文档文本内容
空间向量和立体几何
知识体系：
章节概述：
在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基
本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异；在运
用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法
与综合几何方法的共性和差异；通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟
向量在研究几何问题中的作用。
知识清单：
空间向量和立体几何
一、空间向量及其运算：
1.空间向量概念：
(1)定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。空间向量用字母
，，，
表示。
(2)有向线段：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度
表示空间向量的模。
(3)零向量：我们规定，长度为
的向量叫做零向量，记为
。当有向线段的起点
与终点
重合时，
。
(4)单位向量：模为的向量叫做单位向量。
(5)相反向量：与向量
长度相等而方向相反的向量，叫做
的相反向量，记为
。
(6)共线向量，如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，
那么这些向量叫做共线向量或平行向量。我们规定：零向量与任意向量平行，即
对于任意向量
，都有
。
(7)相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量。因此，在空间，同向且
等长的有向线段表示同一向量或相等向量。
2.空间向量的加减法以及数乘运算：
(1)任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。
(2)任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算。。
(3)
;
。
(4)当
时，
；
当
时，
；
当
时，
。
(5)交换律：
；
结合律：
，
；
分配律：
，
。
(6)共线的充要条件：对任意两个空间向量
，
，
的充要条件是存在
实数
，使
。
(7)方向向量：在直线上取非零向量
，我们把与向量
平行的非零向量称为直
线的方向向量。这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向
量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
(8)共面向量：如果直线平行于平面
或在平面
内，那么称直线的方向向量
平
行于平面。平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
(8)共面的充要条件：如果两个向量
，
不共线，那么向量
与向量
，
共面
的充要条件是存在唯一的有序实数对
，使
。
3.空间向量的数量积运算：
(1) 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因为，两
个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义。
(2) 夹角：已知两个非零向量
，
，在空间任取一点
，作
，
，
则
叫做向量
，的夹角，记作
。如果
，那么向量
，互
相垂直，记作
。
(3)数量积：已知两个非零向量
，
，则
叫做
，
的数量积，记
作
，即
。特别地，零向量与任意向量的数量积为
。
(4)性质：
；
；
，
；交换律：
；
分配律：
。
(5)投影向量：在空间，向量
向向量
投影，由于它们是自由向量，因此可以先
将它们平移到同一个平面
内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量
共线
的向量
，
，向量
称为向量
在向量
上的投影向量。类似地，
可以将向量
向直线投影。
二、空间向量基本定理：
1.定理：如果三个向量
，
，
不共面，那么对任意一个空间向量
，存在唯
一的有序实数组
，使得
。
2.如果三个向量
，
，
不共面，则所有空间向量组成的集合是
。这个集合可看作是由向量
，
，
生成的，我
们把
叫做空间的一个基底，，，称为基向量。空间任何三个不共面
的向量都可以构成空间的一个基底。
3.特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么
这个基底叫做单位正交基底，常用
表示。由空间向量基本定理可知，对空
间中的任意向量
，均可分解为三个向量
，
，
，使
。像
这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分
解。
三、空间向量及其运算的坐标表示：
1.空间直角坐标系：
(1)定义：在空间选定一点
和一个单位正交基底
，以点
为原点，分别以
，
，
的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：
轴、
轴、
轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系
，叫做
原点，
，
，
都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分
别称为
平面，
平面，
平面，它们把空间分成八个部分。画空间直角
坐标系
时，一般使
（或
），
。
(2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向
轴的正方向，食指
指向
轴的正方向，如果中指指向
轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐
标系。
(3)点的坐标表示：在空间直角坐标系中
中，
，
，
为坐标向量，
对空
间任意一点，对应一个向量
，且点
的位置由向量
唯一确定，由空间向
量基本定理，存在唯一的有序实数组
，使
。
在单位正交基底
下与向量
对应的有序实数组
，叫做点在空间
直角坐标系中的坐标，记作
，其中
叫做点
的横坐标，
叫做点
的
纵坐标，
叫做点
的竖坐标。
(4)向量的坐标表示：在空间直角坐标系中
中，给定向量
，作
，由
空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使
，
。有序
实数组
叫做
在空间直角坐标系
中的坐标，上式可简记作
。
2.空间向量运算的坐标表示：
设
，
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
。
3.空间两点间的距离公式：
，
两点间的距离：
。
四、空间向量的应用：
1.用空间向量研究直线、平面的位置关系：
(1)空间中点的向量表示：在空间中，我们取一定点
作为基点，那么空间中任意
一点
就可以用向量
来表示。我们把向量
称为点
的位置向量。
(2)空间中直线的向量表示：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一
确定。
(3)空间中平面的向量表示：空间任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确
定。对于平面
，直线
，取直线的方向向量
，我们称向量
为平面
的
法向量。给定一个点
和一个向量
，那么过点
，且以向量
为法向量的平面
完全确定，可以表示为集合
。
(4)空间中直线、平面的平行：
①直线平行：设
，
分别是直线
，的方向向量，有
使得
。
②直线与平面平行：设
是直线的方向向量，
是平面
的法向量，
，有
。
③平面平行：设
，
分别是平面
，的法向量，
使
得
。
(5)空间中直线、平面的垂直：
①直线垂直：设
，
分别是直线
，
的方向向量，有
。
②直线与平面垂直：设
是直线的方向向量，
是平面
的法向量，有
使得
。
③平面垂直：设
，
分别是平面
，
的法向量，有
使得
。
2.用空间向量研究距离、夹角问题：
(1)点
到直线的距离：设直线的单位方向向量为
，取直线上定点
，设
，
则向量
在直线上的投影向量
。在
中，由勾股定理，得
。
(2)点
到平面
的距离：设平面
的法向量为
，
取平面
内定点
，过点
作平面
的垂线，交
平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度。因此
。
(3)异面直线所成角：一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直
线的方向向量的夹角来求得。也就是说，若异面直线
，
所成的角为
，其方
向向量分别是
，
，则
。
(4)直线与平面所成角：直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平
面的法向量的夹角。设直线
与平面
所成的角为
，直线
的方向向量为
，
平面
的法向量为
，则
。
(5)平面与平面的夹角：平面
与平面
相交，形成四个二面角，我们把这四个二
面角中不大于的二面角称为平面
与平面
的夹角。若平面
，
的法向量分别
是
和
，则平面
与平面
的夹角即为
和
的夹角或其补角。设平面
直线与圆的方程
知识体系：
章节概述：
本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线
的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的
距离等。类似地，通过确定圆的几何要素，建立圆的方程，再通过圆的方程研究
与圆相关的问题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题。
知识清单：
直线和圆的方程
一、直线的倾斜角与斜率：
1.直线的倾斜角：
(1)定义：当直线与
轴相交时，我们以
轴为基准，
轴正向与直线向上的方
向之间所成的角
叫做直线的倾斜角。当直线与
轴平行或重合时，我们规定
它的倾斜角为
。
(2)倾斜角
的范围：
。
2.直线的斜率：
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角
的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小
写字母
表示，即
。
(2)斜率公式：如果直线经过两点
，
，那么
。
(3)垂直于
轴的直线斜率不存在。
(4)在倾斜角
，
时，斜率
随着倾斜角
的增大而增大。
3.两条直线平行和垂直的判定：
(1)
；
(2)
。
二、直线的方程：
直线方程
方程形式
不能表示的直线
点斜式
（经过点
，斜率为
）
垂直于
轴的直线
斜截式
（斜率为
，
为直线在
轴上的截距）
垂直于
轴的直线
两点式
（经过两点
，
）
垂直于
轴的直线
垂直于
轴的直线
截距式
（在
轴、
轴上的截距分别为
、
）
垂直于
轴的直线
垂直于
轴的直线
经过原点的直线
一般式
三、直线的交点坐标与距离公式：
1.两条直线的交点坐标：
已知两条直线
，
，方程组
的解即为两条直线的交点坐标。
2.一般式中两条直线平行和垂直的判定：
已知两条直线
，
(1)
；
(2)
。
3.两点间的距离公式：
，
两点间的距离：
。
4.点到直线的距离公式：
点
到直线
的距离：
。
5.两条平行直线间的距离公式：
平行直线
与
间的距离：
。
四、圆的方程：
1.圆的标准方程：
；表示圆心为
,半径为
的圆。
2.圆的一般方程：
。
3.圆的参数方程：
；表示圆心为
,半径为
的圆。
五、直线与圆的位置关系：
1.直线
与圆
的位置关系：
位置关系
图示
公共点个
数
圆心距
与
半径
的大小关系
联立方程组
的情况
相离
相切
相交
2.点
在圆
上的切线方程：
。
3.点
在圆
外的切点弦所在直线方程：
若过
与圆
相切的直线的两个切点分别为
，，则
过
，
的直线方程为
。
六、圆与圆的位置关系：
1. 直线
与圆
的位置关系：
位置关
系
图示
公共
点个
数
圆心距
与
半径
，的关系
联立方
程组
的情况
公切
线数
外离
外切
相交
内切
内含
2.相交圆的公共弦方程：
若圆
与圆
相交，则公
共弦方程为：
。
圆锥曲线的方程
知识体系：
章节概述：
用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，
可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、
抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。
本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的
方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题。
知识清单：
圆锥曲线的方程
一、椭圆：
1.椭圆的定义与方程：
焦点位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
第一定义
到两定点
，
的距离之和等于常数
，即
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
，即
标准方程
准线方程
离心率
2.焦点三角形与几何性质：
(1)焦点三角形：
①定义：椭圆上的点
与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，如下
图所示：
②性质：焦点三角形常用结论有：（其中
）
，焦点三角形周长为
；
（
为焦点三角
形内切圆半径）；
当
，即
为短轴端点时，
有最大值为
，同时，
也最大。
2.几何性质：
焦点位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
焦点
轴长
长轴
；短轴
焦距
焦半径
，
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
3.中点弦模型：
在标准方程为
的椭圆上任取两点
，，连结
，取
中点
，连结
，我们有
。
推导过程：（点差法）
设
，
，有
，
，则
，
两点在椭圆上，
，将两个方程相减，得
，即
，
。
同理，我们在标准方程为
的椭圆上任取两点
，，连
结
，取中点
，连结
，有
。
4.切线与切点弦方程：
(1)点
在椭圆
上的切线方程：
；
(2)过椭圆
外点
引的两条切线的切点的弦所在直
线方程：
。
二、双曲线：
1.双曲线的定义与方程：
焦点位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
第一定义
到两定点
，
的距离之差等于常数
，即
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
，即
标准方程
准线方程
渐近线方程
渐近线方程
2.焦点三角形与几何性质：
(1)焦点三角形：
①定义：双曲线上的点
与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，如
下图所示：
②性质：焦点三角形常用结论有：（其中
）
；
设圆
为
的内切圆，则圆心
坐标满足以
下关系：
。
2.几何性质：
焦点位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
焦点
轴长
实轴
；虚轴
焦距
焦半径
，
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
3.中点弦模型：
在标准方程为
的双曲线上任取两点
，
，连结
，取中点
，
连结
，我们有
。
推导过程：（点差法）
设
，
，有
，
，则
，
两点在双曲线上，
，将两个方程相减，得
，即
，
。
同理，我们在标准方程为
的双曲线上任取两点
，
，连结
，
取中点
，连结
，有
。
4.切线与切点弦方程：
(1)点
在双曲线
上的切线方程：
；
(2)过双曲线
外点
引的两条切线的切点的弦所在直线方程：
。
三、抛物线：
1.抛物线定义与几何性质：
图形
标准方
程
定义
与一定点
和一条定直线
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
（定点
不在定直线
上）
顶点
离心率
对称轴
轴
轴
范围
焦点
准线方
程
焦半径
通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
2.焦点弦：
设
为过抛物线
焦点的弦，
，直线
的倾斜
角为
，则
(1)
；
(2)
；
(3)以
为直径的圆与准线相切；
(4)焦点
对
在准线上射影的张角为
；
(5)
。
