文档文本内容
第一章导数
知识体系：
章节概述：
在17 世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，各自独立的
创立了微积分。微积分的创立与处理四类科学问题直接相关，一是已知物体运动
的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度，反之，已知物体的
加速度作为时间的函数，求速度和路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大
值和最小值；四是求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）
值等函数应用问题的最一般、最有效的工具。与导数相比，定积分的起源要早得
多，它的思想萌芽甚至可以追溯到两千多年前，自然科学和生产实践中的很多问
题，如一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所作的功等都可以归结
为定积分的问题。
知识清单：
导数及其应用
一、变化率和导数
1.平均变化率
对于函数
，设自变量
从
变化到
，相应地，函数值
就从
变化到
，这时，
的变化量为
，
的变化量为
，我们把比值
，即
叫做函数
从
变化到
的平均变化率。
2.导数（瞬时变化率）
如果当
时，平均变化率
无限趋近于一个确定的值，即
有极限，则
称
在
处可导，并把这个确定的值叫做
在
处的导数
（也称为瞬时变化率），记作
或
，即
。
3.导数的几何意义与切线
(1)导数的几何意义：函数
在
处的导数是函数在该点处的切线的斜率
，即
。
(2)切线问题的类型与解
①过函数
上某点
的切线方程
②过函数
外一点
作函数的切线
设该切线与函数
相切的切点为
，
则切线方程为
，……………………………（*）
该切线经过点
，故
解方程算出的值，代回（*）式即可
③求函数
和函数
的公切线
设公切线与
的切点横坐标为
，则切线方程
公切线与
的切点横坐标为
，则切线方程
，
两条切线方程应相同，即斜率和截距均相等，
，
解方程算出
，
的值即可
5.导函数（导数）的概念
当
变化时，
就是
的函数，我们称它为
的导函数（简称导数），
的导函数有时也记作
，
。
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数
(1)若
（为常数），则
；
(2)若
（
，且
），则
；
(3)若
，则
；
(4)若
，则
；
(5)若
（
，且
），则
，特别地，若
，
则
；
(6)若
（
，且
），则
，
特别地，若
，则
。
2.导数的四则运算法则
一般地，对于两个函数
和
，我们有如下法则：
(1)
；
(2)
；
(3)
，
特别地，若为常数，则
。
3.复合函数的导数
一般地，对于由函数
和
复合而成的函数
，它的导
数与函数
，
的导数间的关系为
。
三、导数在研究函数中的应用
1.函数单调性和导数的关系
一般地，函数
的单调性和导函数
的正负之间具有如下的关系：
在某个区间
上，如果
，那么函数
在区间
上单调递
增；
在某个区间
上，如果
，那么函数
在区间
上单调递
减。
2.极值点和极值
如果函数
在
附近的左侧
，且在
附近的右侧
，则称
为函数
的极小值点，
叫做函数的极小值；
如果函数
在
附近的左侧
，且在
附近的右侧
，则称
为函数
的极大值点，
叫做函数的极大值。
3.最大值和最小值
函数
在闭区间上一定存在最大值和最小值，比较所有极值和端点的函数
值，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值。
四、定积分的概念和性质
1.定积分的概念
如果函数
在区间
上连续，用分点
将区间
等分成
个小区间，在每个小区间
上任取一点
，作和式
，当
时，上述和式无
限趋近于某个常数，这个常数叫做函数
在区间
上的定积分，记作
，即
，其中
与
叫做积分下限和积分上限，
区间
叫做积分区间，函数
叫做被积函数，叫做积分变量，
叫
做被积式。
2.定积分的几何意义
如果在区间
上函数
连续且恒有
，那么定积分
表示
由直线
，
，
和曲线
所围成的曲边梯形的面积。
3.定积分的性质
①
（
为常数）；
②
；
③
（其中
）。
五、微积分基本定理
如果
是区间
上的连续函数，并且
，那么
。
第二章计数原理
知识体系：
章节概述：
在日常生活、生产过程中会遇到非常多的计数问题，除了列举所有可能性的
方法之外，还可以利用一些技巧。本章通过对加法和乘法的推广引出两个最基本、
最重要的计数方法——分类加法计数原理和分步乘法计数原理。应用这两个原理，
可以得到两类特殊计数问题的计数公式，即排列数公式和组合数公式，应用他们
就可以方便地解决很多计数问题。
作为计数原理和计数公式的一个应用，本章还会学习在数学上有广泛应用的
二项式定理。
知识清单：
计数原理
一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事，有
类办法，在第1 类办法中有
种不同的方法，在第2 类办法
中有
种不同的方法，……，在第
类办法中有
种不同的方法，那么完成这
件事共有
种不同的方法。
2.分步乘法计数原理
完成一件事，有
个步骤，做第1 步有
种不同的方法，做第2 步有
种不同
的方法，……，做第
步有
种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法。
3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系
①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题，在大多数排列组合问题中都
会用到，如排数字、排队、染色等。
②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，
各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种
方法都可以单独完成这件事，是独立完成；
而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步
骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，
才算完成这件事，是合作完成。
二、排列与组合
1.排列
(1)从
个不同元素中不重复地取出
个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从
个元素中取出
个元素的一个排列，所有这样的排列的个数叫做排列数，
记为
，特别地，当
时，叫做
个不同元素的全排列。
(2)阶乘：正整数从到
的连乘积，用
表示，即
。
排列数公式：
，其中
，并
约定
。特别地，当
时，全排列数公式
。
2.组合
(1)从
个不同元素中不重复地取出
个元素并成一组，叫做从
个元素
中取出
个元素的一个组合，所有这样的组合的个数叫做组合数，记为
。
(2)组合数公式：
，
其中
，规定
。
(3)组合数的两个性质：
①
；
②
。
3.重要的排列组合模型
(1)重复排列
从
个不同元素中取出
个元素（同一个元素允许重复取出），按照一定
的顺序排成一列，叫做
个不同元素的一个
可重排列，
个不同元素的一个
可重排列为
。
(2)不全相异元素的全排列
设
个元素，其中有
个
，
个
，……，
个
，且
，
这里
，则这
个元素的全排列叫做不全相异元素的全排列，
排列数为
。
(3)捆绑法
要求某几个元素必须排在一起的问题，采用捆绑法，将需要相邻的元素捆绑成一
个元素，再与其他元素一起作排列，同时注意合并元素内部也必须排列。
(4)插空法
某几个元素不相邻的问题，采用插空法，先把没有位置要求的元素进行排列再把
不相邻元素插入中间和两边。
(5)圆排列
从
个不同元素中不重复地取出
个元素，按照一定的顺序排在一个圆周
上，叫做
个元素的一个
圆排列，如果一个
圆排列旋转可以得到另一个
圆排列，则认为这两个圆排列相同，
个不同元素的
圆排列数为
。
(6)错位排列
设
个不同元素的一个排列为
，称
（
是
的一个排列，且
）为这
个元素的一个错位排列，
个元素的
错位排列数
。
(7)多组组合
将
个不同的元素分成
个不同的组，其中第组有
个元素
（
）则不同的分组方法的种数是
。
(8)隔板法
将
个相同的元素分成
个不同的组，其中第组有
个元素
（
），则不同的分组方法的种数为
。
三、二项式定理
1.二项式定理
二项式定理：
其中右边的多项式叫做
的二项展开式，系数
叫做二项
式系数，式中的
叫做二项展开式的通项，记作
，即通项为展开式的
第
项，
。
2.二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项二项式系数相等
(2)单调性与最大值：
①当
，
随增大而增大；当
，
随增大而减小；
②
为偶数时，中间项是第
项，它的二项式系数
最大；
③
为奇数时，中间项为第
和第
项，它们的二项式系数
最
大。
(3)二项式系数和
①
，即二项式系数和为
②
，即奇数项和偶数项的二项式系数和相等。
四、杨辉三角
1.杨辉三角：
的展开式的二项式系数呈现出一些规律，南宋数学家杨辉将
之列成下表
2.杨辉三角的性质
(1)第
行恰好是
的二项展开式的二项式系数
(2)每一行除以外的数恰好是其肩上两个数之和，即
。
(3)每一行所有元素的和为
，即
。
第三章f 用语
知识体系：
章节概述：
数学是一门逻辑性很强的学科，表述数学概念和结论、进行推理和论证，都要
使用逻辑用语。学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论
证数学结论、准确表述数学内容。
本章我们将学习命题及四种命题之间的关系、充分条件和必要条件、简单的
逻辑联结词、全称量词与存在量词等一些基本知识，通过学习和使用常用逻辑用
语，掌握常用逻辑用语的语法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表
述数学内容的准确性、简洁性。
知识清单：
常用逻辑用语
一、命题及其关系
1.命题
在数学中，把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫作命题。其中
判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。
2.命题的形式
命题的形式：若
，则
，其中
叫做命题的条件，
叫做命题的结论。
3.四种命题
(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两
个命题叫做互逆命题，把其中一个命题叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆命
题。
即原命题：“若
，则
”，则逆命题：“若
，则
”。
(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那
么这样的两个命题叫做互否命题，把其中一个命题叫做原命题，则另一个叫做原
命题的否命题。
即原命题：“若
，则
”，则否命题：“若
，则
”。
(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，
那么这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中一个命题叫做原命题，则另一个
叫做原命题的逆否命题。
即原命题：“若
，则
”，则逆否命题：“若
，则
”。
(4)四种命题之间的关系
(5)四种命题之间的真假关系
四种命
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
题的真假性关系如下：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或者为互否命题，它们的真假性没有关系。
二、充分条件和必要条件
(1)充分条件和必要条件
一般地，“若
，则
”为真命题，是指由
通过推理可以得出
。这时，我们
就说，由
可以推出
，记作
，并且说
是
的充分条件，
是
的必要
条件。
(2)充要条件
如果既有
，又有
，就记作
，称
是
的充分必要条件，简称
充要条件。此时，
也是
的充要条件，
和
互为充要条件。
(3)充分不必要条件
如果
，但
，就称
是
的充分不必要条件。
(4)必要不充分条件
如果
，但
，就称
是
的必要不充分条件。
三、简单的逻辑联结词
(1)且
用联结词“且”把命题
和命题
联结起来，就得到一个新命题，记作
。
规定：当
都是真命题时，
是真命题；当
两个命题中有一个命题是
假命题时，
是假命题。
(2)或
用联结词“或”把命题
和命题
联结起来，就得到一个新命题，记作
。
规定：当
两个命题中有一个命题是真命题时，
是真命题；当
两个
命题都是假命题时，
是假命题。
(3)非
对一个命题全盘否定，就得到一个新命题，记作
。
若
是真命题，则
是假命题；若
是假命题，则
是真命题。
四、全称量词与存在量词
(1)全称量词和全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“
”表示．含
有全称量词的命题，叫做全称量词命题，或全称命题。
(2)存在量词和存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“
”
表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，或特称命题。
(3)全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题：
，它的否定为：
；
存在量词命题：
，它的否定为：
。
第四章数系扩充
知识体系：
章节概述：
复数是16 世纪人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时引入
的，它在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解
析几何、三角函数都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础。
本章将通过解方程等具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解从实数系
到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会“数”
与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
知识清单：
数系扩充
一、数系扩充和复数的概念
1.复数的概念和几何意义
(1)①虚数单位：方程
的解，即
。
②复数：形如
的数
③实部：复数
，其实部
④虚部：复数
，其虚部
⑤复数集：全体复数构成的集合。
(2)对于复数
，
①实数：当
时，它是实数，特别地，当
时，它是实数0；
②虚数：当
时，它是虚数；
③纯虚数：当
且
时，它是纯虚数。
(3)复数
的几何意义
①复平面：用于表示复数的直角坐标系平面，
轴叫做实轴，
轴叫做虚轴
②几何意义：复平面内的点
或向量
表示
③复数
的模或绝对值：
，其中
。
④共轭复数：两个复数实部相等，虚部相反。即复数
，其共轭复数
二、复数的四则运算法则
(1)设
，
是任意两个复数，则
①加法：
；
②减法：
；
③乘法：
；
④除法：
（其中
）。
(2)复数的四则运算律
对任意的
，
①加法的交换律：
；
②加法的结合律：
；
③乘法的交换律：
；
②乘法的结合律：
；
②乘法的分配律：
。
(3)复数的乘方
①复数的乘方：
，其运算法则与指数运算相同
②的乘方：
，
，
，
，
，……，
一般地
，其中
。
三、复数与三角
(1)任意复数
可以写成
的形式，即复数的三角形式。其中
是复数
的模，
是以
轴的非负半轴为始边，向量
所在射线为终边的角，
称为辐角，规定
范围内的辐角
的值为辐角主值，记作
。
(2)三角形式下的复数乘除法
设
，
，则
①乘法：积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和，即
；
②除法：商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去
除数的辐角，即
。
