文档文本内容
平行线的性质
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1.理解平行线的概念；
2.掌握平行线的公理及其推论；
3.能熟练掌握平行线的应用.
1．平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB CD”
∥
，读作
“AB 平行于CD”。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：______________。
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2.平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，____________一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3.平行线的性质
（1）两直线平行，_________相等。
（2）两直线平行，_________相等。
（3）两直线平行，__________互补。
1.平行线的性质
【例1】
（2015•辽宁阜新）（第8 题，3 分）如图，直线a b
∥，被直线c 所截，已知∠1=70°，那么∠2 的
度数为
．
1
【解析】先根据平行线的性质求出∠3 的度数，再由补角的定义即可得出结论．
解：∵直线a b
∥，被直线c 所截，∠1=70°，
3= 1=70°
∴∠
∠
，
2=180°
3=180°
70°=110°
∴∠
∠
﹣
﹣
．
【答案】110°．
【例2】如图，把矩形
沿
对折后使两部分重合，若
，则
=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【解析】对折前后图形对应角相等，再利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补即可求出
∠AEF.
解：∵∠1=50°
BFE=
∴∠
2
1 (180°- 1)=65°
∠
AD BC
∥
∵
AEF+ BFE=180°
∴∠
∠
AEF=115°
∴∠
【答案】B
【例3】如图，AB CD
∥
，EF 与AB、CD 分别相交于点E、F，EP EF
⊥
，与∠EFD 的平分线FP 相交于点P，
且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度．
A． 70 B． 65 C． 60 D． 55
2
【解析】 先由垂直的定义，求出∠PEF=90°，然后由∠BEP=50°，进而可求∠BEF=140°，然后根据两
直线平行同旁内角互补，求出∠EFD 的度数，然后根据角平分线的定义可求∠EFP 的度数，然后根据三
角形内角和定理即可求出∠EPF 的度数．
解：如图所示，
EP
EF
∵
⊥
，
PEF=90°
∴∠
，
BEP=50°
∵∠
，
BEF= BEP+ PEF=140°
∴∠
∠
∠
，
AB CD
∵
∥
，
BEF+ EFD=180°
∴∠
∠
，
EFD=40°
∴∠
，
FP
∵
平分∠EFD，
∴
=20°，
PEF+ EFP+ EPF=180°
∵∠
∠
∠
，
EPF=70°
∴∠
．
【答案】A．
练习1.（2015•宁德）如图，将直线l1沿着AB 的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2 的度数是（
）
A．40°
B．
50°
C．90°
D．130°
练习2.（2015 湖南邵阳第5 题）将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2 的大
小是（ ）
A． 30° B．45° C．60° D．65°
练习3.（2015 湖北荆州第2 题3 分）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B 两点，若
∠1=70°，则∠2=（ ）
A．70°
B．
80°
C．
110°
D．
120°
3
练习4.（2015 广东佛山）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别是三条边上的点，EF AC
∥
，DF AB
∥
，
∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD=（ ）
A．80°
B．75°
C．70°
D．65°
练习5.（2015•四川凉山州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，
∠1=（ ）
A．52° B．38° C．42° D．60°
练习6.如图，在△ABC 中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE 的度数是
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
练习7. 如图，l m
∥，∠1＝115º，∠2＝ 95º，则∠3＝（ ）
A．120º B．130º C．140º D．150º
练习8.如图，直线AB∥CD，∠A＝70，∠C＝40，则∠E 等于
（A）30° （B）40°
（C）60° （D）70°
练习9.如图，已知
//
AB
ED ，
65
ECF
，则
BAC
的度数为（ ）
4
A
C
B
D
E
第2 题图
A
B
C
D
E
（A）115 （B）65 （C）60 （D）25
练习10.如图，已知∠1=
0
70
，如果CD BE
∥
，那么∠B 的度数为 （ ）
A．
0
70
B．
0
100
C．
0
110
D．
0
120
练习11.如图，在△ABC 中，∠B=40°，过点C 作CD AB
∥
，∠ACD=65°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
2.平行线的应用
【例4】已知：如图，AB CD
∥
，求证：∠B+ D= BED
∠
∠
。
【解析】可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5，过E点引
一条直线EF AB
∥
，则有∠B= 1
∠，再设法证明∠D= 2
∠，需证
EF CD
∥
，这可通过已知AB CD
∥
和EF AB
∥
得到。
【答案】证明：过点E作EF AB
∥
，则∠B= 1
∠（两直线平行，内
错角相等）。
AB CD
∵
∥
（已知），
又∵EF AB
∥
（已作），
EF CD
∴
∥
（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
D= 2
∴∠
∠（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠BED= 1+ 2
∠
∠，
BED= B+ D
∴∠
∠
∠（等量代换）。
练习12.已知：如图6，AB CD
∥
，求证：∠BED=360°-（∠B+ D
∠）。
5
A
B
E
D
C
F
练习13.已知：如图7，AB CD
∥
，求证：∠BED= D- B
∠
∠。
1．（2015•四川凉山州第4 题）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，
∠1=（ ）
A．52°
B．38°
C．42°
D．60°
2.（2015•青海西宁）如图，∠AOB 的一边OA 为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB 上有一点E，从E 点
射出一束光线经OA 上一点D 反射，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是（ ）
A．74°12′
B．74°36′
C．75°12′
D．75°36′
3.（2015•毕节市）（第11 题）如图，直线a b
∥，直角三角形ABC 的顶点B 在直线a 上，∠C=90°，
∠β=55°，则∠α 的度数为（ ）
A． 15° B． 25° C． 35° D． 55°
4.（2015•甘肃天水，第7 题）如图，将矩形纸带ABCD，沿EF 折叠后，C、D 两点分别落在C′、D′的位
置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（ ）
A． 65° B． 55° C． 50° D． 25°
6
5.（2015·湖北省咸宁市，第4 题）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若
∠1=50°，则∠2 的度数为（ ）
A.50° B.40° C.30° D.25°
6.（2015·湖北省随州市，第2 题）如图，AB CD
∥
，∠A=50°，则∠1 的大小是（ ）
A.50° B.120° C.130° D.150°
7.如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2 的度
数是（ ）
A.15° B.20° C.25° D.30°
8.如图，已知AB∥CD，
o
1
80
，则
2
o．
9.（2015•江苏盐城，第6 题）一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2 的度数
为（ ）
A． 85°
B．75°
C．60°
D．45°
10.（2015•江苏泰州，第10 题）如图，直线l1 l
∥2，∠α= β
∠，∠1=40°，则∠2=
．
7
2
1
B
A
C
D
E
F
B
32 题图
11.（2015•湖南湘西州，第2 题）如图，直线a，b 被直线c 所截，且a b
∥，∠1=40°，则∠2=
度．
12.（2015•甘肃庆阳，第19 题）已知三条不同的直线a、b、c 在同一平面内，下列四条命题：
①如果a b
∥，a c
⊥，那么b c
⊥； ②如果b a
∥，c a
∥，那么b c
∥；
③如果b a
⊥，c a
⊥，那么b c
⊥；④如果b a
⊥，c a
⊥，那么b c
∥．
其中真命题的是
．（填写所有真命题的序号）
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1.如图，直线a b
∥，三角板的直角顶点A 落在直线a 上，两条直线分别交直线b 于B、C 两点．若
∠1=42°，则∠2 的度数是
．
2.（2015•云南,第11 题）如图，直线l1 l
∥2，并且被直线l3，l4所截，则∠α=
．
3.（2015 广西崇左第15 题）若直线a b
∥，a c
⊥，则直线b c．
4.（2015•永州，第12 题）如图，∠1= 2
∠，∠A=60°，则∠ADC=
度．
8
5.（2015•衡阳, 第14 题）如图，已知直线a b
∥，∠1=120°，则∠2 的度数是
．
6.将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC∥DE，则∠AFC 的度数为
A．45° B．50° C．60° D．75°
7.如图，已知∠1＝70°如果CD∥BE，那么∠B 的度数为（ ）
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
8.如图1，已知直线AB//CD，BE 平分∠ABC，交CD 于D，∠CDE=150°，则∠C 的度数为（ ）
A．150°
B．130°
C．120°
D．100°
A
B
C
D
E
图1．
9.如图，已知∠1 ＝ 70º，如果CD BE
∥
，那么∠B 的度数为（ ）
A．70º
B．100º
C．110º
D．120º
9
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
10.如图，AB
CD
∥
，EF
AB
于E
EF
，
交CD 于F ，已知
1
60
° ，则
2
（ ）
A．30° B．20° C．25° D．35°
11.如图1，直线a b
∥，C 与a、b 均相交，则＝ （ ）
A．60 B．100 C．120 D．150
12. 如图，直线PQ∥MN，C 是MN 上一点，CE 交PQ 于A，CF 交PQ 于B，且∠ECF＝90°，如果∠FBQ
＝50°，则∠ECM 的度数为
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
13．如图，BC⊥AE，垂足为C，过C 作CD∥AB．若∠ECD=48°则∠B= ．
E
D
C
B
A
14.如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b 上，已知∠1=55°，则
∠2 的度数为（ ）
10
A
B
C
E
F
P
Q
M
N
5 题图
第3 题图
B
C
E
D
A
1
C
D
B
A
E
F
1
2
A. 45° B. 35° C. 55° D.125°
15．如右图4，a∥b，如果∠1=50°，则∠2 的度数是
A．130° B．50° C．100° D．120°
16.如图，直线
c
b
a
直线
,
//
分别与a、b 相交于点A、B，已知
2
,
35
1
则
的度数为 （ ）
A．165°
B．155°
C．145°
D．135°
17.如图2，AB∥CD，EF⊥AB 于点E，EF 交CD 于F，已知∠2=30°，则∠1 是（ ）
A．20° B．60° C．30° D．45°
18.如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80 ，则∠2 的度数是
A．80° B．100° C．110° D．120 °
19.三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a 与b 的位置关系是
A．a⊥b B．a∥b C．a⊥b 或a∥b D．无法确定
20.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b 的是( )
11
1
F
图2
2
E
D
C
B
A
图4
1
b
a
2
A. 1= 2 B. 2= 4 C. 3= 4 D. 1+ 4=180°
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
21.如图1，AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E，则∠C 等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
22.如图，已知a ∥b，l 分别与a 、b 相交，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1= 3 B. 2= 3 C. 1= 4 D. 2= 5
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
23.如图，C 岛在A 岛的北偏东50o方向，C 岛在B 岛的北偏西40o方向，则从C 岛看A，B 两岛的视
角∠ACB 等于 ．
24．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的
一条边上，则∠1+ 2=_____________
∠
。
12
第8题
5
4
3
2
1
l
b
a
b
E
D
B
A
C
25.如图, 已知∠1 = 2 = 3 = 62°
∠
∠
，则
4
.
26.如图，直线a ∥b ，直线c 与a 、b 相交，∠1 ＝70°，则∠2 ＝ ．
27.如图，直线DE 交∠ABC 的边BA 于点D，若DE∥BC，∠B=70°，
则∠ADE 的度数是 ．
28.如图（五），AB CD
∥
，直线MN 分别与AB、CD 相交于点E、F，若MEB＝65°，则CFN＝
_______．
F
E
N
M
A
C
D
B
29.如图所示，AB CD
∥
，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E 的度数为_______________．
13
( 第13 题)
C
A
E
D
B
30.如图1，已知直线AB//CD，直线EF 与直线AB、CD 分别交于点E、F，且有∠1=70°， 则∠2=
.
31.如图4，已知直线a ∥b，∠1=40°，则∠2= ．
课程顾问签字： 教学主管签字
14
图4
D
B
C
F
E
A
图1
2
1
