文档文本内容
高中资料公众号：网盘网课资源
第2 节 两条直线的位置关系
考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条
直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，
会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝
k 2.特别地，
当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1· k 2＝－
1 ，当一条直线
斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P 的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y
＋C2＝0，即点P 的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的
交点坐标.
(2)两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
1
高中资料公众号：网盘网课资源
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝.
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2
a －
x 0，
2 b －
y 0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b 的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0 平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1
且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.
2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)两直线l1，l2有可能重合.
(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.
2.(多选)等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C(3，3)，若点A 的坐标为(0，4)，则
点B 的坐标可能是( )
A.(2，0)
B.(0，2)
C.(4，6)
D.(6，4)
答案 AC
解析 设B(x，y)，根据题意可得
即
解得或
所以B(2，0)或B(4，6).
3.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1
B.
C.
D.2
答案 B
解析 设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l 恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l
时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为.
2
高中资料公众号：网盘网课资源
4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0 相交于同一点，则m 的值为
________.
答案 －9
解析 由得
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
5.(2020·上海卷)已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离
为________.
答案
解析 直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，
当l1∥l2时，a2－1＝0 解得a＝±1.
当a＝1 时，l1与l2重合，不满足题意；
当a＝－1 时，l1∥l2，
则l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0，
则l1与l2的距离为d＝＝.
6.(2022·武汉质检)若直线ax＋4y－2＝0 与直线2x－5y＋b＝0 垂直，垂足为(1，
c)，则a＋b＋c＝________.
答案 －4
解析 ∵直线ax＋4y－2＝0 与直线2x－5y＋b＝0 垂直，∴－×＝－1，∴a＝10，
∴直线ax＋4y－2＝0 的方程为5x＋2y－1＝0.
将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2.
将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0
得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12，
∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
考点一 两直线的平行与垂直
1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0 与nx＋y＋1＝0 平行”是“mn＝1”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
3
高中资料公众号：网盘网课资源
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
解析 直线x＋my－1＝0 与直线nx＋y＋1＝0 平行，则＝≠，
∴mn＝1，充分性成立.
而m＝－1，n＝－1 时，mn＝1，但x－y－1＝0 与－x＋y＋1＝0 重合，必要性不
成立.
2.(2021·烟台期末)若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0 与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3
＝0 垂直，则实数k 的值是( )
A.3 或－3
B.3 或4
C.－3 或－1
D.－1 或4
答案 A
解析 ∵直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，
直线l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0 互相垂直，
∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，
即k2－9＝0，解得k＝3 或k＝－3.
3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0 和x－3y＋4＝0 的交点，并且垂直于直线3x＋4y－
7＝0 的直线方程为________.
答案 4x－3y＋9＝0
解析 法一 由方程组
解得即交点为.
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0 垂直，
所以所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为
y－＝，即4x－3y＋9＝0.
法二 由垂直关系可设所求直线方程为
4x－3y＋m＝0.
由方程组
可解得交点为，
代入4x－3y＋m＝0 得m＝9，
4
高中资料公众号：网盘网课资源
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三 由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋
(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0 垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，
代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
4.(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的
是( )
A.若l1∥l2，则m＝－1 或m＝3
B.若l1∥l2，则m＝3
C.若l1⊥l2，则m＝－
D.若l1⊥l2，则m＝
答案 BD
解析 若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3 或m＝－1，
当m＝－1 时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，
∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B 正确；
若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C 不正确，D 正确.
感悟提升 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要
考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意
x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结
论.
考点二 两直线的交点与距离问题
例1 (1)已知直线y＝kx＋2k＋1 与直线y＝－x＋2 的交点位于第一象限，则实数k
的取值范围是________.
答案
解析 由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
5
高中资料公众号：网盘网课资源
又∵交点位于第一象限，∴
解得－＜k＜.
(2)(2022·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0 的距离不大于3，则a 的
取值范围是________.
答案 [0，10]
解析 由题意得，点P 到直线的距离为
＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，
所以a 的取值范围是[0，10].
(3)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0 之间的距离为，则c 的值是
________.
答案 2 或－6
解析 由题意得＝≠，
∴a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0 可化为3x－2y＋＝0.
由两平行线间的距离公式得
＝，
即＝2，解得c＝2 或c＝－6.
感悟提升 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，
再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a 的距离d＝|x0－a|，到直线y
＝b 的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y 的系数
化为相等.
训练1 (1)(2021·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0 与直线2x＋y－2＝0 的交点
在第一象限，则实数k 的取值范围为________.
答案
解析 联立
解得x＝，y＝(k≠－2).
∵直线kx－y＋2k＋1＝0 与直线2x＋y－2＝0 的交点在第一象限，
6
高中资料公众号：网盘网课资源
∴>0，且>0，解得－<k<.
(2)(多选)(2022·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0 和l2：4x＋6y－9＝0，若直
线l 到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l 的方程为( )
A.2x＋3y－8＝0
B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0
D.12x＋18y－13＝0
答案 BD
解析 设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2 且m≠－9，
直线l 到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，
由题意知d1＝，d2＝.
因为＝，所以＝，
即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5 或m＝－，即直线l 为4x＋6y＋5＝0 或12x＋18y
－13＝0.
考点三 对称问题
角度1 点关于点对称
例2 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0 和l2：x－3y＋10＝0 截
得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________.
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1 与l 的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A 关于点P 的对称点
B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点
A(4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x＋4y－4＝0.
角度2 点关于线对称
例3 已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0 反射，反射光线经
过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0 的对称点为M′(a，b)，则反射光
线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
7
高中资料公众号：网盘网课资源
角度3 线关于线对称
例4 直线2x －y ＋3 ＝0 关于直线x －y ＋2 ＝0 对称的直线方程是
________________.
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
点P 关于x－y＋2＝0 的对称点为P′(x0，y0)，
则得
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0 上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
感悟提升 (1)光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.
(2)直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，
也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相
等求解.
(3)求直线l1关于直线l 对称的直线l2，有两种处理方法：
①在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这
两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.
②设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P1(x1，y1)(P1在直
线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y 表示出x1，y1，再代入直线l1
的方程，即得直线l2的方程.
训练2 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0 关于直线l 的对称直线m′的方程；
(3)直线l 关于点A 对称的直线l′的方程.
解 (1)设A′(x，y)，
则
解得即A′.
(2)在直线m 上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点必在m′上.设
对称点为M′(a，b)，
则
解得即M′.
8
高中资料公众号：网盘网课资源
设m 与l 的交点为N，则由
得N(4，3).又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)法一 在l：2x－3y＋1＝0 上任取两点，
如P(1，1)，N(4，3)，
则P，N 关于点A 的对称点P′，N′均在直线l′上.
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二 设Q(x，y)为l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).
∵Q′在直线l 上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
考点四 直线系方程的应用
角度1 平行、垂直直线系
例5 (1)与直线3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1，2)的直线l 的方程为________.
答案 3x＋4y－11＝0
解析 由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线l 过点(1，2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11，
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
(2)经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0 垂直的直线l 的方程为________.
答案 x－2y＝0
解析 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0 垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c
＝0.又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
角度2 过两直线交点的直线系
例6 已知两条直线l1：x－2y＋4＝0 和l2：x＋y－2＝0 的交点为P，求过点P 且与
直线l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线l 的方程.
解 法一 解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，
因为k3＝，所以直线l 的斜率k＝－，
9
高中资料公众号：网盘网课资源
方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
法二 设所求直线l 的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，将其代入方
程，得c＝－6，所以直线l 的方程为4x＋3y－6＝0.
法三 设所求直线l 的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4
－2λ＝0.因为直线l 与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线
l 的方程为4x＋3y－6＝0.
感悟提升 几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R 且m≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为A1x
＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
训练3 求过直线2x＋7y－4＝0 与7x－21y－1＝0 的交点，且和A(－3，1)，B(5，
7)等距离的直线方程.
解 设所求直线方程为
2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0.
由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线距离相等，
可得
＝，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，
解得λ＝或λ＝，
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0 或x＝1.
1.如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A.
B.a
C.－
D.－或不存在
答案 D
10
高中资料公众号：网盘网课资源
解析 设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，
当a≠0 时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－；
当a＝0 时，l1与x 轴平行或重合，则l2与y 轴平行或重合，∴直线l2的斜率不存
在.
故直线l2的斜率为－或不存在.
2.已知直线l 过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2 平行，则直线l 的方程为( )
A.y＝－4x－7
B.y＝4x－7
C.y＝4x＋7
D.y＝－4x＋7
答案 D
解析 过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2 平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l
的方程为y＝－4x＋7.
3.若P，Q 分别为直线3x＋4y－12＝0 与6x＋8y＋5＝0 上任意一点，则PQ 的最
小值为( )
A.
B.3
C.
D.4
答案 C
解析 因为＝≠，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0 化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以|PQ|的最小值为.
4.(2021·石家庄调研)若直线mx＋4y－2＝0 与直线2x－5y＋n＝0 垂直，垂足为
(1，p)，则实数n 的值为( )
A.－12
B.－2
C.0
D.10
答案 A
解析 由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0 上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2).
又垂足在直线2x－5y＋n＝0 上，得n＝－12.
5.已知点A 与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0 对称，则点A 的坐标为( )
A.(3，4)
B.(4，5)
C.(－4，－3)
D.(－5，－4)
11
高中资料公众号：网盘网课资源
答案 D
解析 设点A(a，b)，
∵点A 与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0 对称，∴
解得a＝－5，b＝－4，
则点A 的坐标为(－5，－4).
6.(2022·广州质检)过点P(1，2)作直线l，若点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相
等，则直线l 的方程为( )
A.4x＋y－6＝0 或x＝1
B.3x＋2y－7＝0
C.4x＋y－6＝0 或3x＋2y－7＝0
D.3x＋2y－7＝0 或x＝1
答案 C
解析 若A，B 位于直线l 的同侧，则直线l∥AB.
∵kAB＝＝－4，
∴直线l 的方程为y－2＝－4(x－1)，
即4x＋y－6＝0；
若A，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，
∴kl＝＝－，
∴直线l 的方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.
综上，直线l 的方程为4x＋y－6＝0 或3x＋2y－7＝0.
7.(多选)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是(
)
A.当a＝－1 时，直线l 与直线x＋y＝0 垂直
B.若直线l 与直线x－y＝0 平行，则a＝0
C.直线l 过定点(0，1)
D.当a＝0 时，直线l 在两坐标轴上的截距相等
答案 AC
解析 对于A，当a＝－1 时，直线l 的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0 垂直，
正确；
对于B，若直线l 与直线x－y＝0 平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝
12
高中资料公众号：网盘网课资源
0 或a＝－1，不正确；
对于C，当x＝0 时，有y＝1，所以直线过定点(0，1)，正确；
对于D，当a＝0 时，直线l 的方程为x－y＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1，
1，不正确.
8.(多选)(2021·长沙模拟)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A.直线l 的倾斜角是
B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C.点(，0)到直线l 的距离是2
D.过(2，2)与直线l 平行的直线方程是x－y－4＝0
答案 CD
解析 对于A，直线l：x－y＋1＝0 的斜率k＝tan θ＝，故直线l 的倾斜角是，故
A 错误；
对于B，因为直线m：x－y＋1＝0 的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l 与直线m
不垂直，故B 错误；
对于C，点(，0)到直线l 的距离d＝＝2，故C 正确；
对于D，过(2，2)与直线l 平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得：x－y－4＝
0，故D 正确.
9.直线3x－4y＋5＝0 关于x 轴对称的直线方程是________.
答案 3x＋4y＋5＝0
解析 在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P 关于x 轴的对称点P′(x，－y)在已
知直线3x－4y＋5＝0 上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
10.已知直线l 经过直线2x＋y－5＝0 与x－2y＝0 的交点，若点A(5，0)到直线l
的距离为3，则l 的方程为________.
答案 x＝2 或4x－3y－5＝0
解析 法一 两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝
0，此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；
当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)
＝0.
由点到线的距离公式得d＝＝3，解得k＝，故所求直线方程为4x－3y－5＝0.
综上知，所求直线方程为x－2＝0 或4x－3y－5＝0.
13
高中资料公众号：网盘网课资源
法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x
＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝2 或λ＝.
所以l 的方程为x＝2 或4x－3y－5＝0.
11.在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A 的平分线所
在直线的方程为y＝0，若点B 的坐标为(1，2)，则点A 的坐标为________，点C
的坐标为________.
答案 (－1，0) (5，－6)
解析 由方程组得
所以点A 的坐标为(－1，0).
又直线AB 的斜率kAB＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以kAC＝－1，
则AC 边所在的直线方程为y＝－(x＋1).①
又已知BC 边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC 的斜率kBC＝－2，
所以BC 边所在的直线方程为
y－2＝－2(x－1).②
解①②组成的方程组得
即点C 的坐标为(5，－6).
12.设光线l 从点A(－4，)出发，经过x 轴反射后经过点B，则光线l 与x 轴的交
点为________，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折
射光线所在直线的纵截距为________.
答案 (－1，0) －
解析 点A(－4，)关于x 轴的对称点为A′(－4，－)，则直线A′B：y＝x＋与x 轴
交于点(－1，0)，所以光线l 与x 轴的交点为(－1，0).
由入射角是60°，得折射角是30°，且光线经过(－1，0)，得出折射光线所在直线
方程为y＝－x－，所以纵截距为－.
13.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)
重合，则m＋n 等于( )
A.
B.
C.
D.
14
高中资料公众号：网盘网课资源
答案 A
解析 令A(0，2)，B(4，0)，C(7，3)，D(m，n).
根据题意，得折痕为A，B 的对称轴，也是CD 的对称轴.
AB 的斜率为kAB＝－，其中点为(2，1)，
所以图纸的折痕所在的直线方程为y－1＝2(x－2)，
∴kCD＝＝－，①
∵CD 的中点为，
∴－1＝2，②
由①②解得m＝，n＝，∴m＋n＝.
14.(多选)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的
是( )
A.不论a 为何值时，l1与l2都互相垂直
B.当a 变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C.不论a 为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0 对称
D.如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是
答案 ABD
解析 对于A，a×1＋(－1)×a＝0 恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A 正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a 变化时，x＝0，y＝1 恒成立，所以l1恒过定
点A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a 变化时，x＝－1，y＝0 恒成立，所以l2恒过
定点B(－1，0)，故B 正确；
对于C，在l1上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0 对称的点的坐标为(－ax－
1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，则等式左边不等于0，故C 不正确；
对于D，联立解得
即M，
所以|MO|＝＝≤，所以|MO|的最大值是，故D 正确.
15.设m∈R，若过定点A 的动直线x＋my＝0 和过定点B 的动直线mx－y－m＋3
＝0 交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
答案 5
解析 易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m 取何值，两动直线都垂直，所以无
论P 与A，B 重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P 在以AB 为直径的圆上).
15
高中资料公众号：网盘网课资源
所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立.
16.已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l 上，
则|PA|＋|PB|的最小值为________.
答案
解析 设点A1与A 关于直线l 对称，P0为A1B 与直线l 的交点，∴|P0A1|＝|P0A|，|
PA1|＝|PA|.
在△A1PB 中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当P 点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A 关于直线l 的对称点为A1(x1，y1)，
解得
∴A1(0，3)，
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|
＝＝.
16
