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角（基础）知识讲解
责编:杜少波
【学习目标】
1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算；
2. 掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法；
3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
5. 掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算；
6．了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题．
【要点梳理】
要点一、角的概念及表示
1．角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射
线是角的两条边．如图1 所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋
转时经过的平面部分是角的内部．如图2 所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形
成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．
要点诠释：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1 所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线
时，所形成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
图1
图2
要点诠释：
在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
要点二、角的比较与运算
1.角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1°的角，
1°的1
60 为1 分，记作“1′”，1′的1
60 为1 秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位
的角的度量制，叫做角度制．
1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
要点诠释：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要
借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大
于60 时要向高一位进位．
2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图
(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
3.角的和、差关系
如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差，
记作：∠1＝∠AOB-∠2．
要点诠释：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：
①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；
②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；
③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出
15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
4.角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图
所示，OC 是∠AOB 的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC ＝1
2 ∠AOB．
要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
要点三、余角、补角、对顶角
1.余角与补角
（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一
个角叫做另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中
一个角叫做另一个角的补角．
（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．
要点诠释：
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的
位置无关．
(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．
2.对顶角
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对
顶角．
要点诠释：
(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向
延长线.
(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生
邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
（2）性质：对顶角相等．
要点四、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA 的方向是北偏东
60°；射线OB 的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的
角，就叫做方位角．
要点诠释：
（1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北
30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确
定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点．
要点五、钟表上有关角问题
钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，时针
每小时转30°，时针1 分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典型例题】
类型一、角的概念及表示
1.下列语句正确的是 ( )
A．两条直线相交，组成的图形叫做角．
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．
C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．
D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．
【答案】C
【解析】根据角的定义判断
【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的
一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要
区别．
举一反三：
【变式】写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B 为顶点的角； (3)图中共有几个角(小
于180°).
【答案】
解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．
(2)以B 为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．
(3)图中共有7 个角．
类型二、角度制的换算
2. 把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．
【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．
第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′
和30″化成度即可．
【答案与解析】
解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，
所以25.72°＝25°43′12″．
(2)
1
30
30
0.5
60
，
1
12.5
12.5
0.21
60
°≈
°
所以45°12′30″≈45.21°．
【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化
单位容易出错．
举一反三：
【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；
(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．
【答案】 (1)26.29°＝26°＋0.29°＝26°＋0.29×60′＝26°＋17.4′
＝26°＋17′＋0.4×60″＝26°17′＋24″＝26°17′24″
(2)33°24′36″＝33°＋24′＋36×
1
60
＝33°＋24′＋0.6′
＝33°＋24.6′＝33°＋24.6×
1
60
° ＝33.41°
【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算.
类型三、角的比较与运算
3.不用量角器，比较图1 和图2 中角的大小．(用“＞”连接)
【思路点拨】图1 中两角∠α、∠β 均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中
的∠α 向∠β 平移，让∠α 与∠β 始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2 中的三
个角按角的分类，∠1 为锐角，∠2 为直角，∠3 为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的
大小比较出来．
【答案与解析】
解：(1)如图所示，将∠α 平移使∠α 的始边与∠β 的始边重合，发现∠α 落在∠β 内部，
因此∠β＞∠α．
(2)由图可知∠1 是锐角，∠1＜90°，∠2 是直角，即∠2＝90°，∠3 是钝角，即90°<∠3＜
180°，因此∠3＞∠2＞∠1．
【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠
合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜
直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．
举一反三：
【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．
【答案】
作法：如图，
(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB 于点C、D；
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧l，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，交弧l 于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
4. 如图所示，已知OC 平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB 是∠AOD 的平分线，求
∠AOD 的度数．
【答案与解析】
解：因为OC 平分∠BOD，且∠BOC＝20°，
所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．
又因为OB 是∠AOD 的平分线，
所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．
【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB 是∠AOC 的平分线，则①∠AOB＝∠BOC
＝1
2 ∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．
【高清课堂：角 397364 角的有关计算例3】
举一反三：
【变式】已知：如图，OM 是∠AOB 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，∠AOC=80°，求：∠MON.
【答案】
解：∵OM 平分∠AOB，ON 平分∠COB，
∴∠MOB= 1
2 ∠AOB，∠BON= 1
2 ∠BOC.(角平分线的定义)
∴∠MON=∠MOB＋∠BON
= 1
2 ∠AOB＋1
2 ∠BOC= 1
2 (∠AOB＋∠BOC)
= 1
2 ∠AOC= 1
2 ×80=40 .
即∠MON=40.
类型四、余角、补角、对顶角
5.（2016 春•曹县校级月考）一个角的补角比这个角的余角的2 倍还多40°，求这个角
的度数．
【思路点拨】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，
根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．
【答案与解析】
解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有
180﹣x=2（90﹣x）+40，
解得x=40．
答：这个角的度数是40°．
【总结升华】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2015•崇左）下列各图中，∠1 与∠2 互为余角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C．
解：四个选项中，只有选项C 满足∠1+∠2=90°，
即选项C 中，∠1 与∠2 互为余角．
类型五、方位角及钟表上有关角问题
6.（2015•浦东新区三模）已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏
东50°方向，那么∠AOB 的度数等于
．
【答案】85°．
【解析】
解：如图：∵∠2=50°，
∴∠3=40°，
∵∠1=45°，
∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，
故答案为：85°．
【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A，B 的方位，
注意东南方向是45 度是解答此题的关键．
7.计算： 4 时15 分时针与分针的夹角.
【答案与解析】
解法一：如下图，设4 时15 分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，
时针转过的角度为：30°×4＋0.5°×15，
分针转过的角度为：6°×15，
所以∠α＝30°×4＋0.5°×15-6°×15＝37.5°．
解法二：如上图，∠AOC＝30°×1＝30°， ∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．
所以∠AOB＝37.5°．
即4 时15 分时针与分针的夹角为37.5°．
【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟
转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．
