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第1 节 直线的方程
考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要
素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌
握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，
了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的
方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾斜角；
(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α 的取值范围是{ α |0°
≤
α <180°}
.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用
小写字母k 表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l 上的两点，则向量P1P2＝(x2－
x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l 的斜率为k，它的
一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y ＝
kx
＋
b
与x 轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y －
y 0＝
k ( x －
x 0)
1
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两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直
的直线
截距式
纵、横截距
＋＝
1
不过原点且与两坐标
轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
1.直线的倾斜角α 和斜率k 之间的对应关系：
α
0
0<α<
<α<π
k
0
k>0
不存在
k<0
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距
离”是一个非负数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2
－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－
1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
2.(易错题)直线xtan 60°＋y－2＝0 的倾斜角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
答案 C
解析 设直线倾斜角为α，
∵y＝－xtan 60°＋2，
∴直线的斜率为k＝－tan 60°＝－.
2
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∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.
3.(多选)(2022·烟台调研)下列说法正确的是( )
A.有的直线斜率不存在
B.若直线l 的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α
C.若直线l 的斜率为1，则它的倾斜角为
D.截距可以为负值
答案 ABD
4.(2022·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0 同时要经过第一、第二、第四象限，则
a，b，c 应满足( )
A.ab＞0，bc＜0
B.ab＞0，bc＞0
C.ab＜0，bc＞0
D.ab＜0，bc＜0
答案 A
解析 由于直线ax＋by＋c＝0 同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0，
在y 轴上的截距大于0，
故故ab＞0，bc＜0.
5.( 易错题) 经过点(4 ，1) ，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为
________________.
答案 x－4y＝0 或x＋y－5＝0
解析 当直线过原点时，直线方程为y＝x，
即x－4y＝0.
当直线不过原点时，
设直线方程为＋＝1(a≠0)，
代入(4，1)，＋＝1，∴a＝5，
故直线方程是x＋y－5＝0.
6.(2021·上海卷)直线x＝－2 与直线x－y＋1＝0 的夹角为________.
答案
解析 由于直线x＝－2 的倾斜角为，直线x－y＋1＝0 即直线y＝x＋1，其倾斜
角为，故夹角为.
考点一 直线的倾斜角与斜率
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例1 (1)直线l 过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则
直线l 斜率的取值范围为________.
答案 (－∞，－]∪[1，＋∞)
解析 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是
kAP＝1，直线PB 的斜率是kBP＝－，当直线l 由PA 变化到与y
轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α 增至90°，斜率的取值
范围为[1，＋∞).
当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围
是(－∞，－].
故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).
(2)(2022·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3 的斜率分别为k1，
k2，k3，则( )
A.k1＜k2＜k3
B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1
D.k1＜k3＜k2
答案 D
解析 因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，
所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.
感悟提升 (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α
的单调性.
训练1 (1)(2021·青岛模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1
与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )
A.k≥
B.k≤－2
C.k≥或k≤－2
D.－2≤k≤
答案 D
解析 直线l：y＝k(x－2)＋1
经过定点P(2，1)，
∴kPA＝＝－2，kPB＝＝.
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又直线l：y＝k(x－2)＋1 与线段AB 相交，
∴－2≤k≤.
(2)已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB 的倾斜角α 的取值范围是
( )
A.
B.
C.∪
D.
答案 D
解析 ①当m＝－1 时，α＝；
②当m≠－1 时，∵k＝∈(－∞，－]∪，
∴α∈∪.
综合①②知直线AB 的倾斜角α 的取值范围是.
考点二 求直线的方程
例2 (1)已知一条直线经过点A(2，－)，且它的倾斜角等于直线x－y＝0 倾斜角
的2 倍，则这条直线的方程为____________________.
答案 x－y－3＝0
解析 由已知得直线x－y＝0 的斜率为，
则其倾斜角为30°，
故所求直线倾斜角为60°，斜率为，
故所求直线的方程为y－(－)＝(x－2)，即x－y－3＝0.
(2) 过点(2 ，1) 且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6 的直线方程为
______________.
答案 x＋y－3＝0 或x＋2y－4＝0
解析 由题意可设直线方程为＋＝1，
则解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0 或x＋2y－4＝0.
(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1 的交点，且直线的一个方向向量v
＝(－3，2)的直线方程为________.
答案 2x＋3y－5＝0
解析 联立解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1，1).
∵直线的方向向量v＝(－3，2)，
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∴直线的斜率k＝－，
则直线的方程为y－1＝－(x－1)，
即2x＋3y－5＝0.
感悟提升 (1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，
再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是
对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
训练2 (1)在△ABC 中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC 的中点M 在y 轴上，
BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________.
答案 5x－2y－5＝0
解析 设C(x0，y0)，
则M，N.
因为点M 在y 轴上，所以＝0，
解得x0＝－5.
因为点N 在x 轴上，所以＝0，
解得y0＝－3.
所以M，N(1，0)，
所以直线MN 的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
(2)过点(－2，－3)，且在x 轴、y 轴上的截距互为相反数的直线方程是________.
答案 3x－2y＝0 或x－y－1＝0
解析 ①当直线过原点时，又由直线过点(－2，－3)，则其方程为y＝x，即3x
－2y＝0.
②当直线不过原点时，若该直线在x 轴、y 轴上的截距互为相反数，设此时直线
的方程为＋＝1，
又由直线过点(－2，－3)，则有＋＝1，解得a＝1，
此时直线的方程为x－y－1＝0.
综上可得，所求直线的方程为3x－2y＝0 或x－y－1＝0.
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(3)若一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此
直线的方程为________________.
答案 x＋2y－2＝0 或2x＋y＋2＝0
解析 设直线方程为y＝k(x＋2)＋2，直线与两坐标轴交点为，(0，2k＋2).
∵与两坐标轴围成的三角形的面积为1，
∴·|2k＋2|＝1，
∴|2k＋2|＝1，∴＝1.
①k＞0 时，(2k＋2)2＝2k，2k2＋3k＋2＝0，无解.
②k＜0 时，(2k＋2)2＝－2k，
∴2k2＋5k＋2＝0，∴k＝－2 或k＝－，
则所求直线为2x＋y＋2＝0 或x＋2y－2＝0.
考点三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，△AOB 的面积为S(O 为
坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.
(1)证明 直线l 的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1).
(2)解 由方程知，当k≠0 时，直线在x 轴上的截距为－，在y 轴上的截距为1
＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0 时，直线为y＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l 的方程，
得A，B(0，1＋2k).
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝，等号成立，
∴Smin＝4，此时直线l 的方程为x－2y＋4＝0.
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感悟提升 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定
点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线
过定点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长
度，进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数
的单调性或基本不等式求解.
训练3 已知直线l 过点M(2，1)，且分别与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴交于A，
B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程.
解 法一 设直线l 的方程为
y－1＝k(x－2)，
则可得A，B(0，1－2k).
∵l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A，B 两点，
∴∴k＜0.
于是S△AOB＝·|OA|·|OB|
＝··(1－2k)＝
≥＝4.
当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方
程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
法二 设所求直线l 的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1.
又∵＋≥2，∴ab≥4，当且仅当＝＝，
即a＝4，b＝2 时，△AOB 面积S＝ab 有最小值为4.
此时，直线l 的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0.
1.倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2 的直线方程为( )
A.y＝－x＋2
B.y＝－x－2
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C.y＝x＋2
D.y＝x－2
答案 B
解析 斜率为tan 120°＝－，利用斜截式直接写出方程，即y＝－x－2.
2.(2022·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，
则实数a 的取值范围是( )
A.(－2，1)
B.(－1，2)
C.(－∞，0)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知＜0，
即＜0，解得－2＜a＜1.
3.(2021·北京丰台区模拟)若直线y＝ax＋c 经过第一、二、三象限，则有( )
A.a＞0，c＞0
B.a＞0，c＜0
C.a＜0，c＞0
D.a＜0，c＜0
答案 A
解析 ∵直线y＝ax＋c 经过第一、二、三象限，
∴直线的斜率a＞0，在y 轴上的截距c＞0.
4.直线2xcos α－y－3＝0 的倾斜角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 直线2xcos α－y－3＝0 的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
5.过点(0，1)且与直线2x－y＋1＝0 垂直的直线方程是( )
A.x＋2y－1＝0
B.x＋2y－2＝0
C.2x－y－1＝0
D.2x－y－2＝0
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答案 B
解析 所求直线的斜率为－，由所求直线过点(0，1)，则直线方程为y＝－x＋
1，即x＋2y－2＝0.
6.过函数f(x)＝x3－x2图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值
范围为( )
A.
B.∪
C.
D.
答案 B
解析 ∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴斜率k＝tan α≥－1，
解得倾斜角α∈∪.
7.在平面直角坐标系xOy 中，经过点P(1，1)的直线l 与x 轴交于点A，与y 轴交
于点B.若PA＝－2PB，则直线l 的方程是( )
A.x＋2y－3＝0
B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－3＝0
D.2x－y－1＝0
答案 A
解析 设A(a，0)，B(0，b)，由PA＝－2PB，可得a－1＝－2×(0－1)，0－1＝
－2(b－1)，则a＝3，b＝.由截距式可得直线l 的方程为＋＝1，即x＋2y－3＝0.
8.(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 的方
程为( )
A.x－y＋1＝0
B.x＋y－3＝0
C.2x－y＝0
D.x－y－1＝0
答案 ABC
解析 当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求直线为y＝2x，即2x－y＝0.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为
x±y＝k，
把点A(1，2)代入可得1－2＝k 或1＋2＝k，求得k＝－1 或k＝3，
故所求的直线方程为x－y＋1＝0 或x＋y－3＝0.
9.把直线x－y＋－1＝0 绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是
________.
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答案 y＝x
解析 已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到
的直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，
直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝，
∴直线l 的方程为y－＝(x－1)，
即y＝x.
10.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC 边上中线所
在的直线方程为________.
答案 x＋13y＋5＝0
解析 BC 的中点坐标为，
∴BC 边上中线所在直线方程为
＝，即x＋13y＋5＝0.
11.设直线l 的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k
＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k＝________.
答案 5 1
解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y＝－x＋2.由题意得－
＝－1，解得k＝5.
直线l 的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
12.(2022·重庆质检)若直线l 与直线y＝1，x＝7 分别交于点P，Q，且线段PQ 的
中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________.
答案 －
解析 依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，
则有解得
从而可知直线l 的斜率为＝－.
13.(2022·长沙调研)设P 为曲线C：y＝x2＋2x＋3 上的点，且曲线C 在点P 处的
切线倾斜角的取值范围为，则点P 横坐标的取值范围为( )
A.
B.[－1，0]
C.[0，1]
D.
答案 A
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解析 由题意知，y′＝2x＋2，
设P(x0，y0)，则在点P 处的切线的斜率k＝2x0＋2.
因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋
2≤1，
故－1≤x0≤－.
14.(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A.直线的倾斜角是π－α
B.无论α 如何变化，直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
答案 BD
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，
而π－α∈R，所以A 不正确；
当x＝y＝0 时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 正确；
当α＝时，直线斜率不存在，C 不正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所
以D 正确.
15.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2 时，直线l1，
l2与两坐标轴围成一个四边形，当a＝________时，四边形的面积最小，最小值
为________.
答案
解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y 轴上的截距为2－a，
直线l2在x 轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2
＋2)＝a2－a＋4＝＋，故当a＝时，四边形面积的最小值为.
16.如图，射线OA，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过
点P(1，0)作直线AB 分别交OA，OB 于A，B 两点，当AB 的
中点C 恰好落在直线y＝x 上时，则直线AB 的方程是________.
答案 (3＋)x－2y－3－＝0
解析 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
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所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB 的中点C.
由点C 在直线y＝x 上，且A，P，B 三点共线得
解得m＝，所以A(，).
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB 的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
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