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微考点7-3 排列组合11 种常见题型总结分析（11 大题型）
题型一：特殊元素与特殊位置优待法
解题思路：对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素
和位置。
【精选例题】
【例1】从6 名志愿者中选出4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名
志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
（A） 280 种 （B）240 种 （C）180 种 （D）96 种
【例2】7 个人站成两排，前排3 人，后排4 人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（
）种站排方式．
A．672
B．864
C．936
D．1056
【例3】将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C 三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，
每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A 活动，则不同的分配方法有 种．（用数字作
答）
【题型专练】
1．某校从8 名教师中选派4 名教师到4 个边远地区支教（每地1 人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同
去或同不去，则不同的选派方案有______种．
2．某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5 人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防
传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医
生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有 种．
3．4 张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4 张卡片排成一排，可构成不同的四
位数的个数为（ ）
A．288
B．336
C．368
D．412
4．某旅行社有导游9 人，其中3 人只会英语，4 人只会日语，2 人既会英语，也会日语，现从中选6 人，
其中3 人进行英语导游，另外3 人进行日语导游，则不同的选择方法有 种.
题型二：分类讨论思想
解题思路：遇到情况比较复杂，我们可以通过分类讨论，分出几种情况，再用分类加法原理进行计算
【精选例题】
【例1】（2023 全国卷乙卷真题）现有5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天
每天从这5 人中安排2 人参加公益活动，则恰有1 人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120
B．60
C．30
D．20
【例2】（2023 全国卷甲卷真题）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门
课中选修2 门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作
答）．
【例3】在8 张奖券中有一、二、三等奖各1 张，其余5 张无奖，将这8 张奖券分配给4 个人，每人2 张，
不同的获奖情况数（ ）
A．60
B．40
C．30
D．80
【题型专练】
1.甲、乙、丙等5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2 人，则不同排法共有（ ）
A．20 种
B．16 种
C．12 种
D．8 种
2．某公司安排甲乙丙等人完成天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第
二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有___种．
题型三：插空法（不相邻问题）
解题思路：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之
间及两端空隙中插入即可
【例1】黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的
，
两段，使得长线段
与原线段
的比等于短线段
与长线段
的比，即
，其比值约
为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9 这六个数字组成了手机开机密码，如果两
个3 不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（ ）
A．180
B．210
C．240
D．360
【例2】把5 件不同产品A，B，C，D，E 摆成一排，则（ ）
A．A 与B 相邻有48 种摆法
B．A 与C 相邻有48 种摆法
C．A，B 相邻又A，C 相邻，有12 种摆法
D．A 与B 相邻，且A 与C 不相邻有24 种摆法
【例3】有5 本不同的教科书，其中语文书2 本，数学书2 本，物理书1 本．若将其并排摆放在书架的同一
层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ）
A．12
B．48
C．72
D．96
【题型专练】
1．有互不相同的5 盆菊花，其中2 盆为白色，2 盆为黄色，1 盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆
放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（ ）
A．120 种
B．32 种
C．24 种
D．16 种
2．某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6 个节目的相对顺序
保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为
.（用数字作答）
3．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作
答）
题型四：捆绑法（相邻问题）
解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注
意捆绑部分的内部顺序。
【例1】第19 届亚运会于2023 年9 月28 日至10 月8 日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江
南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．
某同学买了6 个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2 个，现将这6 个吉祥物排成一排，
且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（ ）
A．48
B．24
C．12
D．6
【例2】有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同
排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【例3】2023 年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3 名运动员与4 名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙
不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720
B．960
C．1120
D．1440
【题型专练】
1.
这6 位同学站成一排照相，要求
与
相邻，且
排在
的左边，
与
不相邻，则这6
位同学站队的不同排法数为（ ）
A．72
B．48
C．36
D．24
2．甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相
邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240
B．192
C．96
D．48
3．有6 个座位连成一排，安排3 个人就坐，恰有两个空位相邻的坐法为（ ）
A．48 种
B．72 种
C．96 种
D．108 种
4．（多选题）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、
“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2 门课程学习，共有15 种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240 种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144 种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480 种排法
5．中国书法一般分为篆书隶书行书楷书和草书这
､
､
､
5 种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉
隶，草书分章草今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷
､
.为了弘扬传统文化，某书法协会采
用楷书隶书和草书
､
3 种字体书写6 个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字
分别用章草今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写
､
.将这6 个福字排成一排，要求相同类型字体的
福字相邻，则不同的排法种数为___________种.
考点五：平均分组问题除法策略
解决此类问题，平均分了
组，就要除以组数的排序
【精选例题】
【例1】已知有6 本不同的书.分成三堆，每堆2 本，有________种不同的分堆方法？
【例2】12 个篮球队中有3 个强队，将这12 个队任意分成3 个组（每组4 个队），则3 个强队恰好被分在
同一组的概率为
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练】
1．奥运会足球预选赛亚洲区决赛（俗称九强赛），中国队和韩国队是其中的两支球队．现要将9 支球队随
机平均分成3 组进行比赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．6 本不同的书，分成三堆，一堆1 本，一堆2 本，一堆3 本，有______种分法
考点六：分配问题先分组再分配
遇到分配问题，切记一定要先分组，再去分配，这样就比较容易理解
【精选例题】
【例1】某校高三年级有8 名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8 名同学中有4 名
男生，4 名女生.每个景点至少有2 名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生
不去同
一处景点游玩，女生
与女生
去同一处景点游玩，则这8 名同学游玩行程的方法数为（ ）
A．564
B．484
C．386
D．640
【例2】劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学
生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会
的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C 三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个
小组，则不同的派遣方案有（ ）
A．140
B．150
C．200
D．220
【例3】6 名志愿者要到
，
，
三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排
1 名志愿者，若要2 名志愿者去
社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105 种
B．144 种
C．150 种
D．210 种
【例4】我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算
经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4 本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求
每学年至少选一科，三学年必须将4 门选完，则小南同学的不同选修方式有（ ）种.
A．
B．
C．
D．
【例5】为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了名男教师和
名女教师去支援边疆工作，分配
到所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．
【跟踪训练】
1．2023 年9 月23 日，杭州第19 届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6 名志愿者被安排到安检引
､
导运动员入场赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排
､
1 人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共
有种安排方案 .（用数字作答）
2．6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，乙场馆安排2 名，
丙场馆安排3 名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120 种 B．90 种 C．60 种 D．30 种
3．有编号分别为1，2，3，4 的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有________
种放法.
4．某班将5 名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好
分配2 名同学共有____________种不同的方法．
5．2023 年成都大运会期间，5 名同学到3 个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，每个场馆至少安排1
名同学，则不同的安排方法共有 种．
6．第19 届亚运会于2023 年9 月23 日至10 月8 日在中国杭州举行．开赛前，组委会欲将某高校4 名男志
愿者、2 名女志愿者共6 人平均分成3 组，分别担任铁人三项、马术和攀岩3 个项目的志愿者，且2 名女志
愿者不在同一组，则不同的选择方案共有 种．
题型七：正难则反及交叉问题
【例1】用1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有
________.
【例2】如图，某城市的街区由12 个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时
不通，则从A 到B 的最短路径有（ ）
A．23 条
B．24 条
C．25 条
D．26 条
【例3】某老师一天上3 个班级的课，每班一节，如果一天共9 节课，且老师不能连上3 节课（第5 节和第
6 节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种．
【例4】从2，4，6，8，10 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为
，共可得到
的不同值
的个数是（ ）
A．20
B．18
C．10
D．9
【例5】某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制
作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D 打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3 名学生至少有2 名
学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（ ）
A．2080
B．2520
C．3375
D．3870
【题型专练】
1．从6 位女学生和5 位男学生中选出3 位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3 位
科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有．
A．810 种
B．840 种
C．1620 种
D．1680 种
2．设直线的方程是
，从1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B 的值，则
所得不同直线的条数是_______．
3．从集合
中分别取2 个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到______个不
同的对数值．
4．用1，2，3，4，5，0 组成数字不重复的六位数，满足1 和2 不相邻，5 和0 不相邻，则这样的六位数的
个数为_________.
题型八：定序问题（消序法）
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用消序法求解比较方便快捷
【例1】按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码
的条形码是“标准25 码”，“标准25 码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三
个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（ ）种不同的编码．
A．120
B．60
C．40
D．10
【例2】DNA 是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就
像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA 中只有4 种类型的碱基，分别
用A、C、G 和T 表示，DNA 中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者
是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了
另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA 单链模型示意图，现在某同学想在碱基T 和碱基C 之间插入
3 个碱基A，2 个碱基C 和1 个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20
B．40
C．60
D．120
【例3】有
的方格中停放三辆完全相同的红色车和三辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，
每辆车占一格，则停放的方法数为（ ）
A．720
B．2160
C．8400
D．14400
【例4】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，
现有悬挂着的8 盏不同的花灯需要取下，每次取1 盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520
B．5040
C．7560
D．10080
【题型专练】
1.今有2 个红球，3 个黄球，同色球不加以区分，将这5 个球排成一行，则不同的排法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种.
3．由数字
组成的一串数字代码，其中恰好有个，个，则这样的不同数字代码共有____________
个.
4．
年07 月01 日是中国共产党成立100 周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国
各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决
了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个0 两个
､
2 两个
､
1 与一个7 组成一个八位数（如20001217），若其
中三个0 均不相邻，则这个八位数的个数为（ ）
A．200
B．240
C．300
D．600
5．英文单词"sentence”由8 个字母构成，将这8 个字母组合排列，且两个n 不相邻一共可以得到英文单词
的个数为（ ）（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
A．2520
B．3360
C．25200
D．4530
考点九：隔板法（元素相同问题隔板法）
【精选例题】
【例1】把6 个相同的小球放入4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（ ）
A．10 种
B．
种
C．
种
D．60 种
【例2】（多选题）将12 支完全相同的圆珠笔分给4 位小朋友.（ ）
A．若每位小朋友至少分得1 支，则有
种分法
B．若每位小朋友至少分得1 支，则有
种分法
C．若每位小朋友至少分得2 支，则有
种分法
D．若每位小朋友至少分得2 支，则有
种分法
【题型专练】
1．把9 个完全相同的口罩分给6 名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种
A．41
B．56
C．156
D．252
2.马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的10 盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两
盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12
B．18
C．21
D．24
3．从某校4 个班级的学生中选出7 名学生作为代表参加志愿者服务活动，若每个班级至少有一名代表，则
有______种不同的选法．
考点十：排列组合中的涂色问题
【例1】用红、黄、蓝3 种颜色给如图所示的6 个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂2 个圆，且相邻2 个圆
所涂颜色不能相同，则不同的涂法种数为（ ）
A．24
B．30
C．36
D．42
【例2】如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．
现从给出的5 种不同的颜色中最多可以选择4 种不同的颜色给这5 个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同
一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（ ）种
A．120
B．240
C．300
D．360
【例3】用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填
涂方法有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【例4】用6 种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A、B 所示区域）用相同颜色，
则不同的涂法共有________种．（用数字作答）
【例5】学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄
绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相
邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.
【题型专练】
1．如图，节日花坛中有5 个区域，现有4 种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，
则符合条件的种植方案有_____________种.
2．如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的
两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
A．288 种
B．264 种
C．240 种
D．168 种
3.如图，用5 种不同的颜色给图中A，B，C，D 四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的
涂法共有__________种
4．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分.现要栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且
相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）
5.如图，用6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，
且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．
考点十一：与几何有关的组合应用题
【例1】以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A．6 个
B．12 个
C．18 个
D．30 个
【例2】个点将半圆分成段弧，以
个点（包括
个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（ ）个
A．
B．
C．
D．
【例3】图中的矩形的个数为（ ）
A．12
B．30
C．60
D．120
【例4】如图，
的边
上有四点
、
、
、
，
上有三点
、
、
，则以
、
、
、
、
、
、
、
中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】（多选题）n 边形对角线的条数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】（1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？
（2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？
【跟踪训练】
1．四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3 个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法
共有（ ）
A．30 种
B．33 种
C．36 种
D．39 种
2．在平面直角坐标系xOy 上，平行直线
与平行直线
组成的图形中，
矩形共有（ ）
A．25 个
B．36 个
C．100 个
D．225 个
3．如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB 边内侧钻5 个孔，在BC 边内侧钻4 个孔，AB 边内
侧的5 个孔和BC 边内侧的4 个孔可连成20 条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多
可以钻的孔数为（ ）．
A．190
B．199
C．69
D．60
4．从正方体的8 个顶点中选取4 个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．一空间有10 个点，其中5 个点在同一平面上，其余没有4 点共面，则10 个点可以确定不同平面的个数
是______．
6.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）
(1)由点A 沿着图中的线段到达点E 的最近路线有多少条？
(2)由点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线有多少条？
(3)求出图中总计有多少个矩形？
