在△ＡＢＣ中ꎬｃｏｓＢ＝３
５ꎬ
∴Ｂ为锐角ꎬ
∴ｓｉｎＢ＝４
５.
∵ｓｉｎＡ＝５
１３ꎬ
∴ｃｏｓＡ＝±
１－ｓｉｎ
２Ａ＝± １２
１３.
当ｃｏｓＡ＝１２
１３时ꎬＡ为锐角ꎬ
∴ｃｏｓＣ＝－ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)
＝－(
１２
１３× ３
５－５
１３× ４
５) ＝－１６
６５.
当ｃｏｓＡ＝－１２
１３时ꎬＡ为钝角ꎬ
此时ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝５
１３× ３
５＋( －１２
１３) × ４
５<０ꎬ
这与ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)>０(０<Ａ＋Ｂ<π) 矛盾ꎬ此情形
不存在.
综上可知ꎬｃｏｓＣ＝－１６
６５.
５.解析 由于ｔａｎ(α＋β)＝３ꎬｔａｎ(α－β)＝５ꎬ
于是ｔａｎ２α＝ｔａｎ[(α＋β)＋(α－β)]
＝ｔａｎ(α＋β)＋ｔａｎ(α－β)
１－ｔａｎ(α＋β)ｔａｎ(α－β)＝－４
７ꎬ
同理ｔａｎ２β ＝ｔａｎ[(α＋β)－(α－β)] ＝－１
８.
６.解析 (１)ｓｉｎ３４７°ｃｏｓ１４８°＋ｓｉｎ７７°ｃｏｓ５８°
＝(－ｃｏｓ７７°)(－ｓｉｎ５８°)＋ｓｉｎ７７°ｃｏｓ５８°
＝ｃｏｓ７７°ｓｉｎ５８°＋ｓｉｎ７７°ｃｏｓ５８°
＝ｓｉｎ(７７°＋５８°)＝ｓｉｎ１３５° ＝２
２.
(２)ｓｉｎ１６４°ｓｉｎ２２４°＋ｓｉｎ２５４°ｓｉｎ３１４°
＝ｃｏｓ７４° ( －ｓｉｎ４４°) ＋( －ｓｉｎ７４°)
(－ｃｏｓ４４°)＝ｓｉｎ(７４°－４４°)＝ｓｉｎ３０° ＝１
２.
(３)ｓｉｎ(α＋β)ｃｏｓ(γ－β)－ｃｏｓ(β＋α)ｓｉｎ(β－γ)
＝ｓｉｎ(α＋β)ｃｏｓ(γ－β)＋ｃｏｓ(α＋β)ｓｉｎ(γ－β)
＝ｓｉｎ(α＋β＋γ－β)＝ｓｉｎ(α＋γ).
(４)ｓｉｎ(α－β)ｓｉｎ(β－γ)－ｃｏｓ(α－β)ｃｏｓ(γ－β)
＝ｓｉｎ(α－β)ｓｉｎ(β－γ)－ｃｏｓ(α－β)ｃｏｓ(β－γ)
＝－[ｃｏｓ(α－β)ｃｏｓ(β－γ)－ｓｉｎ(α－β)
ｓｉｎ(β－γ)]
＝－ｃｏｓ(α－β＋β－γ)＝－ｃｏｓ(α－γ).
(５)
ｔａｎ５π
４＋ｔａｎ５π
１２
１－ｔａｎ５π
１２
＝
ｔａｎπ
４＋ｔａｎ５π
１２
１－ｔａｎ５π
１２
＝
ｔａｎπ
４＋ｔａｎ５π
１２
１－ｔａｎπ
４ｔａｎ５π
１２
＝ｔａｎ(
π
４＋５π
１２) ＝ｔａｎ２π
３＝－３.
(６)ｓｉｎ(α＋β)－２ｓｉｎαｃｏｓβ
２ｓｉｎαｓｉｎβ＋ｃｏｓ(α＋β)
＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ－２ｓｉｎαｃｏｓβ
２ｓｉｎαｓｉｎβ＋ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ
＝ｃｏｓαｓｉｎβ－ｓｉｎαｃｏｓβ
ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ
＝ｓｉｎ(β－α)
ｃｏｓ(β－α)＝ｔａｎ(β－α).
７.解析 ∵ｓｉｎα＝０.８０ꎬα∈( ０ꎬπ
２) ꎬ
∴ｃｏｓα＝０.６０ꎬ∴ｓｉｎ２α ＝２ｓｉｎαｃｏｓα ＝０.９６ꎬ
ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ
２α－１＝－０.２８.
８. 证明
( １) 左边＝ｓｉｎ
２２α ＋ｃｏｓ
２２α －
２ｓｉｎ２αｃｏｓ２α＝１－ｓｉｎ４α＝右边.
(２)左边＝
ｔａｎ
ｘ
２＋１
１－ｔａｎ
ｘ
２
＋
ｔａｎ
ｘ
２－１
１＋ｔａｎ
ｘ
２
＝
４ｔａｎｘ
２
１－ｔａｎ
２ｘ
２
＝２ｔａｎｘ＝右边.
(３)左边＝ｓｉｎ
２φ＋２ｓｉｎφｃｏｓφ＋ｃｏｓ
２φ
ｃｏｓφ＋ｓｉｎφ
＝ｓｉｎφ＋ｃｏｓφ＝右边.
(４)左边＝ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α－２ｓｉｎαｃｏｓα
ｃｏｓ
２α－ｓｉｎ
２α
＝ｃｏｓα－ｓｉｎα
ｃｏｓα＋ｓｉｎα＝１－ｔａｎα
１＋ｔａｎα ＝右边.
(５)左边＝１－(１－２ｓｉｎ
２θ)
１＋２ｃｏｓ
２θ－１
＝ｔａｎ
２θ＝右边.
(６)左边＝１－ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ
１＋ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ
＝２ｓｉｎ
２θ＋２ｓｉｎθｃｏｓθ
２ｃｏｓ
２θ＋２ｓｉｎθｃｏｓθ
＝ｓｉｎθ(ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ)
ｃｏｓθ(ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ)＝ｔａｎθ＝右边.
９.证明
( １) ∵ｓｉｎ( α ＋β) ＝ｓｉｎαｃｏｓβ ＋
ｃｏｓαｓｉｎβ ＝１
２ꎬｓｉｎ( α －β) ＝ｓｉｎαｃｏｓβ －
ｃｏｓαｓｉｎβ ＝１
３ꎬ
∴ｓｉｎαｃｏｓβ＝５
１２ꎬｃｏｓαｓｉｎβ ＝１
１２.
∴ｓｉｎαｃｏｓβ＝５ｃｏｓαｓｉｎβ.
(２)ｓｉｎαｃｏｓβ ＝５ｃｏｓαｓｉｎβ 两边同时除以
ｃｏｓαｃｏｓβꎬ得ｔａｎα＝５ｔａｎβ.
１０.证明 ∵１－ｔａｎθ
２＋ｔａｎθ ＝１ꎬ∴ｔａｎθ＝－１
２ꎬ
∴ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ
１－ｔａｎ
２θ
＝
－１
１－１
４
＝－４
３ꎬ
－４ｔａｎ( θ＋π
４) ＝－４×ｔａｎθ＋１
１－ｔａｎθ
＝－４×
－１
２＋１
１－( －１
２)
＝－４
３ꎬ
∴ｔａｎ２θ＝－４ｔａｎ( θ＋π
４) .
１１.解析 设这段弧所对的圆心角为αꎬ
则其所对的圆周角为α
２.
∴ｓｉｎα＝３
５ꎬ０<α<π.
当０<α< π
２时ꎬｃｏｓα＝４
５ꎬ
ｓｉｎα
２＝
１－ｃｏｓα
２
＝
１－４
５
２
＝
１０
１０.
ｃｏｓα
２＝
１＋ｃｏｓα
２
＝
１＋４
５
２
＝３
１０
１０
ꎬ
ｔａｎα
２＝
ｓｉｎα
２
ｃｏｓα
２
＝１
３.
当π
２<α<π 时ꎬｃｏｓα＝－４
５ꎬ
同理ꎬ得ｓｉｎα
２＝
１＋４
５
２
＝３
１０
１０
ꎬ
ｃｏｓα
２＝
１－４
５
２
＝
１０
１０ꎬ
ｔａｎα
２＝３.
１２.解析 (１)３
１５ｓｉｎｘ＋３５ｃｏｓｘ
教材习题答案
２９１
＝６５(
３
２ｓｉｎｘ＋１
２ｃｏｓｘ)
＝６５(ｓｉｎｘｃｏｓ３０°＋ｃｏｓｘｓｉｎ３０°)
＝６５ｓｉｎ(ｘ＋３０°).
(２) ３
２ｃｏｓｘ－３
２ｓｉｎｘ
＝３(
３
２ｃｏｓｘ－１
２ｓｉｎｘ)
＝３(ｃｏｓ３０°ｃｏｓｘ－ｓｉｎ３０°ｓｉｎｘ)
＝
３ｃｏｓ(ｘ＋３０°).
(３) ３ｓｉｎｘ
２＋ｃｏｓｘ
２
＝２(
３
２ｓｉｎ
ｘ
２＋１
２ｃｏｓｘ
２)
＝２( ｓｉｎ
ｘ
２ｃｏｓ３０°＋ｃｏｓｘ
２ｓｉｎ３０° )
＝２ｓｉｎ(
ｘ
２＋３０° ) .
(４) ２
４ｓｉｎ(
π
４－ｘ) ＋６
４ｃｏｓ(
π
４－ｘ)
＝２
２[
１
２ｓｉｎ(
π
４－ｘ) ＋
３
２ｃｏｓ(
π
４－
ｘ) ] ＝２
２[ ｓｉｎπ
６ｓｉｎ(
π
４－ｘ) ＋ｃｏｓπ
６
ｃｏｓ(
π
４－ｘ) ]
＝２
２ｃｏｓ[
π
６－(
π
４－ｘ) ]
＝２
２ｃｏｓ( ｘ－π
１２) .
综合运用
１３.解析 由根与系数的关系可得ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ
＝－ｐꎬｔａｎＡｔａｎＢ＝１＋ｐꎬ
∴ｔａｎ(Ａ＋Ｂ)＝ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ
１－ｔａｎＡｔａｎＢ＝１ꎬ
又０°<Ａ＋Ｂ<１８０°ꎬ
∴Ａ＋Ｂ＝４５°.
又Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°ꎬ∴Ｃ＝１３５°.
１４.Ｃ 如图所示ꎬ设ＡＤ＝ｈꎬ则ＢＤ＝ＡＤ＝ｈ.
∵ＢＣ＝３ｈꎬ
∴ＤＣ＝２ｈꎬ∴ＡＣ＝５ｈꎬ
∴ｃｏｓＣ＝２５
５ꎬｓｉｎＣ＝５
５.
∴ｃｏｓＡ＝－ｃｏｓ(Ｂ＋Ｃ)
＝－ｃｏｓπ
４ｃｏｓＣ＋ｓｉｎπ
４ｓｉｎＣ
＝－２
２×２５
５＋２
２× ５
５
＝－
１０
１０.故选Ｃ.
１５.证明 (１)左边＝３＋２ｃｏｓ
２２α－１－４ｃｏｓ２α
＝２ｃｏｓ
２２α－４ｃｏｓ２α＋２
＝２(１－２ｓｉｎ
２α)
２－４(１－２ｓｉｎ
２α)＋２
＝２－８ｓｉｎ
２α＋８ｓｉｎ
４α－４＋８ｓｉｎ
２α＋２
＝８ｓｉｎ
４α＝右边.
(２)左边＝
ｓｉｎα
ｃｏｓαｓｉｎ２α
ｃｏｓ２α
ｓｉｎ２α
ｃｏｓ２α－ｓｉｎα
ｃｏｓα
－３ｃｏｓ２α
＝
ｓｉｎαｓｉｎ２α
ｓｉｎ２αｃｏｓα－ｃｏｓ２αｓｉｎα－３ｃｏｓ２α
＝ｓｉｎ２α－３ｃｏｓ２α
＝２
１
２ｓｉｎ２α－３
２ｃｏｓ２α
(
)
＝２ｓｉｎ２α－π
３
(
) ＝右边.
１６.解析 假设存在锐角αꎬβꎬ使α＋２β ＝２π
３ꎬ
ｔａｎα
２ｔａｎβ ＝２－３同时成立ꎬ则α
２＋β ＝
π
３ꎬ从而有ｔａｎ(
α
２＋β ) ＝
ｔａｎα
２＋ｔａｎβ
１－ｔａｎα
２ｔａｎβ
＝
ｔａｎα
２＋ｔａｎβ
１－(２－３)
＝
ｔａｎα
２＋ｔａｎβ
３－１
＝ｔａｎπ
３＝３ꎬ
∴ｔａｎα
２＋ｔａｎβ＝３－３.
由
ｔａｎα
２＋ｔａｎβ＝３－３ꎬ
ｔａｎα
２ｔａｎβ ＝２－３ꎬ
ì
î
í
ïï
ïï
得
ｔａｎα
２＝１ꎬ
ｔａｎβ＝２－３
{
或
ｔａｎα
２＝２－３ꎬ
ｔａｎβ ＝１.
{
若ｔａｎα
２＝１ꎬ则α
２＝π
４ꎬ∴α ＝π
２ꎬ与已知
条件矛盾.
若ｔａｎβ ＝１ꎬ则β ＝π
４ꎬ
此时ｔａｎα＝
２ｔａｎα
２
１－ｔａｎ
２α
２
＝３
３ꎬ∴α＝π
６ꎬ
∴存在α＝π
６ꎬβ ＝π
４满足题意.
１７.解析 (１)ｆ(ｘ)＝
２ｓｉｎ
π
３＋４ｘ
(
) ＋４ｘ－π
６
(
)
２
ｃｏｓ
π
３＋４ｘ
(
) －４ｘ－π
６
(
)
２
＝２ｓｉｎ４ｘ＋π
１２
(
) ｃｏｓπ
４
＝２ｓｉｎ４ｘ＋π
１２
(
) ꎬ
∴Ｔ＝２π
４＝π
２ꎬ
∵－π
２＋２ｋπ≤４ｘ＋π
１２≤π
２＋２ｋπꎬｋ∈Ｚꎬ
∴－７π
４８＋ｋπ
２≤ｘ≤５π
４８＋ｋπ
２ꎬｋ∈Ｚꎬ
∴
ｆ
( ｘ)
的单调递增区间是
－７π
４８＋ｋπ
２ꎬ５π
４８＋ｋπ
２
[
] (ｋ∈Ｚ).
(２)ｆ(ｘ)＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ
＝
ａ
２＋ｂ
２
ａ
ａ
２＋ｂ
２ｓｉｎｘ＋
ｂ
ａ
２＋ｂ
２ｃｏｓｘ
(
)
＝
ａ
２＋ｂ
２ｓｉｎ(ｘ＋φ)ꎬ
其中ｓｉｎφ＝
ｂ
ａ
２＋ｂ
２ꎬｃｏｓφ＝
ａ
ａ
２＋ｂ
２ꎬ
∴ｆ(ｘ) ｍａｘ＝
ａ
２＋ｂ
２ꎬｆ(ｘ) ｍｉｎ＝－
ａ
２＋ｂ
２.
拓广探索
１８.解析 ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２(α＋３０°) ＋ｓｉｎαｃｏｓ(α＋
３０°)＝３
４.
证明:ｓｉｎ
２α＋(ｃｏｓαｃｏｓ３０°－ｓｉｎα ｓｉｎ３０°)
２＋
ｓｉｎα(ｃｏｓαｃｏｓ３０° －ｓｉｎαｓｉｎ３０°) ＝ｓｉｎ
２α
＋３ｃｏｓ
２α
４
＋ｓｉｎ
２α
４
－３
２ｓｉｎαｃｏｓα＋３
２ｓｉｎαｃｏｓα
－１
２ｓｉｎ
２α＝３
４.
１９.解析 能.Ａ、Ｂ是单位圆上的点ꎬ角α、β 的
终边分别为射线ＯＡ、ＯＢꎬＭ是ＡＢ的中点ꎬ
ＯＣ平分∠ＡＯＢꎬ如下图.
则Ｍ(
ｃｏｓα＋ｃｏｓβ
２
ꎬｓｉｎα＋ｓｉｎβ
２
) .
又ＯＭ＝ＯＡｃｏｓβ－α
２＝ｃｏｓβ－α
２ꎬ
∴ＯＮ＝ＯＭｃｏｓα＋β
２
＝ｃｏｓβ－α
２ｃｏｓα＋β
２
＝ｘＭ
＝ｃｏｓα＋ｃｏｓβ
２
ꎬ
即１
２(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝ｃｏｓα＋β
２ｃｏｓβ－α
２
＝ｃｏｓα＋β
２ｃｏｓα－β
２.
同理可证１
２( ｓｉｎα ＋ｓｉｎβ) ＝ｓｉｎα＋β
２
ｃｏｓα－β
２.
２０.解析 当ｘ＝２时ꎬｆ(α)＝ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α＝１.
当ｘ＝４时ꎬｆ(α) ＝ｓｉｎ
４α＋ｃｏｓ
４α ＝( ｓｉｎ
２α＋
ｃｏｓ
２α)
２－２ｓｉｎ
２αｃｏｓ
２α＝１－１
２ｓｉｎ
２２α.
当ｘ＝６时ꎬｆ(α)＝ｓｉｎ
６α＋ｃｏｓ
６α
＝(ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α)(ｓｉｎ
４α－ｓｉｎ
２αｃｏｓ
２α＋ｃｏｓ
４α)
＝(ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α)
２－３ｓｉｎ
２αｃｏｓ
２α
＝１－３
４ｓｉｎ
２２α.
可知ꎬ当ｘ＝２时ꎬｆ(α)＝１ꎻ
２９２
当ｘ＝４时ꎬ１
２≤ｆ(α)≤１ꎻ
当ｘ＝６时ꎬ１
４≤ｆ(α)≤１ꎬ
猜想:当ｘ∈{ ｎ｜ｎ＝２ｋꎬｋ∈Ｎ＋} 时ꎬ１
２
ｋ－１≤
ｆ(α)≤１.
5.6 函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)
５.６.１ 匀速圆周运动的数学模型
５.６.２ 函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)的图象
练习
１.解析 各函数在长度为一个周期的闭区间
上的简图分别如下图(１) ~ (４).
２.答案 (１)Ｃ (２)Ｂ (３)Ｃ
解析 (１)ｙ＝３ｓｉｎｘ＋π
５
(
) 的图象向右平移
２π
５个单位长度ꎬ得到ｙ＝３ｓｉｎｘ－２π
５＋π
５
(
) ＝
３ｓｉｎｘ－π
５
(
) 的图象.
(２)ｙ＝３ｓｉｎｘ＋π
５
(
) 的图象上所有点的横坐
标缩短到原来的１
２(纵坐标不变)ꎬ得到ｙ＝
３ｓｉｎ２ｘ＋π
５
(
) 的图象.
(３)ｙ＝３ｓｉｎｘ＋π
５
(
) 的图象上所有点的纵坐
标伸长到原来的４
３倍(横坐标不变)ꎬ得到ｙ
＝４ｓｉｎｘ＋π
５
(
) 的图象.
(要分清ω、φ、Ａ到底是哪个发生了变化ꎬ才
能得出正确的结论)
３.解析 ∵Ａ＝２
３ꎬω ＝１
２ꎬ∴振幅为２
３ꎬ周期
Ｔ＝２π
ω ＝４πꎬ∴频率ｆ＝１
Ｔ＝１
４π.
ｙ＝２
３ｓｉｎ
１
２ｘ－π
４
(
) 的图象与ｙ＝ｓｉｎｘ的图
象的关系:先将ｙ＝ｓｉｎｘ图象上所有的点向
右平移π
４个单位长度ꎬ得到ｙ＝ｓｉｎｘ－π
４
(
)
的图象ꎻ然后在纵坐标保持不变的情况下将
各点的横坐标伸长到原来的２倍ꎬ得到函数
ｙ＝ｓｉｎ(
１
２ｘ－π
４) 的图象ꎻ最后在横坐标保
持不变的情况下将各点的纵坐标缩短到原
来的２
３ꎬ得到ｙ＝２
３ｓｉｎ
１
２ｘ－π
４
(
) 的图象.
４.解析
将正弦曲线在区间
π
１２ꎬ＋∞
[
) 内的
所有点向左平移π
１２个单位长度ꎬ就得到ｙ＝
ｓｉｎｘ＋π
１２
(
) ꎬｘ∈[０ꎬ＋∞)的图象.
◆习题5.6
复习巩固
１.答案 (１)Ｃ (２)Ａ (３)Ｄ
２.解析 各个函数在长度为一个周期的闭区
间上的简图分别如下图(１) ~ (４).
３.解析 (１)先将正弦曲线上所有的点向右平
移π
８个单位长度ꎬ得到ｙ＝ｓｉｎｘ－π
８
(
) ꎬｘ∈
Ｒ的图象ꎻ然后将所得图象上各点的横坐标
伸长到原来的４倍( 纵坐标不变)ꎬ得到ｙ＝
ｓｉｎ
ｘ
４－π
８
(
) ꎬｘ∈Ｒ的图象ꎻ再将所得图象
上各点的纵坐标伸长到原来的８倍(横坐标
不变)ꎬ得到ｙ＝８ｓｉｎ
ｘ
４－π
８
(
) ꎬｘ∈Ｒ的图
象ꎻ最后将所得函数的图象把ｙ轴左侧的部
分抹去ꎬ就得到ｙ＝８ｓｉｎ
ｘ
４－π
８
(
) ꎬｘ∈[０ꎬ
＋∞)的图象.
(２)先将正弦曲线上所有的点向左平移π
７
个单位长度ꎬ得到ｙ＝ｓｉｎｘ＋π
７
(
) ꎬｘ∈Ｒ的图
象ꎻ然后将所得图象上各点的横坐标缩短到
原来的
１
３
( 纵坐标不变)ꎬ得到ｙ＝
ｓｉｎ３ｘ＋π
７
(
) ꎬｘ∈Ｒ的图象ꎻ再将所得图象
上各点的纵坐标缩短到原来的１
３( 横坐标
不变)ꎬ得到ｙ＝１
３ｓｉｎ３ｘ＋π
７
(
) ꎬｘ∈Ｒ的图
象ꎻ最后将所得函数的图象把ｙ轴左侧的部
分抹去ꎬ就得到ｙ＝１
３ｓｉｎ( ３ｘ＋π
７) ꎬｘ∈[０ꎬ
＋∞)的图象.
综合运用
４.答案 ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋２π
３
(
)
解析
由题图易知Ａ＝２ꎬＴ＝２５π
１２＋π
１２
(
)
＝πꎬ
∴ω＝２ꎬ∴ｙ＝２ｓｉｎ(２ｘ＋φ)ꎬ
∴２ｓｉｎ－π
１２×２＋φ
(
) ＝２ꎬ
∴－π
１２×２＋φ＝π
２＋２ｋπꎬｋ∈Ｚꎬ
∴φ＝２π
３＋２ｋπꎬｋ∈Ｚꎬ
又∵０<φ<πꎬ∴φ＝２π
３ꎬ
∴ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋２π
３
(
) .
５.解析 ｇ(ｘ)＝３ｓｉｎ２ｘ＋π
３
(
) ＋π
４
[
]
＝３ｓｉｎ２ｘ＋１１π
１２
(
) .
６.答案 １０ｓｉｎπｔ
６０
解析 ∵∠ＡＯＢ＝ｔ
６０×２π＝πｔ
３０ꎬ
∴ｄ＝２×５×ｓｉｎ１
２∠ＡＯＢ
＝１０ｓｉｎπｔ
６０.
７.解析 (１)Ａ＝３ꎬＫ＝２.２.
∵Ｔ＝６０
１.５＝４０ꎬ∴ω＝π
２０.
∴ｄ＝３ｓｉｎ
π
２０ｔ＋φ
(
) ＋２.２ꎬ
当ｔ＝０时ꎬ３ｓｉｎφ＋２.２＝０ꎬ
∴ｓｉｎφ≈－０.７３３３ꎬ
∴φ≈－４７.１６３８.
(２)令ｄ＝３ｓｉｎ
π
２０ｔ＋φ
(
) ＋２.２＝５.２ꎬ
∴ｓｉｎ
π
２０ｔ＋φ
(
) ＝１ꎬ∴π
２０ｔ＋φ＝π
２ꎬ
∴ｔ＝
π
２＋４７.１６３８
(
) × ２０
π ≈３１０.４１.
5.7 三角函数的应用
练习
１.解析 (１)Ａ＝３ꎬＴ＝４ꎬｆ＝１
４.
(２)ｙ＝３ｓｉｎ
π
２ｘ＋φ
(
) ꎬ
３ｓｉｎ
π
２×２.２＋φ
(
) ＝－３ꎬ∴２.２π
２
＋φ ＝３π
２＋
２ｋπꎬｋ∈Ｚꎬ∴φ 可取２π
５ꎬ
∴ｙ＝３ｓｉｎ
π
２ｘ＋２π
５
(
) .
２.解析 (１)设最大偏角为θꎬ则ｓｉｎθ
２＝１.５
２５＝
０.０６ꎬ∴θ
２≈３.４４°ꎬ∴θ≈６.８８°ꎬ∴θ ＝６.８８×
π
１８０≈０.１２０１ｒａｄ.
(２)Ｔ＝２π
ｌ
ｇ＝１ꎬ
教材习题答案
２９３
∴ｌ＝ｇ
４π
２＝９.８
４π
２≈０.２４８(ｍ)ꎬ
∴线的长度应是２４.８ｃｍ.
３.解析
由题意可设函数解析式为Ｕ＝
Ａｓｉｎωｔ.Ｔ＝０.０２ꎬｆ＝
１
０.０２＝５０ꎬＡ＝Ｕｍａｘ＝３１１
(Ｖ)ꎬ
ω＝２π
Ｔ＝２π
０.０２＝１００πꎬ
∴Ｕ＝３１１ｓｉｎ１００πｔ.
练习
１.解析 乙点的位置将移至它关于ｘ轴的对
称点处ꎬ因为绳波从乙点传到戊点正好经过
一个周期ꎬ所以经过１
２周期后ꎬ绳波正好从
乙点传到丁点. 又因为在绳波的传播过程
中ꎬ绳上各点只是上下振动ꎬ纵坐标在变ꎬ横
坐标不变ꎬ所以经过１
２周期后ꎬ乙点将移至
它关于ｘ轴的对称点处ꎬ即横坐标不变ꎬ纵
坐标与图中的丁点的纵坐标相同.
２.解析 同学们可以上网下载有关人体节律
的软件ꎬ利用软件就能方便地作出自己某一
时间段的三条人体节律曲线ꎬ它们都是正弦
型函数图象ꎬ根据曲线不难回答题中的问
题ꎬ并可以指导自己的生活.
习题5.7
综合运用
１.解析 约为５.５天ꎻ约为３.７等星ꎻ约为４.４
等星.
２.解析 函数ｈ＝２ｓｉｎｔ＋π
４
(
) 在[０ꎬ２π] 上的
图象如图.
(１)ｔ＝０时ꎬｈ＝２ｓｉｎπ
４＝
２ꎬ即小球在开始
振动时的位置在平衡位置的上方２ｃｍ处.
(２)小球的最高点和最低点与平衡位置的距
离都是２ｃｍ.
(３)Ｔ＝２π(ｓ)ꎬ∴经过２π ｓ小球往复运动一次.
(４)每秒钟小球能往复振动１
２π次.
拓广探索
３.解析 可到网上搜索有关数据ꎬ然后根据数
据画散点图ꎬ再根据散点图的变化规律确定
模拟函数ꎬ并作出有关预测.
４.解析 根据供电部门统计的每天用电数据
作出用电量随时间变化的图象ꎬ根据图象确
定“波峰” 时间段和“ 波谷” 时间段ꎬ然后制
订方案.
复习参考题5
复习巩固
１.解析 (１)Ｓ＝
β
β ＝π
４＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ
{
} ꎬ
其中适合不等式－２π≤β< ４π 的元素β 为
－７π
４ꎬπ
４ꎬ９π
４.
(２) Ｓ＝
β
β ＝－２
３π＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ
{
} ꎬ其中适
合不等式－２π≤β < ４π 的元素β 为－２
３πꎬ
４
３πꎬ１０
３π.
(３) Ｓ＝
β
β＝１２
５π＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ
{
} ꎬ其中适合
不等式－２π ≤β < ４π 的元素β 为－８
５πꎬ
２
５πꎬ１２
５π.
(４)Ｓ＝{β
β ＝２ｋπꎬｋ∈Ｚ}ꎬ其中适合不等式
－２π≤β<４π 的元素β 为－２πꎬ０ꎬ２π.
２.解析 由题意得
ｌ＝αｒ＝５ꎬ
Ｓ＝１
２αｒ
２＝５ꎬ
{
解得α＝５
２ꎬ∴α＝５
２× １８０
π
(
)
°≈１４３°.
３.解析 (１)∵ｃｏｓφ＝１
４>０ꎬ
∴φ 是第一或第四象限角.
当φ 为第一象限角时ꎬｓｉｎφ＝
１５
４
ꎬ
ｔａｎφ＝
１５ꎻ
当φ 为第四象限角时ꎬｓｉｎφ＝－
１５
４
ꎬｔａｎφ ＝
－
１５.
(２)∵ｓｉｎｘ＝２ｃｏｓｘꎬ∴ｔａｎｘ＝２>０ꎬ则ｘ为第
一或第三象限角.
当ｘ为第一象限角时ꎬｔａｎｘ＝２ꎬ
由
ｓｉｎｘ＝２ｃｏｓｘꎬ
ｓｉｎ
２ｘ＋ｃｏｓ
２ｘ＝１ꎬ
{
解得
ｓｉｎｘ＝２５
５ꎬ
ｃｏｓｘ＝５
５.
ì
î
í
ïï
ïï
当ｘ为第三象限角时ꎬｔａｎｘ＝２ꎬｓｉｎｘ＝－２５
５ꎬ
ｃｏｓｘ＝－５
５.
４.解析 (１)原式＝ｔａｎα＋２
５－ｔａｎα ＝
－１
３＋２
５＋１
３
＝５
１６.
(２)原式＝
ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α
２ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ
２α
＝ｔａｎ
２α＋１
２ｔａｎα＋１＝
－１
３
(
)
２
＋１
－２
３＋１
＝１０
３.
(３)原式＝ｓｉｎαｃｏｓα
ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α
＝ｔａｎα
ｔａｎ
２α＋１
＝
－１
３
－１
３
(
)
２
＋１
＝－３
１０.
(４)原式＝ｓｉｎ
２α＋２ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ
２α
ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α
＝ｔａｎ
２α＋２ｔａｎα＋１
ｔａｎ
２α＋１
＝
－１
３
(
)
２
＋２× －１
３
(
) ＋１
－１
３
(
)
２
＋１
＝２
５.
５.解析 (１)原式＝ｓｉｎ４π＋π
６
(
) ＋
ｃｏｓ８π＋π
３
(
) －ｔａｎ６π＋π
４
(
)
＝ｓｉｎπ
６＋ｃｏｓπ
３－ｔａｎπ
４
＝１
２＋１
２－１＝０.
(２)原式≈１.０７７１.
(３)ｃｏｓ(ｓｉｎ２)≈０.６１４３.
６.答案
ｘ
７π
６
５π
４
４π
３
３π
２
７π
４
１１π
６
ｓｉｎｘ
－１
２
－
２
２
－
３
２
－１
－
２
２
－１
２
ｃｏｓｘ
－
３
２
－
２
２
－１
２
０
２
２
３
２
ｔａｎｘ
３
３
１
３
—
－１
－
３
３
７.解析 (１)最大值为２＋１
π ꎬ此时ｘ的集合
为ｘ
ｘ＝π
２＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ
{
} ꎻ
最小值为
２－
１
π ꎬ此时ｘ的集合
为ｘ
ｘ＝－π
２＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ
{
} .
(２)最大值为５ꎬ此时ｘ的集合为{ｘ｜ｘ＝(２ｋ＋
１)πꎬｋ∈Ｚ}ꎻ
最小值为１ꎬ此时ｘ的集合为{ｘ｜ｘ＝２ｋπꎬｋ∈Ｚ}.
８.解析 各函数在长度为一个周期的闭区间
上的图象分别为图(１) ~ (４).图象变换略.
９.解析 (１)函数ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘ∈[ ０ꎬπ
２] 的图
象如图所示.
２９４
(２)由ｓｉｎ(π－ｘ) ＝ｓｉｎｘꎬ可知ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘ∈
[０ꎬπ]的图象关于直线ｘ＝π
２对称ꎬ据此可
得出函数ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘ∈[０ꎬπ] 的图象ꎻ又由
ｓｉｎ(２π－ｘ) ＝－ｓｉｎｘꎬ可知函数ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘ∈
[０ꎬ２π]的图象关于点(πꎬ０)对称ꎬ据此可得
出函数ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘ∈[０ꎬ２π]的图象.
(３)先把ｙ轴向右(当φ>０时)或向左(当φ
<０时)平行移动｜φ ｜个单位长度ꎬ再把所得
图象向下(当ｋ>０时)或向上(当ｋ<０时)平
移｜ｋ｜个单位长度ꎬ最后根据周期性ꎬ把图象
向右或向左扩展ꎬ抹去[０ꎬ２π] 之外的部分ꎬ
就可得到函数ｙ＝ｓｉｎ( ｘ＋φ) ＋ｋꎬｘ∈[０ꎬ２π]
(φ、ｋ都是常数)的图象.
１０.解析
( １) 振幅是１ꎬ周期是２π
５ꎬ初相是
π
６.把正弦曲线向左平行移动π
６个单位长
度ꎬ可以得到函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋π
６
(
) ꎬｘ∈Ｒ的
图象ꎬ再把所得图象上所有点的横坐标缩短
到原来的１
５(纵坐标不变)ꎬ就可得到函数ｙ
＝ｓｉｎ( ５ｘ＋π
６) ꎬｘ∈Ｒ的图象.
(２)振幅是２ꎬ周期是１２πꎬ初相是０.
把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来
的６倍(纵坐标不变)ꎬ可以得到函数ｙ＝
ｓｉｎ１
６ｘꎬｘ∈Ｒ的图象ꎬ再把所得图象上所
有点的纵坐标伸长到原来的２倍(横坐标
不变)ꎬ就可得到函数ｙ＝２ｓｉｎ１
６ｘꎬｘ∈Ｒ的
图象.
１１.解析 (１)∵αꎬβ 都是锐角ꎬ且ｓｉｎα ＝４
５ꎬ
ｃｏｓ(α＋β)＝５
１３ꎬ
∴ｃｏｓα＝３
５ꎬｓｉｎ(α＋β)＝１２
１３ꎬ
∴ｓｉｎβ＝ｓｉｎ[(α＋β) －α] ＝ｓｉｎ(α＋β) ｃｏｓα－
ｃｏｓ(α＋β)ｓｉｎα＝１２
１３× ３
５－５
１３× ４
５＝１６
６５.
(２) ∵α ∈(
π
４ꎬ３π
４) ꎬβ ∈( ０ꎬπ
４) ꎬ
∴π
４－α ∈( －π
２ꎬ０) ꎬ５π
４＋β ∈(
５π
４ꎬ
３π
２) . 又
ｃｏｓ(
π
４
－α )
＝
３
５ꎬ
ｓｉｎ(
５π
４＋β ) ＝－１２
１３ꎬ∴ｓｉｎ(
π
４－α ) ＝
－４
５ꎬｃｏｓ(
５π
４＋β ) ＝－５
１３.
∵ｓｉｎ(π＋α＋β) ＝ｓｉｎ[ (
５π
４＋β ) －(
π
４－
α ) ]
＝ｓｉｎ(
５π
４＋β ) ｃｏｓ(
π
４－α ) －ｃｏｓ(
５π
４＋β )
ｓｉｎ(
π
４－α )
＝
－１２
１３
(
) × ３
５－( －５
１３) × ( －４
５) ＝－５６
６５ꎬ
∴ｓｉｎ(α＋β)＝－ｓｉｎ(π＋α＋β)＝５６
６５.
(３) ∵αꎬβ 都是锐角ꎬｔａｎα ＝１
７ꎬｓｉｎβ ＝
１０
１０ꎬ∴ｔａｎβ ＝１
３ꎬ
∴ｔａｎ( α ＋β ) ＝ｔａｎα＋ｔａｎβ
１－ｔａｎαｔａｎβ ＝
１
７＋１
３
１－１
７× １
３
＝１
２ꎬ
∴ｔａｎ(α＋２β)＝ｔａｎ(α＋β)＋ｔａｎβ
１－ｔａｎ(α＋β)ｔａｎβ
＝
１
２＋１
３
１－１
２× １
３
＝１.
１２.解析
( １) 证明: 左边＝ｔａｎ( α ＋β) ( １－
ｔａｎαｔａｎβ)＝ｔａｎ( α＋β) －ｔａｎαｔａｎβｔａｎ( α＋
β)＝右边.
(２)∵ｔａｎ６０° ＝ｔａｎ２０°＋ｔａｎ４０°
１－ｔａｎ２０°ｔａｎ４０° ＝３ꎬ
∴ｔａｎ２０° ＋ｔａｎ４０° ＝
３－
３ｔａｎ２０°
ｔａｎ４０°ꎬ
∴ｔａｎ２０°＋ｔａｎ４０°＋３ｔａｎ２０°ｔａｎ４０° ＝３.
(３)∵ｔａｎ( α＋β) ＝ｔａｎα＋ｔａｎβ
１－ｔａｎαｔａｎβ ＝ｔａｎ３π
４＝
－１ꎬ∴ｔａｎα＋ｔａｎβ－ｔａｎαｔａｎβ ＋１＝０ꎬ
∴(１－ｔａｎα)(１－ｔａｎβ)＝１－(ｔａｎα＋ｔａｎβ)＋
ｔａｎαｔａｎβ ＝２.
(４)原式＝
ｔａｎ６０°(１－ｔａｎ２０°ｔａｎ４０°)－３
ｔａｎ２０°ｔａｎ４０°
＝－３.
１３.解析 (１)原式＝
ｃｏｓ１０°－３ｓｉｎ１０°
ｓｉｎ１０°ｃｏｓ１０°
＝４ｓｉｎ２０°
ｓｉｎ２０° ＝４.
(２)原式＝ｓｉｎ４０°ｓｉｎ１０°－３ｃｏｓ１０°
ｃｏｓ１０°
＝２ｓｉｎ４０°ｓｉｎ(１０°－６０°)
ｃｏｓ１０°
＝－２ｓｉｎ４０°ｃｏｓ４０°
ｃｏｓ１０°
＝－ｓｉｎ８０°
ｃｏｓ１０°
＝－１.
(３)原式＝ｓｉｎ７０°
ｃｏｓ７０°ｃｏｓ１０°
３ｓｉｎ２０°
ｃｏｓ２０°－１
(
)
＝ｃｏｓ２０°
ｓｉｎ２０° ｃｏｓ１０°
３ｓｉｎ２０°
ｃｏｓ２０° －１
(
)
＝３ｃｏｓ１０°－ｃｏｓ２０°ｃｏｓ１０°
ｓｉｎ２０°
＝３ｃｏｓ１０°－ｃｏｓ２０°
２ｓｉｎ１０°
＝３ｓｉｎ２０°－ｃｏｓ２０°
２ｓｉｎ１０°
＝ｓｉｎ(２０°－３０°)
ｓｉｎ１０°
＝－１.
(４)原式＝ｓｉｎ５０°ｃｏｓ１０°＋３ｓｉｎ１０°
ｃｏｓ１０°
＝２ｓｉｎ５０°ｓｉｎ４０°
ｃｏｓ１０° ＝ｓｉｎ８０°
ｃｏｓ１０° ＝１.
１４.解析 (１)由题意得ｓｉｎθ＝－４
５ꎬ
∴( ｓｉｎ
θ
２－ｃｏｓ
θ
２)
２
＝１－２ｓｉｎ
θ
２
ｃｏｓθ
２＝１－ｓｉｎθ＝１＋４
５＝９
５.
(２) ( ｓｉｎα
２－ｃｏｓα
２)
２
＝１－ｓｉｎα＝１
２５ꎬ
∴ｓｉｎα＝２４
２５.
(３) ( ｓｉｎ
２θ ＋ｃｏｓ
２θ )
２＝ｓｉｎ
４θ ＋ｃｏｓ
４θ ＋
２(ｓｉｎθｃｏｓθ)
２
＝５
９＋２(
ｓｉｎ２θ
２)
２
＝１ꎬ∴ｓｉｎ２θ＝±２２
３.
(４)∵ｃｏｓ２θ＝３
５ꎬ∴ｓｉｎ２θ＝± ４
５ꎬ
∴ｓｉｎ
４θ＋ｃｏｓ
４θ＝１－２(
ｓｉｎ２θ
２)
２
＝１７
２５.
１５.解析 (１)由题意得
ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ ＝１
５ꎬ
ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ ＝３
５ꎬ
ì
î
í
ïï
ïï
∴ｃｏｓαｃｏｓβ ＝２
５ꎬｓｉｎαｓｉｎβ ＝１
５ꎬ
∴ｔａｎαｔａｎβ ＝１
２.
(２)已知
ｃｏｓα＋ｃｏｓβ ＝１
２ꎬ
ｓｉｎα＋ｓｉｎβ ＝１
３ꎬ
ì
î
í
ïï
ïï
两式分别平方得
ｃｏｓ
２α＋ｃｏｓ
２β＋２ｃｏｓαｃｏｓβ＝１
４ꎬ ①
ｓｉｎ
２α＋ｓｉｎ
２β＋２ｓｉｎαｓｉｎβ＝１
９ꎬ
②
ì
î
í
ïï
ïï
①＋②得２＋２(ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ)＝１３
３６ꎬ
∴ｃｏｓ(α－β)＝－５９
７２.
综合运用
１６. 证明
( １) 左边＝２ｃｏｓ
２２α ＋２＋４ｃｏｓ２α ＝
２(ｃｏｓ２α＋１)
２＝２(２ｃｏｓ
２α)
２＝８ｃｏｓ
４α＝右边.
(２)左边＝
(ｓｉｎα＋ｃｏｓα)
２
２ｃｏｓα(ｓｉｎα＋ｃｏｓα)
＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα
２ｃｏｓα
＝１
２ｔａｎα＋１
２＝右边.
(３)左边＝
ｓｉｎαｃｏｓ(α＋β)＋ｓｉｎ(α＋β)ｃｏｓα－２ｓｉｎαｃｏｓ(α＋β)
ｓｉｎα
＝ｓｉｎ(α＋β－α)
ｓｉｎα
＝ｓｉｎβ
ｓｉｎα＝右边.
(４)左边＝２ｃｏｓ
２２Ａ－４ｃｏｓ２Ａ＋２
２ｃｏｓ
２２Ａ＋４ｃｏｓ２Ａ＋２
＝(
ｃｏｓ２Ａ－１
ｃｏｓ２Ａ＋１)
２
＝(
－２ｓｉｎ
２Ａ
２ｃｏｓ
２Ａ)
２
教材习题答案
２９５
＝ｔａｎ
４Ａ＝右边.
１７.解析 由已知及平方关系式得
ｓｉｎα－ｃｏｓα＝１
５ꎬ
ｓｉｎ
２α＋ｃｏｓ
２α＝１ꎬ
{
解得
ｓｉｎα＝４
５ꎬ
ｃｏｓα＝３
５
ì
î
í
ïï
ïï
或
ｓｉｎα＝－３
５ꎬ
ｃｏｓα＝－４
５.
ì
î
í
ïï
ïï
∵０≤α≤πꎬ∴０≤ｓｉｎα≤１ꎬ
∴
ｓｉｎα＝４
５ꎬ
ｃｏｓα＝３
５ꎬ
ì
î
í
ïï
ïï
∴
ｓｉｎ２α＝２４
２５ꎬ
ｃｏｓ２α＝－７
２５ꎬ
ì
î
í
ïï
ïï
∴ｓｉｎ( ２α－π
４) ＝ｓｉｎ２αｃｏｓπ
４－ｃｏｓ２α
ｓｉｎπ
４＝２４
２５× ２
２＋７
２５× ２
２＝３１２
５０.
１８.解析 ∵２ｃｏｓ
２(
π
４＋ｘ) －１＝－ｓｉｎ２ｘ
＝－７
２５ꎬ∴ｓｉｎ２ｘ＝７
２５.
∵ｘ∈(
１７π
１２ꎬ７π
４) ꎬｃｏｓ( ｘ＋π
４) ＝３
５ꎬ
∴ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝３２
５ꎬｓｉｎ( ｘ＋π
４) ＝－４
５ꎬ
∴ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝－４２
５ꎬ
∴ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎ
２ｘ
１－ｔａｎｘ
＝２ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ)
ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ
ｃｏｓｘ
＝ｓｉｎ２ｘ(ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ)
ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ
＝
７
２５× ( －４２
５)
３２
５
＝－２８
７５.
１９.证明
由题得ｓｉｎ
２θ ＋ｃｏｓ
２θ ＋２ｓｉｎθ ｃｏｓθ
＝４ｓｉｎ
２αꎬ
∵ｓｉｎθｃｏｓθ＝ｓｉｎ
２βꎬ∴１＋２ｓｉｎ
２β ＝４ｓｉｎ
２αꎬ
∴２－２ｃｏｓ２α＝２－ｃｏｓ２βꎬ
即４ｃｏｓ
２２α＝ｃｏｓ
２２β.
２０.解析 ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ
４ｘ－２ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｓｉｎ
４ｘ
＝(ｃｏｓ
２ｘ＋ｓｉｎ
２ｘ)(ｃｏｓ
２ｘ－ｓｉｎ
２ｘ)－ｓｉｎ２ｘ
＝ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ
＝－２ｓｉｎ( ２ｘ－π
４) .
(１)Ｔ＝２π
ω ＝２π
２＝π.
(２)∵ｘ∈[ ０ꎬπ
２] ꎬ
∴２ｘ－π
４∈[ －π
４ꎬ３π
４] .
∴－２
２≤ｓｉｎ( ２ｘ－π
４) ≤１ꎬ
∴－２≤－２ｓｉｎ( ２ｘ－π
４) ≤１.
∴ｆ(ｘ) ｍｉｎ＝－２.
此时ｓｉｎ( ２ｘ－π
４) ＝１ꎬ即２ｘ－π
４＝π
２＋
２ｋπ(ｋ∈Ｚ)ꎬ∴ｘ＝３π
８＋ｋπ(ｋ∈Ｚ).
∵ｘ∈[ ０ꎬπ
２] ꎬ∴ｆ(ｘ) 取最小值时ｘ的
集合为{
３π
８} .
２１.解析 ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ( ｘ＋π
６) ＋ｓｉｎ( ｘ－π
６) ＋
ｃｏｓｘ＋ａ＝２ｓｉｎｘｃｏｓπ
６＋ｃｏｓｘ＋ａ＝３ｓｉｎｘ＋
ｃｏｓｘ＋ａ＝２ｓｉｎ( ｘ＋π
６) ＋ａ.
(１)∵ｙｍａｘ＝２＋ａ＝１ꎬ∴ａ＝－１.
(２)由(１) 知ꎬｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋π
６
(
) －１ꎬ由正
弦曲线可知ꎬπ
２＋２ｋπ≤ｘ＋π
６≤３π
２＋２ｋπꎬｋ
∈Ｚꎬ
即π
３＋２ｋπ≤ｘ≤４
３π＋２ｋπꎬｋ∈Ｚꎬ
∴
ｆ
( ｘ)
的单调递减区间为
π
３＋２ｋπꎬ４π
３＋２ｋπ
[
] (ｋ∈Ｚ).
(３)∵ｆ(ｘ)≥０ꎬ
∴２ｓｉｎ( ｘ＋π
６) －１≥０ꎬ
即ｓｉｎ( ｘ＋π
６) ≥１
２ꎬ
∴π
６＋２ｋπ≤ｘ＋π
６≤５π
６＋２ｋπꎬｋ∈Ｚꎬ
∴２ｋπ≤ｘ≤２π
３＋２ｋπꎬｋ∈Ｚꎬ
∴符合题意的ｘ的取值集合为
{ ｘ
２ｋπ≤ｘ≤２π
３＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ} .
２２.解析 (１)ｆ(ｘ)＝
３ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋ｍ＋１
＝２ｓｉｎ( ２ｘ＋π
６) ＋ｍ＋１.
∵ｘ∈[ ０ꎬπ
２] ꎬ
∴π
６≤２ｘ＋π
６≤７π
６ꎬ
∴ｓｉｎ( ２ｘ＋π
６)
０≤ｘ≤π
２
(
) 的最大值
为１ꎬ
∴ｆ(ｘ) ｍａｘ＝３＋ｍ＝６ꎬ∴ｍ＝３.
(２)由(１)知ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ( ２ｘ＋π
６) ＋４ꎬ
∵ｘ∈Ｒꎬ∴当２ｘ＋π
６＝２ｋπ－π
２ꎬｋ∈Ｚꎬ
即ｘ＝ｋπ－π
３(ｋ∈Ｚ)时ꎬｆ(ｘ)ｍｉｎ＝２.
故ｆ(ｘ)取最小值２时ꎬ相应的ｘ的集合为
{ ｘ
ｘ＝ｋπ－π
３ꎬｋ∈Ｚ} .
２３.解析 设ＡＰ＝ｘꎬＡＱ＝ｙꎬ∠ＢＣＰ＝αꎬ∠ＤＣＱ
＝βꎬ则ｔａｎα＝１－ｘꎬｔａｎβ ＝１－ｙꎬ于是ｔａｎ(α＋
β)＝２－(ｘ＋ｙ)
(ｘ＋ｙ)－ｘｙ.
又△ＡＰＱ的周长为２ꎬ即ｘ＋ｙ＋
ｘ
２＋ｙ
２＝２ꎬ
化简变形可得ｘｙ＝２(ｘ＋ｙ)－２.
于是ｔａｎ(α＋β)＝
２－(ｘ＋ｙ)
(ｘ＋ｙ)－[２(ｘ＋ｙ)－２] ＝１ꎬ
又０<α＋β< π
２ꎬ所以α＋β ＝π
４ꎬ所以∠ＰＣＱ
＝π
２－(α＋β)＝π
４.
拓广探索
２４.解析 (１)由
ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝１
５ꎬ
ｓｉｎ
２β＋ｃｏｓ
２β＝１
{
可得２５ｓｉｎ
２β
－５ｓｉｎβ－１２＝０ꎬ
解得ｓｉｎβ＝４
５或ｓｉｎβ ＝－３
５(舍去).
所以ｃｏｓβ ＝１
５－ｓｉｎβ ＝－３
５.
于是ｔａｎβ＝－４
３.
(２)根据所给条件可求出仅由ｓｉｎβ、ｃｏｓβ、
ｔａｎβ 表示的三角函数的值. 例如ꎬ
ｓｉｎβ＋π
３
(
) ꎬｃｏｓ
２β ＋２ꎬｓｉｎβ＋ｃｏｓβ
２ｔａｎβ
ꎬ
ｓｉｎβ－ｃｏｓβ
３ｓｉｎβ＋２ｃｏｓβ等.
２５.解析 (１)如图ꎬ易知∠ＥＡＣ＝αꎬ
在Ｒｔ△ＡＥＣ和Ｒｔ△ＡＤＢ中ꎬ∠ＡＢＤ＝∠ＥＡＣ
＝αꎬ
∴ＡＣ＝
ｈ１
ｃｏｓαꎬＡＢ＝
ｈ２
ｓｉｎαꎬ
∴Ｓ( α) ＝１
２ＡＣＡＢ＝
ｈ１ｈ２
２ｓｉｎαｃｏｓα ＝
ｈ１ｈ２
ｓｉｎ２α
( ０<α< π
２) .
(２)图略.
(３)当α＝π
４时ꎬＳ(α) ｍｉｎ＝ｈ１ｈ２.
２６.解析 略.
２７.解析 略.
