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考点突破练13
圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题
1.(2023 全国甲,理20)已知直线x-2y+1=0 与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B 两点,且|AB|=4√15.
(1)求p;
(2)设F 为C 的焦点,M,N 为C 上两点,⃗FM ·⃗FN=0,求△MNF 面积的最小值.
2.(2023 辽宁丹东一模)已知O 为坐标原点,F1(-2,0),F2(2,0)分别为双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、
右焦点,P 为C 的右支上一点,当PF2⊥x 轴时,|OP|=√13.
(1)求C 的方程;
(2)若点P 异于C 的右顶点A,点Q 在直线x=1
2上,AP∥OQ,M 为AP 的中点,直线OM 与直线QF2的交
点为N,求|NF1|的取值范围.
3.(2023 山东青岛二模)已知O 为坐标原点,双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,
离心率等于√6
2 ,点P 是双曲线C 在第一象限上的点,直线PF1与y 轴的交点为Q,△PQF2的周长等于
6a,|PF1|2-|PF2|2=24.
(1)求C 的方程;
(2)过圆O:x2+y2=1 上一点W(W 不在坐标轴上)作C 的两条切线l1,l2,对应的切点分别为A,B,证明:直线
AB 与椭圆D: x
2
4 +y2=1 相切于点T,且|WT|·|AB|=|WA|·|WB|.
2
4.(2023 山东淄博二模)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流
长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图).
步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点,标记为F;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F;
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕;
步骤4:不断重复步骤2 和3,就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.
现取半径为4√2的圆形纸片,定点F 到圆心E 的距离为2√6,按上述方法折纸.以向量⃗FE的方向为x
轴正方向、线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)求折痕围成的椭圆Γ 的标准方程;
(2)已知点M 是圆x2+y2=10 上任意一点,过点M 作椭圆Γ 的两条切线,切点分别是B,C,求△MBC 面积
的最大值,并确定此时点M 的坐标.
注:椭圆: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上任意一点P(x0,y0)处的切线方程是x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1.
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考点突破练13
圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题
1.解 (1)联立{
x =2 y -1,
y
2=2 px, 整理得y2-4py+2p=0,则Δ=16p2-8p>0,又p>0,∴p>1
2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p.
|AB|=√1+ 4|y1-y2|=√5·√16 p
2-8 p=4√15,
解得p=-3
2(舍)或p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线C 的方程为y2=4x,F(1,0).设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
由{
x =my +n,
y
2= 4 x, 得y2-4my-4n=0,
则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n.⃗
FM ·⃗FN=(x3-1)(x4-1)+y3y4
=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4
=(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2
=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0,
∴4m2=n2-6n+1≥0,
又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,∴n≠1,∴n≥3+2√2,或n≤3-2√2.
∴S△MNF=1
2|FM|·|FN|=1
2(x3+1)(x4+1)
=1
2(my3+n+1)(my4+n+1)
=1
2 [m
2(- 4 n)+(mn+m)·4 m+(n+1)
2]=n2-2n+1=(n-1)2,∴当n=3-2√2时,S△MNF=12-8√2为
最小值.
∴△MNF 面积的最小值为12-8√2.
2.解 (1)因为F2(2,0),所以a2+b2=4.
因为当PF2⊥x 轴时,|OP|=√13,可知P(2,±3).
点P 到两个焦点F1(-2,0),F2(2,0)的距离分别为3 和5,
由双曲线定义得a=5-3
2
=1,所以b2=3.
因此C 的方程为x2- y
2
3 =1.
(2)由题设可知直线PA 的斜率k 存在,且|k|>√3.
由OQ∥PA,及点Q 在直线x=1
2上,可得Q(1
2 , 1
2k).
设PA:y=k(x-1),P(x1,y1).
由{
y =k ( x -1),
x
2- y
2
3 =1, 得(3-k2)x2+2k2x-k2-3=0.
这个关于x 的方程的两根为x1,1.
因此x1=k
2+3
k
2-3
,y1=k(x1-1)= 6k
k
2-3.
因为A(1,0),所以M( k
2
k
2-3
, 3k
k
2-3
).
4
设N(x2,y2),则k
2
k
2-3
y2= 3k
k
2-3x2,所以y2=3
k x2.
由{
y2= 3
k x2,
( x2-2) 1
2 k =( y2-0)( 1
2 -2),
得(x2-1)2+y2
2=1.
由{
y2= 3
k x2,
( x2-1)
2+ y2
2=1,
得x2=
2
9
k
2 +1(x2=0 舍去),
因为|k|>√3,所以1
2<x2<2.因此|NF1|=√( x2+2)
2+ y2
2=√( x2+2)
2+1-( x2-1)
2=√6 x2+ 4∈(√7
,4).即|NF1|的取值范围为(√7,4).
3.(1)解 由题意知,|PQ|+|QF2|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=6a,
又因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|2-|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=12a2=24,
所以a=√2.又因为e=√
1+ b
2
a
2 = √6
2 ,所以b=1,
所以C 的方程为x
2
2 -y2=1.
(2)证明 设W(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x0
2+ y0
2=1, x1
2
2 - y1
2=1, x2
2
2 - y2
2=1.设切线l1,l2的斜率分别为
k1,k2,则l1的方程为y=k1(x-x1)+y1.联立{
y =k1( x - x1)+ y1,
x
2
2 - y
2=1,
得(1-2k1
2)x2-4k1(y1-k1x1)x-2(y1-k1x1)2-2=0,
所以Δ=16k1
2(y1-k1x1)2+8(1-2k1
2)[(y1-k1x1)2+1]=0,即(x1
2-2)k1
2-2k1x1y1+y1
2+1=0.
将x1
2
2 - y1
2=1 代入,整理得2y1
2k1
2-2k1x1y1+ x1
2
2 =0,
即4y1
2k1
2-4k1x1y1+x1
2=(2y1k1-x1)2=0,所以k1= x1
2 y1
,同理可得k2= x2
2 y2
.
因为切线l1,l2均过点W(x0,y0),同理根据上面可知,
k1,k2为(x0
2-2)k2-2x0y0k+y0
2+1=0 的两解,所以k1k2= y0
2+1
x0
2-2
=-1,
所以WA⊥WB,△WAB 为直角三角形.
因为k1= x1
2 y1
,所以y1-y0= x1
2 y1
(x1-x0),
所以y1= x0 x1
2 y0
- 1
y0
,同理y2= x0 x2
2 y0
- 1
y0
,
5
所以直线AB 的方程为y= x0 x
2 y0
- 1
y0
,
代入椭圆D 的方程x
2
4 +y2=1,可得(y0
2+ x0
2)x2-4x0x+4-4y0
2=0,即x2-4x0x+4x0
2=(x-2x0)2=0,
所以xT=2x0,yT= x0 xT -2
2 y0
=-y0,
所以直线AB 与椭圆D 相切,切点T(2x0,-y0),所以kWT·kAB=-1,所以WT⊥AB,
所以2S△WAB=|WA|·|WB|=|WT|·|AB|.
4.解 (1)设P(x,y)为椭圆上一点,
则|PF|+|PE|=|PA|+|PE|=|AE|=4√2>|EF|=2√6,所以点P 的轨迹是以F,E 为焦点,长轴长为2a=4
√2的椭圆.
设椭圆的方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0),
所以c=√6,a=2√2,则b2=a2-c2=2,
所以椭圆的方程为x
2
8 + y
2
2 =1.
(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),M(x0,y0),则x0
2+ y0
2=10,
切线MB 的方程为x1 x
8 + y1 y
2 =1,切线MC 的方程为x2 x
8 + y2 y
2 =1,两直线都经过点M,
所以,得x1 x0
8
+ y1 y0
2
=1, x2 x0
8
+ y2 y0
2
=1,
从而直线BC 的方程是x0
8 x+ y0
2 y=1.
由{
x0
8 x + y0
2 y =1,
x
2
8 + y
2
2 =1,
得(3y0
2+10)x2-16x0x+64-32y0
2=0,
则x1+x2=
16 x0
3 y0
2+10,x1x2=64 -32 y0
2
3 y0
2+10
.
6
|BC|=√
1+(- x0
4 y0
)
2
·|x1-x2|=√
1+
x0
2
16 y0
2 ·√(
16 x0
3 y0
2+10)
2
- 4· 64 -32 y0
2
3 y0
2+10
= 2√10(3 y0
2+2)
3 y0
2+10
,
点M 到直线BC 的距离d= |
x0
2
8 + y0
2
2 -1|
√(
x0
8 )
2
+(
y0
2 )
2 = √3 y0
2+2
√5
,
∴S△MBC=1
2|BC|·d=√2(3 y0
2+2)
3
2
3 y0
2+10
,其中y0
2≤10.
令t=√3 y0
2+2,则t∈[√2,4√2],∴S△MAB=√2t
3
t
2+8
.
令f(t)=√2t
3
t
2+8
,则f'(t)=√2(t
4+24t
2)
(t
2+8)
2
>0,
∴f(t)在区间[√2,4√2]上单调递增,
∴当t=4√2,即y0
2=10 时,△MBC 的面积取到最大值32
5 ,此时点M(0,±√10).
