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角（提高）知识讲解
【学习目标】
1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
【要点梳理】
要点一、角的概念
1．角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射
线是角的两条边．如图1 所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的
内部．如图2 所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置
OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．
要点诠释：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1 所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线
时，所形成的角叫做平角，如图2 所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
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图1
图2
要点诠释：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或
小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
要点二、角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360 等份，每一份就是1°的角，1°的
为1 分，记作“1′”，1′的
为1 秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度
量制，叫做角度制．
1 周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
要点诠释：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要
借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大
于60 时要向高一位进位．
要点三、角的比较与运算
1.角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图
(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
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2.角的和、差运算
如图所示，∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1 是∠AOB 与∠2 的差，记
作：∠1＝∠AOB-∠2．
要点诠释：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边
与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出
15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
3.角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图
所示，OC 是∠AOB 的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =
∠AOB．
要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
要点四、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA 的方向是北偏东
60°；射线OB 的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的
角，就叫做方位角．
要点诠释：
（1）正东，正西，正南，正北4 个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北
30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确
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定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点．
要点五、钟表上有关夹角问题
钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，时针
每小时转30°，时针1 分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典型例题】
类型一、角的概念
1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．
【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4 个不相等的角，利用这
些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．
【答案与解析】
解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数
的角，画法如图所示．
【总结升华】利用一副三角板共可以画出11 个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，
105°，120°，135°，150°，165°．
类型二、角度制的换算
2. 计算下列各题：
(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；
(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．
【答案与解析】
解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″
即：152°49′12″+20.18°＝173°．
解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，
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∴ 152.82°+20.18°＝173°．
即：152°49′12″+20.18°＝173°．
(2)将82°化为81°59′60″，则
∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．
423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，
∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．
∴ 41°37′÷3=13°52′20″．
【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在
进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对
于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前
的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．
举一反三：
【变式】计算：
(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；
(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．
【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；
(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；
(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；
(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．
类型三、角的比较与运算
3. 如图所示表示两块三角板．
(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2 的大小；
(2)量出图中各角的度数，并把图中的6 个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．
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【答案与解析】
解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，
可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．
(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝
60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．
【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边
与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．
举一反三：
【变式】如图，∠AOB 的平分线OM,ON 为∠MOA 内的一条射线，OG 为∠AOB 外的一条射
线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝
（∠BON－∠AON），你认为这个
同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.
【答案】
解：正确，理由如下：
∵∠AOB 的平分线OM，
∴∠AOM＝∠MOB
又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON
即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON
∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON
∴∠MON＝
（∠BON－∠AON）
4. (武汉武昌区期末调研考试)已知点O 是直线AB 上的一点，∠COE＝90°，OF 是
∠AOE 的平分线．
(1)当点C、E、F 在直线AB 的同侧(如图①所示)时．试说明∠BOE＝2∠COF；
(2)当点C 与点E、F 在直线AB 的两旁(如图②所示)时(1)中的结论是否仍然成立?请给
出你的结论并说明理由；
(3)将如图②中的射线OF 绕点O 顺时针旋转m°(0＜m＜180)，得到射线OD，设∠AOC
＝n°，若∠BOD＝
，则∠DOE 的度数是多少?(用含n 的式子表示)
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【思路点拨】由于本题中涉及角的数量关系，故可以选择代数的方法来说明理由．
【答案与解析】
解：(1)如图①，设∠COF＝α， 则∠EOF＝90°-α
因为OF 是∠AOE 的平分线
所以∠AOF＝90°-α
所以∠AOC＝(90°-α)-α＝90°-2α
∠BOE＝180°-∠COE-∠AOC
＝180°-90°-(90°-2α)＝2α
即∠BOE＝2∠COF
(2)成立．如图2
设∠AOC＝β，则
所以
∠BOE＝180°-∠AOE＝180°-(90°-β)＝90°+β
所以∠BOE＝2∠COF
(3)因为∠DOE＝180°-∠AOE-∠BOD
故
的度数是
．
【总结升华】根据角平分线，互余及互补的定义，进行有关角的计算．有一定的综合性和代表
性，主要培养分析问题和解决问题的能力．
举一反三：
【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分ÐAOB，OE 在ÐBOC 内，且ÐBOE＝
ÐEOC，ÐDOE＝70°，求ÐEOC 的度数.
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【答案】
解：设∠EOC=
°，则ÐBOE＝
ÐEOC＝
°，根据题意可得：
，
解得：
.
ÐEOC＝2ÐBOE＝80°.
类型四、方位角
5. 轮船在海面上以每小时15 海里的速度向正北方向航行，上午8 时到达A 处，测得灯
塔C 在北偏西45°方向，上午10 时到达B 处，又测得灯塔C 在北偏西60°方向．
(1)根据题设条件，选用适当的比例尺画出图形；
(2)量出BC 的图上距离，并推算出BC 的实际距离；轮船继续向北航行到达D 处，这时
灯塔C 在轮船的正西方向，这时CD 的实际距离是多少?
(3)你能确定轮船到达D 处时的时间吗?
【答案与解析】
解：(1)如图所示．作图步骤如下：
①从点A 引南北、东西方向的两条直线，并画出∠DAC＝45°；
②轮船从8 时到10 时共航行了30 海里，在南北方向上截取AB＝7 mm(这时图距7
mm 表示30 海里)；
③画∠DBC＝60°，射线AC、BC 的交点C 就是灯塔C 的实际位置；④在图上作∠CDA
＝90°，CD 与AD 交于点D．
(2)从图中依次量出BC≈22 mm，BD≈11 mm，CD≈19 mm，那么BC 的实际距离为
≈94(海里)，CD 的实际距离为19×
≈81(海里)．
(3)BD 的实际距离为
≈47(海里)，轮船船速为15 海里／时，所以，轮船到达D 处
所需时间为
≈3.14(小时)，即3 小时8 分24 秒．3 小时8 分24 秒+10 小时＝13
小时8 分24 秒．
答：轮船到达D 处时的时间是13 时8 分24 秒．
【总结升华】以A 点作为南北方向所构成的平角的顶点，由观察点A、B 的位置以及它们与灯
塔C 的夹角，由此可确定灯塔C 的位置，然后根据比例尺和草图准确地画图，并计算即可．
类型五、钟表上有关夹角问题
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6. 在7 时到7 时10 分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?
【答案与解析】
解：设7 时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：
，
．
答：7 时
分钟时针与分针成一条直线．
【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定
的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则：
①
分针的速度为
＝6°/分；②时针的速度为
＝0.5°/分．
故分针速度是时针速度的12 倍．
举一反三：
【变式】某人下午6 点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7 点多回家时，
发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间?
【答案】
解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：
6x-0.5x＝110×2，解之得x＝40．
答：此人外出购物用了40 分钟的时间．
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