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专题九解析几何第二十五讲
直线与圆
2019
年
1.
2019
3
（
北京理）已知直线的参数方程为
l
x = +
1 3t
y
t
=
+
2
4
ì
í
î
t
（为参数），则点（1
0
，）
到直线的距离是
l
（）
A
1
5
B
（）2
5
C
（）4
5
D
（）6
5
2.（2019 江苏10）在平面直角坐标系xOy
中，
是曲线
P
4
(
0)
y
x
x
x
=
+
上的一个动点，
则点
到直线
的距离的最小值是
P
x y
+ =0
.
3（2019 江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为
的圆，湖的一侧有一条直线型公路
O
l，湖
上有桥AB（
是圆
的直径）．规划在公路上选两个点
AB
O
l
P、，并修建两段直线型道路
Q
PB、QA．规划要求：线段
、
上的所有点到点
的距离均不小于圆
PB
QA
O
．．．． O 的半径．已知
点
、
A
B 到直线的距离分别为
和
l
AC
BD（、
C
D 为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单
位：百米）．
（）若道路
垂直，求道路
的长；
1
PB 与桥AB
PB
（）在规划要求下，
和
中能否有一个点选在
处？并说明理由；
2
P
Q
D
（）在规划要求下，若道路
和
的长度均为（单位：百米）
3
PB
QA
d
.求当
最小时，
d
P、Q
两点间的距离．
4．（2019
2
浙江1 ）已知圆C 的圆心坐标是
(0,
)
m ，半径长是r .若直线
2
3
0
x
y
−
+
=
与圆
C 相切于点
( 2, 1)
A −
−
，则m =_____，r =______.
2010-2018
年
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2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
)
．
全国卷Ⅲ直线
2
0
x
y
+
+
=
分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆
2
2
(
2)
2
x
y
−
+
=
上，则ABP
面积的取值范围是
A．[2,6]
B．[4,8]
C．
[ 2,3 2]
D．
[2 2,3 2]
2
(2018
．
天津)已知圆
2
2
2
0
x
y
x
+
−
=
的圆心为C，直线
2
1
,
2
2
3
2
= −+
=
−
x
t
y
t
(t 为参数与该圆
)
相交于A，
两点，则
B
ABC
△
的面积为
．
3．(2018 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点
(cos ,sin )
P
到直线
2
0
x
my
−
−
=
的距离，
当，m 变化时，d 的最大值为
A．
1
B．2
C
．
3
D．4
4
2017
．（
新课标Ⅲ）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
的左、右顶点分别为
1
A ，
2
A ，
且以线段
1
2
A A 为直径的圆与直线
2
0
bx
ay
ab
−
+
=
相切，则C 的离心率为
A．
6
3
B．
3
3
C．
2
3
D
．1
3
5
2017
．（
新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，
1
AB = ，
2
AD =
，动点P 在以点C 为圆心且与BD
相切的圆上．若
AP
AB
AD
=
+
，则
+
的最大值为
A
3 B
．
．2 2
C．5
D
2
．
6
2015
．（
山东）一条光线从点
( 2, 3)
−
−
射出，经y 轴反射后与圆
2
2
(
3)
(
2)
1
x
y
+
+
−
= 相切，
则反射光线所在直线的斜率为
A．5
3
−
或
3
5
−
B．
3
2
−
或
2
3
−
C．
5
4
−
或
4
5
−
D．
4
3
−
或
3
4
−
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7．（
）平行于直线
2015 广东
2
1
0
x
y
+
+ =
且与圆
2
2
5
x
y
+
=
相切的直线的方程是
A．
2
5
0
x
y
+
+
=
或
2
5
0
x
y
+
−
=
B．
2
5
0
x
y
+
+
=
或
2
5
0
x
y
+
−
=
C．
2
5
0
x
y
−
+
=
或
2
5
0
x
y
−
−
=
D．
2
5
0
x
y
−
+
=
或
2
5
0
x
y
−
−
=
8
2015
2
．（
新课标）过三点(1,3)
A
，(4,2)
B
，
(1, 7)
C
−
的圆交于y 轴于M 、N 两点，则
MN =
A
2
．
6
B
8 C
4
．
．
6
D
．10
9
2015
．（
重庆）已知直线：
l
1
0(
)
x
ay
a
R
+
−=
是圆C ：
2
2
4
2
1
0
x
y
x
y
+
−
−
+ =
的对
称轴，过点
( 4, )
A
a
−
作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝
A
2 B
．
．4 2
C
6 D
．
． 2 10
10．（2014
2
新课标）设点
0
(
,1)
M x
，若在圆
2
2
:
=1
O x
y
+
上存在点
，使得
N
°
45
OMN
=
，
则
0x 的取值范围是
A．
1,1
−
B．
1 1
2 2
−
， C．
2, 2
−
D．
2
2
2
2
−
，
11．（2014 福建）已知直线l 过圆
(
)
2
2
3
4
x
y
+
−
=
的圆心，且与直线
1
0
x
y
+
+ =
垂直，则
l 的方程是
A．
2
0
x
y
+
−
=
B．
2
0
x
y
−
+
=
C．
3
0
x
y
+
−=
D．
3
0
x
y
−
+
=
12．（2014 北京）已知圆
(
)
(
)
2
2
:
3
4
1
C
x
y
−
+
−
=
和两点
(
)
,0
A
m
−
，
(
) (
)
,0
0
B m
m
，
若圆C 上存在点P ，使得
90
APB
=
，则m 的最大值为
A．7
B．6
C．5
D．4
13．（ 2014 湖南）若圆
2
2
1
:
1
C
x
y
+
= 与圆
2
2
2
:
6
8
0
C
x
y
x
y
m
+
−
−
+
= 外切，则m=
A．21 B．19 C．9 D．11
−
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14．（2014 安徽）过点P
）
（
1
,3 −
−
的直线l与圆
1
2
2
=
+ y
x
有公共点，则直线l 的倾斜角的
取值范围是
A．
]
6
0
，
（
B．
]
3
0
，
（
C．
]
6
0
[
，
D．
]
3
0
[
，
15．（ 2014 浙江）已知圆
2
2
2
2
0
x
y
x
y
a
+
+
−
+
=
截直线
2
0
x
y
+
+
=
所得弦的长度为4，则
实数a 的值是
A
2 B
4 C
．－
．－
．－6 D
8
．－
16．（ 2014 四川）设m
R
，过定点A 的动直线
0
x
my
+
=
和过定点B 的动直线
3
0
mx
y
m
−
−
+
=
交于点
( , )
P x y
，则
|
|
|
|
PA
PB
+
的取值范围是
A．
[ 5,2 5] B．
[ 10,2 5] C．
[ 10,4 5] D．
[2 5,4 5]
17．（2014 江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径
的圆C 与直线
2
4
0
x
y
+
−
=
相切，则圆C 面积的最小值为
A．4
5
B．3
4
C．
(6
2 5)
−
D．5
4
18．（ 2013 山东）
，
作圆
过点(3
1)
(
)
2
2
1
1
x
y
−
+
=
的两条切线，切点分别为
，，则直线
A
B
AB 的方程为
A．
2
3
0
x
y
+
−
=
B．
2
3
0
x
y
−
−
=
C．
4
3
0
x
y
−
−
=
D．
4
3
0
x
y
+
−
=
19．（2013 重庆）已知圆
(
)
(
)
2
2
1
:
2
3
1
C
x
y
−
+
−
=
，圆
(
)
(
)
2
2
2
:
3
4
9
C
x
y
−
+
−
= ，
,
M N
分别是圆
1
2
,
C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则
PM
PN
+
的最小值为
A．
5 2
4
−
B．
17
1
− C．
6
2 2
−
D．
17
20．（ 2013 安徽）直线
2
5
5
0
x
y
+
−+
=
被圆
2
2
2
4
0
x
y
x
y
+
−
−
=
截得的弦长为
A
1 B
2 C
4 D
．
．
．
．4 6
21．
（2013
2
新课标）已知点
(
)
1,0
A −
； (
)
1,0
B
；
(
)
0,1
C
，直线
y
ax
b
=
+
(
0)
a
将△ABC
分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是
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A．(0,1) B．
2 1
1
,
2
2
−
C．
2 1
1
,
2
3
−
D．1 1
,
3 2
22．（ 2013 陕西）已知点
( , )
M a b 在圆
2
2
1
:
O x
y
+
= 外则直线
,
1
ax
by
+
=
与圆
的位置关
O
系是
A
B
C
D
．相切
．相交
．相离
．不确定
23．（2013 天津）已知过点
，
P(2 2) 的直线与圆
2
2
5
(
1)
x
y
+
=
−
相切， 且与直线
1
0
ax
y
−
+ =
垂直，则
a =
A．
1
2
−
B
1
C
2
D
．
．
．1
2
24．（ 2013 广东）垂直于直线
1
y
x
=
+ 且与圆
2
2
1
x
y
+
=
相切于第一象限的直线方程是
A．
2
0
x
y
+
−
=
B．
1
0
x
y
+
+ =
C．
1
0
x
y
+
−=
D．
2
0
x
y
+
+
=
25．（
新课标）设抛物线
2013
2
2
:
4
C y
x
=
的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两
点．若
|
| 3|
|
AF
BF
=
，则l 的方程为
A．
1
y
x
=
−或
1
y
x
= −+
B
．
3 (
1)
3
y
x
=
−
或
3 (
1)
3
y
x
= −
−
C．
3(
1)
y
x
=
−
或
3(
1)
y
x
= −
−
D
．
2 (
1)
2
y
x
=
−
或
2 (
1)
2
y
x
= −
−
26．（ 2012 浙江）设a
R
，则“
1
a = ”是“直线
1l ：
2
1
0
ax
y
+
−=
与直线2l ：
(
1)
4
0
x
a
y
+
+
+
=
平行”的
A．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
27．（2012 天津）设m ，n
R
，若直线
(
1) +(
1)
2=0
m
x
n
y
+
+
−
与圆
2
2
(
1) +(y 1) =1
x −
−
相
切，则+
m n 的取值范围是
A．
[1
3,1+ 3]
−
B．
(
,1
3] [1+ 3,+ )
−−
C．
[2
2 2,2+2 2]
−
D．
(
,2 2 2] [2+2 2,+ )
−
−
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28．（2012 湖北）过点
(1,1)
P
的直线，将圆形区域
2
2
( , )|
4
x y
x
y
+
„
分为两部分，使得
这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
A．
2
0
x
y
+
−
=
B．
1
0
y −=
C．
0
x
y
−
=
D．
3
4
0
x
y
+
−
=
29．（
天津）在平面直角坐标系
2012
xOy 中，直线
3
4
5
0
x
y
+
−
=
与圆
2
2
4
x
y
+
=
相交于
,
A B 两点，则弦AB的长等于
A．3 3
B．2 3
C．
D．
30．（2011 北京）已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C 在函数
的图像上，则使得
的面
y
x
=
ΔABC
积为
的点
的个数为
2
C
A
4
B
3
C
2
D
1
．
．
．
．
31．（2011 江西）若曲线
1
C ：
2
2
2
0
x
y
x
+
−
=
与曲线
2
C ：
(
)
0
y y
mx
m
−
−
=
有四个不同
的交点，则实数
的取值范围是
m
A
(
．
3
3
−
，
3
3
)
B
(
．
3
3
−
，
，
0)
(0
3
3
)
C
[
．
3
3
−
，
3
3
] D
(
．−，
3
3
−
)
( 3
3
，+)
32．（ 2010 福建）以抛物线
2
4
y
x
=
的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为
,
A．
2
2
+
+2 =0
x
y
x
B．
2
2
+
+ =0
x
y
x
C．
2
2
+y
=0
x
x
−
D．
2
2
+
2 =0
x
y
x
−
33．（
广东）若圆心在
2010
x 轴上、半径为5 的圆O 位于y 轴左侧，且与直线
2
0
x
y
+
=
相切，则圆O 的方程是
A．
2
2
(
5)
5
x
y
−
+
=
B．
2
2
(
5)
5
x
y
+
+
=
C．
2
2
(
5)
5
x
y
−
+
=
D．
2
2
(
5)
5
x
y
+
+
=
二、填空题
34．
在平面直角坐标系
(2018 江苏)
xOy
中，A 为直线
:
2
l y
x
=
上在第一象限内的点，
(5,0)
B
，以AB
为直径的圆
与直线交于另一点
C
l
D．若
0
AB CD
=
，则点
的横坐
A
标为
．
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35．
（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy 中， ( 12,0)
A −
，(0,6)
B
，点P 在圆O：2
2
50
x
y
+
=
上，若
20
PA PB
≤
，则点P
的横坐标的取值范围是
．
36．（
湖北）如图，圆
2015
C与x 轴相切于点
(1, 0)
T
，与y 轴正半轴交于两点,
A B
（
在
B
A
的上方），且
2
AB =
．
（）圆
Ⅰ
C的标准
．．方程为
；
（）过点
Ⅱ
A 任作一条直线与圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 相交于
,
M N 两点，下列三个结论：
①
NA
MA
NB
MB
=
；
②
2
NB
MA
NA
MB
−
=
；③
2 2
NB
MA
NA
MB
+
=
．
其中正确结论的序号是
（写出所有正确结论的序号）
.
37．（2014 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线
0
3
2
=
−
+ y
x
被圆
4
)1
(
)
2
(
2
2
=
+
+
−
y
x
截
得的弦长为
．
38．
（2014 重庆）已知直线
0
2 =
−
+ y
ax
与圆心为C 的圆
(
)
(
)
4
1
2
2
=
−
+
−
a
y
x
相交于
B
A，
两点，且ABC
为等边三角形，则实数
=
a
_________
．
39．（2014 湖北）直线1l ：
y
x
a
=
+
和2l ：
y
x
b
=
+
将单位圆
2
2
:
1
C x
y
+
= 分成长度相等
的四段弧，则
2
2
a
b
+
= ________
．
40．（2014 山东）圆心在直线
2
0
x
y
−
=
上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦
的长为2 3 ，则圆C 的标准方程为
．
41．（2014 陕西）若圆C
的半径为，其圆心与点
1
)
0,1(
关于直线
x
y =
对称，则圆C 的标准
方程为____．
42．（ 2014 重庆）已知直线
0
=
+
−
a
y
x
与圆心为C 的圆
0
4
4
2
2
2
=
−
−
+
+
y
x
y
x
相交于
B
A，两点，且
BC
AC ⊥
，则实数a的值为_________．
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43．（2014 湖北）已知圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 和点
( 2, 0)
A −
，若定点
( , 0)
B b
(
2)
b −
和常数满足：
对圆O上任意一点M ，都有
|
|
|
|
MB
MA
=
，则
（）
Ⅰ
b =
；
（）
Ⅱ
=
.
44．（ 2013 浙江）直线
2
3
y
x
=
+
被圆
2
2
6
8
0
x
y
x
y
+
−
−
=
所截得的弦长等于__________.
45．（2013 湖北）已知圆O ：
2
2
5
x
y
+
=
，直线l ：
cos
sin
1
x
y
+
= (
π
0
2
)．设圆O上
到直线l
的距离等于
的点的个数为
1
k ，则 k =
.
46．（ 2012 北京）直线y
x
=
被圆
2
2
(
2)
4
x
y
+
−
=
截得的弦长为 .
47．（ 2011 浙江）若直线
2
5
0
x
y
−
+
=
与直线
2
6
0
x
my
+
−
=
互相垂直，则实数m =__．
48．(2011 辽宁)
(5
1)
(1
3)
已知圆
经过
C
A
，
，B ，
两点，圆心在
轴上，则
的方程为
．
x
C
__
49．(2010
)
新课标圆心在原点上与直线
2
0
x
y
+
−
=
相切的圆的方程为
．
50．(2010
)
新课标过点A(4,1)的圆
与直线
C
0
x
y
−
=
相切于点(2,1)
B
，则圆
的方程
C
为
．
三、解答题
51．(2016 年全国I)设圆
2
2
2
15
0
x
y
x
+
+
−
=
的圆心为A，直线l 过点
(1,0)
B
且与x 轴不重
合，l交圆A 于C ，D两点，过B 作AC 的平行线交AD于点E .
（）证明
I
EA
EB
+
为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（）设点
II
E 的轨迹为曲线
1
C ，直线l 交
1
C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线
与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．
52．(2014
)
江苏如图，为了保护河上古桥OA
，规划建一座新桥
，同时设立一个圆形保
BC
护区．规划要求：新桥
与河岸
保护区的边界为圆心
在线段
上并与
BC
AB 垂直;
M
OA
BC 相切的圆．且古桥两端
和
到该圆上任意一点的距离均不少于
．经测量，
O
A
80m
点
位于点
正北方向
处，点
位于点
正东方向
处
为河岸，
A
O
60m
C
O
170m
(OC
)
3
4
tan
=
BCO
．
（）求新桥
的长；
I
BC
（）当
多长时，圆形保护区的面积最大？
II
OM
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53．（2013 江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点
(
)
0 3
A
,
，直线
2
4
l
y
x
=
−
：
.设圆C
的半径为，圆心在
1
l 上.
y
x
l
O
A
（）若圆心
I
C 也在直线
1
y
x
=
−
上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；
（）若圆
II
C 上存在点M ，使
2
MA
MO
=
，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
54．(
2)
2013 新课标
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2 ，在y
轴上截得线段长为2 3 ．
（）求圆心
I
P 的
方程；
轨迹
（）若
II
P 点到直线y
x
=
的距离为
2
2
，求圆P 的方程．
55．（2011 新课标）在平面直角坐标系xoy中，曲线
2
6
1
y
x
x
=
−
+ 与坐标轴的交点都在圆
C 上．
（）求圆
的方程；
I
C
（）若圆
与直线
II
C
0
x
y
a
−
+
=
交于A，
两点，且
B
,
OA
OB
⊥
求a 的值．
56．（2010 北京）已知椭圆
的左、右焦点坐标分别是
C
(
2,0)
−
， ( 2,0) ，离心率是
6
3
，
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直线y
t
=
椭圆
交与不同的两点
C
M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ．
（）求椭圆
的方程；
I
C
（）若圆
II
P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；
（Ⅲ）设
( , )
Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．
