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第2 节 排列与组合
考试要求 1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数
公式.2.能解决简单的实际问题.
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n 个不同元素
中取出m(m≤n)
个元素
并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个
元素中取出m 个元素的一个排列
组合
作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m
个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不
同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A 表示.
(2)从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不
同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C 表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n ( n －
1)(
n －
2)
…
( n －
m ＋
1)
＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n ！
.
(2)C＝C；C＝C ＋
C
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分
类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避
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免重复或遗漏.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )
(3)若组合式C＝C，则x＝m 成立.( )
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( )
(5)kC＝nC.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
解析 (1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；
(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；
(3)若C＝C，则x＝m 或n－m，故错误.
2.(2020·新高考山东卷)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去
1 个场馆，甲场馆安排1 名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的安排
方法共有( )
A.120 种
B.90 种
C.60 种
D.30 种
答案 C
解析 先从6 名同学中选1 名安排到甲场馆，有C 种选法；
再从剩余的5 名同学中选2 名安排到乙场馆，有C 种选法；
最后将剩下的3 名同学安排到丙场馆，有C 种选法，
由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法.
3.(2021·全国乙卷)将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和
冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名
志愿者，则不同的分配方案共有( )
A.60 种
B.120 种
C.240 种
D.480 种
答案 C
解析 根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1
名志愿者，可分两步进行安排：
第一步，将5 名志愿者分成4 组，其中1 组2 人，其余每组1 人，共有C 种分法；
第二步：将分好的4 组安排到4 个项目中，有A 种安排方法.
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故满足题意的分配方案共有C·A＝240 种.
4.(2022·湖南四校联考)周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购
的4 张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，每个孩子至少有一侧有家
长陪坐，则不同的坐法种数为( )
A.8
B.12
C.16
D.20
答案 C
解析 法一 将4 个座位编号如下，4 人的座位可分四种情况，①④坐家长②③
坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、①③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家
长，所以不同的坐法种数为4AA＝16.
①
②
③
④
法二 当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长，所以不同的坐
法种数为A－2AA＝16.
5.(易错题)把5 张不同的电影票分给4 个人，每人至少一张，则不同的分法种数
为________.
答案 240
解析 由题意知，其中一人分两张，先分后排，共有CA＝240 种不同的分法.
6.(2021·上海卷)某人某天运动的总时长需要大于等于60 分钟，现有如下表所示
的五项运动可以选择，则共有________种运动组合方式.
A 运动
B 运动
C 运动
D 运动
E 运动
7 点～8 点
8 点～9 点
9 点～10 点
10 点～11 点
11 点～12 点
30 分钟
20 分钟
40 分钟
30 分钟
30 分钟
答案 23
解析 若使运动总时长大于等于60 分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两
项运动的情况中，AB，DB，EB 的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、
五项运动均满足总时长大于等于60 分钟，因此组合方式共有C＋C＋C＋C－3＝
23(种).
考点一 排列问题
例1 有3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5 人排成一排；
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(2)排成前后两排，前排3 人，后排4 人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
解 (1)从7 人中选5 人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3 人站前排，有A 种方法，余下4 人站后排，有A 种方法，
共有A·A＝5 040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3 名男生一起全排列，有A 种方法，再将女生
全排列，有A 种方法，共有A·A＝576(种).
(4)(插空法)先排女生，有A 种方法，再在女生之间及首尾5 个空位中任选3 个空
位安排男生，有A 种方法，共有A·A＝1 440(种).
(5)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5 种方法，其余6 人有A 种排列方法，共
有5×A＝3 600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6 人中的两人，有A 种排法，其
他有A 种排法，共有AA＝3 600(种).
(6)法一 (特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A 种方法；甲不在
最右边时，可从余下的5 个位置任选一个，有A 种，而乙可排在除去最右边的
位置后剩下的5 个中任选一个有A 种，其余人全排列，只有A 种不同排法，共
有A＋AAA＝3 720(种).
法二 (间接法)7 名学生全排列，只有A 种方法，其中甲在最左边时，有A 种方
法，乙在最右边时，有A 种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情
形，有A 种方法，故共有A－2A＋A＝3 720(种).
(7)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有＝840(种).
感悟提升 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实
际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制
条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解
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决有限制条件的排列问题的常用方法.
训练1 (1)从3，5，7，11 这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，
b，则共可得到的不同值的个数为( )
A.6
B.8
C.12
D.16
答案 C
解析 的值的个数即为从3，5，7，11 这四个数中任选2 个数的排列数，A＝
4×3＝12.
(2)用1，2，3，4，5 这五个数字，可以组成比20 000 大，并且百位数不是数字3
的没有重复数字的五位数共有( )
A.96 个
B.78 个
C.72 个
D.64 个
答案 B
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000 大，则万位数必须是2，3，4，5
这4 个数字中的一个，
当万位数是3 时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；
当万位数是2，4，5 时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有
3×(A－A)＝54(个)，
因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.
考点二 组合问题
例2 某市工商局对35 种商品进行抽样检查，已知其中有15 种假货.现从35 种商
品中选取3 种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2 种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2 种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2 种假货在内，不同的取法有多少种？
解 (1)从余下的34 种商品中，选取2 种有C＝561(种)，∴某一种假货必须在内
的不同取法有561 种.
(2)从34 种可选商品中，选取3 种，有C 种或者C－C＝C＝5 984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984 种.
(3)从20 种真货中选取1 件，从15 种假货中选取2 件有CC＝2 100(种).
∴恰有2 种假货在内的不同的取法有2 100 种.
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(4)选取2 种假货有CC 种，选取3 种假货有C 种，共有选取方式CC＋C＝2 100
＋455＝2 555(种).
∴至少有2 种假货在内的不同的取法有2 555 种.
(5)选取3 种的总数为C，选取3 种假货有C 种，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2 种假货在内的不同的取法有6 090 种.
感悟提升 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，
再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至
少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可
以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
训练2 (1)(2022·安徽省五校联盟质检)某地环保部门召集6 家企业的负责人座谈，
其中甲企业有2 人到会，其余5 家企业各有1 人到会，会上任选3 人发言，则发
言的3 人来自3 家不同企业的可能情况的种数为( )
A.15
B.30
C.35
D.42
答案 B
解析 甲企业有2 人，其余5 家企业各有1 人，共有7 人，所以从7 人中任选3
人共有C 种情况，发言的3 人来自2 家企业的情况有CC 种，所以发言的3 人来
自3 家不同企业的可能情况共有C－CC＝30(种).
(2)(多选)(2022·沈阳模拟)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生
物、政治、历史、地理6 门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在
物理、历史2 门科目中选择1 门，再从政治、地理、化学、生物4 门科目中选择
2 门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、
化学、生物、政治、历史、地理这6 门课程中选三门作为选考科目，下列说法正
确的是( )
A.若任意选科，选法总数为C
B.若化学必选，选法总数为CC
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
答案 BD
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解析 若任意选科，选法总数为CC，A 错误；若化学必选，选法总数为CC，B
正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C(CC＋1)，C 错误；若物理必选，
化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1，D 正确.
考点三 排列与组合的综合问题
角度1 相邻与相间问题
例3 (1)北京APEC 峰会期间，有2 名女性和3 名男性共5 位领导人站成一排照相，
则女性领导人甲不在两端，3 位男性领导人中有且只有2 位相邻的站法有( )
A.12 种
B.24 种
C.48 种
D.96 种
答案 C
解析 从3 位男性领导人中任取2 人“捆”在一起记作A，A 共有CA＝6(种)不
同排法，剩下1 位男性领导人记作B，2 位女性分别记作甲、乙；
则女领导人甲必须在A，B 之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A 左B 右和A 右B
左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不
同排法.
(2)某次联欢会要安排3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和1 个相声类节目的演出
顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72
B.120
C.144
D.168
答案 B
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小
品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.
对于第一种情况，形式为“小品1 歌舞
1 小品2 相声”，有ACA＝36(种)安排方
法；
同理，第三种情况也有36 种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4 个空，
其形式为“小品1 相声小品2”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48
＝120(种)安排方法.
角度2 分组、分配问题
例4 按下列要求分配6 本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1 份1 本，1 份2 本，1 份3 本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1 本，一人得2 本，一人得3 本；
(3)平均分成三份，每份2 本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2 本；
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(5)分成三份，1 份4 本，另外两份每份1 本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4 本，另外两人每人得1 本.
解 (1)无序不均匀分组问题.先选1 本有C 种选法；再从余下的5 本中选2 本有
C 种选法；最后余下3 本全选有C 种方法，故共有CCC＝60 种.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应
考虑再分配，共有CCCA＝360 种.
(3)无序均匀分组问题.共有＝15 种.
(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90 种.
(5)分成三份，1 份4 本，另外两份每份1 本，这是部分均匀分组问题，求出组合
总数除以A 即可，共有＝15 种.
(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90 种.
感悟提升 (1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用
倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
(2)对于分堆与分配问题应注意三点
①处理分配问题要注意先分堆再分配.
②被分配的元素是不同的.
③分堆时要注意是否均匀.
训练3 (1)把5 件不同的产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产
品C 不相邻，则不同的摆法有________种.
答案 36
解析 将产品A 与B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA 种
方法，将产品A，B，C 捆绑在一起，且A 在中间，然后与其他两种产品进行全
排列，共有AA 种方法.
于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种).
(2)将6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁4 个人，每人至少1 本的不同分法共有
________种.(用数字作答)
答案 1 560
解析 把6 本不同的书分成4 组，每组至少1 本的分法有2 类.
第一类，采用“3，1，1，1”的分法，即有1 组3 本，其余3 组每组1 本.不同的
分法共有＝20(种).
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第二类，采用“2，2，1，1”的分法，即有2 组每组2 本，其余2 组每组1 本.不
同的分法共有·＝45(种).
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种).
然后把分好的4 组书分给4 个人，共有A 种分法，
所以不同的分法共有65×A＝1 560(种).
1.用数字1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8
B.24
C.48
D.120
答案 C
解析 末位数字排法有A 种，其他位置排法有A 种，共有AA＝48 种.
2.不等式A<6×A 的解集为( )
A.{2，8}
B.{2，6}
C.{7，12}
D.{8}
答案 D
解析 <6×，
∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.
又∵x≤8，x－2≥0，
∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.
3.(2020·新高考海南卷)3 名大学生利用假期到2 个山村参加扶贫工作，每名大学
生只去1 个村，每个村至少1 人，则不同的分配方案共有( )
A.4 种
B.5 种
C.6 种
D.8 种
答案 C
解析 先将3 名大学生分成2 组有C·C 种分法，再分配到2 个村有A 种分法，则
不同的分配方案共有C·C·A＝6 种.
4.某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安
排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有( )
A.60 种
B.30 种 C.120 种
D.24 种
答案 A
解析 把语文、数学、物理、化学、外语这五门课程任意排列，有A＝120 种情
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况，其中数学排在化学之前和数学排在化学之后的情况数目是相同的，则数学比
化学先上的排法有＝60 种.
5.(2021·昆明质检)互不相同的5 盆菊花，其中2 盆为白色，2 盆为黄色，1 盆为红
色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也
不相邻，共有摆放方法( )
A.A 种
B.A 种
C.AA 种
D.CCAA 种
答案 D
解析 红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊
花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA 种摆放方法.
6.(多选)下列等式正确的有( )
A.C＝
B.C＝C
C.C＝C
D.C＝C
答案 ABC
解析 A 是组合数公式；B 是组合数性质；由C＝×＝C 得C 正确；D 错误.
7.(2021·福州调研)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种
数为( )
A.144
B.120
C.72
D.24
答案 D
解析 “插空法”，先排3 个空位，形成4 个空隙供3 人选择就座，因此任何两
人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
8.(多选)(2022·长沙调研)若3 男3 女排成一排，则下列说法错误的是( )
A.共计有720 种不同的排法
B.男生甲排在两端的共有120 种排法
C.男生甲、乙相邻的排法总数为120 种
D.男女生相间排法总数为72 种
答案 BC
解析 3 男3 女排成一排共计有A＝720 种；男生甲排在两端的共有2A＝240 种；
男生甲、乙相邻的排法总数AA＝240 种；男女生相间排法总数2AA＝72 种，故
选BC.
9.若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有________
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种(用数字作答).
答案 11
解析 把g，o，o，d，4 个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g 和d，共
有A 种排法；
第二步：排两个o，共1 种排法，所以总的排法种数为A＝12.
其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种).
10.(2021·广州期末)某省高考实行3＋3 模式，即语文、数学、英语必选，物理、
化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若
他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有________种.
答案 200
解析 根据题意，分2 种情况讨论：
①两人选择的科目全部相同，有C＝20(种)选法，
②两人选择的科目有且只有2 科相同，有CCC＝180(种)选法，
则两人至少有两科相同的选法有20＋180＝200(种).
11.某校开设A 类选修课3 门，B 类选修课4 门，一位同学从中共选3 门.若要求两
类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________.
答案 30
解析 分两种情况：(1)A 类选修课选1 门，B 类选修课选2 门，有CC 种不同的
选法；
(2)A 类选修课选2 门，B 类选修课选1 门，有CC 种不同的选法.
所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种).
12.(2022·武汉检测)某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青
铜器、瓷器、书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段
内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参
观的场馆不重复，则不同的安排方法有________种(用数字作答).
答案 12
解析 三个年级的学生在三个时间段内各参观青铜器、瓷器、书画三个场馆，且
每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，共有2A＝12(种)方法.
13.(2021·山东部分高中联考)甲、乙、丙3 人站到共有6 级的台阶上，若每级台
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阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是( )
A.90
B.120
C.210
D.216
答案 C
解析 因为甲、乙、丙3 人站到共有6 级的台阶上，且每级台阶最多站2 人，所
以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上，共有CA＝120(种)站
法；第二类，有2 人站在同一级台阶上，剩余1 人独自站在一级台阶上，共有
CCA＝90(种)站法.综上，每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站的位
置的不同的站法种数是120＋90＝210.故选C.
14.(多选)(2022·苏州质检)现有4 个小球和4 个小盒子，下面的结论正确的是(
)
A.若4 个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子，则共有24 种放法
B.若4 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子，且恰有两个空盒的放法共
有18 种
C.若4 个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子，且恰有一个空盒的放法共
有144 种
D.若编号为1，2，3，4 的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子，没有一个空盒但
小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9 种
答案 BCD
解析 若4 个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，共有44＝256(种)放
法，故A 错误；
若4 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒
子放3 个小球，另一个盒子放1 个小球或两个盒子均放2 个小球，共有C(A＋1)
＝18(种)放法，故B 正确；
若4 个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒
子中各放1 个小球，另一个盒子中放2 个小球，共有C·＝144(种)放法，故C 正
确；
若编号为1，2，3，4 的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子，没有一个空盒但小
球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4 的盒
子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：(2，1，4，
3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，
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2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)共9 种放法，故D 正确.故选
BCD.
15.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德
育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种
历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺
安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，
且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有
________种.
答案 120
解析 当“数”排在第一节时有A·A＝48(种)排法；
当“数”排在第二节时有A·A·A＝36(种)排法；
当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A·A＝
12(种)排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有A·A·A＝24(种)排
法，
所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法.
16.某宾馆安排A，B，C，D，E 五人入住3 个房间，每个房间至少住1 人，且
A，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答)
答案 114
解析 5 个人住3 个房间，每个房间至少住1 人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，
当为(3，1，1)时，有C·A＝60(种)，A，B 住同一房间有C·A＝18(种)，故有60－
18＝42(种)，当为(2，2，1)时，有·A＝90(种)，A，B 住同一房间有C·A＝18(种)，
故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).
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