文档文本内容
第08 讲 函数的模型及其应用
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................2
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................3
知能解码.........................................................................................................................................3
知识点1 三种函数模型的性质...........................................................................................3
知识点2 常见的函数模型...................................................................................................3
知识点3 解函数模型的步骤...............................................................................................4
题型破译.........................................................................................................................................5
题型1 二次函数模型应用...................................................................................................5
题型2 对勾函数模型应用...................................................................................................6
题型3 分段函数模型应用...................................................................................................7
题型4 指数函数模型应用...................................................................................................8
题型5 对数函数模型应用
............................................................................................9
题型6 幂函数模型应用
................................................................................................9
题型7 构造函数模型解决实际问题.................................................................................10
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................11
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................12
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.了解一元一次函数、指数
函数、对数函数以及幂函数
的增长特征及差异，理解直
“
线上升
指数爆炸
对数增
”“
”“
长等术语的现实含义．
”
2.了解函数模型(如指数函
数、对数函数、幂函数、分
段函数等普遍使用的函数模
型)在社会生活中的广泛应
用．
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第
6 题，5 分
北京卷，第9
题，4 分
北京卷，第7 题，4 分
新课标I 卷，第10 题，5
分
考情分析：
本节内容在高考中主要考查建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)分析解决实际生活中的
生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等问题．特别是与数学文化有关的问题，仍是高考考查的重要内容．
；2026 年高考可能结合函数与生活进行考查，考生需灵活运用函数模型解决各类实际问题．
复习目标：
1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.
2.会比较一次函数、二次函数、幂函数、对数函数、指数函数增长速度的差异
3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用
知识点1 三种函数模型的性质
三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现为
与 平行
随x 的增大逐渐表
现为与 平行
随n 值变化而各有
不同
自主检测图（1）（2）（3）分别是函数
和
在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．由图（1）可知函数
的图象增长得越来越快
B．由图（3）可知函数
的图象增长得越来越快
C．在（0，2）范围内函数
的图象比
的图象增长得慢
D．以上均错误
知识点2 常见的函数模型
常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b 为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
自主检测为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10 年的生长规律，统计显示，生长4 年的树高
为
米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）与树高y（米）之间的关系．请你据此判断，
在下列函数模型：①
；②
；③
；④
中（其中a 为正的常数），生
长年数与树高的关系拟合最好的是 （填写序号），估计该树生长8 年后的树高为 米．
知识点3 解函数模型的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
自主检测近年来，国内多个城市纷纷加码布局夜经济，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动
“
”
创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺
品在过去的一个月内（以30 天计），每件的销售价格
（单位：元）与第
天的函数关系近似满足
（
为常数，且
，
，
），日销售量
（单位：件）与第
天的部分数
据如表所示：
5
10
15
20
25
45
50
55
50
45
已知第5 天的日销售收入为459 元.给出以下三个函数模型：①
；②
；③
.
(1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量
与
的变化关系，并求
出该函数的解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为
（单位：元），求
的解析式；
(3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
题型1 二次函数模型应用
例1-1 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线
的一部分（如图所示），若命中篮环中
心，则他与篮底的距离t 是（ ）
A．3.5m
B．4m
C．4.5m
D．4.6m
例1-2．某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为
米，宽度为
米.根据城市规划要
求，
米，且充电桩间隔距离需满足
.为使充电区有效面积最大，应选择的尺寸是（ ）
A．
米，
米
B．
米，
米
C．
米，
米
D．
米，
米
【变式训练1-1·变考法】小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100 元，每束花的进价为6 元．
若日均销量Q（束）与销售单价
（元）的关系为
，则当该店每天获利最大时，每束花
应定价为（ ）
A．15 元
B．13 元
C．11 元
D．10 元
【变式训练1-2】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与
时间（单位：h）间的关系为
，其中
是正的常数，如果在前2h 滤去了
的污染物，那么
再经4h 后，废气中的污染物含量为过滤前的（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 对勾函数模型应用
例2-1（2022·贵州六盘水·模拟预测）用32
的材料制作一个长方体形的无盖盒子, 如果底面的宽规定为
2m, 那么这个盒子的最大容积可以是（ ）
A．36
B．18
C．16
D．14
例2-2 党的二十大报告将完成脱贫攻坚
“
､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标作为十
”
年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某
经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A 产品，经过市场调研，生产A 产品的固定成本为200 万元，每生产
万件，需可变成本
万元，当产量不足50 万件时，
；当产量不小于50 万件时，
.每件A 产品的售价为100 元，通过市场分析，生产的A 产品可以全部销售完，则
生产该产品能获得的最大利润为 万元.
方法技巧
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
2、利用模型
f ( x)=ax + b
x 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件
【变式训练2-1·变考法】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要
发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018 年1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模
式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式
已知网店每月固定的各种费用支出为3 万元，产品每1 万件进货价格为32 万元，若每件产品的
售价定为进货价的
“
与平均每件产品的实体店体验安装费用的一半之和，则该公司最大月利润是
”
“
”
万元.
题型3 分段函数模型应用
例3-1 我国在2020 年9 月22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030 年前实现碳达峰，争取在
2060 年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二
氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：
吨）
之间的函数关系可近似表示为
，当处理量x 等于多
少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120
B．200
C．240
D．400
例3-2 根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒．若从喷洒药物开始，教室内空气中的
药物浓度
（毫克/立方米）与时间（分钟）的关系为：
，根据相关部门规定该药物浓
度达到不超过
毫克/立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少 分钟后，学生可进教室正
常学习；研究表明当空气中该药物浓度超过
毫克/立方米持续8 分钟以上时，才能起到消毒效果，则本
次消毒 效果（填：有或没有）.
方法技巧
构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏
【变式训练3-1·变载体】一种细胞的分裂速度v（单位：个/秒）与其年龄t（单位：岁）的关系可以用下面
的分段函数来表示：
其中
.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化
是连续的.若这种细胞5 岁和60 岁的分裂速度相等，则
（ ）
（参考数据：
）
A．6.402
B．6.463
C．6.502
D．6.522
【变式训练3-2】已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量
(单位：百件)关于每件衣服的利润
(单
位：元)的函数解析式为
， 则当该服装厂所获效益最大时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 指数函数模型应用
例4-1（多选）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：
）满足函数关系
℃
（
为常数）．若该食品在
的保鲜时间是192 小时，在
的保鲜时间是48 小时，则下列
关于该食品保鲜的描述正确的是（ ）
A．
B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在
的保鲜时间是96 小时
D．在
的保鲜时间是24 小时
例4-2 某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025 年1 月投入该新产品的研发经费为
20 万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025 年1 月为第1 个月，
第
个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40 万元，则
的最小值是（ ）（参考数据：
，
）
A．3
B．4
C．5
D．6
方法技巧
1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增
长率、银行利率有关的问题都属于指数模型．
2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再
借助函数图象求解最值问题．
【变式训练4-1】学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收（明
“
”
・《增广贤文》）是勉励人们
专心学习的语句．假设初始值为1，如果每天的进步率都是
“
”
1%，那么一年后是
；如果
每天的退步率都是
“
”
，那么一年后是
，一年后进步者是退步者的
“
”
“
”
倍．照此计算，当进步者是退步者的
“
”
“
”
4 倍时，大约需经过（参考数据：
，
，
）（ ）
A．68 天
B．70 天
C．71 天
D．73 天
【变式训练4-2】现有两个函数模型如下，模型一：如果
是碳14 的初始质量，那么经过年后，碳14 的
质量为
；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型
，其中表示经过的时间，
表示
时的人口数，是常数（是自然对数的底）.则下列说法错误的是（ ）
A．经过5730 年，碳14 的质量变为初始质量的一半
B．碳14 的年衰减率与初始质量有关
C．设
，碳14 的第
年，第
年，第
年的衰减量分别为
，
，
，则
D．以上两个模型都可以归结为模型“
（其中
”
为自变量，
，
为常数，是自然对数的底）
题型5 对数函数模型应用
例5-1 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：
，其中C 为最大数据传输速率，
单位为
；W 为信道带宽，单位为
；
为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当
，
时，最大数据传输速率记为
；当
，
时，最大数据传输速率记为
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．3
例5-2（多选）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019 年全年投入研发资金130
万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金超过200 万元
的年份是（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．2019 年
B．2020 年
C．2023 年
D．2024 年
【变式训练5-1·变考法】2022 年6 月5 日神舟十四号载人飞船在长征二号F 遥十四运载火箭的托举下点火
升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭
理想速度公式
，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：
），其中
（单位：
）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量
的总和，
应称为总质比．已知A 型火箭喷流相对速度为
，根据以上信息：
（1）当总质比为50 时，A 型火箭的最大速度为
；
（2）若经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到原来的2 倍，总质比变为原来的
，
若要使火箭的最大速度至少增加
，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 ．
（所有结果保留整数，参考数据：
）
题型6 幂函数模型应用
例6-1 异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，
某类动物的新陈代谢率
与其体重
满足
，其中
和
为正常数，该类动物某一个体在生长发育过
程中，其体重增长到初始状态的16 倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8 倍，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力
满足公式
，其中
是空气密度，是该
飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度，
是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），
反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率
. 当
不变，比原来提高
时，下列说
法正确的是（ ）
A．若
不变，则
比原来提高不超过
B．若
不变，则
比原来提高超过
C．为使
不变，则
比原来降低不超过
D．为使
不变，则
比原来降低超过
【变式训练6-1·变考法】遗忘曲线（又称作艾宾浩斯记忆曲线）由德国心理学家艾
“
”
·宾浩斯（H.
Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观
描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知
研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了艾宾浩斯遗忘曲线，得到记忆率
“
”
与初次记忆经过的
时间
（小时）的大致关系：
，若陈同学需要在明天15 时考语文考试时拥有复习背诵记忆的
42%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
（参考数据:
）
A．14：30
B．14：00
C．13：30
D．13：00
【变式训练6-2】2020 年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一
步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021
年初有资金150 万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10 万元．若要实现2024 年初的资金
达到270 万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：
）（ ）
A．10%
B．20%
C．22%
D．32%
题型7 构造函数模型解决实际问题
例7-1 某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药
小时后每毫升血液中的含药量
（毫克）
与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4 毫克时治疗疾
病有效，则12 小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（ ）
A．4 小时
B．5 小时
C．6 小时
D．7 小时
例7-2（多选）新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必
经之路.某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019 年该企业新能源汽车的销售量逐
月平稳增长，1，2，3 月份的销售量分别为1.2 千台、1.4 千台、1.8 千台，为估计以后每个月的销售量，以
这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y（单位：千台）和月份x 之间的函数关系，
有以下两个函数模型可供选择：①
；②
.如果4 月份的销售量
为2.3 千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．选择
作为模拟函数
D．估计5 月份的销售量为4.2 千台
【变式训练7-1】娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公
司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润
（单位：万元）与运转的时
间
（单位：年）的函数关系为
.
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
【变式训练7-2】如图，某大学将一矩形ABCD 操场扩建成一个更大的矩形DEFG 操场，要求A 在DE 上，
C 在DG 上，且B 在EG 上．若
米．
米，设
米（
）．
(1)要使矩形DEFG 的面积大于2700 平方米，求x 的取值范围；
(2)当DG 的长度是多少时，矩形DEFG 的面积最小？并求出最小面积．
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
2．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
1．某科技公司生产某种产品的固定成本为2 万元，每月生产
件，需要另外投入成本
万元，其中
，每件产品的售价为8 万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，
求：
(1)将利润
（单位：万元）表示为月产量
的函数；
(2)为了让公司所获得利润
不低于10 万元，求月产量
的取值范围．
2.某地区去年用电量为
，电价为0.8 元/
，今年计划将电价降到0.55～0.75 元/
．用
户心理承受价位是0.40 元/
．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电
量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3 元/
，那么电价定为多少时
仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？
3．下表是弹簧伸长长度
（单位：
）与拉力
（单位：
）的相关数据：
描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．
4.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余质量约是原来的75%．经过多少年，该物质的
剩余质量是原来的
？（
，
，结果精确到0.001）
5.如图，有一块半径为R(单位：
)的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形
的形状，它的下底
是半
圆的直径，上底
的端点在圆周上.
（1）写出梯形的周长y（单位：
）和腰长x（单位：
）之间的函数关系式；
（2）求梯形周长的最大值.
6.图（1）是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的图象.
（1）试说明图（1）上点A，点B 以及射线AB 上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根
据图象，说明这两种建议是什么吗？
