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高考必刷题专练答案精析
必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式
1．C 2.B 3.C 4.C 5.D 6.D
7．B
8．C [令m＝ax＋a－x，则当a>0 且a≠1 时，m＝ax＋a－x≥2＝2，
当且仅当x＝0 时，等号成立，
且m2＝(ax＋a－x)2＝a2x＋a－2x＋2，
则a2x＋a－2x＝m2－2，
原不等式可化为m2＋tm－2>0 对任意m∈[2，＋∞)恒成立．
所以t>－m 恒成立，
又y＝－m 在[2，＋∞)上单调递减，
所以t>－2＝－1.]
9．AC [∵A＝{x|x2－2x<0}
＝(0,2)，
B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，
∴A∩(∁UB)＝∅，A∪B＝B，A⊆B，
故AC 正确，BD 错误．]
10．CD [设f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x＝0 时，函数f′(x)＝0，
当x<0 时，f′(x)<0，
当x>0 时，f′(x)>0，
故在x＝0 时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，
所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，
即∀x∈R，ex≥x＋1，故A 错误；
当x＝时f(x)＝sin＝cos 2x，
故函数f(x)为偶函数，故B 错误；
当a>b>0 时，等价于a2－b2＝(a＋b)·(a－b)>0，
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当0>a>b 时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，
当a>0>b 时，等价于a2＋b2>0，
反之同样成立，故C 正确；
“x∈A∩B”⇒“x∈A”，“x∈A”⇏“x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充
分条件，故D 正确．]
11．BCD [因为直线l：ax＋by＋1＝0 与圆C：x2＋y2＝1 相切，
所以圆心C(0,0)到直线l 的距离等于1，即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，
因为a2＋b2≥2ab 且a2＋b2＝1，
所以ab≤＝，即A 错误，B 正确；
因为a2＋b2＝1，
所以＋＝＋
＝2＋＋
≥2＋2＝4
(当且仅当＝，即a＝b 时取等号)，即C 正确；
因为a2＋b2≥2ab 且a2＋b2＝1，
所以2＝≤＝
(当且仅当a＝b 时取等号)，即D 正确．]
12．AD [因为3a＝2,5b＝3，则a＝log32，b＝log53.
对于A，∵23<32，则2<
，从而0＝log31<a＝log32<
＝，
因为33>52，则3>
，则＝
<b＝log53<log55＝1，即0<a<<b<1，A 正确；
对于B，－＝(a－b)＋＝，
因为0<a<<b<1，则a－b<0,0<ab<1，所以，a＋>b＋，B 错误；
对于C，因为2ab＝2log32·log53＝2log52＝log54，
所以，a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝log32－log5>log3－log5＝0，
所以，a＋b>2ab，C 错误；
对于D，构造函数f(x)＝，其中0<x<e，则f′(x)＝.
当0<x<e 时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0<a<b<1，则f(a)<f(b)，即<，
可得ab<ba，所以，a＋ab<b＋ba，D 正确．]
13．[2，＋∞) 14.[－2，－1)
15．④
解析 对①，∵sin x＋cos x＝sin≤，>，故①为假命题；
对②，命题p：<0，解得0<x<1 ，所以綈p：{x|x≤0 或x≥1}，而≥0 的解集为{x|x≤0 或
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x>1}，故②为假命题；
对③，当x＝1，y＝0 时，满足>，但lg x>lg y 不成立，故③为假命题；
对④，根据正弦定理＝ 可得，边a>b 是sin A>sin B 的充要条件，故为真命题；
对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a 的取值范围为a≤2，故“a＝
2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．
16．[－1,0)∪(8,9]
解析 不等式x2－kx＋2k<0 有实数解等价于x2－kx＋2k＝0 有两个不相等的实数根，
则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0 或k>8，
设x2－kx＋2k＝0 的两根分别为x1，x2，不妨令x1<x2，
则x1＋x2＝k，x1x2＝2k，
由题意得
x2－x1＝
＝≤3，
解得－1≤k≤9，结合k<0 或k>8，
所以实数k 的取值范围为
[－1,0)∪(8,9]．
必刷小题2 函数的概念与性质
1．C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C
7．B
8．D [函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2的定义域为R，
f(－x)＝－xsin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝xsin x＋cos x＋x2＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，
f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，当x>0 时，2＋cos x>0，
则f′(x)>0，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由f(ln x)＋f(－ln x)＝2f(ln x)<2f(1)，可得f(|ln x|)<f(1)，
得|ln x|<1，
即－1<ln x<1，解得<x<e.]
9．ABC [由f(x)＝ex－e－x可得，
f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，
∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝－1＝可得，
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f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝ln(x＋)可得，
f(－x)＝ln(－x＋)
＝ln＝－f(x)，x∈R，
∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝ln sin x 知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数
为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故选ABC.]
10．AD [由函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
可得f(2)>f(5)，故A 正确；
题中条件没有说明函数关于直线x＝2 对称，
所以f(－1)和f(5)未必相等，故B 不正确；
根据题意不确定f(x)在[－1,5]上是否连续，
所以不能确定最大值是f(2)，故C 不正确；
x＝0 和x＝3 不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性，
所以f(0)与f(3)的大小不确定，故D 正确．]
11．ABC [由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，故A 正确；
又f(1＋x)＝－f(1－x)，
所以f(x)图象关于(1,0)对称，故B 正确；
又f(－x)＝－f(－x＋2)＝－f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数，故C 正确；
又f(－2)＝－f(－2＋2)＝－f(0)，
无法判断其值，故D 错误．]
12．ACD [因为f(x＋2)为奇函数，
所以f(x＋2)的图象经过原点(0,0)，即f(2)＝0，故C 正确；
由f(x＋2)的图象向右平移2 个单位长度可得函数f(x)的图象知，f(x)的图象过点(4,0)，即f(4)
＝0，
因为f(2x＋1)为偶函数，
所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，
所以当x＝时，f(－2)＝f(4)＝0，故A，D 正确；
令f(x)＝sin x，则满足f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，显然B 不满足．]
13. 14.f(x)＝－x2或f(x)
＝－|x|(答案不唯一)
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15．－9 或－6
解析 当a≥0 时，f(x)＝x3＋2x＋a(1≤x≤2)，
f(2)＝23＋22＋a＝12＋a≥12，不符合题意；
当a<0 时，y＝x3＋2x＋a 在[1,2]上单调递增，
3＋a≤x3＋2x＋a≤12＋a，
而3＋a<3,3＋a<12＋a，
则或
所以a＝－9 或a＝－6.
16.∪
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－ln|－x|＝－ln|x|＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数，且当x>0 时，f(x)＝－ln x，
因为函数y＝，y＝－ln x 均在(0，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由f(2t＋1)>f(t＋3)得f(|2t＋1|)>f(|t＋3|)，则
即
即
解得－<t<2 且t≠－，
故不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t 的取值范围是
∪.
必刷小题3 基本初等函数
1．B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.D
7．A
8．C [因为f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1，
所以f(－x)＝2 022－x＋ln(－x)－2 022x＋1，
因此f(x)＋f(－x)＝ln(x2＋1－x2)＋2＝2，
因此关于x 的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2，可化为f(2x－1)>2－f(2x)＝f(－2x)，
又y＝2 022x－2 022－x单调递增，
y＝ln(＋x)单调递增，
所以f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1 在R 上单调递增，
所以有2x－1>－2x，解得x>.]
9．AC [∵a>1>b>c>0，
∴aa>ab>bb，
>
，故A 选项正确，D 选项不正确；
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又logac<logab<0，
∴logca>logba，
故B 选项不正确；
∵logca<0，ac>0，
∴logca<ac，故C 选项正确．]
10．CD [f(log23)＝
＋
＝3＋＝，A 错误；
令2x＝t(t>0)，则函数为g(t)＝t＋，
由对勾函数的性质可知g(t)＝t＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故g(t)＝t＋在t＝1 处取得最小值，
g(t)min＝g(1)＝2，
所以f(x)的最小值为2，故B 错误，D 正确；
f(x)＝2x＋的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，故C 正确．]
11．AB [函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
当x1＋x2＝2 时，x1与x2的中点为1.
∴f(x1)＝f(x2)，选项B 正确；
当x1＋x2>2 时，x1与x2的中点大于1，
又x1<x2，
∴点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，
∴f(x1)<f(x2)，选项A 正确，C 错误；
显然当a>0 时，f(x1)与f(x2)的大小与x1，x2离对称轴的远近有关系，但与a 无关，选项D 错
误．]
12．ABC [依题意，令2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k，则2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，
log3c＝－c＋k，
令y＝2x，y＝log2x，y＝log3x 和y＝－x＋k，则a，b，c 可分别视为函数y＝2x，y＝log2x，y
＝log3x 的图象与直线y＝－x＋k 交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，
y＝log3x 和y＝－x＋k 的图象，如图，
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观察图象得，当k<1 时，a<c<b，
当k＝1 时，a<b＝c，
当k>1 时，a<b<c，
显然c<b<a 不可能，
故可能成立的是ABC.]
13. 14.ln|x|(答案不唯一)
15．－3
解析 因为x∈[0，＋∞)，
f(x)＝a·bx＋c∈[－2,1)，
所以0<b<1(因为函数值是有界的)，
又f(x)取不到f(x)＝1 的值，
所以a<0，
所以函数f(x)＝a·bx＋c 在区间[0，＋∞)上单调递增，
则f(0)＝a＋c＝－2，
当x→＋∞时，abx→0，
所以c＝1，
故a＝－3，所以ac＝－3.
16．64 7
解析 由n≤log2可知，当对折完4 次时，
即log2≥4，即log2≥6，
∴≥64，即的最小值为64.
由题知n≤log2＝log23 000＝×≈×≈7.7，
故矩形纸最多能对折7 次．
必刷小题4 函数与方程
1．B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.C
7．D
8．B [令g(x)＝f(x)－loga(x＋1)＝0，可得f(x)＝loga(x＋1)，
所以曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)有三个交点，
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当a>1 时，曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)只有一个交点，不符合题意；
当0<a<1 时，若使得曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)有三个交点，
则解得<a<.]
9．ABC [由题意得，经n 层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为
50n＝50×n，n∈N*，
则50×n≤2.5 得，
20×n≤1，
所以lg 20＋lgn≤0，
lg 10＋lg 2＋n(lg 2－lg 3)≤0，
所以1＋0.3＋(0.3－0.48)n≤0，
1．3≤0.18n，
得n≥，
因为n 为正整数，
所以n 的最小值为8.]
10．AB [由函数f(x)＝
得f(－1)＝f(1)＝－1，
则函数g(x)＝f(x)－m 的零点个数就是函数y＝f(x)的图象与y＝m 的交点个数，
画出y＝f(x)和y＝m 的图象，如图所示，
由图可知，当m>0 时，两个函数的图象有1 个交点，
当m≤0 时，两个函数的图象有2 个交点，
所以函数g(x)＝f(x)－m 的零点可能有1 个或2 个．]
11．AD [由函数图象可知
y＝
当t＝1 时，y＝4，
即1－a＝4，解得a＝3，
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∴y＝故A 正确，
药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝，
药物刚好失效的时间
t－3＝0.125，
解得t＝6，
故药物有效时长为
6－＝5(小时)，
注射一次治疗该病的有效时间长度不到6 个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物小时后每
毫升血液含药量为4×＝0.5(微克)，故C 错误．]
12．BC [因为f(x)为偶函数且有4 个零点，
则当x>0 时f(x)有2 个零点，
即解得a>2，A 不正确；
当x<0 时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝x2＋ax＋1，B 正确；
偶函数f(x)的4 个零点满足：
x1<x2<x3<x4，
则x3，x4是方程x2－ax＋1＝0 的两个根，
则有x3>0，x3x4＝1 且x1＝－x4，x2＝－x3，
于是得x1x2x3x4＝(x3x4)2＝1，C 正确；
由C 选项知，x1＋2x2＋3x3＋4x4＝x3＋3x4＝x3＋，
且0<x3<1，而函数y＝x＋在(0,1)上单调递减，
从而得x3＋∈(4，＋∞)，D 不正确．]
13. 14.(－∞，e) 15.3
16．43
解析 由题意可得解得
所以h＝×
，
令h＝×
＝1，可得
＝20，
所以t＝10log220＝＝＝≈≈43(分钟)．
因此，打上来的这种鱼在43 分钟后开始失去全部新鲜度．
必刷小题5 导数及其应用
1．C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A
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7．C [f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)·，
若m<0，则f′(x) 是开口向下的抛物线，若x＝m 是极小值点，
必有m<，则n>m，即<1；
若m>0 ，f′(x) 是开口向上的抛物线，若x＝m 是极小值点，
必有m>，则n<m，即<1，
综上，<1.]
8．B [设g(x2)＝f(x1)＝m，则x1＝2m－3，x2＝
，所以x2－x1＝
－2m＋3，
设h(x)＝
－2x＋3，则h′(x)＝
－2，
令h′(x)>0，得x>4ln 2；令h′(x)<0，得x<4ln 2，
所以h(x)在(－∞，4ln 2)上单调递减，在(4ln 2，＋∞)上单调递增，h(x)min＝7－8ln 2，
所以当x＝4ln 2 时，x2－x1取最小值，为7－8ln 2.]
9．ABC [由题意，对于A，函数y＝x＋，y′＝1－，可得函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，
＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x＝－1 和x＝1；
对于B，函数y＝2x2－x＋1 为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标x
＝；
对于C，函数y＝xln x，y′＝ln x＋1，当x∈时，y′<0，函数单调递减，当x∈时，
y′>0，函数单调递增，所以函数y＝xln x 在x＝处取得极小值；
对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x 在R 上单调递减，没
有极值点．]
10．AD [∵f(x)＝e2－x＋x，x∈[1,3]，
∴f′(x)＝－e2－x＋1，
令f′(x)>0，解得x>2；
令f′(x)<0，解得x<2，
故函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，
所以函数f(x)在x＝2 处取得极小值，也是最小值，为f(2)＝3，
而f(1)＝e＋1，f(3)＝3＋，
则f(1)>f(3)，
故f(x)的最大值为f(1)＝e＋1.]
11．AC [f′(x)＝3ax2－2bx＋c
＝3a(x－x0)(x－1)，
由图知x>1 时，f(x)单调递增，可知f′(x)>0，所以a>0，故B 错误；
又f′(x)＝3ax2－2bx＋c＝3a(x－x0)(x－1)＝3ax2－3a(1＋x0)x＋3ax0，
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∴2b＝3a(1＋x0)，c＝3ax0，
∵x0<－1<0∴c＝3ax0<0, 故A 正确；
∵x0<－1<0，∴1＋x0<0，∴f(1)＋f(－1)＝－2b＝－3a(1＋x0)>0，故C 正确；
f′(x)＝3ax2－2bx＋c，其图象开口向上，对称轴小于0，函数f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故D 错误．]
12．BCD [对于A，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝xf(x)＝1 不单调，故A 错误；
对于B，f(x)＝，f′(x)＝，在(1,2)上f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
y＝xf(x)＝，y′＝＝>0 在x∈(1,2)上恒成立，
∴y＝xf(x)在(1,2)上单调递增，故B 正确；
对于C，若f(x)＝在(m，＋∞)上单调递减，
由f′(x)＝＝0，得x＝e，
∴m≥e，y＝xf(x)＝ln x 在(m，＋∞)上单调递增，故C 正确；
对于D，f(x)＝cos x＋kx2在上单调递减，
f′(x)＝－sin x＋2kx≤0 在x∈上恒成立⇒2k≤min，
令h(x)＝，
h′(x)＝，
令φ(x)＝xcos x－sin x，
φ′(x)＝cos x－xsin x－cos x
＝－xsin x<0，x∈，
∴φ(x)在上单调递减，φ(x)<φ(0)＝0，
∴h′(x)<0，∴h(x)在上单调递减，h(x)>h＝，
∴2k≤⇒k≤，
令g(x)＝xf(x)＝xcos x＋kx3，则g(x)在上单调递增，
g′(x)＝cos x－xsin x＋3kx2≥0 在x∈上恒成立，
∴3k≥max，
令F(x)＝，F′(x)＝>0，x∈，
∴F(x)在上单调递增，F(x)<F＝，
∴3k≥⇒k≥，
综上，≤k≤，故D 正确．]
13．3x－y－2＝0 14.2－ln 3
15．x3－3x(答案不唯一)
解析 f(x)＝x3－3x，f(x)为奇函数，f(x)有三个零点0，±，
f′(x)＝3x2－3，当x>1 时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
①②③都满足，∴f(x)＝x3－3x 满足题意．
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16．(0，e)
解析 设曲线y＝ln x 与其切线交于A(x0，y0)，
切线方程l：y＝kx＋b，y′＝，
由导数与切线方程斜率关系可得k＝y′|
＝，①
又∵切线过点P(a,1)，
∵要保证过点P(a,1)可以作曲线y＝ln x 的两条切线，可得P(a,1)不能在曲线y＝ln x 上，
∴x0≠a，
∴k＝，②
∵点A 在曲线y＝ln x 上，故y0＝ln x0，③
由①②③式可得＝⇒＝，
∴x0(ln x0－1)＝x0－a，解得a＝2x0－x0·ln x0，
令f(x)＝2x－x·ln x，
则f′(x)＝2－x·－ln x＝1－ln x，
令f′(x)＝0，故1－ln x＝0，
∴x＝e，
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
即f(x)在x＝e 处取得最大值，故f(x)max＝f(e)＝2e－e·ln e＝e，
作出f(x)的草图如图所示，
由图可知a 仅在(0，e)范围内有2 个对应的x 值，
即a∈(0，e)时，有2 个解，此时存在2 条切线方程，
综上所述，a 的取值范围为(0，e)．
必刷大题6 导数的综合问题
1．解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝0 时，
f′(x)＝2x－＝.
当x∈时，f′(x)<0，
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则f(x)的单调递减区间为，
当x∈时，f′(x)>0，
则f(x)的单调递增区间为.
(2)由f(x)≥(a2－a)ln x 对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．
设h(x)＝(x>1)，
则h′(x)＝.
当x∈(1，)时，h′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x)min＝h()＝2e，
则a2＋1≤2e，
解得－≤a≤，
故a 的取值范围是[－，]．
2．(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，
f(x)单调递增，
所以当x＝时，f(x)取得最小值
f ＝1－.
(2)证明 令F(x)＝x2－x＋＋2ln x－f(x)
＝x(x－1)－－2(x－1)ln x
＝(x－1)，
令g(x)＝x－－2ln x，
则g′(x)＝1＋－＝
≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，所以当0<x<1 时，
g(x)<0，F(x)>0
当x>1 时，g(x)>0，F(x)>0，
当x＝1 时，F(x)＝0，
所以(x－1)≥0，
即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.
3．解 (1)由题意，预计当每件产品的售价为x 元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2
13
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万件，而每件产品的成本为5 元，且每件产品需向税务部门上交a 元(10≤a≤13)，
∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x 的函数关系式为
f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，
x∈[13,17]．
(2)∵f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，
x∈[13,17]，
∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，
令f′(x)＝0，
解得x＝或x＝18，
而10≤a≤13，
则16≤≤18，
①若16≤<17，
即10≤a<11.5，
当x∈时，f′(x)≥0，
f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)≤0，
f(x)单调递减，
∴f(x)max＝f
＝(13－a)3；
②若17≤≤18，
即11.5≤a≤13，
则f′(x)≥0，即f(x)在[13,17]上单调递增，
∴f(x)max＝f(17)＝12－a，
综上，Q(a)＝
4．解 (1)由题意，
f(x)＝x2＋2x－4ln ，x>0，
则f′(x)＝2x＋2－
＝(x2＋x－2)
＝(x－1)(x＋2)，
故f(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
有极小值f(1)＝3－4ln ，无极大值．
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(2)设g(x)＝f(x)－ax＝x2＋(2－a)x－aln ，x∈(0,4]，
则g′(x)＝2x＋(2－a)－
＝[2x2＋(2－a)x－a]
＝(x＋1)(2x－a)，
①当a＝0 时，g(x)＝x2＋2x，在(0,4]上无零点，不符合题意；
②当a<0 时，g(x)在(0,4]上单调递增，g(2)＝4＋(2－a)×2>0，
x→0 时，g(x)<0，
由零点存在定理得，g(x)在(0,4]内只有一个零点，即曲线y＝f(x)与直线y＝ax 在(0,4]上有且
只有一个交点．
③当a>0 时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
若<4，即0<a<8，
则只能g＝a－a2－aln
＝a＝0⇒a＝4，
若a≥8，则g(x)在(0,4]上单调递减，当x→0 时，g(x)>0，
则要g(4)＝16＋4(2－a)－aln 2<0，则a>，
故a≥8，
综上，a 的取值范围为
(－∞，0)∪{4}∪[8，＋∞)．
5．解 (1)因为f′(x)＝－asin x＋bex，
所以解得
(2)因为f(x)＝cos x－ex，x∈，
所以f′(x)＝－sin x－ex，设g(x)＝－sin x－ex，
g′(x)＝－cos x－ex＝－(cos x＋ex)．
当x∈时，cos x≥0，ex>0，
所以g′(x)<0，
当x∈(0，＋∞)时，－1≤cos x≤1，ex>1，
所以g′(x)<0.
所以，当x∈时，g′(x)<0，g(x)即f′(x)单调递减．
因为f′(0)＝－1<0，f′＝－
＝
－
，
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因为
>e>2，所以
<
，
所以f′>0.
所以∃x0∈，使得f′(x0)＝－sin x0－
＝0，即
＝－sin x0.
所以，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以f(x)max＝f(x0)＝cos x0－
＝cos x0＋sin x0＝sin.
因为x0∈，所以x0＋∈，
所以sin∈，
所以f(x0)∈(0,1)．
由题意知，c≥f(x0)，所以整数c 的最小值为1.
必刷小题7 三角函数
1．B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B
7．B [由题设知f(x)＝sin，
故y＝g(x)＝sin，
要使x1≠x2且g(x1)g(x2)＝2，则g(x1)＝g(x2)＝或g(x1)＝g(x2)＝－，
∴|x1－x2|的最小值为1 个周期长度，则|x1－x2|min＝＝π.]
8．B [由f(x)的图象与直线y＝1 的相邻两个交点的距离分别为和，即可知其周期为π，
所以＝π，即ω＝2，
所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数
g(x)＝2sin，
又g(x)为奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，则φ＝－.]
9．CD [由题意可得f(x)＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1.
因为f(－x)＝2sin－1＝－2sin－1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故A 错误；
因为f ＝2sin－1＝－1，所以f(x)的图象不关于点对称，故B 错误；
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝1 时，≤x≤，故C 正确；
因为－1≤sin≤1，所以－2≤2sin≤2，所以－3≤2sin－1≤1，即f(x)的值域是[－3,1]，故D 正
确．]
10．BC [由题可得g(x)＝2sin，
当x∈时，2x－∈，故函数g(x)在上不单调，故A 错误；
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当x∈时，2x－∈，sin∈，g(x)＝2sin∈[－2,1]，故B 正确；
当x＝时，2x－＝，故函数g(x)的图象关于直线x＝对称，故C 正确；
由g(x)＝2sin 可知，最小正周期为π，又x＝，2x－＝，故函数g(x)的图象不关于点对称，故
D 错误．]
11．CD [由题意，将函数y＝sin 的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到
y＝sin
＝sin，
则y＝sin 的图象关于直线x＝对称．
所以2×＋2φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－，k∈Z，
当k＝0 时，φ＝－，
当k＝1 时，φ＝.]
12．ABD [对于A，由题意可知函数g(x)＝sin(2x＋φ)的图象在区间[a，b]上的对称轴为直
线x＝，又g(x1＋x2)＝，所以g(0)＝g(x1＋x2)＝，所以sin φ＝，又因为0<φ<，所以φ＝，故
g(x)＝sin，故A 正确；
对于B，g(x)＝sin 向右平移个单位长度得到函数y＝sin 的图象，再将其横坐标缩短为原来的
得到f(x)＝sin 的图象，故B 正确；
对于C，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝1 时，≤x≤，
所以g(x)在上单调递增，而⊈，故C 错误；
对于D，令t＝4x－，则t∈，函数y＝sin t 在上有6 个零点t1，t2，…，t6，则t1＋t2＝π，t2＋
t3＝3π，t3＋t4＝5π，t4＋t5＝7π，t5＋t6＝9π，
故t1＋2t2＋2t3＋2t4＋2t5＋t6＝4(x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6)－10×＝25π，
所以x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6＝，故D 正确．]
13.(填写符合φ＝2kπ±，k∈Z 的一个值即可)
14.
15．1 －
解析 依题意得f ＝A×－×＝0，解得A＝1，
所以f(x)＝sin x－cos x
＝2sin，
所以f ＝2sin
＝2sin＝－.
16．①④⑤或②③④
解析 若选①，f(x)＝(1＋cos x)sin x，
则f′(x)＝2cos2x＋cos x－1
＝(2cos x－1)(cos x＋1)，
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令f′(x)>0，解得cos x>；
令f′(x)<0，解得cos x<，
所以f(x)在，k∈Z 上单调递增，
在，k∈Z 上单调递减，显然f(x)在上不单调，③不正确；显然f(x)的一个周期是2π，
所以当x＝时，f(x)取得最小值
f ＝－，⑤正确；
因为f(2π－x)
＝[1＋cos(2π－x)]sin(2π－x)
＝－(1＋cos x)sin x
＝－f(x)，
所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确，可知选①④⑤.
若选②，f(x)＝(1－cos x)sin x，
则f′(x)＝－2cos2x＋cos x＋1＝(2cos x＋1)(1－cos x)，
令f′(x)>0，解得cos x>－；
令f′(x)<0，解得cos x<－，
所以f(x)在，k∈Z 上单调递增，
在，k∈Z 上单调递减，显然f(x)在上单调递增，③正确；因为f(2π－x)
＝[1－cos(2π－x)]sin(2π－x)
＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，
所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确；
显然f(x)的一个周期是2π，
所以当x＝时，f(x)取得最小值
f ＝－，⑤不正确，
可知选②③④.
必刷小题8 解三角形
1．D 2.D 3.D 4.B 5.B
6．A [由tan A＝以及正弦定理得＝＝，
所以sin B＝cos A，
即sin B＝sin，
又B 为钝角，所以＋A∈，
故B＝＋A，
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C＝π－(A＋B)＝－2A>0
⇒A∈，
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A
＝－2sin2A＋sin A＋1
＝－22＋，
因为A∈，
所以0<sin A<，
由此<－22＋≤，
即sin A＋sin C 的取值范围是.]
7．B [f(A)＝2
－cos 2A＝2sin－cos 2A＝2cos A－(2cos2A－1)
＝－2cos2A＋2cos A＋1，
当cos A＝，
即A＝时，f(A)max＝，
∴BC2＝52＋42－2×5×4×＝21，∴BC＝.]
8．C [设AB＝BC＝t，CD＝m，所以S△ABC＝t2sin B＝，
即t2sin B＝，①
在△BCD 中，由余弦定理得m2＝t2＋2－2t··cos B，
即t2cos B＝t2－m2，②
由①②得t4＝2＋，
即9t4－40m2t2＋16m4＋＝0，
令t2＝x>0，设g(x)＝9x2－40m2x＋16m4＋，则方程g(x)＝0 在(0，＋∞)上有解，所以g＝92－
40m2×＋16m4＋≤0，解得m4≥，即m≥.]
9．AB [选项A，bsin A＝14sin 30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确；
选项B，bsin A＝25sin 150°＝，则a>b>bsin A，则三角形有一解，判断正确；
选项C，bsin A＝sin 60°＝，则a<bsin A，则三角形无解，判断错误；
选项D，bsin A＝9sin 45°＝，则a<bsin A，则三角形无解，判断错误．]
10．AD [＋＝0，变形得＝，
结合余弦定理得
＝，
因为c≠0，
所以sin Bcos B＝sin Acos A，
即sin 2A＝sin 2B.
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因为A，B∈(0，π)，
所以2A＝2B 或2A＋2B＝π，即A＝B 或A＋B＝，
所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．]
11．AD [由ccos A＋asin C＝0 及正弦定理，
得sin Ccos A＋sin Asin C＝0，
因为C∈(0，π)，sin C≠0，
所以cos A＋sin A＝0，
即tan A＝－，
因为A∈(0，π)，所以A＝，故A 正确；
S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
所以bc·sin ＝c·1·sin ＋b·1·sin ，
所以bc＝b＋c，即＋＝1，
所以b＋c＝(b＋c)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当b＝c＝2 时，等号成立，
所以b＋c 的最小值为4，故D 正确．]
12．AB [设△ABC 的外接圆半径为R，因为O 是△ABC 的外心，
故可得|AO|＝R，
且AB·AO＝|AB|2＝c2，
AC·AO＝|AC|2＝b2，
故AB·AO＋AC·AO
＝2mAO2，
即|AB|·|AC|＋|AB|·|AC|＝2mR2，
也即bc＝2mR2，则m＝，
又2sin B＋sin C＝，
由正弦定理可得2b＋c＝2R，
则R2＝，
故m＝＝≤＝，
当且仅当＝，即c＝2b 时，m 取得最大值，
故结合选项知m 可取的值为或.]
13．(5,6]
解析 方法一 由tan Atan B
＝＋tan A＋tan B，
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得tan A＋tan B
＝(tan Atan B－1)，
则＝－，
即tan(A＋B)＝－，
∴tan C＝.
又0<C<，
∴C＝，
∴A＋B＝.
又∵0<A<，0<B<，
∴<A<.
由正弦定理，得＝＝＝＝2，
∴a2＋b2＝(2sin A)2＋(2sin B)2
＝4
＝4
＝4
＝4.
又∵<A<，
∴<2A－<，
∴<sin≤1，
∴5<a2＋b2≤6，即a2＋b2的取值范围为(5,6]．
方法二 由tan Atan B
＝＋tan A＋tan B，
得tan A＋tan B
＝(tan Atan B－1)，
则＝－，
即tan(A＋B)＝－，
∴tan C＝.
又0<C<，
∴C＝.
设A＝－α，B＝＋α.
∵0<－α<，0<＋α<，
∴－<α<.
由正弦定理，得＝＝＝＝2，
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∴a2＋b2＝(2sin A)2＋(2sin B)2
＝4
＝4
＝4
＝4＋2cos 2α.
∵－<α<，
∴－<2α<，
∴<cos 2α≤1，
∴5<a2＋b2≤6，
即a2＋b2的取值范围为(5,6]．
14. 12π 15.
16．14
解析 在△AMN 中，由余弦定理得，
MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos 120°
＝25＋9－2×5×3×＝49，
所以MN＝7 千米．
设∠PMN＝α，
因为∠MPN＝60°，
所以∠PNM＝120°－α，
0°<α<120°，
在△PMN 中，由正弦定理得
＝＝
＝＝，
所以PM＝sin(120°－α)，
PN＝sin α，
因此PM＋PN＝sin(120°－α)＋sin α
＝×
＝×
＝14sin(α＋30°)，
因为0°<α<120°，
所以30°<α＋30°<150°.
所以当α＋30°＝90°，即α＝60°时，PM＋PN 取到最大值14 千米．
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必刷大题9 解三角形
1．解 (1)因为A＋B＋C＝π，
所以cos(B＋C)＝－cos A，
所以2ccos C＝acos B＋bcos A，
由正弦定理得2sin Ccos C
＝sin Acos B＋sin Bcos
A＝sin(A＋B)．
因为sin(A＋B)＝sin C，
所以2sin Ccos C＝sin C.
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
所以cos C＝，则C＝.
(2)由S＝6bsin B，根据面积公式得6bsin B＝acsin B＝3asin B，
所以a＝2b.
由余弦定理得cos C＝＝，整理得a2＋b2－ab＝36，
即3b2＝36，
所以b＝2，a＝4.
所以△ABC 的面积S＝absin C＝×4×2sin＝6.
2．解 (1)在锐角△ABC 中，a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C)，
由正弦定理得
sin A＝2sin Bsin Ccos C＋2sin C·(sin A－sin Bcos C)＝2sin Asin C，而sin A>0，
所以sin C＝.
(2)因为△ABC 是锐角三角形，
由(1)得cos∠ACB＝
＝＝，
sin∠ADC＝sin
＝(sin∠ACB－cos∠ACB)
＝×＝，
在△ACD 中，由正弦定理得＝
＝，
即＝＝＝5，
解得CD＝，AC＝，
所以CD＝，AC＝.
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3．解 (1)选①：
由asin B＝bsin 得，
sin Asin B＝sin Bsin.
即sin A＝sin，
则A＝A－(舍)或A＋A－＝π，
所以A＝.
选②：由(a＋b)(sin A－sin B)
＝(b＋c)sin C 得，
(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得
cos A＝＝－，
又A∈(0，π)，所以A＝.
选③：由bsin ＝asin B 得，
sin ＝sin A，
即cos ＝2sin cos ，
因为cos ≠0，所以sin ＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由S△ABD＋S△ADC＝S△ABC得，
(b＋c)＝bc，
即bc＝b＋c＝6，
在△ABC 中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30，
解得a＝，
由正弦定理得＝＝＝2R＝2，即R＝，
所以sin Bsin C＝＝＝.
所以sin Bsin C 的值为.
4．解 (1)由bcos C＋bsin C－a－c＝0，
可得sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0
⇒sin Bcos C＋sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0
⇒sin Bcos C＋sin Bsin C－sin Bcos C－cos Bsin C－sin C＝0
⇒sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0
⇒sin B－cos B＝1
⇒sin＝，
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因为B∈，所以B＝.
(2)因为B＝，b＝2，
利用正弦定理得＝＝＝＝，
所以a＝sin A，c＝sin C，
所以l＝a＋b＋c
＝2＋(sin A＋sin C)，
所以l＝2＋
＝2＋4sin，
因为△ABC 是锐角三角形，
所以0<A<，
A＋B＝A＋>，
所以<A<，<A＋<，
所以sin∈，
所以2＋2<2＋4sin≤6，
所以△ABC 的周长l 的取值范围为(2＋2，6]．
5．解 (1)由题意可知∠BAC＝60°，
BC＝6.
在△ABC 中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，
即AB2＋AC2－AB·AC＝36.
因为AB2＋AC2≥2AB·AC，
当且仅当AB＝AC＝6 时等号成立，
所以AB2＋AC2－AB·AC≥AB·AC，即AB·AC≤36.
故△ABC 的面积S＝AB·AC·sin∠BAC≤×36×＝9.
即养殖区△ABC 面积的最大值为
9 km2.
(2)因为AB＝4，∠BAC＝60°，
所以△ABC 的面积
S＝AB·ACsin∠BAC＝AC.
在△ABC 中，由正弦定理可得＝，
则AC＝
＝
＝＋2.
因为△ABC 是锐角三角形，
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所以
所以30°<∠ACB<90°，
所以tan∠ACB>，
所以0<<，
则2<＋2<8，
即2<AC<8.
故S＝AC∈(2，8)，即△ABC 面积的取值范围是(2，8)．
6．解 (1)已知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋c2
－a2＝－bc.
由余弦定理得cos A＝＝＝－.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由正弦定理＝＝＝，得b＋λc＝(sin B＋λsin C)
＝[sin(A＋C)＋λsin C]
＝
＝sin(C＋φ)，
φ∈，
其中tan φ＝＝.
因为C∈，要使b＋λc 存在最大值，即C＋φ＝有解，
所以φ∈，从而>，即0<2λ－1<3，
所以正数λ 的取值范围为.
必刷小题10 平面向量与复数
1．D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A
7．B 8.C
9．BC [对于A，＝＝＝＝－i，A 错误；
对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴＝－5＋i；
又·＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴＝·，B 正确；
对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i 为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C 正确；
对于D，由题意得OA＝(2，－3)，
OB＝(－1，－1)，
∴AB＝OB－OA＝(－3,2)，
∴|AB|＝＝，D 错误．]
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10．CD [对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
则a·b＝2－1＝1>0，
又a，b 不共线，
所以a，b 的夹角为锐角，故A 错误；
对于B，向量a 在b 上的投影向量为
·＝b，B 错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C 正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n 均为正数，
得mn＝(2m·n)≤2＝2，当且仅当m＝1，n＝2 时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正
确．]
11．AB [如图，
对于A 项，由题意得AG＝2GD，AH⊥BC，
所以GH＝2OG，所以A 选项正确；
对于B 项，设D 为BC 的中点，
GB＋GC＝2GD＝－GA，
所以GA＋GB＋GC＝0，所以B 选项正确；
对于C 项，因为D 为BC 的中点，G 为△ABC 的重心，
所以AG＝2GD，GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，
所以AH＝2OD，故C 选项错误；
对于D 项，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，故D 选项错误．]
12．ABC [由题意作图如图所示，
∵OP1⊥OP3，∴OP1·OP3＝0，故选项A 正确；
27
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∵PP1与PP2所对的圆心角相等，∴|PP1|＝|PP2|，故选项B 正确；
∵OP·OP3＝|OP||OP3|cos 60°＝.
OP1·OP2＝|OP1||OP2|cos 60°＝，故选项C 正确；
若点P1坐标为，
则|OP1|＝≠，故选项D 错误．]
13．2 14. 15.
16．8
解析 ∵△ABC 为等边三角形，其外接圆的半径为2，
∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(2,0)，B(－1，)，C(－1，－)，
设P(2cos θ，2sin θ)，
则PA＝(2－2cos θ，－2sin θ)，
PB＝(－1－2cos θ，－2sin θ)，
PC＝(－1－2cos θ，－－2sin θ)，
则PA·PB＋PB·PC
＝(2－2cos θ)(－1－2cos θ)＋2sin θ·(2sin θ－)＋(2cos θ＋1)2＋(2sin θ－)(2sin θ＋)
＝4＋2cos θ－2sin θ
＝4＋4cos，
∴0≤PA·PB＋PB·PC≤8，
则PA·PB＋PB·PC的最大值为8.
必刷小题11 数 列
1．D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.D
7．D
8．C [等差数列{an}中，a1＝－5，a3＝－1，
所以d＝2，an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，Sn＝－5n＋×2＝n2－6n，
则bn＝＝，令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝>0，
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故f(x)在，上单调递增，没有最大值，
因为b1＝1，b3＝9，b4＝－8，结合数列的函数特性易得，当n＝4 时，bn取得最小值．]
9．BC [由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，
S15＝＝15a8为定值，
但S16＝＝8 不是定值．]
10．ABD [A 项，若{an}和{bn}都是等差数列，不妨设an＝k1n＋b1，bn＝k2n＋b2，
故可得an＋bn＝(k1＋k2)n＋b1＋b2，则an＋1＋bn＋1＝(k1＋k2)(n＋1)＋b1＋b2，
则an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝k1＋k2，故数列{an＋bn}是等差数列，故A 正确；
B 项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等
差数列，故B 正确；
C 项，若{an}和{bn}是等比数列，设an＝a1q，bn＝b1q，故可得an＋bn＝a1q＋b1q，an＋1＋bn＋1
＝a1q＋b1q，则＝，不是常数，故{an＋bn}不是等比数列，故C 错误；
D 项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等
比数列，故D 正确．]
11．ABD [由题意，数列{an}的前n 项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)，
当n≥2 时，an＝2Sn－1，
两式相减，可得
an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
可得an＋1＝3an，即＝3(n≥2)，
又a1＝1，则a2＝2S1＝2a1＝2，
所以＝2，
所以数列{an}的通项公式为
an＝
当n≥2 时，Sn＝＝
＝3n－1，
又S1＝a1＝1，适合上式，
所以数列{an}的前n 项和为
Sn＝3n－1，
又＝＝3，
所以数列{Sn}为首项为1，公比为3 的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．]
12．AB [设等比数列{an}的公比为q，则q≠1.
∵an>0，a1＝，Sn<2，
∴{an}是递减数列，
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×qn－1>0，<2，
∴1>q>0 且1≤4－4q，
解得0<q≤.
∴{an}的公比的取值范围是，
故{an}的公比可取的值为或.]
13．－ 14.2
15．n(n＋1)
解析 由已知得，＝，则有＝，＝，＝，…，＝，＝，将这(n－1)个等式相乘得，＝，
则an＝n(n＋1)．
16.
解析 S1＝a1＝1，则lg S1＝lg 1＝0，
∵{lg Sn}是公差为lg 3 的等差数列，
∴lg Sn＝(n－1)lg 3＝lg 3n－1，
则Sn＝3n－1，
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝3n－1－3n－2＝2×3n－2，
a2＝2，当n≥2 时，＝＝3，∴数列{an}自第二项起构成公比为3 的等比数列，可得a2＋a4
＋…＋a2n＝＝.
必刷大题12 数列的综合问题
1．解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
由＝，得S4＝4S2,
所以a3＋a4＝3(a1＋a2)，即(a1＋a2)q2＝3(a1＋a2)，
所以q2＝3，
因为等比数列{an}递增，所以q＝，
所以an＝a1qn－1＝
.
(2)由(1)可得a2n－1＝3n－1，所以bn＝log3a2n－1＝n－1，
故Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1＝.
2．解 (1)设数列{an}的公比为q，由a1＝2，S3＝a3＋6，
得 a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，
解得 q＝2，
所以an＝2n.
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(2)由(1)可得bn＝log2an＝n，所以anbn＝n·2n，
Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，
所以－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1
＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
3．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，
所以d＝a2－a1＝2，
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，
所以n＝log2bn，
所以bn＝2n.
(2)由(1)得bn＝2n＝2·2n－1＝
，
即bn是数列{an}中的第2n－1项．
设数列{an}的前n 项和为Pn，数列{bn}的前n 项和为Qn，
因为b7＝
＝a64，b8＝
＝a128，
所以数列{cn}的前100 项是由数列{an}的前107 项去掉数列{bn}的前7 项后构成的，
所以S100＝P107－Q7＝－＝11 302.
4．解 (1)选条件①时，a3＝4,2lg an＝lg an－1＋lg an＋1(n≥2)，
整理得a＝an－1·an＋1，故正项数列{an}为等比数列，
由于a1＝1，a3＝4，
故公比q2＝＝4，解得q＝2，
故an＝a1qn－1＝2n－1.
选条件②时，Sn＝man－1(m∈R)，
当n＝1 时，整理得a1＝ma1－1，解得m＝2，
故Sn＝2an－1，(a)
当n≥2 时，Sn－1＝2an－1－1，(b)
(a)－(b)得an＝2an－2an－1，整理得＝2(常数)，
所以数列{an}是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以an＝2n－1.
选条件③时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝kn·2n(k∈R)，
当n＝1 时，整理得2a1＝k·21，
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解得k＝1，
故2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n·2n(k∈R)，(a)
当n≥2 时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋nan－1＝(n－1)·2n－1，(b)
(a)－(b)得an＝2n－1(首项符合通项)，
所以an＝2n－1.
(2)由(1)得bn＝
＝＝－，
所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
解得n＝99.
5．解 (1)设数列{an}的公差为d(d>0)，数列{bn}的公比为q，
由已知得解得a1＝3，d＝3，所以an＝3n；
所以b1＝a1＝3，q＝＝3，所以bn＝3n.
(2)由题意可知新数列{cn}为b1，b2，b4，b5，…，
则当n 为偶数时，Sn＝
＝
＝
，
则当n 为奇数时，
Sn＝Sn－1＋cn＝Sn－1＋
＝Sn－1＋
＝
，
综上，Sn＝
6．(1)解 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1，
由a2－b2＝a3－b3＝1 可得
⇒d＝q＝2(d＝q＝0 舍去)，
所以an＝2n－1，bn＝2n－1.
(2)证明 因为bn＋1＝2bn≠0，
所以要证(Sn＋1＋an＋1)bn＝Sn＋1bn＋1－Snbn，
即证(Sn＋1＋an＋1)bn＝Sn＋1·2bn－Snbn，
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即证Sn＋1＋an＋1＝2Sn＋1－Sn，
即证an＋1＝Sn＋1－Sn，
而an＋1＝Sn＋1－Sn显然成立，
所以(Sn＋1＋an＋1)bn＝Sn＋1·bn＋1－Sn·bn.
(3)解 因为[a2k－(－1)2k－1a2k－1]b2k－1＋[a2k＋1－(－1)2ka2k]b2k
＝(4k－1＋4k－3)×22k－2＋[4k＋1－(4k－1)]×22k－1＝2k·4k，
所以ak＋1－(－1)kak]bk
＝[a2k－(－1)2k－1a2k－1]b2k－1＋[a2k＋1－(－1)2ka2k]b2k}＝k·4k，
设Tn＝k·4k，
所以Tn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n×4n，
4Tn＝2×42＋4×43＋…＋(2n－2)·4n＋2n×4n＋1，
两式相减得－3Tn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－2n×4n＋1
＝2×－2n×4n＋1
＝－2n×4n＋1，
所以Tn＝，
所以ak＋1－(－1)kak]bk
＝.
必刷小题13 立体几何
1．A 2.D 3.D 4.A 5.D
6．B [根据题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后水柱的体积减去原来水柱的体积；
设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r；
则玻璃球的体积为πr3，圆柱的底面面积为πr2，
放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，
此时水面的高度为2r，所以πr3＝πr2(2r－10)，解得r＝15(cm)．]
7．B [正四棱锥P－ABCD 的底面是正方形，底面边长为4，高为8，如图所示，
所以正四棱锥P－ABCD 的底面对角线的长为4×＝8，
设正四棱锥外接球的半径为R，则R2＝(8－R)2＋42，解得R＝5，
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所以球的表面积为S＝4π·R2＝4π×25＝100π，
即该鞠的表面积为100π. ]
8．B [设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作DE⊥BC 交BC 于点E，则∠CDE 为“切面”所
在平面与底面所成的角，设为θ.
设底面圆的直径为2r，则CD 为椭圆的长轴2a，短轴为2b＝DE＝2r，
则椭圆的长轴长2a＝|CD|＝，即a＝，
所以椭圆的离心率为e＝＝＝＝＝sin θ，
所以θ＝.]
9．A [在△ABC 中，由余弦定理，得BC＝＝3，
设△ABC 外接圆半径为r，
由正弦定理2r＝＝2，
得r＝，
又R2＝R2＋3，∴R2＝12，
∴球O 的表面积为4πR2＝48π.]
10．B [根据题意，在平面VAC 内，过点P 作EF∥AC 分别交VA，VC 于点F，E，
在平面VBC 内，过点E 作EQ∥VB 交BC 于点Q，
在平面VAB 内，过F 作FD∥VB 交AB 于点D，连接DQ，如图所示，
因为EF∥AC，
所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，
则＝＝＝k，
因为VA＝VB＝VC＝1，
所以AC＝，即EF＝k，
因为FD∥ VB，
所以△AFD∽△AVB，
即＝＝，
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因为＝＝1－k，
所以＝＝1－k，即FD＝1－k，
同理△CEQ∽△CVB，
即＝＝＝1－k，
即EQ＝1－k，
所以FD∥EQ，且FD＝EQ，
所以四边形FEQD 为平行四边形，
因为VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA⊂平面VAC，VC⊂平面VAC，
所以VB⊥平面VAC，
因为FD∥VB，
所以FD⊥平面VAC，
因为EF⊂平面VAC，
所以FD⊥EF，
所以四边形FEQD 是矩形，即S 矩形FEQD＝FD·EF＝(1－k)·k＝－2＋，
所以当k＝时，
S 矩形FEQD有最大值.
故该截面面积的最大值是 dm2.]
11．BC [设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，
则MN＝
＝＝a，
作点E 在平面ABCD 内的射影点G，
连接EG，GF，
所以EF＝
＝
＝a，
所以MN≠EF，故选项B 正确，A 错误；
连接DE，因为E 为平面ADD1A1的中心，
所以DE＝A1D，
又因为M，N 分别为B1C1，CC1的中点，
所以MN∥B1C，
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又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，
且DE∩EF＝E，
所以MN 与EF 异面，故选项C 正确，D 错误．]
12．BC [将四边形ABFE 沿EF 翻折，得到几何体AED－BFC，
在几何体AED－BFC 中，DE∥CF，CF⊂平面CFB，DE⊄平面CFB，
∴DE∥平面CFB，又AE∥BF，BF⊂平面CFB，AE⊄平面CFB，∴AE∥平面CFB，
∵AE∩DE＝E，∴平面CFB∥平面ADE，
∵BC⊂平面CFB，∴BC∥平面ADE，故B 正确；
如图，过点D 作DH⊥EF，交EF 于H，过H 作HG⊥AB，交AB 于点G，
过点C 作CN⊥EF，交EF 的延长线于N，过点N 作NM⊥AB，交AB 的延长线于点M，如图
所示，
则四棱锥C－BFNM 与D－AEHG 是全等的两个四棱锥，
∵NM⊥AB，则NM⊥EF，又CN⊥EF，NM∩CN＝N，
∴EF⊥平面CMN，
∴EF⊥平面DHG，
∵D∈平面DHG，A∉平面DHG，则AD 与EF 不垂直，故A 错误；
三棱柱CNM－DHG 为直三棱柱，
几何体AED－BFC 的体积与三棱柱CNM－DHG 体积相同，
三棱柱CNM－DHG 的体积V＝S△CNM·NH，
在Rt△DEH 中，DE＝4，∠EDH＝30°，∴EH＝2，
又EF＝6，NF＝EH，
∴NH＝6，
当S△CNM面积最大时，几何体AED－BFC 的体积最大，
当NM⊥CN 时，S△CNM面积取最大值，
∵NM⊥NE，NE∩CN＝N，则MN⊥平面DEFC，
又NM⊂平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面DEFC，故C 正确；
若平面ADE⊥平面ABFE，由平面ADE∩平面ABFE＝AE，
过D 有两条直线DH′，DH 与平面ABFE 垂直，
这与过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾，故D 错误．]
13．2 14.
15．20 2
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解析 由题意可得，D1F∥BE，
则
＝×
＝×＝20；
将长方体展开，如图所示，当点E 为BD1与CC1的交点，F 为BD1与AA1的交点时，截面四
边形BED1F 的周长最小，最小值为2BD1＝2＝2.
16．①③
解析 对于①，连接AD1，CD1，如图，由正方体的性质知△ACD1为等边三角形，由于O 为
底面ABCD 的中心，故O 为AC 的中点，故AC⊥D1O，①正确；
对于②，将 D1O 进行平移到过B1点，使之与 B1P 具有公共顶点，如图，根据立体图形判
断，无论如何也不可能满足B1H 平行或重合于B1P，所以D1O 不可能平行于B1P，②错误；
对于③，取B1B 的中点E，连接OE，EC，BD，D1E，如图，易证明D1O⊥平面OEC，所以
P 在线段EC 上运动，当点P 到点E 位置时，C1P 最大，此时△D1C1P 的面积最大为
＝
×2×＝，所以③正确；
对于④，P 到直线D1C1的距离为线段PC1的长度，所以|PC1|＝|PB|，判定出P 点在直线BC1
的垂直平分线上，故④错误．
必刷大题14 空间向量与立体几何
1．解 (1)设点A 到平面A1BC 的距离为h，
因为直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，
所以
＝S△ABC·AA1
，
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又△A1BC 的面积为2，
＝×2h＝，
所以h＝，
即点A 到平面A1BC 的距离为.
(2)取A1B 的中点E，连接AE，
则AE⊥A1B.
因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE⊂平面ABB1A1，
所以AE⊥平面A1BC，
又BC⊂平面A1BC，所以AE⊥BC.
又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AA1⊥BC.
因为AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1，
又AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB.
以B 为坐标原点，分别以BC，BA，BB1的方向为x，y，z 轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系，
由(1)知，AE＝，
所以AA1＝AB＝2，A1B＝2.
因为△A1BC 的面积为2，
所以2＝·A1B·BC，所以BC＝2，
所以A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0，2,2)，D(1,1,1)，E(0,1,1)，
则BD＝(1,1,1)，BA＝(0,2,0)．
设平面ABD 的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝(1,0，－1)．
又平面BDC 的一个法向量为AE＝(0，－1，1)，
所以cos〈AE，n〉＝＝＝－.
设平面ABD 与平面BCD 的夹角为θ，
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则sin θ＝＝，
所以平面ABD 与平面BCD 夹角的正弦值为.
2．证明 (1)由题意知，AB，AD，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线
分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设PA＝AB＝2，则P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，PB＝(2,0，－2)，PD＝
(0,2，－2)，AM＝(1,1,1)，
设平面PBD 的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1,1,1)，
∵AM＝n，∴AM⊥平面PBD.
(2)如图，连接AC 交BD 于点E，
则E 是AC 的中点，连接PE，
∵AM∩平面PBD＝O，
∴O∈AM 且O∈平面 PBD，
∵AM⊂平面PAC，
∴O∈平面PAC，
又平面PBD∩平面PAC＝PE，
∴O∈PE，
∴AM，PE 的交点就是O，连接ME，
∵M 是PC 的中点，
∴PA∥ME，PA＝2ME，
∴△PAO∽△EMO，
∴＝＝，
∴AO＝2OM.
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3．(1)证明 连接EF(图略)，∵E，F 分别为PB，AB 的中点，∴EF∥PA，
∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，
∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD，且AF＝CD.
∴四边形ADCF 为平行四边形，即CF∥AD，
∵CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CF∥平面PAD，
∵EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，
∴平面PAD∥平面EFC，CE⊂平面EFC，则CE∥平面PAD.
(2)解 ∵∠ADC＝90°，AB∥CD，∴AB⊥AD，CF⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CF，又PA∩AB＝A，∴CF⊥平面PAB，∴CF⊥PF.
设CF＝x，则S△AFC＝×1×x＝，S△PFC＝××x＝x，
设点A 到平面PCF 的距离为h，由VP－AFC＝VA－PFC，
得××2＝××h，则h＝.
∵点F 为AB 的中点，∴点B 到平面PCF 的距离等于点A 到平面PCF 的距离，为.
4．(1)证明 因为AD＝CD，E 为AC 的中点，所以AC⊥DE.
在△ADB 和△CDB 中，
因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，
DB＝DB，
所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC.
因为E 为AC 的中点，所以AC⊥BE.
又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，
所以AC⊥平面BED，
又AC⊂平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD.
(2)解 由(1)可知AB＝BC，
又∠ACB＝60°，AB＝2，
所以△ABC 是边长为2 的正三角形，
则AC＝2，BE＝，AE＝1.
因为AD＝CD，AD⊥CD，
所以△ADC 为等腰直角三角形，
所以DE＝1.
所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE.
由(1)可知，AC⊥平面BED.
连接EF，因为EF⊂平面BED，
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所以AC⊥EF，
当△AFC 的面积最小时，点F 到直线AC 的距离最小，
即EF 的长度最小．
在Rt△BED 中，当EF 的长度最小时，
EF⊥BD，EF＝＝.
方法一 由(1)可知，DE⊥AC，BE⊥AC，
所以EA，EB，ED 两两垂直，
以E 为坐标原点，EA，EB，ED 所在的直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，则A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0,0,1)，C(－1,0,0)，
AB＝(－1，，0)，DB＝(0，，－1)．
易得DF＝，FB＝，所以3DF＝FB.
设F(0，y，z)，则DF＝(0，y，z－1)，
FB＝(0，－y，－z)，
所以3(0，y，z－1)＝(0，－y，－z)，
得y＝，z＝，
即F，
所以CF＝.
设平面ABD 的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
不妨取y1＝1，则x1＝，z1＝，
n＝(，1，)．
记CF 与平面ABD 所成的角为α，
则sin α＝|cos〈CF，n〉|＝＝.
所以CF 与平面ABD 所成角的正弦值为.
方法二 因为E 为AC 的中点，所以点C 到平面ABD 的距离等于点E 到平面ABD 的距离的
2 倍．
因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
因为VD－AEB＝VE－ADB，
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所以·AE·BE·DE＝·S△ABD·，其中d 为点C 到平面ABD 的距离．
在△ABD 中，BA＝BD＝2，AD＝，
所以S△ABD＝，所以d＝.
由(1)知AC⊥平面BED，EF⊂平面BED，
所以AC⊥EF，
所以FC＝＝.
记CF 与平面ABD 所成的角为α，
则sin α＝＝.
所以CF 与平面ABD 所成角的正弦值为.
方法三 如图，过点E 作EM⊥AB 交AB 于点M，连接DM，过点E 作EG⊥DM 交DM 于点
G.
因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以DE⊥AB，
又EM∩DE＝E，EM，DE⊂平面DEM，所以AB⊥平面DEM，
又EG⊂平面DEM，所以AB⊥EG，
又AB∩DM＝M，AB，DM⊂平面ABD，
所以EG⊥平面ABD，则EG 的长度等于点E 到平面ABD 的距离．
因为E 为AC 的中点，所以EG 的长度等于点C 到平面ABD 的距离的.
因为EM＝AE·sin 60°＝，
所以EG＝＝＝，
所以点C 到平面ABD 的距离d＝.
FC＝＝.
记CF 与平面ABD 所成的角为α，
则sin α＝＝.
所以CF 与平面ABD 所成角的正弦值为.
5．(1)证明 在图①中，连接CE(图略)，
因为DC∥AB，CD＝AB，E 为AB 的中点，
所以DC∥AE，且DC＝AE，
所以四边形ADCE 为平行四边形，
所以AD＝CE＝CD＝AE＝2，
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同理可证DE＝2，
在图②中，取DE 的中点O，连接OA，OC(图略)，
则OA＝OC＝，
因为AD＝AE＝CE＝CD，所以DE⊥OA，DE⊥OC，
因为OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面AOC，所以DE⊥平面AOC，
因为AC⊂平面AOC，所以DE⊥AC.
(2)解 若选择①：由(1)知DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，
所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC，
所以过点A 作AH⊥OC 交OC 于点H(图略)，则AH⊥平面BCDE，因为S 四边形BCDE＝2，
所以四棱锥A－BCDE 的体积VA－BCDE＝2＝×2·AH，
所以AH＝OA＝，所以AO 与AH 重合，所以AO⊥平面BCDE，
建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(－，0,0)，E(0,1,0)，A(0,0，)，
易知平面DAE 的一个法向量为CO＝(，0,0)，
设平面AEC 的法向量为n＝(x，y，z)，
因为CE＝(，1,0)，CA＝(，0，)，
所以取n＝(1，－，－1)，
设平面DAE 与平面AEC 的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以平面DAE 与平面AEC 夹角的余弦值为.
若选择②：因为DC∥EB，所以∠ACD 即为异面直线AC 与EB 所成的角，
在△ADC 中，cos∠ACD＝＝，
所以AC＝，所以OA2＋OC2＝AC2，即OA⊥OC，
因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，
所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC，又OA⊂平面AOC，
所以AO⊥平面BCDE，
建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(－，0,0)，E(0,1,0)，A(0,0，)，
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易知平面DAE 的一个法向量为CO＝(，0,0)，
设平面AEC 的法向量为n＝(x，y，z)，
因为CE＝(，1,0)，CA＝(，0，)，
所以取n＝(1，－，－1)，
设平面DAE 与平面AEC 的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以平面DAE 与平面AEC 夹角的余弦值为.
6．(1)证明 因为△ABC 是正三角形，点E 是BC 的中点，所以AE⊥BC，
又因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，
所以AE⊥平面BCD，
又因为CD⊂平面BCD，所以CD⊥AE，
因为点E，F 分别是BC，CD 的中点，所以EF∥BD，
又因为BD⊥CD，所以CD⊥EF，又因为AE∩EF＝E，
AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF，
又因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面AEF.
(2)解 在平面BCD 中，过点E 作EH⊥BD，垂足为H，此时EH∥CD，即H 为BD 的中点，
设BC＝4，则EA＝2，DF＝FC＝1，EF＝.
以E 为原点，以EH，EF，EA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐
标系，
则E(0,0,0)，A(0,0,2)，
C(－1，，0)，D(1，，0)，
设G(1，y,0)(－≤y≤)，则EA＝(0,0,2)，AD＝(1，，－2)，CD＝(2,0,0)，EG＝(1，y,0), 设平
面AEG 的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则令y1＝－1，得n1＝(y，－1,0)，
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设平面ACD 的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则令z2＝1，得n2＝(0,2,1)，
设平面AEG 与平面ACD 的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，
当y＝0 时，cos θ 最大，此时平面AEG 与平面ACD 的夹角θ 最小，
故当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 的夹角最小．
必刷小题15 直线与圆
1．A 2.B 3.C 4.C 5.A
6．C [若点P 在圆C 上，则x＋y＝1，圆心到直线l：x0x＋y0y＝1 的距离d＝＝1，此时直线
l 与圆C 相切；
若直线l 与圆C 相切，则d＝＝1，即x＋y＝1，此时点P 在圆C 上．
综上知，“点P(x0，y0)在圆C 上”是“直线l 与圆C 相切”的充要条件．]
7．A [设C(x，y)，则＝，
即＝，
化简得(x－2)2＋y2＝3，
所以点C 的轨迹是以(2,0)为圆心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0 的距离d＝＝2，
所以点C 到直线x－2y＋8＝0 的距离的最小值为2－.]
8．C [圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0，即圆C：(x－m)2＋(y－1)2＝16，即圆心为
C(m,1)，r＝4，
所以△ABC 的面积为S△ABC＝r2sin∠ACB＝8sin∠ACB≤8，
当且仅当∠ACB＝，即△ABC 为等腰直角三角形时等号成立，此时，|AB|＝4，圆心C 到直线
AB 的距离为＝2，
因为点P(3，－1)在圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2－15＝0 内，
所以2≤|PC|<4，
即2≤<4，
所以8≤(m－3)2＋4<16，
解得3－2<m≤1
或5≤m<3＋2，
所以实数m 的取值范围是(3－2，1]∪[5,3＋2)．]
9．AC [因为点A(2,3)，B(4，－5)到直线l：(m＋3)x－(m＋1)y＋m－1＝0 的距离相等，
所以＝，
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化简得|5m＋8|＝1，
解得m＝－或m＝－.]
10．AD [圆C1：x2＋y2＝1 的圆心为C1(0,0)，半径为r＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16 的圆心为C2(3，－4)，半径为R＝4.
两个圆心所在的直线斜率为＝－，所以选项A 正确；
因为|C1C2|＝＝5，
R＋r＝5，
所以两圆相外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点P，点Q 运动到切点时，|PQ|
的最小值为0，因此选项B，C 不正确，选项D 正确．]
11．AD [点(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋(m－1)y－m＋2＝0 外，
则12＋22＋2＋2(m－1)－m＋2>0，得m>－7，A 选项正确；
圆x2＋y2＝2 的圆心为(0,0)，半径为，
因为圆心到直线l 的距离为＝，
所以圆x2＋y2＝2 上有且仅有3 个点到直线l：x－y＋1＝0 的距离等于，B 选项错误；
C1的圆心为(1,2)，半径为3；C2的圆心为(－1，－1)，半径为2，
所以圆心距为＝≠3＋2，C 选项错误；
圆x2＋y2＋2x＝0 的圆心为A(－1,0)，半径为1，
表示圆上的点B(x，y)与点C(1,0)连线的斜率，
当直线BC 与圆A 相切时，如图所示，
AB＝1，AC＝2，所以∠BCA＝，
结合对称性可知的取值范围是，D 选项正确．]
12．ACD [对于A 选项，因为直线l 的方程可化为
x－y＋＋m(x＋y－3)＝0.
令解得
所以直线l 过定点Q(0，)，
直线l 是过点Q 的所有直线中除去直线x＋y－3＝0 外的所有直线，
圆心C(1,0)到直线x＋y－3＝0 的距离为＝1<2，即直线x＋y－3＝0 与圆C 相交，
又点Q(0，)在圆C：(x－1)2＋y2＝4 上，所以直线l 与C 至少有一个公共点，
所以直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种，A 正确；
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对于B 选项，当直线l 为圆C 的切线时，点C 到直线l 的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B
错误；
对于C 选项，因为圆心C 到直线4x＋3y＋16＝0 的距离d＝＝4，
所以圆C 上的点P 到直线4x＋3y＋16＝0 距离的最小值为4－2＝2，C 正确；
对于D 选项，圆x2＋y2＝1 的圆心为原点O，半径为1，
因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C 与圆O 内切，故点P 可能在圆x2＋y2＝1 上，D 正确．]
13.
14．3x－4y＋2＝0 或x＝2
15．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析 圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2 的圆心坐标为(－1,1)，半径为，
过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0 垂直的直线方程为x＋y＝0，
则所求圆的圆心在此直线上，
又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0 的距离为＝3，
则所求圆的半径为，
设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x＋y＝0 上，
所以＝，且a＋b＝0，
解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3 不符合题意，舍去)，
故所求圆的方程为
(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
16.
解析 由题意得l1：(x－3)m＋(1－y)＝0，l2：(x－1)＋(y－3)m＝0，
∴l1恒过定点M(3,1)，l2恒过定点N(1,3)，又l1⊥l2，
∴P 点轨迹是以|MN|为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，以×＝为半径的圆，
∴P 点轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，
∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2 与圆C 的圆心距d＝＝3>2，
∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d 减去两圆半径之和，
即|PQ|min＝3－2＝.
必刷小题16 圆锥曲线
1．C [双曲线－x2＝1 的焦点在y 轴上，a＝，b＝1，c＝＝2，
所以离心率为＝＝.]
2．D [根据题意，由椭圆的离心率为可得＝，
又×2b×c＝48，
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即bc＝48，且a2＝b2＋c2，
故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.]
3．B [抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，因为点M 到C 的焦点的距离为7，到
x 轴的距离为5，所以＝2，所以p＝4.]
4．A [由题意，设椭圆C 的方程为
＋＝1(a>b>0)，
因为椭圆C 的离心率为，面积为12π，
所以
解得a2＝16，b2＝9，
所以椭圆C 的方程为＋＝1.]
5．C [在椭圆＋＝1 中，a＝2，
b＝，
c＝＝1，
设线段PF2的中点为M，连接PF1，MF1，如图所示，
则F1F2为圆O 的一条直径，则F1M⊥PF2，
因为M 为PF2的中点，则|PF1|＝|F1F2|＝2c＝2，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
所以△PF1F2为等边三角形，由图可知，直线PF2的倾斜角为.]
6．A [由抛物线C：y2＝4x 知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|
＝|PF|＋|PM|－1，
当F，P，M 三点共线时，
|PM|＋|PN|取得最小值，
则最小值为|MF|－1＝－1＝2－1.]
7．B [作PM⊥x 轴于点M，如图，
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依题意|PM|＝c，
∠PF2F1＝120°，
则∠PF2M＝60°，
由题意知F2(c,0)，
由sin∠PF2M＝＝，
得|PF2|＝2c，
由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，而|F1F2|＝2c，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－
2|PF2|·|F1F2|cos∠PF2F1，
解得2a＋2c＝2c，
即a＝(－1)c，
又离心率e＝，于是有e＝，
所以双曲线C 的离心率为.]
8．D [可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，
可得y2＋4y－4＝0，
则y1＋y2＝－4，即y1＋y2＝－x1＋1－x2＋1＝－4，
则x1＋x2＝6，可得AB 的中点坐标为P(3，－2)，
易知，直线l 过抛物线焦点(1,0)，
则|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝8，
且AB 的垂直平分线方程为
y－(－2)＝1×(x－3)，
即y＝x－5，
则可设圆M 的圆心为M(a，b)，半径为r，
所以b＝a－5，
则圆M 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，
又圆心M(a，b)到直线l: y＝－x＋1 的距离d＝＝，且满足2＋d2＝r2，
则16＋2(a－3)2＝r2，①
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又因为圆M 与抛物线C 的准线相切，所以|a＋1|＝r，
即(a＋1)2＝r2，②
①②联立解得或]
9．CD [由双曲线C：－＝1，
得a＝，b＝，c＝，
则双曲线C 的实轴长为2，故A 错误；
双曲线的渐近线方程为
y＝±x，即x±y＝0，
取右焦点(，0)和渐近线
x＋y＝0，
则右焦点(，0)到渐近线
x＋y＝0 的距离为＝，故B 错误；
因为(2,0)是双曲线C 的一个焦点，
所以c＝＝2，则m＝2，故C 正确；
因为渐近线y＝x 和
y＝－x 垂直，
所以·＝－1，
解得m＝2，故D 正确．]
10．BCD [易知点F 的坐标为，选项A 错误；
根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时，
x1x2＝－p2＝－，选项B 正确；
若MF＝λNF，则MN 过点F，
则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C 正确；
抛物线x2＝y 的焦点为，
准线方程为y＝－，
过点M，N，P 分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，
所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.
所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|
＝，
所以线段|PP′|＝＝，
所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP′|－＝－＝，选项D 正确．]
11．BCD [由题意得a＝2，
又点P(，1)在椭圆C 外，
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则＋>1，解得b<，
所以椭圆C 的离心率e＝＝>，
即椭圆C 的离心率的取值范围是，故A 不正确；
当e＝时，c＝，b＝＝1，
所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，
即[2－，2＋]，故B 正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由于AF1·AF2＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q 使得QF1·QF2＝0，故C 正确；
(|QF1|＋|QF2|)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2 时，等号成立，
又|QF1|＋|QF2|＝4，
所以＋≥1，故D 正确．]
12．BCD [对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，
得||PA1|－|PA2||<|A1A1|＝2a，故A 错误；
对于B，焦点F2(c,0)，渐近线不妨取y＝x，即bx－ay＝0，
设F2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m，n)，
则
解得
即F2关于双曲线C 的渐近线的对称点为，
由题意知该点在双曲线上，
故－＝1，
将c2＝a2＋b2 代入，
化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，
所以e2＝＝＝1＋＝5，
故e＝，故B 正确；
对于C，双曲线C 为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
设P(x0，y0)(y0≠0)，
则x－y＝a2，则x－a2＝y，
故
·
＝·＝＝1，故C 正确；
对于D，双曲线C 为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
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且∠A1PA2＝3∠PA1A2，
设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，
则∠PA2x＝4θ，
根据C 的结论
·
＝1，
即有tan θ·tan 4θ＝1，
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
故θ＋4θ＝，θ＝，故D 正确．]
13.＋＝1(答案不唯一)
14. 15.x＝±
16．2 2
解析 如图，过点M 作MM1垂直准线于点M1，由抛物线定义可知|MF|＝|MM1|.所以|MQ|＋|
MF|＝|MQ|＋|MM1|.
过点Q 作QQ1垂直准线于点Q1，交抛物线于点P，
所以|MQ|＋|MM1|≥|PQ|＋|PQ1|，
所以当M 在P 处时，|MQ|＋|MM1|＝|PQ|＋|PQ1|＝|QQ1|最小，
此时|QQ1|＝3＋＝4，解得p＝2.
所以抛物线标准方程为x2＝4y.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得x－x＝4y1－4y2，
即(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)．
因为Q(2,3)为线段AB 的中点，所以x1＋x2＝4，所以直线AB 的斜率为k＝＝＝1，所以直线
AB 的方程为y－3＝1×(x－2)，即y＝x＋1.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)符合消去y 得x2－4x－4＝0，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝－4.
所以弦长|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝8.
而O 到直线AB 的距离为d＝＝，
所以S△AOB＝|AB|·d＝×8×＝2.
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必刷大题17 解析几何
1．解 (1)设P(x0，y0)，则y＝4x0，
因为点P 在第一象限，
所以y0＝2，
对y＝2 两边求导得y′＝，
所以直线l 的斜率为，
所以直线l 的方程为
y－2＝(x－x0)，
令y＝0，则x＝－x0，
所以M(－x0,0)，
所以线段MP 的中点为，
所以线段MP 的中点在定直线x＝0 上．
(2)若P(2,2)，则M(－2,0)．
所以kMP＝，kPF＝2，
因为PN⊥l，
所以kPN＝－，
所以直线PF：y＝2(x－1)，
直线PN：y＝－(x－4)．
由
得2x2－5x＋2＝0，
所以x＝或2，所以Q，
由
得x2－10x＋16＝0，
所以x＝2 或8，所以N(8，－4)．
因为M(－2,0)，Q，
N(8，－4)，
所以kMQ＝－，kMN＝－，
所以M，Q，N 三点共线．
2．解 (1)设A(x，y)，
因为|AE|＝|AF|，
所以
＝×，
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将等式两边平方后化简得
x2＋y2＝1.
(2)将直线l：y＝kx＋m 与双曲线－＝1 联立，得⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以有
即m2＋9>4k2且k≠±，
所以x1＋x2＝－，
x1x2＝，
因为∠MON＝，
所以OM⊥ON，即OM·ON＝0，所以x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0，
化简得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
把x1＋x2＝－，x1x2＝代入，得(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，化简得m2＝，因为m2＋9>4k2 且
k≠±，
所以有＋9>4k2且k≠±，解得k≠±，
圆x2＋y2＝1 的圆心为(0,0)，半径为1，
圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋m 的距离为d＝＝
＝>1，
所以点A 到直线l 距离的最大值为＋1，最小值为－1，
所以点A 到直线l 距离的取值范围为.
3．(1)解 由题可知c＝1.
当l1与x 轴垂直时，不妨设M 的坐标为，
所以
解得a＝2，b＝.
所以椭圆C 的标准方程为＋＝1.
(2)证明 设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
易知Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝，
由直线A1M 的斜率为
＝，得直线A1M 的方程为y＝(x＋2)，
当x＝1 时，yP＝，
由直线A2N 的斜率为
＝，得直线A2N 的方程为y＝(x－2)，
当x＝1 时，yQ＝，
若四边形OPA2Q 为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证yP＋yQ＝0，
因为yP＋yQ＝＋＝＝，
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则2my1y2－3(y1＋y2)＝2m·－3·＝＝0，
所以|PF|＝|QF|，即PQ 与OA2相互垂直且平分，所以四边形OPA2Q 为菱形．
4．(1)解 ∵e＝，|AB|＝，
∴a2＝4c2，a2＋b2＝7，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆E 的方程为＋＝1.
(2)①证明 当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y＝kx＋m，
由消去y 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
又A(－2,0)，由题知kAP·kAQ＝·＝－，
则(x1＋2)(x2＋2)＋4y1y2＝0，且x1，x2≠－2，
则x1·x2＋2(x1＋x2)＋4＋4(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋4k2)x1x2＋(2＋4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝＋(2＋
4km)·＋4m2＋4＝0，
则m2－km－2k2＝0，
∴(m－2k)(m＋k)＝0，
∴m＝2k 或m＝－k.
当m＝2k 时，直线PQ 的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，
此时直线PQ 过定点(－2,0)，显然不符合题意；
当m＝－k 时，直线PQ 的方程为
y＝kx－k＝k(x－1)．
此时直线PQ 过定点(1,0)．
当直线PQ 的斜率不存在时，
若直线PQ 过定点(1,0)，
P，Q 的坐标分别为，.
满足kAP·kAQ＝－.
综上，直线PQ 过定点(1,0)．
②解 不妨设直线PQ 过定点(1,0)为F.
则△APQ 的面积S＝×|AF|×|y1－y2|＝|y1－y2|，
设直线PQ 的方程为x＝my＋1，
联立椭圆的方程＋＝1，
消去x 得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴S＝|y1－y2|
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＝
＝
＝18.
令t＝m2＋1(t≥1)，
则S＝18＝18，
∵t≥1，
∴9t＋＋6≥16(当且仅当t＝1 即m＝0 时取等号)，
∴S≤，即△APQ 面积的最大值为.
必刷大题18 统计与统计分析
1．解 (1)由样本的频率分布直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则3 000 名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数为
3 000×0.28＝840.
(2)由样本的频率分布直方图可知，总体成绩的众数为＝75，
平均数为
0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×
10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以总体成绩的众数为75，
平均数为71.2.
2．解 (1)由图可知，10×(2×0.005＋a＋0.02＋0.025＋0.03)＝1，
解得a＝0.015.
设中位数为x，
则0.05＋0.15＋0.2＋0.03×(x－70)＝0.5，
所以x＝.
这100 人问答成绩的平均数为
45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.
(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5 的样本，
则问答成绩在[60,70)内的有×5＝2(人)，分别记为A，B；
问答成绩在[70,80)内的有×5＝3(人)，分别记为a，b，c.
从中任意抽取2 人，则试验的样本空间
Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，
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共有10 个样本点．
设事件A 为2 人的问答成绩均在[70,80)内，
则A＝{(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有3 个样本点，
所以这2 人的问答成绩均在[70,80)内的概率P(A)＝.
3．解 (1)由表知，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(8＋9＋m＋12＋n＋19＋22)＝，
所以－72＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72－7×42＝28，
所以b＝＝，
即m＋n＝43－7b，①
因为经验回归直线恒过点(，)，
所以＝4b＋4，
即m＋n＝28b－42，②
由①②，得b＝，m＋n＝26，③
因为iyi＝8＋18＋3m＋48＋5n＋114＋154＝452，
所以3m＋5n＝110，④
由③④，得m＝10，n＝16.
(2)由(1)知，经验回归方程为y＝x＋4，
所以当x＝6 时，预测值y＝×6＋4＝，
此时残差为19－＝.
4．解 (1)由频率分布直方图可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，
解得a＝0.035，
所以通过电子阅读的居民的平均年龄为
20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(岁)．
(2)这200 人中通过电子阅读的人数为200×＝150，
通过纸质阅读的人数为200－150＝50.
因为(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，
所以通过电子阅读的中青年的人数为150×＝90，
中老年的人数为150－90＝60.
2×2 列联表为
电子阅读
纸质阅读
合计
中青年
90
20
110
中老年
60
30
90
合计
150
50
200
零假设为H0：阅读方式与年龄无关．
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由表中数据，得χ2＝≈6.061>5.024＝x0.025，
所以依据小概率值α＝0.025 的独立性检验，推断H0不成立，即认为阅读方式与年龄有关．
5．解 (1)作出散点图如图所示．
由条形图数据和参考数据得，
＝4，(ti－)2＝28，≈0.53，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝39.75－4×9.24＝2.79，
所以r≈≈0.99.
y 与t 的样本相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关性相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．
(2)由＝＝1.32，
又由(1)得b＝＝≈0.10，
a＝－b≈1.32－0.10×4＝0.92，
所以y 关于t 的经验回归方程为y＝0.92＋0.10t.
将t＝11 代入经验回归方程得y＝0.92＋0.10×11＝2.02.
所以预测该年11 月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02 万户．
6．解 (1)根据散点图显示的该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是
y＝ecx＋d，因为t＝ln y，则t＝cx＋d，
因为＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＝4.5，＝204，iti＝92.4，＝2.1，
所以c＝＝＝＝0.4，
d＝－c＝2.1－0.4×4.5＝0.3，
所以t＝0.4x＋0.3，
即y＝e0.4x＋0.3.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得，500(1－r)5＝500(1－10%)，解
得1－r＝
，
设从2022 年底起经过x 年后的传统能源汽车保有量为y 千辆，
则有y＝500(1－r)x＝
，
设从2022 年底起经过x 年后新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量，
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则有e0.4(x＋8)＋0.3>
，
所以(0.4x＋3.5)lg e>3－lg 2＋0.2x(2lg 3－1)，
解得x>≈6.64，
故从2022 年年底起经过7 年后，即2029 年年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保
有量．
必刷小题19 计数原理与概率
1．C 2.B 3.D 4.C
5．B [记“选派的4 人中至少有2 名男老师”为事件A，
“选派的4 人中有2 名女老师”为事件B，
则P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(AB)＝P(B)＝，
则在已知选派的4 人中至少有2 名男老师的条件下，有2 名女老师的概率为P(B|A)＝
＝＝.]
6．C [根据题意，6 种不同食物中，有1 种适合放入中间格，则中间格有1 种放法，
十字格有四个位置，有3 种适合放入十字格，所以有一种放两个位置，共有3 种放法，四角
格有4 个位置，有2 种适合放入四角格，可分为一种放三个位置，一种放一个位置，有两种
放法，或每种均放两个位置，有一种放法，则四角格有3 种放法，则有1×3×3＝9(种)不同
放法．]
7．D [由题意，可以用2 根火柴棒表示数字1；3 根火柴棒表示数字7；4 根火柴棒表示数
字4；5 根火柴棒表示数字2,3,5；6 根火柴棒表示数字6,9；7 根火柴棒表示数字8.
数字不重复，因此8 根火柴棒只能分成两组：2 和6,3 和5，组成两个数字，还有一个数字只
能为0，
这样组成的无重复数字的三位数个数为CCA＋CCA＝20.]
8．C [A 项，如图1 所示，
59
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从延平门到安化门，最近的路线是从图1 中点M 到点N，只能横向往右走纵向往下走，所以
共有C＝15(条)，故A 正确；
B 项，甲、乙两人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，因为两人的
选择互不影响，所以两人进城共有9 种不同的情况，两人从相同城门进城有3 种情况，所以
两人从同一城门进城的概率为，故B 正确；
C 项，如图2 所示，
用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色，若四个位置颜色各不相同，则有A
＝24(种)染色方法，若1 与4 颜色相同，则有A＝24(种)染色方法，若2 与3 颜色相同，则有
A＝24(种)染色方法，若1 与4 颜色相同且2 与3 颜色相同，则有A＝12(种)染色方法，综上，
共有84 种染色方法，故C 错误；
D 项，若将街道看成直线，则在矩形ABCD 区域网格的5 条横线中任取两条，6 条竖线中任
取两条，即可围出一个矩形，所以共有CC＝150(个)不同的矩形，故D 正确．]
9．BC [对于A，事件M 与N 是可能同时发生的，故M 与N 不互斥，故A 不正确；
对于B，P(M)＝＝，故B 正确；
对于C，事件M 发生与否对事件N 发生的概率没有影响，M 与N 相互独立，故C 正确；
对于D，事件M 发生的概率为P(M)＝，事件N 发生的概率为P(N)＝，P(M∪N)＝1－P()P()
＝1－×＝，故D 不正确．]
10．ACD [对于A，取x＝2，得a0＝1，A 正确；
对于B，(x－3)8＝[－1＋(x－2)]8展开式中第7 项为C(－1)2(x－2)6＝28(x－2)6，
即a6＝28，B 不正确；
对于C，取x＝，得
a0＋＋＋…＋＝8
＝，
则＋＋…＋＝－a0
＝－，
C 正确；
对于D，取x＝3，得
a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＋a8＝0，
取x＝1，得
a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8
＝(－2)8＝256，
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两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝256，
即a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128，
D 正确．]
11．CD [对于A，事件“该家庭3 个小孩中至少有1 个女孩”和事件“该家庭3 个小孩中
至少有1 个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；
对于B，事件“该家庭3 个小孩都是男孩”和事件“该家庭3 个小孩都是女孩”不能同时发
生，能同时不发生，是互斥但不对立事件，故B 错误；
对于C，有3 个小孩的家庭包含的样本点有8 个，分别为(男男男)，(男男女)，(男女男)，(女
男男)，(男女女)，(女男女)，(女女男)，(女女女)，
该家庭3 个小孩中只有1 个男孩包含的样本点有3 个，
故该家庭3 个小孩中只有1 个男孩的概率为P＝，故C 正确；
对于D，已知该家庭3 个小孩中有男孩的条件下，样本点有7 个，分别为(男男男)，(男男
女)，(男女男)，(女男男)，(男女女)，(女男女)，(女女男)，
3 个小孩中至少有2 个男孩包含的样本点有4 个，
故3 个小孩中至少有2 个男孩的概率为，故D 正确．]
12．BC [记Ai为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，记B 为事件“任取一个零件为
次品”，
则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，
P(A3)＝0.45，
对于A，即P(A1B)＝P(A1)·P(B|A1)＝0.25×0.06＝0.015，A 错误；
对于B，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋
0.45×0.05＝0.052 5，B 正确；
对于C，
P(A2|B)＝
＝＝，
C 正确；
对于D，
P(A3|B)＝
＝＝，
D 错误．]
13.
解析 从编号为0,1,2,3,4 的五个球中任取两个球的所有样本点为(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10 个，
61
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其中两个球的编号之积为偶数的样本点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,4)，(2,3)，
(2,4)，(3,4)，共9 个，故所求概率为P＝.
14．－
解析 展开式的通项为
Tk＋1＝C6－kk
＝C·(－1)k·22k－6x3－k，
令3－k＝2，得k＝1，所以x2的系数为C×(－1)×2－4＝－.
15．240
解析 先将3 位相邻的男生捆绑在一起记为元素a，另外一名男生记为元素b，
则甲，乙，a，b 四个不同元素排成一排，甲不在最左边，a，b 不相邻，
则不同的排法种数为A(AA－A)＝24×10＝240.
16．7 62
解析 当一边放砝码时：一个砝码时，能称出1 克、2 克、4 克，两个砝码时能称出3 克、5
克、6 克，三个砝码时能称出7 克，共有7 种情况；
当两边都放砝码时：一边各放一个砝码时，则能称出4－2＝2(克)，2－1＝1(克)，4－1＝
3(克)，共三种情况；
一边两个，另一边一个有4－(2＋1)＝1(克)，2＋4－1＝5(克)，4＋1－2＝3(克)，共三种情况，
综上所述，该天平所能称出的不同克数(正整数)至多有7 种．
若用1 克、2 克、4 克的砝码，可称量范围1≤x≤7，
若加入15 克后，可称量的范围15－7≤x≤15＋7，即8≤x≤22，
若加入40 克后，可称量的范围40－7≤x≤40＋7，即33≤x≤47，
也可称量40＋8≤x≤40＋22，即48≤x≤62，
也可称量40－22≤x≤40＋8，即18≤x≤48，
则可称量的范围有1≤x≤7,8≤x≤22,18≤x≤48,33≤x≤47，
48≤x≤62，
x 为正整数，即1≤x≤62，
所以再增加15 克、40 克的砝码各一个，所能称出的不同克数(正整数)至多有62 种．
必刷大题20 概率与统计
1．解 若选①，由题意得，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
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P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
若选②，由题意得，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝3×＝.
2．解 (1)∵测试分数位于[50,60)的频数为4，频率为0.01×10＝0.1，
∴抽取学生数为＝40，
∴测试分数位于[80,90)的人数为40－(4＋10＋14＋4)＝8，
∴a＝÷10＝0.02.
由题意知，测试分数位于[60,70)的频率为＝0.25，位于[70,80)的频率为＝0.35，
设由频率分布直方图估计分数的中位数为t，
则有(t－70)×0.035＝0.5－0.1－0.25，解得t≈74.3，
估计平均数为55×0.1＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.2＋95×0.1＝74.5.
(2)由题意知，测试分数不低于90 分的频率为0.1，人数为4，
∴X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.1)，
即P(X＝k)＝C(0.1)k(0.9)4－k(k＝0,1,2,3,4)，
∴X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.656 1
0.291 6
0.048 6
0.003 6
0.000 1
E(X)＝4×0.1＝0.4.
3．解 (1)p＝，按方案一，4 例疑似病例中恰有2 例呈阳性的概率P＝C×2×2＝.
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(2)方案一：逐个检测，检验次数为4×1＝4；
方案二：设检测次数为X，X 的所有可能取值为1,5，
P(X＝1)＝4＝，
P(X＝5)＝1－＝，
则X 的分布列为
X
1
5
P
方案二的均值E(X)＝1×＋5×＝2.375 6；
方案三：每组2 个样本检测时，
若呈阴性，则检测次数为1，概率为，
若呈阳性，则检测次数为3，概率为1－＝，
设方案三的检测次数记为Y，Y 的所有可能取值为2,4,6，
P(Y＝2)＝，
P(Y＝4)＝2××＝，
P(Y＝6)＝2＝，
则Y 的分布列为
Y
2
4
6
P
方案三的均值E(Y)＝2×＋4×＋6×＝2.76，
∵E(X)<E(Y)<4，∴方案一、二、三中，方案二最“优”．
4．解 (1)由题意可得，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝P(62.8≤X≤67.2)＝0.8>0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(60.6≤X≤69.4)＝0.94<0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝P(58.4≤X≤71.6)＝0.98<0.997 3，
因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．
(2)样本中次品共有6 个，可估计设备M 生产零件的次品率约为0.06.
①由题意可得，Y～B，所以E(Y)＝2×＝.
②由题意可知，Z 的分布列为
Z
0
1
2
P
所以E(Z)＝0×＋1×＋2×＝.
5．解 (1)①单次完成1～5 个引体向上的有0.020×5×800＝80(人)，
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单次完成6～10 个引体向上的有0.030×5×800＝120(人)，
单次完成11～15 个引体向上的有0.060×5×800＝240(人)，
则单次完成1～15 个引体向上的男生共440 人，
采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22 人，则有＝＝＝，
所以a＝4，b＝6，c＝12，
即从单次完成1～5 个的人中选4 人，6～10 个的人中选6 人，11～15 个的人中选12 人，
又因为单次完成6～10 个引体向上的共有120 人，
记“单次完成6～10 个引体向上的学生中，男生甲被抽中”为事件A，
则P(A)＝＝.
②X 的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
(2)零假设为H0：体育锻炼与学业成绩无关，
由列联表中数据得，χ2＝≈17.778>7.879＝x0.005，
所以根据小概率值α＝0.005 的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为体育锻炼与学业成
绩有关．
6．解 (1)8 名员工中BMI 数值为“正常”的员工有5 人，记抽到BMI 值为“正常”的人数
为X，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
故X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)①调查员甲由经验回归方程y＝0.5x＋a预估一名身高为180 cm 的员工的体重为71 kg，
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由此计算a＝71－180×0.5＝－19，
故＝b＋a＝0.5×170－19＝66.
②由①知更正前的数据＝170，
＝66.由b＝0.5＝，
得x－82＝2×(xiyi－8)＝2×(89 920－8×170×66)＝320，
更正后的数据′＝＝170，
′＝＝67，x′iy′i＝xiyi＋x8×8＝xiyi＋182×8，
8′·′＝8·′＝8(＋1)
＝8＋8×170，
则b＝
＝
＝0.5＋＝0.5＋0.3＝0.8，
故a＝′－b′＝67－0.8×170
＝－69.
更正后该组数据的经验回归方程为
y＝0.8x－69.
当x＝180 时，
y＝0.8×180－69＝75，
所以重新预估一名身高为180 cm 的员工的体重约75 kg.
66
