湖
南
教
育
出
版
社
湖南教育出版社
经全国中小学教材审定委员会2005 年初审通过
数学
数学
普通高中课程标准实验教科书
数学
不
等
式
选
讲
选
修
普
通
高
中
课
程
标
准
实
验
教
科
书
数
学
不等式选讲
普通高中课程标准实验教科书
选修 4-5
数学
主
!!编
!张景中
!黄楚芳
执行主编
!李尚志
本册主编
!朱华伟
编
!!委
!钱展望
!郑志明
查建国
普通高中课程标准实验教科书
数
!学
选修
! "
不等式选讲
责任编辑
!甘
!哲
湖南教育出版社出版"长沙市韶山北路
!!#号
#
电子邮箱
!$%&'()*!*+%,-(./
客服电话
!01#2 3"!34515
湖南出版中心重印
重庆市新华书店经销
湖南天闻新华印务有限公司印刷
350627!0!24开
!印张
!"!字数
!270000
700"年
4月第
2版
!7025年
1月第
7!次印刷
89:;513 1 "#"" !40! #
定
!价
!!<10元
批准文号
!渝发改价格$7025%5!4号
&举报电话
!27#"3
著作权所有
!请勿擅用本书制作各类出版物
!违者必究
"
如有质量问题
!影响阅读
!请与湖南出版中心联系调换
"
联系电话
#01#2 33#33534!01#2 33#335331
前
!言
探寻现实生活中的不等关系
自来水管的横截面为什么总是圆的
!而不是方的
"
圆柱体容器的容积一定时
!怎样的圆柱体容器用料最省
"
表面积一定时
!怎样的长方体容积最大
"
晚上在灯下做功课时
!怎样选择灯的高度
!才能使桌子边缘处
最亮
"
亲爱的同学们
!这类问题在现实生活中随处可见
!它们都与不
等式有关
!可以利用不等式来解决
!
不等式是数学的重要内容
!是研究数量的大小关系的必备知识
!
是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具
!
在本专题中
!我们将回顾和复习不等式的基本性质和基本不等
式
!介绍一些重要不等式#绝对值不等式
$平均值不等式
$柯西不
等式
$排序不等式
$贝努利不等式
%和证明不等式的基本方法#比
较法
$分析法
$综合法
$反证法
$放缩法
%!以及数学归纳法和它的
简单应用
!
同学们通过本专题的学习
!不仅要掌握不等式涉及的基本知识
和基本技能
!还要主动地探寻现实生活中存在的不等关系
!逐步形
成和努力增强数学应用意识
!走进数学应用的天地
&
!
!
目录
第!章!基本不等式和证明不等式的基本方法
"
!
数学实验
!!的近似值
"
"
!!!#!!实数可以比较大小
"
$
!! 习题
!!
"
%
!!!#"!比较法证不等式
"
&
!! 习题
!"
"
'
!!!#(!基本不等式
"
'
!! 习题
!#
"
!"
!!!#)!基本不等式实际应用举例
"
!(
!! 习题
!$
"
!)
阅读与思考
!算术平均数与几何平均数
"
!%
!!!#$!分析法与综合法
"
!*
!! 习题
!%
"
"!
!!!#%!反证法和放缩法
"
""
!! 习题
!&
"
")
第"章!绝对值不等式
"
"$
!!"#!!含有绝对值的不等式
"
"%
!! 习题
!'
"
"*
!!"#"!解含绝对值的不等式举例
"
"'
!! 习题
!(
"
("
阅读与思考
!距离的性质
"
((
第#章!数学归纳法与不等式证明
"
(%
!!(#!!数学归纳法
"
(&
!! 习题
!)
"
)+
"
!
目录
!!(#"!数学归纳法证不等式
"
)+
!!习题
!!*
"
)(
第$章!平均值不等式
"
))
!!)#!!三个正数的平均值不等式
"
)$
!!习题
!!!
"
)&
!!)#"!三个正数平均值不等式的实际应用举例
"
)&
!!习题
!!"
"
)'
阅读与思考
!!个正数的平均值不等式
"
$+
数学建模
!洗衣服的数学
"
$"
第%章!三个重要不等式
"
$&
!!$#!!柯西不等式
"
$*
!!习题
!!#
"
%!
!!$#"!排序不等式
"
%!
!!习题
!!$
"
%%
!!$#(!贝努利不等式
"
%&
数学建模
!增设汽油中转站
"
%'
课程总结报告参考题
"
&"
附录!!数学词汇中英文对照表
"
&(
比较法、分析法、综合法、反证
法、放缩法是证明不等式的基本方
法，本章将复习不等式的基本性质和
基本不等式，通过一些简单问题学习
证明不等式的基本方法．
第
章
基本不等式和证明不等式的基本方法
１
!
!
不等式选讲
数学实验
!的近似值
!!我国古代著名数学家祖冲之用
"##
$$"作为
!的近似值
!如果要找比
"##
$$"更接近
!的分数
!而且想让分母尽可能地小
!怎么办呢
"
这个问题的数学表达
!就是
#
$找一对正整数
!!"!使满足
%$&"
!比
"##
$$"更接近
!!也就是
!%"
! " "##
$$"%! '
%!&要求
!尽可能小
#(
这就看到
!要把问题说清楚
!要用不等式来表达
#
可以想到
!取一个一个分数来试验
!找到一个满足上述条件的
就可以了
#
分母为
!的正分数很多
!要有限制
#若
"
!#"!不用考虑
'若
"
!
$"&!!也不用考虑
#用不等式估计分子
"的范围
#
由
"
!%"!得
"%"!'
由
"
!""&!!得
"""&!!#
这又用到不等式!
'()*+,-'./"的基本性质
#
对于
!!由
"开始一个比一个大的来试
!用计算机搜索
!可以找
到一个分数
!看看分母有多大
#
用手算或计算器算太慢了
!使用$010超级画板
(的程序工作
区要方便得多
#
"
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
把下列程序键入$010超级画板
(的程序工作区
#
23"##
$$"'
4'3"&$5$#6!7#"#8696'
:32%4''
&%";$55"#"9"&)%$$";;;;;;;;;;;;;;&"
,32'
<=>%43"'4"$;;;'4341$&
*
<=>%*3<-==>%4'%4'%:&&'*"<-==>%4'%4'1:&&1$'*3*1$&
!!!!!!!*
!!!!!!!'<%%*)4%4'&
?!"%2%4'&
?!&
!!!!!!!!!!!*,3*)4'+
!!!!!!!)-@)*,'+
!!!!!!!+
+
把光标放在最后的花括弧左边
!按住
A.>-键单击
B(.)>!程序开始运
行
#不久
!结果出现
#
&"##)$$""
这表明
!分母不超过
$;;;的所有分数中
!最接近
!的是
"##
$$"#
注意程序中有一行
<=> %43"'4"$;;;'4341$&C
这一行中的
"改成
$;;;!$;;;改成
!;;;!再运行
!结果仍是
"##
$$"#
可见
!分母不超过
!;;;的所有分数中
!最接近
!的仍是
"##
$$"#
耐心地做下去
!你会看到
!分母不超过
$7;;;的分数中
!最接
近
!的仍是
"##
$$"#
下面再做
!把这一行改成
<=>%43$7;;;'4"$79;;'4341$&!
5
!
不等式选讲
你会找到一个分母为
$77;5的分数
!算一算就知道它确实比
"##
$$"更接
近
!#
在
$7;;;#$77;5之间
!有没有比
"##
$$"更接近
!的分数呢
!只要
把这一行改成
#
<=>%43$7;;;'4"$77;5'4341$&C
运行一下就知道了
#没有
#
我们找到了比
"##
$$"更接近
!的分数是
#!$7"
$77;5#
实际上
!如果多用点不等式知识
!工作量可以小得多
!能大大
简化计算
!甚至得到更漂亮的结果
#
#
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
!"!!实数可以比较大小
我们知道
#实数集与数轴上的点集是一一对应的
#在数轴上不
同的两点中
#右边的点所表示的实数比左边的点表示的实数大
#如
图
$ $
!
图
$ $所示
#点
$表示实数
%#点
&
表示实数
'#点
$在点
& 右边
#那么
%%'#从图
$ $中
#我们还可以看到
$
如果
%%'#那么
%%'是正数
%反
之
#%%'是正数
#则
%%'#
类似地
#如果
%"'#那么
%%'是负数
%如果
%3'#那么
%%'3
;#它们的逆命题也都正确
#
这里表明了
%%'(%%'%;%
%3'(%%'3;%
%"'(%%'";#
由此可见
#实数可以比较大小
#要比较两个实数的大小
#可通
过考察它们的差与
;的大小关系来完成
#
例
!!比较
!%%$"!%15"与
%!1"%的大小
#
解
!!!%%$"!%15"%!%!1"%"
3!%!1"%%5"%!%!1"%"
3%5";#
D!!%%$"!%15""!%!1"%"#
例
#!比较
(!1"与
"(的大小
#
解
!!!(!1""%"(
3(!%"(1"
3 (%
!
"
"
!
!
1"
5%;#
D!!(!1""%"(#
7
!
不等式选讲
例
$!甲
&乙两人同时同地出发
#沿同一路线走到同一地点
#甲
有一半时间以速度
%行走
#另一半时间以速度
'行走
%乙有一半路程
以速度
%行走
#另一半路程以速度
'行走
&如果
%)'#问甲
&乙两人
谁先到达指定地点
#
解
!设从出发地点至指定地点的路程是
)#甲
&乙走完这段路程
所用的时间分别为
*$#*!#依题意
#有
*$
!%1*$
!'3)#
)
!%1)
!'3*!#
从而
*$3 !)
%1'#
*!3)!%1'"
!%'
#于是
*$%*! 3 !)
%1'%)!%1'"
!%'
3
)5%'%!%1'"
'
(
!
!!%1'"%'
3%)!%%'"
!
!%'!%1'"#
其中
)#%#'都是正数
#且
%)'#于是
*$%*!";#即
*$"*!#
从而知甲比乙先到达指定地点
#
习题
!!
$&已知
();#比较!(!1$"
!与
(51(!1$的大小
#
!&设
%)'#比较下列各式的大小
$
!$"%!!%1$"1'!!
'1$"与
%!%!1'"1'!
'!1%"%
!!"%"1'"与
%!'1%'!#
"&设
%%'%;#比较
%!%'!
%!1'! 与
%%'
%1'的大小
#
5&若
+$$#求证
$(!1+1$
(!1
槡+
$+1$
槡
+
#
9
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
#&某收购站分两个等级收购小麦
#一等小麦每千克为
%元
#二等小麦每千克为
'!
'"
%"元
#现有一等小麦
(EF#二等小麦
,EF#若以两种价格的平均数收购
#对被
收购者是否公平合理
)
!"#!比较法证不等式
一个不等式实际上表示的就是不等式两边的大小比较
#从上一
节我们知道两实数大小的比较可通过考察两数的差与
;的大小关系
来实现
#因此
#我们要证明一个不等式也就可以如同进行实数大小
比较一样
#采用作差
&变形
&确定符号的方式进行
#我们将这种方
法称之为比较法
!G=H4,>'@=(H).I=:"#
以下我们利用比较法证明不等式的基本性质
#
性质
!!若
%%'#+*%#则
%1+%'1+#
证明
!J!!%1+"%!
'1+"3%%'#
又由
%%'#知
%%'%;#
D!%1+%'1+#
性质
#!若
%%'#'%+#则
%%+#
证明
!J!%%'#'%+#
D!%%'%;#'%+%;#
D!%%+3!%%'"1!
'%+"%;#
D!%%+#
性质
$!若
%%'#+%-#则
%1+%'1-#
!! !证明请同学们自己完成
#"
!!根据性质
5#可得
$
若
'%;#则
%
' %$
(%%'#
这里为我们提供了
比较法证明不等式的另
一种方式
$作商!注意
'%;*"变形
#与
$比
较大小
#
性质
&! !$"若
%%'#+%;#则
%+%'+%
!!"若
%%'#+";#则
%+"'+#
证明
! !$"%+%'+3!%%'"
+#
因
+%;#故
%+%'+与
%%'同号
#
J!%%'#!D!%%'%;#
D!%+%'+%;#
8
!
不等式选讲
D!%+%'+#
!!"!证明请同学们自己完成
#"
性质
'!若
%%'%;#+%-%;#则
%+%'-#
!! !证明请同学们自己完成
#"
性质
(!若
%%'%;#.*)1#.$!#则
!$"%.%'.%!! !!"
.槡
%%
.槡
'#
证明
!!
$"
%.%'.3!
%%'"!
%.%$1%.%!'1+1%'.%!1'.%$"#
$
因
%%;#'%;#故
$中第二个括号内各项和为正数
#%.%'.
与
%%'同号
#
J!%%'#!D!%%'%;#
D!%.%'.%;#
即
!%.%'.#
!!"用
%
$
. #'
$
.代替
$中的
%#'#由
$知
.槡
%%
.槡
'与
%%'同号
#
因此
.槡
%%
.槡
'#
比较法是证明不等式最基本的方法
#下面我们利用比较法来证
明不等式
#
例
!!求证
$(!1"
!%!(C
证明
!J! (!1
!
"
"
! %!(
3(!%!(1$1$
!
3!(%$"
!1$
!$$
!%;#
D!(!1"
!%!(C
例
#!已知
%#'*%#求证
$
!!!!!%51'5%%"'1%'"C
证明
!!!!%51'5"%!%"'1%'""
3!%5%%"'"1!
'5%%'""
3%"!%%'"%'"!%%'"
6
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
3!%%'"!%"%'""
3!%%'"
!!%!1%'1'!"
3!%%'"
! %1$
!
!
"
'
!
1"
5'
'
(
! $;#
D!%51'5$%"'1%'"#
习题
!#
$&用,%-&,"-号填空
$
!$"如果
%%'#那么
%%
%'%
!!"如果
%"'";#那么
$
%!!$
'%
!""如果
%%'%+%;#那么
+
% !!+
' %
!5"如果
;"%"'"$#.*)1#那么
$
%.%$
'.!!;#
!&求证
$
!$"如果
%%'#/%0#+%;#那么
0%%+"/%'+%
!!"如果
%%'%;#+"-";#那么
%+"'-#
"&求证
$%!1"'!$!'!%1'"#
5&求证
$ 5%
51%!#$#
#&已知
%#'#1都是正数
#且
%"'#求证
$
!!!!!!!!!!%11
'11%%
' #
7&已知
%%'%+#求证
$%!'1'!+1+!%%%'!1'+!1+%!#
9&已知
0!("3%(!1'(#且满足
%$#0!$"#!#%!#0!!"#5#求
0!""的范围
#
!"$!基本不等式
现在我们用比较法来证明不等式
$;
!
不等式选讲
%1'
! $槡
%'!!%#
'*%1"#
$
证明
!J!%%;#'%;#
图
$ !
!!这里是运用比较法结合
几何图形给出的另一证法
$
如图
$ !#正方形
$&23中
#
4+$&214+$56%4矩形
$&75$;#
!即
%
!1'
!$槡
%.槡
'#
由此得出
$#
对实数
(#有
(!$
;#这是配方法的基础
#
在运用比较法证明不等
式的过程中
#常为我们
提供了赖以确定符号的
关键理由
#
,几何平均数
-这
个名词的来源可以从下
述简单的几何事实中得
到解释
#如图
$ "!,"
中表示长与宽的长度分
别为
%#'的矩形
#图
$ "!K"表示的则是与
矩形具有相同面积的正
方形
#那么它的边长就
是
%#'的几何平均数
#
!! !,"!!! !!K"
图
$ "
D!!!%1'
! %槡
%'
3$
!!%1'%!槡
%.槡
'"
3$
!!槡
%%槡
'"
!$;#
D
%1'
! $槡
%'!!当且仅当
%3'时取等号
"#
我们将
%1'
! 称为两个正数
%#'的算术平均!,>'.IH).'GH),("
数
#槡
%'则称之为
%#'的几何平均!F)=H).>'GH),("数
#
$式告诉我们
#两个正数的算术平均数不小于几何平均数
#当
且仅当这两个正数相等时等号成立
#
利用
$可以很快地写出一些不等式
$
%!1'!
!
$%'#
%!1'!$!%'#
%
%!1'!3,%,
!1,',
!$!,%,,',#
%!1'!%%'$%'
等等
#
同学们还可以作进一步的探索
#
不等式
$#%我们称之为基本不等式!K,@'G'()*+,-'.')@"#现
在
#我们可以从
$#%这两个不等式出发
#利用不等式的基本性质
得到一连串的不等式
#例如
$
$&由
%得
%!1'!1!%'$!%'1!%'#
即
!%1'"
!$5%'#
!&将
!!!!!!!!%!1'!$!%'#
'!1+!$!'+#
$$
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
+!1%!$!+%
相加
#再除以
!#即得
%!1'!1+!$%'1'+1+%#
"&当
%%;#'%;时
#
!$"'
%1%
'$! '
%.%
槡
'3!%
!!"!%1'"$
%1$
!
"
' $!槡
%'.!
$槡
%'35#
上面这些不等式的证明实际上也可以看作是发现过程
#从某种
意义上讲
#当我们经历从已知条件出发
#以不等式的基本性质
&基
本不等式为依据进行思考
&探求以至获取不等式的过程
#其实也就
是对不等式给予证明
#
例
!设
%#'是正数
#求证
$
!$"!%'
%1'#槡
%'%
!!"%1'
! # %!1'!
槡
!
#
证明
! !$"!J!%#'为正数
#
D!%1'$!槡
%'#
D! $
%1'#
$
!槡
%'
#
D!!%'
%1'# !%'
!槡
%'
3槡
%'#
!!"!J!!%1'"
!3%!1'!1!%'#!!%!1'!"#
D! %1'
!
"
!
!
#%!1'!
!
#
D!%1'
! # %!1'!
槡
!
#
根据基本不等式
$及例题可知
$对于两个正数
%#'#有
!%'
%1'#槡
%'#%1'
! # %!1'!
槡
!
#
&
$!
!
不等式选讲
在图
$ 5中
#8为圆心
#
69"6:"68"6;#
'
图
$ 5
!
设
6<3%#6=3'#!%%'"#
!!则
!683%1'
! #!!6:3槡
%'#
!!693!%'
%1'#!!6;3 %!1'!
槡
!
#
!!'即
&不取等号时的情形
#
习题
!$
$&已知
%#'#+为正数
#求证
$
!$"!%1'"!
'1+"!
+1%"$8%'+%
!!"%1'1+$槡
%'1槡
'+1槡
+%#
!&已知
%#'#+及
(#,#>都是正数
#求证
$
!!'1+
% (!1+1%
' ,
!1%1'
+ >!$!!(,1,>1>("#
"&求证
$ %!1!
%!
槡1$$!#
5&求证
$%!1'!1#$!!!%1'"#
#&已知
%!
$1%!
!1+1%!
.3$#(!
$1(!
!1+1(!
.3$#求证
$
%$($1%!(!1+1%.(.#$#
7&已知
%#'#+*%1#%1'1+3$#求证
$
%!1'!1+!$$
"#
9&已知
!%1"'3!#求
5%18'的最小值
#
$"
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
8&求函数
0! "
( 3(!1
5
(!1$的最小值
#并求出取得最小值时的
(值
#
6&已知
(%;#且
()$#.为正整数
#求证
$
!$1(."!$1("
.%!.1$(.#!!!
$;&若正数
(#,满足
7(1#,3"7#求
(,的最大值
#
$$&求
,37
(!
槡1$
(!15 的最大值
#
$!&已知
%#
'#
+为正数
#求证
$%!
'1'!
+1+!
%$%1'1+#
!"&!基本不等式实际应用举例
例
!!一家皮鞋零售店
#平均每天售出皮鞋
"双
#已知每双皮鞋
的批发价
57元
#运费
$元
#零售价
$;;元
#一双皮鞋在商店保存一
天的费用为
;&!8元
#订货一次的组织费用为
!;;元
#批发的包装为
每箱
$8双
#以整箱批发
#问这家皮鞋店应采用何种订货策略
#可使
获利最大
)
解
!设每次订货
(双
#那么
(
"天订货一次
#一次的订货费用为
!;;1!571$"( !元
"#
平均库存量为
(
!双
#在一个订货周期中
#保存费用为
(
!.;&!8.(
" !元
"#
!!所以
#每天的总费用
? 3!;;1!571$"(1;&!8(!L7
(
"
37;;
( 1;&$5(1$5$!元
"#
!!根据基本不等式可得
? $! 7;;
( M;&$5
槡
(1$5$
$5
!
不等式选讲
3$#6&"" !元
"#
等号当且仅当
7;;
( 3;&$5(#即
(37#&57#时取得
#
由于批发是整箱的
#所以分别计算
"箱和
5箱!即
(3#5和
9!"
的结果
#
当
(3#5时
#?3$#6&79$%
当
(39!时
#?3$#6&5$"#
所以每次批发
5箱
#每
!5天批发一次
#可获利最大
#
例
#!机动车过大桥
#为了安全
#同一股道上的两辆车的间距不
得小于
@AB!#其中
B是车速
#A为平均车身长度
#@为比例系数
#经
测定
$车速为
7;EH/I#安全车距为
$&55A#
!$"规定怎样的车速可使同一股道上的车流量最大
) !车流量即
单位时间内通过的车辆数
#"
!!"设过桥的车辆平均车身长度为
#H#求同一股道上每小时的
最大车流量
#
解
!设安全车距为
- H#车流量为
,辆
/I#则
-3@AB!#由
B3
7;EH/I#-3$&55A#得
@3 $
!#;;#车速为
B#若车速为
$;;;B时
#
车流量为
$;;;B
-1A #所以
,3$;;;B
-1A 3$;;;B
@AB!1A3
$;;;
A
B
!#;;1$
!
"
B
#!#;;;
A
#
$
当且仅当
B
!#;;3$
B#
!!即
B3#;EH/I时
$式等号成立
#此时车流量最大
#
当
A3#H时
#每小时的最大车流量为
#;;;辆
#
习题
!&
$&一段长为
C的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园
#问这个矩形的长
&宽各为多少
$#
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
时
#菜园的面积最大
) 最大面积是多少
)
!&有一座被毁坏的房屋
#留有一堵旧墙长
$!H#现准备在原地重新建屋
#平面图
形为矩形
#面积为
$$!H!#工程条件是
$
!$"修
$H旧墙的费用是造
$H新墙费用的
!#N%
!!"拆去
$H旧墙用来造
$H新墙的费用是造
$H新墙费用的
#;N#
问
$应如何利用旧墙才能使建屋造价最低
)
"&$地产汽油
#&地的汽油需从
$地运入
#汽车从
$地运汽油往
&地
#往返的油
耗正好等于其满载汽油的吨数
#故无法将汽油直接运至
&地
#为解决问题
#在
途中
2设一油库中间站
#先由往返于
$#2间的汽车将汽油运至
2地
#再由往
返于
2#&间的汽车将汽油运至
&地
#问
2站设在何处时
#运油率最大
) 最大
为多少
) '运油率
3!&地收到的汽油量
"L!$地运出的汽油量
"(
$7
!
不等式选讲
阅读与思考
算术平均数与几何平均数
!!设
%与
'是两个非负实数
!%%'!记
%$3%1'
! !!'$3槡
%'!
则
%$!'$必定也是非负数
!且
%$"%1%
! 3%!!'$% ',
槡'3'!
根据基本不等式
$!可知
%$%'$!再记
%!3%$1'$
!
!!'!3 %$'
槡$!
引进
%!!'!!重复上面步骤
!同理
!有
%%%$%%!!!'!%'$%'
及
%!%'!!
图
$ #
!
继续进行下去
!一般地
!我们可用递推公式
%.3%.%$1'.%$
!
!!'3 %.%$'.
槡
%$
$
定义
%.!'.#
进行到第
@步时
!得到数
%$!%!!-!%@及
'$!'!!-!'@!它
们满足
%%%$%%!%-%%@%'@%'@%$%-%'!%'$%'#
例如
!当
%35!'3$!把前面几个
%D与
'D表示在数轴上%如图
$ #&!可以看到
!在所有的这些数当中
!'最小而
%最大
!并且所
有的
'D小于所有的
%D#
$9
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
设想我们用递推公式
$定义越来越多的
%与
'!这样定义的每一
对
%D!'D都夹在前一对
%D%$!'D%$之间
#于是
!看来有理由认为这些
%.随着
.增大而减小
!但始终大于每一个
'D而趋近于某个固定的数
值
$'类似地
!这些
'.随
.增大而增大
!但始终小于每一个
%D!而
趋近于某个固定的数值
&#实际上
!$就是无穷数列*%.+的极限
!
&则是无穷数列
*
'.+的极限
#
此外
!还有
%.1$%'.1$3%.1'.
!
% %.'
槡."%.1'.
!
% '.'
槡.
3$
!%%.%'.&!
这表明
!差
%%.%'.&随
.增大而迅速变小
!数列
*%.+!*
'.+具有相同
极限
!即
$3&!而且
$%&&只依赖于我们开始时所取的两个数
%!'!
也就是说
$%&&是
%!'的函数
#大数学家高斯曾指出
!这个函数不
只是一个满足好奇心的玩艺
!而且在数学上具有独特地位
!它可以
用来建立一个叫作$椭圆函数论
(的数学分支
#
$8
!
不等式选讲
!"'!分析法与综合法
数学实验
让我们动手计算一些数的平方根
#并求出前后相应项平方根的差
$
.
$
!
"
5
#
7
9
8
6
$;
槡
.
$
$&5$$&9"
!
!&!5!&5#!&7#!&8"
"
"&$7
槡
.% .槡%$
$
;&5$;&"!;&!9;&!5;&!$;&!;;&$8;&$9;&$7
不难看出
#随着
.的增大
#槡
.% .槡
%$越来越小
#换言之
槡
.% .槡
%$" .槡
%$% .槡
%!#
$
上式对于
.$!是否总成立还有待于证明
#直接证明不是很便利
#为
此我们改变一下思考的方式
$
欲证
$#只需证
槡
.1 .槡
%!"! .槡
%$#
!!又只需证
!槡
.1 .槡
%!"
!"5!.槡
%$"
!#
!!即证
槡
.. .槡
%!".%$#
%
!!为此只需证
.!.%!""!.%$"
!#
!!即
.!%!.".!%!.1$#
&
!!&式一定成立
#因此不等式
$成立
#
上述证明是从欲证的不等式出发
#执,果
-索,因
-#层层推求
使结论成立的充分条件
#直至能够肯定这些充分条件已经具备为止
#
进而断言原不等式成立
#我们把这种方法称之为分析法
!,(,-/@'@
H).I=:"C
对同一个不等式的证明
#即使都采用分析法
#具体的途径却可
能不一样
#对于
$式我们也可以这样考虑
$
$6
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
欲证
$式
#只需证
!槡
.% .槡
%$"!槡
.1 .槡
%$"
!槡
.1 .槡
%$"
"!.槡
%$% .槡
%!"!.槡
%$1 .槡
%!"
!.槡
%$1 .槡
%!"
#
!!即
$
槡
.1 .槡
%$"
$
.槡
%$1 .槡
%!
#
为此
#只需证
槡
.1 .槡
%$% .槡
%$1 .槡
%!#
'
!!'式成立十分明显
#因此
$式获证
#
例
!!已知
%#'是两个不相等的正数
#求证
$
!%1'"!%"1'""%!%!1'!"
!#
(
证法
!!
!%1'"!%"1'""%!%!1'!"
!
!欲证
"
-
%51'51%"'1%'"%%51!%!'!1'5
!只需证
"
-
%"'1%'"%!%!'!
!只需证
"
!!!!!!!!-! !%%;#'%;"
%!1'!%!%'#
!只需证
")
)是基本不等式在
%)'时的情形
#因此
)式成立
#从而
(式成立
#
例
$证法
$中所表达的是自上而下的运用分析法的思考过程的图
示!以后遇到类似情形不再说明
"#
基于上述分析法的证明
#我们还可以给出例
$的如下证明
$
证法
#!!!!!%!1'!%!%'
)
.%"'1%'"%!%!'!
!%%;#
'%;"
.%51'51%"'1%'"%%51!%!'!1'5
.!%1'"!%"1'""%!%!1'!"
!#
上述证明的思考角度可以说与分析法正好相反
#它从已知的基
本不等式
)出发
#利用不等式的基本性质导出欲证不等式
(#这种
证明方法称为综合法
!@/(.I)@'@H).I=:"#所谓综合法就是由,因
-导
,果
-#从题设条件出发
#利用已知定义
&公理
&定理等逐步推进
#
证得所要求证的结论的方法
#
!;
!
不等式选讲
例
#!求证
$槡槡
!1 9"槡槡
"1 7#
分析
!因综合法不太容易想到解决这类问题的途径
#所以用分
析法探求证明途径
#
证法
!!分析法
#
!!!!!!槡槡
!1 9"槡槡
"1 7
/!槡槡
!1 9"
!"!槡槡
"1 7"
!
/
槡
61! $5"
槡
61! $8
/槡
$5"槡
$8
/$5"$8#
最后一个不等式成立
#故原不等式成立
#
基于上述分析法的证明
#我们还可以给出例
!的综合法证明
#
证法
#!综合法
#
!!!!!!!$5"$8
.槡
$5"槡
$8
.
槡
61! $5"
槡
61! $8
.!槡槡
!1 9"
!"!槡槡
"1 7"
!#
因为
!槡槡
!1 9%;#槡槡
"1 7%;#
所以
!槡槡
!1 9"槡槡
"1 7#
在上例中
#我们很难想到从,$5"$8-入手
#用综合法比较困
难
#因此先用分析法探索证明的途径
#然后用综合法的形式写出证明
过程
#这是解决数学问题的一种重要思想方法
#
有时也将分析法
&综合法结合起来
#就好像有两个人走迷宫
#
一个人从迷宫的入口走向出口
#另一个人从迷宫出口走向入口
#争
取在某处相会
#实际上
#一个不等式的证明的成功往往是分析与综
合两种方法交替运用的结果
#
例
$!已知
;"%"$#(!1,3;#求证
$
-=F%!%(1%,"#-=F%!1$
8#
*
!$
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
!!分析与证明
!*(-=F%!%(1%,"#-=F%!!.%
$
8"!!!!!!!!
-!!;"%"$"
!!!!!%(1%,$!.%
$
8
-
!!!!!%(1%,
!
$%
$
8 !
- !基本不等式
%"
!!!!! %(.%
槡
,$%
$
8
-
!!!!!(1,
! #$
8
-
!!!!!(1,#$
5#
+
J!(!1,3;#
D!(1,3(%(!3(!$%("#
根据基本不等式
#有
(!$%("# (1!$%("
'
(
!
!
3$
5#
D!+式成立
#从而
*式也成立
#
习题
!'
$&分别用分析法与综合法证明基本不等式
#
!&分别用分析法与综合法证明
#
已知
%%'%;#求证
$槡
%%槡
'" %%
槡'#
"&已知
%%;#'%;#求证
$
%!槡
'1
'!槡
%$槡
%1槡
'#
5&已知
%%;#'%;#求证
$
%'1$
%'1'
% 1%
' $5#
!!
!
不等式选讲
#&设
%#'#+是三角形的三边
#1%;#求证
$
%
%111 '
'11% +
+11#
7&证明
$通过水管放水
#当流速相同时
#如果水管截面!指横截面
#下同
"的周
长相等
#那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
#
!"(!反证法和放缩法
运用反证法
!>):+G.'=(.=,K@+>:.'./"证不等式的思路是
$
先假设所要证的不等式不成立
#也就是说不等式的反面成立
#
以此为出发点
#结合已知条件
#进行推理论证
#最后推出和已知条
件或已知不等式相矛盾的结果
#从而断定假设错误
#因而确定要证
的不等式成立
#
例
!!设
%"1'"3!#求证
$%1'#!#
证明
!假设
%1'#!不成立
#则有
!%1'%!
.%%!%'
.%"%8%$!'17'!%'"
.%"1'"%7'!%$!'1837!
'%$"
!1!#
因为
7!
'%$"
!1!$!#所以
%"1'"%!#这与已知条件
%"1'"3!
矛盾
#所以原不等式成立
#
例
#!已知
%#'#+为实数
#%1'1+%;#%'1'+1%+%;#
%'+%;#求证
$%%;#'%;#+%;#
分析
!由
%%;#'%;#+%;能很容易地推出题设条件
%1'1+%
;#%'1'+1%+%;#%'+%;#但这个推理不可逆
#从后三式中任何一
个都不能直接得出
%%;#'%;#+%;的结果
#所以不能用分析法证
明
#由此联想到
#若否定了要证的结论
#假设
%#'#+的正
&负
#就
能方便地讨论
%1'1+#%'1'+1%+和
%'+的正
&负
#因此可用反证
法进行证明
#
!"
!
第
!章
!基本不等式和证明不等式的基本方法
证明
!假设
%#'#+不同时都为正数
#不妨先考虑
%#;的情形
#
那么有
%3;和
%";两种可能
#
!$"当
%3;时
#%'+3;#与已知
%'+%;相矛盾
%
!!"当
%";时
#
J!%'+%;#!D!'+";#
又
J!%1'1+%;#
D!'1+%%%%;#
D!%'1'+1%+3%!
'1+"1'+";#
这与已知
%'1'+1%+%;矛盾
#
综上所述知
%%;成立
#
同理可证
'%;#+%;成立
#原命题得证
#
应用反证法证明数学命题
#实际上是用证明逆否命题成立来代
替证明原命题成立
#有的题目从命题的已知条件出发不易推理或运
算
#而从结论的反面着手
#相反地容易推理
&论证
#这就可尝试用
反证法来证!如例
!"#用反证法证明不等式须注意一点
#就是否定
了原命题的不等关系后
#所得的数量关系一般不止一种情形!因为
,%-的反面是,#-#而不单是,"-"#在证明时切勿遗漏
#
放缩法是不等式证明的基本方法
#在不等式证明中几乎无处不
在
#它的依据是不等式的基本性质
$ ,若
%%'#'%+#则
%%+#-一
般可考虑利用添项
&舍项
&已知不等式及函数的单调性等将欲证不
等式的左边或右边进行放大或缩小
#
例
$!求证
$-=F!"%!-=F"!#
证明
!J!-=F!"3-=F!"""3-=F8!9%-=F6!9#
而
!!-=F"!3-=F"53-=F6$7"-=F6!9#
D!-=F!"%!-=F"!#
例
&!设
%$#%!#+#%.是正数
#求证
$
%!
!%$1%!"
!1
%"
!%$1%!1%""
!1+1
%.
!%$1%!1+1%."
!"$
%$#
!5
!
不等式选讲
!!证明
!左边
"
%!
%$!
%$1%!"1
%"
!
%$1%!"!
%$1%!1%""1+1
!
%.
!
%$1%!1+1%.%$"!
%$1%!1+1%."
!!!!!!!!!分母减小
#分式的值放大
"
3 $
%$%
$
%$1%
!
"
! 1
$
%$1%!%
$
%$1%!1%
!
"
" 1+1
!
$
%$1%!1+1%.%$%
$
%$1%!1+1%
!
"
.
3$
%$%
$
%$1%!1+1%."$
%$3右边
#
即得证
#
贯穿全题的主要思想是放缩
#大胆地放大或缩小!必须合情合
理
"#谨慎地添或减是放缩法的基本策略
#
!!放缩法的难点在于
要适度
#要做到恰到好
处并非易事
#
习题
!(
! 用反证法证明
!
$&%$'%;#.为正整数
#且
.$!#则
.槡
% $
.槡
'#
!&若
(#,为正数
#且
(1,%!#则
$1,
( "!和
$1(
, "!至少有一个成立
#
"&若对任意正数
!总有
%#'%!#则
%#'#
5&若
;"%#'#+"$#则三个乘积
!$%%"
'#!$%'"
+#!$%+"%不能都大于
$
5#
用放缩法证明
!
#& $
!!1$
"!1+1$
.!"$%$
.#.3!#"#5#+#
7&正数
%#'#+满足
%$'$+及
%1'1+#$#求证
$
%!1"'!1#+!#$#
在不等式的应用中，经常涉及重量、面
积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、
向量）的大小或者绝对值．它们都是通过非负
数来度量的．
本章将回顾绝对值的概念和性质，讨论
绝对值不等式及其几何意义．
第
章
绝对值不等式
２
!7
!
不等式选讲
#"!!含有绝对值的不等式
我们知道
,%,3
%#!!!
%%;"#
;#!!!
%3;"#
%%#!!
%";"
0
1
2
#
!!,%,表示数轴上坐
标为
%的点与原点之间
的距离
#如图
! $#
图
! $
,%%',表示数轴上
坐标为
%的点与坐标为
'的点之间的距离
#如
图
! !#
图
! !
两个重要性质
$
!$",%',3,%,,',%
%
'
3,%,
,',#
!!",%,",',(%!
"'!#
不等式
&的几何意义
$
我们分
%'%;和
%'
";两种情况讨论
#
当
%'%;时
#如图
!
"#易得
,%1',3,%,1,',#
图
! "
当
%'";时
#若
%%
;#'";#如图
! 5#坐
标为
%的点在原点的右
边
#坐标为
'的点在原
点的左边
#易得
,%1',",%,1,',#
图
! 5
若
%";#
'%;#如图
! ##易得
,%1',",%,1,',#
图
! #
!!因此
#有
%,%,#%#,%,#
$
!!同样地
%,',#'#,',#
%
$#%相加得
%!,%,1,',"#%1'#,%,1,',#
!!即
!!
,%1',#,%,1,',#
&
显而易见
#%#'同号或有一个为
;时
#&式等号成立
#
!!由
&可得
,%,3,!
%1'"%',#,%1',1,%',#
!!即
,%,%,',#,%1',#
'
!请同学们考虑等号何时成立
)"
综合
&#'我们得到有关绝对值
!,K@=-+.)O,-+)"的重要不等式
,%,%,',#,%1',#,%,1,',#
例
!!已知
,(,"!
5#,,,"!
!#求证
$
,!(1,,"!#
证明
!J,!(1,,#,!(,1,,,3!,(,1,,,#
及
!!,(,"!
5#,,,"!
!#
D!!,!(1,,"!.!
51!
!3!#
例
#!已知
0!("3(!%(1+#,(%%,"$#求证
$
,0!("%0!
%","!!,%,1$"#
!9
!
第
"章
!绝对值不等式
证明
!!,0!("%0!
%",
!!!3,!(!%(1+"%!
%!%%1+",
!!!3,!(%%"!(1%%$",
!!!3,(%%,.,(1%%$,#
J!!,(%%,"$#
D!!,0!("%0!
%",",(1%%$,#
J!!,(1%%$,3,!(%%"1!%%$,
#,(%%,1,!%,1,%$,
#$1!,%,1$
3!!,%,1$"#
D!!,0!("%0!
%","!!,%,1$"#
例
$!已知
(为不等于
;的实数
#求证
$
(1$
( $!#
证明
!J!(与
$
(同号
#
!!!D! (1$
( 3,(,1 $
( #
!!根据基本不等式
#有
(1$
( 3 ( 1 $
( $! ,(,. $
,(
槡,3!#
例
&!已知
,%,"$#,',"$#求证
$
%1'
$1%' "$#
证明
%1'
$1%' "$
-
,%1',",$1%',
-
!
%1'"
!"!$1%'"
!
-
%!1!%'1'!"$1!%'1%!'!
!8
!
不等式选讲
-
%!1'!"$1%!'!
-
%!'!%%!%'!1$%;
-
!
%!%$"!
'!%$"%;#
由
,%,"$#,',"$知
%!"$#'!"$#故
!
%!%$"!
'!%$"%;#于是
#自下
至上即可推得%1'
$1%' "$成立
#
利用绝对值不等式
#可以很漂亮地解决第
$章数学实验中提出的
问题
#
根据
!3"&$5$#6!7#"#869+可得"##
$$"%! ";&;;;;;;!7799#
如果有个分数
"
!比
"##
$$"更接近
!#一定会有
"##
$$"%"
! "!M;&;;;;;;!7799#
也就是
,"##!%$$"",
$$"!
"!M;&;;;;;;!7799#
!!如此简单初等的推
理得到这样好的成绩
#
可谓鸡刀宰牛
#
数学问题的解决
#
常有
,出乎意料之外
#又
在情理之中
-的情形
#
!!因为
"
!不等于
"##
$$"#所以
,""#!%$$"",不是
;#但它是正整数
#应
大于或等于
$#所以
$
$$"!"!M;&;;;;;;!7799#
!!由此推出
!%
$
$$"M!M;&;;;;;;!7799%$7#87#
这表明
#若分数
"
!比
"##
$$"更接近
!#其分母
!一定大于
$7#87#
习题
!*
$&设
!%;#,(%%,"!
5#,,%%,"!
7#求证
$
!6
!
第
"章
!绝对值不等式
,!(1",%!%%"',"!#
!&已知
,$%%,"!
!#,&%',"!
!#求证
$
!$",!$1&"%!%1'","!%
!!",!$%&"%!%%'","!#
"&已知
,($%%,"!#,(!%%,"!#,("%%,"!#求证
$
!$",($1(!
!
%%,"!%
!!",($1(!1("
"
%%,"!#
5&求证
$
!$",(%%,1,(%',$,%%',%
!!",(%%,%,(%',#,%%',#
#&若
"##为实数
#+%;#求证
$
,"1#,!#!$1+",",!1 $1$
!
"
+ ,#,!#
7&求证
$ %!%'!
%
$,%,%,',#
#"#!解含绝对值的不等式举例
解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义
&几何意义及不等式
的基本性质
&
例
!!解不等式
$#,"%!(,"##
解
!原不等式可化为
$#,!(%","##
!!即
,!(%",$$#
,!(%","#
0
1
2
#
$
%
!!由
$得
!(%"$$#
!!或
!(%"#%$#
!!解得
($!或
(#$#
";
!
不等式选讲
!!由
%得
%#"!(%""##
!!解得
%$"("5#
综上所述
#原不等式的解集为
!%$#$(3'!#5"#
我们可将原不等式变为
$
!# (%"
! "#
!#
如图
! 7#根据绝对值在数轴上的表示可知不等式的解集为
!%$#$(3'!#5"#
图
! 7
!
!!例
#!解不等式
,!(1$,1,!(%",$5#
分析
!!(1$#!(%"的零点分别为
%$
!#"
!#它们在区间
%P#%
!
"
$
! # %$
!#
!
"
"
! # "
!#1P
!
"内的符号如图
! 9所示
#于是
可根据绝对值的定义分段讨论
#
图
! 9
解
!!$"当
(#%$
!时
#原不等式可变为
%!!(1$"%!!(%""$5#
!!解得
(#%$
!#
!!"当
%$
!"(""
!时
#原不等式可变为
!!(1$"%!!(%""$5#
"$
!
第
"章
!绝对值不等式
!!即
;.($;#
此不等式恒成立
#故此时
%$
!"(""
!#
!""当
($"
!时
#原不等式可变为
!!(1$"1!!(%""$5#
!!解得
($"
!#
综上所述
#原不等式的解集为
%#
可能有同学对最后获取的结果一点也不感到意外
#这是因为他们
从另外一个角度看到
!!!!!,!(1$,1,!(%",
!!!!3! (1$
! 1 "
!%
!
"
(
!!!!$! (1
!
"
$
! 1 "
!%
!
"
(
!!!!35#
这是一个恒成立的不等式
#与
(的取值无关
*
图
! 8
!
!!!
例
$!解不等式
,!(!%$,%(#
解
!设
,$3,!(!%$,#,!3(#分别
作出两个函数的图象
!如图
! 8"#
,$与
(轴交点为%槡
!
!#; #槡
!
!#; #
在区间;#槡
!
! 内
#,$3$%!(! 与
,!3(的图象的交点的横坐标为
(3$
!%
在区间槡
!
!#1P 内
#,$3!(!%$与
,!3(的图象的交点的横坐标为
(3$#由图
! #可知不等式的解集为%P#
!
"
$
! 3!$#1P"#
"!
!
不等式选讲
习题
!+
$&解下列不等式
$
!$",!(1$,$(%
!!",8%#(,""(%
!"",(%",%,!(1$,"5#
!&解关于
(的不等式
,(%",1,!(1$,%%#
"&若不等式
,(%5,1,(%",%%的解集为
%#求实数
%的取值范围
#
5&某环形公路旁有一中
&二中
&三中
&四中
&五中按顺序排列的五所中学
#各校分
别有电脑
$##9#$$#"#$5台
#现在要使各校电脑的台数相等
#问各校应分别调
出几台电脑给邻校
#才能使调动的总次数最少
)
""
!
第
"章
!绝对值不等式
阅读与思考
距离的性质
!
!!!"欧氏距离
大家所熟悉的平面上两点
<%($!,$&与
=%(!!,!&之间的距离称
为欧氏距离
!记作
-!%<=&!由公式
-!%<=&3
%(!%($&
!1%,!%,$&
槡
!
$
给出
#
下面列举距离函数的性质
&
%$&两点间的距离只依赖于这两个点的相对位置
!即只依赖于它
们坐标的差
(!%($及
,!%,$#这个性质称为平移不变性
%即当这两个
点沿同一方向移动同样的距离时
!它们之间的距离不变
&
&
%!&从点
<到点
=的距离等于从点
=到点
<的距离
&这可以通
过在
$中验证
-!%<=&3-!%=<&
看出来
&性质
%!&通常称为距离函数的对称性
&
%"&距离函数
$满足三角形不等式
-!%<;&#-!%<=&1-!%=;&#
%
这里
;为三角形上另一点
!若记
;%("!,"&!则
!!
%($%(!&
!1%,$%,!&
槡
!1
%(!%("&
!1%,!%,"&
槡
!$
%($%("&
!1%,$%,"&
槡
!&
不等式
&通常称为平面三角不等式
#
%5&任意两点
<与
=间的距离是非负的
&即
-!%<=&$;'
当且仅当
<与
=两点重合时
!等号成立
!这个性质常常称为距离函
数的正性
'这一点由定义
$立即可得
&
%#&如果
<点坐标为
%(!,&!=点坐标为
%%(!%,&!其中
%为一
"5
!
不等式选讲
非负常数
!那么
-!%8=&3%-!%8<&'
这里
8表示原点
%;!;&!这个性质称为距离函数的齐次性
!它成立是
因为
!!!!-!%8=&3
%%(&
!1%%,&
槡
!3 %!%(!1,
!
槡
&
3% (!1,
槡
!3%-!%8<&#
欧氏距离还有另一个性质
#
%7&若
(8,平面绕原点旋转某个角度
!则两点间的欧氏距离保
持不变
#这个性质称为旋转不变性
&
#"城市街区距离
还可以定义许多其他有用而且有趣的
$非欧
(距离
&为了能称之
为
$距离
(!<!=的一个函数必须具有我们刚刚对熟知的距离
$所验
证过的性质
%$&到性质
%#&
&唯有欧氏距离
-!具有全部的
7条性质
&
作为一个例子
!可以考虑用城里两地
<%($!,$&与
=%(!!,!&之
间道路的实际长度来虚构一个
$城市街区距离
(
&假定所有的街道或
者是严格南北向的
!或者是严格东西向的
!而且没有空地可以穿行
!
如图
! 6&
图
! 6!城市街区距离
!
从
<到
=的任何道路无一例外地只能由水平段落及竖直段落组成
!
这样我们所要通过的距离
-$%<=&就由从
<到
= 的这条道路的所有
水平距离与竖直距离之和组成
#因此
!我们定义城市街区距离为
-$%<=&3,($%(!,1,,$%,!,#
'
严格说来
!这式子有时不能表示城市街区距离
!图
! $;就是一例
#那
里的
<!=两地位于相同的两条南北向
%或东西向
&街道之间
#这时
!
"#
!
第
"章
!绝对值不等式
图
! $;!城市街区距离
!
行人在其行程中被迫要往回走
!于是实际经过
的距离比
'式右边的值要大些
#但是
!如果街
区非常小
!也就是说街道之间靠得很近
!那么
'就相当精确了
#更确切地说
!如果仅限于沿
着东
.南
.西
.北这四个主要方向行走而不必
走回头路
!那么新的距离函数
'就是从
<到
=所要经过的最小距离
#
因此
!城市街区距离毕竟为我们提供了定义新的
$非欧
(距离的实际
背景
#
下面我们来看看由
'所定义的
-$是否具有距离所要求的
%$&#
%#&条性质
#
因为表达式
'中只包含坐标的差
!所以新的距离当然是平移不
变的
!因而具有性质
%$&#
因为
-$%<=&3-$%=<&!所以
-$是对称的
!这样也就具有性质
%!&#
为了建立三角形不等式
-$%<;&#-$%<=&1-$%=;&!
设
<!=!;的坐标分别为
%($!,$&!%(!!,!&!%("!,"&!则
-$%<;&3,($%(",1,,$%,",
3,($%(!1(!%(",1,,$%,!1,!%,",!
-$%<;&#,($%(!,1,,$%,!,1,(!%(",1,,!%,",
3-$%<=&1-$%=;&#
因而具有性质
%"&#
城市街区距离当然也满足性质
%5&!因为任何实数的绝对值总是
非负的
#除非
<与
=重合
!否则它总是正的
#
性质
%#&很容易验证
!事实上
!对于
%$;!有
,%(,1,%,,3%%,(,1,,,&#
数学归纳法是证明关于正整数
的有关命题的重要方法．本章学习数
学归纳法和它的简单应用．
第
章
数学归纳法与不等式证明
３
"9
!
第
#章
!数学归纳法与不等式证明
$"!!数学归纳法
对于基本不等式
%1'
! $槡
%'#
如果令
%3%$1%!
!
#!'3%"1%5
!
#
其中
%E!
E3$#!#"#5"都是非负实数
#那么我们便得到
%$1%!
!
1%"1%5
!
!
$ %$1%!
!
.%"1%5
槡
!
#
即
%$1%!1%"1%5
5
$ %$1%!
!
.%"1%5
槡
!
#
$
!!再运用基本不等式
#得
%$1%!
!
$ %$%
槡!#
%"1%5
!
$ %"%
槡5#
代入
$#便进一步得到不等式
%$1%!1%"1%5
5
$
%$%
槡!. %"%
槡
槡
53
5%$%!%"%
槡
5#
!!等号当且仅当
%$3%!3%"3%5时成立
#
这又是一个有趣的结果
*
一个自然的想法是
$对于任意的
8个非负实数
'E!
E3$#!#+#
8"#下面不等式
'$1'!1+1'8
8
$
8'$'!+'
槡
8
是否也成立
) 不妨动手试一试
#
如果我们继续下去
#显然可以对
!的所有方幂
$!$#!!#!"#!5#
+建立起相应的不等式
"8
!
不等式选讲
%$1%!1+1%!
.
!.
$
!
.
%$%!+%!
槡
. #
%
这里
%E!
E3$#!#+#!."都是非负实数
#
不过
#这是一个由特殊到一般的过程
#不等式
%还有待于严格证
明
#这项工作可运用数学归纳法
!H,.I)H,.'G,-'(:+G.'=("来完成
#
何谓数学归纳法
)
大概每个人都遇到过
,多米诺现象
-$推倒头一块骨牌
#它会推倒
第二块
#再推倒第三块
#+#直到所有骨牌全都倒下
#我们把骨牌想象
为一系列无穷多个编了号的命题
$<$#<!#<"#+#假定我们能够证明
$
!$"!奠基
"最初的一个命题正确
%
!!"!过渡
"由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的
正确性
#
那么我们便证明了这一列所有命题的正确性
#事实上
#我们已会
,推倒头一块骨牌
-#即证明最初的一个命题成立
!所谓
,奠基
-"#而
,过
渡
-则意味着
,每一块骨牌在倒下时都将推倒下一块骨牌
-#这样一来
#
我们并不需要特别强调应推倒哪一块骨牌
#事实上
#只要头一块一旦
倒下
#那么行列中的任何一块骨牌都或迟或早必然要倒下
#
上述事例启发我们
$在证明一个与正整数有关的命题时
#可采用
下面两个步骤
$
!$"证明
.3$时命题成立
%
!!"证明
$如果
.3@时命题成立
#那么
.3@1$时命题也成立
#
我们有
!$"&!!"作依据
#根据
!$"知
.3$时命题成立
#再根据
!!"
知
.3$1$3!时命题成立
#又由
.3!时命题成立
#依据
!!"知
.3
!1$3"时命题成立
#这样延续下去
#就可以知道对任何正整数
.命
题都成立
#
这种证明方法就叫作数学归纳法
#
例
!!已知
.为正整数
#求证
$
!!!!$1"1#1+1!!.%$"3.!#
证明
!!$"当
.3$时
#左边
3$#右边
3$#等式成立
%
!!"假设当
.3@时
#等式成立
#即
"6
!
第
#章
!数学归纳法与不等式证明
$1"1#1+1!!@%$"3@!#
!!那么
!!!!!$1"1#1+1!!@%$"1'!!
@1$"%$(
3@!1'!!
@1$"%$(
3@!1!@1$
3!
@1$"
!#
!!这表明
.3@1$时等式也成立
#
根据
!$"和
!!"#可知等式对任何正整数
.都成立
#
在上面的证明中
#,证明
.3$时等式成立
-这一步称为归纳奠基
%
,由
.3@时等式成立
#推出
.3@1$时等式也成立
-#这一步称为归
纳递推
#而
,假设
.3@时等式成立
-成为归纳假设
#数学归纳法的实
施中上述二步缺一不可
#而没有用到归纳假设的证明也就不会是数学
归纳法
#
例
#!已知
.为正整数
#求证
$
$"1!"1""1+1."3 .!.1$"
'
(
!
!
#
证明
!!$"当
.3$时
#左边
3$"3$#右边
3 $!$1$"
'
(
!
!
3$#等
式成立
%
!!"假设
.3@时等式成立
#即
$"1!"1""1+1@"3 @!
@1$"
'
(
!
!
#
!!那么
!!!!$"1!"1""1+1@"1!
@1$"
"
!!!!!3 @!
@1$"
'
(
!
!
1!
@1$"
"
!!!!!3!
@1$"
! @!
51!
@1$
'
(
"
!!!!!3!
@1$"
! !
@1!"
!
5
!!!!!3 !
@1$"!
@1!"
'
(
!
!
#
!!这表明
.3@1$时等式成立
#
根据
!$"和
!!"可知等式对任何正整数
.都成立
#
5;
!
不等式选讲
习题
!,
$&已知
.为正整数
#求证
$
$1!1"1+1.3.!.1$"
!
#
!&已知
.为正整数
#求证
$
$
$.!1 $
!."1+1
$
.!.1$"3 .
.1$#
"&已知
.为正整数
#求证
$
$!%!!1"!%5!1+1!%$"
.%$.!3!%$"
.%$.!.1$"
!
#
$"#!数学归纳法证不等式
数学归纳法也是不等式证明的重要方法
#
例
!!已知
.为不小于
"的正整数
#求证
$!.%!.1$#
分析
!依题意
#所要证明的结论只要求对于不小于
"的正整数
.
成立
#因此
#我们可将奠基步中的
,.3$-改为
,.3"-#
.3"时不等式成立是十分明显的
#
关键在于递推步
#根据归纳假设
#有
!@%!@1$#
$
而欲证不等式为
!@1$%!!
@1$"1$#
即证
!.!@%!!@1$"1!#
%
!!比较
$#%#只需证
!@$!#
!!这显然成立
#
证明
!!$".3"时
#左边
3!"38#右边
3!M"1$39#不等
!"
!
第
!章
!数学归纳法与不等式证明
式成立
!
!#"假设
"$#时不等式成立
#就是
##"##%"!
!!那么##%"$##%##"!##%""%#$#!
#%""%"!
!!这表明
"$#%"时不等式也成立
!
根据
!""#!#"知对于一切不小于
&的正整数
"不等式成立
!
例
!!已知
"为正整数
#求证
$
"%
槡#% #%
槡&%&% "!"%"
槡
"#!"%""
#
#
!
分析
!"$"时
#左边槡
$ ##右边
$##不等式成立
!
记左边和式为
$"#根据归纳假设
#有
$##!
#%""
#
#
!
!!而
!!!!$#$ "%
槡#% #%
槡&%&% #!
#%"
槡
"#
!!!$#%"$ "%
槡#% #%
槡&%&% #!
#%"
槡
"%
!
#%""!
#%#
槡
"!
!!有
!!!!$#%"$$#%
!
#%""!
#%#
槡
"!
!!因此
!!!$#%"#!
#%""
#
#
%
!
#%""!
#%#
槡
"!
!!欲证
!!!$#%"# !
#%""
'
(
%" #
#
$!
#%#"
#
#
#
!!只需证
!!!
#%""
#
#
%
!
#%""!
#%#
槡
"#!
#%#"
#
#
#
!!即证
!!!
!
#%""!
#%#
槡
"#!
#%#"
#
#
'!
#%""
#
#
#
!!也就是证
!
!
#%""!
#%#
槡
"###%&
#
!
最后一个不等式可由基本不等式得到
!
证明
!!"""$"时
#左边槡
$ ##右边
$!"%""
#
#
$##不等式成立
!
!#"假设
"$#时不等式成立
#就是
"%
槡#% #%
槡&%&% #!
#%"
槡
"#!
#%""
#
#
!
!!又由基本不等式可得
5!
!
不等式选讲
!
@1$"!
@1!
槡
""!
@1$"1!
@1!"
!
3!@1"
!
#
!!所以
$.
槡!1 !.
槡"1+1 @!
@1$
槡
"1
!
@1$"!
@1!
槡
""
!
@1$"
!
!
1!@1"
!
3@!15@15
!
3!
@1!"
!
!
#
!!这表明当
.3@1$时不等式也成立
#
根据
!$"#!!"#可知对任何正整数
.不等式成立
#
从例
$&例
!中可以看出
#运用数学归纳法证明不等式的两个步
骤实际上是分别证明两个不等式
#尤其是第二步
#一方面需要我们充
分利用归纳假设提供的
,便利
-#另一方面还需要结合运用比较法
&综
合法
&分析法等其他不等式的证明方法
#
现在让我们运用数学归纳法证明
"&$节中提出的不等式
%#我们
将不等式
%的幂指数
.作为归纳对象
#
证明
!!$"当
.3$时
#不等式
%即为基本不等式
#显然成立
#
!!"假设
.3@时不等式成立
#则
!!!%$1%!1+1%!
@
!@
$
!
@
%$%!+%!
槡
@ #
!!!%!
@1$1%!
@1!1+1%!
@1$
!@
$
!
@
%!
@1$%!
@1!+%!
@
槡
1$ #
!!于是
!!!%$1%!1+1%!
@1%!
@1$1%!
@1!1+1%!
@1$
!@1$
!!3
%$1%!1+1%!
@
!@
1%!
@1$1%!
@1!1+1%!
@1$
!@
!
!!$
!
@
%$%!+%!
槡
@ 1
!
@
%!
@1$%!
@1!+%!
@
槡
1$
!
!!$
!
@1$
%$%!+%!
@%!
@1$%!
@1!+%!
@
槡
1$ #
!!即
.3@1$时不等式成立
#
根据
!$"#!!"知不等式对任何正整数
.成立
#
从上面证明过程中可以看出当且仅当
%$3%!3+3%!
@1$时等
5"
!
第
#章
!数学归纳法与不等式证明
号成立
#
习题
!!-
$&设
($#(!#+#(.为实数
#证明
$
,($1(!1+1(.,#,($,1,(!,1+1,(.,#
!&证明
$对于任意正整数
.有
,@'(.(,#.,@'((,#
"&试证
$对任意正整数
.%$#有
$槡
$
1$槡
!
1+1$槡
.%槡
.#
5&试证
$对任意正整数
.%$#有
$
.1$1 $
.1!1+1$
!.%$
!#
#&已知
%#'%;#%)'#.为不小于
!的正整数
#求证
$
%.1'.
!
% %1'
!
"
!
.
#
平均值不等式是应用广泛的
不等式．
在日常生活中，我们经常遇
到如何使材料最省、面积最大、
容积最大等问题，可以借助平均
值不等式来处理．
第
章
平均值不等式
４
5#
!
第
$章
!平均值不等式
&"!!三个正数的平均值不等式
在
$&"节中我们已经知道
#如果
%#'为正数
#那么
%1'
! $ 槡
%'#
当且仅当
%3'时等号成立
#在第
"章中我们又知道了
#对于任意
!.有
%$1%!1+1%!.
!.
$
!
.
%$%!+%!
槡
.#
当且仅当
%$3%!3+3%!.时等号成立
#又一次的成功鼓舞着我们作
进一步的思考
#对于任意三个正数
%#'#+#是否也有
%1'1+
"
$
"槡
%'+
$
成立呢
) 请同学们随意选取三个正数组成一组做实验
#
无论是怎样的三个正数
#计算的结果均表明不等式
$是成立的
#
当且仅当三数相等时才取等号
#
接下来
#我们证明不等式
$#
为了避免根号
#用
%"#'"#+"代替
%#'#+#于是
$式变为
%"1'"1+"
"
$%'+#
%
!!%式等价于
!!!%"1'"1+"$"%'+#
&
而
!!%"1'"1+"%"%'+3!
%1'1+"!
%!1'!1+!%%'%'+%+%"
3$
!!
%1'1+"'!
%%'"
!1!
'%+"
!1!
+%%"
!(
$;#
且
%#'#+为正数
#因此
#有
%"1'"1+"%"%'+$;#
&式获证
#不等式
$#%成立
#从上述推导过程中还不难看出当且
仅当
%3'3+时等号成立
#
对于三个正数
%#'#+#我们把
%1'1+
" 称作它们的算术平均数
#
57
!
不等式选讲
把
"槡
%'+称作它们的几何平均数
#不等式
$表明三个正数的算术平均
数不小于几何平均数
#当且仅当三正数相等时两种平均数相等
#我
们简称不等式
$为三个正数的平均值不等式
#
例
!!已知
%#'#+为正数
#求证
$
!%1'1+"$
%1$
'1$
!
"
+ $6#
证明
!因
%#'#+为正数
#根据三个正数的平均值不等式
#可知
%1'1+$"
"槡
%'+#
$
%1$
'1$
+$"
" $槡
%'+#
!!上述两不等式的右边都大于
;#两式相乘得
!%1'1+"$
%1$
'1$
!
"
+ $"
"槡
%'+."
" $槡
%'+36#
当且仅当
%3'3+时
#等号成立
#
例
#!已知
%$#%!#+#%.都是正数
#且
%$%!+%.3$#求证
$
!!1%$"!!1%!"+!!1%."$".#
证明
!因
%$是正数
#根据三个正数的平均值不等式
#有
!1%$3$1$1%$$"
"%槡
$%;#
!!同理
!1%E$"
"%槡
E%; !
E3!#"#+#."#
!!将上述各不等式的两边分别相乘即得
!!
!1%$"!
!1%!"+!
!1%."$!
"
"%槡
$"!
"
"%槡
!"+!
"
"%槡
."3"
..
"%$%!+%
槡
.#
J!%$%!+%.3$#
D!!!1%$"!!1%!"+!!1%."$".#
!!当且仅当
%$3%!3+3%.3$时
#等号成立
#
!!例
$!求证
$( $%"
槡(# 槡
! "
!9 #
证明
!首先考虑到不等式有意义
#需
$%"($;#即
(#$
"#
若
(#;及
(3$
"#不等式左边不大于
;#显然不等式成立
#
若
;"("$
"#则根据三个正数的平均值不等式
#有
59
!
第
$章
!平均值不等式
!!!!!( $%"
槡("
! 3(!!$%"("
35
6."
!(."
!(.!$%"("
#5
6
"
!(1"
!(1!$%"("
4
5
6
7
"
"
3 5
!5"#
!!D
( $%"
槡(# 槡
! "
!9 #
当且仅当
(3!
6时
#等号成立
#
习题
!!!
$&已知
%#'#+为正数
#求证
$%
' 1'
+ 1+
% $"#
!&已知
%#'#+为正数
#求证
$ $
%!1$
'!1$
+
!
"
! !%1'1+"
!$!9#
"&若实数
(#,满足
(,%;#(!,3!#求证
$(,1(!$"#
5&若
;"("$
!#求证
$(!!$%!("#$
!9#
&"#!三个正数平均值不等式的实际应用举例
例
!!无论是工业设备还是家庭生活用具
#圆柱形的容器不少
见
#你是否留心了多数圆柱形容器不是细细长长的
#也不是扁扁的
#
而是高和底面直径大致相等
#你是否想过这是为什么
) 当然
#高和
底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀称
#这是一条理由
#但更
主要的原因似乎不在这里
#我们知道
#容器的容积往往是一定的
#
但表面积却随着形状而改变
#这就意味着同样容积的圆柱形容器有
的用料较省而有的则费料
#如果仅从成本角度考虑
#自然应制造用
!"
!
不等式选讲
料最省的那种
!究竟怎样的圆柱形容器用料最省呢
!
图
! #
解
!如图
! #"设容器的高为
""底面半径
为
#"表面积为
$"容积为
%"这时
%为定值
!于
是有
%$!#%"
"
及
$$%!#%&%!#"!
#
!!根据三个数的平均值不等式
"由
#得
!!!!!$$%!#%&!#"&!#"
"'
'#%!#%$%#!#"$%#!#"
槡
$
$'
'%!#!#%"$
槡
%!
$
!!将
"代入
$得
$"'
'
%!%
槡
%"
%
!!当且仅当
%#%$#"$#""
!!即
"$%#!
!!也就是高和底面直径相等时
$"%等号成立
"此时
"圆柱的表面积
$$'
'%!%
槡
%
最小
"容器用料最省
"同时可算得
#$
'%
%槡
!""$
'!%槡
! !
例
!!如图
! %"有一张边长为
&()的正方形硬纸板
!我们可
以将它的四角分别剪去一个相同的小正方形
"再将四周沿虚线折起
构成一个没有盖的纸盒
"如图
! '!自然
"我们希望知道剪去多大
的小正方形使得纸盒的容积最大
!
图
! %
!
图
! '
!
解
!设剪去的小正方形边长为
'()"那么所得盒子的容积是
%$'#&*%'$#&*%'$!
&
56
!
第
$章
!平均值不等式
!!为了消去变量
(#稍作变形
H3$
5.5(!%%!("!%%!("#
!!这时
5(#%%!(#%%!(三个数的和为常数
#于是根据三个数的
平均值不等式
#有
!!!!!!!H #$
5
5(1!%%!("1!%%!("
!
"
"
"
3$
5
!%
! "
"
"
#
!!为使
H有最大值
#须上述不等式的等号成立
#因此
#有
5(3%%!(3%%!(#
)
!!这就要求
(3%
7#即可剪去四角上边长为
%
7的小正方形再做成的
无盖纸盒容积最大
#
上面两个例子
#代表了一种解决实际问题的数学模型
#要注意
的是
#用这种方法解决问题时
#一定要检验等号是否成立
#并确定
等号成立的条件
#
图
5 5
习题
!!#
$&某工厂需制造一批容积一定的长方体铁皮箱
#问怎样才能用料最省
)
!&木梁的强度与梁宽成正比
#与梁高的平方成正比
#从圆柱形的木材截取横截面
是矩形的木梁
#问如何去截能使木梁的强度最大
)
"&如图
5 5#在一张半径是
;的圆桌的正中央上空挂一
盏电灯
#大家知道
#灯挂得太高了
#桌子边缘处的亮
度就小
%挂得太低
#桌子的边缘处仍然是不亮的
#从
物理学知道
#桌子边缘一点处的照度
7和
$的正弦成
正比
#而和这一点到光源的距离的平方成反比
#
!!即
!!73@@'($
G! #
!!这里
@是一个和灯光强度有关的常数
#那么究竟
应该怎样选择灯的高度
#才能使桌子边缘处最亮
)
#;
!
不等式选讲
阅读与思考
.个正数的平均值不等式
!!我们知道对两个正数
%!'!有
%1'
! $槡
%'!
当且仅当
%3'时等号成立
#在上一节我们又知道了
#对于三个正数
%!'!+有
%1'1+
"
$
"槡
%'+!
当且仅当
%3'3+时等号成立
#实际上
!我们已运用数学归纳法证
明了
#对于
!.个正数
%$!%!!-!%!
.!有
%$1%!1-1%!
.
!.
$
!.%$%!-%!
槡
. #
如果说
!前面的成功已给了我们极大的鼓舞
!那么现在我们渴望乘
胜追击
#对于任意
.个正数
%$!%!!-!%.!是否又有不等式
%$1%!1-1%.
.
$
.%$%!-%
槡
.
$
成立
" 这是一个非常优美的不等式
!获取它的证明无疑是大家十分
乐意接受的挑战
/
为方便起见
!记
$.3%$1%!1-1%.
.
!
:.3
.%$%!-%
槡
.!
于是
$即
$.$:.#
%
!!这是个与正整数
.有关的命题
!运用数学归纳法证明如下
#
证明
! %$&.3!时
!不等式即基本不等式显然成立
#
%!&假设
.3@时不等式成立
!那么
!因
#$
!
第
$章
!平均值不等式
$@1$3%$1%!1-1%@1%@1$
@1$
!
%$1%!1-1%@1%@1$3%@1$&$@1$!
而
%@1$&$@1$1%@%$&$@1$3!@$@1$!
所以
!!!!$@1$3%$1%!1-1%@1%@1$1%@%$&$@1$
!@
3
%$1%!1-1%@
@
1%@1$1%@%$&$@1$
@
!
#
&
!!根据归纳假设及基本不等式
!由
&得
!!!!!!$@1$$
@%$%!-%
槡
@1
@%@1$$@%$
@
槡
1$
!
$
@%$%!-%
槡
@,
@%@1$$@%$
@
槡
槡
1$!
所以
!!!!$!@
@1$$%$%!-%@%@1$$@%$
@1$#
!!化简得
!!!$@1$
@1$$%$%!-%@%@1$#
!!进而有
!!!$@1$$
@1$%$%!-%@%@
槡
1$#
根据%$&!%!&!不等式对任意正整数
. %.$!&成立
#
从上面的证明过程中
!可以看出当且仅当
%$3%!3-3%.时等
号成立
#
#!
!
不等式选讲
数学建模
洗衣服的数学
!!我们爱清洁
!衣服脏了要洗
#
我们要节约用水
!希望用一定量的水把衣服尽量洗干净
#
这就提出了数学问题
#本来嘛
!当你用数学家的眼光看周围事
物的时候
!处处都能提出数学问题
#
但是
!数学家不喜欢含含糊糊的问题
!先要把问题理清楚
!把
现实世界的问题化为纯数学的问题
!这叫作建立数学模型
#
现在衣物已打好了肥皂
!揉搓得很充分了
!再拧一拧
!当然不
可能把水完全拧干
!设衣服上还残留含有污物的水
$EF#用
!;EF
清水来漂洗
!怎样才能漂得更干净
"
如果把衣服一下放到
!;EF清水里
!那么连同衣服上那
$EF水
!
一共
!$EF水
#污物均匀分布在这
!$EF水里
!拧干后
!衣服上还有
$EF!所以污物残存量是原来的
$
!$#
通常你不会这么办
#你会把
!;EF水分两次用
!比如第一次用
#EF!使污物减少到
$
7!再用
$#EF!污物又减少到
$
7的$
$7!即
$
7M$73$
67!分两次洗
!效果好多了
#
同样分两次洗
!也可以每次用
$;EF!每次都使污物减少到原有
量的
$
$$!两次可以达到$
$!$的效果
/
要是不怕麻烦
!分四次洗呢
" 每次
#EF水
#第一次使污物减少
到原有的
$
7!四次之后
!污物减少到原有的
$
753 $
$!67!效果更佳
/
但是
!这样是不是达到最佳效果了呢
"
#"
!
第
$章
!平均值不等式
进一步问
!如果衣服上残存水量是
$&#EF或
!EF!洗衣用水量
是
"9EF!那么又该怎么洗呢
"
你会想到用字母代替数了
!这样能使问题一般化
#设衣服充分
拧干之后残存水量
IEF!其中
!含污物
1;F!漂洗用的清水
$EF#
我们把$ EF水分成. 次使用
!每次用量是%$!%!!-!
%.%EF&!经过
.次漂洗后
!衣服上还有多少污物呢
"
第一次
!把带有
1;F污物和
IEF水的衣服放到
%$EF水中
!充
分搓洗
!使
1;F污物溶解或均匀悬浮于%I1%$&EF水中
#
把污水倒掉
!衣服拧干的时候
!衣服上还残留多少污物呢
" 由
于
1;F污物均匀分布于%I1%$&EF水中
!所以衣服上残留的污物
量
1$与残留的水量
I成正比
#
1$
1;3
I
I1%$!
$
故
1$31;,
I
I1%$3
1;
$1%$
!
"
I
#
%
!!类似分析可知
!漂洗两次以后衣服上污物量
1!为
1!3 1$
$1%!
I
3
1;
$1%$
!
"
I
$1%!
!
"
I
#
&
!!而
.次洗涤之后衣服上残存污物量
1.为
1.3
1;
$1%$
!
"
I
$1%!
!
"
I - $1%.
!
"
I
#
'
有了这个公式
!也就是建立了数学模型
#下一步的问题是
#
%$&是不是把水分得越匀
!洗得越干净
"
%!&是不是洗的次数越多越干净
"
先考虑第一个问题
#对固定的洗涤次数
.如何选取
%$!%!!-!
%.!才能使
1.最小
" 也就是使
'的右端的分母最大
"
这个分母是
.个数之积
#这个
.个数之和是
$1%$
!
"
I 1 $1%!
!
"
I 1-1 $1%.
!
"
I 3.1$
I#
(
#5
!
不等式选讲
于是问题化为
#当
.个数之和为一定值
43.1$
I时
!.个数的
乘积何时最大
"
利用平均值不等式
#
.+$+!-+
槡
.#$
. %
+$1+!1-1+.&!
)
得到
$1%$
!
"
I
$1%!
!
"
I - $1%.
!
"
I # $1$
!
"
.I
.
#
*
!!这就告诉我们
!每次用水量相等的时候
!洗得最干净
!而残存
污物的量是
1;
$1$
!
"
.I
.#
+
!!这就肯定地回答了刚才的问题%$&#
是不是分成
.1$次要比
.次洗得更干净呢
" 确实是的
#又可以
用平均值不等式来证明
#对
.1$个正数
+$!+!!-!+.1$用平均值
不等式
!这里取
+$3+!3-3+.3$1$
.I!!2.1$3$#
,
!!把它们代入
)便得
$1$
!
"
.I
.
M$# .$1$
!
"
.I 1$
.
0
1
2
8
9
:
1$
.1$
-
.
/
!!!!! 3 $1
$
%.1$&
!
"
I
.1$
#
!!这表明
!把水分成
.1$次洗
!要比分成
.次洗好一些
#
那么
!如果洗上很多很多次
!那么是不是能用一定量的水把衣
服洗得要多干净就有多干净呢
"
不会的
#仍然可以用平均值不等式证明
#考虑
.1@个正数
+$!
+!!-!+.!+.1$!-!+.1@!这里
@是一个比
$
I大的正数
#再令
'3
$%$
@I!取
!!!+$3+!3-3+.3$1$
.I!+.1$3-3+.1@3'#
##
!
第
$章
!平均值不等式
!!于是
!把它们代入平均值不等式
)以后得到
$1$
!
"
.@
.
,'.# .$1$
!
"
.I 1@'
.1
0
1
2
8
9
:
@
.1@
3$!
-
.
0
!!也就是
$1$
!
"
.@
.
#$
'.3
@
@%$
1
2
9
:
I
@
#
-
.
1
因为取
@是任一个大于
$
I的整数时
!不等式
-
.
1都对
!所以不妨
取个
@使
-
.
1变得清楚一些
!具体地
!用
$'表示不小于
!$
I 的最小整
数
#取
@3$'!则因
@$!$
I !可知@
@%$
I
#!!于是由
-
.
1便得
$1$
!
"
.I
.
#!$
' #
-
.
2
!!例如
!当
$
I3$时
!$'3!!-
.
2的右边是
5'当
$
I3"&#时
!$'
39!-
.
2右边是
$!8'当
$
I3$&9时
!$'35!-
.
2的右边是
$7#
总之
!$
I越大
!洗得越干净
!这是我们意料之中的事
#但有个
限度
#按
-
.
2可知
!用
!;EF水洗
!又设衣服拧干后仍有
$EF水
!则
不论怎么洗
!污物不会比原有的
$
!5;更少
/
从上面分析的过程看出
!用数学方法研究实际问题
!常常是这
样做
#
$&选择有实际意义的问题
'
!&建立数学模型
!把实际问题化成数学问题
'
"&找寻适当的数学工具来解决问题
000这里用的工具是$平均
值不等式
('
5&把数学上的答案拿到实际中去运用
.检验
#
其实
!数学模型和实际情形常常有不一致之处
#比如
!我们假
设在每天漂洗的时候
!污物能均匀分布在水里
!这就很难办到
#另
#7
!
不等式选讲
外
!我们只考虑到节约用水
!还没有考虑到节约宝贵的时间
#多洗
几次固然省水
!可又多用了时间
!怎么办
" 算出来
!.越大越好
!
但洗的次数太多
!衣服又会洗破
#所以
!实际上分三四次漂洗也就
足够了
#如果把时间耗费
.衣服磨损再考虑进去
!那就是一个新的
更复杂的数学模型了
#
柯西不等式、排序不等式、贝努
利不等式都是很重要的不等式，在许
多领域中都能看到它们的影子．本章将
讨论这三个重要不等式的背景、证明
和简单应用．
第
章
三个重要不等式
５
#8
!
不等式选讲
!!证明柯西不等式
$
!%$'$1%!'!"
!#!%!
$1%!
!"!
'!
$1'!
!"#
!!证明
$!我们将同一长方形
进行不同的分割
!与勾股定理证
明有类似之处
"#如图
# !#
!,"
!K"
图
# !
4图
!,"阴影3,%$,,%!,1,'$,,'!,#
'"!!柯西不等式
任取四个实数
%$#%!#'$#'!#以它们为坐标可以构造两向量
"
;
图
# $
!
3!%$#%!"##
;
3!'$#'!"#其中
%$#%!#'$#'! 为非零实数
#如
图
# $所示
#"
;##
;的夹角
$满足
!!G=@$3 "
;.#
;
,"
;
<#
;
,
#
即
!!!G=@$3
%$'$1%!'!
%!
$1%!
槡
! '!
$1'!
槡
!
#
!!由
G=@!$#$可以得出不等式
G=@!$3
!%$'$1%!'!"
!
!%!
$1%!
!"!
'!
$1'!
!"#$#
即
!%$'$1%!'!"
!#!%!
$1%!
!"!
'!
$1'!
!"#
$
其中等号成立的条件是
G=@!$3$#即
$3;或
!#也就是说
"
;与
#
;
平行
#坐标
!%$#
%!"与
!
'$#'!"成比例
#其中一个是另一个的实数倍
#即
%D3%'D!
D3$#!"时等号成立
#
函数的性质往往是我们证明不等式的重要依据
#以下我们利用
二次函数性质证明
$式
#
我们知道二次函数
0!("3!%!
$1%!
!"(!1!!%$'$1%!'!"(1!
'!
$1'!
!"
%
的判别式
!!!!335!%$'$1%!'!"
!%5!%!
$1%!
!"!
'!
$1'!
!"
35'!%$'$1%!'!"
!%!%!
$1%!
!"!
'!
$1'!
!"(#
!!欲证
$式
#即证明
3#;#这对二次函数
0!("来说
#也就是
0!("$;
恒成立
#事实确实如此
* 这是因为对任意实数
(#有
#6
!
第
%章
!三个重要不等式
!!!!0!("3!%!
$(!1!%$'$(1'!
$"1!%!
!(!1!%!'!(1'!
!"
3!%$(1'$"
!1!%!(1'!"
!$;#
4图
!K"阴影
3$
!,%$,,%!,1$
!,'$,,'!,1
!$
!,'$,,'!,1$
!,%$,,%!,
3,%$,,%!,1,'$,,'!,#
从而图
!,"与图
!K"中非阴影部
分面积也相等
C
即
!!,%$,,'$,1,%!,,'!,
3
,%$,!1,%!,
槡
!.
,'$,!1,'!,
槡
!.@'($#
于是
!,%$'$1%!'!,#
,%$,,'$,1,%!,,'!,#
,%$,!1,%!,
槡
!. ,'$,!1,'!,
槡
!#
即
!!%$'$1%!'!"
!#
!%!
$1%!
!"!
'!
$1'!
!"#
!!证明
!!如图
# "#很明显
4图
!G"#4图
!:"#
!G"
!:"
图
# "
即
!!,%$,1,'!,"!,%!,1,'$,"#
! $
!,%$,,%!,1$
!,'$,,'!
!
"
, 1
%!
$1%!
槡
!. '!
$1'!
槡
!#
展开
#整理得
$
,%$,,'$,1,%!,,'!,#
%!
$1%!
槡
!. '!
$1'!
槡
!#
D!,%$'$1%!'!,#
,%$'$,1,%!'!,#
%!
$1%!
槡
!. '!
$1'!
槡
!#
即
!!%$'$1%!'!"
!#
!%!
$1%!
!"!
'!
$1'!
!"#
当且仅当
'D3%%D !
D3$#!"时等号成立
#
上述方法不仅新颖
#而且显而易见可将不等式
$推广到一般情形
$
设有非零实数组
%$#%!#+#%.及
'$#'!#+#'.#则
!!!
%$'$1%!'!1+1%.'."
!#!
%!
$1%!
!1+1%!
."!
'!
$1'!
!1+1'!
."#
&
当且仅当
'D3%%D !
D3$#!#+#."时等号成立
#
证明
'!设二次函数
!!0%(&3%
%!
$1%!
!1-1%!
.&(!1!%
%$'$1%!'!1-1%.'.&(1
!%
'!
$1'!
!1-1'!
.&!
因
%!
$1%!
!1-1%!
.%;!
且对任意实数
(
0%(&3%%$(1'$&
!1%%!(1'!&
!1-1%%.(1'.&
!$;!
'
故其判别式
5%
%$'$1%!'!1-1%.'.&
!%5%
%!
$1%!
!1-1%!
.&%
'!
$1'!
!1-1'!
.&#;#
化简即得
&式
#
从
'可看出
!当且仅当
(3%'$
%$3%'!
%!3-3%'.
%.!
也就是
'D3%%D %
D3$!!!-!.&时等号成立
#
不等式
$#&称为柯西不等式
!A,+GI/'()*+,-'./"#它有着广泛
的应用
#
例
!!用柯西不等式证明
$
%'1'+1+-1-%#%!1'!1+!1-!#
证明
!取两组数
%#'#+#-%
'#+#-#%#
则由柯西不等式有
' 此证明不作教学要求
#我们用仿宋体字排出
C
7;
!
不等式选讲
!%'1'+1+-1-%"
!#!%!1'!1+!1-!"!
'!1+!1-!1%!"#
即
!%'1'+1+-1-%"
!#!%!1'!1+!1-!"
!#
J!%!1'!1+!1-!$;#
D!%'1'+1+-1-%#%!1'!1+!1-!#
例
#!已知
%$#%!#+#%.都是实数
#求证
$
!%$1%!1+1%."
!#.!%!
$1%!
!1+1%!
."#
证明
!对于两组数
$
!!!$#$#+#$%
!!!%$#%!#+#%.#
运用柯西不等式
#有
!$.%$1$.%!1+1$.%."
!#!$!1$!1+1$!"!
%!
$1%!
!1+1%!
."#
!!化简即得欲证之不等式
#当且仅当
%$3%!3+3%.时等号成立
#
例
$!已知
(#,为实数
#且满足
"(!1!,
!#7#求证
$
!(1,#槡
$$#
证明
!根据柯西不等式
#有
!槡
"
.槡
"(1$槡
!
.槡
!,
!
'
#
!槡
"
!
1 $槡
!
!(
!'!槡
"("
!1!槡
!,"
!(#
!!化简
#有
!!(1,"
!#$$
7 !"(!1!,
!"#
J!"(!1!,
!#7#
D!!!(1,"
!#$$#
D!!(1,#槡
$$#
!!例
&!证明柯西不等式的向量形式
$
设
"
;##
;为平面上的两个向量
#则
,"
;
,,#
;
,$,"
;.#
;
,#
(
证明
!如图
# $#设
"
;#
#
;的夹角为
$#则
G=@$3 "
;.#
;
,"
;
,,#
;
,
#
7$
!
第
%章
!三个重要不等式
由
,G=@$,#$得
,"
;.#
;
,
,"
;
,,#
;
,
#$#
D!,"
;
,,#
;
,$,"
;.#
;
,#
等号成立当且仅当
,G=@$,3$#即
$3;或
&#也就是说向量
"
;##
;
共线
#
若取
"
;
3!%$#%!"#
#
;
3!
'$#'!"#则
(即为柯西不等式
$#
习题
!!$
$&已知
%!
$1%!
!1+1%!
.3$#(!
$1(!
!1+1(!
.3$#求证
$
%$($1%!(!1+1%.(.#$#
!&已知
(#,#>为正数
#(1,1>3$#求证
$
!!(!1,
!1>!$$
"#
"&已知
%!1'!3$#求证
$,%G=@"1'@'(",#$#
5&已知
(D$; !
D3$#!#+#."#求证
$
!($1(!1+1(."!("
$1("
!1+1("
.
槡
"$(!
$1(!
!1+1(!
.#
#&设
%$#%!#+#%.为正实数
#运用柯西不等式证明
$
%!
$1%!
!1+1%!
.
槡.
$%$1%!1+1%.
.
$
.
$
%$1$
%!1+1$
%.
#
7&已知实数
%#'#+#-满足
%1'1+1-3"#
%!1!'!1"+!17-!3##
求证
$$#%#!#
'"#!排序不等式
某班同学举行新年谜语竞猜比赛
#需要购买价格不同的奖品
5
7!
!
不等式选讲
件
&#件及
7件
#现在选购超市中单价为
$元
&!元和
"元的奖品
#
问最少要花多少钱
) 最多要花多少钱
)
不妨先猜一猜
#凭直觉可以想到
#最便宜
!单价
$元
"的奖品买最
多的件数
!7件
"#最贵
!单价
"元
"的奖品买最少的件数
!5件
"#应是
花钱最少的
#于是我们猜测最少花
$M71!M#1"M53!8 !元
"#
最便宜
!单价
$元
"的奖品买最少的件数
!5件
"#最贵
!单价
"元
"
的奖品买最多的件数
!7件
"#于是最多花
!!先用具体数字反复
实验
#而后引出定理
#
这是数学家在探索新定
理时经常使用的方法
#
$M51!M#1"M73"! !元
"#
为了证明上述猜测
#把所有情形列举出来
#可以得到
7种组合
$
$M51!M#1"M73"!#!$M51!M71"M#3"$#
$M#1!M51"M73"$#!$M#1!M71"M53!6#
$M71!M51"M#3!6#!$M71!M#1"M53!8#
比较得
$$M51!M#1"M73"!最大
#$M71!M#1"M53!8
最小
#
让我们进一步考虑两个三元数组0%$#%!#%"1# 0
'$#'!#'"1#
是否也有类似的结论
#也就是说
#设有两组从小到大排列的数
%$#%!#%"#
'$#'!#'"#
那么
!!%$'*
$1%!'*
!1%"'*
"!乱序和
"#%$'$1%!'!1%"'"!同序和
"#
$
!!!!%$'"1%!'!1%"'$!反序和
"#%$'*$1%!'*!1%"'*"!乱序和
" %
是否成立
) 这里
0
*$#*!#*"130$#!#"1#
我们先证不等式
$#
!$"若
'*"3'"#只需证
%$'!1%!'$#%$'$1%!'!#
&
因为
!%$#%!#'$#'!#
所以
!%!%%$$;#'!%'$$;#
!!将上面两式相乘可得
!%!%%$"!
'!%'$"$;#
!!即
%$'!1%!'$#%$'$1%!'!#
!!&式告诉我们
#对
于两个二元数组0%$#
%!1#0
'$#'!1#计算两
两配对乘积之和
#不同
序所得的和不大于同序
所得的和
#
7"
!
第
%章
!三个重要不等式
!!"若
'*" )'"#则分两步进行
#首先
#设
'*
D 3'" !
D3$或
!"#
交换
'*
D与
'*"位置
#根据
&可知
%D'*
D1%"'*"3%D'"1%"'*"#%D'*"1%"'"#
!!因此
#下一步只需证明
%D'*"1%E'*
E#%$'$1%!'!#
!!其中
0%D#%E130%$#%!1#0
'*"#'*
E130
'$#'!1#上式正是
&式
#因
此
$式成立
#
回顾上述做法
#就好比将一群刚入学的小朋友按由矮到高进行
排队
#有经验的老师总是先只要求小朋友们随意地站成一列!这容
易做到
"#然后再由老师将不合要求的某两个人的位置对换
#这样一
步步地经过若干次调整即可使队伍达到要求
#整个过程既容易进行
又井井有条
#
现在再证不等式
%#
因为
!'$#'!#'"#
所以
!%'"#%'!#%'$#
根据
$有
%$!%'*
$"1%!!%'*
!"1%"!%'*
""#%$!%'""1%!!%'!"1%"!%'$"#
故
%$'"1%!'!1%"'$#%$'*$1%!'*!1%"'*"#
不难想到
#运用上面的方法
#同样可以证明
$对于两个
.元数
组0%$#%!#+#%.1#0
'$#'!#+#'.1#如果
%$#%!#+#%.#
'$#'!#+#'.#
!!那么有
!%$'*$1%!'*!1+1%.'*
.#%$'$1%!'!1+1%.'.#
'
!!!!!!%$'.1%!'.%$1+1%.'$#%$'*
$1%!'*!1+1%.'*
.#
(
!!这里
0
*$#*!#+#*.130$#!#+#.1#
事实上
#若
'*
D3'.!
*
D"."#那么
#根据
$又有
%$'*$1%!'*!1+1%D'*
D1+1%.'*
.#
%$'*$1%!'*!1+1%D'*
.1+1%.'.#
!!又若
'*
E3'.%$!
*E".%$"#那么
#根据
$又有
75
!
不等式选讲
%$'*$1%!'*!1+1%E'*
E1+1%.'*
.#
%$'*$1%!'*!1+1%E'*
.%$1+1%.%$'.%$1%.'.#
!!继续下去
#即可得
'式
#
因
'$#'!#+#'.#
故
%'.#%'.%$#+#%'$#
!!根据
&我们又有
%$!%'*$"1%!!%'*!"1+1%.!%'*
."#
%$!%'."1%!!%'.%$"1+1%.!%'."#
!!两边同除以
%$#即得
(式
#
综合
'#(#我们得到以下重要不等式
$
设有两组数
%$#%!#+#%.%'$#'!#+#'.满足
!!!!!!!!%$#%!#+#%.#
!!!!!!!!'$#'!#+#'.#
!!则有
!!!!!%$'.1%!'.%$1+1%.'$#!!!!反序和
"
!!!!!%$'*$1%!'*!1+1%.'*
.#
!乱序和
"
!!!!!%$'$1%!'!1+1%.'.#
!同序和
"
!!其中
0
*$#*!#+#*.130$#!#+#.1#
上述不等式即为排序不等式
#也可简述为
!!!!!!反序和
#乱序和
#同序和
#
例
!!已知
%#'#+为正数
#求证
$
'!+!1+!%!1%!'!
%1'1+
$%'+#
证明
!根据所证不等式中
%#'#+的,地位
-的对称性
#不妨设
%$'$+#则
$
%#$
'#$
+#!'+#+%#%'#
由排序不等式
$同序和
$乱序和
!!得
'+
%1+%
' 1%'
+ $'+
+1+%
% 1%'
' #
!!即两边同乘
%'+%;#得
7#
!
第
%章
!三个重要不等式
'!+!1+!%!1%!'!$%'+!%1'1+"#
又
!!!!!%1'1+%;#
所以
!!!!'!+!1+!%!1%!'!
%1'1+
$%'+#
例
#!设集合0%$#%!#+#%.13 0$#!#+#.1#求证
$
!!!!$
!1!
"1+1.%$
. #%$
%!1%!
%"1+1%.%$
%. #
证明
!将
%$#%!#+#%.%$自小到大排序
#不妨设为
!!!!!!$#+$"+!"+"+.%$#.#
又将
%!#%"#+#%.自小到大排序
#有
!!!!!!$#'$"'!"+"'.%$#.#
!!由此可得
!!!!!!$$$
'$%$
'!%+% $
'.%$$$
.#
根据排序不等式
#有
!%$
%!1%!
%"1+1%.%$
%.
$+$.$
'$1+!.$
'!1+1+.%$. $
'.%$
$$.$
!1!.$
"1+1!.%$".$
.
3$
!1!
"1+1.%$
. #
与上一节运用柯西不等式相类似
#运用排序不等式首先在于能
根据需要确定两组数
%$#%!#+#%.与
'$#'!#+#'.#
例
$!设有
$;人各拿一个提桶同到水龙头前打水
#设水龙头注
满第
D !
D3$#!#+#$;"个人的提桶需时
?DH'(#假定这些
?D各
不相同
#问
$
当只有一个水龙头可用时
#应如何安排这
$;个人的次序
#使他
们的总的花费时间!包括个人自己接水所花的时间
"最少
) 这时间
等于多少
) !需证明你的论断
#"
解
!假若水桶按
D$#D!#+#D$;顺序打水
#那么总共所需时间为
77
!
不等式选讲
!!0!
*"3?D$1!?D$1?D!"1+1!?D$1?D!1+1?D$;"
3$;?D$16?D!1+1!?D61?D$;#
不妨设
?$"?!"+"?$;#那么
#根据排序不等式
#有
!!!!!!0!
*"$$;?$16?!1+1?$;#
所花最少时间为
$;?$16?!1+1?$;#按照注满提桶花时少的
在前面的原则安排这
$;个人的次序
#
探究题
!当有两个水龙头可用时
#应如何安排这
$;个人的次序
#
使他们的总的花费时间为最少
) 这时间等于多少
) !需证明你的
论断
#"
习题
!!&
$&设
%$#%!#+#%.为实数
#用排序不等式证明
$
%$+$1%!+!1+1%.+.#%!
$1%!
!1+1%!
.#
其中
+$#+!#+#+.为
%$#%!#+#%.的任一排列
#
!&设
+$#+!#+#+.为正整数组
%$#%!#+#%.的某一排列
#则
%$
+$1%!
+!1+1%.
+.$.#
"&设
(D为正数!
D3$#!#+#."#求证
$
(#
$
("
!1(#
!
("
"1+1(#
.%$
("
. 1(#
.
("
$$(#%"
$ 1(#%"
! 1+1(#%"
.
#
5&已知
%$#%!#%"为两两不等的正整数
#求证
$
%$1%!
!!1%"
"!$$1$
!1$
"#
#&已知
%$#%!#+#%.为两两不等的正整数
#求证
$对于任意正整数
.#不等式
%$1%!
!!1%"
"!1+1%.
.!$$1$
!1+1$
.成立
#
7&证明车比雪夫不等式
$若
%$#%!#+#%.#
'$#'!#+#'.#
则
!%$'$1%!'!1+1%.'.
.
$%$1%!1+1%.
.
.'$1'!1+1'.
.
#
79
!
第
%章
!三个重要不等式
'"$!贝努利不等式
我们已学过二项式定理
#根据二项式定理易知
#当
(%;#.为
正整数时
#有
!$1("
.$$1.(#
$
其实
#当
(%%$时
#不等式
$仍然成立
#这一点我们不难用数
学归纳法给予证明
#
!$".3$时
#不等式
$显然成立
#
!!"假设
.3@时不等式
$成立
#因
(%%$#可得
(1$%;#则
!!!!!!$1("
@1$3!$1("
@!$1("
$!$1@("!$1("
3$1!
@1$"(1@(!
$$1!
@1$"(#
!!.3@1$时不等式
$也成立
#
根据!$"# !!"可知对任何正整数
.#当
(%%$时
#不等式
$
成立
#
我们称不等式
!$1("
.$$1.(!(%%$"
%
为贝努利不等式!Q)>(=+--''()*+,-'./"#
例
!已知
%%+%-%'%;#%1'3+1-#.为大于
$的正整数
#
求证
$
%.1'.%+.1-.#
证明
!设
%3+1'#'3-%'#则
(%;#于是
!!%.1'."%!
+.1-."
3!
+1'"
.1!-%'"
.%!
+.1-."
3+. $1'
!
"
+
.
1-. $%'
!
"
-
.
%!
+.1-."#
&
根据贝努利不等式
#有
78
!
不等式选讲
$1'
!
"
+
.
$$1..'
+#
'
$%'
!
"
-
.
$$%..'
-#
(
由
&#'#(可得
!!%.1'."%!
+.1-."
$+. $1..'
!
"
+ 1-. $%..'
!
"
- %!
+.1-."
3!
+.%$%-.%$".'
%;#
!!D!%.1'.%+.1-.#
76
!
第
%章
!三个重要不等式
数学建模
增设汽油中转站
!!$地生产汽油
!&地需要汽油
!一辆满载汽油的
)型运油汽车往
返
$至
&地刚好耗尽其所运汽油
#因此
!需要在
$!&两地间增设一
些汽油中转站
#
若规定运油率
3 &地获油量
$地运出油量
!那么欲使运油率
%达到
";N!途
中需设多少个中转站
"
设从
$地到
& 地顺次增设
.个中转站
2$!2!!-!2.!2D到
2D1$
%
D3;!$!!!-!
.!且
2;3$!2.1$3&&的路程为
)D1$!且
)$1)!1-1).1$3$#
又设
)型运油车满载时所运油量为
$!则该车每单位路程的耗油
量为
$
!%因为汽车往返一次所有路程为
!!恰好耗油
$&#
再设从
$地运出
%单位汽油
%可保证有油运至
&地
&!由汽车的运
油量为
$可知
!相当于
%辆汽车从
$地出发运油至
2$!从而
2$处所获
油量为
!!!!,$3%%%,!)$,$
!3%%$%)$&#
又相当于有
%%$%)$&辆汽车从
2$处出发运油至
2!!从而
2!处
所获油量
!!!!,! 3%%$%)$&%%%$%)$&,!)!,$
!
3%%$%)$&%$%)!&#
!!依次类推
!可得
&地所获油量为
,.1$3%%$%)$&%$%)!&-%$%).1$&#
!!从而运油率
9;
!
不等式选讲
!!!!%3%%$%)$&%$%)!&-%$%).1$&
%
3%$%)$&%$%)!&-%$%).1$&
# %$%)$&1%$%)!&1-1%$%).1$&
.
'
(
1$
.1$
3
.
.
!
"
1$
.1$
3 $1$
!
"
.
%%.1$&
#
当且仅当
)$3)!3-3).1$3 .
.1$时取等号
#
所以
!最大运油率为
%H,R3 $1$
!
"
.
%%.1$&
#
设
!$
(.3 $1$
!
"
.
%%.1$&
!则
!!!!!!(.1$
(. 3
$1 $
.
!
"
1$
.1!
$1$
!
"
.
.1$
3
$1 $
.
!
"
1$
.1!
$1$
!
"
.
.1! ,.1$
.
3 .%.1!&
%.1$&
'
(
!
.1!
,.1$
.
3
$
$1
$
.%.1!
4
5
6
7
&
.1!
,.1$
.
3
$
$1
$
.%.1!
'
(
&
.1!,.1$
. #
$
根据贝努利不等式
!有
!! $1
$
.%.1!
'
(
&
.1!
%$1%.1!&,
$
.%.1!&3.1$
. #
%
由
$!%可得
(.1$
(. " $
.1$
.
,.1$
. 3$#
所以
$
(.1$%$
(.#
9$
!
第
%章
!三个重要不等式
!!表明数列$
(
0 1
. 是递增数列
!从而
%H,R随
.的增大而增大
#
.3$时
!%H,R3$
5"";N'
.3!时
!%H,R3! "
"
!
%"
38
!9"";N'
.3"时
!%H,R3! "
5
"
%5
38$
!#7%";N#
所以
!至少应设置
"个运油中转站
#
9!
!
================
课程总结报告参考题
完成一个学习总结报告
#在班上交流
#报告应包括以下三方面
的内容
$
!$"知识的总结
#对本专题所介绍的不等式中蕴涵的数学思想
方法和数学背景进行总结
#
!!"拓展
#通过查阅资料
&调查研究
&访问求教
&合作交流
&
独立思考
#进一步探讨不等式的应用
#
!""自己对不等式学习的感受
#
9"
!
附
!录
附
!录
===============
数学词汇中英文对照表
!按词汇所在页码先后排序
"
中文名
!!!!!!!!!英
!文
!名
!!!!!!!!!页
!码
不等式
'()*+,-'./
!
比较法
G=H4,>'@=(H).I=:
9
算术平均
,>'.IH).'GH),(
$;
几何平均
F)=H).>'GH),(
$;
基本不等式
K,@'G'()*+,-'.')@
$;
分析法
,(,-/@'@H).I=:
$8
综合法
@/(.I)@'@H).I=:
$6
反证法
>):+G.'=(.=,K@+>:.'./
!!
绝对值
,K@=-+.)O,-+)
!7
数学归纳法
H,.I)H,.'G,-'(:+G.'=(
"8
柯西不等式
A,+GI/'()*+,-'./
#6
贝努利不等式
Q)>(=+--''()*+,-'./
79
