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让更多的孩子得到更好的教育
相交线，垂线（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性
质；
2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.
【要点梳理】
知识点一、邻补角与对顶角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关
系的两个角叫做互为邻补角．
要点诠释：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”
指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.
2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为
对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
要点诠释：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向
延长线.
3. 邻补角与对顶角对比：
角的名称
特 征
性 质
相 同 点
不 同 点
对顶角
①两条直线相交
形成的角；
②有一个公共顶
点；
③没有公共边.
对顶角相等.
①都是两条直线相
交而成的角；
②都有一个公共顶
点；
③都是成对出现
的.
①有无公共边；
②两直线相交
时，对顶角只有
2 对；邻补角有
4 对.
邻补角
①两条直线相交
而成；
②有一个公共顶
点；
③有一条公共边.
邻补角互补.
【高清课堂：相交线 403101 两条直线垂直】
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知识点二、垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂
直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
要点诠释：
(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a
b
；
直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
90
AOC
°
判定
性质
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角
板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿
此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的
反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且
只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接
直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中
经常应用其“最短性”解决问题．
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4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点诠释：
（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段
的长度．
【典型例题】
类型一、邻补角与对顶角
1．如图所示，AB 和CD 相交于点O，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD，试说明OM 和ON 成一条
直线。
【答案与解析】
解：∵ OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义）。
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代换）。
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM 和ON 共线。
【总结升华】要得出OM 和ON 成一条直线，就要说明∠MON 是平角，从图中可以看出∠AON 是
∠MON 和平角∠AOB 的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM 和∠BON 相
等，本题得证。
2.如图所示，已知直线AB、CD 相交于点O，OE 平分∠BOD，OF 平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，
求
AOF
．
【答案与解析】
解：设∠1＝x，则∠2＝4x．
∵ OE 平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x．
∵ ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴ x＝30°．
∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°．
又∵ OF 平分∠COE，∴ ∠COF＝1
2 ∠COE＝75°．
∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．
【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b＝m:n，在解题时设a
mx
，b
nx
，这是常用的
用方程思想解题的方法．
举一反三：
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【变式】已知α 的补角是一个锐角，有3 人在计算2
5时的答案分别是32°、87°、58°，其
中只有一个答案是正确的，求的度数．
【答案】
解法1：∵ α 的补角是一个锐角，
∴ α 是一个钝角，即90°＜α＜180°，
∴
2
36
72
5
°
° ．
由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°，
可知2
58
5
° ．
∴
145
° ．
解法2：由题意可知是一个钝角，即90
180
°
°．
如果2
32
5
° ，那么
80
° ，不满足90
180
°
°；
如果2
87
5
°，那么
217.5
° ，不满足90
180
°
°；
如果2
58
5
° ，那么
145
° ，满足90
180
°
°，
所以此人计算的答案正确．所以
145
° ．
【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用
假设求出相应的α 的度数，再验证是否正确．
3.（1）如图（1），已知直线a、b 相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？
（2）如图（2），已知直线a、b、c、d 是经过点O 的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含
平角）?几对邻补角？
【答案与解析】
解：（1）2 对对顶角，4 对邻补角。
（2）将图（2）拆分为下图：
通过观察图形．不难发现a、b、c、d 四条直线两两相交，最多有6 个交点，而由（1）知：每个
交点处有两对对顶角，有四对邻补角，
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对顶角的对数：2 6
12
（对）；邻补角的对数:4 6
24
(对)
答：图中共有12 对对顶角，24 对邻补角
【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相
交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n 条直线两两相交，最多有(
1)
2
n n
个交点．每
个交点处有两组对顶角，故n 条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。
举一反三：
【变式】（2015•青岛模拟）如图，直线AB 与CD 相交所成的四个角中，∠1 的邻补角是
，∠1 的对顶角是
．
【答案】∠ 2 和∠ 4；∠ 3.
由图形可知，∠1 的对顶角是∠3，∠1 的邻补角是∠2 和∠4．
类型二、垂线
4．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。
②一条直线的垂线有无数条。
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。
其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【答案】①②
【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内
任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。
①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，
当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两
个邻角相等，如下图：
【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：
①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一
个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；
②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明
了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”
可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。
举一反三：
【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是
因为( )
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A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之问的所有连线中，线段最短
C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质
5.（2016 春•达州校级期中）如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD 为∠BOC 的平分线，
∠BOE=20°，求∠DOE 的度数．
【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD 的度数，进而得出∠DOE 的度
数．
【答案与解析】
解：∵OC⊥OE，
∴∠COE=90°，
∵∠BOE=20°，
∴∠COB=90°+20°=110°，
∵OD 为∠BOC 的平分线，
∴∠BOD=55°，
∴∠DOE=55°﹣20°=35°．
【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义，正确求出∠COB 的度数是解题关
键．
【高清课堂：相交线403101 例4 变式（1）】
举一反三：
【变式】如图，若OM 平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON 平分∠BOC.
【答案】
解：如图，
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∵OM 平分∠AOB ∴∠1=∠2
又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2
由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2
∴∠3=∠4
∴ ON 平分∠BOC
6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M、N 分别是位于公路两侧的
村庄．
(1)设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近；行驶到点Q 位置时，距离村庄
N 最近，请在图中的公路AB 上分别画出点P 和点Q 的位置(保留作图痕迹)．
(2)当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段路上距离M、N 两村庄都越来越近?
在哪一段路上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必
说明)
【答案与解析】
解：(1)过点M 作MP⊥AB，垂足为P，过点N 作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q 就是要画的两点，如
图所示．
(2)当汽车从A 向B 行驶时，在AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ 这段路上，离村
庄M 越来越远，离村庄N 越来越近．
【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．
举一反三：
【变式1】如图所示，过A 点作AD⊥BC，垂足为D 点．
【答案】
解：如图所示
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【变式2】点P 为直线l 外一点：点A、B、C 为直线l 上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则
点P 到直线l 的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D.
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