第05 讲平面向量的数量积与坐标运算
（知识清单+9 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
数量积坐标运算、向量垂直判定、模长计算
单选题/填空
题
5 分
向量垂直的坐标表示、数量积运算、模长与夹角求解
单选题/多选
题/填空题
5 分/6 分
数量积坐标运算、向量夹角与模长、垂直关系判定
单选题/填空
题
5 分
【知识点01】向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作⃗OA＝a，⃗OB＝b，则∠
AOB
＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的
夹角.
【例1】已知向量a
→
=(1,❑√3)，b
→
=(❑√3,1)，求a
→
与b
→
的夹角θ。
解析：设a
→与b
→的夹角为θ，由向量夹角公式：
cos θ =
a
→
⋅b
→
| a
→
||b
→
|
先计算数量积：a
→
⋅b
→
=1×❑√3+ ❑√3×1=2❑√3
再计算模长：| a
→
|=
❑√1
2+(❑√3)
2=2，|b
→
|=
❑√(❑√3)
2+1
2=2
代入公式得：cos θ = 2❑√3
2×2 =
❑√3
2
又0
∘≤θ≤180
∘，故θ =30
∘（或π
6 ）。
【知识点02】平面向量的数量积
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量| a || b |cos
θ 叫做向量a 与b 的数量积，记作a · b .
【例2】已知|a
→
|= 4，|b
→
|=3，a
→
与b
→
的夹角为60
∘，求a
→
⋅b
→
；若a
→
=(2,−1)，b
→
=(−3,4)，求a
→
⋅b
→
。
解析：
1. 由数量积定义：a
→
⋅b
→
=| a
→
||b
→
|cos θ = 4×3×cos 60
∘=12× 1
2 =6；
2. 由坐标运算公式：a
→
⋅b
→
=2×(−3)+(−1)×4 =−6−4 =−10。
【知识点03】平面向量数量积的几何意义
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，⃗AB＝a，⃗CD＝b，过⃗AB的起点A 和终
点B，分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到⃗A1B1，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，⃗
A1B1叫做向量a 在向量b 上的投影向量.记为| a |cos
θ e .
【例3】已知a
→
⋅b
→
=12，| a
→
|= 4，求b
→
在a
→
方向上的投影；若a
→
=(3,4)，b
→
=(1,2)，求a
→
在b
→
方向上的投影。
解析：
1. 由投影公式，b
→在a
→方向上的投影为a
→
⋅b
→
| a
→
|
= 12
4 =3；
2. 先计算a
→
⋅b
→
=3×1+ 4×2=3+8=11，|b
→
|=
❑√1
2+2
2= ❑√5，
故a
→在b
→方向上的投影为a
→
⋅b
→
|b
→
|
= 11
❑√5 = 11❑√5
5
。
【知识点04】向量数量积的运算律
(1)a·b＝b · a .
(2)(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝a · c ＋
b · c .
【例4】已知a
→
=(1,2)，b
→
=(−1,1)，λ =2，验证( λ a
→
)⋅b
→
= λ( a
→
⋅b
→
)，并计算a
→
⋅(b
→
+2 a
→
)。
解析：
1. 验证运算律：
λ a
→
=2(1,2)=(2,4)，则( λ a
→
)⋅b
→
=2×(−1)+ 4×1=−2+ 4 =2；
a
→
⋅b
→
=1×(−1)+2×1=−1+2=1，则λ( a
→
⋅b
→
)=2×1=2，故( λ a
→
)⋅b
→
= λ( a
→
⋅b
→
)成立。
2. 计算a
→
⋅(b
→
+2 a
→
)：
方法一（分配律）：a
→
⋅b
→
+2a
→
⋅a
→
=1+2(1
2+2
2)=1+2×5=11；
方法二（先算向量和）：b
→
+2a
→
=(−1+2×1,1+2×2)=(1,5)，则a
→
⋅(b
→
+2 a
→
)=1×1+2×5=1+10=11。
【知识点05】平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b 的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋
y 1y2
模
|a|＝❑√a·a
|a|＝❑√x1
2＋y1
2
夹角
cos θ＝
a·b
|a||b|
cos θ＝
x1 x2＋y1 y2
❑√x1
2＋y1
2❑√x2
2＋y2
2
a⊥b 的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋
y 1y2＝
0
|a·b|与
|a||b|
的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
❑√( x1
2＋y1
2)( x2
2＋y2
2)
【例5】已知a
→
=(k ,3)，b
→
=(1,4)，若a
→
⊥b
→
，求k 的值；若|a
→
|=5，求k 的值。
解析：
1. 由垂直结论：a
→
⊥b
→
⇔a
→
⋅b
→
=0，即k ×1+3×4 =0⇒k +12=0⇒k =−12；
2. 由模长结论：| a
→
|=
❑√k
2+3
2=5，两边平方得k
2+9=25⇒k
2=16⇒k =± 4。
【题型一】平面向量数量积的定义
【例1】（2026·福建三明·二模）已知
，向量
在向量
上的投影向量为
，则
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【详解】设
与
的夹角为
，
在
上的投影向量为
，
故
，故
.
【变式1】（2023·山西·模拟预测）美术课对于陶冶人的情操发展学生的艺术兴趣和爱好培养学生的艺术特长提
､
､
､
高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，
其中
，
是正方形的两个顶点，
是三段圆弧上的动点，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据数量积的几何意义，
为
在
上的投影，数形结合，确定
的最大值和最
小值，即可求得答案.
【详解】如图，作
，垂足分别为
，且
与左半圆相切，
切点为
与右半圆相切，切点为
.
，其中
为
在
上的投影，
因为
，所以
.
当
与
重合时，
最大，最大值为
，
此时
取得最大值，最大值为
；
当
与
重合时，
最小，最小值为
，
此时
取得最小值，最小值为
；
故
的取值范围是
，
故选：B
【变式2】（多选）如图，在
方格中，向量
的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】结合向量的线性运算法则及数量积的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】如图所示，向量
与向量
方向不同，所以
，故A 错误，
将向量
平移至向量
的起点，可得
，且
，以向量
为邻边的平行四边形为正方形，对角线垂直且相等，
所以
，故B 与C 正确，
由以上可知，
，且向量
与向量的夹角相等，所以
，故D 错误.
故选：BC
【变式3】（2026·广东汕头·一模）
为圆O 的一条弦，且
，则
的值为_______.
【答案】2
【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得.
【详解】取弦
的中点
，连接
，根据圆的垂径定理，可得
，如图.
因为
,所以
.
根据向量数量积的几何意义：
【题型二】用定义求向量的数量积
【例1】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【答案】B
【分析】通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可.
【详解】平面向量
的夹角为
，
，
，
则向量
.
【变式1】（多选）（2026·浙江杭州·二模）在
中，
，
，
，则（ ）
A．
B．
的面积为6
C．
D．
【答案】BC
【分析】由余弦定理解出
的长，确定
为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解.
【详解】由余弦定理得
，
解得
，因为
，所以
为直角三角形，
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知正六边形
的边长为1，则
_____________.
【答案】3
【分析】结合正六边形的性质以及向量数量积运算求得正确答案.
【详解】根据正六边形的性质可知
，
则
.
故答案为：
【变式3】（2026·江西九江·二模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得
，结合
，即可求出
；
（2）由数量积的定义可求出
，再由余弦定理求出
，即可求出
的周长.
【详解】（1）由正弦定理可得：
，
因为
，所以
，即
，
又因为
，所以
.
（2）由
，
所以
，又因为
，
由余弦定理可得：
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
的周长为：
.
【题型三】数量积的运算律
【例3】（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面向量
，非零向量，满足
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量的三角不等式求出
的范围，再利用数量积的运算律求解.
【详解】由
，得
，则
，
由
，得
，即
，
而
，则
，又
，
因此
，
，
所以
的取值范围是
.
【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知点
在单位圆的内接正方形
的边
上运动，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式，再利用二次函数求出值域即可.
【详解】由单位圆的内接正方形
，得
，设
，则
，
由
，得
，同理
，
因此
.
【变式2】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知向量
在
上投影数量为
，
，则
_____
【答案】
【分析】根据题意，利用投影数量的公式，求得
，结合数量积的运算律，即可求解.
【详解】因为向量
在
上投影数量为
，
，所以
，
所以
，所以
.
【变式3】（2025·福建福州·一模）在
中，
，
为
的中点，
.
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
的长.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）在
中，利用余弦定理可求得
，在
中，再利用余弦定理，即可求得
；
（2）如图，延长
，使
，则
为等腰三角形，进而可得
，则
，则
，结合平面向量基本定理，可得
，联立即可求解.
【详解】（1）如图，在
中，
，
，
，
根据余弦定理，得
，
又在
中，
，
，
，
根据余弦定理，得
，
解得
；
（2）如图，延长
，使
，则
为等腰三角形，
，
，
又
，所以
，所以
，
所以
，则
，即
，
所以
，则
，
又
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，即
，解得
或
（舍）.
【题型四】垂直关系的向量表示
【例4】（2026·河北沧州·三模）已知平面向量
，
，且
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】利用向量垂直求出
，再用模长公式计算结果.
【详解】
， 所以
，
因为
，则
，即：
.
解得：
.
所以
.
【变式1】（2026·广东广州·二模）已知非零向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
可得：
，
整理可得：
，
根据数量积定义可得：
，
又因为
，
所以
，
又因为
为非零向量，所以
，
所以等式约去
，整理可得：
.
【变式2】（多选）（2026·河南洛阳·模拟预测）已知
，且
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在
和
，使得
【答案】AC
【分析】对于A，利用向量的模长公式计算即可；
对于B，由
，得
,结合三角函数值即可求解；
对于C，利用向量垂直的判定公式即可求解；
对于D，两边平方原等式化简可得
,，即可得到
与
的关系.
【详解】对于A，由
，得
,
,
所以
,故A 正确；
对于B，由
，则
,则
,即
，
因为
，所以
或
,故B 错误；
对于C，因为
,所以
，故C 正确；
对于D，若
,则
，化简得：
，所以向量
与
反向共线，与
矛盾，故D 错误.
【变式3】（2026·重庆北碚·模拟预测）若平面向量
满足
，则
的最大值为________．
【答案】2
【分析】先通过模长相等推导得两向量垂直，再将所求模长平方后结合已知条件转化为关于
的表达式，即可求得
最大值．
【详解】由
，得
，
即
，
化简得
，即
，
由
，得
，
所以
，又
，
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
．
【题型五】数量积的坐标表示
【例5】（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以
为基底向量表示
，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面
向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
【变式1】（2026·山东青岛·二模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量
，
的起点和终点均在格点上，则
（ ）
A．－10
B．5
C．15
D．20
【答案】C
【详解】
建立如图所示直角坐标系，
可得
，
，
故
，
所以
．
【变式2】（2026·山东淄博·二模）已知复数
，
，
，
，复数
，
，
，
在复平面内对应的点分别为
，
，
，A，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题意得，
，
则
，故A 正确；
，
，
故
不一定相等，故B 错误；
，故C 正确；
，故D 错误.
【变式3】（2026·山东济南·三模）已知向量
，
，则
的值为________．
【答案】5
【详解】因为
，
所以
.
【题型六】坐标计算向量的模
【例6】（2026·吉林·三模）已知
，
，且
，则
（ ）
A．4
B．1
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
，解得
，
，
.
【变式1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知平面向量
，
，满足
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出
，再根据
，
，结合数量积的运算律即可得解.
【详解】因为
，
，
，
，
所以
，
，得
，
显然
，所以
．
【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量
，
，且
，则
______.
【答案】
【分析】先根据向量共线的坐标表示得
，再结合向量的模的坐标公式求解即可.
【详解】因为向量
，
，且
所以
，解得
，
所以
，
因此
.
【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量
，
，
，若
，则
______.
【答案】10
【分析】根据向量的坐标运算、向量平行的坐标表示及向量的模计算即可.
【详解】
.
因为
，所以
，解得
.
所以
，故
.
【题型七】向量垂直的坐标表示
【例7】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
___________
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
【变式1】（2026·江西宜春·模拟预测）已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为向量
，
，
，
所以
，解得
，故
．
【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知
，
，若
，则实数
________.
【答案】1
【详解】因为
，
，
所以
，
，
且
，
所以
，即
，解得
.
【变式3】（2026·湖北荆州·一模）如图，在
中，
，
，D，E 分别是边
，
的中点，且
.
(1)求
的面积；
(2)求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设
，由题意列方程可求出
的值，根据三角形面积公式，即可求得答
案；
（2）求出
，根据三角形面积求解，即可得答案.
【详解】（1）以点A 为坐标原点，
为x 轴，过点A 作垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，
则
，设
，由于
，则
，
则
，故
，
而
，故
，
即
，即
，
结合
，得
，即得
，则
，
故
的面积为
；
（2）结合（1）的分析可知
，
的面积为
,则
，即
,
故
.
【题型八】向量夹角的坐标表示
【例8】（2026·河北张家口·二模）已知向量
满足
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，
设
与
的夹角为
，则
，
又
，所以
.
【变式1】（多选）（2026·河北·一模）已知向量
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
在
上的投影向量为
C．
与夹角的余弦值为
D．若
与
垂直，则实数
【答案】AC
【详解】对A，
，则
，故A 正确；
对B，
在
上的投影向量为
，故B 错误；
对C，
与夹角的余弦值为
，故C 正确；
对D，
，若
与
垂直，
则
，解得
，故D 错误.
【变式2】（2026·广东·模拟预测）已知向量
，
，且
与
的夹角为
，则
______．
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得
的值.
【详解】向量
，
，则
.
【变式3】（2026·广东揭阳·二模）如图，在
中，已知
，
，
，点M 在边BC 上且
，AM 与AC 边上的中线BN 相交于点P.
(1)求中线BN 的长；
(2)求
的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可；
（2）建立平面直角坐标系，求出
的坐标，进而求解即可.
【详解】（1）由
，BN 为中线，则
，
在
中，由余弦定理得
，
则
.
（2）以
为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由
，
，
，得
，
则
，
则
，即
，
所以
，
，
，
则
，
所以
的余弦值为
.
【题型九】投影向量
【例9】（2026·福建厦门·模拟预测）已知
，
，
在
上的投影向量为
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【详解】
在
上的投影向量为
即
因为
，所以
代入等式得
【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知不共线向量
满足
，且
在
上的投影向量为单位向量，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．0
【答案】A
【详解】由题知，
，
，
则
.
设
，即
，
，即
，解得
或
.
当
时，
，则
，此时
共线，不合题意；
当
时，
，符合题意.
【变式2】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知
，
，
，若
，则在
方向上的投影向量
的坐标为_____.
【答案】
/
【详解】由
，得
， 即
，解得
， 所以
.
，
，
.
所以在
方向上的投影向量为
.
【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量
满足
，向量
在向量
上的投影向量为
，则
______．
【答案】
【分析】由投影向量的计算式求得
，计算即可得出
的结果.
【详解】∵向量
在向量
上的投影向量为
，
∴
，
∴
，
，则
，
∴
.
【解题大招01】巧用a
→
⋅a
→
=|a
→
|
2化简求值
当题干中出现向量模长、向量自身数量积时，优先利用a
→
⋅a
→
=| a
→
|
2变形，将模长转化为数量积，简化运算，避
免复杂开方或平方运算。
【例1】已知|a
→
|=3，|b
→
|= 4，a
→
与b
→
的夹角为60
∘，求| a
→
−2b
→
|
2和|a
→
+ b
→
|的值。
解析：利用|m
→
|
2=m
→
⋅m
→变形，结合数量积运算律展开：
1. 计算| a
→
−2b
→
|
2：
| a
→
−2b
→
|
2=( a
→
−2b
→
)⋅( a
→
−2b
→
)= a
→
⋅a
→
−4 a
→
⋅b
→
+ 4 b
→
⋅b
→
代入已知条件：a
→
⋅a
→
=| a
→
|
2=9，b
→
⋅b
→
=|b
→
|
2=16，
a
→
⋅b
→
=|a
→
||b
→
|cos 60
∘=3×4× 1
2 =6，
故| a
→
−2b
→
|
2=9−4×6+ 4×16=9−24 +64 = 49；
2. 计算| a
→
+ b
→
|：
|a
→
+ b
→
|=
❑√(a
→
+ b
→
)⋅(a
→
+ b
→
)=
❑√|a
→
|
2+2a
→
⋅b
→
+|b
→
|
2
代入得：|a
→
+ b
→
|= ❑√9+2×6+16= ❑√9+12+16= ❑√37。
【解题大招02】坐标运算优先化简表达式
涉及向量坐标运算时，先利用平方差、完全平方等公式化简表达式（如(a
→
+ b
→
)⋅(a
→
−b
→
)=|a
→
|
2−|b
→
|
2），再代
入坐标计算，减少坐标运算量，避免符号出错。
【例2】已知a
→
=(2,−3)，b
→
=(−1,2)，求(2a
→
+ b
→
)⋅(a
→
−3 b
→
)的值。
解析：先化简表达式，再代入坐标计算：
(2 a
→
+ b
→
)⋅( a
→
−3 b
→
)=2 a
→
⋅a
→
−6 a
→
⋅b
→
+ a
→
⋅b
→
−3 b
→
⋅b
→
=2| a
→
|
2−5 a
→
⋅b
→
−3|b
→
|
2
计算相关量：|a
→
|
2=2
2+(−3)
2=13，|b
→
|
2=(−1)
2+2
2=5，
a
→
⋅b
→
=2×(−1)+(−3)×2=−2−6=−8，
代入得：2×13−5×(−8)−3×5=26+ 40−15=51。
【解题大招03】 夹角问题“先判符号，再平方”
求解向量夹角时，若需对夹角公式平方求解，需先判断a
→
⋅b
→的符号（夹角为锐角时正、钝角时负、直角时0），
避免平方后产生增根，确保夹角范围与计算结果一致。
【例3】已知a
→
=(1,k )，b
→
=(2,4)，且a
→
与b
→
的夹角为锐角，求实数k 的取值范围。
解析：夹角为锐角需满足两个条件：① a
→
⋅b
→
>0；② a
→与b
→不共线（共线时夹角为0
∘，非锐角）。
1. 由a
→
⋅b
→
>0：1×2+ k ×4 =2+ 4 k >0⇒k >−1
2；
2. 由a
→与b
→不共线：1×4−k ×2≠0⇒k ≠2；
综上，k 的取值范围为k >−1
2且k ≠2。
【解题大招04】 垂直问题“转化为数量积为0”
无论向量是直接垂直（a
→
⊥b
→），还是间接垂直（如(a
→
+ b
→
)⊥c
→），均转化为“数量积为0”的方程求解，结合坐
标运算或定义运算，快速建立关系式。
【例4】已知a
→
=(3,−2)，b
→
=(t ,1)，且(a
→
−2b
→
)⊥a
→
，求t 的值。
解析：由( a
→
−2b
→
)⊥a
→，得( a
→
−2b
→
)⋅a
→
=0：
1. 先求a
→
−2b
→
=(3−2t ,−2−2×1)=(3−2t ,−4)；
2. 代入数量积为0：(3−2t )×3+(−4)×(−2)=0；
整理得：9−6t +8=0⇒6t =17⇒t = 17
6 。
【解题大招05】 投影问题“巧用数量积变形”
技巧说明：求解向量投影（或投影模长）时，无需单独求夹角θ，直接利用数量积几何意义变形：
|b
→
|cos θ = a
→
⋅b
→
|a
→
|
，代入已知条件快速求解，简化运算。
【例5】已知a
→
⋅b
→
=−15，| a
→
|=5，b
→
=(−3,4)，求a
→
在b
→
方向上的投影模长。
解析：由投影公式，a
→在b
→方向上的投影模长为|a
→
|cos θ = a
→
⋅b
→
|b
→
|
：
1. 计算|b
→
|=
❑√(−3)
2+ 4
2=5；
2. 代入公式得：a
→
⋅b
→
|b
→
|
= −15
5
=3（投影模长为非负数，取绝对值）；
故a
→在b
→方向上的投影模长为3。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知平面向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，且
，所以
，
，所以
．
2．（2026·甘肃金昌·三模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】先根据向量减法法则，计算出
的坐标，再利用向量垂直的性质（两个向量垂直，则它们的数量积为
0），列方程求出参数
的值和
的坐标，并计算
的坐标，最后根据向量模长公式，求出
的值即可.
【详解】由题知
，
因为
，
所以
，解得
所以
，则：
，
所以
.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】由
得
，结合
，得
，由此即可得解.
【详解】因为
，所以
，即
，
又因为
，
所以
，
从而
.
故选：B.
二、多选题
4．（2026·贵州六盘水·一模）已知向量
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AD
【分析】由向量平行、垂直的坐标表示可得.
【详解】向量
，
，
若
，则
，即
，所以A 正确，B 错误；
若
，则
，即
，所以D 正确，C 错误.
5．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据平面向量基本运算的坐标表示，逐项判断即可.
【详解】对于A 选项，向量
，
，所以
，故A 正确；
对于B 选项，因为
，所以
，故B 正确；
对于C 选项，向量
，
，所以
，
又
，所以
与
不共线，故C 错误；
对于D 选项，因为
，
，所以
，
所以
，故D 正确.
综上所述，选项ABD 均正确.
三、填空题
6．（2026·河北邢台·二模）已知向量
，若
，则
__________.
【答案】
【详解】因为
，所以
，
又因为
，所以
，即
.
7．（2026·贵州安顺·模拟预测）设
、
为单位向量，若
，则
________.
【答案】
（或
）
【分析】利用向量数量积的运算性质和定义可求得
，结合向量夹角的取值范围可得答案.
【详解】因为
、
为单位向量，
，则
，
所以
，
因为
，故
.
四、解答题
8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知
.
(1)判断四边形ABCD 的形状，并证明；
(2)求
与
夹角的余弦值.
【答案】(1)平行四边形，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标表示证明即可.
（2）根据向量坐标表示以及向量夹角的坐标公式求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
.
因为
，所以四边形
是平行四边形.
（2）因为
，
所以
，进而
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·辽宁锦州·二模）已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．5
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的线性运算及向量的模计算即可.
【详解】由
，得
，即
，解得
，此时
.
所以
，则
.
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量
在向量
方向的投影向量为
，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】由题目可知
，即
，
因为
，
，
所以
，解得
.
二、多选题
3．（2026·重庆·三模）已知向量
，则（ ）
A．当
时，
B．存在
，使
C．当
时，
在
方向上的投影向量为
D．当
与
的夹角为锐角时，
【答案】AD
【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根
据数量积的坐标运算判断D.
【详解】对A，
，则
，解得
，A 正确；
对B，
，若
，则
，
即
，故不存在
，使
，B 错误；
对C，当
时，
，
，
在
方向上的投影向量为
，C 错误；
对D，当
与
夹角为锐角时，
且
不共线，
即
且
，解得
，D 正确．
三、填空题
4．（2026·河北保定·二模）已知向量
满足
，
，则
的取值范围是________.
【答案】
【分析】通过已知条件得到
的表达式，利用向量三角不等式确定
的范围进行求解.
【详解】因为
，两边平方得到
，
整理得
，
又根据向量三角不等式
，
代入
，
，解得
，
所以
5．（2026·山东聊城·模拟预测）已知向量
，且
，则向量在向量
上的投影向量的坐标为___________．
【答案】
【详解】
，解得
，
，
,
向量在向量
上的投影向量为
．
四、解答题
6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量
.
(1)当
时，求
的值；
(2)当
时，求
的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，正弦二倍角公式即可求解；
（2）由向量平行的坐标表示及两角和的正切公式即可求解.
【详解】（1）由
，可得：
，
化简可得：
，
即
；
（2）由
，可得
，
即
，显然
，
即
，
所以
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量
，
满足
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
【答案】B
【详解】因为
，所以
，即得
，又
，所以
．
因为
，则
，所以
，解得
（负值舍去）．
2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在
中，
，且满足
，其中
是
外接圆的圆心，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，由向量定义可知，
在
的角平分线上，结合条件可得
是边长为2 的等边三角
形，再由向量数量积的定义计算即可．
【详解】设
，则
在
的角平分线上，
由
，
，
又
为角平分线，所以
，
，即
是边长为2 的等边三角形，
设
为
中点，
是
外接圆的圆心，
在
的角平分线上，
且
，
，
，
．
二、多选题
3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知平面向量
，若
，则（ ）
A．
B．向量
与
平行
C．向量
与
的夹角的余弦值为
D．当
时，
【答案】ACD
【详解】由
得
，所以A 正确；
因为
，
又
，所以
与
不平行，故B 错误；
，故C 正确；
由
，得
，
所以
，所以
，故D 正确．
三、填空题
4．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
_________．
【答案】
【分析】先根据平行的坐标关系得出
，最后应用数量积坐标公式计算求解.
【详解】因为
，
，
，
所以
，即
，
从而
．
四、解答题
5．（2026·重庆·模拟预测）设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
，边
上的中线
，设点
为
的外接圆圆心，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合两角和差的正弦公式对已知条件进行化简整理，得到
，即可求解.
（2）由余弦定理及中线
可得
，结合三角形外接圆性质得到
，
，根据垂直关
系的向量表示及向量数量积的运算律得到
，
，进而求解即可.
【详解】（1）在
中，
，所以
，同理可得，
.
由
，得
，
即
，
整理得
，
又
，所以
，所以
，即
，
又
，所以
.
（2）在
中，由余弦定理
，得
，
又
，所以
，
即
，也即
，
解得
，
令
，
的中点分别为
，
，由点
为
的外接圆圆心，得
，
，
，
，
所以
.
