文档文本内容
1
解密10 直
与
线
圆
A 组 考点专练
一、选择题
1.命题p：m＝2，命题q：直线(m－1)x－y＋m－12＝0 与直线mx＋2y－3m＝0 垂直，则p 是q 成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若两直线垂直，则(m－1)×m＋(－1)×2＝0，解之得m＝2 或m＝－1.∴p 是q 成立的充分不必要
条件.
2.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A.y－x＝1
B.y＋x＝3
C.2x－y＝0 或x＋y＝3 D.2x－y＝0 或y－x＝1
【答案】D
【解析】当直线过原点时，可得斜率为＝2，
故直线方程为y＝2x，
当直线不过原点时，设方程为＋＝1，
代入点(1，2)可得－＝1，解得a＝－1，
方程为x－y＋1＝0，
故所求直线方程为2x－y＝0 或y－x＝1.
3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5＝0
B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0
D.x－2y－7＝0
【答案】B
【解析】依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，
所以切线的斜率k＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
4.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1
B.
C.
D.2
【答案】B
【解析】设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l 恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l 时，点A(0，－1)到直线
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
2
y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为.故选B.
5.已知点P 为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4 上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|PA＋PB|的最大值为( )
A.＋2
B.＋4
C.2＋4
D.2＋2
【答案】C
【解析】取AB 中点D(2，－3)，则PA＋PB＝2PD，|PA＋PB|＝|2PD|＝2|PD|，
又由题意知，圆C 的圆心C(1，2)，半径为2，
|PD|的最大值为圆心C(1，2)到D(2，－3)的距离d 再加半径r，
又d＝＝，∴d＋r＝＋2，
∴2|PD|的最大值为2＋4，即|PA＋PB|的最大值为2＋4.
6.(多选题)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B 中有且仅有一
个元素，则r 的值是( )
A.3
B.5
C.7
D.9
【答案】AC
【解析】圆x2＋y2＝4 的圆心是O(0，0)，半径为R＝2，圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2的圆心是C(3，4)，半径为
r，|OC|＝5，当2＋r＝5，r＝3 时，两圆外切；当|r－2|＝5，r＝7 时，两圆内切，它们都只有一个公共点，
即集合A∩B 只有一个元素.故选AC.
7.(多选题)已知点A 是直线l：x＋y－＝0 上一定点，点P，Q 是圆x2＋y2＝1 上的动点，若∠PAQ 的最大值
为90°，则点A 的坐标可以是( )
A.(0，)
B.(1，－1)
C.(，0)
D.(－1，1)
【答案】AC
【解析】如图所示，坐标原点O 到直线l：x＋y－＝0 的距离d＝＝1，则直线l 与圆x2＋y2＝1 相切，由图可
知，当AP，AQ 均为圆x2＋y2＝1 的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP，OQ，由于∠PAQ 的最大值为
90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA|＝|OP|＝.设A(t，－
t)，由两点间的距离公式得|OA|＝＝，整理得2t2－2t＝0，解得t＝0 或t＝，因此，点A 的坐标为(0，)或(，
0).故选AC.
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
3
8.(多选题)已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
下列结论正确的是( )
A.a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B.2ax1＋2by1＝a2＋b2
C.x1＋x2＝
a
D.y1＋y2＝2b
【答案】ABC
【解析】圆C2的方程为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为2ax＋
2by－a2－b2＝0，即得2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入，可得2ax1＋2by1＝a2
＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项
A、B 均正确；由圆的性质可得，线段AB 与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C
正确，选项D 不正确.
二、填空题
9.【2019 北京卷】设抛物线y2＝4x 的焦点为F，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________.
【答案】(x－1)2＋y2＝4
【解析】抛物线y2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，准线l 为直线x＝－1，
所求的圆以F 为圆心，且与准线l 相切，故圆的半径r＝2.
所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
10.已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M(0，)在圆C 上，且圆心到直线2x－y＝0 的距离为，则圆C 的
方程为________.
【答案】(x－2)2＋y2＝9
【解析】∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0.
则圆心C 到直线2x－y＝0 的距离d＝＝，解得a＝2.
∴圆C 的半径r＝|CM|＝＝3，因此圆C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
11.已知圆C 的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为
________________.
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
4
【答案】x＋y－3＝0
【解析】圆C 的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，
∴圆C 的圆心C(4，1)，半径r＝3.
又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3，0)，
则当直线l 与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a·kCP＝a·＝－1，∴a＝－1.
故所求直线l 的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
12.已知直线Ax＋By＋C＝0(其中A2＋B2＝C2，C≠0)与圆x2＋y2＝6 交于点M，N，O 是坐标原点，则|MN|＝
________，OM·MN＝________.
【答案】2，－10
【解析】由于A2＋B2＝C2，且C≠0，∴圆心(0，0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离d＝＝1.所以|MN|＝2＝2＝
2.设向量OM，MN的夹角为θ，则cos(π－θ)＝＝，所以cos θ＝－，所以OM·MN＝|OM||MN|cos θ＝×2×＝
－10.
B 组 专题综合练
13.直线x＋y＋2＝0 分别与x 轴、y 轴交于A，B 两点，点P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积的取值范
围是( )
A.[2，6]
B.[4，8]
C.[，3]
D.[2，3]
【答案】A
【解析】由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0 的距离d＝＝2，所以圆上的点
到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以
2≤S△ABP≤6.
14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0 及其上一点
A(2，4).
(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x＝6 上，求圆N 的标准方程；
(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B，C 两点，且|BC|＝|OA|，求直线l 的方程.
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
5
【解析】圆M 的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6，7)，半径为5，
(1)由圆心N 在直线x＝6 上，可设N(6，y0)，
因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y0<7，圆N 的半径为y0，
从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l 的斜率为＝2.
设直线l 的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M 到直线l 的距离d＝＝.
因为|BC|＝|OA|＝＝2，又|MC|2＝d2＋，
所以25＝＋5，解得m＝5 或m＝－15.
故直线l 的方程为2x－y＋5＝0 或2x－y－15＝0.
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
