文档文本内容
知识解构
知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的线性运算 知识点3 向量共线定理
题型破译 (含超链接）
题型
1 元素与集合的关系
题型
1 平面向量的概念与表示
题型
2
向量的几何表示
题型
3 相等向量及其应用
题型
4 平面向量线性运算
【方法技巧】平面向量线性运算的解题策略
题型
5 根据向量的线性运算求参数
题型
6 平面向量共线定理与点共线问题
【方法技巧】利用向量共线定理解题的策略
题型
7 平行向量（共线向量）求参数
第01 讲 平面向量的概念及线性运算
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
向
平面
量的相关概念
全国Ⅰ卷T5（5 分）
向
平面
量的线性运算
全国一卷T6（5 分）
全国Ⅰ卷T3（5 分）
考情分析
平面向量概念与线性运算包含向量定义、相等共线判定及加减数乘运算，常
结合几何图形转化求解；小题常考基础考点，出题频次平稳；
近三年考情显示，本节侧重向量线性拆分、共线条件应用，依托图形考查逻
辑转化能力。
复习目标
1 了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2 掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3 掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4 理解向量的线性运算性质及其几何意义
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
知识点1 向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 ．
（2）零向量：长度为0 的向量，其方向是 的．
（3）单位向量：长度等于1 个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量 ．
(5)相等向量：长度相等且 的向量．
(6)相反向量：长度相等且 的向量．
自主检测下列说法中，正确的是（ ）
A．模为
的向量与任意向量共线
B．单位向量只有一个
C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
知识点2 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a 与b 的相反向量－b
的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ 与向量a 的积的
运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0 时，λa 与
a 的方向相同；当λ<0 时，λa
与a 的方向相反；当λ＝0
时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa
＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
自主检测下列结果不是零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3 向量共线定理
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 .
【注意】当a≠0 时，定理中的实数λ 才唯一．
必记结论
（1）P
段
为线
AB 的中点，O
平面内任意一点
为
⇔OP＝(OA＋OB).
（2）若OP＝vOA＋μOB(μ，v
常数
为
)，O 不在直线AB 上，则P，A，B 三点共
的充要条件是
线
μ＋v＝1.
（3）若G 为△ABC 的重心，
有
则
①GA＋GB＋GC＝0；②AG＝(AB＋AC).
（4）
于任意两个向量
对
a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)
自主检测已知向量
，
，
，
，
，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D
B．A，B，C
C．A，C，D
D．B，C，D
题●型●破●译
题型1 平面向量的概念与表示
例1-1（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量的长度是0
B．向量是有向线段
C．若
，则
D．若
是共线的单位向量，则
例1-2（25-26 高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两个向量一定是相等向量
B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量
C．零向量没有方向
D．平行向量的方向一定相同
【变式训练1-1·变考法】（2026·广东广州·阶段测试）（多选）给出下列命题，则（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同
B．若
，
，则
C．若
为非零向量，则
与
同向
D．已知
，
为实数，若
，则
与
共线
【变式训练1-2·变考法】已知平面向量
，
，则“
或
是
”
“
的
”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
题型2 向量的几何表示
例2-1 如图所示的方格纸是由若干个边长为1 的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，
点C 为小正方形的顶点，且
．
（1）画出所有满足条件的向量
；
（2）求
的最大值与最小值．
【变式训练2-1·变情境】（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西
方向，且
，则向量
表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
B．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
C．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
题型3 相等向量及其应用
例3-1 已知向量
，
不共线，实数
，
满足
，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
例3-2 如图所示，四边形
是平行四边形，四边形
是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向
量中，写出（不含
）：
（1）与向量
相等的向量；
（2）与向量
共线的向量．
【变式训练3-1·变考法】已知四边形
满足条件
，且
，其形状是（ ）
A．梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【变式训练3-2·变载体】平面直角坐标系中，已知点A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，
2），且四边形ABCD 为平行四边形，那么D 点的坐标为（ ）
A．（3，3）
B．（﹣5，1）
C．（3，﹣1）
D．（﹣3，3）
【变式训练3-3】如图，
为正方形
对角线的交点，四边形
，
都是正方形.在图中所示
的向量中：
（1）分别写出与
，
相等的向量；
（2）写出与
的相反向量；
（3）写出与
模相等的向量.
【变式训练3-4·变考法】设
，
，
，
为平面内的四点，且
，
，
.
（1）若
，求
点的坐标；
（2）设向量
，若
与
平行，求实数
的值.
题型4 平面向量线性运算
例4-1 已知ABCD 为平行四边形，E 为BC 的中点，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 在
中，点
在线段
上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-3【新思维】（25-26 高三上·四川成都·期中）如图，在梯形
中，
，
，
．
（1）用
，
表示
；
（2）若
与
交于点
，用
，
表示
．
方法技巧 平面向量线性运算的解题策略
（1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
（2）[爪子定理]在△ABC 中，D 为BC 上一点，若BD
DC =m
n ，则⃗AD=
n
m+n⃗AB+ m
m+n⃗AC.
【变式训练4-1】在
中，点D 为
的中点，点O 为
的重心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】如图，在正六边形
中，点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3·变考法】（25-26 高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形
中，
，
，
分别为
，
的中点，
为线段
的四等分点（靠近点
），记
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-4·变载体】（26-27 高三·全国·一轮复习）（多选）已知等边三角形
内接于
，
为线
段
的中点，
为线段
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-5·原创题】已知
，
为两个不共线的向量，
，
，则
_____.
（用
，
表示）
题型5 根据向量的线性运算求参数
例5-1（2026·湖南邵阳·阶段测试）设
为
所在平面内一点，
．若
，则
的值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
例5-2（【新角度】25-26 高三上·广东中山·阶段测试）（多选）如图， 在
中，
为
的中点，
，
与
交于点
，若
，则下面对于
的描述正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1】（2026 高一·全国·专题练习）在平行四边形
中，
分别是
的中点，若
，则
______，
______．
【变式训练5-2】（25-26 高三上·天津南开·阶段检测）如图，在
中，
，
分别在线段
，
上，
且
，
，
，
交于点
，若
，则
_____________.
题型6 平面向量共线定理与点共线问题
例6-1（2026·湖南长沙·三模）已知
是不共线的向量，且
，则
（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
例6-2（25-26 高三上·广西梧州·期中）已知
中，
，
，M 为AB 的中点，N 为BD 上靠
近B 的三等分点．
（1）
，
表示向量
，
；
（2）判断M，N，C 三点的位置关系，并证明．
方法技巧利用向量共线定理解题的策略
（1）a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
（2）若a 与b 不共线且λa=μb，则λ=μ=0.
（3）已知O，A，B 是不共线的三点，且⃗OP=m⃗OA+n⃗OB(m，n∈R)，则A，P，B 三点共线的充要条
件是m+n=1.
【变式训练6-1】已知
，
为平面内一组基底，
，
，
，若A，B，
D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．
C．0
D．1
【变式训练6-2】（2026·浙江·二模）已知
，
是两个不共线的向量，且
，
，
，则四边形
的形状是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．无法构成四边形
【变式训练6-3】若
、
是两个不共线的向量，若
，
，
，且
、
、
三点共线，则实数
的值等于_____________.
【变式训练6-4·原创题】已知向量
三点共线，则
.
题型7 平行向量（共线向量）求参数
例7-1（2026 广东茂名·阶段测试）已知向量
不共线，且
，则实数
（ ）
A．3
B．
C．
D．
例7-2 向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b 与c 共线，则实数λ=_____________.
【变式训练7-1】（2025·广东广州·三模）已知向量
不共线，
与
共线，则实数
的值为
（ ）
A．
B．2
C．6
D．
【变式训练7-2】已知
、
不共线，向量
，
，且
，则
_____________.
【变式训练7-3】（25-26 高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在
中，
边上的中线为
的中点为
，
过点
的一条直线与
分别交于点
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1.（2026·全国I卷·高考真题） 已知平面向量
，
不共线，且
，则（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
2.（2020·海南·高考真题）在
中，D 是AB 边上的中点，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2022·新高考全国
卷
Ⅰ
·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.化简：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
；
（5）
； （6）
；
（7）
.
2.在四边形ABCD 中，若
，则( ).
A.四边形ABCD 是矩形
B.四边形ABCD 是菱形
C.四边形ABCD 是正方形
D.四边形ABCD 是平行四边形
3.设a 是非零向量，
是非零实数，下列结论中正确的是( ).
A.a 与
的方向相反
B.
C.a 与
的方向相同
D.
4.设M 是
的对角线的交点，O 为任意一点，则
( )
A.
B.
C.
D.
5.已知a，b 是不共线的向量，且
，
，
，则( ).
A.A，B，D 三点共线
B.A，B，C 三点共线
C.B，C，D 三点共线
D.A，C，D 三点共线
6.已知正方形ABCD 的边长为1，
，
，
，则
( ).
A.0
B.3
C.
D.
7.已知
，
，
，
，且四边形ABCD 为平行四边形，则( ).
A.
B.
C.
D.
8.如图，
.求证
.
9.已知六边形ABCDEF 为正六边形，且
，
，分别用a，b 表示
，
，
，
，
，
，
.
10.在
中，
，
，且与边AC 相交于点E，
的中线
AM 与DE 相交于点N.设
，
，用a，b 分别表示向量
，
，
，
，
，
，
.
11.已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量
，
，
，
满足等式
.
（1）作出满足条件的四边形ABCD.
（2）四边形ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.
12.（1）如图（1），在
中，计算
；
（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算
；
（3）如图（3），在n 边形
中，
证明你的
结论.
