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第1 节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考试要求 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意
义.2.能解决简单的实际问题.
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有m 种不同的方法，在第2 类方
案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m ＋
n 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1 步有m 种不同的方法，做第2 步有n 种不同
的方法，那么完成这件事共有N＝m ×
n 种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”
问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步
乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤
都完成了才算完成这件事.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其
始终.
(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一
类.
(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，
分步完成”.
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1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(
)
答案 (1)× (2)√ (3)√
解析 分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完
成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成
这一步，不能完成这件事，所以(1)不正确.
2.(易错题)现有6 名同学去听同时进行的5 个课外知识讲座，每名同学可自由选
择其中的一个讲座，则不同选法的种数是( )
A.65
B.56
C.30
D.11
答案 B
解析 每一位同学有5 种不同的选择，则6 名同学去听同时进行的5 个课外知
识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是56.
3.(易错题)从0，2 中选一个数字，从1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字
的三位数，其中奇数的个数为( )
A.24
B.18
C.12
D.6
答案 B
解析 分两类情况讨论：
第1 类，选2 时，共有3×2×2＝12(个)奇数；
第2 类，选0 时，共有3×2×1＝6(个)奇数.
根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇数.
4.(2022·衡阳质检)将3 张不同的冬奥会门票分给10 名同学中的3 人，每人1 张，
不同的分法种数为( )
A.720
B.240
C.120
D.60
答案 A
解析 可分三步：第一步，第1 张门票有10 种不同的分法；第二步，第2 张门
票有9 种不同的分法；第三步，第3 张门票有8 种不同的分法，由分步乘法计
数原理得，共有10×9×8＝720 种不同分法.
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5.现有4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有
公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(
)
A.24 种
B.30 种
C.36 种
D.48 种
答案 D
解析 需要先给C 块着色，有4 种结果；再给A 块着色，有3 种结果；再给B
块着色，有2 种结果；最后给D 块着色，有2 种结果，由分步乘法计数原理知
共有4×3×2×2＝48(种).
6.(2021·武汉模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应
了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.
现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛
和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选
取礼物都满意，则选法有( )
A.30 种
B.50 种
C.60 种
D.90 种
答案 B
解析 ①若甲选择牛，则乙有2 种选择，丙有10 种选择，选法有1×2×10＝20
种；
②若甲选择马，则乙有3 种选择，丙有10 种选择，选法有1×3×10＝30 种，
所以共有20＋30＝50 种选法.
考点一 分类加法计数原理的应用
1.从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8 班汽车、2 班火车和2 班飞机.一
天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.
答案 12
解析 分三类：一类是乘汽车，有8 种方法；一类是乘火车，有2 种方法；一
类是乘飞机，有2 种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12 种方法.
2.如果把个位数是1，且恰有3 个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由
1，2，3，4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个
(用数字作答).
答案 12
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解析 组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4，4 种情况.当有三个1 时：
2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9 个；当有三个
2，三个3 或三个4 时：2221，3331，4441，有3 个，根据分类加法计数原理可
知，共有12 个结果.
3.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax2＋2x＋b＝0 有实数解的有序
数对(a，b)的个数为________.
答案 13
解析 当a＝0 时，b 的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；
当a≠0 时，要使方程ax2＋2x＋b＝0 有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.
若a＝－1，则b 的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；
若a＝1，则b 的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；
若a＝2，则b 的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.
由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
感悟提升 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关
键词、关键元素和关键位置.
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于
不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复.
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.
考点二 分步乘法计数原理的应用
例1 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的
报名方法(六名同学不一定都能参加)?
(1)每人只参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.
解 (1)每人都可以从三个竞赛项目中选报一项，各有3 种不同的报名方法，根
据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种).
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6
种选法，第二个项目有5 种选法，第三个项目只有4 种选法，根据分步乘法计
数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).
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(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一人参赛，
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种).
感悟提升 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，
即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依
存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.
2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连
续，逐步完成.
训练1 (1)从－1，0，1，2 这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c
的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数
字作答).
(2)已知集合A 中有4 个元素，B 中有3 个元素，C 中有9 个元素，则集合{(x，
y，z)|x∈A，y∈B，z∈C}中的元素个数为________.
答案 (1)18 6 (2)108
解析 (1)一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a 的取法有3 种，b
的取法有3 种，c 的取法有2 种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)
不同的二次函数.
若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数.
(2)分三个步骤：第一步确定x，有4 种方法；第二步确定y，有3 种方法；第三
步确定z，有9 种方法，由分步乘法计数原理得集合{(x，y，z)|x∈A，y∈B，
z∈C}中有4×3×9＝108(个)元素.
考点三 两个计数原理的综合应用
角度1 与数字有关的问题
例2 用0，1，2，3，4，5，6 这7 个数字可以组成________个无重复数字的四
位偶数(用数字作答).
答案 420
解析 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字
不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应
先分类，再分步.
第1 类，当千位数字为奇数，即取1，3，5 中的任意一个时，个位数字可取0，
2，4，6 中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字
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不能取与这三个数字重复的数字.
根据分步乘法计数原理，有3×4×5×4＝240(种)取法.
第2 类，当千位数字为偶数，即取2，4，6 中的任意一个时，个位数字可以取
除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，
十位数字不能取与这三个数字重复的数字.
根据分步乘法计数原理，有3×3×5×4＝180(种)取法.
根据分类加法计数原理，共可以组成240＋180＝420(个)无重复数字的四位偶数.
角度2 与几何有关的问题
例3 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面
对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的
“正交线面对”的个数是( )
A.48
B.18
C.24
D.36
答案 D
解析 在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24 个
“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之
垂直，共构成12 个“正交线面对”，所以共有36 个“正交线面对”.
角度3 涂色问题
例4 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，
并使同一条棱上的两端异色，如果只有5 种颜色可供使用，
求不同的染色方法种数.
解 法一 按所用颜色种数分类.
第一类：5 种颜色全用，共有A 种不同的方法；
第二类：只用4 种颜色，则必有某两个顶点同色(A 与C，或B 与D)，共有2×A
种不同的方法；
第三类：只用3 种颜色，则A 与C，B 与D 必定同色，共有A 种不同的方法.
由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为A＋2×A＋A＝420(种).
法二 以S，A，B，C，D 顺序分步染色.
第一步：S 点染色，有5 种方法；
第二步：A 点染色，与S 在同一条棱上，有4 种方法；
第三步：B 点染色，与S，A 分别在同一条棱上，有3 种方法；
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第四步：C 点染色，也有3 种方法，但考虑到D 点与S，A，C 相邻，需要针对
A 与C 是否同色进行分类：当A 与C 同色时，D 点有3 种染色方法；当A 与C
不同色时，因为C 与S，B 也不同色，所以C 点有2 种染色方法，D 点有2 种染
色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3
＋2×2)＝420(种).
感悟提升 1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：
(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂
的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、
直观化.
2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.
训练2 (1)(2022·杭州调研)用0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三
位数的个数为( )
A.243
B.252
C.261
D.279
答案 B
解析 0，1，2，…，9 共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字
的三位数有9×9×8＝648(个)，故有重复数字的三位数有900－648＝252(个).
(2)(2021·石家庄模拟)如图，请你用4 种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻
区域不同色，共有________种不同的涂色方法(用具体数字作答).
答案 72
解析 假设按a→b→c→d→e 顺序涂色，对于a 有4 种涂色的方法；对于b 有3
种涂色方法；对于c 有2 种涂色方法；对于e，若c 与d 颜色相同，则e 有2 种
涂色方法，若c 与d 颜色不相同，则e 只有1 种涂色方法，故共有4×3×2×(2
＋1)＝72 种不同的涂色方法.
1.每天从甲地到乙地的飞机有5 班，高铁有10 趟，动车有6 趟，公共汽车有12
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班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有( )
A.22 种
B.33 种
C.300 种
D.3 600 种
答案 B
解析 从甲地到乙地不同的方案数为5＋10＋6＋12＝33.
2.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N 这两个集合中
各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可
表示第一、第二象限内不同的点的个数是( )
A.12
B.8
C.6
D.4
答案 C
解析 分两步：第一步先确定横坐标，有3 种情况；第二步再确定纵坐标，有2
种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6.
3.从0，1，2，3，4，5 这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数
的不同取法的种数为( )
A.30
B.20
C.10
D.6
答案 D
解析 从0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分
为两类：
第一类，取出的两个数都是偶数，有0 和2，0 和4，2 和4，共3 种不同的取法；
第二类，取出的两个数都是奇数，有1 和3，1 和5，3 和5，共3 种不同的取法.
所以共有3＋3＝6 种不同的取法.
4.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，
这样的等比数列的个数为( )
A.3
B.4
C.6
D.8
答案 D
解析 以1 为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2 为首项的等比数列为2，4，8；
以4 为首项的等比数列为4，6，9；
把这4 个数列的顺序颠倒，又得到另外的4 个数列，
故所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个).
5.5 名应届毕业生报考3 所高校，每人报且仅报1 所院校，则不同的报名方法的
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种数是( )
A.35
B.53
C.A
D.C
答案 A
解析 第n 名应届毕业生报考的方法有3 种(n＝1，2，3，4，5)，根据分步乘法
计数原理，不同的报名方法共有3×3×3×3×3＝35(种).
6.已知两条异面直线a，b 上分别有5 个点和8 个点，则这13 个点可以确定不同
的平面个数为( )
A.40
B.16
C.13
D.10
答案 C
解析 分两类情况讨论：
第1 类，直线a 分别与直线b 上的8 个点可以确定8 个不同的平面；
第2 类，直线b 分别与直线a 上的5 个点可以确定5 个不同的平面.
共可以确定8＋5＝13 个不同的平面.
7.(2022·济南模拟)如图所示的几何体由三棱锥P－ABC 与三
棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3 种不同颜色对这个几何
体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，
则不同的涂色方案共有( )
A.6 种
B.9 种
C.12 种
D.36 种
答案 C
解析 先涂三棱锥P－ABC 的三个侧面，有3×2×1 种情况，然后涂三棱柱的
三个侧面，有2 种情况，
由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12 种不同的涂法.
8.(2020·全国Ⅱ卷)如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a12.设
1≤i<j<k≤12.若k－j＝3 且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4
且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦.用这12 个键可以构成的原位大三和
弦与原位小三和弦的个数之和为( )
A.5
B.8
C.10
D.15
答案 C
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解析 满足条件1≤i<j<k≤12，k－j＝3 且j－i＝4 的(i，j，k)有(1，5，8)，(2，
6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共5 个；
满足条件1≤i<j<k≤12，k－j＝4 且j－i＝3 的(i，j，k)有(1，4，8)，(2，5，
9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共5 个.所以一共有10 个.
9.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b 组成复数a＋
bi，其中虚数的个数是________.
答案 36
解析 因为a＋bi 为虚数，所以b≠0，即b 有6 种取法，a 有6 种取法，由分步
乘法计数原理知可以组成6×6＝36 个虚数.
10.乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数为________.
答案 60
解析 从第一个括号中选一个字母有3 种方法，从第二个括号中选一个字母有4
种方法，从第三个括号中选一个字母有5 种方法，故根据分步乘法计数原理可
知共有N＝3×4×5＝60(项).
11.将2 名教师、4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践
活动，每个小组由1 名教师和2 名学生组成，则不同的安排方案共有________
种.
答案 12
解析 第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C＝2(种)选派方法；
第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C＝6(种)选派方法；
不同的选派方案共有2×6＝12(种).
12.设a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c 为三条边的长可以构成一
个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有______个.
答案 27
解析 先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1，2，…，6，有6 个.
再考虑等腰的情况，
若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此时c＝1 与等边重复；
若a＝b＝2，c<a＋b＝4，则c＝1，3，有2 个；
若a＝b＝3，c<a＋b＝6，则c＝1，2，4，5，有4 个；
若a＝b＝4，c<a＋b＝8，则c＝1，2，3，5，6，有5 个；
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若a＝b＝5，c<a＋b＝10，则c＝1，2，3，4，6，有5 个；
若a＝b＝6，c<a＋b＝12，则c＝1，2，3，4，5，有5 个；
故一共有27 个.
13.(2022·合肥模拟)如图为我国数学家赵爽(约3 世纪初)在为
《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5 种
颜色给其中5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，
相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A.120 种
B.260 种
C.340 种
D.420 种
答案 D
解析 由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有
5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(种).
14.将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4 小方格内，每格内只填
入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有(
)
A.288 种
B.144 种
C.576 种
D.96 种
答案 C
解析 第一步，先从16 个格子中任选一格放一个汉字有16 种方法，
第二步，任意的两个汉字既不同行也不同列，剩下的只有9 个格子可以放，有9
种方法，
第三步，第三个汉字只有4 个格子可以放，有4 种方法，
由分步乘法计数原理知共有16×9×4＝576(种).
15.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字
是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答).
答案 1 080
解析 当不含偶数时，有A＝120 个，
当含有一个偶数时，有CCA＝960 个，
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所以这样的四位数共有1 080 个.
16.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六
个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续
固定相邻的2 个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是
________.
答案 60
解析 根据题意，第一个可以从6 个螺栓里任意选一个，共有6 种选择方法，
并且是机会相等的；若第一个选1 号螺栓，第二个可以选3，4，5 号螺栓，依
次选下去，共可以得到10 种方法，所以总共有10×6＝60(种)方法.
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