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第1 节 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等
的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意
义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量
线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的
方向就是向量的方向.向量AB的大小就是向量的长度(或称模)，记作| AB
| .
(2)零向量：长度为
0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1 个单位
长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b 平行，记作
a∥b.规定：0 与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和
的运算
三角形法则
(1)交换律：
a＋b＝b ＋
a .
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a ＋
( b ＋
c )
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平行四边形法则
减法
求两个向量差
的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
规定实数λ 与
向量a 的积是
一个向量，这
种运算叫做向
量的数乘，记
作λa
(1)|λa|＝| λ || a | ；
(2)当λ＞0 时，λa 的方向
与a 的方向相同；当λ＜
0 时，λa 的方向与a 的方
向相反；当λ＝0 时，λa
＝0
λ(μa)＝λμ
a ；
(λ＋μ)a＝λ a ＋
μ a ；
λ(a＋b)＝λ a ＋
λ b
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝
λ a .
1.中点公式的向量形式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP＝
(OA＋OB).
2.OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为实数)，若点A，B，C 共线，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是
考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条
件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等和a，b 的方向无关.( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D 四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a，b 共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
解析 (2)若b＝0，则a 与c 不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D 四点不一定在
一条直线上.
2.(多选)(2022·威海月考)下列说法正确的是( )
A.非零向量a 与b 同向是a＝b 的必要不充分条件
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B.若AB与BC共线，则A，B，C 三点在同一条直线上
C.a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向
D.设λ，μ 为实数，若λa＝μb，则a 与b 共线
答案 ABC
解析 根据向量的有关概念可知ABC 正确，对于D，当λ＝μ＝0 时，a 与b 不
一定共线，故D 错误.
3.(2021·长沙调研)已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则
△ABC 的内角A 等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案 A
解析 由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC，又O 为△ABC 的外接圆的圆心，
根据加法的几何意义，四边形OACB 为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.
4.(易错题)下列四个命题中，正确的是( )
A.若a∥b，则a＝b
B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若|a|＝|b|，则a∥b
D.若a＝b，则|a|＝|b|
答案 D
解析 A 中，a∥b，则a＝λb，故A 不正确；
B、C 中，由于向量a，b 的大小相等，但其方向不确定，故B、C 都不正确；D
显然正确.
5.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB＝( )
A.AB－AC
B.AB－AC
C.AB＋AC
D.AB＋AC
答案 A
解析 法一 如图所示，EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋
AC)＋(AB－AC)＝AB－AC，故选A.
法二 EB＝AB－AE＝AB－AD＝AB－×(AB＋AC)＝AB－
AC，故选A.
6.设a 与b 是两个不共线向量，且向量a＋λb 与－(b－2a)共线，则λ＝________.
答案 －
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解析 由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb 与2a－b 共线，设a＋λb＝k(2a－
b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b 是两个不共线向量，故a 与b 均不为
零向量，所以解得k＝，λ＝－.
考点一 平面向量的概念
1.(多选)下列命题中正确的有( )
A.平行向量就是共线向量
B.相反向量就是方向相反的向量
C.a 与b 同向，且|a|＞|b|，则a＞b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
答案 AD
解析 由平行向量和共线向量可知，A 正确；
因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B 是错误的；
因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以
C 是错误的；
因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平
行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D 是正确.
2.设a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A.a＝－b
B.a∥b
C.a＝2b
D.a∥b 且|a|＝|b|
答案 C
解析 因为向量的方向与向量a 方向相同，向量的方向与向量b 方向相同，且
＝，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除A，B，D.
当a＝2b 时，＝＝，故a＝2b 是＝成立的充分条件.
3.(多选)下列命题正确的有( )
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.单位向量都相等
C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D.“若A，B，C，D 是不共线的四点，且AB＝DC”⇔“四边形ABCD 是平行
四边形”
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答案 AD
解析 方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定
共线，故A 正确；
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B 错误；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有
相同的起点和终点，故C 错误；
A，B，C，D 是不共线的点，AB＝DC，即模相等且方向相同，即平行四边形
ABCD 对边平行且相等，反之也成立，故D 正确.
感悟提升 平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函
数图象的平移混淆.
(4)非零向量a 与的关系：是与a 同方向的单位向量.
考点二 向量的线性运算
角度1 平面向量的加、减运算的几何意义
例1 (1)已知两个非零向量a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是( )
A.a∥b
B.a⊥b
C.|a|＝|b|
D.a＋b＝a－b
答案 B
解析 由已知a，b 不共线，在▱ABCD 中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－
b|，知|AC|＝|DB|，从而▱ABCD 为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
(2)若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________.
答案 2
解析 因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，
所以△ABC 是边长为2 的正三角形，
所以|AB＋AC|为△ABC 的边BC 上的高的2 倍，
所以|AB＋AC|＝2.
角度2 向量的线性运算
例2 (1)(多选)如图所示，在△ABC 中，D 是AB 的中点，下
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列关于向量CD表示正确的是( )
A.CD＝CA＋DB
B.CD＝BC＋DA
C.CD＝AB＋AC
D.CD＝CA＋CB
答案 AD
解析 对于A，因为D 是AB 的中点，所以AD＝DB，因为CD＝CA＋AD，所以
CD＝CA＋DB，所以A 正确；
对于B，由三角形法则得，CD＝CB＋BD＝CB＋DA＝－BC＋DA，所以B 不正
确；
对于C，CD＝CA＋AD＝AB－AC，所以C 不正确；
对于D，因为D 是AB 的中点，所以CD＝CA＋CB，所以D 正确.
(2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC＝AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，则2r
＋3s＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析 法一 由题图可得
AE＝AB＋BE＝AB＋BC
＝AB＋(BA＋AD＋DC)
＝AB＋(AD＋DC)
＝AB＋
＝AB＋AD.
因为AE＝rAB＋sAD，所以r＝，s＝，
则2r＋3s＝1＋2＝3.
法二 因为BE＝2EC，
所以AE－AB＝2(AC－AE)，
整理，得AE＝AB＋AC＝AB＋(AD＋DC)＝AB＋AD，
以下同法一.
法三 如图，建立平面直角坐标系xAy，
依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞
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0，h＞0.
由AE＝rAB＋sAD，
得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以解得
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
感悟提升 1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相
等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、
三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，
把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三
角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
训练1 (1)(2021·昆明二模)已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA＋PB＋PC
＝0，则( )
A.PA＝－BA＋BC
B.PA＝BA＋BC
C.PA＝－BA－BC
D.PA＝BA－BC
答案 D
解析 由题意，PA－BA＝PB，PA＋AC＝PC，而PA＋PB＋PC＝0，
∴3PA－BA＋AC＝0，又AC＝BC－BA，即3PA－2BA＋BC＝0，
∴PA＝BA－BC.
(2)在正六边形ABCDEF 中，对角线BD，CF 相交于点P.若AP＝xAB＋yAF，则x
＋y＝( )
A.2
B.
C.3
D.
答案 B
解析 如图，记正六边形ABCDEF 的中心为点O，连接
OB，OD，易证四边形OBCD 为菱形，且P 恰为其中心，
于是FP＝FO＝AB，
因此AP＝AF＋FP＝AB＋AF，
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因为AP＝xAB＋yAF，
所以x＝且y＝1，故x＋y＝.
考点三 共线向量定理的应用
例3 设两向量a 与b 不共线.
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).求证：A，B，D 三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b 和a＋kb 共线.
(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.
∴AB，BD共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D 三点共线.
(2)解 ∵ka＋b 与a＋kb 共线，
∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b 是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
感悟提升 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思
想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C 三点共线
⇔AB，AC共线.
(3)若a 与b 不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为实数)，若A，B，C 三点共线，则λ＋μ＝1.
训练2 (1)已知a，b 是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，若
A，B，C 三点共线，则λ，μ 的关系一定成立的是( )
A.λμ＝1
B.λμ＝－1
C.λ－μ＝－1
D.λ＋μ＝2
答案 A
解析 ∵AB与AC有公共点A，∴若A，B，C 三点共线，则存在一个实数t 使AB
＝tAC，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t 得λμ＝1；
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反之，当λμ＝1 时，AB＝a＋b，此时存在实数使AB＝AC，故AB和AC共线.
∵AB与AC有公共点A，∴A，B，C 三点共线.故选A.
(2)(2022·石家庄模拟)设e1 与e2 是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋
e2，CD＝3e1－2ke2，若A，B，D 三点共线，则k 的值为________.
答案 －
解析 由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD.
又AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，
所以BD＝CD－CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
又e1与e2不共线，
所以解得k＝－.
(3)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直
线分别交AB，AC 所在直线于不同的两点M，N，若AB＝
mAM，AC＝nAN，则m＋n 的值为________.
答案 2
解析 连接AO，则AO＝(AB＋AC)
＝AM＋AN，
因为M，O，N 三点共线，
所以＋＝1，所以m＋n＝2.
1.已知a，b 是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A.a＋b＝0
B.a＝b
C.a 与b 共线反向
D.存在正实数λ，使a＝λb
答案 D
解析 因为a，b 是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a 与b 共线同向，故
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D 正确.
2.已知AB＝a＋5b，BC＝－3a＋6b，CD＝4a－b，则( )
A.A，B，D 三点共线
B.A，B，C 三点共线
C.B，C，D 三点共线
D.A，C，D 三点共线
答案 A
解析 由题意得BD＝BC＋CD＝a＋5b＝AB，又BD，AB有公共点B，所以A，
B，D 三点共线.
3.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，BA＋CD＋EF等于(
)
A.0
B.BE
C.AD
D.CF
答案 D
解析 根据正六边形的性质，
易得，BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋CB＝CF.
4.矩形ABCD 的对角线相交于点O，E 为AO 的中点，若DE＝λAB＋μAD(λ，μ 为
实数)，则λ2＋μ2＝( )
A.
B.
C.1
D.
答案 A
解析 DE＝AE－AD＝AC－AD
＝(AB＋AD)－AD＝AB－AD，
∴λ＝，μ＝－.∴λ2＋μ2＝＋＝.
5.(2022·广州一模)在△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM＝MC，若BM＝λBA
＋μBC，则λ－μ 的值是( )
A.1
B.
C.
D.
答案 C
解析 由AM＝MC，得AM＝AC，
所以BM＝BA＋AM＝BA＋AC＝BA＋(BC－BA)＝BA＋BC，又因为BM＝λBA＋
μBC，所以λ＝，μ＝，故λ－μ＝.
6.(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A.若AM＝AB＋AC，则点M 是边BC 的中点
B.若AM＝2AB－AC，则点M 在边BC 的延长线上
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C.若AM＝－BM－CM，则点M 是△ABC 的重心
D.若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，则△MBC 的面积是△ABC 面积的
答案 ACD
解析 若AM＝AB＋AC，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；
若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，即BM＝CB，则点M 在边CB 的延
长线上，故B 错误；
若AM＝－BM－CM，即AM＋BM＋CM＝0，则点M 是△ABC 的重心，故C 正确；
如图，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，
可得2AM＝2xAB＋2yAC，设AN＝2AM，则M 为AN 的中点，
则△MBC 的面积是△ABC 面积的，故D 正确.
7.设向量a，b 不平行，向量λa＋b 与a＋2b 平行，则实数λ＝____________.
答案
解析 ∵向量a，b 不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b 与a＋2b 平行，则存在唯
一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.
8.在锐角△ABC 中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则＝________.
答案 3
解析 由题设可得
CA＋AM＝3(AB－AM)，
即4AM＝3AB＋AC，即AM＝AB＋AC.
又AM＝xAB＋yAC，则x＝，y＝.
故＝3.
9.已知D，E，F 分别为△ABC 的边BC，CA，AB 的中点，且BC＝a，CA＝b，
给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF
＝0.其中正确命题有________.
答案 ②③④
解析 BC＝a，CA＝b，AD＝AB＋AC＝(AC＋CB)＋AC＝CB＋AC＝－a－b，故
①错；
BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；
CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；
AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确.
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10.已知a，b 不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如
果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t 使C，D，E 三点在一条直线上？
若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.
解 由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b 不共线，
所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E 三点在一条直线上.
11.如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近B 点，
E，F 分别为AC，AD 的三等分点，且分别靠近A，D 两点，
设AB＝a，AC＝b.
(1)试用a，b 表示BC，AD，BE；
(2)证明：B，E，F 三点共线.
(1)解 在△ABC 中，因为AB＝a，AC＝b，
所以BC＝AC－AB＝b－a，
AD＝AB＋BD＝AB＋BC
＝a＋(b－a)＝a＋b，
BE＝BA＋AE＝－AB＋AC＝－a＋b.
(2)证明 因为BE＝－a＋b，
BF＝BA＋AF＝－AB＋AD
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以BF＝BE，BF与BE共线，
且有公共点B，
所以B，E，F 三点共线.
12.(多选)(2022·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765 年发表的《三角形的几何学》
一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外
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心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.
设△ABC 中，点O，H，G 分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结
论正确的是( )
A.GH＝2OG
B.GA＋GB＋GC＝0
C.设BC 边的中点为D，则有AH＝3OD
D.OA＝OB＝OC
答案 AB
解析 由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A，G
共线.
对于A，由题意得，AG＝2GD，OD⊥BC，AH⊥BC，所以
OD∥AH，所以GH＝2OG，所以A 正确；
对于B，由题意得，GB＋GC＝2GD＝－GA，所以GA＋GB＋GC＝0，所以B 正
确；
对于C ，由题意知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以
△AGH∽△DGO，所以AH＝2OD，故C 错误；
对于D，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，故D 错误.故选AB.
13.如图，在△ABC 中，AN＝NC，P 是BN 上一点，若AP＝tAB＋AC，则实数t
的值为________.
答案
解析 法一 因为AN＝NC，
所以AC＝AN，
所以AP＝tAB＋AC＝tAB＋AN，
因为B，P，N 三点共线，
所以t＋＝1，所以t＝.
法二 因为AN＝NC，所以AN＝AC，
设NP＝λNB，则AP＝AN＋NP
＝AC＋λNB
＝AC＋λ(NA＋AB)
＝AC＋λ
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＝λAB＋(1－λ)AC.
又AP＝tAB＋AC，
所以tAB＋AC＝λAB＋(1－λ)AC，
得解得t＝λ＝.
14.经过△OAB 的重心G 的直线与OA，OB 分别交于点P，Q，设OP＝mOA，
OQ＝nOB，m，n∈R＋.
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n 的最小值.
(1)证明 设OA＝a，OB＝b.
由题意知OG＝×(OA＋OB)
＝(a＋b)，
PQ＝OQ－OP＝nb－ma，
PG＝OG－OP＝a＋b，
由P，G，Q 三点共线得，
存在实数λ，使得PQ＝λPG，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而
消去λ 得＋＝3.
(2)解 由(1)知，＋＝3，
于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.
当且仅当m＝n＝时，m＋n 取得最小值，最小值为.
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