文档文本内容
第03 讲 平面向量的数量积
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................5
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析.............................................................................................5
高频考点二：平面向量数量积的几何意义.................................................................................................7
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）................................................................................11
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）....................................................................................15
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）............................................................................18
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）..............................................25
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）.....................................................................29
高频考点八：向量的垂直关系..................................................................................................................31
高频考点九：向量的投影（投影向量).....................................................................................................33
高频考点十：平面向量的综合应用..........................................................................................................35
高频考点十一：最值范围问题..................................................................................................................41
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................48
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题............................................................................48
第五部分：新定义题........................................................................................................................................49
第一部分：基础知识
1、平面向量数量积有关概念
1.1 向量的夹角
已知两个非零向量
和
，如图所示，作
，
，则
(
)叫做向量
与
的夹角，记作
．
(2)范围：夹角
的范围是
．
当
时，两向量
，
共线且同向；
当
时，两向量
，
相互垂直，记作
；
当
时，两向量
，
共线但反向．
1.2 数量积的定义：
已知两个非零向量
与
，我们把数量
叫做
与
的数量积(或内积)，记作
，即
，其中θ 是
与
的夹角，记作：
．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：
.
1.3 向量的投影
①定义：在平面内任取一点
，作
.过点
作直线
的垂线，垂足为
，则
就是向量
在向量
上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当
为锐角（如图（1））时，
与
方向相同，
，所以
；
当
为直角（如图（2））时，
，所以
；
当
为钝角（如图（3））时，
与
方向相反，所以
，即
.
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
综上可知，对于任意的
，都有
.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量
，
为向量
和
的夹角：
2.1 数量积
2.2 模：
2.3 夹角：
2.4 非零向量
的充要条件：
2.5 三角不等式：
（当且仅当
时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形
中，则
②三角形形式：在
中，
为
的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：高考真题回顾
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
，求出
，进而可以用向量
表示出
，即可解出．
【详解】因为
，
，
由
平方可得，
，所以
．
，
，
所以，
，
又
，即
，
所以
，即
，
故选：D.
2．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知
等价于
，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，
表示），若
，
，则
【答案】
；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为
，所以
，所以
．
因为D 为线段
的中点，所以
；
又因为
，所以
，
，所以
所以
，
所以
．
故答案为：
；
.
4．（2023·上海·高考真题）已知
,
，求
【答案】4
【分析】
由平面向量数量积的坐标运算求解.
【详解】由题意得
故答案为：4
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
例题1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③.
【详解】
，
，
，
表示与共线的向量，
表示与
共线的向量，故两者不一定相等，
故①②③正确，④错误，
故选：D
例题2．（多选）已知
，
，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】根据平面向量定义、数量积的计算公式、向量平行的定义等知识直接求解.
【详解】对于A，若
，则
，
则
，但
与
不一定相同，
所以得不到
，无法得到
，故A 错误；
对于B，若
，平方得
，即
，所以
，故B 正确；
对于C，若
，
，则
显然成立，故C 正确；
对于D，
，
，
若
，则
，若
，原式不成立，故D 错误.
故选：BC
精练高频考点
1．已知向量
，
满足
，且
与
的夹角为
，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．14
【答案】B
【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【详解】`
由
，且
与
的夹角为
，
所以
.
故选：B.
2．（多选）关于平面向量
，
，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．
【答案】CD
【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D.
【详解】对于A，由向量的运算法则，得A 正确；
对于B，向量数量积满足分配律，B 正确；
对于C，由
，得
，当
时，满足题设，C 错误；
对于D，
是与共线的向量，
是与
共线的向量，而
与无任何关系，D 错误.
故选：CD
3．（多选）已知任意的非零平面向量
，
，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用数量积的定义及运算律，逐项判断即得.
【详解】对于A，
，A 错误；
对于B，
，
为非零向量，
，B 正确；
对于C，
是与共线的向量，
是与
共线的向量，而
无任何关系，C 错误；
对于D，
，D 正确.
故选：BD
高频考点二：平面向量数量积的几何意义
典型例题
例题1．（24-25 高二下·广东汕尾·期末）如图，已知圆C 的弦
的长度为4，则
的值是（ ）．
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【分析】应用向量数量积的定义及圆的性质求数量积即可.
【详解】由
，由圆的性质知
，
所以
.
故选：C
例题2．（24-25 高一下·上海宝山·阶段练习）已知
中，
，
，
，则
在
方向上的数量投影为 .
【答案】
【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得．
【详解】
在
方向上的数量投影为：
故答案为：
．
例题3．（24-25 高一下·上海·期末）已知6 个边长均为2 的正六边形摆放如图所示位置，
是这6 个正六
边形内部（包括边界）的动点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由向量数量积几何意义可得当C 为G，F 时，数量积最大，当C 为D，E 时，数量积最小，据此
可得答案.
【详解】如图，由数量积几何意义，当C 为G 或F 时，数量积最大，
此时
；
当C 为D 或E 时，数量积最小，
此时
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高一下·广东清远·期中）已知
是圆
的弦，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据数量积的几何意义即可求解。
【详解】如图：取弦
的中点为
,
,
故选:D
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为
的外心，
，则
．
【答案】6
【分析】思路1：用特殊化思想求解．
思路2：利用平面向量的数量积的几何意义．
思路3：利用
，将向量的模的等式转化为向量的等式．
思路4：用极化恒等式求解．
【详解】解法1：取
，如图1，
为
的中点．
则
．
解法2：如图2，过点
作
，垂足分别为
．
因为
为
的外心，所以
分别是
的中点．
则
．
解法3：由
，得
，所以
，即
①．
同理得
②．
因为
为
的外心，所以
，故
．
①－②得
，
即
，即
，故
．
解法4：如图2，
，
又因为
四点共圆，且
为直径，
所以
，
即
，
从而
．
故答案为：
3．（24-25 高一下·北京·期末）如图，
是以
直径的圆
上的动点，已知
，则
的最
大值是 .
【答案】
/
【分析】连接
，过
作直线
于
，交圆
于
，过
作
于
，利用数量积的几何
意义，得到
，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】如图，连接
，过
作直线
于
，交圆
于
，过
作
于
，
因为
，所以
，且
，则
在
上的投影向量为
，
由数量积的几何意义知，若
取到最大值，则
在
同侧，
且
，当且仅当
与
重合时取等号，
又圆
的半径为，则
，所以
，
故答案为：
.
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）
典型例题
例题1．（2025 高一·全国·专题练习）已知正方形
的边长为2，点
是
的中点，点
是对角线
上的动点，则
的最大值为（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】以
为坐标原点，
方向分别为
轴、
轴的正方向建立平面直角坐标系，设
，利用数量积的坐标运算即可求解.
【详解】以
为坐标原点，
方向分别为
轴、
轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：
则
，
，
，
设
，则
，
，所以
．
所以当
时，
取得最大值为2．
故选：B．
例题2．（24-25 高一下·福建南平·期末）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为
，所以
，
则
，故C 正确.
故选：C
例题3．若向量
满足
，则
．
【答案】
/0.5
【分析】将
平方，把
代入即可.
【详解】因为
，
所以
，
即
，
即
，
所以
，
故答案为：
.
例题4．（2025 高三·全国·专题练习）设正方形
的边长为4，动点
在以
为直径的
上，如
图，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】取
的中点
，连结
，根据极化恒等式
求解即
可.
【详解】取
的中点
，连结
，
在
内使用极化恒等式得
易知
，故
．
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高一下·海南海口·期末）已知四边形
为矩形，
，
，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．7
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，再利用坐标表示向量的数量积，从而可求解.
【详解】由题，以点
为坐标原点，分别以
，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
则
，
，则
，故A 正确；
故选：A.
2．（24-25 高一下·辽宁大连·期末）在平行四边形
中，
，
，
，
为
的
中点，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性关系结合平面向量数量积的运算律计算求解.
【详解】平行四边形
中，
，
，
，
为
的中点，则
.
故选：B.
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在
中，
，
，
，
为线段
上的两
个动点，且满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意解
，设
中点为
，利用极化恒等式可得
，接着用余弦定理
求
的范围即可.
【详解】设
中点为
，
，
，
，
，
则
，
设
，
，
所以
.
故答案为：
.
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）
典型例题
例题1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将题干条件平方处理，得出
，然后对待求表达式也平方处理即可得解.
【详解】由
，则
，
解得
，于是
，
故
.
故选：B
例题2．（2025·安徽蚌埠·三模）若向量
与
的夹角为
，且
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．6
【答案】C
【分析】利用数量积求出
后可得
.
【详解】由题意得
，
,
故
，
故选：C.
例题3．（24-25 高二下·甘肃兰州·期末）已知单位向量
，
满足
，则
．
【答案】
【分析】由已知可求得
，进而利用
可求模.
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
例题4．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）已知平面向量
、
、
、
，且
，若
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】不妨设
，
，设
，
，根据已知条件得出
，由
可设
，可得出
，利用平面向量模长的坐标公式可求得
的最小值.
【详解】因为
，可得
，故
，
不妨设
，
，
设
，
，则
，解得
，
，所以
，
可得
，
不妨设
，可得
，即
，
所以
，
所以
，
因为
，故
，
所以
，
当且仅当
时，
取最小值
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】先计算
的坐标，再利用模长公式计算即可.
【详解】由题意可得，
，
则
，解得
.
故选：A
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
或
C．
或1
D．
【答案】B
【分析】应用向量数量积的运算律将条件化为
，再由向量模长的坐标运算列方程求参数值.
【详解】由
两边平方化简得
，
所以
，即
，
化简得
，解得
或
.
故选：B
3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
是单位向量，
，
的夹角为
，若向量满足
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系内，利用向量的坐标表示及运算，结合向量模的坐标表示求出的终点的轨
迹，进而求出最大值.
【详解】
，且
，
的夹角为
，
在平面直角坐标系中，令
，设
，
则
，由
，得
，
因此点
的轨迹是以
为圆心，以为半径的圆，
所以
的最大值为
.
故选：D
4．（23-24 高一下·上海·期中）已知
则
．
【答案】10
【分析】利用平面向量的数量积运算求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，故
，
，
故答案为：10.
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）
典型例题
例题1．（2025·全国·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知向量
，
，利用向量减法求出
和
，再通过点积计算求出
，通过模长计算求出
和
，利用向量夹角的余弦公式
求解.
【详解】
，
.
.
.
.
.
.
故选：C.
例题2．（24-25 高一下·湖北宜昌·期末）已知点
，
，
(1)若A，B，C 三点共线，求实数k 的值；
(2)若四边形
为矩形，求向量
与
夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得
，
，再根据共线向量列方程即可求解；
（2）根据题意列方程求得点
的坐标以及
的值，进一步根据向量夹角的余弦的坐标公式即可求解.
【详解】（1）因为A，B，C 三点共线，所以
，
共线，即
，
又
，
，则有
，所以
；
（2）设
，因为四边形
为矩形，所以
，
，
又
，
，
，
得
，
则
，
，
，
则
，
，则
，
综上，向量
与
夹角的余弦值为
.
例题3．（24-25 高一下·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
．
(1)求
的长度；
(2)若
与
交于点
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在直角三角形中利用勾股定理求得
、
、
，确定
的正弦、余弦值，再结合
两角和的余弦公式以及余弦定理即可求解
.
（2）解法一：构建平面直角坐标系，利用垂直关系，确定
点坐标，利用平面向量的方法求解.解法二：
在
利用余弦定理确定
，利用同角关系确定
，再利用两角和的余弦公式即可求
解.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
．
（2）解法一：如图，以点
为坐标原点，
为
轴，
为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
，过点
作
于点
，
，即
，
整理得
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
为
与
的夹角，
，
，
∴
．
解法二：
，在
中，
，
，
，
则
，
，
则
．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·重庆·期中）如图，矩形
的长为3，宽为2，E 是
边的中点，F 是
边上靠近
点A 的三等分点，
与
交于点M，则
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用
与
共线，
与
共
线，求出点
的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可.
【详解】
以
为坐标原点，
，
所在方向分别为
轴和
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
，设
，
，
，
，
，
与
共线，设
，
，即
，
与
共线，设
，
，即
，
，解得
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故选：A.
2．（24-25 高一下·福建宁德·期末）如图，在平行四边形
中，已知
，
，
，
是
的中点，
与
交于点
，设
，
．
(1)用
，
表示向量
，
；
(2)求
的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量线性运算即可求解；
（2）法一：由平面向量数量积的运算律及夹角公式即可求解；法二：由余弦定理及相似三角形的性质即
可求解；法三：以
为原点，建立平面直角坐标系，由平面向量夹角的向量公式即可求解；法四：由余弦
定理，正弦定理，同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解．
【详解】（1）因为平行四边形
，
，
，
所以
．
又因为
是
的中点，
所以
．
（2）解法一：
，
．
．
．
因为
与
的夹角为
，
所以
．
解法二：因为平行四边形
中
，
，
，
所以
中，
，
，
，
由余弦定理得
，故
．
因为
，
是
的中点，所以
，
所以
，
．
在
中，由余弦定理得
．
解法三：以
为原点，
所在直线为
轴如图建系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
．
因为
与
的夹角为
，
所以
．
解法四：因为平行四边形
中
，
，
，
所以
中，
，
，
，
由余弦定理得
，故
．
在
中，由正弦定理
得
，
，
所以
．
3．（24-25 高一下·重庆沙坪坝·期中）正方形
的边长为，
，
，点
是边
所在直线上的一个动点．
(1)当
时，求实数
的值；
(2)当
时，求向量
与
的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以
为原点建立直角坐标系，再利用向量平行的坐标表示可计算实数
的值；
（2）设
，根据向量垂直的坐标表示可求，再利用向量夹角的计算公式可求.
【详解】（1）以
为原点，
为
轴正方向建立平面直角坐标系，
，
，
所以
，
又因为
，所以
，解得
.
（2）因为点
是边
所在直线上的一个动点，所以设
，则
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
，
设
与
的夹角为
，则
.
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·四川德阳·阶段练习）已知向量
，
与
的夹角为锐角的一
个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
与
的夹角为锐角的充要条件，其对应集合的真子集即满足题意.
【详解】因为
，
所以
，
解得
，
当
与
共线时，
，解得
，
所以
与
的夹角为锐角的充要条件为
且
，
故四个选项中只有
为
与
的夹角为锐角的一个充分不必要条件，
故选：D
例题2．（24-25 高一下·重庆万州·期中）已知向量
，若向量
的夹角是锐角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解
，再根据向量
的夹角是锐角与数量积与向量共线的
关系列式求解即可.
【详解】因为
，所以
，
因为向量
，
的夹角是锐角，所以
解得
且
，所以
的取值范围是
.
故选：C.
例题3．（24-25 高一下·上海青浦·期末）已知
为坐标原点，
，
，
．
(1)若
、
、
三点共线，求
的值；
(2)若
与
夹角为钝角，求
的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【分析】1）根据题意结合
运算求解；
（2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解.
【详解】（1）
，
三点共线，
与
共线，
则
，解得
.
（2）由（1）知
，
与
夹角为钝角，可得
，解得
，
若
与
平行，则
，解得
，
若
与
不平行，则
，
的取值范围是
.
练高频考点
1．（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量
，且
的夹角为锐角，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据夹角公式判断出
，同时需排除两向量同向共线的情况.
【详解】由夹角公式，
的夹角为锐角，即
，
即
，解得
；
当
共线时，
，解得
，
此时
满足
，此时两向量夹角为
，
于是
的夹角为锐角时，
.
故选：A
2．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
在
方向上的投影数量为1，求m 的值；
(3)若
，
的夹角为锐角，求m 的取值范围．
【答案】(1)18
(2)
(3)
，且
．
【分析】（1）根据向量的数量积的坐标运算得解；
（2）根据投影向量的数量的概念求解即可；
（3）转化为数量积为正，且不同向共线即可得解.
【详解】（1）若
，则
，故
，
所以
．
（2）
在
方向上的投影数量是
，
，
若
在
方向上的投影数量为1，则
，解得
．
（3）若
，
的夹角为锐角，则
，且
，
不共线，
由
，所以
，解得
，
由
，
不共线，所以
，解得
，
综上，m 的取值范围为
，且
．
3．（24-25 高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
，
．
(1)
是线段
上靠近
的三等分点，求点
的坐标；
(2)若
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的坐标表示共线计算即可；
（2）结合坐标计算数量积利用坐标表示向量的夹角计算即可.
【详解】（1）设
，则
，
故
，
得
∴
∴
．
（2）由题意
，
又因为
与
的夹角为锐角，
所以
且
与
不共线，
则
解得
则
的取值范围为
．
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量
是单位向量，且
，则
为
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】由
两边平方求得
，再求
即可得
.
【详解】由
两边平方，得
.
所以
，又因为
是单位向量，
所以
，
所以
.
故选：B.
例题2．（24-25 高一下·河南许昌·期末）已知
，
为平面内不相等的两个单位向量，
，且
，则
．
【答案】
/
【分析】根据已知条件判断出
，
的夹角，进而计算出
.
【详解】依题意，
，
由于
，所以
，同理可得
，
由于
，
不相等，所以
，
的夹角为
，
所以
.
故答案为：
例题3．（23-24 高二下·福建漳州·阶段练习）已知向量
，
满足
，
，则
.
【答案】
【分析】利用向量的数量积运算即可得到结果.
【详解】
，
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）若向量
，
都是单位向量，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】根据平面向量的数量积运算法则和性质和向量模的计算公式即可求解.
【详解】∵
，∴
，
又
，
都是单位向量，∴
，
故选：A
2．（25-26 高三上·湖南常德·开学考试）已知向量
满足
，则
．
【答案】
【分析】将
平方，用数量积的运算律展开结合
即可得解.
【详解】∵
∴
由
平方，得
，
∴
故答案为：
3．（24-25 高一下·广西梧州·阶段练习）已知单位向量
满足
，则
.
【答案】
【分析】本题可根据向量模长公式对
两边同时平方，再结合单位向量的性质求解
.
【详解】因为
，
所以
.
因为
，所以
，
所以
，则
.
故答案为：
高频考点八：向量的垂直关系
典型例题
例题1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
与
的坐标，再利用向量垂直的性质列出等式，最后通过化简等式得到
与
的关系．
【详解】由题知，
，
，
，
，
，整理得
，
故选：B．
例题2．（24-25 高三上·江苏南京·期中）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标运算得出
，进而应用同角三角函数关系得出
.
【详解】由
，
可得
，
所以
，即得
.
故选：C.
例题3．（24-25 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知向量
.
(1)求
的值；
(2)若向量
与
垂直，求k 的值.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）求出向量
的坐标，根据向量的模长公式，即得答案；
（2）求出向量
与
的坐标，根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.
【详解】（1）由
，得
，
故
；
（2）由题意得
，
因为向量
与
垂直，所以
，
即
，解得
.
精练高频考点
1．（23-24 高二下·四川德阳·期末）平面向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．9
C．
D．7
【答案】B
【分析】由向量的数量积公式结合向量垂直公式得参数.
【详解】由
，可知
，
，即
，
故选：B
2．（2025·河北衡水·三模）已知向量
，
，若
且
，则
的最小
值为 .
【答案】
【分析】先求出
的坐标，再根据
得出
，利用消元法结合基本不等
式可求.
【详解】由题意得，
，
，
因
，则
，则
，
因
，则
，等号成立时
，
故
的最小值为
.
故答案为：
3．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知向量
，
，若
，则
.
【答案】－7
【分析】根据平面向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解.
【详解】因为
，
，
所以
，
.
故答案为：
高频考点九：向量的投影（投影向量)
典型例题
例题1．（24-25 高三上·福建泉州·期中）已知向量
，若
，则
在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由投影向量的公式计算得到答案.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
在
上的投影向量为
，
故选：C.
例题2．（25-26 高三上·贵州·阶段练习）已知平面向量
满足
，则
在
上的
投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
，然后由投影向量计算公式可得答案.
【详解】计算可得
，
由
，两边平方化简，得
，
则
在
上的投影向量为
.
故选：A.
例题3．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量
，
满足
，且
，则向量
在
向量
方向上的投影的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】由
两边平方可得
，向量
在向量
方向上的投影化简为
，再由
基本不等式可得答案.
【详解】因为
，所以
，所以
，
又
，所以
，
因为向量
在向量
方向上的投影为
，
当且仅当
时等号成立，
故向量
在向量
方向上的投影的最小值为
.
故答案为：
．
精练高频考点
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知向量
，
满足
，
，
，则向量
在向量
上
的投影向量坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得
，从而根据投影向量的定义
运算得答案.
【详解】因为
，
，
，
所以
，则
，
所以向量
在向量
上的投影向量坐标为
.
故选：A
2．（2025·湖北·模拟预测）向量
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由投影向量计算公式即可求解.
【详解】
在
上的投影向量为
.
故选：A.
3．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量
，向量
满足
，则
在
上的投影向量的坐标为
.
【答案】
【分析】由条件可得
，再由投影向量的定义代入计算，即可求解.
【详解】由
，可得
，即
，
所以
在
上的投影向量为
.
故答案为：
.
高频考点十：平面向量的综合应用
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）若向量
满足
，且对任意的单位向量
，求
的最大值和最小值．
【答案】最大值为
，最小值为
【分析】根据向量三角形不等式的关系及数量积的应用进行计算即可得到结果。
【详解】先求最大值．
解法1：由题意知
，
则
，从而
，所以
．
平方得
，所以
．
解法2：如图，易知
，
在
中，有
，得
．
再求最小值．
易得
，
则
，从而
，所以
．
平方得
，所以
．
综上知
的最大值为
，最小值为
．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系
中，点
，
，
.
(1)求以线段
为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数满足
，求的值；
(3)求以线段
为邻边的平行四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）法一利用平面向量的加法法则和减法法则求解对角线长度即可，法二利用平行四边形性质
求出
，进而求出
，再利用两点间距离公式求解对角线长度即可.
（2）法一利用平面向量数量积的坐标表示建立方程，求解参数即可，法二对目标式合理变形，得到
，再结合数量积和模的运算性质求解参数即可.
（3）先利用三角形面积的叉积公式求出三角形面积，进而求出平行四边形面积即可.
【详解】（1）法一：由题设知
，
，
则
，
，
所以
，
.
故所求的两条对角线的长分别为
.
法二：如图，设该平行四边形的第四个顶点为
，两条对角线的交点为
，
由平行四边形性质得
为
的中点，得到
，
因为
为
的中点，所以
.
故由两点间距离公式得
，
.
（2）法一：由题设知
，
，
由
，得
，解得
.
法二：因为
，所以
，
则
，得到
，即
，
由题意得
，
，
，可得
.
（3）由题意得
，
，
由三角形面积计算的叉积公式得
.
故平行四边形的面积
.
例题3．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）如图，等腰
中，
为
边的中点，
为
边上靠近点
三等分点，
为线段
的一点，且
过点
的直线与边
分别交于
点
，已知
，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）利用向量共线定理以及向量的线性运算来建立等式关系，通过对比系数得到关于
和
的
方程组，最后消去参数
得出
的值.
（2）先根据三角形面积关系得出
与
的关系，再联立已知等式求解
和
的值，进而求出线段长度，然
后利用余弦定理求出
和
，最后通过向量运算求出
的值.
【详解】（1）因为
三点共线，
所以存在
使得
，
又
，
因为
不共线，所以
两式消去
得
.
（2）由
得
，所以
，
由（1）得
，联立解得
.
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以在
中，由余弦定理得
，
因为
为
边的中点，所以
，
所以
.
又
，
所以
.
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，
，
，
，
，求
的取值范围．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设
，由
得
，作出图像，得
，利用两点间距离公式即可求解.
【详解】由
得
，
建立平面直角坐标系，设
，标出各点坐标，如图1，
则有
，
即
，
整理得
，即
．
画出图形，如图2，则
，
所以
．
【点睛】
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知在矩形
中，
，若
是
上的动点，求
的最小值．
【答案】1
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质求得最小值.
【详解】建立平面直角坐标系，并标出各点坐标，其中
是
的中点，如图．
，
当
时，等号成立，故
的最小值为1．
3．（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知等边
的边长为2，
的半径为1，
为任意一条直
径．
(1)判断
是否为定值；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)是定值
(2)
【分析】（1）由题知
，
，再根据向量数量积及线性运算可求；
（2）由数量积运算律可得
，利用数量积定义即可求解.
【详解】（1）对向量
分别插入分点
，
则
，
．
．
（2）
，其中
为
与
的夹角．
高频考点十一：最值范围问题
典型例题
例题1．（2025·四川巴中·二模）已知点
在圆
上，点
的坐标为
为原点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，且
，
，再应用向量数量积的坐标表示
及三角恒等变换化简，最后应用正弦型函数的性质求范围.
【详解】由题设
，
设
，则
.
利用辅助角公式：
因为
，所以
.
综上，
的取值范围是
.
故选：A
例题2．（2025·江苏南京·二模）在四边形
中，
，
，
，E 是线段
中点，
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立坐标系，表示出
的坐标，根据
是线段
上的动点用参数
表示点
的函数，
从而题目可转换为关于
的二次函数在闭区间上的最小值问题.
【详解】由题以点
为坐标原点，
为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为
，E 是线段
中点，
所以
，
而
是线段
上的动点，
从而可设
，
所以点
的坐标是
，
所以
，
，
所以当
时，
的最小值是
.
故选：C.
例题3．（24-25 高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪
生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为
正八边形
和圆
（图2），其中正八边形的中心是点
，鱼眼（黑、白两点）
，
是圆
半径的中点，且关于点
对称.若
，圆
的半径为2，当太极图转动（即圆面
及其内部点绕点
转动）时，
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】建立平面直角坐标系，写出
的坐标，再根据已知条件可得点
在以
为圆心，1 为半径的圆
上，且
关于原点对称，设出
坐标，运用平面向量数量积运算及三角恒等变换可得
，进而可求得其最大值.
【详解】如图所示建立平面直角坐标系，
因为八边形
是正八边形，所以
，则
.
因为
，则
.
由题意知，点
在以
为圆心，1 为半径的圆上，且
关于原点对称，
设
，则
，
则
，
，
所以
，
其中
，
当
时，
为最大值.
故答案为：
.
例题4．（2025·天津和平·三模）若正方形
的边长为1，中心为
，过
作直线与边
，
分别
交于
，
两点，点
满足
．（ⅰ）当
时，
；（ⅱ）
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律即可求解空1，利用向量的线性运算将问题转化为
，求解
的最大值，
的最小值即可求解.
【详解】由于
，则
，
，
（ⅰ）当
，则
，故
，
（ⅱ）
,
由于
为相反向量，故
，
所以
，
由
，故当
时，
取最小值
，
而
的最大值为
，
因此当
取最大值，
取最小值时，
取最小值，故最小值为
，
故答案为：
，
精练高频考点
1．（多选）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A，直线PB 与
⊙O 交于B，C 两点，D 为
的中点，若
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】AD
【分析】不妨设
，
，根据图形关系求出点
的轨迹方程，利用坐标法计算
的取值范
围.
【详解】如图，圆
的方程为
，由于圆的对称性，不妨设
，
因
，则
，则
，
因
，则点
的轨迹为以
为直径的圆，且位于圆
内部，
中点为
，
，则以
为直径的圆方程为
，
设
，则
，则
，
又
与
的交点坐标为
，
则
，则
，
故AD 正确，BC 错误.
故选：AD
2．（2025·重庆·三模）已知矩形
的边
，
，点P，Q 分别在边
上，若
则
的最小值为 .
【答案】
【分析】以
为坐标原点，建立平面直角坐标系，设
，表示出
，用基本不等式求最小值.
【详解】
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
．
设
，则
，
，
则
，
，
．
因为
．
当且仅当
，即
时，“＝”成立，
所以的最小值为
．
故答案为：
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，
，
，点M，N 分别为边
，
上的动
点，且
，则
的最小值是 ．
【答案】15
【分析】建立平面直角坐标系
，利用平面向量数量积的坐标表示可得
，由
可
得
，利用直线
与圆
的位置关系建立不等式即可求解.
【详解】以
为坐标原点,分别以
为
轴和
轴建立平面直角坐标系
，
则
,则
，
故
，由于
，令
，
因
与圆有公共点，所以圆心
到直线
的距离
，
即
，故
.
故答案为：15
4．（24-25 高一下·天津西青·期中）在
中，
，
，
，
分别为边
，
的中点，
若点
在线段
上，且
，
，则
.若
，点
为线段
上的动点，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理解决第一空，建立平面直角坐标系，设
，
，表示出
点坐标，再由坐标法求数量积，最后由二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意
，
又
，且
、
不共线，所以
，所以
；
如图建立平面直角坐标系，则
，
，所以
，
，
所以
，
因为点
为线段
上的动点，所以设
，
，
则
，则
，
所以
，
，
所以
，
所以当
时
取得最小值，最小值为
；
故答案为：
；
第四部分：典型易错题型
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题
1．已知向量
，则“
”是“
与
的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标表示以及夹角范围计算，考虑向量反向的情况可得结论.
【详解】若“
”可得
，可得
；
当
时，
与
的方向相反，其夹角为
，
即
与
的夹角为钝角或平角，充分性不成立；
若“
与
的夹角为钝角”，即可知
，解得
，必要性成立；
因此“
”是“
与
的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
2．已知点
，
，向量
，若
与
成锐角，则y 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.
【详解】因为
，
，
与
成锐角，
所以
，
解得
，
当
与
同向时，
，即
，解得
，
此时满足
，但
与
所成角为0，不满足题意，
综上，
与
成锐角时，y 的取值范围为
.
故答案为：
3．已知
且
与
的夹角为锐角，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用题意算出
，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解
作答.
【详解】因为
，
，所以
，
因为
与
的夹角为锐角，所以
，且
与
不同向共线，
所以
且
，
解得
且
，所以
的取值范围为
，
故答案为：
.
4．已知平面向量
，
，
．
(1)①若
，求
；②若
，求
；
(2)若向量
与
的夹角为钝角，求x 的取值范围．
【答案】(1)①
或
；②
或
(2)
【分析】（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得
；
（2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果.
【详解】（1）
，
，
①若
，则
，即
，解得
或
；
②若
，则
，解得
或
.
（2）由
，解得
或
，
又
时，
或
，
若向量
与
的夹角为钝角，则
或
或
，
故
的取值范围为
.
第五部分：新定义题
1．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）如图，设
是平面内相交成
角的两条数轴，
，
分别是与
轴、
轴正方向同向的单位向量，若向量
，则把有序数对
叫作向量
在坐标系xOy 中
的坐标.若
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】C
【分析】根据坐标系
中向量的坐标规定，先求出
的值，再将
分别用
，
表
示，计算出
的表达式，最后利用向量模的定义求出
.
【详解】依题意，
，
，则
，
则
，故
.
故选：C.
2．若
，
是一组基底，向量
（
），则称
为向量
在基底
，
下的坐标．现
已知向量
在基底
，
下的坐标为
，则
在另一组基底
，
下的坐
标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得
，且
，代入运算即可.
【详解】因为
，
，
，
，
可知
，
又因为向量
在基底
，
下的坐标为
，
则
，
所以
在基底
，
下的坐标为
.
故选：C.
3．（2024 高三·全国·专题练习）对非零向量
，定义运算“（*）”：
，其中
为
与
的夹角，则下列选项错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若Rt
中，
，则
D．若
中，
，则
是等腰三角形
【答案】C
【分析】根据新定义的运算，求出向量的模，向量的夹角，针对各个选项分别求解即可.
【详解】对于A：因为
，所以
或
，
所以
，A 正确；
对于B：因为
，
所以
，
，
所以
，
，B 正确；
对于C：若Rt
中，
，所以
，
所以
，C 错误；
对于D：
中，
，
所以
，
则
，所以
，
∴
是等腰三角形，故D 正确.
故选：C.
4．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量
，把
绕其起点沿逆时针方向旋
转
角得到向量
，叫做把点
绕点
沿逆时针方向旋转
角得到点
.
已知平面内点
，
，把点
绕点
沿逆时针方向旋转
后得到点
，则
的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据定义求出
的坐标可得答案.
【详解】
，把点
绕点
沿逆时针方向旋转
后得到
，
设
，则
，
解得
，即
.
故选：C.
5．（多选）（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）已知单位向量
的夹角为
，若平面向量
，有序实数对
称为向量
在“仿射”坐标系
（
为坐标原点）下的“仿
射”坐标，记
，则下列命题正确的是（ ）
A．已知
，则
B．已知
，则线段
的长度为1
C．已知
，则
D．已知
，则
的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题设“仿射”坐标系
的定义，依据各项条件并应用向量数量积的运算律及相关坐标运算
判断正误即可.
【详解】A：由题设
，
所以
，对；
B：由题设
，则
，对；
C：由题设
，错；
D：由题设
，即
，
由
，且
时取等号，
则
，故
，即
时
的最大值为
，对.
故选：ABD
