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解密06 空
点、
、面的位置关系
间
线
A 组 考点专练
一、选择题
1.设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是( )
A.α 内有无数条直线与β 平行
B.α 内有两条相交直线与β 平行
C.α，β 平行于同一条直线
D.α，β 垂直于同一平面
【答案】B
【解析】若α∥β，则α 内有无数条直线与β 平行，当α 内有无数条直线与β 平行时，α 与β 可能相交；若
α，β 平行于同一条直线，则α 与β 可以平行也可以相交；若α，β 垂直于同一个平面，则α 与β 可以平行也
可以相交，故A，C，D 中条件均不是α∥β 的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两
条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B 中条件是α∥β 的充要条件.
2.已知α，β 是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题正确的是( )
A.若α⊥β，则m∥β
B.若α⊥β，则m⊥β
C.若m∥β，则α∥β
D.若m⊥β，则α⊥β
【答案】D
【解析】若m⊂α，α⊥β，则m∥β 或m 与β 相交或m⊂β，所以A，B 错误.若m⊂α，m∥β，则α∥β 或α 与
β 相交，所以C 错误.由面面垂直的判定定理可知D 正确.故选D.
3.已知四棱锥P－ABCD 的所有棱长均相等，点E，F 分别在线段PA，PC 上，且EF∥底面ABCD，则异面
直线EF 与PB 所成角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【答案】D
【解析】连接AC，BD.设AC∩BD＝O.因为EF⊂平面PAC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，且EF∥底面
ABCD，所以EF∥AC.由四边形ABCD 为菱形，得AC⊥BD.连接OP.因为O 为AC 的中点，PA＝PC，所以
PO⊥AC.又BD∩OP＝O，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PB.又EF∥AC，所以EF⊥PB，即异面直线EF
与PB 所成角的大小为90°.故选D.
4.(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G 分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
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A.直线D1D 与直线AF 垂直
B.直线A1G 与平面AEF 平行
C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为
D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等
【答案】BC
【解析】连接AD1，D1F，则AD1∥EF，平面AEF 即为平面AEFD1.显然DD1不垂直于平面AEFD1，∴直线
DD1 与直线AF 不垂直，故A 错误.∵A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，∴A1G∥平面AEFD1，即A1G∥平面
AEF，故B 正确.平面AEF 截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形AEFD1的面积为××＝，故C
正确.记点C 与点G 到平面AEF 的距离分别为h1，h2，∵VC－AEF＝·S△AEF·h1＝VA－CEF＝×1×××＝，VG－AEF＝
·S△AEF·h2＝VA－GEF＝×1××1×＝，∴h1≠h2，故D 错误.故选BC.
5.(多选题)如图，在棱长为1 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P 为棱CC1上的动点(点P 不与点C，C1重合)，
过点P 作平面α 分别与棱BC，CD 交于M，N 两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是( )
A.A1C⊥平面α
B.存在点P，使得AC1∥平面α
C.存在点P，使得点A1到平面α 的距离为
D.用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
【答案】ACD
【解析】连接BC1，BD，DC1，AD1，D1P.因为CM＝CN，CB＝CD，所以＝，所以MN∥BD.又MN⊄平面
C1BD，BD⊂平面C1BD，所以MN∥平面C1BD.同理可证MP∥BC1，MP∥平面C1BD.又MN∩MP＝M，
MN，MP⊂平面α，所以平面C1BD∥平面α.易证AC1⊥平面C1BD，所以A1C⊥平面α，A 正确.又AC1∩平
面C1BD＝C1，所以AC1与平面α 相交，不存在点P，使得AC1∥平面α，B 不正确.因为|A1C|＝＝，所以点
A1 到平面α 的距离的取值范围为，即.又<<，所以存在点P，使得点A1 到平面α 的距离为，C 正确.因为
AD1∥BC1，所以MP∥AD1，所以用过点P，M，D1 的平面去截正方体得到的截面是四边形AD1PM.又
AD1∥MP，且AD1≠MP，所以截面为梯形，D 正确.故选ACD.
二、填空题
6.如图，在空间四边形ABCD 中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是
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______.
【答案】平行
【解析】由＝，得MN∥BD.而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，所以MN∥平面BDC.
7.已知圆锥的顶点为S，顶点S 在底面的射影为O，轴截面SAB 是边长为2 的等边三角形，则该圆锥的侧面
积为_______，点D 为母线SB 的中点，点C 为弧AB 的中点，则异面直线CD 与OS 所成角的正切值为
_______.
【答案】2π
【解析】设该圆锥底面圆的半径为r，则2r＝AB＝2，即r＝1，所以S 圆锥侧＝πr×SA＝2π.如图，取OB 的中
点E，连接CD，DE，CE，OC，则DE∥OS，DE＝OS，即∠CDE(或其补角)为OS 与CD 所成的角.OS＝
ASsin 60°＝，∴DE＝，CE＝＝.因此tan∠CDE＝＝.
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点P 是AA1的中点，点M 在侧面AA1B1B 内，若D1M⊥CP，则
△BCM 面积的最小值为________.
【答案】
【解析】如图，取AB 的中点N，AD 的中点Q，连接D1Q，QN，B1N，AC.由于CP 在面ABCD 内的射影为
AC ，QN⊥AC ，故QN⊥CP. 因为CP 在面ADD1A1 内的射影为DP ，D1Q⊥DP ，所以D1Q⊥CP. 故由
QN⊥CP，D1Q⊥CP，D1Q∩QN＝Q，得CP⊥平面D1QNB1.要使CP⊥D1M，必须点M 在平面D1QNB1内，
又点M 在侧面AA1B1B 内，所以点M 在平面D1QNB1与平面AA1B1B 的交线上，即M∈B1N.因为CB⊥平面
ABB1A1，所以CB⊥BM，所以S△BCM＝×CB×BM.当BM⊥B1N 时，BM 最小，此时，△BCM 的面积最小.又
BB1＝4，BN＝2，故B1N＝2.由Rt△B1BN 的面积可得BM＝＝，所以S△BCM＝×4×＝.
三、解答题
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9.如图所示，AB 为圆O 的直径，点E，F 在圆O 上，AB∥EF，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，
已知AB＝2，EF＝1.
(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；
(2)若BC＝1，求四棱锥F－ABCD 的体积.
【解析】(1)因为AB 为圆O 的直径，点F 在圆O 上，所以AF⊥BF.
又矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且两平面的交线为AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD，所以
CB⊥圆O 所在平面，所以AF⊥BC.
又BC，BF 为平面CBF 内两条相交直线，所以AF⊥平面CBF.
又AF⊂平面DAF，所以平面DAF⊥平面CBF.
(2)连接OE，OF，如图所示，
因为AB＝2，EF＝1，AB∥EF，则四边形OEFA 为菱形，
所以AF＝OE＝OA＝1，所以AF＝OA＝OF＝1，则△OAF 为等边三角形.
在等边三角形OAF 中，点F 到边OA 的距离为.
又矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且两平面的交线为AB，
所以点F 到边OA 的距离即四棱锥F－ABCD 的高，所以四棱锥F－ABCD 的高h＝
.
又BC＝1，所以矩形ABCD 的面积S＝AB×BC＝2×1＝2.
故V 四棱锥F－ABCD＝×2×＝.
10.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F
分别为AD，PB 的中点.
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
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(3)求证：EF∥平面PCD.
【证明】(1)因为PA＝PD，E 为AD 的中点，所以PE⊥AD.
因为底面ABCD 为矩形，
所以BC∥AD.所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，且PD⊂平面PAD.
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，
所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC 中点G，连接FG，DG.
因为F，G 分别为PB，PC 的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，且DE＝FG.
所以四边形DEFG 为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
B 组 专题综合练
11.(多选题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，过体对角线BD1作平面α 交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则
下列说法正确的是( )
A.平面α 截正方体所得两部分的体积相等
B.四边形BFD1E 一定是平行四边形
C.平面α 与平面BB1D1D 不可能垂直
D.四边形BFD1E 的面积有最大值
【答案】ABD
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【解析】由题意作出图形，如图.
因为平面AA1B1B∥平面DD1C1C，平面α∩平面AA1B1B＝BE，平面α∩平面DD1C1C＝D1F，所以BE∥D1F.
同理可得D1E∥BF，所以四边形BFD1E 是平行四边形，B 正确.因为四边形BFD1E 是平行四边形，所以BE
＝D1F，所以△ABE≌△C1D1F，所以AE＝C1F，所以平面BFD1E 分正方体为完全相同的两部分，A 正确.连
接EF，当E 是AA1的中点，F 是CC1的中点时，EF⊥平面BB1D1D，从而平面α 与平面BB1D1D 垂直，C 错
误.设正方体的棱长为1，AE＝x(0≤x≤1)，则BE＝，D1E＝＝，BD1＝.在△BED1 中，由余弦定理得cos
∠BED1＝＝，
所以sin ∠BED1＝
＝＝，
所以S 四边形BED1F＝2S△BED1＝BE·D1E·sin ∠BED1＝＝.
所以当x＝0 或x＝1 时，S 四边形BED1F 取得最大值，D 正确.故选ABD.
12.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E 为
AB 上一点，且＝m，点F 为PD 中点.
(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；
(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
【解析】(1)如图作FM∥CD，交PC 于点M，连接EM，
因为点F 为PD 的中点，所以FM＝CD.
因为m＝，所以AE＝AB＝FM，
又FM∥CD∥AE，
所以四边形AEMF 为平行四边形，所以AF∥EM，
因为AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，
所以直线AF∥平面PEC.
(2)存在一个常数m＝，使得平面PED⊥平面PAB，理由如下：
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要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，
因为AB＝AD＝2，∠DAB＝30°，
所以AE＝ADcos 30°＝，
又因为PD⊥平面ABCD，PD⊥AB，PD∩DE＝D，
所以AB⊥平面PDE，
因为AB⊂平面PAB，所以平面PDE⊥平面PAB，
所以m＝＝.
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