文档文本内容
1
解密10 直
与
线
圆
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
直线的方程
【2020 新课标3 文8】点
到直线
距离的最大值为
1.直线方程、圆的
方程、两直线的平
行与垂直、直线与
圆的位置关系是本
讲高考的重点；2.
考查的主要内容包
括求直线(圆)的方
程、点到直线的距
离、直线与圆的位
置关系判断、简单
的弦长与切线问
题，多为选择题、
填空题.
圆的方程
【2020 新课标2 文8 理5】若过点
的圆与两坐标轴都相切，则
圆心到直线
的距离为（ ）
【2020 北京卷】已知半径为1 的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点
的距离的最小值为( )
【2020 全国Ⅲ卷】在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点.若
AC·BC＝1，则点C 的轨迹为( )
直线（圆）
与圆的位置
关系
【2020 新课标1 文6】已知圆
，过点
的直线被
该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
【2020 新课标1 理11】已知⊙M：
，直线
：
，
为上的动点，过点
作⊙M 的切线
，
切点为
，当
最小时，直线
的方程为（ ）
【2020 新课标3 理10】若直线与曲线
和
都相
切，则的方程为（ ）
【2020 天津卷】已知直线x－y＋8＝0 和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于
A，B 两点.若|AB|＝6，则r 的值为__________.
【2019 全国Ⅰ卷】已知点A，B 关于坐标原点O 对称，|AB|＝4，
⊙M 过点A，B 且与直线x＋2＝0 相切.(1)若A 在直线x＋y＝0 上，
求⊙M 的半径；(2)是否存在定点P，使得当A 运动时，|MA|－|MP|
为定值？并说明理由.
核心考点一 直线的方程
1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在
字母系数，则要考虑斜率是否存在.
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2
2.两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0 与l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝.
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝.
1.若直线x＋(1＋m)y－2＝0 与直线mx＋2y＋4＝0 平行，则m 的值是( )
A.1
B.－2
C.1 或－2
D.－
【解析】由题意知m(1＋m)－2×1＝0，解得m＝1 或－2，当m＝－2 时，两直线重合，舍去；
当m＝1 时，满足两直线平行，所以m＝1.故选A.
2.【2020 新课标3 文8】点
到直线
距离的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【解析】由
可知直线过定点
，设
，当直线
与
垂直时，点
到直
线
距离最大，即为
．故选B．
1.(多选题)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1 反射后经过点(5，0)，则反射光线还经
过下列哪个点( )
A.(14，2)
B.
C.(13，2)
D.(13，1)
【解析】因为直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k＝－1，设点(2，4)关于直线l：y＝－x＋1 的对称
点为(m，n)，则解得所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为y＝(x－5)＝
(x－5)，当x＝13 时，y＝1；当x＝14 时，y＝.故选BD.
2.已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方
程是________.
【解析】当直线AB 与l1，l2垂直时，l1与l2间的距离最大.
由A(1，1)，B(0，－1)得kAB＝＝2.
∴两平行直线的斜率k＝－.
∴直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
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3
核心考点二 圆的方程
圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝.
1.【2020 北京卷】已知半径为1 的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】(1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值
为dmin＝－1＝4.故选A.
2.【2020 新课标2 文8 理5】若过点
的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由于圆上的点
在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合题意，
所以圆心必在第一象限，设圆的标准方程为
．由题意可得
，即
，解得
或
，所以圆心的坐标为
或
，
圆心
到直线
的距离均为
；
圆心
到直线
的距离均为
；
所以圆心到直线
的距离为
．故选B．
3.圆心为(2,0)的圆C 与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0 相外切，则C 的方程为( )
A．x2＋y2＋4x＋2＝0 B．x2＋y2－4x＋2＝0
C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2－4x＝0
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4
【解析】圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－3)2＝9，
圆心为(－2,3)，半径为3.设圆C 的半径为r.
由两圆外切知，圆心距为＝5＝3＋r，所以r＝2.
故圆C 的方程为(x－2)2＋y2＝4，展开得x2＋y2－4x＝0.故选D.
1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【解析】由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2 或a＝－1.
当a＝2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1 时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，5 为半径的圆．
2.一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_________________.
【解析】(1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知
圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).
设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，
则有解得
所以圆的标准方程为＋y2＝.
3.【2020 全国Ⅲ卷】在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点.若AC·BC＝1，则点C 的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
【解析】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点A，B 分别为(－
a，0)，(a，0)(a>0)，点C 为(x，y)，则AC＝(x＋a，y)，BC＝(x－a，y)，所以AC·BC＝(x－a)(x＋a)＋y·y＝
x2＋y2－a2＝1，整理得x2＋y2＝a2＋1.因此点C 的轨迹为圆.故选A.
核心考点三 直线（圆）与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔
相切；
d>r⇔相离.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ 来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；
Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.
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1.【2020 新课标1 文6】已知圆
，过点
的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】方法1：圆
化为
，所以圆心
坐标为
，半径为，设
，
当过点
的直线和直线
垂直时，圆心到过点
的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最
小值为
．故选B．
方法2：设过点
的直线方程为
，则圆
的圆心
到直线的距离为
，故弦长为
，故选B．
2.【2020 新课标1 理11】已知⊙M：
，直线：
，
为上的动点，过
点
作⊙M 的切线
，切点为
，当
最小时，直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】圆M 化为
，点
到直线的距离为
，所以直线与圆
相离．依圆的知识可知，四点
四点共圆，且
，
所以
，而
，
当直线
时，
，
，此时
最小．
∴
即
，由
，解得
，即
，
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6
所以以
为直径的圆的方程为
，即
，
两圆的方程相减可得
，即为直线
的方程．故选D．
3.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0 所得线段的长度是2，则圆M 与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝
1 的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
【解析】(1)圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，d＝，所以有a2＝＋2，
解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交.故选B.
3.【2019 全国Ⅰ卷】已知点A，B 关于坐标原点O 对称，|AB|＝4，⊙M 过点A，B 且与直线x＋2＝0 相切.
(1)若A 在直线x＋y＝0 上，求⊙M 的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A 运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由.
【解析】(1)因为⊙M 过点A，B，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线x＋y＝0 上，且A，B
关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y＝x 上，故可设M(a，a).
因为⊙M 与直线x＋2＝0 相切，所以⊙M 的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得|AO|＝2.
又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0 或a＝4.
故⊙M 的半径r＝2 或r＝6.
(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值.
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M 的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M 的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x 是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1 为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，
所以存在满足条件的定点P.
1.设圆C1：x2＋y2＝1 与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与圆C2的位置关系是( )
A．外离
B．外切
C．相交
D．内含
【解析】圆心距为＝2>1＋1，故两圆外离．故选A．
2.【2020 天津卷】已知直线x－y＋8＝0 和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B 两点.若|AB|＝6，则r 的值为
______.
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【解析】依题意得，圆心(0，0)到直线x－y＋8＝0 的距离d＝＝4，因此r2＝d2＋＝25，又r＞0，所以r＝5.
3.【2020 新课标3 理10】若直线与曲线
和
都相切，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解法1：设直线在曲线
上的切点为
，则
，
函数
的导数为
，则直线的斜率
，
设直线的方程为
，即
，
由于直线与圆
相切，则
，
两边平方并整理得
，解得
或
（舍），
则直线的方程为
，即
．故选D．
解法2：由原点到直线的距离为
，排除BC；把
代入
得
，而
，排除
A；把
代入
得
，方程有唯一解
，故选D．
4.在直角坐标系xOy 中，曲线y＝x2＋mx－2 与x 轴交于A，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解
答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC 的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.
【解析】(1)不能出现AC⊥BC 的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足方程x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，
故AC 的斜率与BC 的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC 的情况.
(2)证明 BC 的中点坐标为，可得BC 的中垂线方程为y－＝x2.
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8
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB 的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0，③
由①②③解得x＝－，y＝－.
所以过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y 轴上截得的弦长为2＝3，
即过A，B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.
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