~
选择题篇答案解析
1. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查椭圆的基本性质及数形结合思想
由题意可作出大致图如下:
0
P
虚
＼义1
c）
由题可知2‘＝2（÷“—‘）’得离心率‘一-丛
α
4
故本题正确答案为C.
2. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查椭圆的方程的计算.
设直线为l.
法—:若直线』的斜率为0,则AB中点为原点,而AB的中点坐标为（1,-1）’故直线』的斜率不为0.设A（Z1 ,J1）,
／工≡加y＋3,
＂《…联…′;堑ˉ…,｛兰—止～｜消去坷得（藤濒…γ艘／｜‘枷雕y≡,〃—“衫-α
（α2｜b2
二,
6m62
「yl＋’2＝-2＝—62加2＋α2 ,
Ⅷ…｛露』＋趣≡蜒…:）＋』—卜3≡…酗＋嗡＿』哪＋‘—3
2
2
所以狮＝2,α2＝2b2’所以‘2＝α:＿62＝0凰＝32＝9,所以α2＝62＋c圈＝l8所以所求椭圆方程为荒＋十＝1
法二:若直线′的斜率为0’则AB中点为原点,而AB的中点坐标为（1,-1）’故直线′的斜率不为0。设A（工1 ’y1）,
B（堑: 》y:）,!;烫＝′鹏y＋3,因为F（3,0）’AB的中点坐标为（l’—1）』所以咖＝0旱｜》＝2,“』-2b』’所以‘凰＝α』—b』-b:＝3』
~
早
＝9,所以α2＝b2＋‘:＝1a所以所求椭圆方程为荒＋÷-］
故本题正确答案为D°
3。［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中抛物线的综合应甩
设八（…l）,B（雾…）,囚为F是抛物线测:＝3蟹的焦点’则F（÷,0）’直线的倾斜角是3＂.’设直线方程为’＝
『an30.（露—÷）—?（露—:）,代人抛物线方樱）′-3露得到÷（膊÷）』-趣,即费÷襄＋荒—0,配方褥剩
（鞭—芋）』-27,贝‖襄l-3侗＋等,靴ˉ 3侗＋子,所以’l-:＋乎皱』—3＋竿则s…-÷×÷（γ!—y』）—÷
故本题正确答案为D。
·
1
.
~
~
~
~
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4° ［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆与方程’圆锥曲线与方程.
如下图可知,椭圆与圆不相交’且圆外任意一点到圆的最大距离为这个点到圆心的距离与半径之和,因此从椭圆上任
肋＿占∧（7ˉ｀′）ˉ∧到｜同的昌＊阳惠为d＝＾／（沪—0）2＋（v—6）2＋√面＝√工2＋（γ—6）2＋√百,因为A（工,J）在椭圆上,
取＿点A（工,J）,A到圆的最大距离为〃＝√（Z—0）2＋（y—6）2＋√〗＝√工2＋（Ⅳ—6）』
所以工2＝1（）—10〕2 ’所以α＝√10—10y2＋（J—6）2＋√可＝√-9y2
12y＋46＋√百＝
以αm鼠x≡√而＋√百＝6√百.
√ˉ9（叶÷）』十50
~
~
＋√百,所
y
B
行
‖
＼
6）2＝2
勿2
—＋广＝1
义一一
＼～＿2
故本题正确答案为D
5° ［答案］
D
［解析］
本题主要考查抛物线的基本性质.
抛物线C的准线方程为;工＝—÷’故＿÷＝—2,则户＝4,抛物线方程为γ2＝8工.设过点A（—2,3）的切线斜率为陶,
贝‖切线力程为删—3ˉ隐（甄＋2）’与抛物线力程γ′-8顽联立』消去r得;÷fˉy←2陶-3＝0,故△-1—4.÷（2隐←
3）＝0,则废＝＋或隐-—2（舍去）此时γ2—16’＋64-0,则γ＝8,堑-8,故B（8,8）,焦点F坐标为（2,0）,故直线BF
的斜率为隐凰F＝黑ˉ÷
故本题正确答案为D。
6. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的基本定义以及简单性质.
抛物线y2≡16工的准线为工＝—4’又双曲线与抛物线准线交于A、B两点,故可知A、B两点坐标,不妨设A（—4,
2侗j.B（—4,ˉ2佃,设等输双曲线C的方程为;苦＿÷≡M.＞0）.将＾点峨标代人方程,即』鉴—紫≡÷≡L又
由于α＞0’故α≡2,则双曲线的实轴长为4°
故本题正确答案为C°
~~
2
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7。［答案］
B
［解析］
本题主要考查对双曲线的理解.
由题意知,双曲线子斋≡』的左焦点F的坐标为（—4,（））.设双曲线的有焦点为B则阀（4,0）,由双陶线的定义知
｜PF｜＋PA｜＝4＋｜PB｜＋｜PA｜≥4＋｜AB｜＝4＋√（4
1）2＋（0-4）2＝4＋5＝9,当且仅当A,P,B三点共线且
P在A,B之间时取等号.
所以｜PF｜＋PA的最小值为9.
故本题正确答案为B.
8. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线和抛物线的概念
双曲线的离心率‘≡÷-√l＋紧＝2.腑以‘』＝:感, .所以双曲线的渐近线的方程为;测＝｜÷蜒-二√酚抛物线的焦
÷｜
点为（0’÷）焦点到渐近线的距离剧＝
ˉ
√1＋（√百）』＝÷＝2,所以′ˉ8,所以抛物线C』的方程为鞭』-16γ
故本题正确答案为D.
9. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查双曲线的性质以及运用余弦定理解三角形。
因为PF1 ｜-｜PF2 ｜＝｜PF2 ｜＝2α≡2,即PF2 ｜＝2, ｜PFl ｜≡4,且｜FlF2 ｜＝2√∑在△PF］F2中,运用余弦定理有
cos丝FlpF2＝｜PFl 2＋｜PF2
｜2
｜FlF2
｜2
42＋22-（2√百）2
3
2×｜PF1
｜
· ｜PF2
2×4×2
＝4
.
故本题正确答案为B.
10. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线中的几何关系
对于A（感.0）侧直线〃程为堑＋’ˉα-0,直线与两渐近线的交点为B,C,则不妨设B（毙.器）
C（盖,—肖）则有瓦ˉ（舞＼捣
故本题正确答案为C。
~~＞
β
～
∧
）
〗
″
γ
口
｜
厂
α
~
一
α
’
『
〃
『
○
｜
十
α
α
／
′
｜
＼
ˉ-＞
--＞
因为2AB≡BC,故4α2＝b2 ,所以离心率e≡√百
）
11。［答案］
D
［解析］
本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程以及椭圆性质的应用.
由双曲线方程知两渐近线方程为y≡±工,即四边形两对角线互相垂直,设其中的-个交点为（加,加）（m＞0）,则由椭
圆的对称性可知,其余交点分别为（
加,—m）、（加,-加）、（
加,加）,即该四边形为正方形·据题意可得,4′帅2＝16,解
得哪≡2却点（2,2）在椭圆k,代人椭阀方程得÷＋÷-｜·又撼椭阀离心率＝√｜—÷—粤.两式联丽得簇≡‘,
2
2
α2＝20,故椭圆方程为六—＋÷＝L
故本题正确答案为D·
∩
D
·
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12. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查直线与抛物线的解析以及曲线方程的计算.
由抛物线的性质“抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离”9抛物线C的焦点为（2’（））,准线方程为工≡-2’设
″2（工2＋2）＝工1＋2,
2y2＝y1
,
A、B为（工l ’yl）,（工2 ,J2）,根据｜FA｜＝2｜FB｜和三角形中位线定理得≤｜
解得A（4,4√百）、B（1,
y｛＝8工l ,
｀y;＝8工2
,
2徊》,代人直线得虑≡乎
M
Ⅳ「—
P（—2o）｜／
／
＾‖
卯
F（2’0）
故本题正确答案为D
［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆中的离心率的计算°
因为厕O与直线BF相切.所以圆O的半径为晋,即OC＝铲,因为四边形FAMN是平行四边形,所以点M的坐标
为（宁.铲）.代人椭圆方程得（α蒜）』＋舞≡l,所以5‘』＋2.—3＝0,又0＜‘＜!｀所以＝÷放选A
13
14° ［答案］
A
［解析］
本题主要考查圆锥曲线和三角函数。
由已知,点B和点A关于原点对称’则点B也在椭圆上设椭圆的左焦点为F′ 9则根据椭圆定义有; ｜AF｜＋｜AF′ ｜＝
2α,根据椭圆对称性可知: ｜AF′ ｜＝｜BF｜,因此｜AF｜＋｜BF｜＝2αO;
因为AF上BF,则在Rt△ABF中’O为斜边AB的中点’则AB｜＝2OF＝2c’那么｜AF｜＝2‘sinα@, ｜BF｜＝2ccosαO;
将o、◎代人o得,2…＋2…≡2α侧离心…-二≡
1
≡
』
、因为°e［÷.÷］.＋
α
｀jno＋c。sα
√mn（°＋÷）
÷匡［晋｀÷］,蓟n晋≡m（÷十÷）≡十×乎＋粤×乎＝√『壬√z所以;m（.＋÷）层［√百芒√霄·l］则
尸~～
司
′e［等√了ˉl」
故本题正确答案为A.
了肆了豁←＝7ˉ了一丁丁ˉ｛
!.牢…「.丫…丁幸了.『孽帮
p
｝
~【
｜
0
↑
畦!砒
。
4
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15° ［答案］
B
［解析］
本题主要考查圆锥曲线和圆的方程
圆Cl ,C2的圆心坐标分别为（-c,0）和（c,0）,半径均为c,满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如下图所示,
γ
b
则可知要使圆Cl ’C2都在椭圆内,则需满足不等式2c≤α,所以离心率0＜e＝ˉ三≤上
α
2
故本题正确答案为B°
16. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查抛物线和外接圆的性质
如图:
y
B｜ˉˉˉˉ
Ⅳ
…
〃
‖
‖
八
○
∧
勿
抛物线的准线方程为z＝—÷’焦点为F（:,0）由丁三角形的外接圆圆心是三条边垂直平分线的交点’则圆心在
篮-÷上由于外接圆与准线相切｀则半径等于圆心到准线的距离.即′＝÷—（÷）-芋再由外接圆的面积
冗厂2＝9冗解得:厂＝3,故户＝4·
故本题正确答案为B°
17。［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中双曲线的定义和性质.
由于△FlPF2的三条边成等差数列,最长边长为2‘,由双曲线的定义可知,
｜｜PFl ｜-｜PF2
｜｜＝2α,所以三条边长
分别为2c-4α’2C-2α,2C,又P,Fl ,F2在圆上且FlF2为直径,直径所对的圆周角为直角,所以（2C
4α）2＋（2C-
2α）2＝（2c）2 ,整理得c2-6rα＋5α2＝0’两边同时除以α2得,e2-6e＋5＝0,解得e＝5或e＝1（舍去）。
故本题正确答案为D.
·
5
·
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l8。［答案］
A
［解析］
本题主要考查抛物线的性质.
j∩图.…腮比等于器≡器—兰,由｜BF｜≡｜BE｜-荚＂＋÷＝2.得甄凰＝;所以B（÷·
工A｜2
线BM的h程为醚-点（寥—侗』,与』→联立解褥A点坐标为…』,于是代人得器-÷
侗）,所以直
y
D
勿
E
故本题正确答案为A
l9. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆锥曲线和直线方程。
由题意得渐近线万程为y-二÷延,杰妨设γ＝÷堑｀联立代人抛物线得x:÷r＋l＝0,贝‖△ˉ（÷）:
4＝0’因此
b＝2α,C≡√品.所以离心率为√豆
故本题正确答案为D。
20。［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线的性质.
由双曲线方程可得c2≡3＋1＝4,则F2的横坐标为2,所以直线PQ垂直于工轴’所以将工＝2代入双曲线方程得
γ』-÷,故｜PF: ｜≡粤. ｜PQ≡孪因为｜PF｜≡QF｜≡｜PF』＋2侗-粤＋2侗≡竿,所以△PF＂Q的周长
为孪×2＋竿ˉl竿
9
故本题正确答案为A
21。［答案］
B
［解析］
本题主要考查双曲线的性质及二次函数的性质与计算。
由F（ˉ2,0）是双曲线的左焦点知;‘≡2→α詹→:—膝≡4
1—3.故双曲线的方橇为÷ˉ’:-l设P《堑.’）为双曲线
右支上任意—点侧堑≥√狙γ:-芋—l则6石.萍-（z｀y）
. （堑＋2』y）＝÷z,＋2工—L此二次函数的对称轴为
直线堑-;,开口向上、故“＝√5ˉ取得最小值3＋2√可故［市.萍的取值范围为［3＋2√了｀＋函儿
故本题正确答案为B.
∩
·
O
●
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22. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线方程与离心率.
…,不妨…硬｀√m则函数』-唾点P处的切缘方程加—厉＝2士了《…1
又因为切线过双曲线左焦点F《—1,0）,代人切线方程叫解得烫,≡1,即P（l,l）,所以有去—☆＝1
又由焦点坐标可得,α2＋62＝1,
所以可解得α2＝i二厘
2
.
所以离心率留廖ˉ÷—六6＋严解得曾＝早
所以双曲线的离心率为午~
故本题正确答案为A.
~
~
23. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线方程与解三角形.
作出图象,作F2Q」ˉPFl ,由已知条件知F2Q＝2α, ｜PF2 ｜＝2c’ ｜PFl ｜＝｜PF2 ｜＋2α＝2C＋2‘l’则在Rt△PF2Q中,
由勾股定理可得｜pQ｜2＋F2Q｜2≡｜pF2
｜2 ,即（α＋c）2＋（2α）2＝（2c）2,即5α＝3c,代人α2＋b2＝c2可得,962＝
16α2 ,所以渐近线方程为4正士3y＝0.
勿
丫
｀
＼
〃
故本题正确答案为C
24。［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆的离心率。
因为C』为椭圆所以｜砸＋2＞0, 又因为C2为双曲线,所以′门＞0;又C1与C2有相同的焦点,〔2＝m＋2＋7′＝″!＋
｀″＜0,
（—醚）,所以｜′′ˉ—』所以椭圆c1蹦…为.-÷≡慑√群了卿≡｀／l—六是关于…瞬数,所＂
｀′″＞0,
e＞√l—击—乎,又椭圆离心率满足.＜l,所以平＜‘＜L
故本题正确答案为A.
.
7
·
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25。［答案］
C
［解析］
本题主要考查椭圆的基本性质
由题意PF』｜-3‘,顺α
c≤｜PF1 ｜≤α＋（’即α
〔≤3c≤°＋〔,解得＋≤÷≤＋,即＋≤‘≤十
故本题正确答案为C。
26。［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线利圆的知识.
点P到原点的距离为｜PO＝｀／了ˉ干Fˉ＝c’又因为在△PFlF2中, FlF2
＝2c＝2｜PO｜,所以△PFlF2是直角三角
形,即乙FlPF2＝90°.由双曲线定义知｜PF1 ｜-PF2 ｜＝2α’又因为PF｛｜＝3｜PF2
’所以｜PF1 ｜≡3α’ ｜PF2 ｜＝α.在
Rt△PFⅢF2中’由勾股定理得（3α）2＋α2≡（2（）2 ,解得二＝△匝
α
2
.
故本题正确答案为D·
27. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线
双曲线的渐近线方程是工士αy＝0,设P（γn,″）是双曲线上任＿点,过P平行于工＋αy＝0的方程为工＋αy-加-α＂＝
α其与′—幽皱—＂＂…A（罕｝.阀守）, ｜′狐≡｜,宁＂｜√l＋÷,F点副《川的距离徽—;＝:涸为
皿卜硼≡l,所以｜〃宁腿｜√l—卜去瞬｜岸÷≡』而普—′｜』—1.馏…,′-源,所以双陶线的离』心率为罕
γ
√
～
勿
故本题正确答案为C
28. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查椭圆和双曲线的基本性质·
设椭圆与双曲线的半焦距为C, PFl
＝厂l
, ｜PF2 ｜＝厂2.
由题意知门-l0.′』-2‘,且门＞…≥1 ,所以:‘＜10,2‘＋2‘＞l0侧÷＜c＜5,h＜普＜4,所以‘］≡呵＝
2C
2C
2C
2C
2C
2
酶二:刊／主｜］＞÷
厂1＋厂2
l0＋2′＝百丰F健2-面雨′!—厂2
10 2‘六,则e1 .e2＋1＝
C
故本题正确答案为B
29. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线.
ⅨF‖F』为富径的….…0倒直线÷＋÷ˉ!…为拦雨.义因为其…的弦隆为佃,设顺曲线
·
8
·
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靡距为像（‘』≡爆:＋鹏』侧可列出等式‘:—（拦原）』-（乎徽）,｀藕醛可得;斜—÷绷:…-0,将离…—
÷代人可得.‘』—:富2＋l＝0’又因为双曲线的离心率噎＞l｀解关于离心率′的等式可得;倡＝徊
故本题正确答案为D。
30. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查不等式关系与双曲线.
由双曲线的性…｜PF｜｜≡｜PF: ｜＋2,.所以｜｜瓷｜｜舅ˉ｜PF: ｜＋箭＋…当且仅当｜PF』｜＝2.时…,
~
~
~
由双曲线的性质可知｜PF2 ｜≥C-α,所以当满足C-α≤2‘!时, ｜PF2 ｜可取到2α,得1＜e＝ˉ三≤3.
α
故本题正确答案为D
3L［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线与抛物线方程
由题意可知焦点坐标为F（1’0）,所以α2＋b2＝Lo
由抛物线健履可知P点的横坐标为÷’代入抛物线方程叫求滁纵坐标为±√而,所以端ˉ÷ˉl,o
综合oc）可求得αz＝＋（9舍去）’所以b:＝÷’所以渐近线方程为,＝±侄
故本题正确答案为C。
~
~
32° ［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线的几何性质.
ˉ-＞
—＞
如图所示’因为FA上OA,FB＝2FA,所以OA垂直平分FB,所以二FOA＝乙BOA,由双曲线性质可知乙FOA＝
△F℃B,所以丝FoA＝丝BoA-么F′oB≡‘0..所以÷ˉ…旷-√可,离心率儡≡÷≡＼／l＋（÷）,≡2
…』
′
勿
故本题正确答案为A
~
~
~
｝
〗
啡
‖
丁
』
十
〖
肿
【
协
33. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线的概念。
已知双曲线的渐近线为:y＝±上工’由题意不妨设过F2且平行于渐近线的直线方程为:J＝上（工-C）’另—条渐近
α
α
·
9
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卜…墨…印气豆宁
宁…＝壬锥…f归…伶…
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线方程为;y-ˉ÷堑联立两直线力程可得交点M（÷〔,—景）又因为丝F1MF,是锐角,所以MF｝＋MF;＞
F!F; 』即得（—器）:＋（;‘）』＋（—釜）,＋（—÷c）』＞4‘: ,解得曾＞2且双曲线的离心率噶＞1,所以‘的取值
范围为（2,＋◎◎）。
故本题正确答案为D°
34. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的性质.
卯
设椭厕方程为苦＋莆＝1（凰＞b＞0）｀双曲线方程为景—÷≡1（獭＞0,＂＞0〕在△PF｜F』中,有PF:＝F｛F:≡2·
2
PF］＝2c＋2″!,则2c＋2c＋2′″-2α,得到α＝2c＋,′』’有‘1＝÷＝万羊丽,‘2＝舌,则‘le2＝万六丽,根据狮＜c得
＝＝＝
~
故本题正确答案为C
35。［答案］
C
［解析］
本题主要考查椭圆的性质与余弦定理的应用.
设右焦点为F′ ’在△AFB中,根据余弦定理, ｜AF｜2＝BF｜2＋｜AB｜2-2｜BF ｜ABcos廷ABF’解得｜BF＝8.由勾
股定理知,△AFB是直角三角形.因此四边形AFBF′是矩形.根据椭圆的定义,2α＝｜AF｜＋｜AF′ ｜≡AF｜＋｜BF｜＝
尸
目
6＋8≡14,故α≡7,又2c＝｜FF′ ｜＝｜AB＝10,故c＝5。因此e＝ˉ二＝ˉ兰
α
7
.
y
B
故本题正确答案为（
·
10
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36。［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆锥曲线.
由题意知顺:ˉM,得砸≡±4当狮—4时,离心率为√＝≡粤;当獭≡—4时｀离心率为罕—侗
故本题正确答案为D.
37。［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线的定义及运算.
因为α2≡4’b2≡12,所以c2≡16,c＝4,所以F（
4,0）,设B（4,0）为双曲线的右焦点,则｜PF｜-PB＝2α＝4,
｜PB｜≥｜AB-｜PA’ ｜AB｜＝√（1
4）2＋（4
0）2＝5,所以4＝｜PF
｜PB｜≤PF｜＿（｜AB｜
｜PA｜）＝｜PF＋
｜PA
｜AB ,所以｜PF｜＋｜PA｜≥4＋｜AB｜＝99当A,P,B三点共线时取到最小值9,此时P为线段AB与双曲线
的交点,所以｜PF＋PA的最小值是9.
故本题正确答案为D。
38. ［答案］
I〕
［解析］
本题主要考查双曲线
如图:
＝＝F
／
＼g卜／
（
‘
”
由题意知,OE上FP,又因为壶＝＋（而＋6芦）,即壶≡壶,所以E是FP中点｀所以OF＝OP’设右焦点为G’连接
PG,则O是FG中点,PG＝2OE＝α0PF＝PG＋2α＝3α,FG＝2c,因为OEˉlˉFP,所以PG」ˉPF,则PG2＋PF2＝
FG2 ,即10α2＝4C2 ,e＝ˉ二＝△△9
α
2
°
故本题正确答案为D
39. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中的双曲线
◇
色
●
≡
γ
工
γ
＝
工
得
上
线
直
的
∑
为
率
斜
在
Ⅱ
∧
由
’
曰
］
∑
工
业
＋
〗
＋
｜
’
臼
工
γ
√
「
｜
｜
｜
乓
｜
｜
｜
｜
＼
得
点
中
的
乃
∧
段
线
是
）
］
∑
（
尸
由
则
）
日
γ
〗
工
（
日
）
γ
＝
工
（
∧
设
〗
~
即
○
γ
＿
脐
γ
√
工
～
’
旷
工
得
减
相
式
两
］
］
~
~
~
~
咙
—
脐
诡
—
脐
盅
→
鱼
α
埔
—
′
／
｜
｜
｜
《
｜
｜
｜
｀
）
〗
工
｜
干
工
Ⅵ
八
β
正
工
／
□
＼
由于A、B均在双曲线上,所以
~~
α二
11
.
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〗
工
＋
｜
冗
）
门
″
—
α
（
＋
′
司
℃
—
α
巴
为
率
心
离
则
’
〃
α
以
所
∩
△
—
报
矿
。
▲
—
且
α
即
（Jl—y2）（yl＋y2）
2
y1-y2
,化简得
~
∑
∏
○
）
且
工
］
工
（
b2
（γ1＋’2
｀
2
）
2
α
＝√瓦
故本题正确答案为D
40· ［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中的椭圆
根据题意得’F（l｀0）.A（—2｀0）.因为丙.萍＝0’则PA上PF｀所以有P在以AF为直径、（—÷｀0）为圆心的圆
上,即圆的万程为（露＋＋）:＋炉ˉ÷,又P在椭圆上测有宁＋等＝l＼两式联航,可得露』＋4露十4-0.解得正｜≡
工2＝-2’J＝0,所以只有一个交点（＿2,0）’故满足条件的p点有1个·
故本题正确答案为D
41. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线的渐近线。
由题意得’双曲线的两条渐近线方程为y＝士工,设A（工l ,工l
）,B（工2,
工2 ）,所以AB中点坐标为
（堑宁, ｀堑宁』）’所以（蟹宁』）』ˉ（x｜子,）,-2.即…≡:,所以s…≡÷｜oA｜. ｜oB｜ˉ÷｜侄）
.
｜√页z2 ｜＝工l工2≡2.故本题正确答案为C·
42. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆
设’（垄』,驹）侧行÷＋普≡1』o
ˉ-→
→
--→---＞
由题意可知PF1＝（
c
工0,
y0）,PF2＝（c-工0,-J0）,所以PF1 .PF2＝（-C-工0）（C-工o）＋y;＝工;-C2十y;＝
2c2,即工;＋y;＝3c2.o
又α2＝b2＋C2 ,o
∩
∩
结合oo消去b可得哩,（工;＋y;）—‘』工;＝α』（α』—c』）’结合o化简得等—竿＝1’因为椭圆的离心率詹＝二｀所以
α
α
α
有岭—誓ˉ］｀凰‖筐膛ˉ
1墅;因罐筐［0,u,所以履』巨［＋｀÷］圃…＜l所以障匡［÷,?］
4
—丁
“
故本题『P确答案为A.
43. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查椭圆曲线
由题意小妨令F为向焦点则墅假ˉc,若存住点八使卿△AoF为正三角形,则堑A-丁,蜘-士祭,将点A坐标代入
｜点十蒜≡］联立化简可嚼斜圈.…≡0,…财除以…—s.:十仁＂,（←』）;—l＾
椭圆方程,得
｜α2＝b2＋‘2
’
·
12
~
十
｜
十
｜
←
←
］
』
拜
′
↓
心
‖
卡
｜
…
↓
…
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解得e2-4＝-2√可（正的舍去）,所以e2≡（√可-1）2.又因为0＜e＜1,所以e＝√可-1
故本题正确答案为D
44. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查抛物线的几何性质和关于轴对称的代数性质
由对称性可知:直线AB斜率为-1中点在直线J≡工＋m上.
由抛物线几何性质可知;÷-÷’“≡2,所以》＝2盅
将A,B两点坐标代入抛物线得》｜γ｜≡2堑;, 相减得:Jl-〕2＝2（工l＋工2）＝-1,故有Z1＋工2＝—
1
（y2＝2工; ,
工］-Z2
2
.
八B中点坐标为（＋.—＋＋狮）’直线八B解析式沁＋十—〃Ⅱ＝ˉ（x＋＋）’即γ＝—蟹＋″—＋
ˉ狮＋÷
1
s
方稗可得;2延:＋堑—狮＋÷-0,故…＝
＝—丁.′测＝了
2
代人抛物线
亨啡
故本题正确答案为A
45。［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线的渐近线和向量的乘积.
设P（工o,J0）,乙APB＝0,根据双曲线方程可得其渐近线方程为工-2y≡0和工＋2y＝0,
·为……捶直于阀条渐…以｜P＾｜ˉ瓜鹤』』
｀′凰｜≡｛崇筹」,
故｜pA
。｜pB｜≡｜工;
4y;
｜
5
,
又因为点P（鞠,y＂）在蚁曲线上’所以芋ˉ’;＝1.炊PA｜. ｜P愿｜≡÷,
因为丝APB＝0.所以渐近线露—2测＝0与蟹轴的夹角为宁.所以〔an罕ˉ÷,解得tan0＝—÷,
又因为0＜0＜瓶,所以c。sβ＝—÷,所以可.庞＝｜PA
.
PB｜. co蔚0-÷×（—÷）-黑
故本题正确答案为A.
46. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中的椭圆的有关知识.
勿2
F＋
卜
◆
~ ~
~~
?
『
■
『
寸
Ⅱ
依题意可画出椭圆与抛物线如上图所示
因为椭圆和抛物线同焦点｀AF垂直于雾轴,那么A点横坐标为抛物线焦点的横坐标÷’再由抛物线方程可知点
.
13
。
寸
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A（÷,夕）由椭圆定义可得AF汁AF-2α-渔←√百》’离心率为厚-器-
故本题正确答案为B.
户
所以e＝√百-］
（√百＋1）户
47. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查抛物线与圆的综合应用
＼
允
O
由抛物线方程得其顶点（）（0,0）’焦点坐标F（〔）’2）。因为圆M同时经过抛物线顶点和焦点,则圆心在这两点连线的
中垂线上所以M的圆心纵坐标为毕-1’不妨设M在第—象限,代人抛物线方程得M点坐标（2√面,l）,贝｜圆半径
为MO｜≡√（2√百）2＋1＝3
故本题正确答案为D
48。［答案］
B
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中的抛物线
为y-t＝ˉ旦（工
2）,又因为y2＝4工,联立方程再消去工得:y2
2ry＋ˉ2t2-8＝0,所以γl＋y2＝2t,yly2＝2t2
8,故
r
AB｜≡＼／罕（;2峨》.啡蜒.枷＝』｀所以枷-—÷,得MP;y 底—÷（延幻.令＂-0时得M（4,0』,
于是s△蝴腮＝÷｜AB‖MP｜-÷（4＋迹』）√面≡7了.令咖＝√百≡7了（0＜′厕＜2√面）’则s＝÷（l2—狮:）.砸-—÷砸＂＋
6″』.s＝—÷咖』＋6,令S′＞0,则0＜砸＜2,令s′＜0测2＜砸＜2√百’所以当砸＝2时｀s…-8,此时′z＝仙
故本题正确答案为B.
49. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线和圆.
分析可知要使PM-｜PM最小,则P、M、N在—条直线上,则｜PM｜＝2α＝6, ｜P」V｜＝c＋1
α＝3,PMPM＝3
故本题正确答案为C.
~／~
／~
7《『~
悔恰
＼~
碰~~
ˉ
≡
≡
尸
≡
＝
≡
尸
＝
铲
争
≡
○
· 14
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50. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆的离心率
AF1 ｜＝α＋C, ｜BF1 ｜＝√『】ˉ干万丁, ｜AB｜＝√F存丁,由乙FlBA＝90。得’C2＋b2＋α2＋b2＝（α＋c）2 ’解得e＝ˉ二＝
α
午或詹≡—√;＿1（蕾）
故本题正确答案为A.
5L［答案］
D
［解析］
本题主要考查抛物线的性质
＼
O
卯
设直线AB:工＝加y＋α,代人y2＝8工’则y2-8″pJ
8α＝0.设A（Zl ,Jl）,B（工2,J2）,Jl＋J2≡8加,ylJ2＝
8α,则
y带＋J;
＝
A严-（甄』ˉ塑）,＋y帛-（瘫沁）』＋』←（′谰』＋1M伺理BP,≡（臃:＋lM, ｜A卞』—南-（磁:十l》（沁№）,
（8加）2＋16α
…（狮:＋｜）≡″燃｀］》与娜无关则窿≡↓
故本题正确答案为D°
52. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线与圆的性质
设左焦点为F1（-c,0）,连接AO,AF,AF1 ,如图所示
由圆点任点A处的切线斜率为粤叮知直线Ao斜率为—侗则丝AoF≡l2旷,则丝oF八-:0.,在直角二角谴AFF1
中’有AF-FF1 . c。爵3旷-2‘.乎-伍AF』ˉFF1
. 霞m30.ˉ2c.÷—‘’根据双曲线性履则有√可b
‘～2α则得
。
15
·
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个＝凶…
｛←…·
k趋1ˉ
【
』
卜＝j＝
｝＋
盅曲上…
!蹿＝!≡』
｝↓｛
q＝十镐↑
A≡↓≡」
｛
!
｝
贮门
常
嚣
｜
仆…甲☆稗0
↓ˉ↓～｛
｜~＋↓
『~｝‖
个亡■V…＝‖
｝｝｜
｝ˉ丫ˉ!
『↑ˉ.｜
前
‖‖
了…7…］
人…k镭」
到离心率e＝ˉ坠＝—兰＝√百＋］
α
√百-l
故本题正确答案为A.
53. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线的方程及性质.
--＞
-→
如下图,设双曲线右侧与工轴交点为P′ ,则有F（c,（））,P′（α,0）,
OP′ ｜＝α, ｜P′F｜＝c-α;因为FP＝2PQ,所以
FP｜＝2｜PQ｜,又因为PQ｜＜｜OP′ ｜＝α, ｜PF＞｜P′F｜＝c-α,所以有2α＞2｜PQ｜≡｜PF｜＞c—α,解得c＜3α,所以
↑
『
渺
铲
』
卜
↓
』
『守
;
e≡ˉ三＜3,又因为双曲线中,e＞1,所以l＜e＜3
α
｛
虫
』
故本题正确答案为A
54. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查平面向量的数量积与双曲线方程.
设P（工’y）,（r＞0）,Fl（
c’0）,F2（c,0）且有c2＝α2＋b2 ,O
→
一→
ˉ→--ˉ＞
-→
则F1P≡（工＋c,y）,F2P（工-c’J）,由F1P. （OF1＋Op）＝（）可得工2＋y2＝c2.@
又由题意可得｜雨｜匪＝2α’即有（√面
l）瓦了｜＝2α,将@代人可得（2—√百）｀／F面＝盂＝2α,O
因为点P在双曲线右支’所以有莆ˉ萨-1,o
综合O@O@可得c4
（14＋8√百）α2c2＋（69＋48√百）α4≡0,解得e＝二≡√百＋厄
α
故本题正确答案为A.
~‖‖~
＝厂丁
＋＝十
↓～↓厕
A4
§~~0~
55. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查椭圆与直线方程,向量的运算
γ
A
T
Ⅳ
＼~~O
~＼~~~~~
＼茵＜
勿
｛｀审十绷
ˉ↓≡↓ˉ
｛≡＋
↑＝十
山.
Cb-αα
~
／
｛
｜
｜
｜
闪
｜
｜
｜
｀
得
解
◆
…
—
〗
″
邹
『
□
~
~
~
~
呵
＿
α
…
＿
丑
「
｜
‖
｜
闪
｜
｜
｜
｀
‖
贝
）
（
｀
′
●
◇
」
工
（
Ⅳ
）
○
·
工
（
皿
占
…
设
’
）
占
’
α
（
β
‖
贝
）
α
’
℃
（
尸
）
β
’
α
（
∧
点
设
一
不
所
图
∏
女
工0-b
α
,又
Cb＋α出
工l≡ˉ万丁了
7
→出
·
16
·
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到
人
代
α
β
∑
α
仁
得
简
化
可
‖
旦
‖
‖
上
~
~
~
’
■
◎
白
∏
◎
γ
α
｜
十
｜
丁
’
二
β
′
—
〗
「
｝
｜
」
《
｜
｜
｜
〔
为
因
又
C2b2-α2d2
″
α
α
β
β
℃
~~＞
Ⅳ
—
○
●
→
皿
Cb＋αα
●
三＝二
b＋α
’
臼
’
α
◎
凸
α
α
■
口
″
门
′
曰
［
~~
b2
α2
b2
α2
C2b2-C2〔／2＋C2α2～α2创2
＝c斗剧, .;;≡;;＝‘廖＋2d2≡2
62～α2
故本题正确答案为D
56. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线的基本性质.
由△OAF是边长为2的等边三们形可知.c-2｀÷≡…0.ˉ√瓦又c2ˉα馏＋b2 ,联立可得α≡l’膨-√可’所以双曲线
2
的方程为工2～÷＝1.
故本题正确答案为D
57. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查双曲线的几何性质。
由题意得.÷＝2≡b-2α,C』的焦距2c＝4√;≡‘-√F丁万了＝2√:→6-丛
故本题正确答案为B.
58. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线.
2
2
设双曲线的标准方程为÷—常＝1（α＞0,b＞0）’作图如下
O
卯
已知｜FB｜≥√:a,“为焦点F到渐近线′!的距离’由双曲线的特征知｜FB｜』-‘z＋脐’刨＝0’而在双曲线备—爹中
2
c2＝α2＋62 ,所以｜FB｜2≡c2＋bz＝2‘:-α2 ,M:＝3b2＝3‘2
3“2 ,化简得;÷≤2,由于双曲线的离心率e＝二＞l,
α
α
所以1＜e≤√豆
故本题正确答案为A·
.
17
.
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59。［答案］
A
［解析］
本题主要考查圆锥曲线
因为双曲线与抛物线都关于工轴对称’故其交点关于工轴对称’
又公共弦过焦点,由y』-2p工可得A（÷’′）｀B（÷’—p）
0
Ⅷ入酗缓方…芋;→Ⅲ
又“2＋脐＝（;）』,联立o解得;▲＝√百干百万或上＝—√I干百万（舍去）
α
α
）
冗
—
◎
臼
∏
—
α
√
／
‖
＼
又√百干百万＞√百’所以双曲线的-条渐近线的倾斜角的-个可能区间为
故本题正确答案为A°
60。［答案］
B
［解析］
本题主要考查双曲线的性质与平面向量的数量积.
若庞.赤＝0’贝』oE—［EF,又庞≡÷（而＋［赤）侧｜oF｜≡｜oP≡‘. PF｜-伍侧P′点的坐标为（÷,今）,代
3C2
人双徽线方程叫得最—4《‘粤—凰:）-1.解得.≡÷≡侗＋1
故本题正确答案为B.
［答案］
C
［解析］
本题主要考查圆锥曲线和平面向量
61
》
Z
且
尸
｜
｜
｜
＼
｀
＼
‖
口
‖
‖
‖
‖
卜
‖
｜
‖
‖
○
］
｜
｜
｜
′
／
′
尸
--＞
---≥
--→
设点P（工,y）’由双曲线方程知F2（√7,0）,所以（OP＋OF2）＝（工＋√7,J）,pF2≡（√7-工,
y）,根据两向量夹角是
1
7-工2-y2
120。得cos12（）°＝-—＝
（簧）,由于点P是双曲线上一点,所以点P坐标满足双
2
√（工＋√7ˉ）2＋y2√（√7-工）2＋y2
＂戮方程＂臻—普ˉ』,与（｀）式…得P（蒜,等）,所以｜尸F』≡4. ｜PF! ｜-2鲤卜｜′F』｜ˉ倘｀设氯F,菱恒
线PF!的距离为d侧s△F』靡』-÷PF!
｜.刨-÷F｜F』
｜
. ｜y｜’解得‘＝2√贰
故本题正确答案为C.
·
18
·
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62. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线的离心率
如图:
F!
｜
O｜
｜Ⅳ
FI—易
（｜MF］｜＝4α’
由÷｜MF｜-｜MO＝｜MF: ｜及双曲线性质可得｜
设M（露＂,γ0）.过点M做MN垂直于露轴、
｜MF2 ｜≡｜MO≡2α,
因为MO＝MF』｀所以」V为OF』的中点’则堑＂-丁,γ＂-｀／∏O2二O」V』-＼／（2α）』
（÷）′ ,则△FlMN为直角三
州形’由勾股定理（4α）』＝（÷）:＋（2α）』
（÷）′ ｀解得＝÷＝√匠
故本题正确答案为C.
63. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆的性质
由椭圆方程可得c』＝25—M＝9,则两焦点分别为〔0、3）和（0.—3）｀当丝P≠90.时｀代人’＝±3可得延2＝M六M,则
P夏‖』轴距离为｜堑｜≡÷;当丝P-90.时,点P是椭圆希＋萧-1与圆烫』＋y:≡,的交点,联立圆与椭圆方程无解
故本题正确答案为A。
64· ［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆和圆的性质
根据已知叫得点A（‘,等）｀圆＂半径为～等因为△AnC足锐角岂角耀,所以A筐（0,÷）｀慢‖÷e（0,÷）.所
以c。篇÷ˉ÷筐（乎,1）,化简得α兰〔:e（乎,1）,有吉层（乎,1）｀解得‘e（侗亏四早）
故本题正确答案为A
65。［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线与向量的有关知识
由题意知α＝√百,b≡1,C＝√百,
所以F1（
√百,0）,F2（√可,0）,
----＞
.--→
所以MF1＝（
√百—工0 ,-y0）,MF2＝（√百-工0 ’-y0）.
ˉ---＞
ˉ--→
因为MFl 。MF2＜0,所以（-√可-工0）（√百-工0）＋J;＜0,
即工;-3＋y;＜0.
·
19
·
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因为点M（延0,γ0）在双曲线上,所以孕—γ;＝l.即工;＝2＋2γ;,
白
所以2＋绚;—蓟＋γ;＜0,所以粤＜№＜享
故本题正确答案为A。
66。［答案］
［解析］
如图:
A
本题主要考查双曲线方程的计算和双曲线的第二定义。
γ『
J
″‖
」
OW
′~
／
′
勿
／
／
设双＂线C;÷＿÷≡!的右礁线为′.过A、E分铡作AM上′于M.阎M」ˉ′于N,B′〕上AM了D.由直线的斜率为
√了,知直线AB的倾斜角为60.,所以丝EAD＝60., ｜AD｜＝＋｜八B｜｀由双曲线的第二定义得｜AM｜—｜BM＝｜AD｜-
÷（｜亦｜—丽｜＝＋｜∧B｜＝÷（亦｜＋壶｜）,又由亦＝4丽得÷.3｜壶｜＝;｜丽｜,解得‘＝÷
故本题正确答案为A。
67. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线的方程。
不妨设B（0,b）,山丽≡2亦.F（′′0）.叫得A（等,÷）,代入双曲线C的方程可得÷噎÷-l｀
即÷.宁:-￥.所以÷≡;.o
又｜茄｜≡｀／Fˉ丰亏丁＝4,c2＝α2＋b2’
所以α2＋2b2＝16·o
由OO可得,α2＝4,b2＝6,
2
2
所以双曲线C的方程为÷—卡-1’故选D
◎
20
·
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68. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的定义及性质.
FIF2
依题意,因为P为双曲线与圆的交点’故乙FlPF2＝90°’又｜PFl ｜＝2｜PF2
｜’所以PFl—PF2 ＝√百,故双曲线的离心
率为√百。
故本题正确答案为A
69。［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线的基本性质和双曲线方程
｜斋于≡1
因为PFl上PF: ,所以s…』≡＋｜PF!
｜
. PF: ｜-＋×2＝l,设P（r｀y）,侧‖
→→
｜工2＋γ2＝（√百万）2,
所以」｜-√子÷｀2呵.√子≡l’所以忽≡』
故本题正确答案为D
70. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线离心率的计算.
→
＿汪
--＞-→
因为F（
C,0）,A（α’0）,B（0,b）,所以FB＝（C,6）,AB＝（-α,b）,所以FA.FB＝＿αC＋b2＝0.又因为b2＝c2-α2 ,
所以廖—‘—｜-0,又因为‘＞』｀解得‘＝竿~
故本题正确答案为D。
4
71. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线
如图所示:
勿
↑
永
｝
由题意可知,圆（工-c）2＋γ2≡b2的圆心为双曲线的右焦点F（c’0）,且丝AOB＝120°,直线OA、OB均为圆（工
c）2＋
y2＝b2的切线,所以△A（）F和△BOF均为直角三角形·又由图象的对称性可知丝AOF＝乙BOF＝60。’所以在
△AoF中,器-子-属m60.,所以双曲线的离心率为嚼ˉ二≡
‘
α
√『百≡萨≡2.
故本题正确答案为C.
·
21
°
■
‖
『
上
』
Ⅶ
』
…
】
坐
〗
＋
』
▲
卜
｛
坠
涉
』
■
寸
β
■
压
＄
上
■
γ
‘
【
伞
］
坐
′
今
｛
了
岂
油
卜
‖
似
■
它
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72. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查抛物线和直线的综合应用.
9
由题意得F（;,0）,设P（弗,№）,
显然当〕0＜0时,炎CM＜0;当y0＞0时,虎叫＞（）·要求虎（Ⅻ的最大值’则y0＞0,
O
侧｜｜恤≡6斋十丽≡6贡十÷萍ˉ〔市＋÷（〔市—〔赤）≡÷〔币＋÷6斋≡（器＋÷
｀
＼
‖
』
′
′
帅
—
日
y0
3
2
所以虎〔〃＝
2
些＋ˉ△些＋丝
6户
3
户
y0
当且仅当y;≡2户2时,取得等号
2
√百
≡≡≡
槛警2
73. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查的是双曲线的性质及应用。
棍掘题意.代人F:横坐标叫求得纵坐标易得八E—2÷,F｜F』ˉ2‘.由题设条件则知△ABF』为等腰三角彤,只蜜
丝AF』B为锐角｀即AF!＜F｜F,即可｀所以有÷＜2‘.又闪为‘』-α:＋脐,窿-÷,求解得州′后（l,1＋√m
故本题正确答案为C.
74. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线定义和点到直线的距离公式.
‖双……鳞≡:…≡帽…｜直绚≡肯…为剑』≡｜偷于尝.铡…～污胸距·
2
2
”‘』≡｜＂斗尝｜.,M刺:-÷＼喘—器-｜糯偷≡』｀断以‘≡〃燕≡幅石≡擂测双脯戮…
为e＝ˉ三＝√∏ˉ
α
2
。
故本题正确答案为D。
75. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆、圆、直线的综合应用。
令A（工l ,yl）,B（工2 ,y2）,P（工0 ,yo）,由切线公式可得直线PA方程为工l工＋〕ly＝19直线PB的方程为巫2工＋y2y＝
1,所以P满足工l工0＋yly0＝1和工2工0＋y2y0＝1,所以直线AB的方程为工0工＋J0J＝1,根据直线AB方程可求得
M（去｀o）,N（0,六）,所以△「）MN的面积为s—＋×去×六—京冷蜒,≡2…,№＝m0侧6-
1
1
蛔n0…2孟26’所以当＄『n20＝l时’S取最小值’且S咖-丁
故本题正确答案为A。
22
·
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76. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查抛物线的性质及基本不等式的应甩
｜PF｜→＋l, ｜PA｜≡√《堑＋D』十γ,-√堑凰＋‘z＋1.偶√愿』＋…
工＋1
≡但
2
l
方≡歪
｜
＋
｜
＋
｜
正
工
＾
∩
γ
∩
′
△
＋
｜
＋
｜
工
工
／
√
γ
＋
］
′
√
1
◎
≈
＋
｜
］
＿
工
＋
′
工
故本题正确答案为B
77. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆与双曲线的性质
（α2—b2＝C2
,
（C2＝α加,
因为（
所以解得’″＝＋α｀所以詹-三-上
根据臆圆与双曲线有相同焦点可得｜′厕詹＋″:-c遭
’
｜2＂:ˉ2′＂2＋（』.
α
2
故本题正确答案为A
78. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线的性质以及余弦定理
由双曲线方程得｜F1F2＝2c＝4,又｜PFl
＿｜PF2 ｜≡2α＝2√百且｜PFl ｜＝3｜PF2
｜,则｜PF2 ｜≡√百,
PFl
＝3√百,由
余弦定鲤得c…｜PF:≡2＋l8—M→,所以篇in丝F｜PF:＝竿
12
O
故本题正确答案为A.
79。［答案］
A
［解析］
本题主要考查圆锥曲线.
由题条件可得到F（1’0）,从而对双曲线有C＝l,且双曲线与抛物线的交点是关于工轴对称的,连线过点F说明交点
的横坐标即为1’从而两交点坐标为（1,±2）,代人双曲线方程’再由α2＋b2≡C2＝1,
得铡去ˉ★ˉl＝感』—3—2√霄＝凛ˉ√面—l＝÷＝√霄＋L
故本题正确答案为A.
80。［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆方程
由题知椭圆方程斋＋带≡1,设点P（砸｀测〕则（
5ˉ啊）《5
′鹏』＋耀』-—罢,且÷×川＂｜≡9.解得棘≡±4.
Q
2
2
＂＝±÷,代人椭圆方程解得b2＝9,所以椭圆方程为斋＋÷-L故本题答案为A
81. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线。
由题知pF2 ｜-｜pFl
＝2α, ｜PF2＝2PF1
｜,所以｜PF2 ｜＝4α, ｜PFl ｜＝2α,又因为△PFlF2为等腰三角形,所以
｜PF2 ｜＝｜FlF2
,即4α≡2c,所以e＝ˉ三＝2.
α
故本题正确答案为C.
°
23
◎
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82. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查抛物线和双曲线的基本性质。
议曲罐ˉ莆≡l（·＞0,‘＞0》的ˉ个焦点F与抛物线测,≡绅的焦点（｜.＂）重合测感:＋雕＝l｀
又这两曲线的-个交点′瞒足PF上烫轴不妨设P（1.2）·代人双曲线方程得÷ˉ÷-1,
◎
联立o@,解得α＝√百-1.
故本题正确答案为B。
o
［答案］
A
［解析］
本题主要考查直线与双曲线.
因为直线AB过坐标原点,且A,B都在双曲线上,所以A,B关于原点对称°设A（工l ,J］
）,B（-工l ,-yl ）,P（工2 ,y2）,
2
2
9
9
所以膨!≡尝≡÷｝｀膛』ˉ黑＋,即腮! .胸≡,;ˉ鉴因为A.B,P都在双曲线上.所以÷ˉ器-1,o
工2-工1
2
2
费ˉ酱≡l,◎
21—工』
γl雨γ:-0｀即y;ˉy§＝等’所以陶.腮:-粤＝2｀即b:＝2α』｀所以〔:-α:＋b』-3α』侧÷-
2
2
2
2
2
则o-@＝
2
α
α
工2-工l
α
α
83
（
3,所以离心率e≡—＝√百
α
故本题正确答案为A
84. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线的基本性质.
设双曲线的占焦点为F｀由条件可褥｜MFˉ｜oF｜＝等ˉ′＝c:ˉα‘ˉα斟-0→′＿噎ˉ』≡0,由.＞1叫得詹≡竿~
故本题正确答案为D·
85. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线的离心率。
MF』的巾点坐标为（ˉ÷｀祭）,代人双曲线方程得诗ˉ芳-1
故本题正确答案为D.
解得e＝ˉ三≡√百＋1
α
86。［答案）
C
［解析］
本题主要考查椭圆和双曲线的离心率。
设双曲线的焦距长为2C,因为点P为双曲线上-点’且乙PFlF2＝30°9么PF2Fl＝60。,所以P在右支上,乙FzPF1＝
90。,即PFl上PF2 , PFl ｜≡2csin60。＝√百t, ｜PF2＝2ccos60°＝c,所以由双曲线的定义可得｜PFl
｜
｜PF2＝（√可-
O
1）c＝2α,所以e≡二＝＝←＝√可＋L故选C
α
√3＿1
p淋｛＃｛
『≡了寸十↑十十＿｜
｝干扣弓书
G…～→击仆同-■■于同←卜→十＝＝■
】
』
;
L上
儿
-
′
7
斟
｝
『
‖
‘
｜
‖
卜ˉ!＝↓—蚌＋汇ˉ｛
＄
′｜｜~~｛「
｜
87. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆和双曲线的基本性质·
一--→
由题意.知双曲线方程为子等-1, ｜PF］｜ˉ｜PF』｜≡4.由PF兰当F］
｜PFl
｜
→
驯
●
→
匪
-→.---＞
F‘且兰』F! ,可得
｜F2F1
｜
ˉ---＞
MFl
--→
FlP｜
·
24
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除马
呻
一
酗
●
洼
°
β
—
怔
—
尸
丛
即FlM平分乙PFlF2.又结合平面几何知识可得9△FlPF2的内心在直线工＝2上,所以点M（2’1）
＞
凰
—
乃
一
吧
就是△F!PF』的内心故s△P卿F』—s…』-＋×（｜PF］｜—｜PF: ）×l＝÷×4×l＝2
~~
88· ［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆的性质和求函数最值.
’
∧
／O
／＼
6～＿～厂一ˉB
设B｀α的纵罐标为』侧Ⅲ（凰√」—÷｀′）,。（—凰√l—÷｀′）s…〗ˉ（′＿』』
~~～—
√＋-
∑
）
贮
＿
》
（
］
）
′
—
脐
（
］
′
″
设堑＝÷巨（—1,1）’S（z）＝—z』＋2r剿—2涎＋l』S′（工）＝—4z鼠＋6堑!—2＝
2（堑—1）Ⅱ
α
《2堑＋l）由导网数性质＂′知》当露-—÷时’s（堑》取最人值s…＝αb｀／冒了万取最人｛直,即孪″≤÷b:
故÷筐［粤,1）,像＝／质三匡（0,÷］
故本题正确答案为A.
89. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查抛物线的性质与抛物线的标准方程
因为抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线的距离相等’因此直线』的斜率为√瓦于是设直线』的方程为
’-√了（涎÷）’将其与椭圆方程联立并整理得3zzˉ5′堑＋÷p:＝0』据此可解得堑＾-丁′’药圃＝÷,
3
因此露＾＋÷-2′＝a故抛物线的标准方程为γ2-3墨
故本题正确答案为C。
~~
［答案］
A
［解析］
本题主要考查椭圆的基本性质和正弦定理的应甩
因为sin乙PFlF2
: sin丝F］PF2
: sin么PF2Fl＝7
: 10
: l1,由正弦定理得｜PF2
FlF2
｜
10
5
则椭圆E的离心率为e＝ˉ旦＝
＝
α
｜PFl ｜＋｜PF2
｜
7＋11
9
.
90
FlF2
:
PFl ｜＝7
: 10: 11,
故本题正确答案为A
91. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查圆锥曲线与直线方程
由题叫知,矿→,由正二角形B（ˉ亏·ˉ祭）, BF』≡c· BF凰｜≡伍√既—c≡2…ˉ亡≡√歼］
故本题正确答案为B.
~~
时↑
山
‖
·
25
。
帽
~】
』
Z
二驴. -斗早啡←…←…斗.…啡.
i
§
§
:
;
睁鸿镇南≡卡→4疹＾≈L
ˉ
哇
↑
｝
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个
Ⅱ
上
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~
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丛
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…
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~
‖
它
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■
么
】
丸
‖
』
°
口
坐
~
~~
~
『
『
万
卜
巴
↓
』
■
↓
坠
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92. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查双曲线和抛物线的基本性质。
因为△AFlF2是以AF1为底边的等腰三角形,则AF2＝2C＝2,根据抛物线的性质得AF2＝工A＋1→工A＝1’因为双
曲线的右焦点F2（1,0）,所以△AFlF2为等腰直角三角形,所以AFl＝2√百,因为AFl-AF2＝2α→α＝√百-1,根据
双曲线的焦半径公式得e工A＿α≡2＝e＝α＋2,所以e＝√百＋1.
故本题正确答案为B.
93。［答案］
D
［解析］
本题主要考查椭圆的第二定义°
如图所示,设P点坐标为（工,］）,因为F为AP的中垂线上的点,所以｜PF≡｜AF｜,做PB垂直于右准线于B,利用
α
2
椭…二定义得‘—铅器≡尹÷,—凰≤墅-鲤（÷÷＋l）≤α｀解得:≥÷,义网为…心率
—工
C
尸‖
｀
詹后（0’l）’所以此椭圆离心率的取值范围为［亏｝l）
V
■
故本题正确答案为D
94. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查椭圆
--＞
当点P在椭圆的上下顶点处时,点M与原点（）重合’此时｜OM取最小值为0;当点P在椭圆的左右顶点处时’点M
--＞
--＞
与椭圆焦点Fl重合’此时｜OM｜取最大值, ｜OM＝√T百＝百＝2√页因为工≠（）,〕≠0,所以P点不是椭圆的顶点,此时
→
｜OM｜〔（0,2√百）.
γ
√
故本题正确答案为C
95。［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线离心率的计算
设｜MF』＝堑.因为乙FlMF:-90.,tan丝MF］F2—÷’所以｜MF! ｜—2工, ｜F!F2 ｜＝2c＿√瓦z,因为点M在双曲线上,
所以2工＿工＝2α,所以可得离心率为√豆
故本题正确答案为C.
·
26
◎
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96。［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆锥曲线°
抛物线的焦点为（÷’0）,又是双曲线的右焦点,所以α』—6』-（÷）』』而双曲线和抛物线都关于延轴对称’因此两
个交点也关于r轴对称,交点连线垂直于工轴’又过点F,所以交点的横坐标为÷,交点既在抛物线上,又在双曲线
乙
上…个方橇广』′÷. （÷）÷l蹿…≡（÷）河得僻4…』≡№
O
~／
b2
则b』＝（2＋2√百）α』,所以离心率e＝V1＋了ˉ√3＋2√面＝1＋√豆
故本题正确答案为D.
97。［答案］
D
［解析］
本题主要考查抛物线的性质.
设抛物线J2≡4正的焦点为F,则F（l,0）,直线／2为抛物线的准线’所以P点到直线』2的距离等于PF｜,则所求动
点P到两直线的距离之和的最小值即点F到直线Il的距离.所以α＝｜4×1-0＋6｜≡2,即动点p到两直线的距离
√42＋（-3）2
之和的最小值为2。
故本题正确答案为D
98. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线的性质
因为｜AB｜
:
BF2
｜
: ｜AF2 ｜＝3
: 4: 5,不妨令｜AB｜＝3, BF2 ｜≡4,AF2
＝5,所以丝ABF2＝90°,又由双曲线的
定义得: ｜BFl-BF2 ｜＝2α’ ｜AF2-｜AFl ｜＝2α’所以｜AFl ｜＋3-4＝5-｜AF1
｜
, ｜AF1 ｜＝3’所以｜BF1 ｜-｜BF2
＝3＋3-4＝2α,α＝1,在Rt△BFlF2中, ｜FlF2 2＝BFl
｜:＋｜BF2
｜2＝62＋42＝52’又F1F2
｜2＝4c2’所以4C2≡
52,c≡√T百,则双曲线的离心率e＝ˉ二≡√T百
α
故本题正确答案为A
99. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的性质,以及-元二次不等式的计算
脐
—
α
■
厂
巴
′
′
』
□
｀
｀
,则有丝＜α＋C,即巴-二旦＜α＋（
9
7
C
α
）
因为么AEB是锐角,则只需丝AEF＜45。,即｜AF＜｜EF,A点坐标为
解得1＜ˉ三＜2
α
故本题正确答案为B
.
27
~~
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100° ［答案］
B
［解析］
本题主要考查双曲线的性质.
由题可知, ｜pM2-｜pM2≡（｜pC1
｜2＿4）-（｜pC2
｜2-1）,因此pM｜2-｜p］V｜2＝｜pC］2-｜pC2
｜2-3＝（pCl
｜
-｜PC2
｜）（｜PCl ｜＋｜PC2
｜）
3≡2（PCl ｜＋｜PC2
｜）-3≥2｜ClC2 ｜-3＝13·故选B.
＋
10L［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线
过F2垂直工轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别为M＼N｀则M、N的坐标为（‘.±:）.若△MF｜N为正
三角形’则2c＝√可h旦,整理得2α＝√品’e≡二＝△匝
α
α
3
。
故本题正确答案为A°
102。［答案］
D
［解析］
本题主要考查双曲线的性质
｜y
＼
＼
~／
／／／
O
如图所示｀设经过点F（c,0）的直线方程为γ-缸—粒,由干双曲线的渐近线方程为γ-±÷墅,则臆-→＝÷,分
α
别将直线方程与渐近线方程联文得堑典≡凰』—b』.墓凰-竿测有I岛ˉ～｜（筐—等）,化简得霍』s‘』≡5c:侧双
α2C
曲线离心率像≡÷＝√子≡2÷而
故本题正确答案为D.
103. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查抛物线的性质.
Ⅷ趣知…｝…F……线方耀为…＿纫≡雄—雕.铀…穆赚童｜j了庶:·
消去y,
化简得感甄』ˉ（雌:—s）露＋瓣凰-0,设A（厩! .蜘）,…№）测呵＋鞠≡蛾:—s…』…!＋№≡睡｜
鳞＋″:
—2隐＝÷,№№＝（拉1—2膨）（拉』
2晦）＝膊［烫｜鞠—2（烫1＋延愈〕＋4］＝—‖6,硕＝（堑!＋2’汕—2）,丽＝（工凰＋2,
＿→.--＞
y2-2）’所以MA。MB＝（工］＋2,yl-2）
· （工2＋2,y2
2）≡工1工2＋2（工l＋工2）＋4＋y1J2-2（yl＋y2）＋4≡0O,将
″』＋趣≡丝铲§,工l纯＝』.’｜＋』』≡万.’l№≡—l,代人o式化简得膘ˉ峨＋4＝（隐ˉ2）』≡0,解得陶≡3
8
故本题正确答案为D
·
28
·
十
~~
~
＋
→
·
『
▲
｛
广
‖
＿
~
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~
~
104. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中的抛物线问题
根搬题意得F（＋.0）.设A（蟹｜,√云）,B（工: ,—√万）.又闽为硕.而＝2｀则堑｜露:—√了丙≡2,解碍√豆丙＝
2或者√云丁万-—l（舍去）,当r｜-露』时,有延!≡露,＝2,贝‖s…＋s…≡＋×2×（√面ˉ＋√百）＋÷×＋×√霄＝
竿』驾…』蹦直线＾B的方翟为删＿厢≡粤竿;（堑—旷』）则直…与野轴的…标为（M厅
是s…＋s…ˉ÷×:×（√豆了＋√万）＋÷x＋×√云丁≡÷√云丁ˉ＋√万≥2√÷√贡T万-3·当且仅当
÷√云丁≡√万时取等号｀丽平＞3’所以面榔之枷的最小值为3
故本题正确答案为B°
［答案］
A
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的性质
设PFl＝工,PF2＝y,椭圆半长轴为α1 ,双曲线半实轴为α2 ,公共焦点为（±C,0）,不妨设工＞y,则工＋J＝2αl ,工-
,＝2α, ,又△F1PF2中』由余弦定理得c。s丝F!PF』＝望3＋驯2—（2‘）』＝＋’消去露’,化简得翅;＋:α;＝4‘: ’此时设
2工y
.』ˉ2醒…ˉ斋…侧所求值为平-…喘…—√（锄』＋（肯）』.m（’卜嚷）ˉ竿
故本题正确答案为A.
105
106. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查双曲线.
假设P在双曲线的右侧,Fl为左焦点,F2为右焦点。作图如下
y
~
~
≡
＼
＼
在双曲线中｜PFl ｜-PF2 ｜＝2α,因为｜PFl ｜＋｜PF2
≡6α,所以｜PFl ｜≡4α。PF2 ｜＝2α,由已知可得么PF‖F2＝
』旷｀由正弦…爵in器｝F＂,n丝…
｜PF1
｜
≡4α,解得sin乙PF2Fl≡1,由勾股定理得FlF2 ｜≡2√丁α,又因为
FlF2 ｜＝2C,所以C＝√盂』,因为双曲线中C2＝α2＋b2 ,所以b＝√面h’所以双曲线的渐近线方程y＝±ˉ旦工≡士√酝,
α
即√正±y＝0.
故本题正确答案为A
。
29
·
十§
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107. ［答案］
A
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中椭圆和双曲线.
—＞
一--→
＝-＿-＞
--＞
由已知可得双曲线方程为子—等ˉ］, ｜PF｜—PF, ｜≡4.由PF坐F｜＝F:兰婴F! .所以可知MF｜平分
PFl
F2Fl
｜
丝pF］F:’又因为角半分线上的点到两边距离相等呵知啊个三角形的高相等’故S△′帅』—S…-＋（｜PF1
—
｜PF＂）×l＝÷×4×l-2
故本题正确答案为A°
108. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查椭圆和双曲线知识的综合应用
如图所示,
勿
圆的直径AB为2α,C,I）为三等分点,不妨设双曲线的-条渐近线方程为y＝2工,点C（″!,2m）,则由题意得,OC＝
｜咖』＋（2m）,＝÷
｜…—｜
Ⅷ肖…罐（去卜÷）≡…≡｜……!…鉴＂
÷且点C在椭圆上’所以
＼了ˉ厂ˉ歹-」
焦点｀所以α:—b2ˉl＋4＝5』则b2＝÷
≈
故本题正确答案为C.
［答案］
B
［解析］
本题主要考查椭圆的基本性质
由题意得,b2＝2,c＝√云r＝百,故｜FlF2＝2√Fˉ＝百,又｜PF1 ｜＝4, ｜PF1＋｜PF2＝2α, pF2 ｜＝2α-4,由余弦定
理得cos120°＝42＋（2α
4）2—（2 ｀／∏丁＝百）2
÷｀化简得8α-24｀即‘』-a
2×4×（2α-4）
109
故本题正确答案为B
仙
鞋
敞
融
』
厂
择
』
护
↓
『
～
恨
』
汁
‖
十
←
』
十
』
卞
韦
｛
←
』
√
『
士
『
′
…
‖
～
｛
…
盟
…
凿
≡
§
＝
｝
干
『
十
｝
←
｜
十
‖
寸
′
『
斗
‖
宁
曲
啥
§
懈
↑
↓
丁
″
啡
↑
小
『
栏
『
〖
＋
】
＋
§
船
‖
幸
】
~
~
~
~
~
~
｀
″
『
啡
『
『
尸
｀
′
↑
§
回
＞
′
〖
＋
｛
了
‘
了
卜
参
｝
广
＾
~~
30 ·
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110. ［答案］
B
［解析］
本题主要考查双曲线的基本性质
因为丝FlAF2＝90°,故｜AFl
｜2＋｜AF2
｜2＝｜FlF2
｜2＝4C2 ,又｜AFl ＝3AF2
｜,且AFl ｜—｜AF2 ｜＝2α,故10α2＝
《c』,故景-;,故.＝二ˉ延
α
2
.
故本题正确答案为B.
111. ［答案］
C
［解析］
本题主要考查抛物线
如图’F（÷｀0）』准线′ ;巫-—÷,A在′上的投影为A′ ,B在!上的投影为B′
白
γ
′
B′
Ⅳ
丝恃
z
〗
＿
∑
｜
＿
~~
勿
≡印匆
设AF＝α, BF｜＝6,由抛物线基本性质可知｜AA′ ｜＝｜AF｜≡α, ｜BB′ ｜＝｜BF≡b.在梯形AA′B′B中根据中位线
0
‖
定理知｜MM-亏（｜AA′ ｜＋｜BB′
｜）＝÷（α＋b）,在△ABF中’根据余弦定理知｜AB｜2＝｜AF2＋｜BF2—2｜AF
.
｜BF｜.…AF月≡α:＋b:＋凰b｀配力得｜AB』-（°＋b）』—凰b,因为凰b≤（宁）: ,所以AB｜,≤÷（α＋b）』,圆‖
α＋b
｜＾B｜≤乎（。＋6）,栅≤佰《÷卜b〕.所以僧≤乎测删＂最大值为粤
2
故本题正确答案为C
112. ［答案］
［解析］
如图,
D
本题主要考查抛物线的基本性质
′
】
~~
卯
设抛物线准线为I,作AA′ˉ上／于A′ ,PP′上／于P′ ,则｜PA｜＋PF｜＝｜PA｜＋｜PP′≥｜AA′
｜,即当P点为AA′与抛
物线交点时, ｜PA＋｜PF｜最小.此时P（十,l）
故本题正确答案为D.
·
31
·
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113. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查曲线与方程,双曲线渐近线’导数的应用
V｜
劲
—
…
恢
｀
＼
如图所示抛物线焦点F］（0＂;）,双曲线右焦点F2（2.0）,则可设两焦点连线所在直线方程为yˉ—÷z←÷,与
抛物线方程徽立得到—子堑＋;ˉ六垄,即2堑爵＋沁2户』-0设点M（涵＂,沁）侧在c｜上该点的切线斜率为
／（鞠）≡÷,且c』经过≡象限的渐近线方程为y＝争《令÷—′-0）测÷ˉ乎…-粤胸,代人到2堑凰＋
2
′』工—2′2-0中解得夕-竿
凹
故本题正确答案为D
114. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查抛物线和直线的计算
.…｝……″…（喘）……｛剪÷）
,消去y得虎2工2＋
愈（膨ˉ2》露＋竿≡0,由抛物线的儿何意义知, ｜AF｜-堑｜＋÷, 月F｜≡堑』＋÷,由弦长公式得｜A凋｜ˉ√∏两.
√早p｀｜AF｜＋｜BFˉ勤＋
√（工l-工2）2＝√T丁I丁√（贡l＋工2）2-4zl延2 ,利用根与系数的关系得｜AB｜＝2
趣＋霞-÷…题慧知｜AF｜判βF｜＿2｜AE｜,声ˉ剿√弓》,解得藤ˉ乎
故本题正确答案为D
115. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的基础知识.
设双曲线方程为莆—萨≡』,c≡√百≡侗记｜F‖B｜≡』测. ｜F山｜≡＂.腮＋卿≡』,′测:十卿』≡（歇）』≡l2’（瓣ˉ″）,≡
狮:＋厕2
［（砸＋″）2-（m2＋″2）］＝8,易求得α＝巫亏卫＝√面,‘＝ˉ二＝但
α
2
.
故本题正确答案为D。
□
步
· 32
°
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116. ［答案］
D
［解析］
本题主要考查圆锥曲线和向量的运算°
--＞
＿＞
＝-＞
--＞
→
--＞
～-＞
ˉ＿＞
--＞
—＞
--≥
因为OP＝∧OA＋严OB,所以（）P2≡入2OA2＋／z2OB2＋2入尸OA.OB,又OA＝（α,b）,OB＝（α,-b）,所以α2≤Op2≡
（α2＋62）入2＋（α2＋b2）尸2＋2入尸（α2-b2）＝（α2＋b2）（严2＋入2）＋2∧尸（α2＿b2）≤（α2＋b2）（严2＋入2）＋（／』2＋入2）（α2-
b:）ˉ2翻,（膘:＋入』）,当且仅当陛-∧时取等号所以陛』＋人腐≥÷
故本题正确答案为D
117。［答案］
C
［解析］
本题主要考查双曲线离心率的求解
设椭圆与直线A屑在蜒输上方的交点为C（x’γ）曲题意得oA-征’oC≡罕.叉c（露,』）在椭圆上,断以
」舌十诈1＝｜←菇
｜
1］
）,
44
｜堑』＋γ2＝丁〔γ＿丽
＝√5°
故本题正确答案为C.
脐
了
＋
］
√
它
率
心
离
《
。
旷
—
盖
脐
—
睹
以
所
′
◎
—
α
γ
口
＿
工
胆
龙
以
所
上
线
近
渐
在
）
γ
√
工
（
℃
又
118。［答案］
C
［解析］
本题主要考查抛物线的性质
由题中条件可知,F（0,2）,抛物线准线方程为:J≡-2,因为以F为圆心, ｜FM｜为半径的圆和抛物线的准线相交,且
F到准线的距离为4,所以圆的半径大于4’所以M到F的距离大于4,由抛物线性质可知,抛物上的点到准线的距
离等于到焦点的距离,所以y0＋2＞4,即y0＞2.
故本题正确答案为C.
填空题篇答案解析
119. ［答案］
（-°◎,-4）O（4,＋。◎）
［解析］
本题主要考查双曲线解析式。
由双曲线标准式可知:炎＋4＞龙-4＞0或虎-4＜点＋4＜（）,故虎巳（-◎○,-4）（」（4,＋◎◎）
120. ［答案］
2
［解析］
本题主要考查双曲线的离心率
2
2
双曲线方程为三—-2—＝l,则得α2＝m’b2-′＂2＋4’由离心率公式得e2＝二-α2兰—62
加
m2＋4
α
α2
解得m≡2。
故本题正确答案为2。
″12＋″〗＋4
·
尸
＾
√~~
′Ⅶ
.
33
·
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l2L［答案］
〈r2-÷＝1
Q
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中的双曲线与抛物线
抛物线的焦点为（2’（））’故双曲线-个焦点为（2’0）.即√F干『丁＝2,又因为双曲线离心率二＝√百了丰万矿＝2’
α
α
联立解得α≡1,b＝√瓦
2
故本题正确答案为z2—÷＝1
9
122｛答案］÷
［解析］
本题主要考查椭圆的离心率问题。
2
2
因为椭圆÷＋十-1（α＞b＞0）’A’B和F!点坐标分别为（α,0）
’ （0｀b）
』（—‘》0）,所以直线BF!的方程是y-
上露＋b’OT的方程是y＝ˉ业矿联立解得T点坐标为（—÷’￥）,育线AT的斜率为ˉ蒜由AT上BF!得
C
C
3b
6
—°—＝-1,因为α2＝b2＋C2 ,e＝ˉ旦,
4α＋C
C
α
所以e＝寺
△
123. ［答案］
24
［解析］
本题主要考查椭圆、双曲线的几何性质
双曲线的焦点和椭圆的焦点重合’都是（士5’0）,FlF2≡10.设PFl＝工,PF2＝y,由对称性,不妨设工＞y,则工＋y＝
2×7＝M｀堑
测＝2×l＝2｀解得露＝8｀』-6’则PF｛＋PFi＝F!F; ’所以PF｜＿PF』,所以s△…,-÷PF!
｜
.
｜PF2＝24.
故本题正确答案为24.
124. ［答案］
4
［解析］
本题主要考查抛物线与向量的结合.
-y1
根据题意设A（堑］』γ!〕’B（磁,№）,由亦＝∧丽,得（÷—工!
｀
y!）-儿（r2—÷｀’2）’故γ!-川№｀即∧＝—
J2
3
设富线AB的方程为＂＝÷（延ˉ÷）’联立育线与抛物线万程｀消元得γ,—÷′γ—′』-0故γ1＋施-丁′’＂;
.
’:＝—′』｀（驹＋瑰）』-兰＋些＋2≡÷』即—川—＋＋2＝—÷又扎＞l’故h-4
J1
·y2
J2
J1
∧
故本题正确答案为4。
34
·
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2
125〖答案］÷γ:-］
［解析］
本题主要考查直线与双曲线.
-→
→
-→→
设A（工,y）,则有B（-z,-y）,FA≡（r＋√j°J）,FB＝（
工＋√百,
y）,FA.FB＝3-工2-y2≡0.O
又｜FA＋｜FB｜＝√（烫＋√百ˉ）2＋y2＋√（工-√5）2＋（-γ）2＝4,即√（工＋√百）2＋γ2≡4
√『＝
两边同时平方后化简为工2＋4y2＝4,o
联立o@｀解得延』≡:’’:＝÷代人即;÷—☆ˉ3,翻
‖
又由焦点得:α2＋b2＝3,@
联立o@解得:α2＝2,b2≡1。
2
故本题正确答案为÷—γ2＝L
●
凸
＼
】
′
γ
′
『
｀
｜
十
〗
、
」
侗
126。［答案］
6
［解析］
本题主要考查双曲线的性质.
AF!＿＾尸, AF:＋0—竿’AF凰-0
y
卯
故本题正确答案为6
127. ［答案］
14
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的几何性质
×
佰
—
∑
有
意
题
由
〗
工
佰
—
∑
α
℃
—
α
2√百
2 ÷,″＜25-5√百＋1≡26—5√百’
O
α此
设P俺的横坐标为工h ,则
γ】～1
旷
—
℃
此
刃
所以″的最大取值为l4
故本题正确答案为l4。
128. ［答案］
3
［解析］
本题主要考查椭圆的性质.
不妨设PFl＞｜PF2
,则根据题意得
′ ｜PFl ｜＋PF2 ｜＝2α,
＋｜PF1
｜
. PF:-9’
＜
解得b≡3
PF1
2＋｜pF2
2≡（2c）2
,
｀α2＝b2＋C2
,
0丁「＝
●
OO
●
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129. ［答案］
2
［解析］
本题主要考查抛物线的性质和直线与抛物线的关系.
｛‖二粤胸联立得露』ˉ3″＋等ˉ0由根与系
抛物线的焦点坐标为（:,0）,因此直线的方程为’＝鞭—÷将
~~｀
△
数的关系得堑!十堑』＝3′因为抛物线上的点到焦点的距离等于该点到抛物线准线的距离,所以（蜒!十÷）＋
（野汁:）＝野!十鞭:十p＝4p＝8,所以′-z
故本题正确答案为户＝2.
130。［答案］
-6
［解析］
本题主要考查双曲线和抛物线的基本性质.
先根据双曲线的离心率得出α2＝5,从而得出双曲线的左焦点为（—3,0）,由左焦点与抛物线焦点重合得÷-—3
则′＂＝
6.
故本题正确答案为-6.
［答案］
l2
［解析］
本题主要考查椭圆的基本性质
131
γ
凹
M
由题意知:Fl ,F2分别为MA、MB的中点,设MN的中点为D,故｜AM＝2｜FlD｜
, ｜BM＝2｜F2D｜,故｜AN｜＋
｜BM＝2（FlD｜＋｜F2D｜）.椭圆C中,α2≡9,故α＝3,根据椭圆的性质, ｜FlD｜＋F2D｜≡2α,故｜AM＋｜BN｜＝
4α＝12·
故本题正确答案为12.
·
36
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132. ［答案］
√百
［解析］
本题主要考查双曲线的离心率.
设M（露｀÷工）｀根据矩形的性质.
得Mo｜＝｜oF』｜＝｜OF圃｜-‘,即露』＋（÷露）,→,
则工＝α,所以M（α,b）.
阀为△AMN的面积为÷c』’所以2×＋. ‘』.b＝÷‘;
所以4α留（C2-α2）≡C4 ,所以e4
4e2＋4＝0,所以e＝√百
133. ［答案］
9
［解析］
本题主要考查双曲线的图象性质与双曲线方程的计算.
因为A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′（4,（））°所以由双曲线性质｜PF｜-｜PF′ ｜＝2α＝4而｜PA｜＋
｜PF′≥｜AF′ ｜＝5,两式相加得PF｜＋｜PA｜≥9,当且仅当A’P,F′三点共线时等号成立.故｜PF｜＋｜PA｜的最小
值为9.
134。［答案］
17
［解析］
本题主要考查双曲线的几何性质.
2
2
因为F! 、F2是双曲线荒—六＝l的两焦点’所以｜｜PF1 ｜＿｜PF2
｜｜＝2α＝a因为点P到焦点F1的距离等于9’即
｜PF1＝9,则解得｜PF2 ｜＝9-8＝1或｜PF2 ｜＝9＋8＝17’又因为焦半径最小值为c
α＝6-4＝2’所以｜PF2
｜
＝17°
故本题正确答案为17。
135. ［答案］
8
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中椭圆的计算问题
依题意建平面直角坐标系画出椭圆C的图象’焦点坐标为（1,0）、（-1,0）,不妨设M（（）,0）’N（4,0）,满足M」V的中
点在C上,由题意得A（2,0）,B（-2,0）,所以｜AM＋｜BM＝（4＿2）＋4-（-2）≡2＋6＝8.
y
!小
Ⅳ
＿
″
~
~
故本题正确答案为8
卜
▲
丛
·
37
卜
巴
】
‖
凸
~
~
~
~
~
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（3·±2√可）
本题主要考查抛物线的几何性质
136。［答案］
［解析］
如图:
y
Aˉˉˉˉˉˉˉ
3
2
BˉˉˉˉˉˉI
／
Ⅳ｜
O｜C
F
2
Dz
过点P作PA垂直准线于A,PD垂直工轴于D,过点Q作QB垂直准线于B,QC垂直工轴于C;设点P（工l ,yl）,
Q（签』,y』）.由题恿知｜PA≡PF-3QF＝3 ｜QB｜,所以斜喘＝喘≡÷,所以γ］≡…』＋1≡
3（工2＋l）,即工l≡9延2,工l＋1＝3（工2＋ˉ1）,所以工l＝3,yl＝±2√可.
故本题正确答案为（3,±2√可）。
刁
l37｛答案］六
上√
［解析］
本题主要考查椭圆的定义
因为sinA: sinB＝8
: 5,根据正弦定理α
: b＝8
: 5’不妨设BC＝8’AC＝5,又根据余弦定理有cos丝ACB≡
2×5×8
＝AB-7’所以对于椭圆有2α≡BC＋AC-l3’2‘-7,又根据离心率定义可知离心率为盖＝古
52＋82-AB2
勺
故本题正确答案为古
l3a〔答案］年」
［解析］
本题主要考查圆锥曲线.
由题意｜r呢｜-2‘将襄≡‘代人椭…得P凰｜-蝉-√膝（1—÷）｀由旧足｜ˉzPP』隔F‖F: 』＝驯P且｜』即
‘』≡b:（!—÷）,又‘:≡‘』＋幢:捎去‖』得刨』—;凰:‘:＋斟-0伺时除以“』得…｜l≡0（0＜‘＜l）解得.≡早
γ
′
F,2
故本题止确答案为年1
·
38
·
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139. ［答案］
（1’徊＋1）
［解析］
本题主要考查圆锥曲线和—元二次不等式
因为堑＾-露＂-‘′代入双曲线万程叮以得出｜〃｜≡｜删＂｜-等,:‖ ｜AF』｜≡BF』｜-等又圃为△ABF｜为锐角二角
62
形侧≤AF!B＜,0.｀可德丝AF‖F』＜…n丝AF凸ˉ｜羔｜｜-子＜l｀化简可褐曾』—』詹—l＜0｀即（曾—n:＜』｀
解得1-√面＜e＜√百＋1,又因为双曲线的离心率e＞1,所以1＜e＜√百＋1.
故本题正确答案为（1’√百＋1）。
140. ［答案］
（1,√百＋1）
［解析］
本题主要考查双曲线及＿元二次不等式。
PF2
pF1
;≡≡
P在双曲线的右支上,设点P（工0 ,y0）,由焦点半径公式’得PF1＝αˉ卜e工o,PF2≡e工0
α,则α（α＋e工0）＝c（e工0
α）’解得堑,-;｛二:
÷｛:主｛｝由双曲线几何脓质知露＂＞α则:｛岩｝＞凰,整理得:』—2像ˉl＜0’解得—√rˉ｛—l＜
e＜√百＋1,又e后（1,＋°◎）,所以离心率为e〔（1,√百＋l）
故本题正确答案为（1,√面ˉ＋1）.
14L［答案］
2√百
［解析］
本题主要考查抛物线的性质及两角和的正切公式.
抛物线的焦点F（1,0）,因为丝OFA＝135。,设点A的坐标为（工A,yA）,则根据抛物线的性质可得AF＝√百｜JA＝
″剑十1·βF≡徊｜y圆→圆＋l故『徽n丝CF≡羔｜l≡乎,…BCFˉ羔｜l≡乎所以…和的止切公式可
.…c凰≡量≡』呕
△
故本题正确答案为2√面
142。［答案］
√百
［解析］
本题主要考查双曲线离心率的计算.
因为OM＝α,OP≡OF＝r,MP＝FM＝b.连接PF2（F2为双曲线的石焦点）（图略）,所以PF2≡2OM＝2α,又因为
P在双曲线的右支上,所以2α≡PF-PF2＝2b
2α9故b≡2α,因此c2≡α2＋b2≡5α2 ,因此双曲线的离心率e＝
二＝√百ˉ
α
故本题正确答案为√百
39
◎
【
←
卜
『
箩
°
‖
十
￡
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143。［答案］
（√百-1,1）
［解析］
本题主要考查椭圆基本性质和正弦定理.
＂n≤PFlF』
.n粥F』.又÷-器,PF』-PF詹≡2圃｀故铡ˉ‘＜PF!≡羔＜徽＋（
由正弦定理得,
pF2
求得e〔（√面ˉ—1,1）.
故本题正确答案为（√面-1,1）.
144. ［答案］
√百
［解析］
本题主要考查双曲线的离心率.
双曲线的—条渐近线为;》＝上鞍’F（幢,0）’线段OF的垂直平分线为;r＝÷』所以垂足为（亏’釜）’故÷
α
毕-0
—＝l得舰:-僻即离心率.-√』＋÷≡徊
乙α
C
亏-C
乙
故本题正确答案为√百
l45. ［答案］÷
［解析］
本题主要考查双曲线的性质.
由题意可知,F｜（
√∏ˉ’0）,F2（√r瓦0）,F｜F2 ｜-2√丁瓦设P（堑0 ｀№）,则＾PF｜F,的面积为÷×2√了霄｜γ0 ｜＝
］2放醚;≡普.将P点坐标代人双曲线方程得Z;≡器,不妨设点P（乎,｛:乎）测亩≡（—｜｛严,
ˉl÷严）.盂—（坠伊,ˉl;严）,可得F百.雨≡0,即PF｜—PF: ,故望F;PF塑≡÷
146. ［答案］
√百＋1
［解析］
本题主要考查圆锥曲线·
不妨设F（〔·0）则由公共焦点可知‘-√丽霄干〗了≡÷又有M在抛物线上叫知M（怎.2′）状人双曲线得兰示鱼
‘芒α』.解得÷-l＋√互
~
-1。4或α≥l
-1
147。［答案］
（0,±√可）
［解析］
本题考查圆锥曲线的性质,以及圆锥曲线中的最值问题.
第（1）问,设动点p（工,J）,由题意可得√（r
1）2＋J2＋｜工＋1 ｜≡3.O当工＜
4时,因为｜工＋1＝3,无轨迹;@当
4≤堑≤—l时,化为√（药—l）2＋γ:＝工＋4’化为］2＝］0堑＋l5,（—÷≤堑≤—l）,与y轴无交点;o当篮＞—l
（
｜＜蜒≤:）令z＝0’解得γ＝±√瓦综上ooo可知;曲
时,化为√（工-1）2＋y2≡2
工,化为y2＝-2工＋3,
线C与y轴的交点为（（）’±√百）
。
40
·
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第（2）问,由（1）问画出图象’令J＝1,解得工＝
1·4或L分类讨论;O当α≤-L4或α≥1时,
PA｜＋｜PB｜≥
｜AB｜,α（α）＝｜AB≡√（α＿1）2＋1＝√α2-2α＋2;@当-1＜α＜1时,当直线J≡1与J2＝-2工＋
3（＿l＜堑≤;）机交时的交点P满足PA＋PB｜取得最小值因为此抛物线的准线为工≡2’所以直线删＝1与
准线的交点Q（2, 1）,此时α（α）≡QB｜＝2-α;O当-1. 4＜α≤
1时,当直线〕＝1与y2＝10工＋
l5（;≤延≤
l）相交时的交点P满足｜PA｜＋｜PB｜取得最小值.因为此抛物线的准线为雾＝—4’所以直线删≡
l或α≥1
y｜
—
~
～
／
疟
~
~
~
一
悠
∩
仆
＼
〕
＿
∑
~
＼
（√α2-2∏干百,α≤
l.4或α≥l
卜—l…霉
‖
故曲线C与y轴交点的坐标是（0’士√百）,α（α）＝
＼2-α,-1＜α＜1
148. ［答案］
（2’2）
［解析］
本题主要考查抛物线的性质
y
1
勿≡-页
″｜
红
√
O
Z
~
因为PR是二FPQ的平分线’所以乙FPR＝丝QPR’又PQ／／／工轴’所以丝QPR＝丝PRF,所以＜FPR＝丝PRF’所
以PF＝FR’又囚为f-2烫的焦点F的坐标为（＋’0）’准线为药＝—÷’由抛物线性质可知点P到准线烫＝
—＋的距离PM等于点P到焦点的距离PF’所以PM-PF,所以PM＝FR.又PM〃FR’所以四边形MPRF为平
行四边形’因为PR所在直线的斜率为—2,所以MF所在直线的斜率也为—2』设P（z,刨）’所以M（ˉ＋’删）’所以
。
41
·
■
忘
喘
出
~
↓
·
Ⅱ
了
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虎MF＝
y
＝2,解得J≡2,代人到〕2＝2工,解得工＝2,所以P点的坐标为（2,2）
1
1
2
2
故本题正确答案为（2’2）.
149。［答案］
3工2
y2＝1
［解析〗
本题主要考查双曲线
双曲线的焦…为F（±‘,0）惭近线方稗为』ˉ±÷墅｀即±…＝0焦点F到渐近线…为岩亏—
l’又因为凰:＋b:＝‘』,所以叮得b＝l双曲线的离心率为忽≡÷＝2则‘＝2α’所以α:＋l≡“: ,解得α:＝÷因
此,双曲线的方程为3工2-J2＝1.
故本题正确答案为3工2-y2＝1。
［答案］÷
［解析］
本题主要考查圆锥曲线与几何概型的结合.
当隐（露＋十）-√了时’膛（露＋÷）＞0｀即隐＞0』对＂（工＋＋）-√了两边同时平方有隐』雾:＋（＋陶』ˉ1）堑＋篇ˉ
0,由直线γˉ隐（蠢＋十）与曲线γ≡√豆恰有两个不问交点得△≡（＋廖＿1）』—等＞0｀解得殿＜l,又愿＞0,于是
0＜虎＜1。所以A＝｛h
0＜龙＜1｝。又因为点Pl （工l ,yl）与点P关于直线y＝工＋1对称,则y＝工＋1过点
（】l＋γ＝丑±三＋｜
（竿.罕）.且隐〃＝—1,于晕有｛
2
2
｛. ≡）］＝墅＋l’故等上＝÷e［—l’ l］所以B-
｜÷吕ˉ—1
｛罕｜
l≤罕≤1｝综上懈入!巨（0,l）.川』巨［ˉ1,l］,可栅铡吓矩形匹墩瞒足入÷＞∧』的区域为图中阴影部
150
∩
1
分’于是儿＞扎』的概率为二丁
3
≡≡＝
△
4
V
√
／
l
▲
O
／
／
l
勿
-1
°
42
·
丁、
珍.卜.
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』5l［答案］
［÷,」）
［解析］
本题主要考查椭圆的基本性质.
设FlP＝加,F2P＝〃,由余弦定理得cos丝F1PF2＝
3（匹于卫）＝α2,所以2c≥α,
｀
≈
′
广
］
又c＜α’所以椭圆的离心率‘≡亏≥寸且e＜l.
敛本题正确答案为［＋,1）
加2＋冗2-4C2
即
’
］
—
∑~~
4c2＝m2＋″2-″l抛≥（′刃＋″）2
2加门
152。［答案］
（√百,＋◎°）
［解析］
本题主要考查双曲线与直线相交时的相关计算
由题设可知:由正方形性质可知:第＿象限交点为A（们,″!）（m＞α）。由几何性质可知:上＞1
α
故c2＝α2＋b2＞2α2 ,e＞√Z
故本题正确答案为（√百,＋◎·）
1
153. ［答案］
ˉ丁
√
［解析］
本题主要考查与椭圆相交的直线的相关计算.
」←卓解得罐』≡3鹏…象』吓
由于该椭圆的离心率为平’即
.
｜α2＝62＋‘2 ,
y
M
设M（工l ,〕′l）’A（工2 ,）′2）,B（-工2 ,-y2）
「垫＋互＝｜
~｜
9
~｜∏9
▲9
根据题意有｛α;
″:
解得堑《—堑;-—3（γ;—’;）,目陶.虑』＝
｜孕＋粤＝1,
（α‘
b凸
故本题正确答案为÷
（尝≡尝）（器;）≡舞
］
—
日
~~
154. ［答案］
√面ˉ
1
［解析］
已知Fl （-C,0）,F2（C,0）,
直线y＝√可（工＋c）过点Fl ’且斜率为√可,
。。.倾斜角丝MF1F2＝60。。
·
43
·
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γ乙MF:F｜＝÷丝MF!F』-30., ...么F!MF』＝90.,
由椭圆定义知｜MFl ｜＋｜MF2 ｜＝c＋√既＝2α’
C
Q
α
l丰√可-√百—L
···离心率e＝—＝
MFl ｜＝C, ｜MF2 ｜≡√盂
2
155. ［答案］
工2-等＝1
O
［解析］
本题主要考查圆锥曲线中抛物线与双曲线之间联系求解方程的问题
抛物线的焦点F（1,0）为双曲线的右顶点,故α≡1,
又渐近线方程为聊-±伍侧b—侗放双曲线方程为露:ˉ等≡L
i
［答案】
4c工
2by＋α≡0
［解析］
本题主要考查直线方程和抛物线.
富线不过原点.所以和抛物线的交点不包含原敷｀设P,Q坐标为（等｀》1）,（等.’』）（’l№≠0）’M,N坐标为
（等.γ』）,（等,’』）.F（＋,0）.设PF方程为;耍-虑（测γ!》＋等联立抛物线方藤得;沁≡2胸’｜≡ˉ六伺蹲
得;沁ˉˉ上’PQ的方橇为; 2翻ˉ（γ］＋y』）y＋驹』』≡0,所以Mv的方翟为;2堑ˉ（—六ˉ☆）y＋
J2
（责）（—贡）-0,由二-—坠上—
（沁＋№）知＂］驰ˉ宁·聊｜＋滥≡—坐′代人得直线Mv的方程为》
C
yly2
C
y1y2
α
2工-ˉ△y＋ˉ坠＝0,即4C工＿2by＋α＝0.
［
2C
故本题正确答案为4C工
2by＋α≡0。
156
157. ［答案］
（0,侗-l］
［解析］
本题主要考查椭圆的离心率以及向量的坐标运算
依题可得A（—α｀0）｀E（0,b）’F（‘,0）｀则M（—÷,÷）｀
所以2顽.丽＋赤＝2（—÷.÷）
. （‘＋÷,
÷）＋（‘,
6）:≥0｀
2
b2
即—“‘—÷＋丁＋c2＋02≥0,—α‘—;十“2≥队
所以ˉ健ˉ÷＋l≥0,又0＜筐＜l.所以0＜≤√霄＿1
l5a［答案｜乎
［解析］
本题主要考查双曲线.
令,≡粤,有莆÷—1解得愿±孕.:不妨设P（嘿.夸
｜
…
｜
十
‖
←
｜
＿
『
→
哺
』
十
』
→
‖
十
＋
』
础
鞠
割
沁
喇
谬
牛
『
→
＋
｛
≡
｝
斗
霸
十
丁
丁
…
『
□
『
卜
『
↑
↓
『
』
↑
‖
』
户
『
心
§
凹
沪
团
＋
＄
叶
出
β
←
凹
′
-
＞
一--＞
因为PFl °PF2＝0,所以PFl上PF2 ,则在
）
∑
）
佰
—
日
′
′
』
｀
＼
＋
｜
ˉ
~
〗
＼
｀
‖
′
′
α
顾
日
（
／
γ
—c.结合蜒:＋l-‘』.解榔÷ˉ乎’所以蚁曲线的离心
R（△PF』F』中.PO-＋F』F:-‘.即
率为粤
44
.
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｜5队［答案｜
（÷,△严）
［解析］
本题主要考查圆与椭圆方程’函数与方程的结合.
由题目所给的圆的方翟与椭圆定义叮以算州″＝2,‘-2√r』从丽求出椭厕的方程为;盖＋子-l;易知直线方程为》
J≡√百（工-加）,（m＞2√百）,联立椭圆和直线的方程,可得到—元二次方程:10Z2-18′＂工＋9加2—12≡0,由△≡
…凰
40（9′硼凰—l2）＞0,叮得; 坠鲤＜狮＜2孽
设C（z1 ’γl）,D（工2 ’γ2）’则由根与系数的关系,工!＋工2＝竿,工］z2＝9′宁2;所以′而.而—（堑!ˉ3,jh）. （堑』
√
勺
-3,γ2）＝4堑l工2-（3′″＋3）（z］＋工!）＋9＋3″!2＞0,化简得;2″!2-9′厕＋7＞0,所以″』＞÷;综上所述,取并集得
△
砸＜△耍
7
—＜
2
坠耍）
／
勺
故本题正确答案为（-
｀
2
160. ［答案］
（-2’-1）〔」（-1’1）｜」（l,2）
［解析］
本题主要考查双曲线的性质
由题意得,t的临界取值包括渐近线斜率和直线与曲线相切两种情形,分别求得临界值为t＝±1,t＝±2.
如图,对于t＝±1是与渐近线平行的临界条件;r＝±2是与双曲线相切的临界条件.在t〔（-2,
l）O（1,2）下直
线与曲线＿支有两个不同交点;在te（-1,1）下直线与曲线两支各有＿个交点
／6｜.
故本题正确答案为（—2,
l）O（-1,l）（」（1,2）
q
l6L［答案］÷
［解析］
本题主要考查椭圆的基本性质。
设A（工l ,yl）,M（工2 9y2）,则依题意得B（
工l ,-yl
）,
2
2
景＋÷-lo,
2
2
景＋紫-lo,
2
2
2
2
@o得Z二工］＋γ2—γ1＝0’
α
b2
即聊!
’§＝
b;
,
工2-工1
α
l6
又由卢AM·虎BM＝
25
,
.
45
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~~
］
］
γ
√
工
＋
｜
＋
｜
』
且
〕
工
■
』
—
日
β
—
α
得
奶
—
沥
y2-yi
~
可得〕2-yl
工2-工1
臼
】
』
工
▲
句
渔
工
＄
—
β
~~
且
∧
—
∑
α
矽
′
刘
〔
—
α
~巴
率
心
离
自
勺
圆
椭
以
所
q
故本题正确答案为÷
l6匙［答鬃］
坠｛严
［解析］
本题主要考查抛物线和点到直线的距离.
由题可得,直线y＋l≡0是抛物线的准线。因为抛物线上＿点到准线距离等于其到焦点F（0,1）距离,所以抛物线上
＿动点P至｜直线′!…′』的距离之利的最小值是…』′｜的距离｜2×燎苛6｜,顾
＿＝
13
°
故本题正确答案为坠祭
163。［答案］
（正-2）2＋（y-4）2＝16
［解析］
本题主要考查抛物线与圆的方程
P到焦点F的距离为4,则P到准线的距离为4,准线方程工＝-2,户＝4,抛物线方程y2＝8工,点P（2,4）,以P为圆
心且与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为（工-2）2＋（y-4）2＝16.
164. ［答案］
2√百
［解析］
本题主要考查圆锥曲线
设M（工,γ）’则坠二1.坠土1——寺,整理得÷＋’:＝l,所以M的轨迹表示以（±1,0）为焦点,2√百为长轴长的椭
工
工
乙
圆,而MA＋MC表示椭圆上的点到两焦点的距离之和,所以MA＋MC＝2√Z
165. ［答案］
（1,√百）
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的基本性质·
因为双曲线的两条渐近线方程为αy±b工＝0,点（I,2）在“上”区域内,所以2α-b＞0’故C2＝α2＋b2＜5α2 ,则双曲线
的离心率e＝二＜√百,又因为双曲线的离心率e＞1,则双曲线离心率e的取值范围是（1,√百）
α
故本题的正确答案为（1,√百）
上
右
下
·
46
·
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l“［答案］辱」
［解析］
本题主要考查双曲线的性质
根据题意,并由圆的切线公式,可知直线AB的解析式为工工0＋yy0＝α2.因此｜OM｜＝里’ OlV｜＝丝。因为P在双
工0
J∩
2
2
α2
曲线上,所以有繁—器≡l将真代人所求轰达式中,渝∏—2 ON
′
~~
｀
／
团
·
〕
β
α
』
·
无
∑
β
（
］
—
毗~~
矽
—
妒
脐
＿
…
~~
价
川
旷
—
埔
Ⅷ
∩
乙
—
辑
如
〗
］
卜
ˉ
』
拓
~
］
～
∑
∑
臼
~~
〗
α
∑
α
’
■
∑
℃
~~脐
而
~~
］
』
·
γ
〗
α
∑
α
｀
｀
′
／
∑
№
—
″
扩
＋
］
（
β
力
［
］
—
″
l6矾（答案］
（l）竿（2）竿
［解析］
（1）由原点到FlB的距离等于α建立方程求解.
在Rt△FlOB2中,OB上FlB,
.。· ｜OFl ｜＝c’ ｜OB2 ｜≡6,
..。｜F1B2
＝√F丰了页
bC
。。. ｜OB｜≡√F丁了了
6〔
＝≡α9
■
●
｀／b2＋C2
即b2C2＝α2（62＋C2）→（C2-α2）C2＝α2（2C2-α2）.
·°.（e2
l）e2＝2e2
1,
即e4-3e2＋1＝0.
＾铲ˉ坦挛（‘』-二匹鲁去）.
即‘＝÷√6＋2√百-十√（√亏＋l）』＝｀压±1
√5＋1
2
.
（2）通过求出B点坐标,求出S2.
S｜-4×÷bc＝26·
FlB所在直线方程为兰＋÷≡LO
y
···炎FB≡～旦, .·.肉OB＝
ˉ—
C
｜
C
b
,
〔.
·。·OB所在直线方程为y≡
丁工.
@
门
门
扩C
bC色
由oo,得工＝- b2＋C2 ’y＝Fˉ干了了.
蛔（′皋.潍）
b2C
4b3C3
＾s』≡4×
×膀竿凰≡『产万示
62＋C2
。Sl≡（b2＋c2）2≡（2c2-α2）2＝（2e2-1）2＝√百＋2
·。S2
2（c2-α2）c2
2（e2-1）e2
2b2C2
2
47
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］
168. ［答案］
冗-arccos丁
［解析］
本题主要考查抛物线的几何性质
如图:
刻y
∧
日
~
］
B｜＿ˉ＿-1
0。5
＼
1
Z
＼
O｜
徊
∑
笋
—
′
＿
↓
炎
率
斜
得
户
徊
—
∑
朋
〕
’
垄
β
户
丁
′
〗
〗
川
γ
则
∏
于
线
准
上
Ⅱ
Ⅻ
作
Ⅻ
过
户
—
止
为
标
坐
横
的
Ⅲ
知
图
由
1
所以倾斜角为冗-arccosˉ丁.
u
1
故本题正确答案为沉-arccos丁
2
l69. ［答案］
工2-÷＝1
［解析］
本题主要考查圆锥曲线
抛物线焦点坐标为（2,0）,又｜PF＝5,所以P点横坐标为3,所以P点坐标为（3’±2√百）,将P点坐标代人双曲线
（C≡2,
2
方程得÷器ˉl,又（
解得双曲线方程为工:ˉ÷≡L
（C2＝α2＋b2
,
邯
洞
‖
秤
什
带
『
′
令
′
『
』
恐
』
l7o［答寨］乎
［解析］
本题主要考查双曲线的离心率.
2
2
双曲线素溃＝1的渐近线方程为γ-±上″
α
由」』＝÷蓟｀
得∧（壶婴万,撰豆）,
｜工-3γ＋狮＝0
｝—÷野得‘（尚哉）
由
＼工-3y＋炯＝0
所以AB的中点C坐标为（9;笺: ,9钨』）
因为PA｜＝｜PB｜,所以PCˉ上／,所以虎氏＝-3,化简得α2＝4b2
在双曲线中,c2≡α2＋b2＝5b2 ’所以e≡二＝但
α
2
°
·
48
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l71［答案］÷＋÷＝1
［解析］
本题主要考查椭圆和圆的方程
』
△
—
尸
○
∩
□
—
尸
·
（
Ⅱ
得
解
加
—
″
～
］
~
~
~
］
丁
］
形
～
｜
十
加
沛
Ⅶ
／
｜
｜
｜
｜
≤
｜
｜
｜
｜
＼
足
满
）
∏
加
（
β
点
切
）
］
（
∧
点
切
得
可
意
题
由
）
。.·过切点A,B的直线方程为2正＋y-2＝0.
令y＝0得工＝1,即C＝1,令工＝0得y≡2,即b≡2
.··α2＝62＋C2＝5’
′椭圆方程为÷＋于-止
）
】
—
∑
’
】
（
—
B
勿
172. ［答案］
√河—1
［解析］
本题主要考查抛物线的基本性质.
由题意·抛物线）2＝4工的焦点F（1,0）’因为｜pM｜＋PQ｜＝｜PM｜＋PF
1’所以｜PM｜＋｜PF｜最小时,PQ与
pM长度之和最小,而pM｜＋PF｜的最小值是｜MF｜＝√丽,则PQ与PM长度之和的最小值为√百可ˉ＿1.
故本题正确答案为√厕-1.
173. ［答案］
15
［解析］
本题主要考查三角函数和向量的数量积.
根据已知分别设A（3cosα’√百sinα）’M（c。sβ＋l,sinβ）,」V（1—cosβ’-sinβ）’则硕＝（cosβ＋1—3cosα’slnβ—
√百Sinα）’丽＝（1
cosβ
3c。sα’
sinβ—√百ˉsinα）,所以丽.丽＝（c。sβ＋1-3cosα）（1
c。sβ
3cosα）＋
（潮nβ＿√了sinα）（—息!nβ—√民inα）-5＋4cos:α—6c…-4（c…÷）』＋号,由c…e［
｛』｜］,得当…—
＿ˉ→
＞
1时,AM.AⅣ取最大值＄最大值为15。
故本题正确答案为15.
174. ［答案］
2
［解析］
本题主要考查抛物线与双曲线的相交
~∧工
’
″
—
α
~《）
以
所
侗
~
∏
◎
＿
α
以
所
β
~~子
仰
~~
…
—
债
√
~~
（
—
α
~
旧
率
心
离
线
曲
双
又
∧
γ
’
户
—
∑
（
）
由题意可设A
√可×÷｀所以s…-堑典’盘—÷×等≡竿-√了解滁′ˉ2
·
49
。
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‖75. ［答案］
4＋2√可
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的参数化.
设P（cos0,2sm0）’F］（0’
√可）,O（0’0）’雨.币＝cos20＋2s｜n0（√可＋2sm0）＝（√可s｜n0＋1）2.所以所求最大值
为（√百ˉ＋1）2≡4＋2√可.
!76（答案〕粤
［解析］
本题主要考查椭圆
由对称性小妨设M（工＂’№）’堑＂＞0’№＞0测Mr,’ˉγ＂）因为A（—凰｀0）.B（α,0）,故隐1＝厉背『.陶＝尝『
助
—
α
≥
”
硕
~~
…
—
丝
~
〗
◎
·
工
γ
α
∩
乙
曲
α
~
№
—
…
＋
№
＿
呵
~~
〗
贞
＋
】
虎
~~
∑
点
＋
虎
故
◆
丝
脐
~~
〗
·
工
么
α
以
所
］
~~
诡
—
脐
＋
∑
勒
—
∑
α
为
因
又
~］~~
6
≡?,故离心率为乎
当且仅当沁≡』时等号成立·故÷≡÷,断以＝｀／l＿（÷）』≡√子
~~~／
敏本题正确答案碍
177. ［答案］
3√百
［解析］
本题主要考查椭圆、向量的应用、三角函数
γ／
／A
c卜＼
因为椭圆的离心率‘＝÷｀所以闽＝2‘｀b＝√百r,
→＝→
FA·CB
→
～→
可得FA≡（c,√百t）’CB＝（-2c,√§D,得cos么BDA＝→→
｜FA｜
。
｜CB｜
］
≡≡≡ˉ—二一
2√7,
因为乙BDA＝丝BDF,且乙BDF巨（0,沉）,
所以tan丝BDF＝√1-cos2乙BDF≡3√可
cos丝BDF
故本题正确答案为3√百;
178. ［答案］
-但
2
［解析］
本题主要考查双曲线与直线的综合问题
由双曲线α工2＋by2＝1知其渐近线方程为α工2＋b〕2＝0,设A（工l ,M）,B（工2 ,y2）’则有α工;＋b）′;＝0o,αxi＋by:＝0
@,由o-o得α（工带
工;）＝-b（y｛
y§）.即α（r1＋工2）（工1—工2）＝
b（yl＋y2）（y1＿y2）,由题意可知工l≠Z2 ,且
.
50
·
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z1＋堑2≠0,所以旦.γ!—γ2＿—÷,设AB的中点为M（z0,γ0）,则隐αM＝业＝堑-
工1＋工2
工1
工2
工0
2工0
虑铡≡
1｀所以—乎×（＿l）≡—÷’所以÷ˉ—
√可
O
2
°
ˉ—乎,又知
~
）′1-厂y2
r1＋工2
179. ［答案］
（-◎◎’-2-√面）O（2’＋°°）
［解析］
本题主要考查直线与双曲线相交的弦中点相关问题
（J＝h工＋l
联立（
可得;（1-虎2）工2-2Ar-2＝0.
（工2-J2＝l
萨△＝4此2＋8（1-虎2）＞0
2呢
因为直线与双曲线左支有两交点,所以弓工l＋z2≡T≡F＜0
,即1＜虎＜√Ⅲ
“l玛ˉ六＞0
1
故AB中点坐标为（☆,岸）’直线′;’-1当愿＋2
1-虎2
（工＋2）,故6＝
2
-2皮2＋虎＋2
由虎e（1,√百）可得:b〔（
°°·-2
√百）O（2,＋°°）.
］
~
β
）
］
—
↓
炎
（
17
16
180。［答案］
［√百,侗＋1］
［解析］
本题主要考查双曲线的知识·
设左焦点为F′ ,令｜AF｜＝厂l
’ ｜AF′ ｜＝厂2 ,
则BF｜＝｜AF′ ｜＝厂2 ,故｜BF
｜AF｜＝2α,即厂2-厂l≡2α。
因为AF上BF’点A与点B关于原点对称,故（）A｜≡｜（）B｜＝｜OF｜≡c,
所以厂｛＋厂:＝4c2→（厂2-厂l）2＋2厂］厂2＝4C2→了］了2≡2（c2-α2）.
又么ABF＝α,故乙AOF＝2α,厂;＝c2＋c2—2c2cos2α＝2c2（1-cos2α）,
同样厂:＝2c2（1＋cos2α）.厂｜厂,≡2c2
早
●
｀／rT＝
√1-cos22α≡2c2
sin2α｜
’
cos2α）（1＋cos2α）＝2c2
司
」
侗
—
日
’
司
』
—
’
～
尸
｜
｜
｜
｜
＝
任
α
耻
〗
∏
□
Ⅲ
习
」
。
副
吕
是
刑
□
儿
于
＿
『
’
■
司
｜
｜
｜
｜
｜
旦
巴
→
冗
—
∩
·
‖
止
●
沉
—
＾
◎
∑
巴
厂
｜
｜
［~
≤
α
∩
乙
α
可
」
∑
］
∏
以
＋
■
■
且
吕
佰
∑
所
’
夕
～
∏
凹
『
◆
］
｜
ˉ
徊
日
’
α
∏
＿
∩
○
〗
［
为
●
案
〗
冗
—
皿
℃
＿
—
尸
｜
｜
＝
答
确
α
〔
〗
α
正
Ⅲ
为
题
已
】
儿
吕
￡
℃
因
本
故
又
故
,可得ee［√百’√可＋1］
181. ［答案］
2工＋8y＋7＝0
［解析］
本题主要考查双曲线与直线的综合问题
电
‖
』
■
‖
卫
~
~
~
厕
刃
—
日
诡
丁
∩
芍
丁
凸
’
吨
丁
／
｜
｜
｜
｜
乙
〕
｜
｜
〔
≠
伺
‖
贝
γ
）
∑
〕
’
∑
工
（
β
’
）
』
〕
’
］
冗
｀
（
八
点
设
’
意
题
依
γ;亏γi ’即
≡≡≡
凹
工｜＋工,
~
~
J］＋y2
凸
◎
△
工
■
】
』
冗
］
—
β~~
◎
凸
γ
曰
］
儿
γ
√
,两式相减得
又
1
◎
臼
元
■
‖
凸
工
线段八B的中点坐标是（÷’—l）｀因此襄｜＋壁』ˉ2×÷-l,γ｜＋№＝（
l）×2-—2｀
‖
工1＋工2
1
J］ˉ厂y2
2
＿÷’即直线八B的斜率为—÷’直线′的方程为γ＋｜-—＋（垄—＋）,即2堑＋8’＋7ˉα
·
51
·
y1-γ2＝
工1-工2
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182° ［答案］
冗αz
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的综合.
如图所示,／为丝F2PQ的角平分线,因此乙FlPR＝丝QPS＝乙F2PS＝0,又FlR-［〔,F2SˉL′.所以｜RS＝｜PR｜＋
｜PS｜＝｜PF1 ｜cos0＋｜PF2 ｜cos0＝（PF1 ｜＋｜PF2
｜）cos0≡2αcos0.随着点P在椭圆上运动,cos0e［0,1］,所以
RS｜〔［0’2α］,即点R、S在直径为2α的圆内运动,故形成的图形的面积为冗α2.
↑y
吐～＿但一一夕
“
故本题正确答案为冗α2
徊
—
∑
183。［答案］
［解析］
本题主要考查椭圆的定义与性质.
设椭圆的右焦点为E,如图所示,△FAB的周长为AB｜＋AF＋｜BF｜≡AB｜＋（2α
｜AE｜）＋（2α-｜BE｜）≡
4α＋AB｜-｜AE｜
｜BE｜,因为AE｜＋｜BE｜≥AB ,所以｜AB｜
｜AE｜
BE｜≤0,当AB过点E时取等号,所
以△FAB的周长｜AB｜＋八F｜＋｜BF｜＝知＋八B｜—｜AE｜—｜BE｜≤4α,最人值为4“’此时△FAB的面积为＋×
2c×巫-αb｀所以α恩＝26幢’平方得α4＝4〔α』
c』）c』.即岭—4嚼:＋l-0｀所以‘＝罕
α
吕
故本题正确答案为?
y｜
184. ［答案］
2√7—5
［解析］
本题主要考查椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、曲线与方程及平面解析几何。
直线A｜B』的方程为;÷＋÷-l;直线B!F的方程为;÷＋当-l二者联立解得;T（簧,等主子
M（岩,器二｝）在椭趾椰（六）,十＋鹃÷:-!,
2
°
52
·
）,则
′
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化简得C2＋10αC～3α2＝0,
即e2＋10e-3＝0,解得e＝2√7-5
故本题正确答案为2√7-5。
185。［答案］
（4,0）
［解析］
本题主要考查抛物线的性质。
由抛物线y2＝4r,得户＝2’易知直线l的斜率存在’设经过点F的直线l:y＝炎（r
l）,A（工l ,y1）,B（工2 ,J2）,将y＝
＂（堑
1）代人,:ˉ4堑碍犀雾』＿（:藤＋4）躯＋辱-0,所以甄!＋趣—2＋÷,利用抛物线定义得,堑!＋唾-｜AB｜
′
-6ˉ2＝4,即2＋÷ˉ4,所以愿ˉ±√百因为八B中点坐标为〈2,隐）’所以AB的垂直平分线方程为’
隐≡——.
1
龙
Cr-2）,令y＝0,得工≡4,即P点的坐标为（4’0）.
186. ［答案］
√面ˉ
［解糯｜＂厂勘＾得y2＝8工,抛物线C的焦点坐标为F（2,0）’直线方程为y≡工-2,即工-y＿2＝0。因为直线
（〕＝8t
γ→＿2与圆（墅ˉ粤》,＋删曾→,相切｀由题意得′ˉ｜T:｜≡√霄
187。［答案］
O@O@O
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的综合性计算.
o项,设A（堑｜,№）,B（…）则焦点弦AB长为恋｜＋÷＋露』＋:-互1＋鞠＋户,圆倒准线′的距离为露宁:＋
;-÷｜AB｜』则以焦点弦AE为直径所作的圆与准线′相切｀故o正确;
O
@项’设A（露1 ,№）,B（工凰｀M』）｀F（
c｀0）侧焦点弦AB长为.（z］＋等）＋詹（露:＋竿）-僧（露1＋工z）＋2α、圆心到
准线′＂跑离为堑宁:＋竿＞＋｜AI］｜—
F（工1＋工2）
2
＋α（e＜1,旦≡＞α）,则以焦点弦AB为直径所作的圆与准线l
C
∩
乙
相离,故@正确;
◎项,设八（…』）,B…:）,F（—‘,0）,则焦点弦∧B长为′（霍!＋等）＋‘（堑:＋等）→（露1＋翔）＋2α,圆心到
撇线′的距离为药宁』＋等＜＋AE｜—
e（工I＋工2）
2
2
＋α（‘＞l,÷＜α）,则以焦点弦AB为直径所作的圆与准线′
相离,故o正确;
@项,设AG与FH交于M9BD与FH交于lV,AD＝Zy ,AF＝e工,BG＝y9BF＝ey’由平行线分线段成比定理可知
尸∩
●
OQ
●
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△ABG中MF＝工.豆旱万＝黄’△BDG中M″＝γ.—鱼二＝ˉ丝＝MF,则M为FH中点’同理可得N也为
e工＋ey
工＋y
FH中点,所以AG与BD同时经过FH的中点＄故@正确;
睡项’设A（堑｜.驯））,B（鞠.№）’F（
‘｀0）侧2‘｜FH｜-2‘（弯兰＋等）＝‘（爽｜＋鞠）＋:“≡｜AF｜＋｜BF｜｀故o
正确
188。［答案］
OO
［解析］
本题主要考查直线与圆的方程°
O
由题意｀设直线方程为;α露＋6川＋c＝0｀直线′到圆心的距离为创｀由弦长公式÷-√F霄≡歹≥亏＝l,所以d≤l,
由…线距离公式得｜″赌紫霄｜≤l′隙‖‘≤渗十b』;
O项·联立抛物线方程得6工2＋α工＋c-2b＝0’若b＝0,则α≠0’有解工＝-ˉ二;若b≠0’△＝α2＿4b（c-2b）＝α2＋
α
8b2＿4bc≥C2＋7b2—4bC＝（C—2b）2＋3b2＞0,所以必有公共点;
o项…』…心的…』｜…摧段‘湍霄取″≡＂｀醚＝—］.…件.丽摆卡-2＞』
二二＝
直线l与圆没有公共点;
2
o项｀6＝0时’则α≠0’工-—二.‘:≤α』.联立椭圆方程得;γ』＝l—危≥l—÷＝÷｀所以必有公共点』b≠0时’联
α
立椭圆方程得:（62＋2α2）工2＋4αC工＋2C2-2b2＝0,△＝（4αC）2-4（b2＋2α2）（2C2-2b2）＝-8b2C2＋8b4＋l6α2b2＞
0,所以必有公共点;
2
@项,b＝0时,则α≠0’工＝二,‘2≤α2’联立双曲线方程得;γ2＝÷—l≤1—l＝0,取‘＝÷可知不存在公共点
α
α
综上可知本题正确答案为oo.
189。［答案］
√百
［解析］
本题主要考查极坐标系和抛物线定义.
转换为直角坐标系,p所在曲线y2≡4工,直线工＋1＝0,刚好为抛物线准线,焦点为F（1,0）.于是α＝｜PF｜, ｜PA｜＋
α＝｜PF｜＋｜PA＝｜AF＝√直
故本题正确答案为√Z
190。［答案］
√百
［解析］
本题主要考查参数方程、极坐标、双曲线方程的性质
厂粤（…‰
由直线』的参数方程为
｜γ≡鲤＋乎′
·
54
·
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得直线』的直角坐标方程为工＋y＝2α.
曲线C的极坐标方程为p2cos20≡3,
即p2（cos20～sin2β）＝3,
转化为直角坐标方程为工2-J2＝3,即曲线C为双曲线,
2
2
标准方程为÷-等＝1,
O
O
厩…心辜.—÷≡甲／等可≡徊
所以直线l经过点（√百,√可）,
代人方程工＋y＝2α,解得α＝√豆
故本题正确答案为亿
l9M答鬃］乎
［解析］
本题主要考查椭圆的离心率及极坐标与普通坐标的转换
2
2
由题可得’椭圆C的一般方程为÷＿萨-1（凰＞b＞0）,直线!的＿般方程为r—y＝卿,圆的-般方程为墅』十γ:-
b2 。由于直线l经过椭圆C的焦点’且与圆O相切,故有｜m｜＝√Z,而焦点为（c,0）,故c2＝″?2＝α2-b2≡2b2 ,则有
·瞥ˉ泌』,敝离心率馁-÷ˉ悬≡粤故椭鼠｜C的离心率为乎
192. ［答案］
4αb＝1
［解析］
本题主要考查双曲线及其渐近线方程
由题意有el＝（2,1）,e2＝（2,-1）是渐近线方向向量,
-＞
又OP＝αel＋膨2＝（2α＋2b,α-b）’点P在双曲线上,
所以（2αˉ专2b）』-（α-b）2＝1,化简得4α6≡1。
故本题正确答案为4αb≡1.
193. ［答案］
工＝5
［解析］
本题主要考查抛物线及垂心的应甩
由题意’因为F是△OAB的垂心,所以OF」～AB,所以AB儿工轴,不妨设AB的方程为工＝″〖,其中m≠0,则A（′″,
2√mB（砸,
2师）.由AF」—oD叮得腮顺.肉「测≡籍. （ˉ竿）＝1’解得″＿5故直线AB的方程为
工≡5.
故本题正确答案为工≡5。
194. ［答案］
10
［解析］
本题主要考查抛物线的性质及其相关计算.
设A（Z1 ,Jl）,B（Z2,y2）,焦点F（0’1）,
由中点P的坐标可知,yl＋y2＝8,
-＞
-一＞
由抛物线的性质可知, ｜AF｜＋BF｜＝J1＋1＋’2＋1＝（Jl＋y2）＋2＝8＋2＝10.
故本题正确答案为l（）·
「＝「＝
●
OO
●
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企
↑
圣
｀
＋
｝
—
′
←
‘
→
拦
｜
〖
≡
‖
′
←
~
~~
←
恰
翱
盘
~
~~~
｜
仆
Ⅲ
】
『
｜
↓
‘
＄
申
ˉ
↓
小
｜
γ
血
’
乓
十
｛
牛
·
斗
‘
ˉ
′
器
′
芦
护
尸
～
】
十
广
哮
乒
‖95［答案］
1或2
［解析］
本题主要考查抛物线方程和直线方程。
直线方程y-（-2户）＝贞（工
2）,J＝h工-2虎
2户,与抛物线联立,△＝0可得,摊2—4尚-4户＝0
＂］＋陶-÷,k1陶—ˉ（
切点横坐标为露-′膛’于是γ≡孪
γ』＋鞠-÷（蹄＋睹）≡（紫＋s）÷≡』2
于是户＝1或P＝2.
故本题正确答案为1或2·
196。［答案】
0
［解析］
本题主要考查抛物线和直线斜率的综合问题
设A（z! ,γ］）’B（翱z ,γ』）,C（驹,γ｀）,F（÷,0）｀由丽＋丽-—克’得y!干№）‘-α区
’‖笔, ｀所以隐徽c-沁毛, ｀膛腰-羔』,所以志十点＋志—汕薪＋γ崇｜＋等感-＂
y2
Jl＝
因为虎AB＝工2-元l
［答案］
0
［解析］
本题主要考查抛物线.
设氯A坐廊为（粥,』＂）测oA的斜率为隐-券-警.
2户
所以直线PQ的方程为y≡警（涎ˉ;）,
…戊↑—÷｜………
设点P、Q坐标分别为（工l ,〕l）、（工2 ,y2）,
则蓟』十题ˉ4等″;…:—丽—丁
-户4
户2
由抛物线定义可得｜FP｜＝工1＋÷, FQ＝r2＋÷
所以FP‖m｜≡（墅』＋÷）（翅＋;）…＋÷《堑』＋粟:〕＋等≡芋＋等＋乎＋等≡′』＋乎
由于直线OA的方程为γ-虹-丝z,B点的横坐标为÷,
JO
197
红
№
为
标
坐
纵
的
占
…
β
则
’
咒
丁
＋
〗
户
~坷色）
＄
户
＋
∑
№
—
』
（
√
~′＿诡
＋
〃
茎
』
′
〃
川
γ
断以｜oA｜OE｜≡√蒜—流
故｜FP｜
FQ｜-｜OA｜｜OB＝0
故本题正确答案为0。
56
·
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198。［答案］
6
［解析］
本题主要考查抛物线、向量、三角形知识的综合应用.
设A（工1 ,yl）,B（工2 ,y2）,C（工3 ,J3）’由题可知抛物线焦点坐标为F（1,0）,准』
→--＞→
因为FA＋FB＋FC＝0·
所以点F是△ABC的重心,则有工l＋工2＋工3＝3,yl＋y2＋y3＝0.
＞
→
≡→
由抛物线定义可得｜FA｜＝工l
（
1）＝工l＋1, ｜FB＝工2＋1,FC≡工3＋1,
＿→
—＞
→
所以FA＋｜FB｜＋｜FC｜＝工l＋工2＋工3＋3＝6.
故本题正确答案为6.
、三角形知识的综合应用.
由题可知抛物线焦点坐标为F（1,0）,准线方程为Z≡-］
199。［答案］
4
［解析］
本题主要考查双曲线的计算
如图所示:
卯
｜AFl ｜＝｜AF2 ｜＋2α＝2＋2＝4,
设BF2＝‘r,所以BFl≡2＋工,而｜AB｜≡2＋Ⅱ
又因为丝FlAF2＝45。,
所以△F1AB为等腰直角三角形.
所以｜AB｜＝｜BF｜
＝2√百.
所以s△F』蛔＝÷×2√霄×2√百≡仙
故本题正确答案为4。
200· ［答案］
6
［解析］
本题主要考查抛物线.
设A（蜒1 ,’］）,B（工』,y2）.AB的中点E的横坐标为工!＝』—2
乙
所以r1＋工2＝4,即J;＋y;≡16,
√（工］-工2）2＋（）′1-y2）2
所以AB｜＝
≡√（工l＋Z2）2-4虐r1工2＋）′子＋y;＿2yD′2
.
57
°
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日
γ
］
〕
◎
△
尸
冗
γ
■
〗
』
｜
丁
闻
乙
◎
凸
〕
」
△
α
凸
］
』
γ
＝
尸
○
可
□
上
√
√
〗
、
／
↓
＋
∑
〕
］
〕
（
］
—
止
β
日
＝√丽＝6,
所以｜AB｜的最大值是6
故本题正确答案为6·
201. ［答案］
2
［解析］
本题主要考查抛物线的性质与计算
焦点F坐标为（0,÷）,斜率膛＝1,故直线方程为y-拯＋÷,
,………籍……仁捕
消去y得r2
2户工
户2＝0,
由根与系数的关系得露］＋绳-2′,药］鞠＝—′』.梯形ABCD的面积S＝÷（γ｜＋№）｜露1—堑Ⅱ
≡÷（工!＋工魁＋′）｜露｜ˉr,
｜
＝÷（堑｜＋烫2＋p）√（墅｜＋鞠）』—4平′
＝3√面》2＝12√百,
解得户＝2.
故本题正确答案为2.
202. ［答案］
30°
［解析］
本题主要考查抛物线定义
由抛物线定义,AF＝AN＋÷,
由BF＝÷,得AB＝AN
又由么BAN＝60°,得△ABN为正三角形
则丝ONB＝90°-丝BNA＝30°·
故本题正确答案为30°.
［答案］
［3,＋°◎）
［解析］
因为］V（2’2）,所以yi＜4工N,故点］V在抛物线内
［解析］
因为］V（2’2）’所以〕为＜4工N,故点］V在抛物线内
］
‖
’
■
。由抛物线的方程可知其准线方程为工＝
1,因为抛物
线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离α,所以仅当MN所在直线垂直抛物线的准线时, ｜MF ＋｜MMm［n≡
工N—（-1）＝3取得最小值, MF｜＋MV｜取不到最大值,所以MF｜＋
MlV｜巴［3,＋·◎）.
故本题正确答案为［3,＋°◎）.
·
58
·
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204。［答案］
y＝±2√面士
［解析］
本题主要考查双曲线的基本性质.
双曲线的方程为8″—虹:～8’即芋＿普≡l,
——
虎
尺
敏双曲线的渐近线方程为千—÷-0.凰‖y≡士2√酝
了了
故本题正确答案为J＝±2√酝。
20氢［答案｜竿
［解析］
本题主要考查抛物线、直线的综合应用.
（〕＝h（工＋2）
设A（zl ,γ! ）,B（工2 ,γ2）’联立直线和抛物线方程｜
.
（γ乙＝8工’
消去堑得〗2—÷＂＋l6≡0,
8
则y1＋y2≡了’yly2＝16。
由于｜FA｜≡2｜FB｜
,
所以y1＝2y2 ,又J1j′2＝l6,
解得）′l＝4√百,y2≡2√百,
代人抛物线方程’可求得A（4’4√百）,B（1,2√百）.
把点A坐标代人直线方程得4√百≡隐（4＋2）’所以隐＝竿
故本题正确答案为旦4旦.
Q
206. ［答案］
2√百
［解析］
本题主要考查双曲线与抛物线方程
由题意可得双曲线的焦点坐标为（±√F丁百,0）,抛物线的焦点坐标为（2’0）
而可知该双曲线的实轴长为2√豆
故本题正确答案为2√Z
所以有√百了丁百＝2’解得α＝±√面,从
207. ［答案］
y2＝8工
［解析］
本题主要考查抛物线的第二定义。
设P（工,y）’由题意有（工
2）2＋（y-0）2＝［工
（-2）］2,所以P的轨迹方程为J2≡8工
故本题正确答案为y2＝8刃.
r
?
208. ［答案］÷
［解析］
本题主要考查双曲线与方程的应用.
因为曲线C!的焦点为（±2,0）侧椭圆C』的焦点也为（±2,0〕,个妨设C』的方程为c』;苦十莆≡1侧由焦点坐标
得C＝2·由于｜FlF2 ｜＝｜FlA｜＝2C＝4,
·
59
。
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由点A是第-象限的交点,则在双曲线C1中满足｜F1A｜
｜F2A≡29
则F2A｜≡2,则在椭圆C2中满足｜FlA＋｜F2A＝2α＝4＋2＝6,
尸
9
则α≡3,则椭圆C2的离心率e＝ˉ二＝÷.
α
d
故本题正确答案为÷
O
209. ［答案］
4
［解析］
本题主要考查抛物线和双曲线相关量之间的关系
双曲线÷—÷-1的半焦跑≡√云霄不萨≡√霄军霄—2,
所以双曲线的右焦点为（2,0）,所以抛物线〕2＝2户工（户＞0）的焦点为（2,0）,
所以P≡2×2≡4。
故本题正确答案为4.
210。［答案］
（√百—1,1）
［解析］
本题主要考查椭圆的性质°
设P（工,y）,因为PQ」ˉ′,四边形PQFA为平行四边形,
所以PQ｜≡工＋二＝｜FA｜＝α＋c,可得工≡α＋c-卫二,椭圆上点P的横坐标满足正e［—α,α］,且P、Q、F、A不在
C
C
＿条直线上,
所以
α＜α＋c-二＜α
C
即2α＋C丝＞0且c-丝＜（）,化简得2＋e～ˉ上＞0
（
C
e
即e2＋2e-l＞0,解之得e＜
1
√百或e＞√面-l9
因为椭圆的离心率ee（0,1）,所以椭圆的离心率e的取值范围是（√百
l,1）
故本题正确答案为（√可—I,1）.
计算题篇答案解析
211。［答案］
（1）由已知9A（-α,0）,B（0vb）,F（1,0）,
＿→
-＿＞
＞→
则由（）F·FB＝AB°BF得62-α-1＝（）,
所以α2-α-2≡0解得α＝2,则α2≡4,b2＝3·
所以椭厕E＂〃程为宁＋等-L
（2）记C（工1 ,J1 ）（y1≠0）,且A（
2,0）,
则线段AC的中点M（罕’÷）｀易知隐＾c＝岩2｀
工1＋2
灿｜-＿J厂侧』;测÷ˉ ′÷2（墅罕）
·
60
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令露-0碍她≡÷＋守二｛
4＋γ; ,考虑剑芋＋等-1,知蜘-
2yl
即N（0’
÷）,于是丽.∏污—（—2,÷）. （雾｜,等）-0,
r;
4＋y;
’
】
—
∩~~
］
｀
≥
◎
△
○
∑
日
工
§
β
＋
工
了
得
］
同
护
川
—
∩
◎
＋
’
叮
丁
人
代
解得z｜-÷或延］＝ˉl4（舍去）｀γ』-±芋
即点C的坐标为（÷.旱）或（÷’—芋）
［解析］
本题主要考查椭圆方程和向量的坐标运算.
（1）求出各点坐标后得到等式中各向量的表示,解得α2和62的值即得到椭圆E的方程.
（2）设出点C坐标’由于点A坐标已知,故可得到AC中点坐标和直线／方程,将点N坐标代人直线′方程中’与椭
圆方程联立即可得到点lV纵坐标与点C纵坐标的关系,代人向量积为（）中,即可解得点C坐标
212. ［答案］
（l）设D（工,Ⅳ）,因为丝ADC≡90°,所以AD2＋DC2＝AC2
则（工＋2）2＋y2＋（工-1）2＋y2≡9。
即工2＋y2＋工-2≡0,o
2
因为点D在椭圆E上,所以÷!γ2＝l,@
联立o@,消去y,得到3工2＋4工-4＝0,因为
2＜工＜2,
所以r—÷代入椭圆方程得,≡竿
所以△八DC的面积S＝÷×3×竿-√面飞
≈
凹
2
（2）设P（z0 ,γ0）,直线PA的方程为γ＝当,（工＋2）,代人椭圆方程÷＋γ:-l,
斗0~‖≈
2
即露:｛4γ』
4-0,得涵:＿4×（羔2）,（r—2）』
4-α
固为雾;＋’;≡4,所以堑:＋｜×÷羔（露＋2）』
4—0,
整理得（l0
3工0）Z2＋（32-16工0）工＋24＿20工0＝0.
1Or0-12
此方程有＿根为-2,设D（工l ,γl）,则工l≡10
3工0
,
4y0
代人直线PA的方程,得yl＝10-3工0。
4J0
］0-3工0
4y0
贝｛隐1-宗与,腮』-÷1
10矿懒
l2
」3堑＂—22
≡≡≡
＝
1
10-3工0
◎
61
。
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J0
‘!
∑』
2 ≡十×l等≡;2＝＋×（］;＋六）
·
因为虎l＝入皮2 ,所以∧＝万＝
4y0
13正0-22
圃为ˉ2＜工,＜2｀延,≠器’所以∧的取值范围为（—函’0）0（0,3儿
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的曲线方程与直线和圆锥曲线的位置关系
（I）本题可先设出点D的坐标,然后求出AD,DC,AC的长度,再利用勾股定理得到D点横纵坐标的关系.又因为
D点在椭圆上,所以可再次得到D点横纵坐标的关系.两者联立便可解得D点坐标’进而求得△ADC的面积。
（2）本题应该先设出P点坐标,进而将PA的方程与椭圆方程联立,进而求得D点坐标（用P的横纵坐标表示）,然
后再求出隐! ’隐2 ’而入＝皂’再根据P点坐标的取值范围便可求出∧的取值范围
尺9
［答案］
（D椭圆w;子＋γ』＝l的右顾点B的坐标为（2’0）
因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分。
所以可设A（l,咖）,代人椭圆方程得÷＋砸:-l、
即枷-±卓
所以菱形αABC的面积是÷｜（）B｜. ｜AC｜＝亏×2×2｜狮｜-√可
］
（2）四边形OABC不可能为菱形.理由如下:
假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点’且直线AC不过原点,
所以可设AC的方程为y＝虎工＋加（此≠0,m≠0）.
（刃2＋4y2＝4,
由｜γ-腮堑＋獭,
消去y并整理得
（l＋4炎2）Z2＋8hm工＋4加2-4≡0·
设A（工l ,〕l）,C（工2’y2）,则
2
1舞』｀』宁』≡虑.宁』十脚≡」＋雌Ⅻ
工1＋工2
加
所以AC的中点为M（ˉl摆』’l尚膝儿
因为M为AC和OB的交点｀所以直线OB的斜率为—女
因为腮.
（
六）≠—｀』所以AC与OB不垂直
所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时’四边形OABC不可能是菱形.
［解析］
本题主要考查圆锥曲线、曲线与方程。
（1）OABC是菱形等价于AC与OB垂直平分;OABC是菱形｜
（1）OABC是菱形等价于AC与OB垂直平分;OABC是菱形时
213
A点横坐标为1,从而可得出AC的长;
（2）设出AC的直线方程y＝虎工＋加,与椭圆方程联立,由根与系数的关系和中点公式可得AC的中点坐标
中点,从而得到oB的斜率为
六』与菱形的条件矛盾｀即不存在
·
62
·
即OB的
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214. ［答案］
（1）由题设知αz＝62＋C2 ,e＝ˉ旦.由点（1’e）在椭圆上’
α
’
广
—
”
｜
＋
‖
］
—
矽
得
≡1,解得b2＝1,于是C2＝α2-1
又点（‘,乎）在椭圆上.所以÷＋志-l,:‖旱＋÷≡｛,解得α:≡a
α
2
因此,所求椭圆的方程是÷＋γ:＝1
（2）由（l）知Fl（-1,0）,F2（1,0）,又直线AFl与BF2平行,所以可设直线AF1的方程为正＋1＝加y,直线BF2的方
程为工-1≡′＂y。设A（工l ,yl）,B（Z2 ,y2）,yl＞0,y2＞0.
由｜亨＋渝≡』得（m2＋2）y;-2′″y］＿l＝0,
｜堑1＋1＝′″γ｜
″!＋√2加2＋2
解得）′l＝
加2＋2
＝√（′′o′l）2＋’;＝√面（m2＋1）＋″′√》′』2＋1
m2＋2
√（工］＋1）2＋（yl-0）2
故AFl＝
o
同理,BF2＝√面（加2＋1）-′n√丽百丁丁.o
7＂2＋2
（
｜）由oo得｀F』—1』F骡ˉ:啊′舞7｀解瞥獭〃海了ˉ乎得獭』ˉ:｀注意到硒＞＂故狮ˉ√赢所仪值线AF｜的
斜率为上＝坚
加
乙
（｜）证赐;……F｜与BF』平行.所以祟≡祟｀于是P尝P1ˉ
由B点在椭圆上知BFl＋BF2＝2√百’
从而Pr!-AF鸽F:（2徊—‘F膨）
同翅PF:ˉAF鹊F望（』徊—AF｜1
BF2＋AF1
AF］
,故PFl＝
·BF］
AF1
AF1＋BF2
圃此.PF｜＋PF赠-＾F芒盂喇√r—［』F霞』＋丽＋BF′
BF2
（2√百-AFl）＝2√百-
又由OO知AF1＋BF2＝2√百（′″2＋l）
″l2＋2
,
AF』.BF』＝鹊.
2AFl ·BF2
AFl＋BF2
所以PF!＋PF:-2徊—粤-乎』因此,PF;＋PF』是定值
［解析］
本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线方程的计算。
（1）由离心率公式、巳知的椭圆上的点的坐标,求出椭圆方程。
（2）由（1）问所求的椭圆方程得到Fl （＿1’0）,F2（1,0）’由直线AFl与直线BF2平行’即斜率相等’设出直线方程及
A,B坐标.
·
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（
｜）求出AF｜,日F』的表达式,代人AF｜—RF:-乎·解出直线的斜率
（
｜｜）运用AFl ／／／BF2的几何关系和“椭圆上＿点到两焦点的距离和为2α”,推导并用AFl ’BF2
之后运用AFl ,BF2的表达式来推导证明PFl＋PF2为定值
来表示PFl＋pF2
;
—
［答案］
（1）由题意,F1F2＝2c＝2,c＝l。
所以A（α2 ,0）.
因为丽-2顽,所以F,为∧F｜的中点.所以α凰-:.萨-2椭圆的标准方程为÷＋÷≡］
〔2）当直线PQ和MN之—与弱轴垂直时,四边形PMQN的面积S＝÷MMpQ＝恕
当直线PQ,MN均与工轴不垂直时,不妨设PQ:〕＝h（工＋l）（炎≠0）,
「V＝肉（工＋1）
｜←
联立｜兰＋等≡1.代人捎去帽》（2十3膨）露:＋6膨卖十（3膨ˉ6）-α
~＼O
乙
-6虎2
3k2
6
设P（工1 ’yl）,Q（工2 ,〕2）’则工l＋工2＝2＋3炎2 ·刃l工2＝2＋3虎2 ,
』侗（古＋1）
所以｜PQ｜-√∏页可堑÷—露』≡4侧或l》.问螺｜Mv｜≡
｜
｀
9＋q-二
≈｜凹虎2
2』（膊＋☆＋:）
所以四边形PMQN的面积S＝寺｜MN｜｜pQ＝′
］
｀
△
6（陶:＋京）＋l3
215
令“≡摩＋☆得s-2｛鞠）—』—→,
」Q十O观
易知s是以“为变量＂增阔数,因为“-膨＋÷≥2,
所以当隐-±l｜即“-2时｀s耐恫-器,
所以器≤s＜4综忙可知’单≤s≤坐
△O
所以四边形PMQN的面积的取值范圈为［器,4］
［解析］
本题主要考查圆锥曲线。
（1）根据椭圆的焦点坐标和｜AFl≡2AF2求出椭圆方程
（2）设两条直线的方程,求出两条对角线的长度,表示出面
表示出面积,求面积的取值范围’注意直线斜率不存在的情况
2l6｛答案］
（l）巾题意,设椭圆的标准方程为÷＋器＝l（“＞b＞0）｀由焦点F,的坐标为（l｜0）知“凰—6,＝l》
再罐—斧≡』,整理得』≡±等
因为过F2垂直于长轴的弦长｜AB｜＝3,
所以巫≡3,联立以上两式可解得α2＝4’b2＝3,
α
2
2
所以椭圆的方程为÷＋÷＝L
·
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（2）若′l ,l2中-条的斜率不存在,则另-条的斜率为0’
此时, ｜P1P2
≡4’ ｜P3P4 ｜≡｜AB｜＝39
于是｜Pl乍』「＋｜P方』｜-＋＋÷-志
若／］,′2的斜率均存在且不为0,设l］的方程:〕＝肉（工＋1）,
则′』的方程;γ＝—÷（工＋l）.联立′,与椭圆的方程消去蟹得』（瓣:＋4）γ:＋雕γ
9＝0
9
设P3（工l ,yl）,P4（工2 ,J2）,所以J1＋J2＝
丽了干ryly2＝
jF干I,
所以｜P』P. ｜≡√I丽｜’』
测, ｜≡√『下w
同理可得; ｜P‖P』｜≡｜摆者）’
4尚2＋3｜3诧2＋
所以｜P!＋2 ｜＋｜P壶』
｜
12（膨＋l）十丽叮
综上知｀｜B卞2 ｜＋｜P爵＋』｜≡古（定值儿
4龙2＋3
’
4尚2＋3
｜
3诧2＋
12（支2＋1）
｜l2（龙2＋
36炎2
12（点2＋1）
~~
』
』
＋
｜
户
◎
∏
◎
〗
】
虎
冈
√
卜
（3龙2＋4）2
3肉2＋4
4
了
□
—
皿~~
1）
因为沽∏＋｜P方』≡击≥q√而lF′ ｜旧P』
｜
·
1
所以｜P｜P』‖P』P』≥（竿）2-署｀
所以s＝÷｜P』P,
｜｜P瓢P』≥誓
当目仅当｜Pl÷;
｜P壶. ｜即l糕鸟）蒜兰）时,s最小此时解得腐≡±｜.
所以四边形PlP3P2P4的面积S最小时’』l ,』2的直线方程为y＝±（工＋1）.
［解析］
本题主要考查直线与椭圆方程的求法以及曲线方程的计算.
《1）由焦点坐标可知‘—l》而｜AB｜-乎,代人数值及磷ˉb:＋‘』的关系式,便可求出椭圆的方程;
（2）分类讨论直线′l、′2的斜率是否存在及是否为0,将直线方程与椭圆方程联立’借助根与寄
l
｜
1
° .
°
.
.ˉ
｀.
.←. ˉ-
ˉ
ˉ
讨论直线′l、′2的斜率是否存在及是否为0,将直线方程与椭圆方程联立’借助根与系数的关系’得出
＋亩可的表达式并判断是含为定值’然后利用基本不等式求解面积s的最小值
PlP2
217. ［答案］
（1）因为椭圆的长轴长为4√百,故α＝2√百,
又与椭圆÷＋于≡1有相阀＂离心率筐—÷·
故‘≡2’b＿2,所以椭圆M的方程为÷＋子ˉ1
（2）不妨设存在圆C:工2＋y2＝厂2（厂＞0）。
（
｜）若／的斜率不存在,设′:工≡厂,则A（厂,）′0）,B（厂,
y0）,
→～→
由OA.OB＝0得到产-y;＝0,
又÷乎＝l捎去№得到忻』≡÷,
所以z恿＋酬2-÷;
。
65
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｜砸｜
（
｜｜）若／的斜率存在,设』;γ≡虎工＋加,因为′与C相切,故厂≡√T丰两,
即m2＝厂2（l＋虎2）,o
将直线l方程代人椭圆M的方程,得（1＋2k2）工2＋4hm工＋2加2
8＝（）.
4虎″T
2′门2-8
设A（工l ,yl）,B（工2 ,y2）,由根与系数的关系得r1十Z2≡雨,工l工2≡…ˉ·
由oA.oB-0得到…＋沁№≡（｜十藤）芒蒜＋虑狮百等十啊噶≡0,化简得;″』≡:＋雕』.◎
ˉ→-→
联立o@得厂』-÷
综上所述｀存在圆C;露瞳＋’』＝÷
由萨:-÷得
｜AB｜2＝（l＋A2）［（工l＋工2）2-4工l工2］
32
4k4＋5户2＋1
＝—·
3
1＋4肉2＋4肉4
≡等（l＋1＋彦＋雌』）
｜丽÷｛｜隐…（芋鸣］
32
3
当愿≡0时, ｜＾膊｜,≡等.所以｜AB｜巨［竿,』侗］
又当＂不存在时. ｜M｜≡竿.敬｜AB｜e［竿·:侗］为所求
［解析］
本题主要考查椭圆、直线、圆、向量知识的综合应用.
2
2
（l）由椭圆M的长轴长为4√百可求得α＝2√百’再根据椭圆M与椭圆÷＋÷＝l的离心率相等可建立等式,结合
α2＝b2＋C2即可求得椭圆M的方程
（2）对直线斜率是否存在进行分类讨论,当斜率存在时,设出直线方程／:y＝肉工＋咖,联立直线与椭圆M的方程’利
→-＞
用根与系数的关系求得工l＋工2 ,r1工2 ,利用OA°OB＝0建立等式可求得3″〖2≡8＋8炎2 ,设出圆C的方程,根据直线
′与圆C恫切呵求得卿』-萨:（l＋犀）’由此可求得圆C;r:＋y:-÷再利用弦长公式利基本不等式β阿求碍｜AB
的范围
218. ［答案］
（1）由已知可设圆C的标准方程为（工-″!）2＋〕2＝5（″!＜3）,将点A的坐标代人圆C的方程,得（3
″!）2
＋I＝5,
即（3-m）2＝4,解得m＝1或′′!＝5.
因为加＜3,所以加＝l。故圆C的标准方程为（工
1）2＋y2＝5′
（2）直线PFl能与圆C相切。依题意设直线PFl的方程为y＝虎（工-4）＋4,
即克工-〕＿4虎＋4＝0,若直线PFl与圆C相切,
则隐—》聋寻-侗
】］
‖
所以4h2
24克＋11＝0’解得虎≡÷或贞≡÷.
乙
乙
∩＾
·
OO
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当隐≡号时,直线PF｜与堑轴的交点横坐标为普,不合题意｀舍去
当隐＝÷时｀直线PF｜与Z轴的交点横坐标为—4’
所以C＝4,Fl（-4,0）,F2（4,0）°
所以由椭圆的定义得:2α≡｜AF］｜＋｜AF2 ｜＝√（3＋4）2＋12＋√（3-4）2＋12≡5√百＋√百≡6√百,
所以α＝3√百,即α2＝18’
所以‘≡壶-竿＞÷,
故直线PF!能与圆C相切直线PF1的方程为堑
2’＋4＝0,椭圆E的方程为荒＋÷-1,把直线方程代人椭圆
方程并化简得,13γ』
16y—2—0,故S…-4γ1
γ: ｜—丝织~
儿O
［解析］
本题主要考查圆、直线、椭圆知识的综合应用。
（1）由题可得,圆C的标准方程为（工-m）2＋y2＝5,由于点A（3,1）在圆C上,把点A坐标代人方程即可求得加,从
而得到圆的标准方程.
（2）设出直线方程,假设直线PFl与圆C相切,则有圆心C到直线PFl的距离等于圆C的半径,由此可求得直线方
程令’＝0可求得F］的坐标,再利用椭圆的定义建立等式,结合α』-b:＋‘』即可求得椭圆方程,根据‘＞÷可判
断直线PF］与圆C可以相切.联立直线和椭圆方程’利用根与系数的关系、弦长公式即可求得三角形面积.
2l队（答寨］
（l）因为.≡乎—÷,2″≡2,感:≡膀＋‘:,
所以α＝2’b＝1,
2
所以椭圆C的方程为÷＋γ:＝L
（2）设存在这样的常数入,使虎l 。虎2≡入时’S△∧oB为定值
2
设直线AB的方程为’＝粒十砸,且直线AB与椭圆÷＋γ2＝l的交点坐标为A（工］’’1）,B（露: ,’2）
则由肉l .虎2＝入,知入工l工2-y1y2＝0,
所以入工1工2-（龙Z1＋加）（贞工,＋加）＝0,
所以（龙2-入）工1工2＋陀m（工］＋工2）＋″!2＝0,O
将酬＝隐工＋m代人÷＋γ2＝1得;
（1＋4克2）工2＋8龙m工＋4m2—4＝0,
所以工1＋趣ˉ击景’@
Ⅱ』冯—誓云.o
点o蔓｜直线…腿离为感ˉ沿亏,
所以s…ˉ＋｜AB
.刨＝＋｜咖‖露!—堑』｜＝2√（4感＋｜）〃Ⅱ:＿咖』
4炎2＋1
将oo代人o,得（虎2
入）（4′″2-4）-8虎2′＂2＋″』2（4虎2＋1）＝0,
·
67
·
,@
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化简得;咖:-竿寻）′o
将o代人o得; （÷）』-（蛾:＋l）4（睁—入）（l—钡）ˉ［4（辱—入）］2
ˉ6甥斟＋（64凡馏＋…2—甥
1
（1-4∧）2（4龙2＋1）2
16虎4＋8诧2＋1
（1-4∧）2
,
要使上式为定值需;芋＝“入』丁4-犁·即藉6绷2＋4ˉ
32川,
8
1
即有（4入＋1）2≡0,解得入≡＿丁,
此时（÷）2≡＋.圆‖有S≡l′
所以存在这样的常数∧ˉˉ＋,△AoB的囱积S为定值L
［解析］
本题主要考查圆锥曲线与直线的计算.
（1）根据题中已知,结合椭圆的性质,即可求解出椭圆方程。
（2）设出直线方程,并联立直线与圆锥曲线,利用根与系数的关系,求出工l＋工2与工l工2 ,再利用三角形的面积公式,
即可求解
（答案｜
（l）由椭圆C的离心率为粤则α≡20｀
,雌倒的方程为惫＋昔≡1,
′
］
｀
因为椭圆C过点（亏,√可）,
所以志＋志-l,所以b-1｀感≡2,
所以椭圆C的方程为÷＋Z2＝1’椭圆C的“伴随”方程为露2＋γ2-L
（2）由题意知｜m｜≥1,可知切线l的斜率存在,设切线／的方程为y＝虹＋″〖,
愈‖了……等…』—‰
＋＋工2＝l
设A,B两点的坐标分别为（工l ,yl）,（工2 ,γ2）’
加2-4
则工］＋工2＝原丁I,工］工2≡Pˉ干I’
叉由′与倒厦』＋仁!相切得7告了—』
‖
了
■
∑
v
凹
所以虎2＝加2
1’
所以｜AB｜＝√丁丰酉√（工l＋工2）2-4工l工2
＝√（』＋藤）［（窍』
』（箭岩』］ˉ等十马｜,
所以s…≡÷×｜AB×』≡2鹅｜.
№｛÷芒W｛点｝Ⅱ亩
由｜m｜≥1可得S△AOB＝
≡1（当且仅当′＂＝±√可时取等号）,所以当′阀＝±√可时,S△〃）B
取得最大值1
·
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［解析］
本题主要考查椭圆及其方程和基本不等式
（l油已知的离心率叫得椭圆的…的关系’将点代人椭圆方程圆阿求…;将凰和′代人仔中｀可得.伴随.
圆的半径,可得圆的方程;
（2）设出交点坐标,将切线方程代人椭圆方程得到关于工的方程’由根与系数的关系即可得到坐标关系,求出｜AB｜
关于｜加｜的表达式,利用基本不等式的性质可得S∧AoB的最大值
22M答案］
（l）设动点M…）.依题意育;六.击—子（顺≠0）.整翅得芋ˉ爷-1（露≠±2）,即为动点M的轨
迹方程’
当加＞0时,轨迹是焦点在工轴上的双曲线;
当加e（-4,0）时,轨迹是焦点在工轴上的椭圆;
当加＝-4时,轨迹是圆;
当加e（-◎◎,＿4）时,轨迹是焦点在y轴上的椭圆’且点A1（-2,0）,A2（2,（））不在曲线上
2
2
（2）当′〃＝—3时,曲线C的方程是÷十÷＝l（工≠±2儿
假设存在直线AB,使得Sl＝S2 ,显然直线AB不能与工轴,y轴垂直,
所以直线AB的斜率存在且不为0p设其方程为J＝虎（工＋1）,
2
2
将其代人÷＋÷＝1,整理得（4陶2＋3）z:＋8腮圈工＋4废2—12＝0,
8庚2
6虎
设A（工1 ,yl）,B（工2 ,y2）,D（xD,0）’则工］＋工2＝4虎2＋3,J1＋y2≡IF干T
所以G（雨鹊,满可）,因为DG上剿B,
3h
所以
4虎2＋3
×炎≡-1’
4龙2
IFˉ工可
工D
虎2
′-龙2
｀
解得工D-—IF丁百,即D（JP丁百,0）
因为△GFD○）△（）ED,
所以:-（喘）』
又因为Sl≡S2 ,所以｜GD｜＝｜OD｜
以√（J羔j羔）』＋（袁÷:）＝｜雨笔｛
所
,整理得8炎2＋9＝0,因为此方程无解,所以不存在直线
AB,使得S］≡S2.
［解析］
本题主要考查圆锥曲线与方程。
（l）由已知隐鹏.愿鹏』—子.整理栅到动点M的轨迹h程为子斋ˉ1根搪圆锥曲线知识叫得霍‖〃′取恫值时
曲线的形状.
（:）当咖≡ˉ3时.曲线C的方程是子＋等-l（堑≠士2）,利用反证法,｜鼠设存任直线AB使栅s｜≡s: ,整埋得到此
时直线AB的斜率不存在,因此不存在直线AB9使得Sl≡S2.
·
69
°
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［答案］
〔1）因为椭圆M;素＋÷＝l（α＞b＞0）的四个顶点恰好是＿边长为2,-内角为60
2
以α＝√百,b＝L椭圆M的方程为÷＋γ2≡L
（2）设A（延｜,驹）,B（雾:｀№）,因为AB的垂直平分线过点（0.—十）显然直线AB有斜率｀
°的菱形的四个顶点,所
’
■
’
占
’
≈
当直线AB的斜率为0时,则AB的垂直平分线为J轴,
则工l≡-刃2 ,yl＝y2 ,
所以s…-÷｜2堑｜
｜.
｜γ｜｜-工｜
｜.
测｜
√T二亨-√骂（｜—芋）
＝｜rl
｜
~~厂丁
＝√亏堑带（3
工;儿
工带＋（3＿峦;）
3
因为√工;（3-工｛）≤
＝—
2
所以s…≤乎,当且仅当庭）｜≡乎时｀s△盘°愿取得最大值为粤
当直线AB的斜率不为0时,则设AB的方程为y＝皮工＋／,
｜γ≡Ar＋!
’得（3虎2＋1）工2＋6灶Z＋3t2-3≡0。
联饭｜等十γ』-1
~＼O
当△＝4×（9户2＋3-3t2）＞0,即3h2＋1＞t2 ’O
方程有两个不同解
所以轨＋露』-3鹊,妒宁,
—雕′
,‘』—3
面P丁T,Z1工2＝5Fˉ石,
所以,宁2
3隐』＋1’
Jl＋〕2＋ˉ上
又
2｜｜2＝-＋’化简得到3隐2＋l＝4‘。
工1二2-0
尺
△
代人O得到:0＜／＜4,
……A隐的…徽-盖←｀
｜＾B｜≡∏丰百｜露』—墅,≡√r可√↓（,胁厂瓣〕
』岩＝／雨了√瓢獭厂瓣）
所以s…-＋｜AB‖d≡
化简得;s…-十√3（收＿户）,
因为0＜t＜4,所以当t≡2时,
即愿≡±仟时,s…取得最大值为华,
综上’△AOB面积的最大值为罕
▲
70
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［解析］
本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的关系.
（1）由椭圆的四个顶点恰好是＿边长为2,＿内角为6（）.的菱形的四个顶点,从而得出α＝√面ˉ’6＝1,所以椭圆M的方
2
程为÷＋γ2-L
（2）显然直线AB的斜率存在,所以分两种情况讨论:直线AB的斜率为0和不为0。设出A’B两点的坐标·
当直线AB的斜率为0时,得到A,B坐标间的关系,然后将△AOB的面积用-个坐标表示,利用基本不等式求得其
最大值;
当直线AB的斜率不为0时,设出直线AB的方程,与椭圆方程联立,并利用根与系数的关系得到A’B坐标和待定
系数的关系,然后将△AOB的面积用＿个待定系数表示,利用二次函数求最值求得其最大值
综合以上两种情况下求得的最大值,得到△AOB面积的最大值.
＼
｀
‖
′
／
·
’
Ⅶ
」
—
◎
白
／
『
‖
｀
｀
的距离与它到直线蟹-—＋的赚离相等所以点P的轨迹是抛物线Ⅳ方程为
223。［答案］
（l）由题知点P到点
J2≡2工.
（2）设Q（工0 ,〕0）,B（0,6）,C（0,c）则QB;γ-b≡些二1z’
工0
即（y0
b）工-工0y＋工0b＝0,由直线QB是圆的切线知
｜J0-b＋正ob｜
≡1,
√（y0—b）2＋工;
即（工0-2）b2＋2yo6-工0≡0,
同理,（工0
2）C2＋2y0C
工0≡0所以b,C是方程（工0-2）t2＋2y0t-工0＝0的两根,
所以b＋一羔,6履≡ˉ—
工0
工0—2,
l／4y;
｜4Z0
ˉ面V（工0
2）2十工0-2
］
所以S△QBc＝寸6-c｜工0≡
■工0
2
工0
又y;＝2工0,所以S△QBc＝｜工0-2｜.
2
工0
由题知z0＞2,所以S△QBc＝工0-2.
（Ⅱ＋2）,ˉ什÷＋4≥4＋4＝s,当′＝2即雾0＝4时,取』＝’』’所以△QBc面积的最小值
令t＝工0-2,则S△QBc＝
r
为8.
［解析］
本题主要考查曲线与方程和圆锥曲线.
（l）曲题知,动点P到定点的距离与到定直线堑＝—十的距离相等Ⅳ所以是抛物线
（2）设出点Q,B,C的坐标,可得QB,QC的方程,由题意知圆心到两直线距离为l＄可用Q的坐标表示B,C的坐标,
又由s…＝÷｜BC｜.延°’得面积关于z…的表达式,可得最小值
22靴!答幂］
（l）因为PF!上延轴,断以F｜（—1,0）,F;α,0）,‘-1, ｜PF』｜一＼／2:＋（÷）』—÷’2α-｜PF｜｜＋PF,
2
2
＝4,α＝2,b2＝3,椭圆E的方程为二＋÷＝1.
4
O
（2）设A（堑! ,y1）｀B（工: ’y』）’由顽＋琵-川元得（r!＋l,γ!—÷）＋（堑』＋l’yz—;）≡孔（l’;）,
Q
所以工1＋工2＝川-2,）′!＋γ2＝寸（2-∧）.o
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又3工｛＋4y｛＝12,3工i＋4yi＝l2,
两式相减得3（工l＋工2）（工l-工2）＋4（yl＋y2）（yl-y2）≡0.@
把o式代人o式可得AB的斜率虎≡yl-y2
1
工1-工2
2
.
（3）设直线AB的方秆为酿＝÷工＋‘｀与3蟹圈＋4删』＝l2联立消去删并整甄得蛮』＋趣＋l:＿3＝0.△＝3（4＿‘:）＞0,
所以—2＜《＜2,工｜＋题＝…』≡!:ˉ3,∧闹｜-√了不页霄｜篮｜＿露』ˉ＼／｜＋＋×√3（4—‘叮ˉ孪×√『＝霄,
点P到直线AB的距…≡:｜污2｜,△PAB的闹积为s≡÷｜A…-乎×〃亨′＿2｜
设／（′）＝s:＝÷〔′—鲤』＋l碰
l6）（
2＜‘＜2）’／（‘）＝ˉ3〔‘敷
3萨＋4）ˉ—3（』＋l）（‘—2）‘
’
由／（t）＝0,＿2＜r＜2得t＝-1,当te（-2’-1）时,／（r）＞0当r〔（
1,2）时,／（t）＜0,所以当r≡＿1时／（t）
取得最大值宁’所以s的最大值为÷｀此时n＋矿』-—′≡l-凡—2,川ˉ队
［解析］
本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系和平面向量的应甩
（1）因为PF1上工轴,因此C＝1.又因为P点在椭圆上’利用椭圆的定义可解得α,b的值,进而得到椭圆E的方程.
→ˉ-→—＞
→--＞
＞
（2）先设出A,B两点的坐标A（工l ,yl）,B（工2 ,y2）,求出PA｀PB,PO,再根据pA＋pB＝∧pO得出工l ,yl ,工2,y2之
间的关系,又因为A,B在椭圆E上,从而可有3工;＋4y｛＝12,3工苦＋4y;≡12’联立即可得直线AB的斜率
（3）根据（2）中的结果,设出直线AB的方程,再与椭圆方程联立.通过弦长公式求出｜AB｜’再求出点p到直线AB
的距离为d,便可得到△PAB的面积表达式’最后可利用导数求出S的最大值,最后再求出入的值.
2
〕≡
y
-
所以m正2-y2＝加α2（工≠±α）,由题意知,曲线C的方程为m工2—）′2＝mα2.
2
2
当m＜
l时’C;÷＋γ
2＝l,C是焦点在γ轴上的椭圆当′″＝-l时,C;工2＋γ2＝α2 ’C是圆心在原点的圆;
α
加α
当—l＜哪＜0时.C;÷＋券ˉl,C是焦点在露轴上的椭厕;当啊＞0时.÷—羔-l,（堤焦点在延轴长的双＂线
（2）由（l）知,当m＝-1时,Cl :zZ＋J2≡α2 ,当m巳（
1,0）O（0,＋◎◎）时,C2的两个焦点Fl （
α√I丁了万,0）
F2（α√I丁7万,0）·
「工;＋y;＝α2 ,〕0≠0o
＂艘c止孺……醚…s—…』ˉ｜←:…丁雨b厂憾｛′°
由o得0≤｜狮｜≤嚷｀…｜’, ｜-寸器
当0＜＋器≤嚷,即早…0或0＜″≤呼时,…N使得s-｜狮｜幽』』
当匹｜“＞“,即
l＜狮＜上;厘或′＂＞旦言迈时,不存在满足条件的N点
√1＋m
乙
骂′鹏e［毕·0）0（0,芋］时,而≡（ˉ翘∏＝丽—涵,,ˉ№）｀赋≡@／i不丽—顾＂·—№）,
＞
-＿＞
所以NF1 ·NF2≡工;—（1＋m）α2＋y;≡-″』α2.
.---＞
—
令｜NFl ｜＝厂l
,
｜lVF2 ｜＝厂2 ,乙FlNF2＝0.
·
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°
｜
犁
｜
‖
叫
↑
々
『
←
拟
出
【
蜘
锚
□
→
手
§
←
』
丰
↑
尸
口
←
』
驴
【
『
‖
司
』
〗
…
』
』
刮
』
』
→
』
』
『
］
』
【
『
』
』
‖
｛
｜
↑
『
乎
■
…
＝
…
…
≡
~
＝
≡
仆
凰
叶
猩
Ⅷ
撼
碎
斜
州
湃
＃
＃
＃
挝
′
『
耗
…
‘
＄
广
′
＋
』
△
』
′
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′
’
’
十
＋
瑞
曲§广』轩』←↓』奄『≥可′『…↓轻§『≈莎々←↓←『←『…『广『＋『…』凹了＄萨〗吟』务〗蛊〗
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…
…
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…
铲
~
吟
…
←
叶
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~
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因为∏页.雨ˉ门…0-—腮“』.所以门喻＝粉
S＝＋…m0≡—＋咖α』…｀所以—÷》″α:憾n″≡｜咖·』.所以｀愈nβ-平
综上当哪巨［竿.0）时.在C』卜存在满足条件的点｜v目馏n丝F』lvF:≡2;当啊巨（0,竿］时,在C!上存在
满足条件的点N,目『an丝F!NF凰ˉ＿2;当咖层（—l,与匝）0（竿,＋＝）时,在C｜上不存佳满足条件的
点N·
［解析］
本题主要考查点的轨迹方程和圆锥曲线方程
（1）设出动点坐标,利用斜率之积的值’得到横纵坐标关系,从而得到曲线方程根据m值进行分类讨论,得到曲线
的形状。
（2）利用几何关系求出′＂的取值范围,然后假设这样的点存在,求出加的值,检查是否满足取值范围’若满足求出角
的正切值,若不满足则不存在
［答案］
（1）因为｜MN｜＝8,所以α＝4.
又因为｜PM｜＝2｜MF｜
,
2
得些-α≡2（α
C）,即2e2-3e＋1＝0,
C
解得感＝÷或‘-l（舍去）’
所以C＝2,b2≡α2-C2＝12。
2
2
所以椭圆C的标准方程为÷＋羔＝1.
1O
」乙
（2）当AB的斜率为0时,显然乙AFM＝丝BFM满足题意;
当AB的斜率不为0时,设A（工l ,）′1）,B（工2 ,y2）9
所以AB的方程为r＝mJ
8,
代人椭圆方程,整理得:（3加2＋4）J2-48my＋144＝0.
则△＝（
48m）2-4×144（3m2＋4）＞0,解得加2＞4.
l44
根据根与系数的关系得yl＋y2＝3m2＋4,yly2＝3加2＋4.
所以钟＋隐蹿≡六＋盏咖湍! 6＋枷÷0删也渊刘≡0
所以贞AF＋虎BF≡0,从而丝AFM＝乙BFM
综上可知,恒有丝AFM＝乙BFN.
（3）s…＝s…s…-÷PF
. ｜№№
-＋×6×√（’1＋她）』
‖〕l型;
72√加2
4
72√m2-4
226
β
］
＋
）
↓
区
加
（
∩
＜
山
◎
△
甲
′
川
坠
＋
∑
抑
γ
日
~
3√加2-4＋
16
√′＂2
4
≤27羔了亏＝3√百飞
.
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当且仪当』″＝『ˉ÷了｀即″』』ˉ等毗时狮:＞』则△＞0）时取得等号
所以△ABF面积的最大值是3√面飞
［解析］
本题主要考查直线与椭圆的综合运用.
（1）由MM＝8,知α＝4,又因为pM＝2｜MF｜,可得椭圆离心率,且｜］可解出c,由椭圆中b2＝α2-〔2 ,即可得到椭
圆方程.
（2）若直线斜率为0,显然乙AFM≡么BFN;若直线斜率不为0’设出直线方程’将其代人椭圆方程’消去工得到关于
y的二次方程,利用根与系数的关系表示出贞AF＋炎BF,验证龙AF＋虎BF≡0即可证明结论。
（3）因为s…-s…s…-÷｜PF
.
№ˉγ1 ｀由（2）叮将其化简为关于′腮的式子,由基本不等式即可求
出△ABF面积的最大值
227. ［答案］
（l）设点F（C,（））,Q（工’0）（工＞α）
,
2
由｜P十Q＋亩可六＿2叫得志＋六-六,解得［-尘
‖
‖
］
‖
C
2
b2
依题意｜FQ＝1,即尘C＝—≡1,
C
C
又囚为.-÷-乎.b:ˉα凰ˉ‘:,
所以α＝√面,6≡C＝1,
故椭圆E的方程为÷＋γ2-l’点Q的坐标是（2’0）
（2）O设直线l的方程为工＝′ny＋2’代人椭圆E的方程可得（2＋加2）y2＋4″!y＋2≡0,
依题意’△＝（4加）2-8（2＋加2）≡8（加2-2）＞0,加2＞2,
此时,若设A（工l ,y］）,B（工2 ,J2）,
则y!＋№-ˉ〗干7万霄.沁J:≡2÷′厕, ,（÷）
4m
设点B关于正轴的对称点为Bl（工2 ,-’2）,则A、F、Bl三点共线等价于
y1
｜
｜~
贾丙盖曰顺六＋′蒜｜≡0旨（阅删照i〕≡0,
:≡≡
由（舜）可知上述关系成立.
因此,点C即是点Bl ,这说明B、C关于工轴对称.
@由O知,B、c关于工轴对称,A、D关于工轴对称,
所以四边形ABCD是-个等腰梯形’则四边形ABCD的面积
s-｜延』—堑』卜（｜’』｜＋｜酗』）ˉ｜毗‖汕—铡』卜｜γ｜＋γ: ｜-鹊』√（沁—沁）』≡8徊鸣｛黑寻
设′＝｀／丽＝m＞0）测棘』→—:,s（′］≡s√霄. ｛｛;丰:÷｀求幂得s』（′）≡ˉs√霄. ′十云窍8,
令S′（t）≡0,得t2＝3＋√T页
由于s（t）在（0’√3＋√T7）上单调递增’在（√3＋√T7,＋°°）上单调递减’
所以,当t2＝3＋√T7即m2＝5＋√T7时,四边形ABCD的面积S取得最大值。
此时,直线／的方程为工≡±√5＋√而y＋2.
·
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［解析］
本题主要考查椭圆与直线方程的求解计算.
α）设出Q（葵’0）,由南＋南＝亩≡2,离心率为乎翻椭圆性臆,解得凰≡徊,‘≡‘≡l’矿＝竿＝2求出椭
圆方程和点Q的坐标。
（2）o由（1）问所求的点Q的坐标写出直线／的方程,与椭圆方程联立,求出A,B两点坐标的关系再证明点B的对
称点B1在AF上,即证得B、C关于工轴对称.
O因为四边形ABCD是＿个等腰梯形,则四边形ABCD的面积S＝工1
工2
°
（｜y1＋｜J2
｜）＝｜m｜
°
yl＿y2
｜
·
｜汕—γ』｜ˉ鹊』√（』! 鞠）』≡s徊.丫魁《两5｀…元求幂求出厕积s的最大值…线的斜率解出
直线l的方程
22a［答寨］
《｜）设C的棒准方程为莆ˉ÷＝M徽＞0.‘＞0』·
则由题意得‘＝√百,‘＝二＝匝
α
2
,
因此α≡:,b≡√r霄二了ˉl,C的标准方程为宁ˉ妒≡L
C的渐近线方程为γ＝±÷r,即野—2γ＝0和堑＋2γˉα
（2）由题意得,点E（工E,yE）在直线〖l :工l工＋4y］y＝4和l2 :工2工＋4y2y＝4上,因此有工l正E＋4ylJE＝4,工2工E＋
4J2yE＝4’故点M、N均在直线工EZ＋4yEy＝4上’因此直线MN的方程为工E工＋4yEy＝4.
设G、H分别是直线MN与渐近线工-2y＝0及工＋2y＝0的交点,
（工E工＋4yEy＝4,
（工E工＋4JEy＝4
由方程组（
及（
（Z-2〕≡0
｜工＋2y＝0
2
2
解得JG＝工E＋2〕E,yH＝
工F-2yE
设MN与工轴的交点为Q’则在直线工E工＋4JEy＝4中,
令γ＝0得烫°-差（易知蜒愿≠0儿
注慧到墅:—蜕ˉ』′得s…—÷｜〔Ⅺ卜沁—』周≡÷｜篮志＋野志｜-亡. ｜羞↓爵｜≡2
［解析］
本题主要考查双曲线的基本性质.
（D‘≡佰,‘≡÷≡乎.因此醛-2,b-√衷＝豆丁≡l,得到双曲线灯程及渐近线方程;
（2）设E（工E,yE）,根据点E在直线』l ,l2上可求得直线MlV的方程为工厄工＋4yEJ＝4,再与渐近线分别联立可求得
点G’H的纵坐标｀再根据公式s…-÷｜oQ
.
γc—测凰｜求解即可
22,［答案｜
《l）俐为△O∧B的面积为竿’且皿＝α≡征＝4,所以》＂≡—,
4√百
代人椭圆方程得B（÷｀竿）,再代人抛物线方程’解得′＝4’
所以抛物线方程为J2＝8工·
（2）存在直线』:工±11y-4＝0符合条件.
根据题意可得’直线／不垂直于y轴,所以设直线／的方程为工＝my＋4,与y2＝8工联立得y2-8加y-32＝（）;
°
75
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熙
l
…丁瞬亏ˉ骂沪ˉ沪了＝,ˉ缉;
』
j!↓
｛｜
;
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←ˉ…丁丫ˉˉ广咐
4←↓＝哆
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J~;!］
』
十卜ˉ卡ˉ↑ˉ＋ˉ＋｛
←庙……上…ˉi≡ˉL
〔
｛
』
设C（工l ,y1）,D（工2,y2）9则yl＋y2＝8″!’J1y2＝-32,
S』
÷OC‖OD｜sm丝COD
｜OC‖OD
｜γ｜‖删Ⅱ
｜
32
≡≡＝
:≡≡
2
2
因为直线OC的斜率为些＝且,故直线oC的方程为γ＝旦工,与荒＋肯＝l联立得γi
工］
y1
y1
甲
］
~~
）
］
—
Ⅲ
＋
β
］
沂
…
×
』
＾
○
／
｜
＼
］
＼
＋古）＝1,
yi
同理γ腊（64×16
◎
凸
∩
乙
γ
（
）
］
—
旭
＋
β
］
刃
×
』
吐
＾
∩
γ
′
〃
『
‖
｀
｀
〗
尸
〕
■
∑
∏
γ
以
所
］
~~
＼
｀
′
／
］
—
Ⅲ
＋
64×16
化简栅尤.γ＄-l滞;舟, .
阂为:-号所以剧2:《撇瞒咖:）≡（?）‘ ,
化简得121＋48加2＝49×121,解得m＝士11,
故存在直线l;工±1ly
4＝0符合条件.
［解析］
本题主要考查直线与方程和曲线与方程。
（1）根据△OAB的面积求得B点坐标,再将其代人抛物线方程求解即可。
《2）椒搪题意,设直线′的方程,并与抛物线方程联立表示出:,求出直线oc的斜率并求出真直线方程令其与椭
圆方程联立根蜡的比值求出直线』的方戳‖可
230. ［答案］
（1）依题设知c≡l,且右焦点F′（l,0）
∑
）
塑
∩
°
（
＋
〗
、
）
］
＋
］
（
′
刘
＋竿-2侗.α-√可,
所以2α＝｜EF＋｜EF′
｜
b2＝α2-〔2≡2,故所求的椭圆的标准方程为÷＋÷＝l
U
臼
（2）设A（工l ,yl）9B（工2 ,y2）,
2
2
则÷—等＝1,o
U
≈
2
2
芋＋半＝1,@
√
■
O-O得（工2
工l ）（工2＋工l）＋（J2-yl ）（y2＋y1）＝（）,
3
2
所以虎!＝γ2-γ1＝
2（工2＋工!）≡些÷
工2-工I
3（y2＋y1）
6ⅣP
d
（3）依题设,Al≠虎2 ,
设M（工M,yM）,直线AB的方程为〕-l＝此l（工-1）,
即）′＝卢l工＋（l-虎l）,亦即y＝虎l工＋龙2
,
代人椭圆方程化简得; （2＋3户｛）工2＋6虎l陀2堑＋3臆-6＝（）
3炎1虎2
2虎2
于是;堑M≡2＋3崎,yM＝2＋3畸.
-3炎1虎2
2虎］
同理;工N＝2＋3睹’γN＝I丰百恿
.
76
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当点l龙2≠0时,直线MV的斜率;虎≡yM-yN
4＋6（赌＋炎2克］＋崎）
10-6虎2虎l
工M＿工N
-9炎2炎1（龙2＋虎］）
-9虎2虎］
,
直线MN的方…尚］与躇』（〃滞艘）,
』乌:尝堑—（1骂繁兰揣＋端）,
即:y＝
」与繁｜露ˉ÷,此＂植线过定点（0,ˉ÷）
亦即:J＝
当臆1隐:＝0时,育线Mv圆‖为’轴,此时亦过定点（0·—÷）
｀
综上,宵线MN恒过定点’且定点坐标为（0,÷）
｀
［解析］
本题主要考查椭圆和直线的方程.
（1）利用椭圆第一定义得到长轴长’结合焦点可以得到短轴长’从而得到椭圆方程
（2）利用交点都在椭圆上和中点为（l,1）’得到工1＋工2＝2,y1＋y2≡2’从而求出卢l .
（3）利用直线方程和椭圆方程联立,求出四个交点坐标。然后写出直线MlV的解析式,解析式中含有虎l ,贞2 ,利用
龙l＋虎2≡l,得到定点坐标.
→→→--＞
［答案］
（1）由PM＝∧P］V且PM。QlV＝0可知N、P、M三点共线且PM上Q」V
过点Q作QN上PM,垂足为lV,
设N（工’γ）,因为｜OP≡3,OQ＝l,
231
由相似可知P（3Z’y）’因为P在圆露2＋γ悠＝9上,所以（3工）2＋γ2-9,即÷＋延2＝1
所以点N的轨迹方程为÷＋工2-1.
（2）证明:设E（工E,JE）,F（工F,yF）,
…儒｛酣←………辱—丝＝
崎＋9.
6虎1
27
3龙｛
所以墅鹰-砰,测厘ˉ胸（—晶）＋;～畸＋9
,
所以E（—羔,2睹）.
由丁′』的方程为γˉ阎工＋3,且虑1陶-ˉ9,所以愿:-—÷,用÷替代点E中的庶1 ,
可膊F（岸,』亲;′）.
显然E,F关于原点对称,所以直线EF必过原点O.
［解析］
本题主要考查平面向量,直线与曲线方程的综合。
—→
-→—＞
＝＝-＞
（1）由PM＝∧P」V且PM.QN≡0可知lV、P、M三点共线且PM」ˉQ」V,作出点」V,并设lV（工’〕）,根据相似可得
P（3工,y）,代人大圆的方程即可得到点N的轨迹方程
（2）设出E、F的坐标,联立直线′l与N的轨迹方程,解得E的坐标值（用虎l表示）,同理求得F的坐标值（用虎2表
示）,由已知条件龙1 ·龙2≡
9,将E、F的坐标统-用尚l表示,显然E,F关于原点对称,所以直线EF必过原点O.
厅曰
●
／／
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—＞
3—＞
［答案］
（l）因为O］V＝丁OM,点M的坐标为（12’8）’可得N点的坐标为（996）
’
所以62＝18户,所以户＝2’所以抛物线C的方程为y2＝4工.
（2）由条件可知,直线ll的斜率存在且不为0,
↑
设!! ;y＝隐（z—12）＋8’则′2的方程为;γ＝÷（工
l2）＋8,
（γ＝炎（工＿12）＋8,
由｜〕詹-4“
得幻2-4J＋32-48h＝0·
4
设A（rl ,yl）,B（工2 ,y2）9则yl＋y2＝ˉr,
又y-＋她—虑（灭!＋唾＿24）＋l6.所以堑!十瑰≡÷￥＋24,
所以点G＂坐标为（÷÷＋l2,÷）,
用＋代替度’得到点H的坐标为（2隐2
8隐＋l2,2腮）,
尺
／
］
＼
2（虎亩）
＝
1
良
所以隐鹰″-2（藤ˉ食）—8（腮—÷）
′＋÷ˉ｛您』ˉ蛾＋l,
勺
夕
■
勺
◇
凹
’
■
《,—f倔＋l［堑—（2膊』
雕＋l2）］,
所以／GH:y
2皮≡
令y＝0,则工≡10,所以直线GH过定点（10,0）.
［解析］
本题主要考查向量的运算、抛物线的方程以及直线与抛物线的位置关系
＞
3-→
（1）根据（）N≡丁OM求出N点坐标,再将其代人抛物线方程,求出参数户,最后便可得到抛物线C的方程·
（2）先设出直线／l ,′2的方程。再将直线ll的方程与抛物线方程联立,再利用根与系数的关系求出点G的坐标,同理
求出点H的坐标,求出直线GH的斜率及方程,化简便可求出定点坐标。
233. ［答案］
（1）设动点M的坐标为（z,J）,由题意得,√（Z-1）2＋y2＝｜工＋1
｜,化简得J2≡4工｀
所以点M的轨迹C的方程为J2≡4工.
（2）设A,B两点的坐标分铡为（勘,滥）,（甄』.驰）’则点P的坐标为（宁』,y宁,）
由题意知直线ll ,l2的斜率存在且不为0,
设直线′l的方程为J＝虎（工-1）（龙≠0）’
／γ2＝4工
由｜＝
得″ˉ（2愿＋4）雾＋熔≡0,△-（2愿＋｜）』
雌』≡l6膘＋l6＞0,苑!＋堑』≡2＋÷.’!＋γ:-隐（蜒!
（y≡点（工-1）
＋烫:—2）＝÷.
所以点P的罐标为（l＋÷,÷）
］
由题设知,直线′2的斜率为-亏’同理可得点Q的坐标为（l＋2俺2
’
2隐）.
÷＋2隐
『
β
虎
虎
］
~
当膨≠1时.有1＋÷≠山十2膊,此圆植线PQ的斜率隐厢≡
∑
虎
∑
］
∑
—
愿
＋
］
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所以,直线PQ的方橇为γ＋2腮＝六（工—｜—鳞:）,整鳃得）愿＋（堑ˉ3）腮
》≡队
于是,直线PQ恒过定点（3,0）;当虎＝±1时,直线PQ的方程为工＝3,也过点（3,0）.
综上所述,直线PQ恒过定点（3,0）.
［解析］
本题主要考查抛物线与直线方程的相关计算.
（1）由题设得出√（工-1）2＋y2＝工＋1
｜,并整理化简可得点M的轨迹C的方程
（2）联立直线AB和（l）中抛物线的方程,根据根与系数的关系表示出线段AB的中点P的坐标,同理可得MN的
中点Q的坐标’分情况讨论pQ垂直和不垂直于王轴,即h2≠l、贞＝±1时,得出PQ的方程,可知其恒经过的定点
为（3,0）
234［答案］
（!）由题可得F:（;M）’A（:b｀’嚼）’则直线F2A的方程为;’-—芋（工泌）
·
令工＝0得y＝9〕0 ,即P2（（）,9y0）
厂
工0
｀r＝丁
y）,则≤
y0＋9J
y≡
O
凡
△
设P（工,
·
｀
｀
√
尸
＾
γ~
］
~
·
旷
—
…
。
丝
昭
‖
至
得
］
~~°
△
γ
—
脐
°
鱼
工
—
昭
人
代
酝
γ
√
—
日
~~·
工
№
（
｜
寸
｜
｀
日
‖
2
2
即P的轨迹E的方程为肃志≡1
2
2
（2）由（1）可知,轨迹方程为肃蒜＝1
令y＝0得r2＝2b2.
″』端b（慰—卜倾）
不妨设B（-√面b’0）,D（√z,0）,于是直线QB的方程为:〕＝
″1兰志（雾—√m’
直线QD的方程为:y＝
则M（0.龚沽）州（0云鳃）
所以以M＂为直…的方…十（驯—挥沽）（测—云黑）≡№
令yˉ0得墓＂-驾Ⅻ
＂Q（露』,测』）在恭ˉ蒜≡1上测蹋—”≡鄙’
于是r＝±5b,即以MN为直径的圆过两定点（-5b,0）,（5b,0）.
［解析］
本题主要考查圆锥曲线方程、直线与方程
（l）由几何关系求得P’的坐标,进而得到P的坐标,此时是将P（工,γ）中工,V~
（l）由几何关系求得P2的坐标,进而得到P的坐标,此时是将P（工,J）中工,J用工0 ,y0表示出来,反解出工O,y0 ’代
人曲线方程,即得到轨迹方程;
（2）先求得直线QB,QD的方程,然后求得M,N的坐标,通过确定圆心坐标利半径即可得到圆的方程,从而同I得圆
过的定点。
.
79
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［答案］
（1）设△ABC的内切圆切三边于点D、E、F’
易知:CE＝CF,BF≡BD·AE＝AD,
所以｜CA｜
｜CB｜＝（｜AE＋｜CE）-（CF｜＋｜BF｜）≡｜AE｜
｜BF＝AD｜-｜BD｜
’
即CA
｜CB｜≡｜AD｜-｜BD｜＝（√百＋2）-（√百-2）≡4＜2√百,
所以点C的轨迹是以＾、日沟焦点,实输长内』的双曲线的行支（不含右顶点）,其方程为等＿删』-1（蜒＞2）
235
y
C
／
DB
卯
O
A
（2）设pQ;露＝mγ＋α（α＞2）代人÷—γ2＝1得’（m2—4）γ2＋2α’＂γ—α2＿4＝0;
设P（rl ,yl）,Q（工2 ,y2）,
2αm
α2-4
则yl＋y2＝- ′F＝Ty1y2≡″!2
4,
→→
因为MP.MQ≡（王l-2）（工2-2）＋y1y2
＝（加y】＋α-2）（my2＋α＿2）＋yIy2
＝（m2＋1）yly2＋′″（α-2）（〕1＋J2）＋（α-2）2＝0,
所以（饥2＋l）（α2
4）
2αm2（α-2）＋（α-2）2≡0,
m2-4
刀?2-4
化简得3α』—16α＋20＝0解得α＝2（舍去）或α-粤.
故直线PQ必过定点（等｀0）
［解析］
本题主要考查圆锥曲线方程利定点问题
（1）设△ABC的内切圆切三边于点D、E、F,由切线相关性质有｜CA｜-｜CB＝AD｜-BD≡4
（1）设△ABC的内切圆切三边于点D、E、F,由切线相关性质有｜CA｜-｜CB≡AD｜-BD≡4,为定值,满足双曲
线的定义,又因圆心在直线工＝2上’最终轨迹方程应为以A、B为焦点,实轴长为4的双曲线的右支（不含右顶点）;
（2）设P（蕊! ,y1）、Q（…）,PQ;工≡挪j′＋窿（α＞2）代入千ˉy』-l.
--＞
.--≥
由MP·MQ＝0和根与系数的关系,得到仅含α的等式,解出α后可得定点（α,0）.
［答案］
（1）曲线C是焦点在工轴上的椭圆,当且仅当
｜5
′厕＞0,
｛″』＿2＞0,
解得÷＜咖＜5,
｜＝生＞—生
＼O-m饥-2,
236
7
所以′＂的取值范围是（丁’5入
（2）证明:当m＝4时,曲线C的方程为工2＋2y2≡8’点A,B的坐标分别为（0,2）,（（）,
2）
（y＝贞工＋4
由｜蟹斟＋2vz＝＂
,得（1＋2炎2）工2＋16炎工＋24＝（）
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因为直线与曲线C交于不同的两点,
所以△＝（l6虎）2-4（l＋2虎2）×24＞0,
即艘＞÷
设点M,N的坐标分别为（工1 ,J1）,（工2,J2）,则
yl＝炎工1＋4,J2＝克工2＋4,
～16虎
24
~｜
工!十工2≡∏乘,工Pr2≡∏丽百.
直线ⅡM韵方程为γ＋』＝宁墓,点G的坐标为（品,l1
因为直线A］V和直线AG的斜率分别为龙AN＝些二旦,虎AG＝-—
y1＋2
工2
3工l
,
所以隐A＂‰ˉ等＋嘿
此工2＋2［此工1＋6
≡≡≡
干3工｀
工2
＝÷隆＋2（翻｜＋堑:）
工l工2
＿16诧
2×—
4U｜
1＋2点2
＝（）
＝-亏虎十
24
O
1＋2炎2
即hAN＝诧∧C’故A,G,lV三点共线
［解析］
本题主要考查圆锥曲线以及曲线与方程等知识。
（l）利用焦点在工轴及椭圆的基本条件即可得关于′n的不等式组,可解出m的取值范围.
（2）证明三点共线可转化为证明两直线斜率相等,联立直线与椭圆方程可得点M,N的含参数龙的坐标关系,从而
可得到点G坐标,证明龙AN＝虎AG,即三点共线成立。
237。［答案］
（1）由题意知α＝2C,6C＝√百,
所以αˉ2’″—侗椭厕r的标隆方程是;子＋等≡］
｜了碉,j,…｜』）测斟…＋（』,』—赠）≡＂,
（2）联立
（÷十÷-l
由△＝12［3加2q2-（3加2＋4）（q2-4）］＝48（3m2＋4-q2）＞（）得3γ闪2＋4-q2＞0
设A（工1 ,y1）,B（工2 ,J2）’
-6mq
-3q2
12
则Jl＋y2＝3加2＋4,ylJ2-3加2＋4.
o
ˉ--→
＝＿＞
因为F（1,0）,所以FA］＝（工l-1,-〕l）,FB＝（工’
1,J2）,
故A］,F,B三点共线《＝》（工l-1）J2-（尤2-l）（—yl）＝0
〈＝》（巫1-1）γ2-（工2-1）（—y1）＝（刀D／1＋q-1））′2＋（m）2＋q-1）y〗
＝2加y1y2＋（q
1）（y1＋y2）
≡2咖:瞩f＋（9
l）剧′测』丁』
-6加q
°
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≡2″;舞;＝0
肖q＝4（′＂≠0）,@
由O@知Al 、F、B三点共线的充要条件是｜加｜＞2且q≡4.
［解析］
本题主要考查椭圆方程、三点共线的充要条件·
（1）由题意知α＝2c’6〔＝√可,解出α,b’即得椭圆的标准方程;
（2）联立直线与椭圆的方程得:（3加2＋4）y2＋6加qy＋（3q2-l2）≡09因为直线与椭圆有两个交点,所以△＞0,即
3蜒:＋4—q:＞0′设…’］）,B（延, .测』）.由根与系数的关系得…,≡雨J’yl,:≡芳出侧A』（甄』’
-6″】q
---＞
—→
-yl）,而A1 、F、B三点共线’即FAl／′FB’得（工l—1）y2-（工2-1）（
Jl ）＝0,代人直线方程;工l＝myl＋q,工2＝
狮y2＋q,并利用前面所得的关系式化简得2m:q寻马＝0,咖≠0,3′″2＋4＞0,则q＝4代人3狮2＋4
q2＞0得;′孤:
↓
｜十
〗
″
∩
』
＞4,即｜′n｜＞2·
［答案］
（1）由题设有B（3,0）,F（2,0）,
设p（工,y）,则pF2＝（工
2）2＋γ2 ,pB2＝（工-3）2＋y2。
因为pF2＿pB2＝4,所以（工-2）2＋y2
（工-3）2
y2≡4,
O
Q
所以巫＝亏’故所求点P的轨迹为直线延≡÷.
（2咽为雾!≡2,寻＋等≡l,№＞0,
所以γ｜-÷,所以M（2,:）｀直线AM;γ＝÷r＋l;
因为题≡÷,等十粤≡』,她＜0,
所以№＝—等,所以N（÷,—等）,直线BN;γ≡÷壁—÷
幽↑—÷汁!
「—,
ˉ→↑
10,
｜γ＝÷堑—;［γ＝丁
所以点T的坐标为（7』等）
238
卜1-告《墅!＋3）
（3》证鹏;直线AT;’≡借（堑＋3）直线厕T;γ-÷（蜒—3）.点M（露! ,测））满足｜堑;｛测;ˉ｀
（丁ˉ厂亏-1
24（）-3″【2
407″
又工1≠
3,所以工1≡8（）＋m2 ,y1＝80＋m2 ,
厂
’2＝÷（颤2
3）
又M…瞒屉字＋粤≡1
｀Z,≠3
3γⅦ2-60
20加
所以Z2＝20＋′n2 ,y2＝20＋m2。
·
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若xl＝工2 ,因为加＞0,则m＝2 ｀／而,此时MⅣ的方程为工＝1,过D（1,0）.
40m
＿20加
80＋加2
10″1
20＋′n2
…鞠测枷≠2硕｀枷ˉ:;:王雾二I 』0—碾, 』隐哪·ˉ豁翠—』
』0—砸Ⅻ
所以虎｜｀亿＝龙ND,所以MN必过工轴上的点D（l,0）.
［解析］
本题主要考查求简单曲线的方程,直线与椭圆的方程的基础知识°
（1）采用设点代人法.先设出点P的坐标P（工’y）,然后用关于P的坐标写出PF2 ,PB2的表达式,再根据等式代人
化简即得工,J满足的关系式,即为P的轨迹方程.
（2）由A,M的坐标,根据两点式写出直线AM的方程,同理可得直线BN的方程联立直线AM,BⅣ的方程即可求
得交点T的坐标·
（3）将M（工l ,yl ）代人直线AT和椭圆的方程化简9可以将工l和yl均用m表示出来。同理也可得lV（工2 ,y2）的坐
标。若工l≡工2 ,得出″』的值,代人直线MN的方程可知必过定点D（l,0）。若工l≠工2 ,可以写出MD,ND的斜率
虎hⅡ）,虎ND是只关于″』的表达式,可知玲MD≡炎ND’进而可得直线MlV的方程必过定点（1,0）
239. ［答案］
（1）因为椭圆的长轴长为4’所以2α≡4,所以α≡2.
,｛椭圆方程为子＋备-』
将点（√百÷）代人,可得b-l｀故椭圆方程为÷＋γ垦ˉ1
（2）设刹（延』.』』》,B（…）侧有子十＂｛≡!.芋＋』;≡1
由丽＝÷硕＋÷而得M（÷延!＋÷孵』.÷№＋÷删2）’
＂…椭圈c上的＿个…（÷墅』丁÷蜒』）』＋（÷酬』＋÷,』）』≡1
』‖（手＋流）（÷）』＋（手＋』:）（÷）』＋2（÷）（÷）（芋＋γl醚;）-｜
所以（÷）:＋（÷）』＋2（÷）（÷）（竿＋驹№）-l
故竿＋№γ:＝α
叉线段八B的中点N的坐标为（等丝,红苛上）｀
颇以（擂」二』）,擂（竿,）.÷（乎打｛）｛÷（轧;）—芋—…｜
从而线段AB的中点N（延罕』｀γ宁:）在椭圆等＋2γ』-l上
又椭厕÷＋2硼:≡1的两焦点恰为C（—乎,0）’D（粤,0）,所以NC｜＋｜ND｜ˉ2√面
［解析］
本题主要考查椭圆的定义以及椭圆与直线的关系.
（1）将长轴长和点坐标代人求出α,6,即可得椭圆方程;
（2）设出A’B坐标,由已知关系得出M坐标’代人椭圆方程’再算出N点坐标,发现其在椭圆上,则｜NC｜＋ND
为定长。
。
83
.
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［答案］
（1）设抛物线的方程为J2＝2户工9F2（1,0）’则P＝2·Jz＝4工,
设椭阀方程为盖＋岩≡!,代人点A坐标.
贝‖α:ˉ,’其方程为÷＋;≡1
（2）（
｜）设直线方程为工≡狮γ＋1,
则′e（—骋｀＂）0（0喂）蹦｜§聪」
,得y2＿4′γD′-4＝0,
设C（工1 ,yl）,D（r2 ,y2）,则yl＋y2＝4加,ylJ2＝-4,
则s△F』加-＋.2｜№
γ』｜＝√（γ｜＋№）』—4’M-4√丽丁五狮:e（0’六）｀
所以△CDF!面积的取值范圈为（』,乎）
｝
｜｛）艘…倒…旧八
｀÷＋十-l
64
得（8加2＋9）y2＋16my-64＝0,y3＋y4＝
8m2＋9,y3y4＝-8″12＋9,
则』』—铡』｜-龋s洱了了,
48√丽了干工＿. （8m2＋9）4｜′＂｜＝3.
断以揣7｜盖｜
｜》↑＝｝!
｜
｜娥｜
』√丽丁丁（s顺』＋驯
16｜加｜
［解析］
本题主要考查圆锥曲线与方程.
α）设抛物线的方程为’凰≡2…（1,0〕椭厕方棵为莆＋六≡l,代人点A坐懒,可求得啊曲线方程;
（2）（
｜）设C（工l ,Jl ）,D（王2 ,y2）,直线方程为工≡加〕＋1,联立直线和抛物线方程,由根与系数的关系求得Jl＋y2＝
4矾’yly2-
4’则S△F1cD＝寸. 2｜γ!-γ2 ｜＝4√雨了百,结合咖的取值范围∏I得所求
64
（
｜｜）设B（工3 ,y3）,E（正4 ,J4）,联立直线和椭圆方程,由根与系数的关系求得y3＋y4≡-8加2＋9,J3〕4≡-8′n2＋9,
慰由偶可｜器｜｜
｜］1二!!
｜
｜鸿§ ｜化简则得
240
241. ［答案］
（1）设A（工l ,yl ）,B（工2 ,y2）,P（工,y）,因P不同于F,知P不在线段AB上,
设′l :工＝my＋1,代人y2＝4工,得y2-4″』y—4＝0,则yl＋y2＝4′〃,J］J2＝-4,
设A,B,F,P在y轴上投影分别为A′ ,B′ ,F′ ,P′ ,
＂喘＋｝—｛剖｜卷｜-｜÷≡湍｜,
由于yl ,J2异号,P不在线段AB上,则y-yl与y
y2同号,
所以-些≡2二上,即（yl＋y2）y＝2yly2 ,所以加y＝-2,
y2
〕
y2
而工＝加y＋I,所以工＝＿1（y≠0）,
故点P的轨迹方程为工≡-1（y≠0）。
（2）设A（工l ’〕1）,B（工2 ,y2）,C（工3,y3）,D（工4 ,y4）·Q（工0 ,y0）,／l :〕＝虎工＋加,′2 :y＝—内工＋励
代人y2＝4工,得炎2工2＋（2h加-4）工＋″!2＝0,炎2工2＋（-2kn
4）工＋Ⅶ2＝0,
·
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4
2虎m
加z
2肉门＋4
〃
2
则工l＋Z2＝
卢2
,rl工2＝百,工3＋工4＝
A2
,工3工』≡两,
则｜QA｜
.
QB｜＝√肉2＋1Z1
工0
｜.√虎2＋1
。卜r2-工0＝（炎2＋1）｜工1工2-工0（工］＋22）＋工;
｜,
｜QC｜
。｜QD｜≡√A:＋1
。
工3-工0
｜·√肉2＋1
·
工4
r0＝（虎2＋1）｜工3工4-工0（工3＋工4）＋工;
｜
,
丽［垄』题翱（工』＋唾）＋堑;］
［…厂翱（瑰十忍）＋琉］…斟—…粤十工汇（蹿＋割）—（露」｝堑泌］≡普备
输［2等卜』
↓了孕砸］≡窄＂:十砸』.鳃（＂｛砸〕o,
虎2
又Q在／l上也在l2上,
（J0≡Ar0＋狮
所以｜＼y0＝-尚工0＋门
则2险工o＝″—狮,所以延0＝2云型,
所以o式可化为砸』雨硼:＋导.2隐（＂＋砸）
′〃:云厕谬＋＂翻—枷』
虎2
炎2
＝0,
所以α≡L
［解析］
本题主要考查抛物线的性质和抛物线与直线的位置关系.
（l）设出P点坐标和直线方程,并且根据题目条件列出方程;
（2）设直线方程和Q点坐标’使用根与系数的关系将线段长度用直线斜率和Q点坐标的式子表示出来,根据题目所
给等式求出结果
［答案］
（l咽为b≡‘,所以椭厕F的方程叫表示为策—卜普≡］
将点（C,l）代人方程,得b2＝C2＝2.
所以椭阿的标准方程为宁＋÷≡1
1
（2）O因为炎·
ˉ万≡～1·所以｛］ˉLI2 ,且都过点（-√面ˉ,0）。
242
…卜…Ⅷ」二驴『）
,消去〕
得（1＋2虎2）工2＋4√匪2工＋4龙2-4＝0,△＝（4√匪2）2
4（1＋2虎2）（4虎2
4）＝16户2＋16＞0恒成立
4√匪2
4卢2
4
所以工］十r2＝-1＋2虎2 ,工lr2＝1＋2炎2.
4（1＋陀2）
所以｜AB＝√T丰丙丁｜工］—工2 ｜＝｀／T丰万可√（工l＋r2）2—4工］工2＝1＋2诧2
。
厂
／
l
＼2刁
4［l＋（—了）
」
4（隐2＋l）
用ˉ÷代替隐得｀CD｜-
虎2＋2
.
!＋2（—÷）』
8（l＋虎2）2
故S］-＋｜AB｜｜CD-（｛＋2赔）（2＋隐』γ
o联立』,,胆』的方程可知两直线相交于点（粤.0）
设M（工3 ,J3）,lV（工4,y4）,不妨设工3＞工4。
则圆心O到直线』4的距离为
1
√2＋虎2
°
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由鹤的性质‖铡｜PQ｜≡γ—六＝2√器
设M,N到直线l4的距离分别为αl ,α2,
则αl＋α2＝｜√z＋hy3＋1 ｜＋｜√面h4＋妙4＋l
｜
√面丁两
因为M’ ］V在直线／4的两侧,且工3＞工4
,
则√厩r3＋炎y3＋1＞0且√百Z4＋龙y4＋1＜0。
所以dl＋d2＝√百（工3-工4）＋k（〕3-y4）
√百（贞2＋1）（r3-工4）
√面干霄
〃干百
叉窜｜舞肾∏
,消去y,得（1＋2虎2）工2＋2√百丧2工＋虎2-l≡0
］
∑
『
门
几
∩
′
△
＋
｜
∑
虎
］~~
团
刃
］
工
2√酿2
1＋2龙2
所以工3＋.r4＝
2√l＋虎2
所以工3
工』＝√（z3＋工』）2-4工3工4＝
1＋2炎2
.
所以d］＋d,＝2√面√l＋虎2（1＋虎z）
.
ˉ
√2＋虎2（1＋2炎2）
（1＋虎2）2
所以s:＝＋｜PQ｜（d』十呜）-2√圆ˉ .α＋2殿）（2＋殿）
8（1＋h2）2
（1＋2虎2）（2＋肉2）
Sl
＝2√百,为定值。
所以可＝2√面ˉ .（1＋2户2）（2＋虎2）
（1＋炎2）2
［解析］
本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆
（1）根据b＝C和点（C’1）在椭圆上,求出b2＝C2＝2,从而得出椭圆方程;
（2）o联立直线′!与椭圆的方程,利用根与系数的关系得到两个等式’将｜AB佣陶表示出来,用—÷代替隐得到
｜CD｜,从而得到Sl的表达式.
@设M,N到直线′4的距离分别为αl ,d2.先求出｜PQ’再联立直线′3与圆的方程’利用根与系数的关系得到等式
对α1＋α2化简,使其化为只关于龙的表达式,则可求出S2。利用O中求得的Sl与S2相比较,即可得出结论.
（y＝此工＋2
得:虎2工2＋（4虎-4）工＋4＝0O,
2斗虱［答案］
（｛）设直线′的方程为;γ＝趣＋2〔隐≠0）,联立方程可得｜v:-4“
设A（蟹｜,№）,B（鲤: ,滩）｀C（—÷｀（））,
—I厂,…ˉ÷o,
4此
4
则工］＋工2＝-
｜MA｜
° ｜MB｜＝√1＋虎2 ｜工l-0｜·√1＋炎2
工2＿0｜＝
＼
／
允
岳
虎
＋
｜
■
‖
儿
′
『
｀
《
贞2
而｜MC｜2＝（｀／T丁页丁｜
÷0｜）2＝4（l＋膘）
虎2
,
所以｜MC2≡｜MA｜
。｜MB｜≠0,即｜MA,MC｜
, ｜MB成等比数列。
（2）由M｀-α八C｀MB≡βBC得’（堑｜｀］｜—2）＝α（—÷—工｜.
№）,（壁…—2）-β〔—÷—露: ’—γ』）
＝-→
＞
＿＞→
即嚼;°≡后等l2｀β≡云肆2,
·
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2虎2工1工2～2竞（工1＋工2）
则α＋β＝龙2dr1工2＋2此（工1＋工2）＋4.
由（l）中@代人得α＋β＝＿1’故α＋β为定值且定值为＿l.
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的性质、等比数列的性质、向量坐标的应用。
（1）设直线／的方程为:y＝虎工＋2（虎≠0）,联立直线和曲线方程,由根与系数的关系证明｜MC｜2＝｜MA
｜MA｜
’ ｜MC｜
’ ｜MB成等比数列;
《2）山MA≡·＾c,MB≡βBC得..≡宗』2.β≡云墨敬鲤＋′化筒后…且定值为ˉ1
＾
-＞
＝-＞≡→
ˉ-≥
｜MB｜,即
244. ［答案］
（1）由椭圆方程知A（-1,0）,B（1,0）,F（0,l）,
由题意可设直线′方程为y＝″＋1。（钎）
（÷＋延』-l
设…』》｀D（…,由t≡趣十］
得（庚2＋2）工2＋2A工-1＝0
-2龙
｜露1｛露』～原丁〗
由题意得△＞0ˉ定成立故有↑
—｜
｜rl工2＝F丁面
→→
由CF＝2FD,得工l＝-2工2 ;
「
-2虎
｜-工2＝原丁百
代入上式,即《
—1 ’可得膨＝÷Ⅳ
~｜
~｜
门
｜
2工备＝虎2＋2
~＼
由已知可知,龙≡-√T可
7
故直线』的方程为川＝—罕h＋l
（2）由题意可知直线Ⅱ的方程为γ＝拉＋l,且陶≠0.隐≠±l｀可得P点坐标为（＿÷.0）
由（l）巾的C,D坐标及（※）叫得’直线AC方程为’≡云÷I（工＋D》直线BD的方程为γ-÷兰了（工—D
两方程联立消去J得
工＋1
〕2（工1＋1）
（虎工2＋1）（工1＋1）
工-1
J1（工2-1）
（虎工1＋1）（工,-1）
虎工］工2＋Ar2＋工1＋1
＝虎工1工2-虎工1＋工2-1
龙工1工2＋（工］＋工2）＋l＋（龙-1）工2
虎工1工2-虎（工l＋工2）-1＋（炎＋1）工2
《』＋2
』兰2＋l＋《隐ˉDr,
U
尺
~
』聋2＿隆—l＋《臆＿l）恋』
（龙—1）（龙-2）＋（k
1）工2
虎2＋2
~
（虎＋l）（h-2）
~｜／U~」~司、
＝厂（尺十ˉ」／工2
虎2＋2
此-1
吕＝＝
∏~｜‖0
尺干」
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解得工＝-h.
因此』Q点坐你为（
隐』γQ）,则而.面＝（÷｀0）
. （—隆,γQ）＝l为常数
＞
-ˉ←
因此,（）P.（Ⅺ为定值
［解析］
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合.
-→
＞
（1）设出直线方程和焦点坐标后’根据题目所给的条件CF≡2FD,通过根与系数的关系将坐标之间的关系使用直
线／的斜率k表示出来,最后解方程求出虎,得出结论;
（2）将题目中所涉及到的直线方程均由C、D点坐标和l的斜率k表示出来,从而将P点坐标和Q点坐标表示出来,
--＞→
进而计算OP° （Ⅺ,得出结论.
24鼠［答案］
（l）囚为右焦点为F』（l,0）,所以‘-l’左焦点为F! （ˉl.0）,点P（l’;）在椭圆上’2α＝｜PF｜｜＋｜PF2
√（｜＋D2＋（÷）,
∑
＼
｀
□
』
』
′
∩
◎
—
◎
′
□
（
＋
〗
）
］
］
（
′
√
｛
·
』~
~~
所以α≡2·b≡″＝≡√了所以椭圆方程为子＋等-1
（2〕设R（鞠,沁）.T…）,芋＋等≡｜（堑1 ｜≤2〕. ｜RF.
｜,≡《襄｜—D:十盘→』—｜）,ˉ｝3（｜—子）≡＋《甄!—哑
所以｜RF2-÷（4—工］）—2—÷正］,连接OM.OR,由相切条件知; ｜RM｜2—｜OR｜2—｜OM｜』＝虹;＋γ带—3＝延｛＋
白
3（l—乎）
3≡÷堑; ·
所以｜RM｜＝÷覆｛’所以｜RF: ｜＿RM≡2—＋露］＋＋堑］-a
同理可求｜TF』｜＋｜TM｜＝2÷工:＋÷涎2-a
所以｜F2R｜＋｜F2T｜＋RT＝2＋2＝4为定值。
［解析］
本题主要考查椭圆、圆知识的综合应用。
（1）因为右焦点为（1,0）,所以C＝1,把p点坐标代人椭圆的方程,再结合α2＝b2＋C2即可求得椭圆方程
（2）设R（r! ,驹）｀T（z: ’沁）｀利用两点间距离公式可求得｜RF, ｜ˉ2—÷塑｜连接OM.OR.由RT与圆相切可求得
RM｜-÷堑］’则RF: ｜＋｜RM＝2—＋r!＋＋r1＝2;
同理可求得TF2
｜｜｜TM｜＝2÷刃2＋÷工2-2’
△
△
所以｜F2R＋F2T｜＋｜RT＝2＋2≡4.
246. ［答案］
（1）由题可知:α＝l.
因为e＝ˉ二≡2’所以（＝2.因为α2＋b2＝c2 ,所以b＝√百,
α
2
所以双曲线C的方程为:工2—÷＝L
（2）设直线′的方程为:工＝ry＋2,另设:P（工l ,yl）、Q（工2 ,y2）,
2
＂↑,十｀
,可以得到（3t2-1）y2＋l2ry＋9＝0,
（工＝ry＋2
-12t
所以y1＋J2＝3t2-1,J1J2＝亏7面ˉ＝丁。
√〖
▲
°
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又育线八P的方膘为』≡六《延＋!）｀代入墅≡÷得;M（÷,蒜十百）,
属理直线AQ＂方膘为删≡羔′x＋n,代入堑≡＋得;N（÷.岩十而
所以丽＝（÷｀盖兰万）.两-（÷.—满十万）,
）
—＞—＞
Q
9J1〕2
所以MF2 .NF2≡寸＋4（堑1＋l）（工:＋1）
9y1y2
＝÷＋4（娜｜＋3）（fγ』＋3）
9
~｜
9Ⅳ］J2
-丁ˉ厂4［t2yly2＋3t（yl＋］2）＋9〕
Q
9×3‘2≡1
9
~｜
-丁ˉ厂
4（‘2×3÷l＋3‘×豆鸟＋9）
÷—÷-0｀
所以MF2」NF2。
（3）当直线／的方程为r＝2时,解得P（2,3）。
易知此时△AF2p为等腰直角三角形,其中丝PF2A＝÷乙PAF2＝÷’
即乙pF2A≡2乙PAF2 ,也即;∧＝2。
下证:乙PF2A＝2丝PAF2对直线』存在斜率的情形也成立。
2×-2二
…阔—剿捻- 』垒惫』—（碧）』』诽｝;
2
因为工;等-1,可以得到;γ｛＝3（工;＿l）,
u
2y1（工1＋1）
2y1（工I＋1）
≡≡≡
＝＝＝
J1
所以tan丝PF2A≡
kPF＝
2
王丁＝百＝tan2丝PAF2 ,
结合正切函数在（0’÷）0（÷.厕）卜的图象可知’丝PF:A-2丝PAF’
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的相关知识.
（1）利用已知的双曲线的离心率,顶点的几何信息,求出圆锥曲线的方程;
（2）按照所给的信息,先求出两个交点坐标,然后写出两个向量,通过求向量的数量积来证明两个向量垂直
（3）先利用特殊直线工＝2找到可能存在的入的值,然后再证明对其他直线的成立。证明中,先利用角度正切的关系,
将角度大小的关系转化为正切值大小的关系,然后将点在双曲线上的特点,利用双曲线上点的关系化简正切值的
表达式,从而得到证明
／
Q
｀
‖
Q
247. ［答案］
（1）由P（l,亏）在椭圆上,得京＋亦＝l.O
依题设知α≡2C,则b2≡3C2.@
将@代人o,解得r2＝1,α2＝4,b2＝3。
2
2
故椭圆C的方程为÷—÷-L
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↓啡＝
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（2）法—:由题意可设AB的斜率为贞,
则直线AB的方程为y＝虎（工-1）.o
代人椭圆方程3工2＋4y2＝l2,并整理,
得（4皮2＋3）工2-8虎2工＋4（虎2＿3）＝0.
设A（工l ,yl）,B（工2 ,y2）,
侧｛有篓1＋工』≡峨:＋3…ˉ等三;）o
8虎2
在方程o中令工≡4,得M的坐标为（4,3卢）.
3
3
∩y
3
÷三』陶- 等三,陶二÷≡子ˉ臆—÷
从而虎l＝
注意到A,F,B三点共线,则有☆＝虎AF＝虎BF,
3
3
÷三＋÷三六十会＿;（≡六｝
所以☆1＋庚2＝
二≡≡
l
）
工’＿1
”
工1＋工2-2
-2膛;.矿lr2—Lz］十r2」—1
〃
~｜
、｜可
将@代人o,得
◎
∩
′
△
α
√
∑
＋
｜
∏
尺
∑
β
炎
』
●
日
—
∑
点
〗
~’■点
＋
■
‖
丛
虎
■
‖
』
〗
尺
◎
△~
4（虎2—3）
8龙2
4龙2＋3
4贞2＋3＋］
~
又陶-陶—÷,
所以贞l＋虎2＝2虎3.
故存在常数入≡2符合题意.
法二:设B（工0,y0）（工0≠1）,
则直线FB的方程为y＝兰丁（工-1）,
工O-儿
∩
QJ0‖）
令工≡4,求得M（4,
工0-儿
2〕0-工0＋l
从而直线PM的斜率为虎3＝2（工0-1）
,
′
Ⅱ芒｜（工ˉD.
〕＝
得A（;÷｛≡:.2竿·
联立＜
尸
2
2
工＋丝≡］
4｜3
△,
）
2y0＿2工0＋5
则直线PA的斜率为虎］＝2（工0-l）
9
2y0
3
直线PB的斜率为贞2＝2（工0
l）,
2〕0-2工0＋5
2y0
3
2y0-工0＋1
故存在常数∧＝2符合题意.
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［解析］
本题主要考查椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系
（1）利用椭圆的离心率,椭圆过＿已知点’椭圆参数α,b’c已存在的关系得到三个方程,可以得到α,b,c的值,于是
得到椭圆的方程.
（2）本问第＿种解法是采用设斜率的方法,另外设出A’B的坐标参量,利用根与系数的关系将4个参量化为两个。
再根据A’F’B三点共线得到AF’BF,AB斜率相等最后整理化简能够解出有意义的入＝2.
第二种解法是采用的设点法’即设出点B的坐标’然后将虎l ,虎2 ,龙3用B的坐标参数表示出来,然后根据等式贞l＋
虎2＝入炎3解出入＝2.这种方法目标明确,就是用设的B坐标参量将其他的变量表示出来,思路比较简单,但是有时候
碰到题目难度较高时,这种方法会使得计算量非常大,因此在学习时应重点掌握第-种方法
酗a（答寨］
《DF（0,D,′的方橇为测＝伍＋l,代人z翅＋于＝1并化简得4参
2√乃1-0
设A（工l ,Jl）,B（工2 ,y2）,P（工3 ,y3）,
贝｛峦1＝√页丁√百,顽2—√可于√百,
露］＋鞠＝粤.№＋她≡—√可（叼＋堑2）＋2-L
由题意得药＂-（露｜＋蹿）＝粤,№—（γ1＋№）ˉˉL
所以点P的坐标为（平,—1）
经验证;点P的缝标（—乎,ˉ｜）满足方穆露博＋÷≡l,
故点P在椭圆C上。
（2）法—;由P（—卓,—1）和题设知,Q（粤,!）.PQ的塞直平分线′］的方程为》＝ˉ乎烫。
设八阀的中点为M测M（乎,÷）,A鹰的垂直平分线!,的方程为’-乎堑＋÷o
由oo得′］、′,的交点为N（ˉ?÷ ）
∑
）
］
—
β
］
（
＋
’
■
）
徊
—
日
＋
徊
—
〗
（
′
√
3√∏ˉ
8
NP＝
’
巫
〗
~』工
〗
工
●
∑
｀
／
徊
（
＋
］
√
~~
β
∧
｜AM｜ˉ平,
］
—
日
］
—
∑
＋
徊
—
日
＋
徊
丁
′
可
3√可
二＝＝
8
｜MN
｜lVA＝√｜AM｜2＋｜Mlv｜2＝旦ˉ皿
8
,
故NP＝｜NA.
又｜NP｜≡｜lVQ, ｜NA｜＝｜NB
,
所以｜NA＝｜NP＝｜lVB｜＝｜NQ｜,
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.
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法二;由（l）知P（—乎｀ˉ1）,八Q（?,1）
由到角公式得
γ‖-（-1）
y2
（
1）
′丛
＂腮—肿＂
∑!—（ˉ?）
″,ˉ（乎）
tan丝APB＝1＋皮趴龙pB＝l＋yl—（～1）
y2-（-l）
“｜—（ˉ粤）
′:ˉ（—乎）
（γ!＋l）（题＋乎）（№＋1）（露』＋乎）
~
（延!＋乎）（趣＋乎）十（汕＋DO膊＋D
（
√酝｜＋2）（鞠＋乎）＿（—伍:＋2）（厦｜＋粤）
~~
（刻＋乎）（吨＋乎）＋（ˉ｀压｜＋2）（
｀厄堑』＋2）
）
］
工
〗
工
／
′
｀
∩
＜
凹
3√百／
｜
o
.工］工2-—丁｀工! ˉ丁工2）＋亏
∩
4（工2
工1）
~
3
司
‖
上
削
｜
△
〕
］
◎
臼
γ
√百
工2＿丁工］
√面~
2
l（工2-工1
）
U
U
尺QB-尺Q4
工2-工1
同理tan丝AQB＝
~~~
~
引
但
∑
β
＿
〕
旧
∏
引
但
∑
］
＿
〕
刀
｜
十
酗
∏
陀
酗
∏
陀
｜
十
3
3露l矿』—嘿（露1十盂:）＋÷
］
■
所以丝APB、乙AQB互补,
因此A、P、B、Q四点在同—圆上.
［解析］
本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.
（1）利用椭圆和直线方程联立求出A9B坐标,从而可以求出P点坐标,代人证明在椭圆上
（2）利用对称求出Q点坐标’利用两条线中垂线交点求出圆心坐标’并求出圆心到四个点｜
点共圆
利用两条线中垂线交点求出圆心坐标,并求出圆心到四个点的距离,只要距离相等,四
2咀［答鬃］
《l）由′≡粤→÷≡÷→凰:≡泌』,
又点P（2’侗）在椭圆卜.所以志十;＝］＝雕-4’
所以椭阀方程是盖＋子ˉ1
（2）当唾直堑轴时.M（2.√霄）·M2,ˉ侗）＼则∧lv的力程是;韦宁,BM的方程是方ˉ号直线∧N与
BM的交点G的坐标是（8,-2√百）,猜测:存在常数t＝8,即直线′′的方程是工＝8使得l′与AN的交点G总在直线
BM上·
·
92
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证明:当直线／的斜率存在时,设l的方程是y＝虎（工-2）,点M（工l ’）′l）,lV（工2,）′2）,G（8’）′G）.
将′的方程代人椭圆C的方程得到:z2＋4虎2（工
2）2＝16,即（1＋4龙2）工2-16虎2工＋16虎2
l6＝0｀
16虎2
16虎2-16
从而工l＋工2＝l＋4陀2 ,工lZ2＝1＋4炎2
。
一＞
--＞
因为AG＝（12,yO）’AN≡（工2＋4,y2）’A,N,G共线,
12y2
所以12y2＝（工2＋4）yG,即yG≡万干T
→
→
12y2
又BG＝（4,yG）’BM＝（工1-4,yl）,要证明B,M,G共线’即要证明4yl＝（工l
4）＿
工2＋4,
即证明:虎（工l-2）（r2＋4）＝3克（工2—2）（工1-4）,
即r1工2-2工2＋4工1-8≡3工1工2-6工l
l2工,＋24,
即工1工2-5（工1＋工2）＋16＝0.
因为工l正2
5（工l＋工2）＋16≡16虎2-16
80虎2
1＋4虎2
T干IF＋16＝0成立.
所以点G在直线BM上.
综上所述:存在直线／′ :工≡8,使得』′与AN的交点G总在直线BM上,t的值是8。
［解析］
本题主要考查圆锥曲线与方程的计算
（l）通过离心率的表达式和α、b、c的关系推出b2≡4’将点p的坐标代人椭圆方程,得到α和b的值;
（2）根据题意可知要验证直线AlV与直线BM的交点G的横坐标是否为定值,通过直线Ⅱˉ儿工轴这＿特殊情况可以
求出G的横坐标为工＝8,然后再验证对于普通的直线′:y≡k（工＿2）是否也能推出G的横坐标为刃＝8,可以先假设
G的横坐标为工≡8,将直线』的方程与椭圆方程联立,利用A（
4,0）、G、lV（Z2 ,y2）共线,可以求出G点纵坐标yG
羔.冉橇掘…M甄! ,沁〕｀G共线,则以得到只需判断｛删』≡《堑』ˉ↓｜煞恳…再利用堑』…、
;＝≡
y2之间的关系即可验证前面的等式恒成立,从而得出结论:存在满足条件的定直线l′ :工＝8。
2m［答寨］
α）设椭厕C的方程为莆＋莆ˉM·＞″＞0）·离心斡≡卓｀右焦咖F（侗,0）.
所以÷-乎,‘—侗,所以感ˉ2’萨-1,故椭圆C的方程为千＋＂:ˉ1
→-＞→
（2）假设椭圆C上存在点P（工0,y0）,使得向量OP＋OA与FA共线,
→→
→
因为OP＋OA＝（工0,J0＋1）,FA＝（—√百,1）,所以工0＝-√了（J0＋1）.O
2
2
又因为点P（墅0’y0）在椭圆÷＋y』＝l上’所以于＋y;-l。
由o、o组成方程组解得;P（0｀—l）或P（—平,÷）’
当点P的坐标为（0,-1）时,直线AP的方程为r≡0;
当点P的坐标为（乎,＋）时,直线AP的方程为侄—知＋4≡0,
故直线AP的方程为工＝0或√5r
4y＋4＝0.
［解析］
本题主要考查向量共线、直线与椭圆相交的相关计算.
（l）由题意.—÷-乎,‘ˉ侗,又凰:-萨＋c』,所以可州“ˉ2,b≡1,从顺搬到椭圆力程
→→→
（2）先假设存在满足题意的P（工0 ,〕0）,根据向量OP＋OA与FA共线,得到方程O,再根据在椭圆上得到方程@,联
立方程o@可得到点P的坐标,从而可知假设成立,然后根据A、P两点坐标确定直线AP的方程.
°
93
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（答案］
（｜》因为昔＋釜≡l《铡＞偷＞0瞒足感:＝萨＋‘』.又÷≡乎,目÷ב×醚≡平.
解得碳≡5,b』-÷,故所求椭凰的方程为等＋等≡L
-丁
（2）设A’B的坐标分别为A（工l ,γl）,B（工2’J2）。
o将』→（露＋!）代入等＋等ˉ1中得（l＋雕』）堑凰＋雕:堑＋雏:—5≡0′△ˉ3锨』—4（3膳＋l）《雏』—5）-4雕凰＋
-丁
9
6卢2
20＞0,工1＋工2＝～3贞2＋1·
因为AB中点的横坐标为—＋,
所以—酱了≡—1解得您≡二享
o由o知灭］＋翱-
JF丁T堑］趣
;声;,｜段设工轴上存住定点M（′抛｀0）,使MA.MB为定值侧
6肉2
-＞＿＞
.--＞
-一＞
MA。MB＝（工l—″〗,yl）
· （工2-加,y2）
＝（工1—加）（工2-加）＋yly2
≡（工l-加）（工2-m）＋虎2（工1＋1）（工2＋1）
≡（h2＋1）工l工2＋（虎2-m）（工1＋工2）＋此2＋″】2
＝（h2＋l）.墅二旦＋（陀2-泅）（--ik二）＋（肉2＋加2）
3炎2＋1
3贞2＋l
（3m2＋6γⅪ-1）虎2＋（加2-5）
251
二≡≡
3虎2＋1
要使上式为定值’贝‖需傀3咖:＋6′＂—l＝3（″』:—5）,即狮-—÷,此时,顽.丽＝÷为定值｀
）
（
勺
刁
′
—
叮
◎
（
Ⅻ
为
点
定
以
「
卧
）
［解析］
本题主要考查椭圆方程的求解以及直线与圆锥曲线的位置关系
（l）由题意叮得.ˉ÷ˉ『.＋×b×酞＿乎,而目α』＿″:＋‘凰,三看联立便佩懈得…的值,迸呵得露‖椭圆c的
方程。
《2）o将直线方程与椭圆方释联立,然后再结合根与系数的关系及露1芋』
十便可得到斜率』的值
＿→—＞
O先假设存在定点M满足条件,设M（″!’0）,再分别求出MA’MB’将O中得到的根与系数的关系代人其中,经过化
简,若求得m,则存在这样的点M,否则不存在。
252‖答案］
（1）设点C（襄,」）,则由题知;罕.宁＝砸』化简得;—砸缠』＋γ:＝l（z≠0儿
当′n＜
l时,轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆,且除去（0,1）,（0,～1）两点;
当加＝
1时,轨迹E表示以（0,0）为圆心,半径是1的圆,且除去（0,l）,（0,-1）两点;
当
1＜m＜0时’轨迹E表示焦点在工轴上的椭圆,且除去（0,I）,（0’-1）两点;
当′Ⅷ＞0时,轨迹E表示焦点在y轴ˉk的双曲线,且除去（0,1）,（0,-1）两点。
（2）法—:设M（工l ,yl）, ］V（工2,y2）,Q（工2 ,-y2）（工］·工2≠0）,依题直线／的斜率存在且不为零,则可设｛葛工＝
tJ＋1。
.
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2
代人÷—γ2＝1（矿≠0）整理得（‘2十2）γ2十2凶—l＝0’γ］＋γ2≡豆工;’γ］γ2＝页＝万
-1
又因为M、Q不重合,则工l≠r2 ,yl≠-y2.
J1＋y2（工
工｜）,
因为MQ的方程为〕-y1＝工l-r2
令y＝0,得工＝工l＋Jl（工2-Z1）
＝
＝ty1＋1＋tyl（y2-yl ）
2ryly2＋1≡2,
y1＋J2
y1＋y2
yl＋〕2
故直线MQ过定点（2,0）。
法二:设M（工1 ,y］）,］V（工2 ,J2）’Q（工2,-〕2）（工1 ·工2≠0）’
依题直线′的斜率存在且不为零’则可设』:J＝炎（工
1）9
2
代人÷＋γ2＝l（堑≠0）整理得（l＋2俺2）工2—4隐2工＋2腮2—2＝α
4龙2
2此2-2
工l＋工2≡∏∏百,工l工2＝1＋2虎2 .
~｜
因为MQ的方程为y
Jl＝ylˉo′2（工-工1）,
工］-工2
令y＝0,得工＝工1＋yl（工2-工l）
此（工l-1）（工2＿工l）
2工l工2
（工1＋工2）
＝工1＋此（pr1＋工2
2）
工1＋工2-2
,
yl＋J2
将堑』＋鞠≡1＋鳞』…』ˉ答了i;代人得≡2
4点乙
故直线MQ过定点（2,0）。
［解析］
本题主要考查圆锥曲线基础知识、直线与曲线方程
（1）由2二。J＋1＝m,化简整理后对加分类讨论可得不同结论;
工
工
）
○
〗
（
点
定
过
◎
川
线
直
故
β
工
得
○
〕
＾
可
）
工
刃
〃
【
｀
◎
白
◎
凸
γ
√
工
←
｜
—
叭
…
学
判
（2）MQ的方程为）′
yl≡
25凯［答寨｜（D由廖＝竿÷铲≡÷,得刨‘≡,6: .故椭圆方棵为蒜＋皆≡1
又椭圆过点M（3√可√百）侧恭＋÷≡l,解得6』—｛,
所以椭闷的方程为斋＋千-L
（2）Q）记△MAF2的外接圆的圆心为T.
因为隐〔卿＝÷’所以MA的中垂线方程为」-—3工
又由M（3徊徊）｀F:（4徊（））,得MF』＂中点坐标为（乎,乎）,厕枷≡—1,
所以MF2的中垂线方程为y＝工-3√百,
由｜y≡—3“
｀γ-堑—‘徊.得T（乎,ˉ竿）
｜
为√（｜徊＿平）』＋（0＋平）』
-5√百
~~
2
所以圆T的半径
故△M｀F』的外接…橇为（堑ˉ乎）』＋（狐＋乎）,≡芋
@设直线MA的斜率为虎,A（工l ,yl）’B（工2 ’y2）,
由题直线MA与MB的斜率互为相反数,
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｛……
故直线MB的斜率为
炎,联立直线MA与椭圆方程:
2
2
斋＋十＝1
18√面ˉ（3虎2-虎）
整理得（9虎2＋1）工2＋l8√酿（1＿3虎）工＋162虎2
108虎-18＝0,得工l＝
9h2＋l
18√百（3虎2＋皮）-3√百,整理得工2-工l-9虎2＋1,
36√纸
所以工2＝
9肉2＋1
108√烈2-6√百,
~｜
工l十工2＝9虎2＋l
又y2-yl＝Ar2＋√百＋3√匪（龙工l＋√百-3√酞）
＝-虎（工l＋工2）＋6√酿
-108√面丧3＋l2√烈
＝
9陀2＋l
12√2虎
≡≡≡
9卢2＋l,
3√百,
12√酿
所以隐AB＝γ2
γ1
9陶2主1-÷为定值.
工2-工］
36√2陀
Q
9虎2＋1
［解析］
本题主要考查直线方程和椭圆方程
（1）利用椭圆的离心率可以求出α,b,c的关系,然后代人点M坐标’得到椭圆方程.
（2）利用过原点,可以得到直线方程,利用垂直平分线交点,求出圆心坐标。利用两点间距离公式,得到半径,从而得
到圆的方程;利用角平分线与y轴平行,得到斜率为相反数关系,从而求AB的斜率
254［答案］
（D设动点M（垄.γ）（工≠±2）,则隐M｀＝王羊百,隐吧-玉当r
脚为枷…-—十,所以兰.＿＋,即千＋y』-M蜒≠±2儿
y＝
工＋2
工
2
（2）当直线′的斜率存在时,设／的方程为y≡虎（工＋1）’龙≠（）’则联立方程组
（γ＝虎（工＋1）
（
,消去J得（l＋4皮2）工2＋8诧2工＋4虎2
4≡0’
（工2＋4y2＝4
／
8虎乙
工］＋工2＝- 1＋4户2
贝卜
4虎2-4
工1工2≡T干IF
｀
设P（工l ,yl）,Q（ˉr2,y2）
→
＝-＞
因为SP＝（工1
＄,yl）,SQ＝（≤r2-5,J2）,所以:
ˉ-＞→
SP·SQ＝工1工2-s（工｀＋工,）＋52＋y1y2
＝工｜工,-5（工l＋工2）＋52＋虎2（工1工2＋工l＋工2＋1）
＝（1＋虎2）工］工2＋（皮2-5）（工1＋工2）＋虎2＋＄2
（1＋虎2）（4炎2-4）｜（龙2-S）（-8炎2）＋虎2＋＄2
十
1＋4虎2
1＋4h2
4S2虎2＋8J炎2＋炎2＋S2-4
l＋4诧2
（厕:—4）（l＋“,逆丫l愿,）
~
1＋4虎2
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苔壶壶为定值贝｜须“芒芋1—4.即』～号慑呵,此时定值罐
当』的斜率不存在时｝P（ˉ｜’乎）,Q（ˉl,—乎）′验证当s（—号,0）时,壶夷≡器
由上叮知存在定点s（—号’0）,使碍壶.壶为定值
［解析］
本题主要考查椭圆、直线和平面向量的综合应用.
（l）设州点M坐标｀利用隐鹏｀.隐陋ˉ—＋可建立等式,迸而求得曲线C的方程
→→
（2）设出直线′的方程,联立直线和椭圆方程,利用根与系数的关系求得工l＋工2和工l工2 ,用坐标表示出SP.SQ,代
→→
人工l＋工2和工l工2 ’再化简即可得sP°sQ为定值,此处记得讨论直线′斜率不存在时的情况是否满足
255° ［答案］
（1）圆M;（工—2）2＋〕2≡64,圆心M的坐标为（2,0）’半径R＝8’
因为｜AM｜＝4＜R,所以点A（-2,0）在圆M内,设动圆C的半径为厂,圆心为C,
依题意得厂＝CA｜,且CM＝R-厂’
即CM｜＋CA＝8＞AM｜
,
所以圆心C的轨迹是中心在原点,以A,M两点为焦点,长轴长为8的椭圆.
设莫方棵为芳卜轰≡l…＞＂,
则α≡4,C＝2,所以b2＝α2-C2＝12’
所以所求动圆的圆o的轨迹方程为萧＋器＝L
γ化简整理得: （3＋4虎2）工2＋8虎m工＋4m2-48≡0,
8贞加
设B（工l ,）′l）,D（工2 ,）′2）,则rl＋工2＝-面工II百,△l≡（8虎″′）2
4（3＋4虎2）（4′＂2-48）＞0,o
陶｛舆』………—…—』≡.
2炎加
设E（z3 ,y3）,F（工4 ,y4）,则r3＋工4＝J＝F,△2＝（-2虎加）2＋4（3-炎2）（加2＋12）＞（）.o
→→
因为DF＋BE≡0,所以（工4-正2）＋（工3-工l）＝0,
即r1＋工2≡工3＋工4 ,所以
8诧加
2虎m
3＋4虎2
3-此2
,
所以2k′″＝0或-—兰—二
3＋4卢2
3
龙2.
解得诧＝0或′〃＝0’当户≡0时,由O、@得2√百迂加＜2√可,
因为m≤Z,所以m的值为-3,-2’-1,0,1’2,3,
当加≡0,由o、o得√百迂h＜√百,因为虎eZ,所以虎≡
1,0’1,
所以满足条件的直线共有9条。
［解析］
本题主要考查圆锥曲线、直线和平面向量的综合应用·
（1）由题意得｜CM｜＋CA｜＝8＞AM｜’可知C的轨迹是中心在原点,以A、M两点为焦点,长轴长为8的椭圆,且
已知焦点坐标’可得椭圆方程;
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………瞅…惭｛『黑挪｛『妈糊………＂
的点的坐标代人赤＋壶≡0得方程（工』-工:）＋（亚3-堑l ）＝0中’化简整理所得关于虎.′〃的方程,根据虎.′＂〔Z等
条件解出符合条件的k,m9可得所有符合条件的直线.
→→
256. ［答案］
（1）由已知得PA｜
｜PB｜＝8,所以P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,且α＝4,b＝3,C＝5,
所以P点的轨迹方程为萧—÷-l（墅≥4儿
（2）设P（工0’y0）（工0≥4）,M（m,0）,
→
→
由双曲线的第二定义得｜PA｜＝e工0＋α’ ｜PB｜＝e工0-α（e为双曲线的离心率）’
则｜南. ｜而｜＝器堑;
l‘.
又丽-丽｜Ⅱ＝（堑0
狮）,＋（γ』）Ⅱ-蒂;—2狮露o＋,″穆
9,
—＞
→→
由PA｜
. ｜PB｜＝PM2得m2-2吨0＋7＝0（兴）。
因为△＝4工;-28≥36＞0·
所以方程（簧）恒有两个不等实根,
所以对任意-个确定的点P,它总能对应2个6‘比点,,。
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的定义及曲线与方程。
（1）由题目条件知动点P到A,B两点的距离之差为定值,可知为双曲线的—支.
（2）设P（工』｀』＂）,由双曲线第-定义则得叹曲线上厂点到焦点的距离,可得｜南｜. ｜苑｜＝器露;ˉl6｀
设M（顺.0）’则丽』-（工0—咖）Ⅱ＋γ;-器烫;—2′＂堑0＋砸』—9,代人｜顽｜
. ｜而｜＝硫可得砸魁
2砸延0＋7ˉ0,
△＝4工:-28≥36＞0’则每个工0≥4’均可确定两个m,即有两个‘‘比点,’.
ˉ--＞
--＞
257° ［答案］
（1）设M（工,J）是曲线C上任-点,因为PM上工轴,PM＝2MQ,
2
2
所以点P的坐标为（堑,3γ）,点P在椭圆÷＋÷-l上’
］
~…—’＋
菏
丁
以
所
2
因此曲线C的方程是÷＋γ2＝L
（2）当直线／的斜率不存在时,显然不满足条件’
所以设直线／的方程为y＝贞工
2。
』
—
Ⅳ
与椭圆C交于A（工l ,yl）’B（工2 ,J2）,经lv点平行工轴的直线方程为y＝
「γ≡Ar-2
｜←
16虎
12
｜
』
得,（l十…—l雕鸳十l:≡＂…瞥≡存丽了…≡百雨.
由
｀÷＋γ2＝1
由△＝｜62隐:
州（｜＋雌』）＞0得膘＞÷｀
即瘦＞粤或隐＜ˉ亨
＞
--＞
--＞
因为（）N＝OA＋（）B,
所以四边形OAlvB为平行四边形.
.
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→—＞
假设存在矩形OANB,则OA°OB＝0,
即工1工2＋Jl〕2≡工1工2＋虎2工1工2＿2h（工l＋工2）＋4＝（1＋虎2）‘r1工2-2炎（工1＋工2）＋4＝0,
所以α＋愿）.尚F—淤.了器＋《＝0,
即龙2＝4,炎＝±2.
设M延｀,№）.由丽-硕＋而得’,≡」）＋滩…｜＋堑』）—4＝『蛤4≡—ˉ—
-4
4
1＋4虎2
17,
即点N在直线γ＝—告上,
所以存在四边形OA」VB为矩形,直线』的方程为y＝±2工
2.
［解析］
本题主要考查椭圆、直线、平面向量知识的综合应甩
→—＞
（1）设M（工’y）’由PM≡2MQ可得点P的坐标为（工,3y）,把点P坐标代人椭圆即可求得曲线C的方程.
（2）当直线／的斜率不存在时,显然不满足条件,故设直线′的方程为y＝龙工-2,A（工l ,yl ）,B（工2 ,y2）。
→
＞
-→
联立直线和椭圆C的方程,利用根与系数的关系可求得工l＋工2 ,工l工2以及贞的取值范围.由O」V＝OA＋OB可知四
→
＞
边形OAⅣB为平行四边形。假设存在矩形OANB,则有OA°OB＝0,由此可求得贞＝±2’并对虎进行验证,可知存
在四边形OANB为矩形,再写出直线方程即可
［答案］
（1）设A,B,M的坐标分别为（工0,0）,（0,y0）,（工,y）,
则工;＋y;＝（m＋l）2 ·o
—＞
→
由AM＝加MB,得（工＿工o,）′）＝加（-工,）′0-）′）,
（工
工0＝-mr（工0＝（′″＋l）工
所以（
,《
m＋1
°
（γ＝加（γ0
’）（γ0＝-万广γ
将圆代人o｀得（翻十l）:甄』＋（宁）,y2-（″｜l）』』
2
化简即得点M的轨迹F的方程为工2＋告＝l（加＞0入
′Ⅶ
当0＜m＜1时,轨迹F是焦点在工轴上的椭圆;
当加＝l时,轨迹P是以原点为圆心,半径为1的圆;
当m＞1时,轨迹F是焦点在J轴上的椭圆
（2）依题意』设直线CD的方程为堑＝蛔＋÷’
卜＝蛔＋＋
捎去x并化简籍理》得（砸』蔗』＋l）聊遭＋砸遭′y—÷″腆』＝0’△＝〃汽』＋3m,（咖:胶:＋D＞0,
俞‖喘≡!
2
加2t
3m2
设C（工l ,〕l）’D（工2 ,y2）,则Jl＋y2＝加2t2＋l’yl）′2＝—4（加2t2＋1）0o
假设在工轴上存在定点p（α,0）’使pQ得平分丝CPD,
则直线PC,PD的倾斜角互补,
所以陶庄＋炎PD≡0,即-2二＋-2二＝0,
工1-α
工2-α
因为工1-!γ1十亏,工2＝‘y:＋÷,
｜1
所以
Jl
＋
y2
＝0,
｜1
｜
｜l
fyl十丁＿α
1γ2十丁—α
258
。
99
·
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化简,得4ryly2＋（1
2α）（J］＋y2）＝0,@
将O代人@、得-
3′＂2t
矾2t（1-2α）≡0,
〃］2t2＋l
加2t2＋1
即-2″l2t（2-α）＝0,
因为m＞0,所以′（2-α）＝0,
因为上式对γteR都成立,所以α＝2.
故在工轴上存在定点P（2,0）,使得PQ平分乙CPD.
［解析］
本题主要考查直线与圆锥曲线的方程
ˉ→→
（1）设出点A’B,M的坐标值,再根据已知AM＝mMB将点A,B的坐标用点M的坐标表示出来。再根据线段的长
度为m＋1列出关于点A,B坐标的方程,把用点M坐标表示的A,B点坐标代人该方程即可得到曲线轨迹方程.通
过讨论加的取值范围进而确定曲线的类型。
（2）假设存在这样的点满足条件.根据PQ平分丝CPD可列出关于点P坐标的方程.根据根与系数的关系消去方程
中的其他变量只留下P的坐标即可解出答案
［答案］
（1）证明:由已知’得F（√百,0）,C（√百,1）。
→
-→ˉ--＞
＝-＞
由OR＝∧OF,CR′≡入CF,得R（√面Ⅱ,0）,R′（√百,1
∧）
又E（0’-1）,G（0’1）’则
直线ER的方程为』-古ˉ1.o
直线GR′的方程为』≡—方蜒＋』。
259
出o嚼得M（睁｀锋）
酞（毒）,十（蒜）,—…—瓣′叶腹′
（1＋∧2）2＝1,
（1＋入2）2
所以直线ER与GR′的交点M在椭圆r;÷＋γ2＝1上
（2）假设满足条件的点N（工0 ,y0）存在’
则富线NF1的万程为》-腮1（堑＋1）·其中隐!＝羔,
直线NF』的方程为γ-陶（工
l）’其中陶-羔了
∏
／
~｜可、
｜γ＝虑］｀工十1〕
由｜÷＋γ:-］
,消去y并化简,
得（2崎＋1）工2＋4畸工＋2畸-2＝0.
4畸
2畸-2
设P（工l ,γl）,Q（工2’y2）’则工l＋工2＝丽『丁T’工l工』＝巫再T
因为OP’四的斜率存在,
所以工］≠0,工2≠0,所以崎≠L
所以隐″—隐m＝÷＋券-陶（列＋l）＋隐‖ （鞠—l）≡2卢1＋龙1
工1
工2
门
乙
门
乙
↑
』
■
尺
β
］
↓
尚
∩
′
～
2虎1
∑
／
（
｀
‖
■
龙
~~
旬
凸
一
尘
皿
臼
」
｜
］
］
工
●
）
］
β
］
虎~
同理司得隐匿＋臆。r—腮;些!
·
100
·
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）
向
—
跑
＋
向
＿
铜
（
所以龙op＋虎oQ＋卢〔忠＋虎oT＝-2
虎l睹-虎l＋雕2-炎2
≡-2·
（崎-1）（愿＿1）
2（此1＋k2）（虎］炎2—1）
＝
（畸-1）（睹-1）
因为虎OP＋hm＋炎OS＋犬OT＝0,
2（户］＋龙2）（虎1贞2-1）
所以-
＝0,
（崎
l）（臆
l）
即（玲l＋炎2）（虎1贞2-l）≡0.
由点lV不在坐标轴上,知炎l＋虎2≠0,
所以雕;-｜,即满.羔了＝l。
3
又y0＝工0＋2@’解o@,得工0＝-丁’J0＝丁.
故满足条件的点N存在.其坐标为（—:.÷）
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的性质,向量的计算.
→＿＞→→
（1）利用OR≡入OF’CR′＝入CF,得到R（√m’0）,R′（√百,1—入）,建立直线ER与直线GR′的方程,联立后解得
M（辞,蒜）.将点代人椭圆F》÷＋』:-］的方程中发现典满足该椭圆方隆.披交点M为椭圆F上的点
（2）假设这样的点N（工0 ,y0）存在,设P（工l ,〕1）,Q（工2 ’y2）,建立直线NFl和］VF2与椭圆的方程联立后得到（2崎＋
4畸
1）工2＋4畸z＋2畸
2＝0（其中炎l为直线NFl的斜率）’利用根与系数的关系’得到工l＋工2＝丽『干丁,工l工2＝
2畸
2
丽盂于是险″-您鲤—岛｀膨唾卜险″＿盖（…线NF』的斜率）侧育—:（鹏｛（铲∏l）
＝0,
J0
O
豆『丰了.岩≡｛则叫解得堑,-＿丁’驯＝÷,故存在这样的点N’其坐标为（ˉ÷｀÷）
260。［答案］
（1）设动点P（工,y）,则Q（工,
l）,
＞
-→→-＿＞
因为QP.QF≡FP.FQ,
所以（09J＋l）
. （-工,2）＝（工’y—1）
. （工’—2）,
即2（y＋1）＝工2-2（J
1）,即工2＝4y,
所以动点P的轨迹C的方程为工2＝4M
（2）设A（工l ,yl）,B（工2,y2）,M（工0,y0）,
2
由已知得γ＝÷’求导得γ′-÷,切点分别为A（r｜,’1）,B（工2 ’γ2）,
故过点A（绥｜,γ｜）的切线斜率为晦-÷,从而切线方程为γ—γ｜＝÷（z—Z!）
’
2
工1
工1
即y＝丁工-丁.
2
又因为切线过点M（堑＂,γ0）’所以得y＂-竿—÷,O
2
同理可得过点B（r2,№）的切线方程为删-÷—子,
2
又因为切线过点M（堑0’’0）,所以得γ0＝竿子’@
·
101
.
Ⅱ
′
＝
§
弗
口
【
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由oo两式知…』是方程№-手ˉ千的阀实棍
（工‖＋工,＝2工o
即工l ,工2为方程工2-2工0工＋4y0≡0的两实根’故有（
.
ˉ
’
（工1工2≡4y0
范.丽＝（工l-z0）（工2-工0）＋（γ》-γ0）（γ2-γ0）≡工l工2-工0（工!＋z2）十z;＋yl’2
γ0（γl＋γ2）＋γ;（豁）
』
2
2
工‖
工9
将工］＋Z2≡2Z0,工!工2＝4y0 ’γl＝丁,γ2＝丁,γ0＝-加’
-＞—＞
代人（羚）式得MA·MB＝—4加-2工;＋工;＋加2＋m（工;＋2″l）＋加2
＝4m2＋加工;—4m-工;＝（加-l）（工;＋4加）,
当咖＞2时’顽.疤＞0,乙AMB＜÷.
■
2
2
工］
工9
’｜鳃』≡丁丁≡平≡÷.隐鹏—丁—
2
zl
工0±√工;-4γ0
因为虎AB＝工‖
工,
工‖
工,
L
凸
所以俺M4 .隐AB＝寻×工0±√Z;—二Iy『
2:0（工b±√司—4γ0）
臼
2
≡
4
若虎M4 .kAB≡-1,则工0（工0±√z;-4y0）≡-1,
4
4
即±√工;-4γ0≡-可-工0 ,
两边同时平方整理得（y0＋2）工;＝
4,
又因为y0＝-加,所以（加-2）工;＝4,
而m＞2时,方程（m＿2）工;＝4有解’
所以m＞2时,有MAˉLAB或MB＿［AB,△MAB为直角三角形.
即直线』1上存在两点M’使△MAB为直角三角形.
［解析］
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用。
（l）设出动点坐标代人向量方程,整理化简即得动点轨迹方程
（2〉首先设出A,B,M点坐标,根据导数的几何意义得经过两点的切线方程.由此可知rl ,工2
（2〉首先设出A,B,M点坐标,根据导数的几何意义得经过两点的切线方程.由此可知rl ,工2为方程工2
2工0工＋
4γ0-0的两实根’由根与系数的关系得坐标关系’代人得诚.丽＞0｀故可知丝AMB＜÷.根据隐MA .隐AB＝—l
整理所得方程有解,故可知存在点使△MAB为直角三角形.
26M答案］
（l）因为离心率为粤,所以.＝2b》〔-√霄b’
9
?
所以椭倒方程可化为;惫＋爹-1’直绚的方程为』＝堑＋√:b,
｜兰＋耍＝1
由方程组｛雌‘
6.
得》卖』＋《（更＋√m』≡‖膀.即5药』＋8倾灭＋雕』≡0.
（y＝工＋√习b
设C（堑! ,,!）,D（延』,’』）则剩＋堑:-平b,
→ˉ-→＿＞
＝-＞
又AC·ADBC·BD＝（工l＋α,y1）
· （工2＋α,y2）
（工］-α,〕1）
· （工2-α,y2）＝2α（工1＋工2）,
所以4b. （挚）＝
32√可
5
,
所以6＝L椭圆方程是÷＋y:＝L
·
102
·
←『
『
、■争→≈
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（2）由椭圆的对称性,可以设P｜（加,〃）9P2（m,-〃）,点E在工轴上,
设点E（t,0）,则圆E的方程为: （工
t）2＋y2＝（加～t）2＋″2,
由内切圆定义知道,椭圆上的点到点E距离的最小值是｜PlE,
设点M（工,y）是椭圆C上任意＿点,
则｜ME』-（工—脏）』＋γ:ˉ÷疑2
2′延＋产＋L
当露-咖时. ｜ME｜Ⅱ最小,所以翻-÷-÷’o
2
又圆E过点F,所以（—√百-t）2＝（加
t）2＋阀2 ,@
2
点P!在椭圆上’所以″2＝l÷,o
由ooo解得》膛＝ˉ乎或』＝侗.
又′＝√可时,咖≡—华＜ˉ2,不合题意,
综上》椭圆Ck存在符合条件的内切圆,点屑的坐标是（粤,0）
［解析］
本题主要考查向量的坐标应用及曲线与方程
（l）根据椭圆的离心率可求出α,b,c的关系,代人椭圆解析式,联立椭圆与直线方程,化简可得5工2＋8√百b工＋8b2＝
0根掘根与系数的关系碍到C,D两点的坐标关系,代人向量关系凉.I5—茨.茄＿竿,＂′求襟‘的值
即可得到椭圆方程.
（2）设Pl（m,″）,P2（加,-″）,E（t,0）,得到圆E的方程,根据内切圆定义,椭圆上的点到点E距离的最小值是PlE｜,
求出椭圆上任意＿点到E的距离公式,判断最小值,进而得到狮,t的关系,根据点P1在椭圆上,得到加,〃的关系,
即可判断出椭圆C上存在符合条件的内切圆
--→
｜
＞
—＞
262〖答案］
（l）由PM＝亏（PA＋PB）知M为线段AB的中点,
所以M（÷｀—÷）
「y＝虎］X＋户
｛
』
』
（2）由方程组
（÷＋÷-l
消去y得方程;（‘z2崎＋62）Z2＋2α2h1户工＋α2（p2-62）≡（）,
因为直线／l ;y≡炎l工＋户交椭圆F于C、D两点,所以△＞0,即α2畸＋62～户2＞0,
设C（工l ,Jl ）、I）（工2 ,）′2）’CD中点坐标为（工o ,y0）,
卜0-延1＋垄,
“』隐!′
2
α2畸＋b2
则封｜
』瞥…—您ˉ倒错b』
（j′≡皮1正＋′
由方程组｜M＝隐』∑
消〕得方程（克1-户2）正＝
户,
…—六蹦以｝—腐′皇｀— .糕—″ ,故E为CD的中点.
卜≡陶≡鲤:熊—绷,
·
103
.
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（3）作点Pl 、P2的步骤:
O求出pQ的中点E（α（1
c。sβ）,b（1导m0））’
2
b（1＋Sin0）
@求出直线OE的斜率贞2＝- α（1—cOS0）,
—＞一→
b2
b（1—COS0）
O由PPl＋PP2＝PQ知E为CD的中点,根据（2）可得CD的斜率虎l＝— α2虎2
α（1＋Sin0）,
o从删得直线CD的方翟;测ˉ6（l＋…）
:｛｛丁器｝卜＋硼（l—严》］
2
O将直线cD与椭圆F的方程联立,方程组的解即为点Pl 、P2的坐标.
欲使Pl 、P2存在,必须点E在椭圆内,
所以（l—芋0）,＋门＋?M〕,＜｜,化简得鼠in,—…＜＋,瓢n（0—÷）＜乎.
又0＜0＜丽,即÷＜0ˉ÷＜￥’
所以÷＜0—÷＜…乎｀
敬0的取值范围是（0,÷＋…乎）
［解析］
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题,中点坐标公式、
（1）由题意知M是A（0.—b）,B（侧.0）的中点.所以M（÷’—÷）
（2）联立直线′l和椭圆方程,由根与系数的关系求得CD中点坐标;再联立直线／l ,!2的方程结合根与系数的关系
求得E点坐标,结合题目条件可得CD中点坐标与E点坐标相同,即可证明E为CD中点。
（3）根据题目要求作出Pl ,P2 ,然后再根据Pl ,P2在椭圆内或外,得到两个关于0的不等式,解出0的范围即可
263。［答案］
（1）由题设可知,因为抛物线y2＝4√田的焦点为（√面ˉ,0）,
所以椭圆中的C＝√百,
又由椭圆的长轴长为4得α≡2,故b2＝α2
C2≡2.
故懒圆的标准方程为茅＋等≡L
（2）法＿:设直线／:工＝加y-√Z代人椭圆方程得（γ″2＋2）y2
2√面》m′
2≡0,
设c（…c》,口《烫…）＼∧（—:·0）,圃（2.0）,测c＋』n≡鸽’
于是｜s』
s』≡÷…‖y幢｜—咖‖≡2Ⅺ』c—扣｜≡z×:靶｜≡:.断以′＂≡±徊
故直线的方程为工±√乃＋√百＝0.
法二:当直线!斜率不存在时直线方程为工＝-√面ˉ,
此时△ABD,△ABC面积相等, ｜S1-S2＝0.不符合题意,应舍去.
当直线l斜率存在（显然）时,设直线方程为〕＝虎（工＋√百）（工≠0）,
「丝＋止＝｜
设C（墅c｀γc）但《墅…》枷椭厕方糯赚立得到｛』｝2
…
,消掉〕得
〔y＝虎（工＋√百）
（1＋2虎2）工2＋4√酞2工＋4此2
4≡0,
·
104
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显然△＞0,方程有棍且堑c＋露°≡了嚣; ,
此时｜s』
s』—｜2‖』′｜＿｜』c｜‖-2｜yc卜』』′-:｜愿（重c＋徊』＋…＋徊川≡2虑（颠c＋墅·）＋2征｜-÷等
国为悸0,上式斗等｜-2.
所以隐-±平’
所以直线的方程为工±√面y＋√百＝0.
（3）设P（工P,JP）,M（工1 ,y1）,N（工2 ,）′2）’
-＞—＞
＿＞
（工P≡工1＋2工2
由Op＝OM＋2OlV可得（
’O
＼JP≡〕1＋2J2
工l∑2＋2y］y2≡0,@,
M、lV是椭圆上的点’故工｛＋2y;＝4’工;＋2J:≡4.
由O@可得;工＄＋2y＄≡（正l＋2工2）2＋2（y1＋2J2）2＝（工带＋2y;）＋4（r;＋2y;）,
故正移＋2y＄＝20,
即器十粥≡1
由椭圆的定义,
pF］｜＋｜PF2为定值4√豆
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的性质及曲线与方程的知识。
（1）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,以及椭圆的长轴长,即可求解.
（2）设出直线方程,联立方程求出交点坐标的关系,利用三角形面积关系求解出未知量,即可知直线方程
（3）利用向量关系,同时点在椭圆上可得到相应方程,根据联立方程后的结果就可得出结论。
2“［答鬃］
（l）证明;由删＝＋露: ,得y＝÷堑’》／｜雾ˉ′.＝丁＾№
1
过点A（户俯,＋夕;）的切线力程为＂—＋′;＝÷＾（rˉ′,）,
即γ≡＋′＂蟹十′;冷露＝0’则γ-＋户;,
..B（0,—十′;）
。°。点Q（户,q）为线段AB上的点,
不妨设户0＞0,则0≤户≤户0.
,＋′;—9
｜
户0-户＝丁户0,
尺＝＝
.｀q-＋户0（2′—′o）
.。.工l ,Z2为工2
户工＋q≡0的两根,
.
户±√户2-4q-户±√（户-户0）2＝户士（户0
户）
··r1,2-
2
2
.
2
...0≤p≤′o, ..v（′’q）-等
当′阑＜0时’同理可证,（′’q）＝粤.综上叮得解（′.α）≡今
≈
。
105
·
封…辐i…了喻十
咀
｛｛
↑
≈…护…哆■≡→申→≠■
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（2）证阴;由（l）知｀′｜;γ＝丁′｜堑寸′｛｀′, ;γ＝丁′』露—＋户; .F（0｀ˉ＋′;）,F′（0,ˉ＋′i）
1
o若M（“,b）层x.由（l〕刚M在线段EF上则解（凰.b）≡竿且｜凰｜＜户;
｜,
假设｜α｜＜｜户2
｜,由（1）知点M还应在线段E′F′上,结合图形可知M只能在y轴上,这与α≠（）矛盾,故应有“≥｜户2
.
于是有户］｜＞｜户2
｜
。
o若｜p｜｜＞｜′2
｜｀则—＋′｛＜ˉ÷′§ ｀点F（0.—十′;）在F′（0.—十′:）的下方结合图形可知定点M必在线
段EF上,圆‖M（…x.巾（D知碘（趣,b）≡÷综合oo可知;M（…x曰｜′- ｜＞｜〃』｜白′（·,β）≡早
「y＝工-1,
或｜工-2,
｜厂＋（鞭＋n』—÷｀得｜j二巴』
｜测≡1
（3）由」
~＼
知户巳［0,2］’q〔［
l,1］
由题设知:q≤p-l,于是有户2≥（q＋1）2≥4q,即D内任何＿点对应方程工2-户工＋q＝0均有实根,则工l,2≡
p±√′曾—蛔.由工!＋J』-p≥0测γ（户,q）ˉp＋√p粤—4q,设幽＝√p2ˉ4q测,（户,q）-宁,q＝吉么
2
2
…Dˉ｜（′｀刚）,≤您—1,,≥十（胸＋D』:｝
≡｛（隧｀′）｜罕;≤′—l.′』严≥十（监＋D』÷｝
≡｜《艘,′』｜罕:≤嗡—l.罕:≥十（监＋＂.÷｝
—｜《艘』′）
｛（您＋娜—:》（』—删—…,腆毫—÷＋蟹｝
如图所示画出区域将直线l:户＋“＝0平行移动,
当′与直线BC重合时’′—幽＝2’得帜咖＝半-l
当』与曲线户＝—÷｛2相切时,由夕′-
刨＿—l,得“＝l
·
3
。。户＝丁,
p
p-Ⅲ-2＝0
Q
1＋÷
尸
乙
O
＝
O
4
△
..切点为A（｜,÷）’此时有嘲…＝
［解析］
本题是新定义型问题,综告
［解析］
本题是新定义型问题,综合考查平面解析几何、线性规划知识,主要涉及利用导数求圆锥曲线的切线方
程,＿元二次方程及线性规划问题,考查数形结合思想、转化与化归思想,运算求解能力,推理论证能力,知识迁移
能力及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,难度较大。
265. ［答案］
（1）由已知α＝1,可得F（1,0）为焦点,』:工≡-1为准线,
设P点坐标为（
l｀勤,）,则盲线PF的方程沁＝ˉ＋纵,（烫—｜）,
＂点坐标（0,＋y,）’直线RQ的方程为铡＝÷露＋÷№,
又直线PQ的方程为』-’, ,故Q点坐标为（＋γ; ｀』0）,
把Q点代人J2＝4工,满足方程,即Q点在抛物线E:y2＝4工上。
（2）由图形的对称性可知定点在工轴上,设定点坐标K（″!’0）.
O当直线AB斜率不存在时,设直线AB的方程为工≡α,求得A（α,2√∏）,B（α,-2√万）,M（
α,-2√云）, lv（
α
2√厅）,显然以MlV为直径的圆恒过定点（2√百-α’0）,（-2√∏-α,0）,
·
106
。
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O当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为J≡尚（r
α）,
代人y2＝4工得虎2工2-（2α虎2＋4）工＋α2贞2＝0。
设A（工］,2｀／云丁）,B（r2 ,-2｀／万）’
由根与系数的关系得艇』十工』≡等十4,蜒l←.,
·
…腿!驰ˉ六隐鹏＿方
9
2
故直线OA的方程;y＝＿≡巫,直线OB的方程;γ＝＿7云巫.
√工］
得到M（—幽,—÷）,N（
.｀羔）｀
由于圆恒过定点K（m,0）,根据圆的性质可知丝MKlV＝90°。
→→
即KM·KN＝0,
求得丽-（—隧—″,—差）,丽ˉ（—艘—鹏,羔）代人上式得
（徽＋咖）2——丝≡-0,得（α＋咖）2—4α-0,得″!-±2√∏—似‰
V工1工2
故以MlV为直径的圆恒过定点（2√匠α,0）’（-2√r-α’0）.
［解析］
本题主要考查圆锥曲线与方程
（l）当α≡1时,设P点坐标为（-1,J0）,可分别写出直线PF、RQ、PQ的方程,联立方程即可解得Q点的坐标,代
人抛物线方程,则可知Q点在抛物线上;
（2）由图形的对称性可知定点在工轴上,设定点坐标为K（′′l ,0）.分别讨论直线AB斜率存在或不存在时,以MN为
直径的圆与工轴的交点,从而可得加≡±2√r＿α,即以MN为直径的圆恒过定点（2√百-α,0）,（
2伍α,0）.
266. ［答案］
（l）法-:由抛物线方程,得焦点F（1’0）,
所以C＝1,故α2-b2≡C2≡1,o
又椭圆C］经过点M（l,÷）.所以÷＋志ˉl°
由o@消去α2并整理,得:4b4
9b2
9≡0,
解得b』＝3,或b』＝—÷（舍去）,从丽α:＝丛
故椭圆的方程为子＋普-1
法二:由抛物线方程,得焦点F（1,0）,所以c＝1’
＾
□
—
◎
△
＋
＋
′
丫
〃
∑
）
日
—
〗
（
＋
∑
、
／
■
」
■
」
（
所以2α
』
~
所以蜒:≡』,b』≡3故椭圆的万程为子＋等-1
（:）o当詹线唾直↑二烫鞠时.贝M（l’:）,R（1,—÷）,〔Ⅻ,2）,口α,ˉ:）’剖:
o当直线［与工轴不垂直,设其斜率为虎（虎≠0）
9
｜γ＝隐（工-l）
＂恒戮′的力程为厂…）,由｛芋＋等＝』得（:＋…雕…』
l:-0,
显然△l＞（）,所以该方程有两个不等的实数根.
8户2
设A（工1 ’y1）’B（工2 ,y2）,则Z］＋工2＝5干可F,工］
4（虎2-3）
’工2＝3＋4h2
·
107
·
十
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］2（1＋虎2）
＝√I丁丙丁√（Jrl＋工2）2-4工l工2≡
√（工1-工2）2＋（yl-）′2）凹
所以｜AB｜＝
Ⅱ
虎
△
｜
十
＾
□
（）′＝虎（工～1）
,得炎2刃2
（2卢2＋4）工＋此2＝0,
由｜γ』-4“
显然△2＞0,该方程有两个不等的实数根.
设C（工3 ,y3）,D（工4 ,y4）.
因为虎≠0,所以工3＋工4≡2＋ˉ土
h2
·
由抛物线定义’得｜CD｜＝工3＋工4＋2＝4＋ˉ土＝4（1＋龙2）
陀2
炎2
所以揣｜笋接）
』o＋膊〕
. 33＜÷.
克2
′／0 .ˉ. ｜Cl）｜
3＋4龙z
4（1＋虎z）
4＋ˉ生～4
′
贞2
综上,当直线′垂直干露轴时｀删取得最大值÷
［解析］
本题主要考查椭圆的方程,直线与椭圆、抛物线的位置关系。
（l）抛物线C2的焦点F为（1,（））,即在椭圆中c≡1,又点M在椭圆上9将其坐标代人椭圆方程,再结合α2-b2≡c2＝
1便可求得α2 9b2 ,进而得到椭圆方程.
（2）本题应该分类讨论,即分别讨论直线′的斜率存在与不存在这两种情况’若直线／的斜率不存在,可分别求出A,
B,C,D这四点坐标进而求川制的值｛酱直线′的斜率存在,可先设出直线方程.分删将其与椭圆方程抛物线
方程联京.利用镭长公式分铡求膊∧日｜, ｜CD｜·最后便可求删喘的取值范围最后两种情况比较便可得删结沦
尸
］
［答案］
（1）由题意知e＝二＝-
α
2
,
腑以:』≡÷-宁:≡＋即.』≡÷从
义酗b≡浩≡阀,所以醚:≡!.′≡』
2
2
故椭圆C的方程为÷十÷＝L
（2）由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y＝炎（工
4）。
偷｛弊｜………—…
设点B（工l ,yl）,E（工2 ,y2）,
y2＋y1 （工
工2）,
则A（工l
,
〕l）,直线AE的方程为J-y2≡
工2-工］
2工l工2-4（工1＋工2）
’愿蕊｝!』将』!≡隐《墅1—』》｀她≡…—‖）代人整理得襄-
令y＝0,得工＝工2—
工l＋工2-8
由o得雾!＋唾—雌:＋3…偷揣;焉2.代人o.
32陀2
整理得工≡l,所以直线AE与工轴相交于点Q（190）.
当过点Q的直线MlV的斜率存在时9设直线MN的方程为y≡′″（工-1）
,
∏
′
‘
∑
,@
且M（工M,’M）,N（工N,yN）在椭圆C
出
Ⅱ
~】
罩←萨↓…＋…｛←｀
汾
0
』
『
b』…→卞…岂←铀0
■
丫…!…｝…↓ˉ
宁ˉ↑＋ˉ｛—
＋…←←＝↓…
｛
『
i
｝
得（4〃『2＋3）工2-8加2工＋4′Ⅶ2-l2＝0
·
l08
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8加2
4加2-12
易知△＞0,所以工M＋印N≡4加2＋3,工MxW＝4m2＋3 ,）′M）′lv＝-4′冗2＋3.
5m2＋l2
33
→→
则OM.OⅣ＝工M工N＋yMJN≡了;万可干丁-丁4（4m2＋3）,
‖‖
叮∩
因为砸愁≥0’所以＿÷≤—4（蔬;＋3）＜0,
→→厂
巨
｀
所以OM.ON匡［—4,—寸）
当过点Q的直线MN的斜率不存在时’其方程为工＝1,
解得M（｛｀÷）’N（!｀—;）.此时OM.ON-—丁;
—＞-＞
5
→→
厂
巨司
所以OM.ON的取值范围是｜—4,—r」
L
［解析］
本题主要考查椭圆方程及直线与椭圆的位置关系、函数与方程的思想
（l）列方程易解得α2 ,b2 ,c2的值’即得椭圆方程
→＞
→＞
（2）欲求OM·O］V的取值范围,先需得出OM°ON的函数表达式.先设出PB的方程,通过PB的方程与椭圆方程联
立得到＿元二次方程,由根与系数的关系得出两个交点坐标间的关系,从而得出Q点的坐标。再设出过Q点的直线
MlV的表达式,并通过M］V与椭圆相交,将直线方程与椭圆方程联立得到＿元二次方程通过根与系数的关系得到
→→
M,lV两点坐标之间的关系。通过坐标关系得出OM°O」V的函数表达式,然后求出取值范围
［答案］
（1）证明;由题设知.F（÷’0）｀C（—÷,0）》
设A（堑｜』γ｜）,B（蹿,№）』直线′的方程为堑＝咖’＋÷,代人抛物线方程γ』＝2p堑』得》2—2廖狮γ
y1＋J2≡2户″1,y1〕2≡-p2.
不妨设yl＞0’y2＜0,则
tan乙ACF＝
y1
）′1
2户y1
2户J1
＿
2户
∑｜—÷嘉—÷’;＋幽』
』《—汕№
』!—』』
268
户2＝0,
J2
2户
tan丝BCF≡-
Ⅲ2—÷
γ2—γ］
所以tan乙ACF≡tan丝BCF｀所以丝ACF＝丝BCF.
（2）如（＂所设驹＞0｀…cF-器≤舞≡l当且仅当』1-幽时…,
此时丝ACF取得最大值÷,乙ACB-2丝ACF取得最大值÷’并且A（÷,′）,B（÷,—′）, ｜AB｜-2′
［解析］
本题主要考查抛物线的方程与曲线的性质′
（1）根据抛物线的性质可以知道点F,C的坐标,设出直线l的方程与抛物线方程联立,设点A,B的坐标分别为（工l
,
y1）,（工2 ,〕2）,根据联立的方程组求得-元二次方程J2-2户my-户2＝0,由根与系数的关系〕l＋〕2＝2户m,J］J2≡
-P2。再求得丝ACF,么BCF的正切值分别为tan丝ACF≡
yl
2户Jl
2户J1
＝
y
-
2户
Ⅱ｜＋÷箭＋÷』;＋摸』
’懦—』!』』
』｜—酗』
y2
2户
.所以tan么ACF＝tan丝BCF,所以乙ACF＝丝BCF.
tan丝BCF＝-
∑汁;
’,
’!
（2』…伞不等式可得『…但F≡器≤器-』（设』!＞0』,当凰仅驾驰≡幽蹦取等号此蹦丝＾cF蜒得鼓
大值÷,乙ACB＝2乙ACF取最大值÷,并且A（;｀′）,B（÷,—′）,AB-2′
·
109
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2
工l
工1
［答案］
（l）设A（工l ,y1）,则切线AD的方程为y＝万工-万’
所以D（÷｀0）｀Q（0,—’｜）, ｜FQ｜-;＋y］’FA｜-;-γ］
’
所以｜FQ｜＝｜FA｜。所以△AFQ为等腰三角形9且D为AQ中点’所以DFˉLAQ’
因为DF｜＝2,丝AFD≡60°,
所以么QFD＝60。’÷＝l,得户＝2,所以抛物线方程为Z2＝4γ.
2
工2
工2
（2）设B（工2 ‖y2）（工2＜0）,则B处的切线方程为y＝丁工-丁,
269
学—lˉ牢宁』引抛｜』＋宁ˉ咐｜÷』）
由弓｀γ＝丁工-丁
＼γ≡l
同理N（等＋ˉ兰,1）’
｀△
工,
′
所以面积s-÷｜（÷-÷÷—聂）（｜芋）｜ˉ｜…｜）腮…》』
l6刃1工2
｜,o
设AB的方程为〕＝拉＋b,则b＞0,
由｜γ-虹＋b→Z』—4虹4b-0,得′｜＋r』-状,代人o得:
（工2≡4y
（工l工2＝
4b
s≡卜‖…偷抓…卜《｜＋″』,〃呵…最M!雌—α
-64b
b
得到S-（l＋!）2√『.O
令仍≡r,代人@得S（t）＝（1＋t2）2 ≡t3＋2t＋上,S′（t）＝（3t2-1）（t2＋1）
t
r2
所以当′层（0·乎）时｀s（《）单渊谨减,当′旨（乎,＋…）时,s（D单调谨增,
所以当』-卓时｀s取得最小值为竿此时b＝‘』-亏.隐ˉα
］
√
2√百
所以y』-÷,即r!＝＝
√
［解析］
本题主要考查抛物线与直线的位置关系,函数单调性求最值。
（1）设切线AD的方程’易求得D、Q的坐标,则FQ≡÷＋γ!
, ｜FA｜＝÷＋γ1 ’所以
△
△
FQ｜＝FA｜,则△AFQ为等
腰三角形得证再根据已知条件可求得户＝2.
（2）设出直线／2的方程,将直线／、′l 、l2两两联立解得P、M、N的坐标,所以将面积化为关于工l和工2的表达式。又
将直线AB的方程和抛物线C的方程联立,得到关于工l和工2的等式代人S的表达式化简,最后确定出S取得最小
值时页」-竿
270. ［答案］
（1）由题意知MN是线段BP的垂直平分线,连接MB,
于是｜AP｜＝｜AM｜＋｜MP＝｜MA｜＋｜MB｜≡2√面＞｜AB｜＝2,
所以,点M的轨迹是以点A,B为焦点’半焦距c＝1’半长轴α≡√百的椭圆,半短轴b＝√万面≡了可＝1
2
故点M的轨迹方程是÷＋y2＝1.
°
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「←2
｛了＋』掣≡］
（2）设F（工］,yl）,H（工2 9）′2）,则由
（J＝Ar＋√F丁丁（虎＞0）
消去J得（2诧2＋1）工2＋4虎｀／虎2＋1r＋2炎2＝0,
4内〃2＋1
2虎2
则△＝8贞2＞0,工l＋dr2＝
2龙2＋1
,工1工2＝2诧2＋1;
ˉ→→
所以OF·OH≡工1工2＋y1y2
＝工l工2＋（龙工l＋√F丁丁）（虎工2＋√Fˉ干丁）
≡（虎2＋1）工l工2＋炎｀／Fˉ干丁（工l＋工2）＋炎2＋1
-《廖＋n蒜I—』√原工了丝:舞＝＋膘＋」
炎2＋1
2虎2＋1,
故有÷≤羔兰≤:.
即÷≤膨≤l｀解得罕≤晦≤1
［解析］
本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线与方程的关系.
（1）根据椭圆的定义:椭圆上的＿点到两定点的距离之和为定值,可得点M的轨迹为椭圆,两定点间的距离为焦距,
距离之和为长轴长,可得椭圆的标准方程;
-→-＿＞
（2）联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系可以求出F,H两点横坐标之间的关系,进而可以得出（）F·OH的
→→
值,根据OF°OH满足的条件求出虎的取值范围.
271. ［答案］
（1）由题意直线′l的方程是γ＝-上:些z＋l,
乙
因为÷＋γ0＝l,
所以′1的方程是γ＝—子工＋L
若直线′2与y轴重合’则M（0,l）,
若直线↓2不与〕轴重合,可求得直线!2的方程是J＝上工＿1,
工0
2
与′］的方程联立消去巫0得;÷＋γ2＝l,
2
因直线′!不经过（0’—1）,故动点M的轨迹C的方程是÷＋γ2＝1（γ≠
1）
（2）设T（工1 ,γ1）,直线′的方程为γ＝隐（工＋2）（隐≠-寺）.
乙
…蕴（「↑岿）
由方程组消去y并整理得:
（1＋4龙2）工2＋16龙2工＋16龙2
4＝0.
由—2露』—l等云碍》墅』≡｜｝蛾』,
2-8虎2
◎
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4龙
从而yl≡1＋4陀2.
设线段ST的中点为N,
铡N（ˉ』凳, .击F）
以下分两种情况:
O当贞≡0时,点T的坐标为（2,0）,线段sT的垂直平分线为y轴,
→
-＞
于是QS＝（
2,-′″）,QT＝（2,-加）
,
→→
由QS.QT≤4得:＿2√面≤m≤2√Z
O当膨≠0时·线段ST的垂直平分线方程为测
T干IF—÷（工＋下警F）
2虎
令工≡0,
6虎
得加＝- 1＋4户2。
因为隐≠—＋,所以″′≠÷』
—?诫』）＋lˉ墨,（1簧摩＋lˉ墨』）
→→
QS°QT＝
2工1-m（y1-加）≡
』u撇瞬｜》≤4,
解得罕≤隐≤罕且膛≠α
0
6诧
6
所以m＝- 1＋4h2
÷＋鳞
所以当ˉ罕≤腮＜0时,卞＋雌≤—“
］
当0＜龙≤二丛时’＋＋4腮≥4
／
尺
所以÷≤咖≤÷.且′＂≠α所以÷≤枷＜÷且加≠0
Q
q
臼
综k所述,当直线!的斜率为0时,—:√面≤′″≤2√百;当直线′的斜率不为0时,—÷≤′删＜÷目咖≠0
［解析］
本题主要考查圆锥曲线和直线方程
（l）通过P点坐标写出直线ll的方程,通过P′点坐标写出′2方程,联立两条直线方程,利用参数关系消去参数得到
动点M的轨迹方程。
（2）联立直线方程和椭圆方程,利用根与系数的关系求出T点坐标,从而写出向量的坐标表示,求出数量积利用数
量积的取值范围,得到m的取值范围
272. ［答案］
（1）设M的坐标为（工,j′）,有工＞0,且y≠0
当丝MBA＝90°时,点M的坐标为（2,±3）;
‖
—
州
◎
臼
当丝MBA≠,旷时,露≠2,山二MEA≡:△MAB啃…MBA-削匙蔽B.即ˉ｜y｜-
工-2
,化简可
〗
）
‖
—
钳
（
‖
ˉ
』
得3z2-y2
3＝0。而点（2,士3）在曲线3工2-y2-3＝0上.综上可知,轨迹C的方程为3工2-〕2
3＝0（工＞1）
。
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‖-2墅‖″
消去y,可得工2-4加工＋加2＋3＝0O.由题意,方程O有两个根且均在（1,＋◎◎）内.
｀3工2-y2—3＝0
（2）由
′二笋＞l
臼
／（1）≡12
4m＋′n2＋3＞0 ,解得′n＞1,且′刀≠2
｀△＝（～4γ″）2～4（m2＋3）＞（）
设／（工）＝工2
4mr＋加2＋3,所以
由已知′死＜2,所以1＜m＜2
设Q,R的坐标分别为（工Q,〕Q）, （工R,JR）,由PQ｜＜｜PR｜及方程O有工R＝2″!＋√3（″!2
1）’工Q＝2″!
州…喘簧靴‖＝二‖!习!｝｝Ⅲ》｜＿-W.‖贪｜….
l＜—叶
＝＜7,所以借的取值范嗣是（1,7儿
4
2—＼／;（l—蒜）
［解析］
本题主要考查圆锥曲线方程问题
（1）设M的坐标,由丝MBA＝2乙MAB’利用正切的二倍角公式’可得M横、纵坐标关系’即方程但需单独讨论
乙MBA＝90°时的情况.
（2）联立曲线和直线方程,由已知条件求出m的取值范围’设Q’R的坐标分别为（工Q’yQ）,（工R,Ⅳ膛）’将工Q,工R用″!
表示出来,冉由阔ˉ器求得取值范围
′
C
l
e二＝—≡＝—
α
乙
27乳［答案］
（l）设椭厕c的方程为姜＋皆≡l（燃＞6＞（））·则士＋惫-Ⅻ
｀α2＝b2＋C2
解栅α:≡｜,b:≡3’所以椭圆C;宁＋÷≡L
（2）（i）易得F（l,0）,
o若直线′斜率不存在’则!;堑-｜’此时M（｜÷）,N（l,＿;）,
~~
→
Ⅳ
＿
∏
』
●
→
Ⅷ
＿
厂
【
■
●
夕
○
√
—
』
△
消去〕得: （4虎2＋3）元2＿8虎2工＋4凭2
12＝0,
8虎2
4龙2-12
所以工l＋z2＝IFˉ干可,工l ·工2＝4虎2＋3
,
-ˉ-＞
-≥
所以FM·F］V≡（工1-1,yl ）
° （工2-1,y2）＝（1＋虎2）［rl工2-（r1＋工2）＋1］＝
9
1
,
4-—
1＋炎2
因为膘≥（）,所以0＜☆≤l,所以:≤｜ˉ古＜4,所以—;≤FM.lW.
--→～＞
综上,FM.FN的取值范围为「
3,—÷］
ˉ-→--＞
［
’
—
↓
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（ii）证明:设线段M」V的中点为Q,因为T不在工轴上｀所以直线M］V的斜率一定存在
工1＋工2
4虎2
3户
4贞2＋3,
所以直线（）T的斜率炎′≡些＝兰
prQ
4虎,
所以直线OT的方程为＂——京r.
—÷—0
1
从而T（4.—÷）.此时TF的斜率愿丽＝
4—1
≡≡≡
了,
所以侮游.肉咖＝—÷隐-—l,所以TFˉ上MM
［解析］
本题主要考查曲线与方程
′
C
1
e＝＝—二＝—
2
2
（1）设椭圆C的方程为素＋券-1（α＞h＞0〕,则由已知得乱上—丛-｜,联立可求得椭圆方程;
｜α2｜462
▲
｜铡』＿b斗僧』
一＞→
（2）（
｜）分情况讨论当直线／斜率不存在时,可直接得到FM°FN的值;当直线l斜率存在时,由点斜式设出直线′
-ˉ-＞
-→
-→＝-→
的方程,与椭圆方程联立,根据根与系数的关系可表示出FM·FN,即可得到FM.F］V的取值范围;
（
｜｜）由（）T平分线段MN可表示出直线OT的方程,从而表示出T点坐标以及直线TF的斜率,则可得到炎TF
°
虎MN＝
1,日｜］TF」—MN.
”剿‖答鬃］
（!）…』;γ-墅＋:与憾垄:＋醚凰ˉb』相切,德0芳:｜ˉb,即b-徊,
由＝粤得÷＝l
镶粤≡÷,所以翻-佰.
2
2
所以椭圆C!的方程是÷＋÷≡1.
9
▲
（2）由÷＝l,户＝2’故C2的方程为γ2＝4工’
△
易知Q（M）,设R（￥,则! ）,s（芋＼』』）.
,
9
9
所以硕-（￥｀№）’琵-（测罕i .№
＂1）.
由硕.庙-0得’带（’;『y《）｜测1 （№ˉ’; ）-0.
囚为驰≠γ凰.所以γ』-
（γ!＋等）,
所以γ;ˉ咐＋等＋鳃≥√:等＋3:ˉ触
当且仅当γ;-孪,即γ］-＝4时等号成立
J1
~′
O
O
又壶＝√（芋）.＋’;≡＋√（’;＋8）』
醚,
--＞
因为y苦≥64,所以当γ:≡64.即〕2＝±8时· ｜QS｜mm＝8√百,
→
故｜QS｜的取值范围是［8√百·＋◎°）.
·
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［解析］
本题主要考查椭圆与直线相交
（l）根据椭圆离心率’所给直线与圆的关系,以及椭圆的三个参数直接满足的关系可列出三个方程,联立解得α＝
√3’b＝√2,C＝L
（2）根据抛物线焦点可求得户＝2’又硕。琵＝0,求得γ』与’2的关系式’根据基本不等式可求得γ;的范围,又
ˉ＞
≡-＞
Qs｜是关于γ:的函数,故可根据y;求得｜Qs的取值范围
275。［答案］
（1）由题意得b≡1
.-÷—?,且酗』ˉ′＋‘: ,
所以α≡2,C＝√百,
2
所以椭圆C的方程为÷＋》2-l
’
］
~∑γ√—’汀
＋
盅
＿
满
』
℃
圆
椭
）
∑
（
~~—□＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＂＼／l＿景
当）′＞（）时,J＝
故y′≡
11三·
1
2
√』—紫
刀】
勒
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此
●
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—
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＿
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可
口
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工
■
勒
—
№
工
◎
门
—
沛
’
汀
一
’
枷
~~
陀
～
＿
‘
丁
№
日
（
）
＞
〕
〕
。
为
当
程
方
以
线
「
β
切
即′′2工0堑＋″!2）′0γ≡′″2γ;＋′′2工;≡狮2厕2 ,即等＋婴＝l
″〗
Ⅶ
同理可证’γ0＜0时』切线方程也为等＋孕＝1,
γⅦ
闪
］
~~
拙
—
’
汀
＋
…
—
’
而
足
荫
↑
′
′
〗
＋
＿
~~工
为
程
方
线
切
寸
日
○
~〕
当
综卜所述.过椭圆C!上—点Q（露＂｀测,）的切线方程为芳＋罢＝］
（3）设点P（工P’γP）为圆堑2＋γ2＝l6上-点,PA,PB是椭圆÷＋γ2＝l的切线,切点A（工］,γ1）,B（工2 ’γ2）,过点A
的椭圆的切线为手＋γl’-1,过点B的椭圆的切线为竿＋y2γ-L
因为两切线都过P点’所以竿—卜γ］γ’＝1,竿—№γP＿1,
所以切点弦AB所在直线方程为宁＋’y′＝1
所以M（0,士）,N（六,0）,
所以MW』ˉ器＋意≡（嚣＋志〉生斋i-六（嚣＋l『＋l‘簧）
°
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≥六（＂＋√‘÷竞）≡而
,
2
＼
25
2
2
当且仅当午≡M粤.即z卜-等｀γ｝＝等时取等号.
yP
工P
所以｜MM≥:、
目
所以MM的最小值为寸.
［解析］
本题主要考查椭圆的方程及性质、椭圆的切线的性质.
（l）欲求椭圆方程,需求得α,b的值,已知6利离心率,联立可得α,c的值,即得椭圆方程
（2）欲证椭圆切线方程为窖＋等＝l’可先讨论γ0＞0处的点（工0’γ0）,得到关于γ的函数,求导可得切线斜率利
″『
＂
用点在椭圆上,工0 ,y0满足椭圆方程将斜率炎化简,得切线方程,同理y0＜0’再验证J0≡0的情况,此题即可得证
（3）欲求｜MM的最小值’需先求直线AB的方程’而A’B是椭圆上的切点’设出A’B的坐标,利用上问的结论可得
切线方程,又因两条切线有公共点p,得到形式相同的两方程,从而得到直线AB的方程,得M,N的坐标,观察
MlV｜的形式,利用α2＋b2≥2αb,求得｜MM的最小值
［答案］
（1）设M（zM,z勋）’M工N,工私）,由OM」ˉ（）］V得rM工N＝＿］
1
因为工M≡″l’所以工N＝-万
276
所以｜oM｜≡√工i＋喇-√丽工雨丁·olv-√城＋堑｜vˉ√（六）,十（—萧）』-√狮甚1
~
］~／
~／
1
W2＋2√″′』.丽
≥
］
—
沛
＋
门
＋
∑
／
√
γ
］
—
∑
制
—
』
加
√
门
＋
″
√
］
—
∑
Ⅳ
）
（
Ⅻ
）
］
—
〗
Ⅳ
叫
△
＾
◎
以
所
≡L当且仅当′阀
≡±1,即S△〔】｀′N的最小值为1.
（2）设B（工l °工;）,C（工2 ,z;）,直线AB,AC的斜率分别为炎l ,此2 ,则直线AB的方程为y
9＝肉1（r-3）,即此l堑-y—
3虎l＋9＝（）,同理,直线AC的方程为虎2y-J-3虎2＋9＝0.由于圆心（0,2）到直线AB和AC的距离均为1,所以
器≡!」湍≡｛,所以』蹄』…ˉ＂｀』隐;—…』≡Ⅷ
所以隐｜｀底』是方程峨—2l隐＋24＝0的两个根｀所以腮｜＋膛:-手
由方橇组｜γ-正』
得工2-虎l工＋3kl—9＝0,因为直线AB与抛物线工2＝y交于A,B两点,所以工l＋3≡
（y
9≡龙l（工-3）
灸l ,同理工2＋3＝皮2.
“;ˉ“;→!＋堑』＝隐!＋彪ˉ6-—÷.所以直线BC的斜率为—÷
所以hⅨ＝工2-工1
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的性质及计算。
（l）由OM上ON,壁M＝m,所以更N≡ˉ＊分别求出｜OM｜
｀ON｜由直角三角形的面积公式可求出S△刚N的表达
式,运用基本不等式即可求出S△叫N的最小值。
（2）先设出B,C的坐标,直线AB,AC的斜率hl ,k2.由圆心（0,2）到直线AB和AC的距离均为1,可以求得关于陶‖ ,
炎2的表达式.再求出皮肛的表达式’最后可求得直线BC的斜率。
·
116
·
~
~旁~
~
『
呛可g
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27饥［答寨］
（l）依题惠,设椭厕c的方棵为繁＋莆≡L因为｜PF』
｜, ｜FlF′
｜, ｜PF』｜构成等差数列,因为2篷≡｜′’F』
｜
＋｜PF: ｜≡2｜F｛F:-4.鲤ˉz又囚为‘-1·所以〃ˉ3所以椭圆C的方程为宁＋等ˉ1
（2）将直线′的方程y≡虎工＋加代人椭圆C的方程3工2＋4γ2＝12中,得（4虎2＋3）工2＋8此mr＋4″l2
与椭圆C仅有＿个公共点知,△≡64虎2加2-4（4虎2＋3）（4加2-12）＝0,化简得″22＝4炎2＋3.
｜砖岳｀徽厘ˉM｜ˉ踪兰,
12＝0.由直线／
设‘／］≡FlM｜＝
0
F1
O
F,
＄
∑
『
α
虎
］
′
α
法＿:当炎≠0时,设直线l的倾斜角为0,则αl-α2 ｜＝｜MM×｜tan0 ,所以｜MM≡
s÷｜罕』｛…≡｜蹦豆斗鹊″兰｜｜蒜亩
因为′撼:≡孵＋:,所以当悸＂时,砸＞侗,枷什丙＞侗＋方-÷侗,s＜2√瓦
当庞＝0时’四边形FlMNF2是矩形。S＝2√瓦
所以四边形FlMNF2面积S的最大值为2√瓦
震二;…｛＋蝎—（淌」）』＋（踪兰）』
2（″l2＋虎2）
肉2＋1
2（5炎2＋3）
~
虎2＋1
,
d｜α,＝
虎＋m｜
.
｜虎＋加｜
ˉ
ˉ
√贞2＋1
√炎2＋1
｜m2-虎2 ｜-3虎2＋3＝Q
二≡＝
尺≡十」
此2＋l
凹,
~『9~｜司
所以MlV＝√FlFi-（〃l-α2）2
√4-（‘!;＋α;-2‘Jlα2）
2
~~
｀／Fˉ下Tˉ
四边形FlMNF,的面积S＝＋｜MM（《』］＋隆′:）＝万泞了（感｜＋M:）,
·
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s』-六（战＋蓟i＋2创｜吻）
16炎2＋12
（此2＋1）2
≡M—4（六—2）』≤l2,
当且仅当h＝0时,S2＝12,S≡2√丁,故Smax＝2厄
所以四边形F］MVF2的面积S的最大值为2√百.
［解析］
本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的方程
（1）由题意可求得c＝1’2α＝2×2c’可得椭圆方程
（2）联立椭圆方程和动直线』的方程,因为只有＿个交点,所以△＝0。涉及直线的斜率问题,讨论斜率是否为0及是
否存在.由点到直线距离公式可得FlM和F2」V的值;由FlM」ˉ′,MFl的倾斜角可得;而FlF2≡2c,可得四边形的
高;由梯形公式可得F］MNF2的面积.由参数加的范围（可由有关于加的每＿个式子获得）可得面积的最大值
O
9
27a［答鬃］
（l〕切线方程罢＋罢＝l在第＿象限内,由÷＋寸ˉ1叮得＂-上√h』ˉ顶』,№＝÷√h』—堑; ’椭圆
α
罕·切线方程为鳃-ˉ孪（题ˉ塑｀｀）＋№,即罢＋楞ˉL
b工0
在点P处的切线斜率虎≡y′（工0）＝
≡
αy0
α√h2
工;
αγ0
（2）证明;设A（工1 ,y1）,B（工2 ’y2）,
（膀—舞）』鸳—犁蜒十丝—2凰』』』≡｀
y0
y0
2工0b4
竿≡÷×了
“』嚏:b』
2‘α:‘』
-露, ｀
′＋舞,;凰…（1碧）″＋＂』夏;
所以P为A,B的中点,
所以｜AP｜＝｜BP·
［解析］
本题主要考查椭圆的切线方程。
（l）在第＿象限中｀y＞0｀由椭圆方程得γ-÷√F≡了丁｀求导得’′-
求得切线方程;
旧
标
坐
的
点
△
口
再
·
脸
—
∑
叫
工
＿
＝
》
—
ˉ
…
r｜＋工,
（2）因为A,P,B在同-条直线上,所以只需证明三点的横坐标满足
二＝工0
2
2工ob4
…翟…徘嘿｜渗乎＿等—里…驯罕-＋之／雌…
工1＋工2
°
＝工o ,所以AP｜＝｜BP｜
。
△
279· ［答案］
（1）依题意可设抛物线F的方程为工2＝2Py（户＞0）,
由焦点为F（0,1）可知÷＝1,所以′ˉa
所以所求的抛物线方程为工2≡4y。
。
118
。
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（2）证明;设切点A、B坐标分铡为（蜒｜.千）.（唾｀乎）｀由（D知,’≡←
则切线PA、PB的斜率分别为庞｜-γ′ ｜一墅』-÷篮｜,隐』ˉy蹿→,-丁吨｀
l
蚁切线PA、PB的万程分另‖为删—＋堑;-＋叼◎涯! ）｀＂—十露:-÷唾（≡』）.
「
工l＋工2
｜工＝
2
联立以上两个方橇得｛
.
故尸的坐标为（酉!亭』,＋壁｜堑′）,
｜γ≡十工lr』
因为点P在抛物线r的准线上’所以＋…-—l,即…＝—恕
设直线AB的方程为y＝肉工＋m,代人抛物线方程王2＝4〕,得工2-4h工-4狮＝0,
所以工l工2＝-4加,即-4加≡-4,所以m≡1.
故直线AB的方程为y≡炎工＋1’故直线AB恒过定点（0,1）.
（3）结论＿;若点P为直线／;y＝t（／＜0）上的任意＿点,过点P作抛物线p;工2＝2py（户＞0）的切线PA、PB,切点分
别为A、B,则直线AB恒过定点（0,-r）.
结论二:过点Q（0,加）（加＞0）任作—条直线交抛物线Iv:正2＝2户y（户＞0）于A、B两点,分别以点A、B为切点作该抛
物线的切线,两切线交于点P,则点P必在定直线J＝-加上。
结论三:已知点P为直线l :y＝拉＋b上的＿点,若过点P可以作两条直线与抛物线F:r2≡2户〕（户＞0）相切’切点
分别为A、B,则直线AB恒过定点（户h,-b）.
［解析］
本题主要考查抛物线以及合情推理.
（l）由已知焦点的坐标可得抛物线的标准方程;
（2）设切点AB坐标分别为（堑』,乎）（题,芋）,由条件切线PA与PB相交于点P｀可算出点P的坐标,又阔为
点P在抛物线的准线上,所以可得工l工2＝
4.另＿方面,设直线AB的方程为〕＝虎工＋m,通过与抛物线方程联立,
利用根与系数的关系与关系式工l工2＝
4可求得′＂≡1,即直线AB恒过定点（0,1）;
（3）将准线和抛物线推广为-般情形并进行合情推理
280. ［答案］
（l）易知α≡2’6＝1,c＝徊所以Fl（-√面ˉ,0）,F2（√百,0）.
设P（工,〕）（r＞0,y＞0）
,
2
则PF1 .PF:＝（ˉ√百ˉ露,
勤）. （√丽—露,＿’）→:＋’』—3-—÷’又÷＋）′:-｜,
→ˉ--＞
勺
｜工2＋γ2-寸
（工2-l
｜工＝l
解得｛赃曾ˉ÷ˉ卜ˉf,所以P（］,粤）
~｜
,坐｜千拘』≡｜
（2）显然工＝0不满足题设条件,可设直线』的方程为y＝虎工＋2,
设A（工］,yl）,B（工2 ,y2）。
「工2｜,
司
联立」丁十y-」可得工2十4（Ar＋2）2＝4,即（1＋4虎2）工2＋16Ar＋12＝0,
（γ＝隐堑＋2
12
16h
所以Z1工2＝百丽百,xl十工2＝
1＋4虎2
。
Q
由△≡（l6隐）2-4（l＋4隐2）×12＞0得4隐2-3＞0’解得隐2＞÷.
°
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＞
＿＞
又乙AOB为锐角,等价于cos乙AOB＞0’等价于OA°OB＞0·
—＞→
所以OA.OB＝工1r2＋y1y2＞0.
又y］y2＝（龙工1＋2）（k工2＋2）＝肉2工l工2＋2肉（工1＋工2）＋4,
所以工］工2＋y1y2＝（l＋皮2）工l刃2＋2炎（工1＋工2）＋4
ˉ（1＋膊）. 1黄膨＋泌. （—T躇r）＋｜
』｛与f;）＞0,
＝
所以殿＜4综上叫知÷＜藤＜4’所以〃的赋值范囤是（—2,＿乎）0（粤’2）
［解析］
本题主要考查直线与椭圆的方程以及曲线方程的计算
---＞
---＞
巨
（l）由椭圆标准方程得到焦点坐标,设P点坐标为（工,γ）,利用PF］.PF2＝寸以及P点在椭圆上’联立方程组,
求出P点坐标;
（2）设直线l的方程为y≡炎工＋2与椭圆方程联立,整理得,（1＋4虎2）工2＋16h工＋l2＝0,利用根与系数的关系得到
-→ˉ→
工l＋工2、工l工2 ,而么A（）B为锐角等价于（）A。OB＝工l工2＋yly2＞0,利用y1 ,J2与工l ,工2的关系可得出y1y2的表达
式｀代人解关于光的不等式,便可求出直线』的斜率尚的取值范围
［答案］
（1）由抛物线C;y2-2户涎过点P〈1,l）,得户≡÷
所以抛物线C的方程为y2≡主。
′
］
｀
l
抛物线C的焦点坐标为（了,0）,准线方程为工-丁
（2）证阴;由题意.设直线′的方程为》ˉ粒＋÷（肉≠0）｀′与抛物线C的交点为M（蟹1 ,’］）’M涎』
｜γ＝隐工＋÷’
由｜.
ˉ得娥』工2＋（峨—4）x＋l-α
〔y乙≡r
1
则露!＋堑:-号…:-F
因为点P的坐标为（1,1）,所以直线OP的方程为J＝工,点A的坐标为（工l ,工l）。
直线ON的方程为γ＝丝工’点B的坐标为（r! ’些丑）
工2
｀
工2
′
因为yl＋2些上-2工l＝Jl工2＋y2工l
2工l工2
工2
工2
（粒｜＋÷）Ⅺ翻＋（虹z＋＋）延｜
2堑｜墅′
281
y2）
工2
（2隐—2）堑!蜒』＋＋（堑』＋蜒］）
~
rO
〗
尺
∑
炎
∩
／
臼
‖
日
』
＋
冗
乙
‖
儿
′
尺
川
哇
）
∩
／
臼
′
尺
◎
△
／
‖
｀
~
工9
·
○~
所以yl＋义巫上＝2工l
。
工2
故A为线段BM的中′点
·
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［解析］
本题主要考查抛物线的标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系
（l）将点（1,1）的坐标代人抛物线方程β｜］可求出待定系数,得抛物线方程,进而得焦点坐标和准线方程;
（2）设出直线』的方程与抛物线方程联立,求得M, lV两点横坐标的关系式,结合题中垂直关系和直线OP,ON
推证.
［答案］
（l）由抛物线C的方程,ˉα堑2（“＜0）得,焦点坐标沟（0’六）,准线方程为γ＝—丽
l
（2）证明:设直线PA的方程为y-y0＝炎l（工-工0）,直线PB的方程为y-y0≡龙2（工工0）。点P（工0,y0）和点A（工l ,y］
）
（J-y0＝虎l （工-工0）o
的坐标是方程组（
的解,将o式代人◎式′得α露』ˉ岛露＋您＝露,—y腑ˉ0,了是堑!＋延』≡÷,故
（y＝αZ2o
篮｜ˉ÷—堑Ⅷo,
（y
J0＝虎2（工-工0）@
又点P（工0 ,’0）和点B（工2 ,γ2）的坐标是方程组｜
的解’将o式代人@式’得α工2-虑2工＋隐2工0-
｀V＝αZ2◎
》＂—0′丁是堑』＋雾』ˉ粤,故鞠ˉ了延＂
虎2
由已知得’庶』＝—状｜’则z2-子隐1ˉz0o’
→→
工2＋入工1
设点M的坐标为（工M,yM）’由BM＝入MA,则工M＝
1＋入
。
-工0-∧工0
将O式和O式代人上式,得工M＝
l＋∧
≡＿工0,即工M＋工0＝0.
所以线段PM的中点在y轴上。
（3）因为点p（1,-1）在抛物线y≡α工2上,所以α＝-1,所以抛物线的方程为y≡—工2.
由O式知工］＝-虎l-1,代人y≡-工2,得Jl＝-（虎l＋1）2 ’将∧＝1代人O式的工2＝虎］
1,代人y＝-工2 ,得）′2＝
（A1-l）2.
因此,直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A（-龙l
l,-崎-2炎l-1）,B（虎l＿1,-崎＋2竞l
1）.
＞
→
→→
于是AP＝（龙1＋2,崎＋2虎］）,AB＝（2内1 ,4虎l）,所以AP。AB＝2虎l （卢1＋2）＋4虎l （畸＋2贞l）＝2虎l （虎l＋2）（2☆1＋1）。
因为丝PAB为钝角且P、八｀B三点互不相同,故必有亦.庙＜0,求得隐］的取值范围是隐｜＜＿2或—÷＜膨］＜α
又点八的纵坐标γ｜满足删｜-＿（陶｜＋l）2.故当庶｜＜—2时｀№＜—l;当—＋＜废｜＜0时,
l＜删＜—＋,即＂］巨
（—≡.
l）0（ˉl｛—＋）
［解析］
本题主要考查抛物线方程以及抛物线与直线的关系。
（1）依据抛物线C的标准方程写出焦点坐标和准线方程;
（2）先依据条件求出点M的横坐标,利用＿元二次方程根与系数的关系,证明工M＋工0≡0;
→-＞
（3）已知乙PAB为钝角时,必有AP°AB＜0,用龙l表示yl ,通过hl的范围来求Jl的范围
282
（1）由题意,得｜α:
′:-2
（2α2＝3C2
,解得α＝√百,c＝2,又b＝√百
283· ［答案］
所以椭圆的方程为÷-＋＝L
易知PQ的斜率存在,不妨设直线PQ的方程为y＝虎（工-3）
。
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心早
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愈蔬橇鳃｛÷＋｜
,得（3k2＋1）工2-18虎2工＋27此2-6≡0,
＼y≡A（Z-3）
△＝182户4-4（3虎2＋l）（27虎2-6）＞0,
依题意｀解得—粤＜隐＜乎’
18h2
设P（工l ,yl）,Q（工2 ,y2）,则工1＋工2＝3炎2＋1’O
…祭昔.◎
→→
因为OP°OQ≡0,所以工l正2＋Jly2＝0,
又yl〕2≡☆2（工l-3）（工2
3）＝虎2［工］工2-3（r1＋工2）＋9］＝
工l工2
将o@代人上式｀得5膛』＝1,从而膛-±哩匡（—坦,卓）
’
L」
｀
O
O
′
所以直线PQ的方程为工-√乃-3＝0或工＋√百）-3＝0.
→
一＞
（2）证明:AP≡（工l-3,）′l）,AQ＝（工2＿3,）′2）,由已知得
「工l-3＝入（工2-3）
y1
∧J2
’
腑
—
日
｜
干
坐
判
—
户
◎
｜
雨
｜
｜
｜÷＋等＝｛
巾∧＞l解得甄:≡γ｀
因为F（2,0）’M（正l ,-）′l）,
→
故FM＝（工l
2,—J1
）
＝（入（工,-3）＋1 ,-∧〕2）
／1-∧
—＼—厂,—入№）
-—∧（导,＂,）｀
丽FQ＝（鞠ˉ2’№）≡（号,y』）,所以FM-—∧FQ
→
＞
一-＞
［解析］
本题主要考查椭圆的基本性质、平面向量的数量积及直线与方程
（1）由椭圆的基本性质可得到椭圆的方程,设直线PQ的方程为y＝虎（工
（1）由椭圆的基本性质可得到椭圆的方程,设直线PQ的方程为y＝虎（工
3）,联立椭圆方程和直线方程,通过方程
根的判别式可求出肉的取值范围,再根据根与系数的关系及向量的数量积为0可求出皮的值,则可得到直线PQ的
方程.
.--＞-→
（2）由向量的关系及点在椭圆上可求出FM、FQ的表达式,则可求得结论.
2铡（答寨］
（l）由已知得b≡侗,‘≡1,“≡:所以椭圆C的万程为宁＋等≡山
ˉ-→
＞
（2）因为DA≡∧DB,所以D,A,B三点共线,而D（-4,0）,且直线AB的斜率＿定存在,所以设AB的方程为y≡
＂（露＋↓）与椭圆C的万程宁＋等-1联立得（3＋雌』）’:ˉ2雌,＋;雕』≡0,由△—l帆α—｛膘）＞0,得膨』＜＋设
36此2
—＞
＞
A（工l ,y1 ）,B（r2 ,y2）,yl＋y2＝3＋4炎2 ,yl〕2＝3＋4皮2O’又由DA＝∧I）B得:（工l＋4,y1）＝入（工2＋4,y2）’所以yl＝
·
122
·
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「｜勺
-24虎
｜y2ˉ厂∧y2—3＋4龙2
.消去y,得;:哉,≡（l＋川）,≡＋＋川＋2当』巨［÷÷］时,
………』｜喊ˉ撒』
』
h（川）≡＋＋川＋2是减函数.所以÷≤M儿）≤罢.即÷≤≠;F≤罢.解得品≤愿≤晶又因为隐』＜＋,所以
盖≤隐』≤晶｀:‖ˉ粤≤隐≤—粤或粤≤隐≤亨｀所以直…愿的斜率的取值范阔是［乎,—粤］O
「△匝匹］
上
22
’ 6」.
［解析］
本题主要考查椭圆、直线、向量知识的综合应用
（1）根据短轴长为2√百可求得b≡√百,根据右焦点F与y2＝4工焦点重合可求得〔,再结合α2≡b2＋c2即可求得椭圆
方程.
→
--＞
（2）根据DA≡入DB,可得D,A,B三点共线设出直线AB的方程y≡h（工＋4）,联立直线和椭圆方程,利用根与系数
的关系沁＋№,’＝№.根据顶ˉ川而建立方程组化简可得3悬,≡＋＋川＋2,冉根搪‖的范围即可求得′的淑
值范围
---＞
ˉ-→
---＞
—→
285. ［答案］
（1）设B（工0 ,0）’由F2（C,0）,A（0,b）知AF2＝（C,-b）,AB≡（刃0’
b）’因为AF2上AB,所以c刃0＋62＝0,
″＂——丁,由于RF｜-F＂F: ,即F］为阔F,的中点故ˉ竿＋‘ˉ—趾,所以b』≡』‘』＿“』ˉ‘』故凰-2‘｀十是
b2
＞
＿—→
、（÷…＂）嚼（—÷.｀＂）………（—÷…Ⅷ）｀辈街≡｛…断以｜—亏—割｜≡…
2
2
解得α＝2’所以c＝1’b＝√瓦所求圆C的方程为（堑＿1）2＋〗2＝4,椭圆D的方程为÷＋÷＝L
「V＝虎（工
3）
驰帅…｀窜｜÷÷｜
,得（4虎2＋3）工2
24皮2工＋
（2）设直线MN方程为J≡虎（工-3）,M（工l ,yl）,N（工2
24虎2
—一＞-→
-≥
3雕』—12＝0△＝（2雌:）2ˉ48（雌:＋3）（;脖—1）＞0…』＜÷｀露｜＋孵,≡顽≡因为QM＋ON＝′Op｀所以（典］＋
∑1＋雾』ˉ
’!＋γ:—＋虑［《露1＋瑰）—6］-（』畔;）』因为点P在椭圆上’
24虎2
冗2 ’y1＋J2）＝t（工,γ）,工＝
r
t（4虎2＋3）,y＝
t
所以4《｛鹊i孕十息《｀期!厂｜所以′』≡坐丛≡
｀膘＋』』置｀圃为,＜隐:＜÷｀顾以,….断以′…＂
陀曰
围为（
2,0）O（0’2）.
［解析］
本题主要考查椭圆的方程与性质,向量的坐标运算.
（1）由椭圆与圆的性质,应用向呈的坐标运算,解得α＝2,b≡√jˉ,c≡1,从而解出圆C与椭圆D的方程
（2）设直线MN方程为y≡此（工—3）,将直线方程与椭圆方程联立’求得系数含户的方程’应用根与系数的关系和已
＿→--＞
-→
知条件（）M＋Olv＝tOP,求解实数t的取值范围。
286. ［答案］
（1）设M（工,）′）,P（工1 ’0）,Q（（）,y2）
′-工1（工-工I）＋（-3）y≡0
1
-＞-→
＞
1--＞
则由pR°pM≡0,PQ≡丁QM,及R（0,-3）,得≤-工l＝丁工
1
1
〕2＝丁〕-丁y2
化简得工2＝4y.所以动点M的轨迹Cl是顶点在原点,开口向上的抛物线
·
123
·
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→→
（2）证明:由题意得’AB。CD≡AB.CD.
圆C2的圆心即为抛物线Cl的焦点F。设A（工A,yA）,D（工D,yD）’
则AB＝FA-FB＝y∧＋1-1≡yA’同理C［）≡yD.
→＞
易知当直线′平行于工轴时’AB.CD＝1
. 1＝1,当直线!不平行y轴时,设直线／的方程为:工＝虎（J＿1）.
｛…∏
由
,得》＝十晦』〔γ—1）4
p-＋z,
--＞→
即虎2y2-（2h2＋4）y＋虎2＝0,所以AB.CI）≡AB.CD＝yAyD≡l.
-一→→
综上AB°CD为定值
［解析］
本题主要考查求轨迹方程和抛物线与直线方程
（1）设出点M的坐标,利用向量列出有关（工,y）的方程组,化简消掉P,Q坐标,得到轨迹方程.
（2）由于四点共线,向量数量积即为长度积,联立直线与圆方程得到交点坐标,联立直线方程和抛物线方程得到交
点坐标,从而得到长度值,相乘得到Jly2 ,利用两根之积消去参数（直线斜率）’得到定值.注意设直线时’分类要
完整。
［答寨］
（l）因为感≡兰≡徊侧″—坠＝÷≡乎测÷≡÷
√2
由α爵
b:-‘』嚼α,ˉl2,b:-4椭圆方程为盖＋千-1
（2）（i）e＝粤,可得“:-3b』,c』＝÷α:-2厌
椭圆的方程可化为:工2＋3y2≡3b2,o
易知右焦点F（√百b,0）,据题意有AB:J＝工-√回b,@
由O@有;4工2-6√百b工＋3b2＝0,O
287
72b2-48b2
~／
二V（1＋l）
设A（工l ,）′l）,B（工2 9y2）, ｜AB≡｀／（Z2-z］）2＋（y2-y』）2
≡√Jb＝√可
42
所以6≡1。
＞→
→
（｜i）显然（）A与OB可作为平面向量的＿组基底,由平面向量的基本定理,对于这＿平面内的向量OM,有且只有-对
→
≥→
实数入,严,使得OM＝入OA＋尸OB成立·
设M（工.y）,由（工,y）＝∧（工l ,Jl ）＋尸（工2 ,y2）.
则工＝入工l＋严r2 ,y＝入yl＋／O′2 ,
又点M在椭圆上,所以（入工l＋严工2）2＋3（∧〕l＋〃y2）2≡3b2。o
由O有;z;＋zz＝孕…2—丁
3b2
则工l工2＋3〕ly2＝4工l工2
3√面b（工l＋工2）＋6b2≡3b2
9b2＋6b2＝0.◎
又A.B在椭圆上,故有工｛＋3y带≡3b2 ·工;＋3yi＝3b2.O
将OO代人@可得∧2＋尸2≡l。
［解析］
本题主要考查椭圆的方程以及椭圆与直线的关系
（1）利用原点到直线的距离求出b,再利用离心率求出α,可得椭圆方程;
（2）（i）利用弦长公式表示出弦长·可解出b;
（ii）利用根与系数的关系表示出已知关系式,结合点M在椭圆上可得入与／』的关系式。
·
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｜2α＋2c＝4＋2√百’
2
醚蜒［答襄］α）…得｜筐-二ˉ但
≡·』←′』—1』顾以懒圆的力程为÷＋』粤-』
（
α
2
］
（2）由八（—2》0》｀B（0’l）’所以隐幽≡古由CD〃AB’可设直线CD的方程为》＝÷堑＋″』曲已知得M（—2啊｀0）’
偷｜子丫≡』得:工2＋2′″工＋2′″2-2＝0.△＝（2″l）2～4（2″l2-2）＞0→′Ⅺ2＜
（y＝丁工十′＂
Ⅳ（0,″〗）,设C（工l ,y1）’D（工2 ,y2）
2,所以rl＋工2＝＿2…l工2＝2m2-2.由吭≡∧［茄得（延l＋2′″O′! ）＝入（—zl ,″』-）′l）’所以rl＋2′＂＝
∧工1 ,
即川≡＿lˉ巫伺理由而-′而→陛＝ˉlˉ鲤所以川＋隅≡—:—2咖（六＋六）＝ˉ2
2砸烂｜＋题≡—2＋
工1
工2
工1工2
2加2
丽＝Tˉ丽兰T由狮:＜2≡丽兰T匡（ˉ…｀ˉ2）0（:·＋函）,所以川＋′〔（ˉ…,ˉ2）O（2.＋…
~
γ
日
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的定义,性质及计算.
仁′≡茸率晌…渺＂
（l）根据题给条件可列出
（e＝丁＝丁,
（2）由CD／／／AB’可设出直线CD的方程联立椭圆与直线的方程可得工2＋2m工＋2加2-2≡0.结合根与系数的关系
初＋厂＿』—鸳雕（去＋六）— :—2砸×窍←—:＋浩—六即＂求碍』＋鹏的…圈
［答案］
（1）由已知F（;,0）』设A（工! 』γ!）’则y;＝2′颠］,
圆心坐糠为（2宁.÷）,圆倒γ输…为2芋′,圆…为孕≡＋＼卜!ˉ（ˉ÷）｜≡2堑』严
所以,以线段FA为直径的圆与J轴相切.
-＞
—＞-→
-＞
（2）设P（0,J0）,B（工2 ,y2）,由FA＝入lAP,BF＝入2FA,
得（r］—÷,γ］）-川｜（—r］,γ＂—γ!）,（:—″』’—γ:）＝川』（r］—÷’γ!）,
所以堑］—÷-—川斯］,y｜-川!（’0—№）.÷—吗＝〃（蹿1÷）’№ˉ—川:№
由J2≡
∧2Ⅳ］,得〕;＝入iy;.
又J韶＝2户工l ,yi＝2户工2 ,所以工2＝∧;工l.
代人÷—吨-川』（r｜—÷）’得÷—川;矿］＝入』（野!—÷）,÷（l＋M-塑｜川:（1＋M’
整鳃得堑』-式,代人延』
÷≡ˉ∧』堑』,得式ˉ÷≡—装.所以亡-1ˉ—
入1
∧2
.
闽为÷e［＋.÷］.所以删,的取值…［÷,2］
289
·
125
·
了
乙
←;■■
』
0
二
易
P蛤□…宁…
■气
O
■
个
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［解析］
本题主要考查圆锥曲线的性质及求解.
（l）求出圆心到y轴的距离为垒产,与圆的半径比较即可证明以线段F＾为直径的圆与铡输机讥
（2）设出P（0,〗0）』B（刃』,γ』）’根据南-入｜亦,丽＝入』雨可求得堑｜—÷ˉ—∧｜延! ,γ｜＝入｜（γ0—γ｜）,÷＿烫翻＿
入』（迈｜—;）’№＝—入』№结合抛物线方程γ;＝2′堑! ,γ;＝2′延』解出r2＝川;z］代人;—延』＝∧』（露!—;）整理
可得二-1—半,故可求得入』的取值范围是「÷.2］
∧2
∧2
L凹
」
［答案］
（l）A（0｀5）｀B（—6｀—4）｀C（6｀
4）、S囤…cp＝S…＋S…＝÷×12×（4＋5）＋÷×8×6ˉ7a
（2）要使四边形ABCP为梯形’当且仅当CP〃AB因为腮蛔＝÷｀所以直线CP的方程为》＋4＝;（墅—6）即γ＝
÷z-l3,o
△
又谎＋贵-1.即墅:＋锄凰ˉl00≡0。
由oo.得5堑:—78堑＋288-0’＂（堑ˉ6）（5露ˉ4s）≡0所以r-6或曾因为点C（6′＿4）’所以点P（等｀÷）
（3）设P（工,γ）’丽＝（6’9）,玩＝（l2,0）,茄＝（工＋6’y＋4）因为茄≡m.丽＋抛.百已所以工＋6＝6加＋12′′’
删＋4ˉ,m则帆-午’″—3堑
;;＋l0,狮＋测＝3雾—;;＋26冷;r＿2N≡‘’因为露:＋4＂:＿l00＝0｀所以堑』十
（t-3工）2-100＝0,即10工2-6r工＋t2-l00＝0,由△≥0,得t2≤1000.所以-10√T∏≤t≤10｀／T∏。t的最大值为
l0m此时露—3√m聊ˉ孕所以狮＋＂的最大瞳为旦呵＋lq
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的相关计算
（1）先求B、C的坐标,再利用四边形ABCP的面积为两三角形面积的和,即可得到结论.
（2）因为ABcP为梯形分情况讨论:OAP平行于Bc,不存在;@AB平行于cp,则虎AB＝虎cP’求出直线cP的方
程,与椭圆方程联立,即可求得P的坐标.
（3）设P（x｀γ）’根懈丽≡顾.丽十″.玩可得露—6-6咖＋l2＂,y＋4＝0顺′叮解出咖≡宁,＂一3延—!;上l0,砸十
290
3堑＋!;十26,由此可求咖＋＂的最大值
冗≡≡
29M答案］
（l）设椭圆的方程为÷＋莆＝l（α＞b＞0）｀则由题怠可知b＝1
√宁,＿竿,即√l—÷竿』所以隧-√瓦
所以椭圆方程为等＋’』—L
（2）A,B,M的坐标分别为A（工l ,J］）,B（工2,y2）,M（0,y0）,易知F的坐标为（2,0）.
2入1
y0
因为MA＝入lAF,所以（工1 ,yl＿y0）＝入l（2-工1
’
γl）,所以工1＝丁干I丁,〕1＝T干I丁。
＾…代人铡椭厕方程得÷（哉）′＋（哉）』≡｜整理得咐＋皿』十5—‘＂;≡0
--＞
→
同理由MB＝入2BF,同I得∧:＋10∧2＋5
5y;＝0.所以入1＋∧2≡-10.
·
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［解析］
本题主要考查椭圆的性质及椭圆与直线的位置关系
（l）由题干及椭圆的基本性质∏I列出有关α、b、C的等式,即可得出椭圆的方程;
（2）由题干解得点A、点B的横、纵坐标,将其代人椭圆的方程整理化简后即可求证本题
29z［苔鬃］
（l）设椭圆的标准方程是÷＋学＝l（α＞b＞0）｀由于椭厕的—个顶点是A（0｀√霄）.故b:＝2,根据离心率
是粤得÷二√罕ˉ粤解得哩曾ˉ:所以椭凰的标榷…÷十告-』
（2）设P（工l ,yl）,Q（工2 ,y2）,N（工0 0J0）,直线′的方程为y＝龙工＋2,与椭圆方程联立消去〕得（1＋4克2）工2＋16虎工＋
→→
爵ˉ0根孺根与系…系得…』-—I工I原,…-∏÷F由「器—器,得÷二嚼-悬,…
2…＝露0（墅｜＋鞠）,把上面的等式代人得眶0-—÷,又点N在直线γ＝粒＋2上,所以γ0＝隐（—÷）＋2＝l’于
是旬＜沁＜徊川≡篇六!.由」＜渺』＜徊得六＞徊—」＼所以入＞呕综上所述川＞徊
［解析］
本题主要考查椭圆的基本知识和直线与椭圆的关系°
（l）根据椭圆的—个顶点是A（0,徊）和离心率是乎得出椭圆的标准方程是÷＋÷—1
（2）先设P（堑』·y』）,Q〈恋』,№）,M堑, ,№）和富线方程,与椭圆方程联立得出露』＋工:≡ˉT干可F…ˉ∏乌F再
→→
根据」型＿」婴1整理得2…ˉ堑0（露｜＋魂）’通过躯0＝—÷和点N在直线聊＝虹＋2得｝‖№＝隐（—÷）＋2
｜PN｜
NQ
≡!.从丽得出!＜,』＜√m≡挡ˉ六—｜｀最终求得人＞徊
29乳［警鬃］
（l）由题意知′÷-?,b≡］,《,:＋〃:ˉα』,解得凰≡2’』≡1,‘ˉ√矿,
可知;椭圆C的方程为÷＋γ2-1与圆O的方程为工2—γ2＝L
（2）o设P（酣’’,）因为′1上′:则d帛＋刨;-PM:-塑;＋（’』ˉl）』因为￥＋剿;-1’
所以蚜＋d;＝4—4γ;—（γ＂—l）』＝—3（γ‘—÷）2＋芋
因为ˉl≤№≤｜.所以当蜘≡—÷时d带＋刨;取得最人值为等,此时点P（士竿’ˉ÷）
（J＝虎工＋l,
o设』］的方程为」＝趣＋1,山｜
解得A（—菇,博）;
（工2＋y2＝1
「y＝皮工＋1,
｜
』
“得c（念｀器）
由
＼÷＿γ2＝l
把A,c巾胸』置换咸—÷可得日（聋l.磊）.D（尚,撮）,
所以MA≡（ˉ原丁T
1碧,）.丽6ˉ （ˉ孵＋1.
1凳』）
--＞
2虎
8龙
（尚’
↓肯』）,
’
］
纸
＋
∩
乙
龙
／
｜
＼
＼
｀
』
／
′
∑
虎
’
曰
卜
」
~
—
~
司
｜
丛
~
→
吵
~~
→
灿
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由3M4.MC≡｛MHMD得T下可F≡六｀解栅您≡士√冒、
所以′!的方程为γ≡伍＋1｀′』的方程为』-ˉ祭＋1或′）的万程为γ——伍＋｜,!′的万程为瓤-祭＋L
［解析］
本题主要考查曲线与方程以及圆锥曲线与直线的位置关系
（1）由切点坐标和离心率即可得到两曲线方程;
（2）O由勾股定理得d｛＋d;＝pM2＝工;＋（y0＿1）2 ,代人椭圆方程即可求出最值;
@设出直线′l的方程,与曲线联立可得A,C坐标,同理可得B,D坐标,代人已知向量关系可解出直线未知参数
［答寨］
（l）设椭圆C的方程为÷＋肯-l（α＞b!＞0）,
可得直线AB的方程为ˉ三＋ˉg上＝l。
α
bl
咖已蛔得∩《—M）铡…』0…剧≡｜》器≡织」.
294
即α2＋b;＝7（α-l）2 ,
又因为c≡1’所以b1＝α2-1。
解得:α≡2’bl≡厄
故椭圆C方程为;宁＋爷ˉ1
（2）因为C2是椭圆C的3倍相似椭圆,
2
2
所以椭圆C2的方程为;舌十÷-L
设Q、R、p、S各点坐标依次为（z1 ,yl）、（r2 ,y2）、（工3,y3）、（工4 ,y4）,
将y＝虎工＋b代人椭圆C方程得:（3＋4走2）工2＋8此b工＋4b2
l2≡0,
所以△1＝（8户b）2
4（3＋4此2）（4b2
12）≡48（4虎2＋3-b2）＞0,（兴）
4b2-12
此时;工l＋露2＝弄II百,工l工2＝3＋4虎2
,
即｜工l-工2 ｜＝√（工!＋工2）2-4工l工2＝4√3（4虎2＋3
b2）
3＋4肉2
将y＝此工＋b代人椭圆C2方程得: （3＋4走2）工2＋8虎hr＋4b2-36＝（）,
8kb
4b2-36
所以工3＋工4＝-3十4炎2 ,工3工4＝3＋4皮2
,
即｜工3-工4 ｜＝4√3（12龙2＋9
b2）
3＋4炎2
所以rl＋工2＝工3＋工4,可得线段pS、QR中点相同
所以｜PQ｜＝Rs｜
,
＿＞
ˉ-＞
→→→
由PS＋RS＝2QS可得pQ＝QR,
所以｜PS｜＝3｜QR｜,有工3-工4 ｜＝3｜工l-工2
｜
,
所以4√3（l2虎2＋9
b2）＝3×4√3（4虎2＋3-b2）
3＋4贞2
3＋4度2
即12虎2＋9＝4b2（满足（兴）式）·
故动点E（隐,b）的轨迹方程为等等ˉ1
·
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［解析］
本题主要考查圆锥曲线与直线方程
（1）由Fl到直线AB的距离可得到α与b1的关系,再根据α2＝b;＋c2,c＝1,即可求得椭圆C的方程;
（2）根据倍相似椭圆的定义和椭圆C的方程可求得椭圆C2的方程’联立直线与椭圆C、C2的方程’利用根与系数的
关系9再根据四个交点P、Q、s、R的向量关系,可得到动点的轨迹方程.
［答寨］
（D依题意,得‘≡2’÷≡乎,又α露≡膝＋‘嗡｝所以5凰隐≡9←9（幽:ˉ′）即α』≡9｀所以椭圆E的方程为
÷＋子-L
（2）由（1）知A（
3,0）,B（3,0）,D（0,2）,所以直线AD的方程为γ≡÷堑＋2’
o
由题意’直线EM的方程为测＝隐（露ˉ3）’隐≠o且腮≠±÷’
295
~／
9
｛y—亏露＋:｀解德′』（挡｀器）.
由
（y＝此（工
3）
…」…｜『阐＂奎……—…艘—濒＿＂
2
所以3更』-β↓《:＝i6却堑1＝9愿＋↓
27虎2-12
即M（2;f;丁l:,
糙I）｀
些＿2
设Q《鞠,0）侧山MD,Q三点共线得膛鳃＝腮鳃·即搽上＼2
∑』
ˉ二｀解得r:-湍,所以Q（掘’0）,
＿
9克‘＋4
武兰—0
3膛＋2
所以PQ的斜率加＝9虎＋6
9皮＿6
6
’
＝—
3贞-2
3虎＋2
所以6′阀＿3虎-2≡0,即动点lV（加,虎）的轨迹方程为6加-3虎-2＝0.
［解析］
本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆曲线的轨迹问题.
（1）欲求椭圆方程,即为求α,6的值,由题得b≡2,根据离心率可以求得α值’从而得到椭圆方程.
（2）欲求N（加·内）的轨迹方程,可先设出BM的斜率肉后得到直线BM的方程,联立BM与AD的方程可得到P点
关于龙的表达式,联立BM与椭圆方程可得到M点关于贞的表达式,再利用三点共线得到Q点关于虎的表达式,从
而得到虎和加的关系式,得到动点的轨迹方程.
296。［答案］
（1）由椭圆的定义知
√（÷—1）,干（÷）』
］
＿
日
＋
＋
《
—
〗
′
刘
2α＝PF1 ｜＋PF2
由题意知c≡l,
＝2√百’所以α＝√可
所以椭圆C的离心率e＝二＝上≡但
α
√百
2
.
2
（2）由（l）知,椭圆C的方程为÷＋y2＝l.
设点Q的坐标为（工,y）。
（i）当直线l与工轴垂直时,直线／与椭圆C交于（0,1）,（0,-1）两点,
此时点Q的坐标为（0,2竿）
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（li）当直线′与工轴不垂直时,设直线』的方程为〕＝h工＋2。
因为点M,N在直线l上,可设点M’lV的坐标分别为（r1 ,A工l＋2）,（工2,缸2＋2）,则｜AM2＝（1＋皮2）工; ,
AlV｜2＝
（1＋虎2）工:.
又｜AQ｜2＝工2＋（J-2）2＝（1＋贞2）工2 ,
由力—A而｜,＋｜A岗′ ,得（‖＋::）更,
1＋捧＋（l＋掠,即
兰＝上＋上＝（工l＋工2）2-2工］工2。O
2
2 ~｜～2
工｛工:
工
工1
儿2
2
将γ＝虹＋2代人÷＋γ2-l,得
（2h2＋l）工2＋8虎工＋6＝0.@
由△-（8腮）:—4×（2隐』＋］）×6＞0,得隐2＞÷
6
由@可知,工l＋工2＝丽耳T,Z］工2＝丽江T,
代人o中并化简,得蠢:≡l0长3。
因为点Q在直线γ-粒＋2上’所以隐≡罕｀代人o中并化简｀得l0（删—2）』＿3工』＝la
由o及腮』＞÷,可知0＜露』＜÷
即工匡（ˉ乎,0）0（0’粤）
又（＂,:ˉ平）满足l0（驶—2）,ˉ3←l8,故露e（ˉ乎,乎）
由题意知点Q（工,y）在椭圆c内,所以-l≤J≤1.
又由」0（厂:）』≡ls＋3慰』有（〗2）,匡［÷’÷）且ˉ1≤〕≤l测』匡（十.2ˉ孪｜
所以点Q的轨迹方程为10（驴ˉ2》』ˉ:延:-ls其巾正（—平｀平）,醚e（÷·z乎］
［解析］
本题主要考查椭圆的性质。
（1）椭圆离心率为e≡—三,由椭圆的性质及已知条件可求
α
（2）分类讨论:当直线［与工轴垂直和当直线‖与工轴不垂直两种情况。当直线l与工轴不垂直时,设直线l的方程
为y＝虎工＋2,联立直线与方程,消去y,利用根与系数的关系和△确定Q（工,））中坐标范围,进而求得轨迹方程。
297｛答寨］
法—; （D2″≡4.b-2,嗡-÷—粤·b』＋‘～凰』,所以圃-↓』所以椭厕的方程为:希＋千-1
（2）设P（Z,y）,pl （工0 ,γ0）,则p2（-工0 ,＿y0）,B1（0,2）,B2（0,-2）。则直线PP］的方程为;y＿2＝些二旦典
工0
直线pB2的方程为:y＋2＝＿y0-2 工0
工0
4-y;
2
两式相乘得〕2-4＝—≡厂工
°
工0
4
〕;
1
2
2
所以’:—』-＋堑膨,所以子—希ˉM去掉（0.±2）点儿
°
130
·
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法二; （l）同法—;椭圆的方程为;斋＋于ˉL
（2）设P（工,y）,P1（工0 ,J0）,则P2（-工0,-J0）,Bl（（）,2）,B2（0,-2）.
膛翘.隐腿』≡罕.平≡导~
义…阀上｀断以藉＋乎-』｀所以等≡÷,所以陶′…≡翱｝瞬』…≡—陶｀,≡哦圃≡厦.—云~
y0＿2
2＋y0
4-y;
1
弓≡≡
工0
Z;
4
。
所以罕≡十,所以等—盖≡」（去蹿《0.±2〕点儿
［解析］
（1）根据短轴的物理意义,得到b’再根据离心率和α2＝b2＋C2得到α,从而写出椭圆方程.
（2）法一:写出两条直线方程相乘’再根据点在椭圆上,消去参数得到轨迹方程。法二:根据斜率关系直接列出方程
整理得到轨迹方程。
2,a!警寨］
（D由题意÷≡乎,‘ˉ亿膨＋‘:ˉα』｀解得α脚-4,′≡2·所求椭圆方程为子＋等＝l不妨设M0｀徊）｀
F2（√百,0）,tan乙lVF2M＝-1;
（2）由｜壶. ｜壶｜-南｜
. ｜庙｜＝√T≡了了＋√『霄＝T（teR）可得葬. ｜壶｜
｜南. ｜苑≡0’
--＞
→
设点QA、B的坐标分别为（堑’γ）,（工! ,γ1）’（工2,γ2）·由题可设∧＝」兰1
」△具」,则∧＞0且川≠l·又A’P’B,Q四
｜PB
｜QB
点共线.从厕邪-ˉ入丽,庙≡人丽,于匙二l』寺, .1≡γ晋』｀≡卿莆, ｀』ˉ№普』
·
从而书÷;-』″o』醚皆;ˉ』o,又…在椭圆c上,即虹:＋2γ←｛。鞭!｝:』i-』鹤.m＿o×
2并结合o,@得4工＋2J＝4,即点Q的轨迹是直线在椭圆内的一部分,方程为2工＋〕-2≡0。
［解析］
本题主要考查圆锥曲线的标准方程与曲线与方程问题
（l）根据抛物线的标准方程知道椭圆的焦点,又知椭圆的离心率’那么可以得到椭圆的标准方程’然后分别得到点
Ⅳ,F2’然后求出tan么NF2M;
→→
--＞
≡-＞
（2）通过已知条件知｜AP｜
°
QB｜＿PB｜
°
AQ｜＝0,得到向量之间的关系,然后用坐标表示出向量’结合点在椭
圆上,得到Q的轨迹。
29队［答案］
（1）设F!（—‘,0〕,F:（c,0）（‘＞0）由题意,可得｜PF: ｜-F!F』
｜,即√（α—c）』＋b』-2c,整理得2（÷）』
＋二—l＝0,得——l（舍去）或÷＝十所以溜＝古
］
α
α
（2）由（1）知α＝2c,b≡√面b,可得椭圆方程为3工2＋4J2＝12c2 ,直线PF鳖的方程为y＝√丁（工-c）。
｜3工2＋4y2＝12C2
’
A’B两点的坐标满足方程组（
捎去》并整理得5延2ˉs口＝0解得药｜-0｀露』-÷‘,得方程组的
b′＝√百（工-C）.
8
｜延］＝0’
｜堑』＝亏r,
解（
√
｜蜘＝侗飞’｜蜘≡乎
不妨设八（÷,乎）,B（0,
侗b儿
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设点M的坐标为（堑｀测）则顽ˉ（髓＿÷‘,y—乎‘）,丽-…＋佃儿
√可
由y＝√可（工-c）,得〔＝工-丁y.
于是丽＝（等驯ˉ÷堑,÷’ˉ竿延）,丽≡（堑.伍八
由丽.丽≡—2得（等γ÷露）延＋（÷γ—乎露）.伍≡
2,化简得18烫』—l6√:堂厂l5ˉα
将γ-l湍5代人‘-堑—祭得幢＝型羔i＞α
所以工＞0。
因此,点M的轨迹方程是18工2
16√可xy-15＝0（工＞0）.
［解析］
本题主要考查椭圆方程与直线方程的计算以及椭圆的几何性质°
（1）根据已知条件△FlPF2为等腰三角形和椭圆性质’列出关于α,b’C的方程’解出离心率e。
（2）第-步:由（1）问所求结果,写出椭圆和直线的方程,联立解出A,B两点坐标;第二步:设出M点坐标,由条件
AM.BM＝-2列出方程;第三步:此时方程中存在工,y,c三个未知量,由直线PF2 :y≡√百（工-C）反解出C＝工-
→→
粤y｀代回方程中解出M的轨迹方程》第四步;讨论M轨迹方程的定义域
8
［答案］
（1）设Q（工0 ,4）,代人y2＝2户工得工0＝丁.
所以｜PQ｜-:, ｜QF≡;＋堑＂—÷＋÷
由题设得÷＋且＝旦×旦’解得p＝—2（舍去）或p＝a
■
户
4
p
所以C的方程为y2＝4工。
（2）依题意知′与坐标轴不垂直,故可设』的方程为工＝′＂y＋1（m≠0）.
代人y2＝4工,得y2-4加y-4≡0°设A（工l ,yl ）,B（工2 ,y2）,则J1＋y2＝4m’yly2＝—4.
故AB的中点为D（2加2＋1,2加）, ｜AB｜＝√丽百ˉ下T｜yl
J2 ｜＝4（加2＋1）.
］
又l′的斜率为-m,所以′′的方程为工＝＿〕＋2加2＋3.
″1
将上式代人γ』-!垄’并整理得’:＋☆’—4（2咖z＋3）＝α
4
设M（工3 ,y3）,lV（工4 ,y4）’则J3＋y4≡万’y3y4＝-4（2加2＋3）。
故Mv…为屑（点＋2砸』＋3,—÷）. ｜Mv｜≡＼／l十六｜’』
y』＝皿啊:＋l》／2翻:＋」
由于MN垂直平分AB’故A’M’B’N四点在阔＿圆上等价于｜AE｜≡｜BE｜-告｜MM’从而＋｜AB｜:＋｜DE』＝
÷｜MM』.灿（啊詹＋n』十（2耀＋÷）』＋（÷十2）』≡…＋l胳（2臃嘎＋n
化简得m2-l＝0,解得m＝1或加≡-1。
所求直线／的方程为工
y-l≡0或工＋y-1＝0。
［解析］
本题主要考查抛物线的几何性质和解析方法
（1）由抛物线的定义,通过计算得出结论;
（2）将“若AB的垂直平分线／′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上’,转化成‘‘ ｜AE｜＝BE｜≡
＋｜MM’》｀进而联立方程,假设交点坐标.由根与系数的关系得出结沦
300
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