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实际问题与二次函数—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题；
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模
型；
3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，
表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量
关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的
模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关
系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存
在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际
问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、何时获得最大利润
1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况
进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x (月)满足关系式
1
3
36
8
y
x
，
而其每千克成本
2y (元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．
第1页 共7页
(1)试确定b，c 的值；
(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x 的取值
范围)
(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?
【答案与解析】
（1）把(3，25)，(4，24)代入
2
2
1
8
y
x
bx
c
中，得
1
9
3
25,
8
1 16
4
24.
8
b
c
b
c
解方程组得
15 ,
8
59.
2
b
c
(2)根据题意，得
2
1
2
3
1
15
59
36
8
8
8
2
y
y
y
x
x
x
2
3
1
15
59
36
8
8
8
2
x
x
x
2
1
3
13
8
2
2
x
x
．
所以y 与x 的函数关系式为
2
1
3
13
8
2
2
y
x
x
．
(3)由(2)得，
2
1 (
6)
11
8
y
x
，因为
1
0
8
a
，所以当x＜6 时，y 随x 的增大而增大，所以
“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为10.5 元．
【总结升华】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的
值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而
造成错解．
举一反三：
【变式】某服装公司试销一种成本为每件50 元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于
每件70 元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题
意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）
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【答案】（1）设y 与x 的函数关系式为：y
kx
b
（k≠0），
∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）
∴
b
k
b
k
70
300
60
400
解得
1000
10
b
k
∴
1000
10
x
y
（2）
)
1000
10
)(
50
(
x
x
P
50000
1500
10
2
x
x
P
（50≤x≤70）
∵
75
20
1500
2
a
b
，
10
a
＜0
∴函数
50000
1500
10
2
x
x
P
图象开口向下，
对称轴是直线x=75
∵50≤x≤70，此时y 随x 的增大而增大,
∴当x=70 时，
6000
最大值
P
.
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
2. 某大学的校门如图所示，是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 米，两侧距地面4 米高处
各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 米，你能计算出大学校门的高吗?
【思路点拨】
因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数
据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求大门的高．
【答案与解析】
解：以拱门所在平面与地平面的交线为x 轴，以拱门的对称轴为y 轴建立直角坐标系(如图所示)，
D、E 为铁环． 则A(-4，0)，B(4，0)，D(-3，4)，E(3，4)．
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设抛物线的解析式为
2
y
ax
c
．
∵A(-4，0)，D(-3，4)在抛物线上．
∴16
0,
9
4.
a
c
a
c
解得
4 ,
7
64.
7
a
c
∴
2
4
64
7
7
y
x
，当
0
x
时，
64
7
y
， ∴
64
7
OC
．
即校门的高为64
7 m．
【总结升华】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件
转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
(5)利用关系式求解问题．
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
3. 如图所示，一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离
为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动
员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?
【答案与解析】
解：如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C
表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，
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设C 点的纵坐标为n，过点C、B、A 所在的抛物线的解析式为
2
(
)
y
a x
h
k
，由于抛物线开口向下，
则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴
2
3.5
y
ax
．
∵抛物线
2
3.5
y
ax
经过点A(1.5，3.05)，
∴3.05＝a·1.52+3.5，
∴
1
5
a
．
∴抛物线解析式为
2
1
3.5
5
y
x
．
∴
2
1
( 2.5)
3.5
5
n
，
∴n＝2.25．
∴球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．
【总结升华】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待
定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条
件，得到实际问题的解．
举一反三：
【变式】某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高9
20
m，与篮圈中心
的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地
面3m。
（1）建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得
成功？
【答案】（1）根据题意可知，抛物线经过（0，9
20
），顶点坐标为（4，4），则可设其解析式为
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y＝a（x－4）2＋4，解得a＝－9
1
.
则所求抛物线的解析式为y＝－9
1
（x－4）2＋4.
又∵篮圈的坐标是（7，3），
代入解析式，y＝－9
1
（7－4）2＋4＝3.
所以能够投中.
（2）当x＝1 时，y＝3，此时3.1＞3，故乙队员能够拦截成功.
类型四、最大面积是多少
4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．
(1)当AD＝4 米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；
(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8 米，半圆O 的半径为r 米．
①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r 的取值范围)；
②若2 米≤CD≤3 米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值．(π 取3.14，结果精确到0.1 米)
【思路点拨】
①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；
②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
【答案与解析】
(1)
2
S
半圆
(米2 )；
(2)①∵AD＝2r，AD+CD＝8，∴CD＝8-AD＝8-2r，
∴
2
2
2
1
1
1
2 (8
2 )
4
16
2
2
2
S
r
AD
CD
r
r
r
r
r
．
②由①知，CD＝8-2r，又∵1.2 米≤CD≤3 米，
∴2≤8-2r≤3，∴2.5≤r≤3．
由①知，
2
1
4
16
2
S
r
r
2
2
8
64
2.43
16
2.43 4
2.43
2.43
r
r
≈
．
∵-2.43＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴
8
3.3
2.43
r
≈
，
又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r＝3 时，S 有最大值．
2
1
4
3
16 3
2
S
最大
1
3.14
4
9
48
26.1
2
≈
≈
(米2 )．
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【总结升华】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方
法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
举一反三：
【变式】如图，用18 米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子，窗子的宽不能超过2 米. 为使透进的光线
最多，则窗子的长、宽应各为多少米？
【答案】设窗子的宽为x m，透光面积y m2.
x
x
y
9
2
3
2
（0＜x≤2）
∵
3
2
a
b
x
不在0＜x≤2 范围内
∴由函数图象可知：当x=2 时，y 最大=12
∴当宽为2 m，长为6 m 时，透进的光最多.
注：利用图象在端点处找最值.
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