高中数学必修1 知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念：
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的
元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，
不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示
某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
（3）图示法（文氏图）：
4、常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，
a 不属于集合A 记作 aA
6、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系———子集
对于两个集合A 与B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称
集合A 为集合B 的子集，记作AB
注意： 有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A
集合A 中有n 个元素,则集合A 子集个数为2n.
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A 与B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B 的任何一个元
素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B，即：A=B
A
B
B
A
且
① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作AB(或BA)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
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3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．
记作A∩B(读作”A 交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：
A∪B(读作”A 并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常
用U 来表示。
（2）补集：设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即AS），由S 中
所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）。
记作： CSA ，即 CSA ={x | xS 且 xA}
（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U
(4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数
x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记
作： y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫
做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义
的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充：
能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)
分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数
式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义
域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义
域还要保证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基
础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y)
的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为
坐标的点(x，y)，均在C 上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点
S
CsA
A
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的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法：
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相
应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法：
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
（1）将y= f(x)在x 轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21 例5
（2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y 轴对称。如
1
x
x
x
y
a
y
a
a
与
（3） y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x 轴对称。如
1
log
log
log
a
a
a
y
x
y
x
x
与
Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(xa) 左加右减； 由f(x)得到f(x)a 上加下减
(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发
现解题中的错误。
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．映射
定义：一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一
个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合A 到集合B 的
一个映射。记作“f：AB”
给定一个集合A 到B 的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a
的象，元素a 叫做元素b 的原象
说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则
有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；
③对于映射f：A→B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一
的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元
素在集合A 中都有原象。
6、函数的表示法：
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图
象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
2 解析法：必须注明函数的定义域；
3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相
应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左
大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认
为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f 是g 的复合函数。
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2 时，
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都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。区间D 称为y=f(x)的
单调增区间；
如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)
＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区
间.
注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部
性质；
2、必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2 时，总有f(x1)<f(x2) （或f(x1)＞f(x2)）。
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单
调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；2 作差f(x1)－f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差
f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规
律如下：
复合函数单调性：口诀：同增异减
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
（4）判断函数的单调性常用的结论
①函数
( )
y
f x
与
( )
y
f x
的单调性相反；
②当函数
( )
y
f x
恒为正或恒有负时，
1
( )
y
f x
与函数
( )
y
f x
的单调性相反；
③函数
( )
y
f x
与函数
( )
y
f x
C
（C 为常数）的单调性相同；
④当C > 0（C 为常数）时，
( )
y
f x
与
( )
y
C f x
的单调性相同；
当C < 0（C 为常数）时，
( )
y
f x
与
( )
y
C f x
的单调性相反；
⑤函数
( )
f x 、( )
g x 都是增（减）函数，则
( )
( )
f x
g x
仍是增（减）函数；
⑥若
( )
0, ( )
0
f x
g x
且
( )
f x 与( )
g x 都是增（减）函数，则
( )
( )
f x g x 也是增（减）函数；
若
( )
0, ( )
0
f x
g x
且
( )
f x 与( )
g x 都是增（减）函数，则
( )
( )
f x g x 也是减（增）函数；
⑦设
( )
0
f x
，若
( )
f x 在定义域上是增函数，则
( )
n f x 、
( )(
0)
k f x k
、
( )(
1)
n
f
x n
都是增函数，
而
1
( )
f x 是减函数.
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，
则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
u=g(x) y=f(u)
y=f[g(x)]
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
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总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对
称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，
若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根
据是否有f(-x)±f(x)=0 或f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称.
③若
( )
f x 为偶函数，则
(
)
( )
(|
|)
f
x
f x
f
x
.
④若奇函数
( )
f x 定义域中含有0，则必有
(0)
0
f
.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数
( )
F x 与一个偶函数
( )
G x 的和（或
差）”.如设
)
(x
f
是定义域为R 的任一函数， 则
( )
(
)
( )
2
f x
f
x
F x
，
( )
(
)
( )
2
f x
f
x
G x
.
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（
( )
0
f x
，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
9、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对
应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，
可用待定系数法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知
表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p30 页）
（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
（2） 利用图象求函数的最大（小）值；
（3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，
c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，
c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：
负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作
0
n
=0。
注意：(1)(
)n
n a
a
(2)当 n 是奇数时，n
n
a
a
，当 n 是偶数时，
,
0
|
|
,
0
n
n
a a
a
a
a a
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义，规定：
(
0,
,
,
1)
m
n
m
n
a
a
a
m n
N
n
且
正数的正分数指数幂的意义：
_
1 (
0,
,
,
1)
m
n
m
n
a
a
m n
N
n
a
且
0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）
(
0, ,
)
r
s
r s
a a
a
a
r s
R
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（2）(
)
(
0, ,
)
r
s
rs
a
a
a
r s
R
（3）( b)
(
0,
0,
)
r
r
r
a
a b a
b
r
R
注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如
1
2 2
[(1
2) ]
1
2
2
1
而应=
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
x
y
a
叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0 且a≠1
2、指数函数的图象和性质
0<a<1
a>1
图
像
性质
定义域R , 值域（0，+∞）
（1）过定点（0，1）,即x=0 时，y=1
(2)在R 上是减函数
(2)在R 上是增函数
（3）当x>0 时,0<y<1;
当x<0 时,y>1
（3）当x>0 时,y>1;
当x<0 时,0<y<1
图象特征
函数性质
共性
向x 轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
函数图象都在x 轴上方
函数的值域为R+
图象关于原点和y 轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
过定点（0，1）
0<a<1
自左向右看，图象逐渐下降
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
当x>0 时,0<y<1;
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
当x<0 时,y>1
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度较慢；
a>1
自左向右看，图象逐渐上升
增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
当x>0 时,y>1;
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
当x<0 时,0<y<1
图象上升趋势是越来越陡
函数值开始增长较慢，
到了某一值后增长速度极快；
注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=kax
3 考点：（1）ab=N, 当b>0 时，a,N 在1 的同侧；当b<0 时，a,N 在1 的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，
同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1 去截图象得到对应的底数。
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(5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=kax
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
x
a
N
，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：
loga
x
N
（ a— 底数， N— 真数，loga N — 对数式）
说明：1. 注意底数的限制，a>0 且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式．
2、两个重要对数：
（1）常用对数：以10 为底的对数,
10
log
lg
N
N
记为
；
（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log
ln
e N
N
记为
．
3、对数式与指数式的互化
log
x
a
x
N
a
N
对数式 指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
(3) 对数恒等式：
log N
a
a
N
（二）对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
1、 log
M N
log
log
a
a
a
M
N
（
）
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
2 、
N
M
N
M
a
a
a
log
log
log
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
3 、log
log
n
n
a
a
M
n
M
（
R） 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍
说明:
1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式
3) 真数的取值必须是(0,＋∞)
4) 特别注意：
N
M
MN
a
a
a
log
log
log
N
M
N
M
a
a
a
log
log
log
注意：换底公式
log
lg
log
0,
1,
0,
1,
0
log
lg
c
a
c
b
b
b
a
a
c
c
b
a
a
利用换底公式推导下面的结论
①
a
b
b
a
log
1
log
②log
log
log
log
a
b
c
a
b
c
d
d
③log
log
m
n
a
a
n
b
b
m
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数
loga
y
x
(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
（0，+∞）．
注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：
log
1
a
y
x
，
log
2
a
y
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
（2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1
2、对数函数的图像与性质：对数函数
loga
y
x
(a>0，且a≠1)
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0 ＜ a ＜ 1
a ＞ 1
图
像
性
质
定义域：（0，＋∞） 值域：R
过点(1 ,0), 即当x ＝1 时,y＝0
在(0,+∞)上是减函数
在(0,+∞)上是增函数
当x>1 时，y<0
当x=1 时，y=0
当0<x<1 时，y>0
当x>1 时，y>0
当x=1 时，y=0
当0<x<1 时，y<0
重要结论：在logab 中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有logab>0;
当a,b 不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logab<0.
口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.
（其中，底指底数，真指真数，大于0 指logab 的值）
3、如图，底数 a 对函数
x
y
a
log
的影响。
规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。
4 考点：
Ⅰ、logab, 当a,b 在1 的同侧时, logab >0；当a,b 在1 的异侧时, logab <0
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大
小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=logaa)进行
传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用y=1 去截图象得到对应的底数。
Ⅴ、y=ax(a>0 且a ≠1) 与y=logax(a>0 且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x 对称。
y
x
0
(1,0)
y
x
0
(1,0)
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5 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.
(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1 和0.
6 比较大小的方法
(1) 利用函数单调性(同底数)；(2) 利用中间值（如:0,1.）；(3) 变形后比较；(4) 作差比较
（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如y
x
的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特
别地，当α>1 时，幂函数的图象下凸；当0<α<1 时，幂函数的图象
上凸；
（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限
内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，
当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x 叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x 轴交
点的横坐标）
2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点
3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）
至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c 也是方程 f(x)=0 的根。
4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：
（1） （代数法）求方程f(x)=0 的实数根；
（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性
质找出零点．
5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．
1）△＞0，方程f(x)=0 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．
2）△＝0，方程f(x)=0 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二
重零点或二阶零点．
3）△＜0，方程f(x)=0 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
二、二分法
1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间
一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2、用二分法求方程近似解的步骤:
⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；
⑵求区间(a,b)的中点c;
⑶计算f(c),
①若f(c)=0,则c 就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）
③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)）
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷
三、函数的应用：
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（1）评价模型： 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。
（2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a>0)
指数函数：y=ax(a>1) 指数型函数： y=kax(k>0,a>1)
幂函数： y=xn（ n∊N*) 对数函数：y=logax(a>1)
二次函数：y=ax2+bx+c(a>0)
增长快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax)
解不等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x
（3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。
（4）二次函数模型： y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，
在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。
（5）数学建模：
(6)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
两个根都在（m,n )内
两个有且仅有一个在（m,n)内
x1∈(m,n) x2∈(p,q)
f(m)f(n)<0
两个根都小于K
两个根都大于K
一个根小于K，一个根大于K
f(k)<0
y
x
n
m
m
n
m
n p
q
y
x
k
k
k
0
2
(
)
0
( )
0
b
m
n
a
f m
f n
(
)
0
( )
0
( )
0
( )
0
f m
f n
f p
f q
0
2
( )
0
b
k
a
f k
0
2
( )
0
b
k
a
f k
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高中数学必修2 知识点
第1 章 空间几何体
一、空间几何体的结构
1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多
面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条
定直线叫做旋转体的轴。
3、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱
'
'
'
'
'
E
D
C
B
A
ABCDE
或用对角线的端点字母，如五棱柱
'
AD
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于
底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
'
'
'
'
'
E
D
C
B
A
P
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高
的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
'
'
'
'
'
E
D
C
B
A
P
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
二、空间几何体的三视图和直观图
1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我
们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。
2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。
3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。（又分为正投影和斜投影）
4 空间几何体的三视图
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（1）、定义三视图：正视图（从前向后；即光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯
视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
（2）、三视图图形的位置：
（3）、 三视图长、宽、高的关系：“正侧长对齐、正俯高对齐、侧俯宽相等”
三、空间几何体的直观图
1.斜二测画法：对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图。斜二测画法是一种特殊的平行投影
画法。
2.斜二测画法原则：横不变，纵减半。
3.斜二测画法步骤：①在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O 。画直观图时，把它们画
成对应的'x 轴与
'y 轴，两轴交于点
'
O ，且使
'
' '
45
x O y
（或135°），它们确定的平面表示水平面。
②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴或
'y 轴的线段。
③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。
四、空间几何体的表面积与体积
（1）、几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。所以，棱柱、棱锥的表面积：各个面的面积之和。（2）：
柱 体
rl
S
2
圆柱侧面积
)
(
2
l
r
r
S
圆柱表面积
Sh
S
柱体
锥 体
rl
S
圆锥侧面积
)
(
l
r
r
S
圆柱表面积
Sh
V
3
1
锥体
台 体
'
S
rl
r l
侧面积
2
2
( '
'
)
S
r
r
r l
rl
表面积
1 ( '
'
)
3
V
S
S S
S h
球 体
2
=4
S
R
表面积
3
4
3
V
R
第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45
0，
且横边画成邻边的2 倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以
用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表
示，如平面AC、平面ABCD 等。
3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
正
侧
俯
D
C
B
A
α
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A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1 作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2 作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3 作用：判定两个平面是否相交的依据
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c 是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4 作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两
直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0, 2
]；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
L
A
·
α
C
·
B
·
A
·
α
P
·
α
L
β
共面直线
=>a∥c
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a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义
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_B
_L
_α
_A
_β
_Q
_P
_N
_M
_O
如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线
L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
L
α
p
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章重点总结：
一、线面角、面面角：
1、直线和平面所成角：如图，一条直线PA 和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个
平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O 和斜
足A 的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这
条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，
或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二
面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如右图二面角可记作二面角
AB
或
二面角P
AB
Q
或二面角
l
或二面角P
l
Q
【注意：二面角是一个面面
角，范围是0 ,180
】。在二面角
l
的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在
半平面和内分别作垂直于棱l 的射线ON 和OM，则射线ON 和OM 构成的∠NOM 叫做二面角的平面
角。一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互
※ 二、线、面平行垂直的八大定理：
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O
A
P
B
α
射影长定理图
B
A
C
b
a
c
①（直线与平面平行的判定）【文字语言】平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面
平行。（线线平行线面平行）
【符号语言】
,
,
a
b
a
且∥b
a
∥
②（平面与平面平行的判定）【文字语言】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平
行。（线面平行面面平行）
【符号语言】
,
,
,
a
b
a
b
P a
∥，b ∥∥
引申：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面
平行。
③（直线与平面平行的性质）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直
线平行。（线面平行线线平行）
作用：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。
④（平面与平面平行的性质）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行
线线平行）
⑤（直线与平面垂直的判定）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
⑥（平面与平面垂直的判定）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
⑦（直线与平面垂直的性质）垂直于同一个平面的两条直线平行。
⑧（平面与平面垂直的性质）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
注：（等角定理）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
三、补充：
①证线线平行的方法：Ⅰ.定义法；Ⅱ.线面平行的性质定理；Ⅲ.面面平行的性质定
理；Ⅳ.平行公理
②证线面平行的方法：Ⅰ.线面平行的判定定理；Ⅱ.定义法；Ⅲ.面面平行证线面平
行
③证面面平行的方法：Ⅰ.定义法；Ⅱ.面面平行的判定定理；Ⅲ.平面平行的传递性
④三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那
么它也和这条垂线垂直。
⑤三垂线定理逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那
么它也和这条斜线的射影垂直。
⑥射影长定理：Ⅰ.从平面外一点向平面所引的斜线段、垂线段中，垂线段最短。
Ⅱ.如图（射影长定理图）：若PA
PB
，则OA
OB
；若OA
OB
，则PA
PB
。
Ⅲ. 如图（射影长定理图）：若PA
PB
，则OA
OB
；若PA
PB
，则PA
PB
。
⑦最小角定理：斜线和平面所成的角是这个斜线与平面内过斜足的所有直线所
成角中的最小角。（最小角定理图）
⑧余弦定理：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
cos
2
cos
2
b
c
a
A
bc
a
c
b
B
ac
a
b
c
C
ab
第三章 直线与方程
一、直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的夹角叫
P
O
α
最小角定理图
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做直线l 的倾斜角。当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°。则直线的倾斜角的取值
范围为0°≤＜180°。
2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。
4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
升高量
坡度（比）= 前进量
5.斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，我们用斜率表示直线的倾斜程度。斜率常用
小写字母k 表示，即
tan
k
。
注意：倾斜角是90°的直线没有斜率。
6.经过两点
1
1
1
2
2
2
1
2
,
,
,
(
)
P x y
P x
y
x
x
的直线的斜率公式为
2
1
2
1
y
y
k
x
x
7.对于两条不重合的直线1
2
,
l l ，其斜率分别为
1
2
,
k k ，有1l ∥2l
1
2
k
k
注意：若直线1
2
l
l
和
可能重合时，我们得到
1
2
k
k
1l ∥2l 或1
2
l
l
与重合
8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于
-1，那么它们互相垂直，即1
2
1 2
1
l
l
k k
9.两条直线垂直的条件：1
2
1 2
1
2
1
l
l
k k
k
k
或，中一个为0，另一个不存在
二、直线的方程（5 个）
1.直线的点斜式方程（简称点斜式）：
0
0
(
)
y
y
k x
x
【当直线l 的倾斜角为0°时，tan0°=0，即k=0，这是直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是
0
0
0,
y
y
y
y
或
】
注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。
截距：我们把直线l 与x 轴交点
,0
a
的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距。我们把直线l 与y 轴交点
0,b
的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距。
注意：截距不是距离，截距是数。
2.直线的斜截式方程（简称斜截式）：y
kx
b
注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。
3.直线的两点式方程（简称两点式）：
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
注意：①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0 的直线。
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②若
1
1
1
2
2
2
,
,
,
P x y
P x
y
中有
1
2
x
x
或
1
2
y
y
时，直线
1
2
PP 没有两点式方程。当
1
2
x
x
时，直线
1
2
PP 平
行于x 轴，直线方程为
1
0
x
x
，或
1
x
x
；当
1
2
y
y
时，直线
1
2
PP 平行于x 轴，直线方程为
1
0
y
y
，
或
1
y
y
。
4.直线的截距式方程（简称截距式）：
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
注意：直线的截距式方程不适用于平行于x 轴（或y 轴）或过原点的直线。
线段
1
2
PP 的中点坐标公式：若点
1
2
,
P P 的坐标分别为
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
，且线段
1
2
PP 的中点
的坐标为
,x y ，则
M
1
2
1
2
2
2
x
x
x
y
y
y
5.直线的一般式方程（简称一般式）：
0(
0
(
0)
A
Ax
By
C
A
B
k
B
其中，不同时为）,k=-
6..在方程
0
Ax
By
C
中，
①当
0,
0
A
C
时，方程表示的直线平行于x 轴；
②当
0,
0
B
C
时，方程表示的直线平行于y 轴；
③当
0,
0,
0
A
B
C
时，方程表示的直线与x 轴重合；
④当
0,
0,
0
A
B
C
时，方程表示的直线与y 轴重合。
7..已知直线
1
1
1
1
2
2
2
2
:
0
:
0
l
A x
B y
C
l
A x
B y
C
，则
①1l ∥2l 的充要条件是：1l ∥2l
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
0
-
0
AB
A B
BC
B C
AC
A C
且
或
0
②1l ⊥2l 的充要条件是：1
2
1
2
1
2
0
l
l
A A
B B
三、直线的交点坐标与距离公式
1.①若方程组有唯一解
1l 与2l 相交，且有唯一交点；
②若方程组无解
1l ∥2l ；
③若方程⑴与方程⑵可化成同一个方程
1l 与2l 重合。
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引申：2.当变化时，方程
1
1
1
2
2
2
0
A x
B y
C
A x
B y
C
表示直线束。
3.方程
1
1
1
2
2
2
0
A x
B y
C
A x
B y
C
表示过直线
1
1
1
0
A x
B y
C
与直线
2
2
2
0
A x
B y
C
交
点的任意一条直线，但它不能表示
2
2
2
0
A x
B y
C
这条直线。
延展【常用结论】:4. 过
1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
与
2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
交点的直线方程可设为
1
1
1
2
2
2
0
A x
B y
C
A x
B y
C
（不表示2l ）或
2
2
2
1
1
1
0
A x
B y
C
A x
B y
C
（不表示1l ）
5.与直线
0
Ax
By
C
平行的直线方程可设为
0,(
)
Ax
By
m
m
C
6.与直线
0
Ax
By
C
垂直的直线方程可设为
0
Bx
Ay
m
7.两点
1
1
1
2
2
2
,
,
,
P x y
P x
y
间的距离公式为：
2
2
1
2
2
1
2
1
|
|
PP
x
x
y
y
8.原点
0,0
O
与任一点
,
P x y 的距离公式为：
2
2
|
|
OP
x
y
9.点
0
0
0
,
P x
y
到直线
0
Ax
By
C
的距离公式为：
0
0
2
2
|
|
Ax
By
C
d
A
B
10.两条平行直线
1
0
Ax
By
C
与
2
0
Ax
By
C
间的距离为：
1
2
2
2
|
|
C
C
d
A
B
第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2、点
0
0
(
,
)
M x
y
与圆
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
的关系的判断方法：
（1）
2
2
0
0
(
)
(
)
x
a
y
b
>
2r ，点在圆外
（2）
2
2
0
0
(
)
(
)
x
a
y
b
=
2r ，点在圆上
（3）
2
2
0
0
(
)
(
)
x
a
y
b
<
2r ，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
0
2
2
F
Ey
Dx
y
x
，圆心为
,
2
2
D
E
，半径为
2
2
1
4
2
D
E
F
为半径长
的圆
2、圆的一般方程的特点：(1)①x2 和y2 的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
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y
z
O
x
C
B
C'
D'
A'
A
B'
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心
坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：
0
c
by
ax
，圆C ：
0
2
2
F
Ey
Dx
y
x
，圆的半径为r ，圆心
)
2
,
2
(
E
D
到直线
的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当
r
d
时，直线l 与圆C 相离；
（2）当
r
d
时，直线l 与圆C 相切；
（3）当
r
d
时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系
注意：
1.直线与圆的位置关系
直线与圆相交，有两个公共点
d
R
方程组有两组不同实数解(
0 )
直线与圆相切，只有一个公共点
d
R
方程组有唯一实数解(
0 )
直线与圆相离，没有公共点
d
R
方程组无实数解(
0 )
2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
3.求经过两圆交点的圆系方程：
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
(
)
0
x
y
D x
E y
F
x
y
D x
E y
F
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当
2
1
r
r
l
时，圆
1
C 与圆
2
C 相离；
（2）当
2
1
r
r
l
时，圆
1
C 与圆
2
C 外切；
（3）当
|
|
2
1
r
r
2
1
r
r
l
时，圆
1
C 与圆
2
C 相交；
（4）当
|
|
2
1
r
r
l
时，圆
1
C 与圆
2
C 内切；
（5）当
|
|
2
1
r
r
l
时，圆
1
C 与圆
2
C 内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的
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几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
三、空间直角坐标系
1.如图
'
'
'
'
OABC
D A B C
是单位正方体。以O 为原点，分别以射线
,
,
'
OA OC OD 的方向为正方向，以线
段
,
,
'
OA OC OD 的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴。这是我们说建立了一个空间直角坐标系
Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面。
2. 数轴：一个点与一个实数一一对应。
平面直角坐标系：一个点与一个有序实数对一一对应。
空间直角坐标系：一个点与一个有序实数组一一对应。
3. 如图，设点M 位空间的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，
依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P，Q 和R.设点P，Q 和R 在x 轴、y 轴和z 轴上的坐
标分别是x，y 和z，那么点M 就对应唯一确定的有序实数组
, ,
x y z 。
反过来，给定有序实数组
, ,
x y z ，我们可以在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标
为x，y 和z 的点P，Q 和R，分别过P，Q 和R 各作一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，这三个平
面的唯一的交点就是有序实数组
, ,
x y z 确定的点M。
这样，空间一点M 的坐标可以用有序实数组
, ,
x y z 来表示，有序实数组
, ,
x y z 叫做点M 在此空间
直角坐标系中的坐标，记作
, ,
M x y z 。其中x 叫点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的
竖坐标。
4.
2
2
2
2
x
y
z
r
表示的图形是球。
5.在空间直角坐标系Oxyz 中，任意一点
, ,
P x y z 与原点间的距离
2
2
2
|
|
OP
x
y
z
6.空间两点间的距离公式：设空间中任意一点
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
P
到点
)
,
,
(
2
2
2
2
z
y
x
P
之间的距离公式
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
z
z
y
y
x
x
P
P
z
y
R
M'
M
P
o
x
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高中数学必修3 知识点
第一章 算法初步
1.1.1
算法的概念
1、算法概念：
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，
这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当
是模棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个
确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步
都准确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经
过有限、事先设计好的步骤加以解决.
1.1.2
程序框图
1、程序框图基本概念：
（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来
准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文
字说明。
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（二）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图
不可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算
法中任何需要输入、输出的位置。
处理框
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、
公式等分别写在不同的用以处理数据的处
理框内。
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标
明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或
“N”。
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，
大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；
另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下
的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一
种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和B
框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执
行B 框所指定的操作。
2、条件结构：
A
B
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条件结构是指在算法中通过对条件的判断
根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，
不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断
框。
3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理
步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含
条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A
框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执
行A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。
（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条
件P 是否成立，如果P 仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止，
此时不再执行A 框，离开循环结构。
当型循环结构 直到型循环结构
注意：1 循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结
构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变
量。计数变量用于记录循环次数
．．．．．．，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步
执行的，累加一次，计数一次。
1.2.1
输入、输出语句和赋值语句
p
A
成立
不成立
P
不成立
P
成立
A
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1、输入语句
（1）输入语句的一般格式
（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的
信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体
的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入
多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。
2、输出语句
（1）输出语句的一般格式
（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的
信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及
字符。
3、赋值语句
（1）赋值语句的一般格式
（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值
号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达
式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表
达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。
注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。②赋值号左
右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数
式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
1．2．2 条件语句
1、条件语句的一般格式有两种：（1）IF—THEN—ELSE 语句；（2）IF—THEN 语句。2、IF
—THEN—ELSE 语句
IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。
图形计算器
格式
INPUT“提示内容”；变量
INPUT “提示内容”，变量
PRINT“提示内容”；表达式
图形计算器
格式
Disp “提示内容”，变量
变量＝表达式
图形计算器
格式
表达式变量
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
否
是
满足条件？
语句1
语句2
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图1 图2
分析：在IF—THEN—ELSE 语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时
执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的
结束。计算机在执行时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN 后面
的语句1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句2。
3、IF—THEN 语句
IF—THEN 语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。
注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，
结束程序；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF 后的条件进行判断，
如果条件符合就执行THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行
其它语句。
1．2．3 循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语
言中也有当型（WHILE 型）和直到型（UNTIL 型）两种语句结构。即WHILE 语句和UNTIL 语
句。
1、WHILE 语句
（1）WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是
（2）当计算机遇到WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE
与WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个
过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND
IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）
满足条件？
语句
是
否
（图4）
WHILE 条件
循环体
WEND
满足条件？
循环体
否
是
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语句后，接着执行WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
2、UNTIL 语句
（1）UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是
（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL 型循环结构分析，计算机执行该语句
时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然
后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到
LOOP UNTIL 语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）
（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
在WHILE 语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL 语句中，是当条件不满足时执行循
环
1.3.1 辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
（1）：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商
0
S 和一个余数
0
R ；（2）：若
0
R ＝0，则n
为m，n 的最大公约数；若
0
R ≠0，则用除数n 除以余数
0
R 得到一个商
1S 和一个余数
1
R ；
（3）：若
1
R ＝0，则
1
R 为m，n 的最大公约数；若
1
R ≠0，则用除数
0
R 除以余数
1
R 得到一个
商
2
S 和一个余数
2
R ；…… 依次计算直至
n
R ＝0，此时所得到的
1
n
R 即为所求的最
大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术
求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，
求其等也，以等数约之。
翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2 约简；若不是，执
行第二步。（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减
满足条件？
循环体
是
否
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
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小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98 与63 的最大公约数.
分析：（略）
3、辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，
计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别
较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0 则得到，而更相减损术
则以减数与差相等而得到
1.3.2 秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0、
这样，把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以
后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置
以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可
以举例说明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1 个数和第2
个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟
结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1 个数开始,到最后第2 个数...... 由于在
排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.
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1.3.3 进位制
1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数
字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n 进位制，简称n 进制。现在最常用的是十进制，
通常使用10 个阿拉伯数字0-9 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表
示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进
制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的k 进制可以表示为：
1
1
0( )
1
1
0
...
(0
,0
,...,
,
)
n
n
k
n
n
a a
a a
a
k
a
a a
k
，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5 进
制数
第二章 统计
2.1.1 简单随机抽样
1．总体和样本
总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
个体：把每个研究对象叫做个体．
总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体
的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：
，
，
，
研究，我们称它为样本
．．．其中个体的个数称为样本容量
．．．．。
2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每
个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基
础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；
③概率保证程度。
4．抽签法:
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（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实施抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查
例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：
例：利用随机数表在所在的班级中抽取10 位同学参加某项活动。
2.1.2 系统抽样
1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究
变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的
特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距
离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，
实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单
元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
2.1.3 分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，
然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将
这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最
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后用系统抽样的方法抽取样本。
2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体
中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分
层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取
子样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采
用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资
料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据
恢复到总体中各层实际的比例结构。
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值：
n
x
x
x
x
n
2
1
2、．样本标准差：
n
x
x
x
x
x
x
s
s
n
2
2
2
2
1
2
)
(
)
(
)
(
3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样
本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、
均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，
它们确实反映了总体的信息。
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k 倍
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（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间
)
3
,
3
(
s
x
s
x
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2 两个变量的线性相关
1、概念:
（1）回归直线方程
（2）回归系数
2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存
的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即
因变量Y）进行估计，即可得到个体Y 值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控
制的目标。如已经得到了空气中NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程，即可
通过控制汽车流量来控制空气中NO2 的浓度。
4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。
第三章 概 率
3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；
（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试
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验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例
fn(A)= n
nA
为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数
的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），
称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n
的比值n
n A
，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数
的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，
概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前
提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；
（3）若A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；
（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立
事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—
P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A 与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于
是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不
会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件
A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与
事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发
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生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生
1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）= 总的基本事件个数
包含的基本事件数
A
3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）
成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=
积）
的区域长度（面积或体
试验的全部结果所构成
积）
的区域长度（面积或体
构成事件A
；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每
个基本事件出现的可能性相等．
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高中数学必修4 知识点
第一章 三角函数
正角:按逆时针方向旋转形成的角
1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:不作任何旋转形成的角
2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落
在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何
象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为
360
360
90 ,
k
k
k
第二象限角的集合为
360
90
360
180 ,
k
k
k
第三象限角的集合为
360
180
360
270 ,
k
k
k
第四象限角的集合为
360
270
360
360 ,
k
k
k
终边在x 轴上的角的集合为
180 ,
k
k
终边在y 轴上的角的集合为
180
90 ,
k
k
终边在坐标轴上的角的集合为
90 ,
k
k
3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{
Z
k
k
,
360
|
}
4、弧度制：
（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l ，则角的弧度数的绝对值是
l
r
．
（2）度数与弧度数的换算：
2
360o
，
180
rad，1 rad
'
18
57
30
.
57
)
180
(
注：角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为
o
n ，弧度为；
①角度化为弧度：
180
180
n
n
n
o
o
o
，②弧度化为角度：
o
o
180
180
（3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数），半径为r ，则：
弧长公式：
,
180（用度表示的）
n
l
（用弧度表示的）
r
l
|
|
；
扇形面积：
)
(
360
2
用度表示的
扇
r
n
s
lr
r
S
2
1
|
|
2
1
2
扇
（用弧度表示的）
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5、三角函数:
（1）定义①：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标
是
,x y ，它与原点的距离是
2
2
0
r OP
r
x
y
，
则sin
y
r
，cos
x
r
，
tan
0
y x
x
定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，
那么v 叫做α的正弦，记作sinα,即sinαy; u 叫做α的余
弦，记作cosα，即cosα=x; 当α的终边不在y 轴上时，
x
y 叫做α的正切，记作tanα, 即tanα= x
y .
（2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。
口诀：第一象限全为正；
二正三切四余弦.
（3）特殊角的三角函数值
的角度
0
30
45
60
90
120
135
150
180
的弧度
0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
sin
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
cos
1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
2
2
2
3
1
tan
0
3
3
1
3
不存在
3
1
3
3
0
的角度
210
225
240
270
300
315
330
360
的弧度
6
7
4
5
3
4
2
3
3
5
4
7
6
11
2
sin
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
cos
2
3
2
2
2
1
0
2
1
2
2
2
3
1
tan
3
3
1
3 不存在
3
1
3
3
0
P(x,y)
y
x
o
sin
x
y
+
+
_
_
O
x
y
+
+
_
_
cos
O
tan
x
y
+
+
_
_
O
P(x,y)
y
x
o
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（4）三角函数线：如下图
（5）同角三角函数基本关系式
（１）平方关系：
1
cos
sin
2
2
（２）商数关系：
cos
sin
tan
6、三角函数的诱导公式：
1 sin 2
sin
k
，
cos 2
cos
k
，
tan 2
tan
k
k
．
口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．
2 sin
sin
，
cos
cos
，
tan
tan
．
3 sin
sin
，
cos
cos
，
tan
tan
．
4 sin
sin
，
cos
cos
，
tan
tan
．
5 sin 2
sin
，
cos 2
cos
，
tan 2
tan
．
口诀：函数名称不变，正负看象限．
6 sin
cos
2
，cos
sin
2
，tan
cot
2
．
7 sin
cos
2
，cos
sin
2
，tan
cot
2
．
口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。即将括号里面的角拆成
2
k
的形式。
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7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
sin
y
x
cos
y
x
tan
y
x
图
象
定
义
域
R
R
,
2
x x
k
k
值
域
值域：
1,1
当
2
2
x
k
k 时，
max
1
y
；当
2
2
x
k
k 时，
min
1
y
．
值域：
1,1
当
2
x
k
k
时，
max
1
y
；当
2
x
k
k 时，
min
1
y
．
值域：R
既无最大值也无最小值
周
期
性
sin
y
x
是周期函数；周期为
2
,
T
k
k
Z
且
0
k
；
最小正周期为2
cos
y
x
是周期函数；周期
为
2
,
T
k
k
Z
且
0
k
；
最小正周期为2
tan
y
x
是周期函数；周
期为
,
T
k
k
Z
且
0
k
；最小正周期为
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在2
,2
2
2
k
k
k 上是增函数；在
3
2
,2
2
2
k
k
k 上是减函数．
在
2
,2
k
k
k
上
是增函数；在
2
,2
k
k
k 上是减函数．
在
,
2
2
k
k
k 上是增函数．
对
称
性
对称中心
,0
k
k
对称轴
2
x
k
k
对称中心
,0
2
k
k
对称轴
x
k
k
对称中心
,0
2
k
k
无对称轴
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8、（1）
sin
y
x
b
的图象与
x
y
sin
图像的关系：
①振幅变换：
x
y
sin
x
A
y
sin
②周期变换：
x
y
sin
x
y
sin
③相位变换：
x
y
sin
)
sin(
x
y
④平移变换：
)
sin(
x
A
y
sin
y
x
b
注：函数
x
y
sin
的图象怎样变换得到函数
sin
y
A
x
B
的图象：（两种方法）
① 先平移后伸缩：
sin
y
x
平移| |
个单位
sin
y
x
（左加右减）
纵坐标不变
)
s i n (
x
y
横坐标变为原来的1
|
|
倍
横坐标不变
sin
y
A
x
纵坐标变为原来的A 倍
平移|
|
B 个单位
sin
y
A
x
B
（上加下减）
② 先伸缩后平移：
sin
y
x
纵坐标不变
x
y
sin
横坐标变为原来的1
|
|
倍
平移
个单位
)
sin(
x
y
（左加右减）
横坐标不变
sin
y
A
x
纵坐标变为原来的A 倍
平移|
|
B 个单位
sin
y
A
x
B
图象整体向左（
0
）或向右（
0
）平移个单位
图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍
图象上每个点的横坐标变为原来的
1
倍，纵坐标不变
图象整体向上（
0
b
）或向下（
0
b
）
平移b 个单位
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- 6 -
（上加下减）
（2）函数
)
0
,0
(
)
sin(
A
b
x
A
y
的性质：
①振幅：；②周期：
2
；③频率：
1
2
f
；④相位：x
；⑤初相：．
定义域：R
值域：
,
A
b A
b
当
2
2
x
k
k 时，
max
y
A b
；
当
2
2
x
k
k 时，
min
y
A
b
．
周期性：函数
)
0
,0
(
)
sin(
A
b
x
A
y
是周期函数；周期为
2
T
单调性：
x
在2
,2
2
2
k
k
k 上时是增函数；
x
在
3
2
,2
2
2
k
k
k 上时是减函数．
对称性：对称中心为
,0
k
k
；对称轴为
x
2
k
k
第二章 平面向量
1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．
2、零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作0 ；零向量的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1 个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：
|
| a
a
e
．
4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作
b
a //
；
规定0 与任何向量平行．
5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
注意：任意两个相等的非零向量，
都可以用同一条有向线段来表
示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点：
起点相同
b
a
C
a
b
C
C
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⑶运算性质：
①交换律：a
b
b
a
；
②结合律：
a
b
c
a
b
c
；③
0
0
a
a
a
．
⑷坐标运算：设
1
1
,
a
x y
，
2
2
,
b
x
y
，则
1
2
1
2
,
a
b
x
x
y
y
．
7、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
1
1
,
a
x y
，
2
2
,
b
x
y
，则
1
2
1
2
,
a
b
x
x
y
y
．
设、两点的坐标分别为
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
，则
2
1
2
1
,
x
x y
y
．
8、向量数乘运算：
⑴实数与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a
．
①
a
a
；
②当
0
时，a
的方向与a 的方向相同；当
0
时，a
的方向与a 的方向相反；
当
0
时，
0
a
．
⑵运算律：①
a
a
；②
a
a
a
；③
a
b
a
b
．
⑶坐标运算：设
,
a
x y
，则
,
,
a
x y
x
y
．
9、向量共线定理：向量
0
a a
与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使b
a
．
设
1
1
,
a
x y
，
2
2
,
b
x
y
，其中
0
b
，则当且仅当
1
2
2
1
0
x y
x y
时，向量a 、
0
b b
共线．
10、平面向量基本定理：如果
1e 、
2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任意向量a ，有且只有一对实数
1、
2
，使
1 1
2
2
a
e
e
．（不共线的向量
1e 、
2e 作为
这一平面内所有向量的一组基底）
11、分点坐标公式：设点是线段
1
2
上的一点，
1
、
2
的坐标分别是
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
，
当
1
2
时，点的坐标是
1
2
1
2
,
1
1
x
x
y
y
．
12、平面向量的数量积：
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⑴定义：
cos
0,
0,0
180
a b
a b
a
b
．零向量与任一向量的数量积为0 ．
⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①
0
a
b
a b
．②当a 与b 同向时，a b
a b
；
当a 与b 反向时，a b
a b
；
2
2
a a
a
a
或a
a a
．③a b
a b
．
⑶运算律：①a b
b a
；②
a
b
a b
a
b
；③
a
b
c
a c
b c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
1
1
,
a
x y
，
2
2
,
b
x
y
，则
1
2
1
2
a b
x x
y y
．
若
,
a
x y
，则
2
2
2
a
x
y
，或
2
2
a
x
y
．
设
1
1
,
a
x y
，
2
2
,
b
x
y
，则
1
2
1
2
0
a
b
x x
y y
．
设a 、b 都是非零向量，
1
1
,
a
x y
，
2
2
,
b
x
y
，是a 与b 的夹角，则
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
x x
y y
a b
a b
x
y
x
y
．
第三章 三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系：
1
cos
sin
2
2
（２）商数关系：
cos
sin
tan
（３）倒数关系：
1
cot
tan
2
2
2
tan
1
tan
sin
；
2
2
t an
1
1
cos
注意：
tan
,
cos
,
sin
按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
)
(
S
：
sin
cos
cos
sin
)
sin(
)
(
S
：
sin
cos
cos
sin
)
sin(
)
(
C
：
sin
sin
cos
cos
)
cos(
a
)
(
C
：
sin
sin
cos
cos
)
cos(
a
)
(
T
：
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
)
(
T
：
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
正切和公式：
)
tan
tan
1(
)
tan(
tan
tan
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3、辅助角公式：
x
b
a
b
x
b
a
a
b
a
x
b
x
a
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
2
2
)
sin(
)
sin
cos
cos
(sin
2
2
2
2
x
b
a
x
x
b
a
（其中称为辅助角，的终边过点
)
,
( b
a
，
a
b
tan
）
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
2
S
：
cos
sin
2
2
sin
2
C
：
2
2
sin
cos
2
cos
1
cos
2
sin
2
1
2
2
2
T
：
2
tan
1
tan
2
2
tan
*二倍角公式的常用变形：①、
|
sin
|
2
2
cos
1
，
|
cos
|
2
2
cos
1
；
②、
|
sin
|
2
cos
2
1
2
1
，
|
cos
|
2
cos
2
1
2
1
③
2
2
sin
1
cos
sin
2
1
cos
sin
2
2
2
4
4
；
2
cos
sin
cos
4
4
；
*降次公式：
2
sin
2
1
cos
sin
2
1
2
cos
2
1
2
2
cos
1
sin 2
2
1
2
cos
2
1
2
2
cos
1
cos 2
5、*半角的正弦、余弦和正切公式：
2
cos
1
2
sin
；
2
cos
1
2
cos
，
cos
1
cos
1
2
tan
cos
1
sin
sin
cos
1
6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）
①
2
2
cos
1
sin
；
2
cos
1
sin
；
2
2
sin
1
cos
；
2
sin
1
cos
；
②
2
sin
2
cos
sin
sin
cos
cot
tan
2
2
，
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2
cot
2
2
sin
2
cos
2
cos
sin
sin
cos
tan
cot
2
2
③
2
sin
1
cos
sin
2
1
)
cos
(sin
2
；
|
cos
sin
|
2
sin
1
7、补充公式：
①万能公式
2
tan
1
2
tan
2
sin
2
；
2
t an
1
2
t an
1
co s
2
2
；
2
t an
1
2
t an
2
t an
2
②积化和差公式
)]
sin(
)
[sin(
2
1
cos
sin
)]
sin(
)
[sin(
2
1
sin
cos
)]
cos(
)
[cos(
2
1
cos
cos
)]
cos(
)
[cos(
2
1
sin
sin
③和差化积公式
2
cos
2
sin
2
sin
sin
；
2
sin
2
cos
2
sin
sin
2
cos
2
cos
2
cos
cos
；
2
sin
2
sin
2
cos
cos
注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式
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高中数学必修5 知识点
第一章：解三角形
一、正弦定理和余弦定理
1、正弦定理：在
C
中，a 、b 、c 分别为角、、C 的对边，，则有
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
C
( R 为
C
的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式：
①
2 sin
a
R
，
2 sin
b
R
，
2 sin
c
R
C
；
②sin
2
a
R
，sin
2
b
R
，sin
2
c
C
R
；
③
: :
sin
:sin
:sin
a b c
C
；
3、三角形面积公式：
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
C
S
bc
ab
C
ac
．
4、余弦定理：在
C
中，有
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
，推论：
bc
a
c
b
A
2
cos
2
2
2
B
ac
c
a
b
cos
2
2
2
2
，推论：
C
ab
b
a
c
cos
2
2
2
2
，推论：
ab
c
b
a
C
2
cos
2
2
2
二、解三角形
处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几
何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、
无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解
1、三角形中的边角关系
（1）三角形内角和等于180°；
（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
（3）三角形中大边对大角，小边对小角；
（4）正弦定理中,a=2R·sinA, b=2R·sinB, c=2R·sinC，其中R 是△ABC 外接圆半径.
ac
b
c
a
B
2
cos
2
2
2
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（5）在余弦定理中:2bccosA=
2
2
2
a
c
b
.
（6）三角形的面积公式有:S= 2
1 ah, S= 2
1 absinC= 2
1 bcsinA= 2
1 acsinB , S=
)
)(
(
)
(
c
P
b
P
a
P
P
其
中，h 是BC 边上高，P 是半周长.
2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形
（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.
（3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理.
（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.
（5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.
3、利用正、余弦定理判断三角形的形状
常用方法是：①化边为角；②化角为边.
4、三角形中的三角变换
（1）角的变换
因为在△ABC 中，A+B+C=π ，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)= －cosC ；tan(A+B)= －tanC 。
2
sin
2
cos
,
2
cos
2
sin
C
B
A
C
B
A
；
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半
（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正
三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C 成等差数列且a，b，c 成等比数列.
三、解三角形的应用
1.坡角和坡度：
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定
义可知：坡度是坡角的正切，即
tan
i
.
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l
h
α
2.俯角和仰角：
如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做
仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.
3. 方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为.
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角
是相对于正北方向而言的。
4. 方向角：
相对于某一正方向的水平角.
5.视角：
由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角
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第二章：数列
一、数列的概念
1、数列的概念：
一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式
可以写成
1
2
3
,
,
,
,
,
n
a a a
a
，简记为数列
na
，其中第一项
1a 也成为首项；
na 是数列的第n 项，也叫做
数列的通项.
数列可看作是定义域为正整数集N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应
的一列函数值就是这个数列.
2、数列的分类：
按数列中项的多数分为：
（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；
（2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.
3、通项公式：
如果数列
na
的第n 项
na 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成
na
f n
，那么这个式
子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
4、数列的函数特征：
一般地，一个数列
na
，
如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即
1
n
n
a
a
，那么这个数列叫做递增数列;
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如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即
1
n
n
a
a
，那么这个数列叫做递减数列;
如果数列
na
的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.
5、递推公式：
某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
二、等差数列
1、等差数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数
叫做等差数列的公差.
即
1
n
n
a
a
d
（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.
2、等差数列的通项公式：
设等差数列
na
的首项为
1a ，公差为d ，则通项公式为：
1
1
,
n
m
a
a
n
d
a
n
m d
n
m
N
、
.
3、等差中项：
（1）若a
A b
、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且
=
2
a
b
A
;
（2）若数列
na
为等差数列，则
1
2
,
,
n
n
n
a a
a
成等差数列，即
1
na 是
na 与
2
na 的等差中项，且
2
1=
2
n
n
n
a
a
a
；反之若数列
na
满足
2
1=
2
n
n
n
a
a
a
，则数列
na
是等差数列.
4、等差数列的性质：
（1）等差数列
na
中，若
,
m
n
p
q m
n
p
q
N
、、、
则
m
n
p
q
a
a
a
a
，若
2
m
n
p
，则
2
m
n
p
a
a
a
；
（2）若数列
na
和
nb
均为等差数列，则数列
n
n
a
b
也为等差数列；
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（3）等差数列
na
的公差为d ，则
0
n
d
a
为递增数列，
0
n
d
a
为递减数列，
0
n
d
a
为常数列.
5、等差数列的前n 项和
n
S ：
（1）数列
na
的前n 项和
n
S =
1
2
3
1
,
n
n
a
a
a
a
a
n
N
；
（2）数列
na
的通项与前n 项和
n
S 的关系：
1
1
,
1
.
,
2
n
n
n
S n
a
S
S
n
（3）设等差数列
na
的首项为
1,
a 公差为d ，则前n 项和
1
1
1
=
.
2
2
n
n
n a
a
n n
S
na
d
6、等差数列前n 和的性质：
（1）等差数列
na
中，连续m 项的和仍组成等差数列，即
1
2
1
2
2
,
,
m
m
m
m
a
a
a
a
a
a
2
1
2
2
3
m
m
m
a
a
a
,仍为等差数列（即
2
3
2
,
,
,
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
成等差数列）；
（2）等差数列
na
的前n 项和
2
1
1
1
=
=
,
2
2
2
n
n n
d
d
S
na
d
n
a
n
当
0
d
时，
n
S 可看作关于n 的
二次函数，且不含常数项；
（3）若等差数列
na
共有2n+1（奇数）项，则
1
1
=
=
,
n
S
n
S
S
a
S
n
奇
奇
偶
偶
中间项且
若等差数列
na
共
有2n（偶数）项，则
1
=
=
.
n
n
S
a
S
S
nd
S
a
偶
奇
偶
奇
且
7、等差数列前n 项和
n
S 的最值问题：
设等差数列
na
的首项为
1,
a 公差为d ，则
（1）
1
0
0
a
d
且
（即首正递减）时，
n
S 有最大值且
n
S 的最大值为所有非负数项之和；
（2）
1
0
0
a
d
且
（即首负递增）时，
n
S 有最小值且
n
S 的最小值为所有非正数项之和.
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三、等比数列
1、等比数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（
0
q
）.
即
1
n
n
a
q q
a
为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.
2、等比数列的通项公式：
设等比数列
na
的首项为
1a ，公比为q ，则通项公式为：
1
1
,
,
n
n m
n
m
a
a q
a q
n
m n
m
N
、
.
3、等比中项：
（1）若a
A b
、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且
2=
A
ab ;
（2）若数列
na
为等比数列，则
1
2
,
,
n
n
n
a a
a
成等比数列，即
1
na 是
na 与
2
na 的等比中项，且
2
1
2
=
n
n
n
a
a
a
；反之若数列
na
满足
2
1
2
=
n
n
n
a
a
a
，则数列
na
是等比数列.
4、等比数列的性质：
（1）等比数列
na
中，若
,
m
n
p
q m
n
p
q
N
、、、
则
m
n
p
q
a
a
a
a
，若
2
m
n
p
，则
2
m
n
p
a
a
a
；
（2）若数列
na
和
nb
均为等比数列，则数列
n
n
a
b
也为等比数列；
（3）等比数列
na
的首项为
1a ，公比为q ，则
1
1
0
0
1
0
1
n
a
a
a
q
q
或
为递增数列，
1
1
0
0
0
1
1
n
a
a
a
q
q
或
为递减数列，
1
n
q
a
为常数列.
5、等比数列的前n 项和：
（1）数列
na
的前n 项和
n
S =
1
2
3
1
,
n
n
a
a
a
a
a
n
N
；
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（2）数列
na
的通项与前n 项和
n
S 的关系：
1
1
,
1
.
,
2
n
n
n
S n
a
S
S
n
（3）设等比数列
na
的首项为
1a ，公比为
0
q q
，则
1
1
,
1
.
1
,
1
1
n
n
na q
S
a
q
q
q
由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知
1, , ,
,
n
n
a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两
个.
6、等比数列的前n 项和性质：
设等比数列
na
中，首项为
1a ，公比为
0
q q
，则
（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即
1
2
1
2
2
,
,
m
m
m
m
a
a
a
a
a
a
2
1
2
2
3
m
m
m
a
a
a
,
仍为等比数列（即
2
3
2
,
,
,
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
成等差数列）；
（2）当
1
q
时，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
a
q
a
a
a
a
a
S
q
q
q
q
q
q
q
q
q
，
设
1
1
a
t
q
，则
n
n
S
tq
t
.
四、递推数列求通项的方法总结
1、递推数列的概念：
一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把
由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.
2、两个恒等式：
对于任意的数列
na
恒有：
（1）
1
2
1
3
2
4
3
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
（2）
2
3
4
1
1
2
3
1
,
0,
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
n
N
a
a
a
a
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3、递推数列的类型以及求通项方法总结：
类型一（公式法）：已知
n
S （即
1
2
( )
n
a
a
a
f n
）求
na ，用作差法：
1
1
,(
1)
,(
2)
n
n
n
S
n
a
S
S
n
类型二（累加法）：已知：数列
na
的首项
1a ,且
1
,
n
n
a
a
f n
n
N
，求
na
通项
.
给递推公式
1
,
n
n
a
a
f n
n
N
中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1 个式子：
2
1
3
2
4
3
1
1 ,
2 ,
3 ,
,
1 .
n
n
a
a
f
a
a
f
a
a
f
a
a
f n
利用公式
1
2
1
3
2
4
3
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
可得：
1
1
2
3
1 .
na
a
f
f
f
f n
类型三（累乘法）：已知：数列
na
的首项
1a ,且
1
,
n
n
a
f n
n
N
a
，求
na
通项
.
给递推公式
1
,
n
n
a
f n
n
N
a
中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1 个式子：
2
3
4
1
2
3
1
1 ,
2 ,
3 ,
,
1 .
n
n
a
a
a
a
f
f
f
f n
a
a
a
a
利用公式
2
3
4
1
1
2
3
1
,
0,
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
n
N
a
a
a
a
可得：
1
1
2
3
1 .
na
a
f
f
f
f n
类型四（构造法）：形如
q
pa
a
n
n
1
、
n
n
n
q
pa
a
1
（
q
p
b
k
,
,
,
为常数）的递推数列都可以用待
定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求
na 。
①
q
pa
a
n
n
1
解法：把原递推公式转化为：
)
(
1
t
a
p
t
a
n
n
，其中
p
q
t
1
，再利用换
元法转化为等比数列求解。
②
n
n
n
q
pa
a
1
解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以
1
n
q
，得：
q
q
a
q
p
q
a
n
n
n
n
1
1
1
引入辅助数列
nb
（其中
n
n
n
q
a
b
），得：
q
b
q
p
b
n
n
1
1
再应用
q
pa
a
n
n
1
的方法解决。
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类型五（倒数法）：已知：数列
na
的首项
1a ,且
1
,
0,
n
n
n
pa
a
r
n
N
qa
r
，求
na
通项
.
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
pa
qa
r
r
q
r
q
a
qa
r
a
pa
a
pa
p
a
p a
p
设
1
1
1
1
,
.
n
n
n
n
b
b
a
a
则
1
n
n
r
q
b
b
p
p
，
若
,
r
p
则
1
1
=
n
n
n
n
q
q
b
b
b
b
p
p
，即数列
nb
是以q
p
为公差的等差数列.
若
,
r
p
则
1
n
n
r
q
b
b
p
p
（转换成类型四①）.
五、数列常用求和方法
1.公式法
直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.
2.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求
和而后相加减.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项和就变成了首尾少数项之和.
4.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子
1
2
1
n
n
n
S
a
a
a
a
的两边同乘以公比(
0
1)
q q
q
且
，得到
1
2
1
n
n
n
qS
a q
a q
a
q
a q
，
两式错位相减整理即可求出
n
S .
5、常用公式：
1、平方和公式：
2
2
2
2
1 2
1
1
2
1
6
n n
n
n
n
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2、立方和公式：
2
2
3
3
3
3
1
1
2
1
1
2
1
2
n n
n
n
n
n
3、裂项公式：
1
1
1
1
1
1
1
;
1
1
.
1
1
1
1
;
1
n n
n
n
n n
k
k
n
n
k
n
n
n
k
n
k
n
n
n
n
k
分式裂项：
根式裂项：
六、数列的应用
1、零存整取模型：
银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可
以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.
注：单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金×利率×
存期.以符号p 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,s 代表本金和利息和(即本利和),则有s=p(1+nr).
零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.
2、定期自动转存模型：
银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1 年期定期存款,1 年后,如果储户不
取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2 年的本金就是第1 年的本利和.
注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式
是:s=p(1+r)n.
定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.
3、分期付款模型：
分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,
二者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型.
采用分期付款的方法，购买售价为a 元的商品（或贷款a 元），，每期付款数相同，购买后1 个月（或
1 年）付款一次，如此下去，到第n 次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为b，按复利计算，那
么每期付款x 元满足下列关系：
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设第n 次还款后，本利欠款数为
na ，则
1
1
,
a
a
b
x
2
1
3
2
1
1
,
1
,
,
1
,
n
n
a
a
b
x a
a
b
x
a
a
b
x
由
1
1
1
1
n
n
n
n
x
x
a
a
b
x
a
b
a
b
b
知，
数列
n
x
a
b
是以
1
1
1
x
x
x
a
a
b
x
b
a
b
b
b
为首项，
1
q
b
为公比的等比数列.
1
1
1
1
1
n
n
n
x
x
x
a
a
q
b
a
b
b
b
b
1
,
n
x
a
b
b
1
n
n
x
x
a
a
b
b
b
.
令
0
na
得：
1
=0
n
x
x
a
b
b
b
，
1
1
1
n
n
ab
b
x
b
第三章：不等式
一、不等式的解法
1、不等式的同解原理：
原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；
原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同
解不等式；
原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得
不等式与原不等式是同解不等式。
2、一元二次不等式的解法：
一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。
二次函数
（
）
的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
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注意：
（1）一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
的两根
1
2
,
x x 是相应的不等式
2
0(
0)
ax
bx
c
a
的解集的
端点的取值，是抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
与x 轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二
次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3 ）解集分
0 ,
0 ,
三种情况，得到一元二次不等式
2
0(
0)
ax
bx
c
a
与
2
0(
0)
ax
bx
c
a
的解集。
3、一元高次不等式的解法：
解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴
标根法或列表法解之。
数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过”
4、分式不等式的解法：
（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。
（2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化：
0
0
0;
0
.
0
0
0
0;
0
.
0
f x
g x
f x
f x
f x
g x
g x
g x
g x
f x
g x
f x
f x
f x
g x
g x
g x
g x
5、指数、对数不等式的解法：
（1）
1
;
0
1
f x
g x
f x
g x
a
a
a
f x
g x
a
a
a
f x
g x
（2）
log
log
(
1)
0;
log
log
(0
1)
0
a
a
a
a
f x
g x
a
f x
g x
f x
g x
a
f x
g x
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6、含绝对值不等式的解法：
2
2
0
;
0
.
;
.
.
f x
a a
f x
a
f x
a
f x
a a
a
f x
a
f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
g x
f x
g x
f x
g x
f
x
g
x
或
或
对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。
二、基本不等式
1、基本不等式：
若
0
a
，
0
b
，则
2
a
b
ab
，当且仅当a
b
时，等号成立．
2
a
b
称为正数a 、b 的算术平均数，
ab 称为正数a 、b 的几何平均数．
变形应用：
2
0,
0
2
a
b
ab
a
b
，当且仅当a
b
时，等号成立．
2、基本不等式推广形式：
如果,a b
R
，则
2
2
2
a
b
≥
2
a
b
≥
ab ≥
2
1
1
a
b
，当且仅当a
b
时，等号成立．
3、基本不等式的应用：设x 、y 都为正数，则有：
⑴若x
y
s
（和为定值），则当x
y
时，积xy 取得最大值
2
4
s ．
⑵若xy
p
（积为定值），则当x
y
时，和x
y
取得最小值2
p ．
注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三相等”三个条件同时成立。
4、常用不等式：
2
2
2
2
2
,
2
2
2
a
b
R
a
b
ab
ab
a
b
a
b
若、
则
；
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三、简单的线性规划问题
1、二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）
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B＞0 时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的
下方
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对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系
数变形为正数
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当B＞0 时，①Ax+By+C＞0 表示直线Ax+By+C=0 上方的区域；②Ax+By+C＜0 表示直线Ax+By+C=0
下方的区域
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2、线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题
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满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义
域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解
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新疆生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划
问题
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3、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量x、y；
（2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t 为参数）；
（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案
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源头学子小屋
特级教师
王新敞
http://www.xjktyg.com/wxc/
wxckt@126.com
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高中数学选修1-1 知识点
第一章 常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ”
否命题：“若
p
，则
q
” 逆否命题：“若
q
，则
p
”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5、若p
q
，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
若p
q
，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若
B
A
，则A 是B 的充分条件或B 是A
的必要条件；若A=B，则A 是B 的充要条件；
6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p
q
；⑵或（or）：命题形式p
q
；
⑶非（not）：命题形式
p
.
p
q
p
q
p
q
p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；
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- 2 -
全称命题p：
)
(
,
x
p
M
x
； 全称命题p 的否定p：
)
(
,
x
p
M
x
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示；
特称命题p：
)
(
,
x
p
M
x
； 特称命题p 的否定p：
)
(
,
x
p
M
x
；
第二章 圆锥曲线
一、椭圆 ( )
1、平面内与两个定点
1
F ，
2
F 的距离之和等于常数（大于
1
2
F F
）的点的轨迹
称为椭圆．
即：
|)
|
2
(,
2
|
|
|
|
2
1
2
1
F
F
a
a
MF
MF
。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
范围
a
x
a
且b
y
b
b
x
b
且a
y
a
顶点
1
,0
a
、
2
,0
a
1 0, b
、
2 0,b
1 0, a
、
2 0,a
1
,0
b
、
2
,0
b
轴长
长轴的长
2a
短轴的长
2b
焦点
1
,0
F
c
、
2
,0
F c
1 0,
F
c
、
2 0,
F
c
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- 3 -
焦距
2
2
2
1
2
2
F F
c c
a
b
对称性
关于x 轴、y 轴、原点对称
离心率
2
2
1
0
1
c
b
e
e
a
a
3、e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆。
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2二、双曲线 ( )
1、平面内与两个定点
1
F ，
2
F 的距离之差的绝对值等于常数（小于
1
2
F F
）的
点的轨迹称为双曲线．即：
|)
|
2
(,
2
||
|
|
||
2
1
2
1
F
F
a
a
MF
MF
。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
范围
x
a
或x
a
，y
R
y
a
或y
a
，x
R
顶点
1
,0
a
、
2
,0
a
1 0, a
、
2 0,a
轴长
实轴的长
2a
虚轴的长
2b
焦点
1
,0
F
c
、
2
,0
F c
1 0,
F
c
、
2 0,
F
c
焦距
2
2
2
1
2
2
F F
c c
a
b
对称性
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
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离心率
2
2
1
1
c
b
e
e
a
a
渐近线方程
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线(a=b).
6、等轴双曲线的离心率
三、抛物线
1、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定
点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．
7、抛物线的几何性质：
标准方
程
2
2
y
px
0
p
2
2
y
px
0
p
2
2
x
py
0
p
2
2
x
py
0
p
图形
顶点
0,0
对称轴
x 轴
y 轴
焦点
准线方
程
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
离心率
1
e
范围
0
x
0
x
0
y
0
y
,0
2
p
F
,0
2
p
F
0, 2
p
F
0,
2
p
F
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- 5 -
8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为
抛物线的“通径”，即
2p
．
9、焦半径公式：
若点
0
0
,
x
y
在抛物线
2
2
0
y
px p
上，焦点为F ，则
0
2
p
F
x
；
若点
0
0
,
x
y
在抛物线
2
2
0
x
py p
上，焦点为F ，则
0
2
p
F
y
；
第三章 导数及其应用
1、函数
f x 从
1x 到
2x 的平均变化率：
2、导数定义：
f x 在点
0x 处的导数记作
x
x
f
x
x
f
x
f
y
x
x
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
0
；．
3、函数
y
f x
在点
0x 处的导数的几何意义是曲线
y
f x
在点
0
0
,
x
f x
处的切线的斜率．
4、常见函数的导数公式：
①
'
C
0
；
②
1
')
(
n
n
nx
x
；
③
x
x
cos
)
(sin
'
；
④
x
x
sin
)
(cos
'
；
⑤
a
a
a
x
x
ln
)
(
'
；
⑥
x
x
e
e
')
(
；
⑦
a
x
x
a
ln
1
)
(log
'
；
⑧
x
x
1
)
(ln
'
5、导数运算法则：
1
f x
g x
f
x
g
x
；
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2
f x
g x
f
x g x
f x g
x
；
3
2
0
f x
f
x g x
f x g
x
g x
g x
g x
．
6、在某个区间
,a b 内，若
0
f
x
，则函数
y
f x
在这个区间内单调递增；
若
0
f
x
，则函数
y
f x
在这个区间内单调递减．
7、求函数
的极值的方法是：解方程
．当
0
0
f
x
时：
1 如果在
0x 附近的左侧
0
f
x
，右侧
0
f
x
，那么
0
f x
是极大值（左增
右减）；
2 如果在
0x 附近的左侧
0
f
x
，右侧
0
f
x
，那么
0
f x
是极小值（左减
右增）．
8、① 注意极大值、极小值、极大值点和极小值点的区别；（极大值是一个函
数值，极大值点是一个点，包括横坐标和纵坐标）
② 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。
③ 导数为0 的点不一定是函数的极值点（例如：
），也就是说：函
数在某一点的导数为0 是函数在这一点取极值的必要条件而不是充分条件。
④ 同一个函数的极大值不一定比极小值大。（但是函数的最大值一定大于最
小值）
9、求函数
y
f x
在
,a b 上的最大值与最小值的步骤是：
1 求函数
y
f x
在
,a b 内的极值；
2 将函数
y
f x
的各极值与端点处的函数值
f a ，
f b 比较，其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。
y
f x
0
f
x
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高中数学选修1-2 知识点
第一章 统计案例
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
a
bx
y
（最小二乘法）
其中，
1
2
2
1
n
i
i
i
n
i
i
x y
nxy
b
x
nx
a
y
bx
注意：线性回归直线经过定点
)
,
(
y
x
.
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
y
y
x
x
y
y
x
x
r
1
1
2
2
1
)
(
)
(
)
)(
(
注：⑴r >0 时，变量
y
x, 正相关；r <0 时，变量
y
x, 负相关；
⑵①
|
| r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|
| r 接近
于0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率
对于任何两个事件A 和B，在已知B 发生的条件下，A 发生的概
率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P(A|B) , 其公式为P(A|B)
＝P（AB）
P（A）
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4 相互独立事件
(1)一般地，对于两个事件A，B，如果_ P(AB)＝P(A)P(B) ，则
称A、B 相互独立．
(2)如果A1，A2，…，A n 相互独立，则有P(A1A2…An)＝_ P(A1)P(A2)…
P(An).
(3)如果A，B 相互独立，则A 与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．
5．独立性检验（分类变量关系）：
(1)2×2 列联表
设
,
A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量
1
2
1
:
,
;
A A A
A
变量
1
2
1
:
,
;
B B B
B
通过观察得到下表所示数据：
并将形如此表的表格称为2×2 列联表．
(2)独立性检验
根据2×2 列联表中的数据判断两个变量A，B 是否独立的问题叫
2×2 列联表的独立性检验．
(3) 统计量χ2 的计算公式
χ2=
n（ad－bc）
2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
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第二章 推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推
理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事
物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某
些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能
是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比
得出的命题越可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三 数学归纳法:它是一个递推的数学论证方法.
步骤:A.命题在n=1（或
0n ）时成立，这是递推的基础；
B.假设在n=k 时命题成立
C.证明n=k+1 时命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=
0n ,且n
N
)结论都成立。
考点三 证明
1
反证法:
2
分析法:
3
综合法:
第三章 复数
1.(1) z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z z
2≥0；
(2) z=a+bi 是虚数b≠0(a,b∈R)；
(3) z=a+bi 是纯虚数a=0 且b≠0(a,b∈R)z＋z ＝0（z≠0）
z
2<0；
(4) a+bi=c+dia=c 且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算
设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
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(1) z 1±z2 = (a ± b)＋ (c± d)i；
(2) z1·z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
(3) z1÷z2 =
)
)(
(
)
)(
(
di
c
di
c
di
c
bi
a
i
d
c
ad
bc
d
c
bd
ac
2
2
2
2
(z2≠0) ;
3．几个重要的结论
(1)
i
i
2
)
1(
2
；
;
1
1
;
1
1
i
i
i
i
i
i
(2) i 性质：T=4；
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
3
4
2
4
1
4
4
,1
,
,1
；
;0
3
4
2
4
1
4
4
n
n
n
i
i
i
i
(3)
z
z
z
z
z
1
1
1
。
4．运算律：（1）
1
2
1
2
;(2)(
)
;(3)(
)
( ,
)
m
n
m n
m n
mn
m
m
m
z
z
z
z
z
z z
z z
m n
N
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高中数学选修2-1 知识点
第一章：命题与逻辑结构
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个
命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否
定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若
p
，则
q
”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否
定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否
命题。
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若
q
，则
p
”。
6、四种命题的真假性：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系：
1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若p
q
，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
若p
q
，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p
q
．
当p 、q 都是真命题时，p
q
是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p
q
是假命题．
用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p
q
．
当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p
q
是真命题；当p 、q 两个命题都是假
命题时，p
q
是假命题．
对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作
p
．
若p 是真命题，则
p
必是假命题；若p 是假命题，则
p
必是真命题．
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9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对中任意一个x ，有
p x 成立”，记作“ x
，
p x ”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在中的一个x ，使
p x 成立”，记作“ x
，
p x ”．
10、全称命题p ：
x
，
p x ，它的否定
p
：x
，
p x
。全称命题的否定
是特称命题。
特称命题p ：x
，
p x ，它的否定
p
：
x
，
p x
。特称命题的否定是全
称命题。
第二章：圆锥曲线
11、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化
①建立适当的直角坐标系；②设动点
,
M x y 及其他的点；③找出满足限制条件的等式；
④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。
12、平面内与两个定点
1
F ，
2
F 的距离之和等于常数（大于
1
2
F F
）的点的轨迹称为椭圆。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。
1
2
2
2
2
MF
MF
a
a
c
13、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
范围
a
x
a
且b
y
b
b
x
b
且a
y
a
顶点
1
,0
a
、
2
,0
a
1 0, b
、
2 0,b
1 0, a
、
2 0,a
1
,0
b
、
2
,0
b
轴长
短轴的长
2b
长轴的长
2a
焦点
1
,0
F
c
、
2
,0
F c
1 0,
F
c
、
2 0,
F
c
焦距
2
2
2
1
2
2
F F
c c
a
b
，a 最大
对称性
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
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离心率
2
2
1
0
1
c
b
e
e
a
a
准线方程
2
a
x
c
2
a
y
c
14、设是椭圆上任一点，点到
1F 对应准线的距离为
1d ，点到
2
F 对应准线的距离
为
2
d ，则
1
2
1
2
F
F
e
d
d
。
15、平面内与两个定点
1
F ，
2
F 的距离之差的绝对值等于常数（小于
1
2
F F
）的点的轨迹
称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。
1
2
2
2
2
MF
MF
a
a
c
16、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
范围
x
a
或x
a
，y
R
y
a
或y
a
，x
R
顶点
1
,0
a
、
2
,0
a
1 0, a
、
2 0,a
轴长
虚轴的长
2b
实轴的长
2a
焦点
1
,0
F
c
、
2
,0
F c
1 0,
F
c
、
2 0,
F
c
焦距
2
2
2
1
2
2
F F
c c
a
b
，c 最大
对称性
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
离心率
2
2
1
1
c
b
e
e
a
a
准线方程
2
a
x
c
2
a
y
c
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渐近线方程
b
y
x
a
a
y
x
b
17、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
18、设是双曲线上任一点，点到
1F 对应准线的距离为
1d ，点到
2
F 对应准线的距
离为
2
d ，则
1
2
1
2
F
F
e
d
d
。
18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为
抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．
19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的
“通径”，即
2p
．
20、焦半径公式：
若点
0
0
,
x
y
在抛物线
2
2
0
y
px p
上，焦点为F ，则
0
2
p
F
x
；
若点
0
0
,
x
y
在抛物线
2
2
0
y
px p
上，焦点为F ，则
0
2
p
F
x
；
若点
0
0
,
x
y
在抛物线
2
2
0
x
py p
上，焦点为F ，则
0
2
p
F
y
；
若点
0
0
,
x
y
在抛物线
2
2
0
x
py p
上，焦点为F ，则
0
2
p
F
y
．
21、抛物线的几何性质：
标准方程
2
2
y
px
0
p
2
2
y
px
0
p
2
2
x
py
0
p
2
2
x
py
0
p
图形
顶点
0,0
对称轴
x 轴
y 轴
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焦点
,0
2
p
F
,0
2
p
F
0, 2
p
F
0,
2
p
F
准线方程
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
离心率
1
e
范围
0
x
0
x
0
y
0
y
第三章：空间向量
1、空间向量的概念：
1 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
2 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示
向量的方向．
3 向量的大小称为向量的模（或长度），记作．
4 模（或长度）为0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．
5 与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a
．
6 方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
1 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行
四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已
知向量a 、b 为邻边作平行四边形
C
，则以起
点的对角线
C
就是a 与b 的和，这种求向量和的方
法，称为向量加法的平行四边形法则．
2 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角
形法则．即：在空间任取一点，作
a
，
b
，
则
a
b
．
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3、实数与空间向量a 的乘积a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
0
时，a
与
a 方向相同；当
0
时，a
与a 方向相反；当
0
时，a
为零向量，记为0 ．a
的
长度是a 的长度的倍．
4、设，为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律：
a
b
a
b
；结合律：
a
a
．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行
向量，并规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，
0
b b
，
//
a
b 的充要条件是存在
实数，使a
b
．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：空间一点位于平面
C
内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使
x
y C
；或对空间任一定点，有
x
y C
；或若四点，，
，C 共面，则
1
x
y
z C x
y
z
．
9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点，作
a
，
b
，则称为
向量a ，b 的夹角，记作
,a b
．两个向量夹角的取值范围是：
,
0,
a b
．
10、对于两个非零向量a 和b ，若
,
2
a b
，则向量a ，b 互相垂直，记作a
b
．
11、已知两个非零向量a 和b ，则
cos
,
a b
a b
称为a ，b 的数量积，记作a b
．即
cos
,
a b
a b
a b
．零向量与任何向量的数量积为0 ．
12、a b
等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影
cos
,
b
a b
的乘积．
13 若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有
1
cos
,
e a
a e
a
a e
；
2
0
a
b
a b
；
3
a b a
b
a b
a b a
b
与同向
与反向
，
2
a a
a
，a
a a
；
4 cos
,
a b
a b
a b
；
5
a b
a b
．
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14 量数乘积的运算律：
1 a b
b a
；
2
a
b
a b
a
b
；
3
a
b
c
a c
b c
．
15、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数
组
, ,
x y z ，使得p
xa
yb
zc
．
16、三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是
, , ,
p p
xa
yb
zc x y z
R
．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，
, ,
a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以
构成空间的一个基底．
17、设
1e ，
2e ，
3e 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），
以
1e ，
2e ，
3e 的公共起点为原点，分别以
1e ，
2e ，
3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正
方向建立空间直角坐标系
xyz
．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的
起点与原点重合，得到向量
p
．存在有序实数组
, ,
x y z
，使得
1
2
3
p
x e
y e
z
．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底
1e ，
2e ，
3e 下的坐标，记
作
, ,
p
x y z
．此时，向量p 的坐标是点在空间直角坐标系
xyz
中的坐标
, ,
x y z ．
18、设
1
1
1
,
,
a
x y z
，
2
2
2
,
,
b
x
y z
，则
1
1
2
1
2
1
2
,
,
a
b
x
x
y
y z
z
．
2
1
2
1
2
1
2
,
,
a
b
x
x
y
y z
z
．
3
1
1
1
,
,
a
x
y
z
．
4
1
2
1
2
1 2
a b
x x
y y
z z
．
5 若a 、b 为非零向量，则
1 2
1
2
1 2
0
0
a
b
a b
x x
y y
z z
．
6 若
0
b
，则
1
2
1
2
1
2
//
,
,
a
b
a
b
x
x
y
y z
z
．
7
2
2
2
1
1
1
a
a a
x
y
z
．
8
1
2
1
2
1 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
cos
,
x x
y y
z z
a b
a b
a b
x
y
z
x
y
z
．
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9
1
1
1
,
,
x y z
，
2
2
2
,
,
x
y z
，则
2
2
2
2
1
2
1
2
1
d
x
x
y
y
z
z
．
19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表
示．向量称为点的位置向量．
20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点以及一个定方向确定．点是直线
l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点，有
ta
，这样
点和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．
21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点
，它们的方向向量分别为a ，b ．为平面上任意一点，存在有序实数对
,x y ，使
得
xa
yb
，这样点与向量a ，b 就确定了平面的位置．
22、直线l 垂直，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面的法向量．
23、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则//
//
a
b
a
b
a
b
R
，
0
a
b
a
b
a b
．
24、若直线a 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，且a
，则
//
//
a
a
0
a
n
a n
，
//
a
a
a
n
a
n
．
25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a ，b ，则
//
//
a
b
a
b
，
0
a
b
a b
．
26、设异面直线a ，b 的夹角为，方向向量为a ，b ，其夹角为，则有
cos
cos
a b
a b
．
27、设直线l 的方向向量为l ，平面的法向量为n ，l 与所成的角为，l 与n 的夹角
为，则有sin
cos
l n
l n
．
28、设
1n ，
2n 是二面角
l
的两个面，的法向量，则向量
1n ，
2n 的夹角（或其
补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角
l
的平面角为，则
1
2
1
2
cos
n n
n n
．
29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．
30、在直线l 上找一点，过定点且垂直于直线l 的向量为n ，则定点到直线l 的距离
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为
cos
,
n
d
n
n
．
31、点是平面外一点，是平面内的一定点，n 为平面的一个法向量，则点到
平面的距离为
cos
,
n
d
n
n
．
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高中数学选修2-2 知识点
第一章
导数及其应用
一．
导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数
( )
y
f x
在
0
x
x
处的瞬时变化率是
0
0
0
(
)
(
)
lim
x
f x
x
f x
x
，
我们称它为函数
( )
y
f x
在
0
x
x
处的导数，记作
0
(
)
f
x
或
0
|x x
y
，
即
0
(
)
f
x
=
0
0
0
(
)
(
)
lim
x
f x
x
f x
x
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点
nP 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易
知道，割线
n
PP 的斜率是
0
0
(
)
(
)
n
n
n
f x
f x
k
x
x
，当点
nP 趋近于P 时，函数
( )
y
f x
在
0
x
x
处的导
数就是切线PT 的斜率k，即
0
0
0
0
(
)
(
)
lim
(
)
n
x
n
f x
f x
k
f
x
x
x
3. 导函数：当x 变化时，
( )
f
x
便是x 的一个函数，我们称它为
( )
f x 的导函数.
( )
y
f x
的导函数有
时也记作y,即
0
(
)
( )
( )
lim
x
f x
x
f x
f
x
x
二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
1 若
( )
f x
c
(c 为常数)，则
( )
0
f
x
；
2 若
( )
f x
x
,则
1
( )
f
x
x
;
3 若
( )
sin
f x
x
,则
( )
cos
f
x
x
4 若
( )
cos
f x
x
,则
( )
sin
f
x
x
;
5 若
( )
x
f x
a
,则
( )
ln
x
f
x
a
a
6 若
( )
x
f x
e
,则
( )
x
f
x
e
7 若
( )
logx
a
f x
,则
1
( )
ln
f
x
x
a
8 若
( )
ln
f x
x
,则
1
( )
f
x
x
2）导数的运算法则
1. [ ( )
( )]
( )
( )
f x
g x
f
x
g x
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2. [ ( )
( )]
( )
( )
( )
( )
f x
g x
f
x
g x
f x
g x
3.
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
[ ( )]
f x
f
x
g x
f x
g x
g x
g x
3）复合函数求导
( )
y
f u
和
( )
u
g x
,称则y 可以表示成为x 的函数,即
( ( ))
y
f g x
为一个复合函数
( ( ))
( )
y
f
g x
g x
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间( , )
a b 内，如果
( )
0
f
x
，那么函数
( )
y
f x
在这个区间单调递增；
如果
( )
0
f
x
，那么函数
( )
y
f x
在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
( )
y
f x
的极值的方法是:
(1) 如果在
0x 附近的左侧
( )
0
f
x
,右侧
( )
0
f
x
,那么
0
(
)
f x
是极大值;
(2) 如果在
0x 附近的左侧
( )
0
f
x
,右侧
( )
0
f
x
,那么
0
(
)
f x
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
( )
y
f x
在[ , ]
a b 上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数
( )
y
f x
在( , )
a b 内的极值；
（2） 将函数
( )
y
f x
的各极值与端点处的函数值
( )
f a ，
( )
f b 比较，其中最大的是一个最大值，最
小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章 推理与证明
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
证明（视题目要求，可有可无）.
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2、类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推
理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后
提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”，包括
⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证
明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判
定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证
明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值
*
0
0
(
)
n n
N
时命题成立；
（2）（归纳递推）假设
*
0
(
,
)
n
k k
n
k
N
时命题成立，推证当
1
n
k
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从
0n 开始的所有正整数n 都成立.
第三章 数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念
(1) 复数:形如
(
,
)
a
bi a
R b
R
的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数
(
,
)
a
bi a
R b
R
中,当
0
b
,就是实数;
0
b
,叫做虚数;当
0,
0
a
b
时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
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(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2．相关公式
⑴
d
c
b
a
di
c
bi
a
且
,
⑵
0
0
b
a
bi
a
⑶
2
2
b
a
bi
a
z
⑷z
a
bi
z
z，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
3．复数运算
⑴复数加减法：
i
d
b
c
a
di
c
bi
a
；
⑵复数的乘法：
a
bi
c
di
ac
bd
bc
ad i
；
⑶复数的除法：
a
bi
c
di
a
bi
c
di
c
di
c
di
2
2
2
2
2
2
ac
bd
bc
ad i
ac
bd
bc
ad i
c
d
c
d
c
d
（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化）
4.常见的运算规律
(1)
;
(2)
2 ,
2 ;
z
z
z
z
a z
z
bi
2
2
2
2
(3)
;(4)
;(5)
z z
z
z
a
b
z
z
z
z
z
R
4
1
4
2
4
3
4
4
(6)
,
1,
,
1;
n
n
n
n
i
i i
i
i i
2
2
1
1
1
(7) 1
;(8)
,
,
1
1
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
)
9
(
设
2
3
1
i
是1 的立方虚根，则
0
1
2
，
1
,
,
3
3
2
3
1
3
n
n
n
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高中数学选修2-3 知识点
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数与分步乘法计数
分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有m 种不同
的方法，在第2 类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不
同的方法。分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。做第1 步有m 种不同的方法，
做第2 步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n 种不同的方法。分步
要做到“步骤完整”。
n 元集合A={a1，a2⋯，an}的不同子集有2n 个。
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不
同元素中取出m 个元素的排列数，用符号An
m表示。
排列数公式：
n 个元素的全排列数
规定：0!=1
1.2.2 组合
一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同
元素中取出m 个元素的一个组合(combination)。
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个
不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号Cn
m或(n
m)表示。
组合数公式：
∵ An
m = Cn
m ∙Am
m
An
m =
n!
(n −m)! = n(n −1)(n −2) ⋯(n −m + 1)
An
n = n!
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∴
规定：𝐂𝐧
𝟎= 𝟏
组合数的性质：
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理(binomial theorem)
*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！
(1) 对称性
(2) 当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项Cn
n
2+1取得最大值；
当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项Cn
n−1
2 ，Cn
n+1
2 同时取得最大值。
(3) 各二项式系数的和为
2n = Cn
0 + Cn
1 + Cn
2 + ⋯+ Cn
k + ⋯+ Cn
n
Cn
m = An
m
Am
m =
n!
m! (n −m)! = n(n −1)(n −2) ⋯(n −m + 1)
m!
kCn
k = nCn−1
k−1
Cn
m = Cn
n−m (“构建组合意义”——“殊途同归”)
Cn+1
m
= Cn
m + Cn
m−1 （杨辉三角）
*Cn
k × Cn−k
m−k = Cn
m × Cm
k
Tk+1 = Cn
kan−kbk
(a + b)n = Cn
0an + Cn
1an−1b + ⋯+ Cn
kan−kbk + ⋯+ Cn
nbn (n∈N*)
其中各项的系数Cn
k (k∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；
式中的Cn
kan−kbk叫做二项展开式的通项，用Tk+1 表示通项展开式的第k+1 项：
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(4) 二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：
Cn
0 + Cn
2 + Cn
4 + ⋯= Cn
1 + Cn
3 + Cn
5 + ⋯
(5) 一般地，
Cr
r + Cr+1
r
+ Cr+2
r
+ ⋯+ Cn−1
r
= Cn
r+1 (n > 𝑟)
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布
2.1.1 离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数
把实数映为实数。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相
当于函数的值域。
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(discrete random
variable)。
概率分布列(probability distribution series)，简称为分布列(distribution series)。
X
x1
x2
⋯
xi
⋯
xn
P
p1
p2
⋯
pi
⋯
pn
也可用等式表示：
P(X = xi) = pi ，i = 1，2，⋯，n
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
(1) pi≥0，i=1，2，⋯，n；
(2) ∑
pi
n
i=1
= 1
随机变量X 的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation)：
E(X) = x1p1 + x2p2 + ⋯+ xipi + ⋯xnpn
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
随机变量X 的方差(variance)刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程度
D(X) = ∑(xi −E(X))2pi
n
i=1
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其算术平方根√D(X)为随机变量X 的标准差(standard deviation)。
E(aX + b) = aE(X) + b
D(aX + b) = a2D(X)
若随机变量X 的分布具有下表的形式，则称X 服从两点分布(two-point
distribution)，并称p=P(X=1)为成功概率。(两点分布又称0-1 分布。由于只有两
个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以两点分布又叫伯努利分布)
X
0
1
P
1-p
p
若X 服从两点分布，则E(X) = p ，D(X) = p(1 −p)
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则
𝐏(𝐗= k) =
CM
k CN−M
n−k
CN
n
，k=0，1，2，⋯，m
X
0
1
⋯
m
P
CM
0 CN−M
n−0
CN
n
CM
1 CN−M
n−1
CN
n
⋯
CM
mCN−M
n−m
CN
n
其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*
如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布
(hypergeometric distribution)。
2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
一般地，设A，B 为两个事件，且P(A)>0，称
P(B|A) = P(AB)
P(A)
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率(conditional probability)。
如果B 和C 是两个互斥事件，则
P(B ∪C|A) = P(B|A) + P(C|A)
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2.2.2 事件的相互独立性
设A，B 为两个事件，若
P(AB) = P(A)P(B)
则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)。
可以证明，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与𝐁̅，𝐀̅与B，𝐀̅与𝐁̅也都相互独立。
2.2.3 独立重复试验与二项分布
一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验(independent
and repeated trials)。
P(A1A2 ⋯An) = P(A1)P(A2) ⋯P(An)
其中Ai (i=1，2，⋯，n)是第i 次试验的结果。
一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验
中事件A 发生的概率为p，则
P(X = k) = Cn
kpk(1 −p)n−k ， k = 0，1，2，⋯，n
此时称随机变量X 服从二项分布(binomial distribution)，记作X~B(n，p)，并称p
为成功概率。
若X~B(n，p) ，则
E(X) = ∑kCn
kpkqn−k
n
k=0
= ∑npCn−1
k−1pk−1qn−1−(k−1)
n
k=1
= np ∑Cn−1
k
pkqn−1−k
n−1
k=0
= np(p + q)n−1 = np
D(X) = np(1 −p)
*随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样
本的平均值是随机变量。
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的
方差是随机变量。
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2.4 正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b (a<b)，随机变量X 满足
φμ，σ(x) =
1
√2πσ
e−(x−μ)2
2σ2 ，x ∈（−∞，+ ∞）
P(a < 𝑋≤𝑏) = ∫φμ，σ(x) dx
b
a
则称随机变量X 服从正态分布(normal distribution)。正态分布完全由参数μ 和σ
确定，记作N(μ，σ2)。如果随机变量X 服从正态分布，则记为X~ N(μ，σ2).
φμ，σ(x)的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
(参数μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计；σ
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可用样本的标准差去估计。)
标准正态分布：X~N(0，1)
经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作
用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。
正态曲线的特点：
(1) 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；
(2) 曲线是单峰的，它关于直线x= μ 对称；
(3) 曲线在x=μ 处达到峰值
1
σ√2π ；
(4) 曲线与x 轴之间的面积为1。
*σ 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，
表示总体分布越分散；
若X~ N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，
P(μ −a < 𝑋≤𝜇+ 𝑎) = ∫
φμ，σ(x) dx
μ+a
μ−a
该面积随着σ 的减少而变大。这说明σ 越小，X 落在区间(μ −a，μ + a]的
概率越大，即X 集中在μ 周围概率越大。
特别有
P(μ −σ < 𝑋≤𝜇+ σ) = 0.6826
P(μ −2σ < 𝑋≤𝜇+ 2σ) = 0.9544
P(μ −3σ < 𝑋≤𝜇+ 3σ) = 0.9974
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在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取
(μ −3σ < 𝑋≤𝜇+ 3σ)之间的值，并简称之为𝟑𝛔原则。
第三章
统计案例
3.1 回归分析的基本思想
回归分析(regression analysis)是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种
常用方法。
对于一组具有线性相关关系的数据 (x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(xn，yn)
{
b̂ =
∑
(xi−x̅)(yi
n
i=1
−y̅)
∑
(xi−x̅)2
n
i=1
=
∑
xiyi
n
i=1
−nx̅y̅
∑
xi
2
n
i=1
−nx̅2
â = y̅ −b̂x̅
其中x̅ =
1
n ∑
xi
n
i=1
，y̅ =
1
n ∑
yi
n
i=1
，(x̅，y̅)称为样本点的中心，回归直线过样
本点的中心。
回归方程：ŷ = b̂x + â
线性回归模型：
{
y = bx + a + e
E(e) = 0，D(e) = σ2
其中a 和b 为模型的未知参数，e 是y 与bx+a 之间的误差。通常e 为随机变
量，称为随机误差(random error)。
与函数关系不同，在回归模型中，y 的值由x 和随机因素e 共同确定，即x
只能解释部分y 的变化，因此我们把x 称为解释变量，把y 称为预报变量。
随机误差e 的方差σ2越小，用bx+a 预报真实值y 的精度越高。随机误差是
引起预报值𝐲̂与真实值y 之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方
差。
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另一方面，b̂和â为斜率和截距的估计值，它们与真实值a 和b 之间也存在误
差，这种误差是引起预报值ŷ与真实值y 之间存在误差的另一个原因。
由于随机误差 e = y −(bx + a)，所以ê = y −ŷ是e 的估计量。
对于样本点
(x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(xn，yn)
它们的随机误差为
ei = yi −bxi −a，i = 1，2，⋯，n
其估计值为
eî = yi −yî = yi −b̂xi −â，i = 1，2，⋯，n
eî称为相应于点(xi，yi)的残差(residual)。
可以通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果。
以样本编号为横坐标，残差为纵坐标，可作出残差图。
检查残差较大的样本点，确认采集该样本点过程中是否有人为错误，如有，应予
以纠正，再重新利用线性回归模型拟合数据；如没有，则需寻找其它原因。
另外，对于已经获取的样本数据，
R2 = 1 −
∑
(yi −yî)2
n
i=1
∑
(yi −y̅)2
n
i=1
中的∑
(yi −y̅)2
n
i=1
为确定的数。因此R2越大，意味着残差平方和∑
(yi −yî)2
n
i=1
越
小，即模型拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型拟合效果越差。
R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越
好。
一般地，建立回归模型的基本步骤：
(1) 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
(2) 画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关
系等)
(3) 有经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归
方程)
(4) 按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数；
(5) 得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随
机的规律性等)。若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
回归模型的适用范围：
(1) 回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；
(2) 我们所建立的回归方程一般都有时间性；
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(3) 样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
(4) 不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。
一般地，比较两个函数模型的拟合程度的步骤如下：
(1) 分别建立对应于两个模型的回归方程y1̂ = f(x，â)与y2̂ = g(x，b̂) ，其中â和b̂
分别是参数a 和b 的估计值
(2) 分别计算两个模型的R2 值
(3) 若R1
2 > R2
2 ，则模型1 比模型2 拟合效果更好；若R1
2 < R2
2 ，则模型2 比模
型1 拟合效果更好。
3.2 独立性检验的基本思想
不同的“值”表示不同类别的变量叫做分类变量。列出两个分类变量的频数表称
为列联表(contingency table)。常用等高条形图展示列联表数据的频率特征。
利用随机变量K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验(test of
independence)。
反证法原理与独立性检验原理的比较
反证法原理
在假设H0 下，如果推出一个矛盾，就证明了H0 不成立
独立性检验原理
在假设H0 下，如果出现一个与H0 相矛盾的小概率事件，就推
断H0 不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率
一般地，假设有两个分类变量X 和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其
样本频数列联表(称为2×2 列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
假设H0： X 与Y 没有关系，即X 与Y 独立。
则有P(XY)=P(X)P(Y) ；
根据频率近似于概率，故有
a
a + b + c + d ≈
a + b
a + b + c + d ×
a + c
a + b + c + d
化简得 ad ≈bc
因此，|ad −bc|越小，两者关系越弱；|ad −bc|越大，两者关系越强；
基于以上分析，构造随机变量
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K2 =
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中n = a + b + c + d为样本容量
K2 的值越小则关系越小，K2 的值越大则关系越大。(实际应用中通常要求a，b，
c，d 都不小于5)
计算K2 的观测值k 并与K2 作比较。
统计学研究发现，在H0 成立的情况下，
P(K2 ≥6.635) = 0.01
即在H0 成立的情况下，K2 的观测值超过6.635 的概率非常小，近似为0.01，是
一个小概率事件。
若观测值k 大于6.635，则有理由判定H0 不成立，即“X 与Y 有关系”。但这种
判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01 .
*(这里概率计算的前提是H0 成立，即H0：两个分类变量没有关系)
若要推断的论述为H1：“X 与Y 有关系”。可以通过频率直观地判断两个条件概率
P(Y=y1|X=x1)和P(Y=y1|X=x2)是否相等。如果判断它们相等，就意味着X 和Y 没有
关系；否则就认为它们有关系。由上表可知，在X=x1 的情况下，Y=y1 的频率为
a
a+b ；
在X=x2 的情况下，Y=y1 的频率为
c
c+d 。因此，如果通过直接计算或等高条形图
发现
a
a+b和
c
c+d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系。
利用独立性检验原理可以进一步给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率。
具体做法是：
(1) 根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上
界α ，然后查下表确定临界值k0.
P(K2 ≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025 0.010 0.005
0.001
k0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
10.828
(2) 利用公式计算随机变量K2 的观测值k.
(3) 如果K2 的观测值k 大于判断规则的临界值k0，即k≥k0，就推断“X 与Y 有关
系”，这种推断犯错误的概率不超过α ；否则，就认为在犯错误的概率不超
过α 的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证
据支持结论“X 与Y 有关系”。
按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量
之间有关系”的概率不超过P(K2 ≥k0).
定义：
W = |
a
a + b −
c
c + d|
则
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K2 = W2 × n(a + b)(c + d)
(a + c)(b + d)
若“X 和Y 没有关系”则有
P(K2 ≥k0) = 0.01
有K2 ≥k0可推出
W ≥√k0 ×
(a + c)(b + d)
n(a + b)(c + d)
即可取
w0 = √k0 × (a + c)(b + d)
n(a + b)(c + d)
于是有以下判断规则：
当W 的观测值w > w0时，就判断“X 和Y 有关系” ；否则，判断“X 和Y 没有
关系”。这里w0为正实数，且满足在“X 和Y 没有关系”的前提下
P(W2 ≥w0) = 0.01
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高中数学选修44
坐标系与参数方程知识点总结
第一讲
一
平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以
建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系：
①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称
为直角坐标系；
②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为
两条数轴的正方向；
③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y
轴统称为坐标轴；
④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；
⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．
(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2
的中点为P，填表：
两点间的距离公式
中点P 的坐标公式
|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2
x＝x1＋x2
2
y＝y1＋y2
2
2.平面直角坐标系中的伸缩变换
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设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
x′＝λx（λ>0）
y′＝μy（μ>0）
的作用下，
点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二
极坐标系
(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选
定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立
了一个极坐标系．
(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
(3)图示
2．极坐标
(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，
记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，
θ)叫做点M 的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，
θ)，(θ∈R)，若点M 的极坐标是M(ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，
(k∈Z)．
若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一
对应关系．
3．极坐标与直角坐标的互化公式
如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，
设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
(1)极坐标化直角坐标
x＝ρcos θ，
y＝ρsin θＷ.
(2)直角坐标化极坐标
ρ2＝x2＋y2，
tan θ＝y
x（x≠0）.
三
简单曲线的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程
f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C 上，那么方程f(ρ，θ)＝0 叫做
曲线C 的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程
(1)特殊情形如下表：
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圆心位置
极坐标方程
图
形
圆心在极点(0，0)
ρ＝r
(0≤θ<2π)
圆心在点(r，0)
ρ＝2rcos_θ
(－π
2
≤θ<π
2
)
圆心在点(r，π
2
)
ρ＝2rsin_θ
(0≤θ<π)
圆心在点(r，π)
ρ＝－2rcos_θ
(π
2
≤θ<3π
2
)
圆心在点(r，3π
2
)
ρ＝－2rsin_θ
(－π<θ≤0)
(2)一般情形：设圆心C(ρ0，θ0)，半径为r，M(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM|＝r，
∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0
即
)
cos(
2
0
0
2
0
2
2
r
3．直线的极坐标方程
(1)特殊情形如下表：
直线位置
极坐标方程
图
形
过极点，倾斜角为α
(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R)
(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)
过点(a，0)，且与极轴
垂直
ρcos_θ＝a
－π
2
<θ<π
2
过点a，π
2 ，且与极轴
平行
ρsin_θ＝a
(0<θ<π)
过点(a，0)倾斜角为α
ρsin(α－θ)＝asin α
(0<θ<π)
(2)一般情形，设直线l 过点P(ρ0，θ0)，倾斜角为α，M(ρ，θ)为直线l 上的动点，则在
△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为
ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．
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四
柱坐标系与球坐标系简介（了解）
1．柱坐标系
(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面
上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P的
位置可用有序数组（ρ，θ，z）(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，
z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)
叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．
(2)空间点P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
x＝ρcos θ
y＝ρsin θ
z＝z
．
2．球坐标系
(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P 是空间任意一点，连接OP，记
|OP|＝r，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q，Ox 轴按逆时针方
向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示，
这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的
坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作
P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．
(2)空间点P
的直
角坐标(x，y，z)
与球
坐标(r，φ，θ)
之间
的变换公式为
x＝rsin φcos θ
y＝rsin φsin θ
z＝rcos φ
．
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第二讲：
一
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
1．参数方程的概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变
数t 的函数：
x＝f（t）
y＝g（t）
①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)
都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y 的变数t 叫做参
变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
(2)参数的意义：参数是联系变数x，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，
也可以是没有明显实际意义的变数．
2．参数方程与普通方程的区别与联系
(1)区别：普通方程F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x，y 之间的关系，它含有
x，y 两个变量；参数方程
x＝f（t）
y＝g（t）
(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y 之间的关系，
它含有三个变量t，x，y，其中x 和y 都是参数t 的函数．
(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一
个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对
应的x，y 的值．
这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引
入参数，也可把普通方程化为参数方程．
2．圆的参数方程
1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程
如图圆O 与x 轴正半轴交点M0(r，0)．
(1)设M(x，y)为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数
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方程是
x＝rcos θ
y＝rsin θ
(θ为参数)．
其中参数θ的几何意义是OM0 绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．
(2)设动点M 在圆上从M0 点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM0 经
过时间t 转过的角θ＝ωt，则以t 为参数的圆O 的参数方程为
x＝rcos ωt
y＝rsin ωt
(t 为参数)．
其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．
2．圆心为C(a，b)，半径为r 的圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐
标平移得到，所以其参数方程为
x＝a＋rcos θ，
y＝b＋rsin θ
(θ为参数)．
3．参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同
形式，两种方程是等价的可以互相转化．
(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数
就可得到普通方程．
(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x，y 中的一个与参数t 的关系，例如x＝f(t)，
其次将x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，则
x＝f（t）
y＝g（t）
(t 为参数)就是曲线的参数方程．
(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致．
二
圆锥曲线的参数方程
1．椭圆的参数方程
椭圆的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的参数方程是
x＝acos φ
y＝bsin φ
(φ是参
数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．
(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)的参数方程是
x＝bcos φ
y＝asin φ
(φ是参
数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．
(3)中心在(h，k)的椭圆普通方程为（x－h）2
a2
＋（y－k）2
b2
＝1，则其参数方程为
x＝h＋acos φ
y＝k＋bsin φ
(φ是参数)．
2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x2
a2－y2
b2＝1 的参数方程是
x＝asec φ
y＝btan φ
(φ为参数)，
规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π
2
，φ≠3π
2
．
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(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2
a2－x2
b2＝1 的参数方程是
x＝btan φ
y＝asec φ
(φ为参数)．
2．抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2
y＝2pt
(t 为参数)．
(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
三
直线的参数方程
1．直线的参数方程
经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α
y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．
2．直线的参数方程中参数t 的几何意义
(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M0 的距离．
(2)当M0M
→与e(直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M0M
→与e 反向时，t 取负数，
当M 与M0 重合时，t＝0．
3．直线参数方程的其他形式
对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点
M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线，选取参数t＝M0M 得到的参数方程
x＝x0＋tcos α
y＝y0＋tsin α
(t 为参数)
称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．
一般地，过点M0(x0，y0)，斜率k＝b
a(a，b 为常数)的直线，参数方程为
x＝x0＋at
y＝y0＋bt
(t 为参
数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．
四
渐开线与摆线（了解）
1．渐开线的概念及参数方程
(1)渐开线的产生过程及定义
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持
绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
(2)圆的渐开线的参数方程
以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半
径为r，绳子外端M 的坐标为(x，y)，则有
x＝r（cos φ＋φsin φ），
y＝r（sin φ－φcosφ）
(φ是参数)．这就是圆
的渐开线的参数方程．
2．摆线的概念及参数方程
(1)摆线的产生过程及定义
平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫
做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．
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(2)半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为
x＝r（φ－sin φ），
y＝r（1－cos φ）
(φ是参数)．
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高中数学选修4-5 知识点
不等式选讲
1、不等式的基本性质
①（对称性）a
b
b
a
②（传递性）
,
a
b b
c
a
c
③（可加性）a
b
a
c
b
c
（同向可加性）
d
b
c
a
d
c
b
a
,
（异向可减性）
d
b
c
a
d
c
b
a
,
④（可积性）
bc
ac
c
b
a
0
,
bc
ac
c
b
a
0
,
⑤（同向正数可乘性）
0,
0
a
b
c
d
ac
bd
（异向正数可除性）
0,0
a
b
a
b
c
d
c
d
⑥（平方法则）
0
(
,
1)
n
n
a
b
a
b n
N
n
且
⑦（开方法则）
0
(
,
1)
n
n
a
b
a
b n
N
n
且
⑧（倒数法则）
b
a
b
a
b
a
b
a
1
1
0
;
1
1
0
2、几个重要不等式
①
2
2
2
a
b
ab a
b
R
，
,（当且仅当a
b
时取"
"
号）. 变形公式：
2
2
.
2
a
b
ab
②（基本不等式）
2
a
b
ab
a
b
R
，
,（当且仅当a
b
时取到等号）.
变形公式：
2
a
b
a b
2
.
2
a
b
ab
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
3
3
a
b
c
abc
(
)
a
b
c
R
、、
（当且仅当
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a
b
c
时取到等号）.
④
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ca a
b
R
，
（当且仅当a
b
c
时取到等号）.
⑤
3
3
3
3
(
0,
0,
0)
a
b
c
abc a
b
c
（当且仅当a
b
c
时取到等号）.
⑥
0,
2
b
a
ab
a
b
若
则
（当仅当a=b 时取等号）
0,
2
b
a
ab
a
b
若
则
（当仅当a=b 时取等号）
⑦
b
a
n
b
n
a
m
a
m
b
a
b
1
，（其中
0
0
0)
a
b
m
n
，
，
规律：小于1 同加则变大，大于1 同加则变小.
⑧
2
2
0
;
a
x
a
x
a
x
a
x
a
当
时，
或
2
2
.
x
a
x
a
a
x
a
⑨绝对值三角不等式
.
a
b
a
b
a
b
3、几个著名不等式
①平均不等式：
2
2
1
1
2
2
2
a
b
a
b
ab
a
b
，,a b
R
（
，当且仅当a
b
时取"
"
号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：
2
2
2
;
2
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
(
) .
2
a
b
a
b
②幂平均不等式：
2
2
2
2
1
2
1
2
1
...
(
...
) .
n
n
a
a
a
a
a
a
n
③二维形式的三角不等式：
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
x
y
x
y
x
x
y
y
1
1
2
2
( ,
,
,
).
x y x
y
R
④二维形式的柯西不等式：
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2
2
2
2
2
(
)(
)
(
) ( , , ,
).
a
b
c
d
ac
bd
a b c d
R
当且仅当ad
bc
时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 1
2 2
3 3
(
)(
)
(
) .
a
a
a
b
b
b
a b
a b
a b
⑥一般形式的柯西不等式：
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
(
...
)(
...
)
n
n
a
a
a
b
b
b
2
1 1
2 2
(
...
) .
n n
a b
a b
a b
⑦向量形式的柯西不等式：
设
,
是两个向量，则
,
当且仅当是零向量，或存在实数k ，使
k
时，
等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设
1
2
1
2
...
,
...
n
n
a
a
a b
b
b
为两组实数.
1
2
,
,...,
n
c c
c 是
1
2
,
,...,
n
b b
b 的任一排列，则
1
2
1
1
1 1
2 2
...
...
n
n
n
n n
a b
a b
a b
a c
a c
a c
1 1
2 2
...
.
n n
a b
a b
a b
（反序和乱序和
顺序和），当且仅当
1
2
...
n
a
a
a
或
1
2
...
n
b
b
b
时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数
( )
f x ,对于定义域中任意两点
1
2
1
2
,
(
),
x x x
x
有
1
2
1
2
1
2
1
2
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
.
2
2
2
2
x
x
f x
f x
x
x
f x
f x
f
f
或
则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
①舍去或加上一些项，如
2
2
1
3
1
(
)
(
) ;
2
4
2
a
a
②将分子或分母放大（缩小），
如
2
1
1
,
(
1)
k
k k
2
1
1
,
(
1)
k
k k
2
2
1
2
,
2
1
k
k
k
k
k
k
*
1
2
(
,
1)
1
k
N
k
k
k
k
等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
2
0(
0)
ax
bx
c
或
2
(
0,
4
0)
a
b
ac
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
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二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，
写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
( )
0
( )
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
0
( )
0
( )
f x
f x
g x
g x
f x
g x
f x
g x
g x
（
“ 或”时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴
2
( )
0
( )
(
0)
( )
f x
f x
a a
f x
a
⑵
2
( )
0
( )
(
0)
( )
f x
f x
a a
f x
a
⑶
2
( )
0
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
f x
g x
g x
g x
f x
g x
或
⑷
2
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
[ ( )]
f x
f x
g x
g x
f x
g x
⑸
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
( )
f x
f x
g x
g x
f x
g x
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法：
⑴当
1
a 时,
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x
⑵当0
1
a
时,
( )
( )
( )
( )
f x
g x
a
a
f x
g x
规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
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⑴当
1
a 时,
( )
0
log
( )
log
( )
( )
0
( )
( )
a
a
f x
f x
g x
g x
f x
g x
⑵当0
1
a
时,
( )
0
log
( )
log
( )
( )
0
.
( )
( )
a
a
f x
f x
g x
g x
f x
g x
规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：
⑴定义法：
(
0).
(
0)
a
a
a
a
a
⑵平方法：
2
2
( )
( )
( )
( ).
f x
g x
f
x
g
x
⑶同解变形法，其同解定理有：
①
(
0);
x
a
a
x
a a
②
(
0);
x
a
x
a
x
a a
或
③
( )
( )
( )
( )
( ) ( ( )
0)
f x
g x
g x
f x
g x
g x
④
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ( )
0)
f x
g x
f x
g x
f x
g x
g x
或
规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如
2
0
ax
bx
c
且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论a 与0 的大小；
⑵讨论与0 的大小；
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
⑴不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当
0
a
时
0,
0;
b
c
②当
0
a
时
0
0.
a
⑵不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
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①当
0
a
时
0,
0;
b
c
②当
0
a
时
0
0.
a
⑶
( )
f x
a
恒成立
max
( )
;
f x
a
( )
f x
a
恒成立
max
( )
;
f x
a
⑷
( )
f x
a
恒成立
min
( )
;
f x
a
( )
f x
a
恒成立
min
( )
.
f x
a
15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线
0
Ax
By
C
的同一侧的所有点的坐标代入Ax
By
C
后所得的实数的符号
相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点
0
0
(
,
)
x
y
（如原点），由
0
0
Ax
By
C
的正负即可判断出
0
Ax
By
C
( 或
0)
表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据
0
Ax
By
C
( 或
0)
，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，
0
Ax
By
C
( 或
0)
表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号
上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数z
Ax
By
( ,
A B 为常数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数z
Ax
By
（x
y
、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则
这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对
应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0 :
0
l
Ax
By
，平移直线0l（据
可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解( , )
x y ；第四步，将最优解
( , )
x y 代入目标函数z
Ax
By
即可求出最大值或最小值 .
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第二步中最优解的确定方法：
利用z 的几何意义：
A
z
y
x
B
B
,
z
B 为直线的纵截距.
①若
0,
B
则使目标函数z
Ax
By
所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，
使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；
②若
0,
B
则使目标函数z
Ax
By
所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，
使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
;
z
Ax
By
②“斜率”型：
y
z
x
或
;
y
b
z
x
a
③“距离”型：
2
2
z
x
y
或
2
2;
z
x
y
2
2
(
)
(
)
z
x
a
y
b
或
2
2
(
)
(
) .
z
x
a
y
b
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问
题简单化.
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