文档文本内容
第02 讲 常用逻辑用语
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................3
高频考点一：充分条件与必要条件的判断............................................................................3
高频考点二：充分条件与必要条件的应用............................................................................4
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比......................................7
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断...................................................10
高频考点五：含有一个量词的命题的否定..........................................................................12
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数...........................................................13
第四部分：典型易错题型.................................................................................................... 15
第一部分：基础知识
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若
，则
是
的充分条件，
是
的必要条件；
（2）若
且
，则
是
的充分不必要条件；
（3）若
且
，则
是
的必要不充分条件；
（4） 若
，则
是
的充要条件；
（5）若
且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）
是
的充分不必要条件
是
的充分不必要条件；
（2）
是
的必要不充分条件
是
的必要不充分条件；
（3）
是
的充要条件
是
的充要条件；
（4）
是
的既不充分也不必要条件
是
的既不充分也不必要条件.
拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件
若
以集合
的形式出现，
以集合
的形式出现，即
：
，
：
，则
（1）若
，则
是
的充分条件；
（2）若
，则
是
的必要条件；
（3）若
，则
是
的充分不必要条件；
（4）若
，则
是
的必要不充分条件；
（5）若
，则
是
的充要条件；
（6）若
且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构
（1）
是
的充分不必要条件
且
（注意标志性词：“是”，此时
与
正常顺序）
（2）
的充分不必要条件是
且
（注意标志性词：“的”，此时
与
倒装顺序）
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“
”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“
”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对
中的任意一个
，有
成立；数学语言：
.
②全称量词命题的否定：
.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在
中的元素
，有
成立；数学语言：
.
②存在量词命题的否定：
.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语
等于（
）
大于（
）
小于（
）
是
否定词语
不等于（
）
不大于（
）
不小于（
）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调
性
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【知识点】判断命题的真假、全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
典型例题
例题1．（24-25 高三下·广东·阶段练习）已知集合
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】令
代入集合，通过解一元二次不等式得到充分性成立，令
可得必要性不成立.
【详解】若
，则
，则
，
，此时
，
当
时，也能得到
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
例题2．（2025 高三上·全国·专题练习）已知
，则p 是q 的 条件．
（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件
【详解】
因为
，所以
，解得
，所以
，又
，因为
，故p 是q 的必要不充分条件．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·天津·阶段练习）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】
，得
，得
或
，所以“
”不是“
”的充分条件，
反过来，
能推出
，“
”是“
”的必要条件.
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2025 高二下·湖南郴州·）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为
，故“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．（2025·河北·模拟预测）已知集合
，
，若“
”是“
”
成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求解不等式
，得到集合
，再由“
”是“
”成立的充分不必要条件，
分析得到
，再列出不等式组，求解即可.
【详解】由
解得
，故
，
因为“
”是“
”成立的充分不必要条件，
所以
，所以有
，解得
，
故选：A.
例题2．（24-25 高三上·江苏徐州·阶段练习）已知集合
，
．
(1)求
；
(2)已知集合
，若“
”是“
”的充分不必要条件，求实数m 的取值范
围．
【答案】(1)
或
(2)
【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式可得集合
，再由集合的运算可得结果；
（2）易知
，对集合
是否为空集进行分类讨论，列出不等式求解即可．
【详解】（1）
，
，
可得
，
所以
或
．
（2）若“
”是“
”的充分不必要条件，则
，
若
，则
解得
；
若
，则
，且等号不能同时成立，解得
，
综上可知，实数m 的取值范围为
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合
，
的一个必要条件是
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式
【分析】由题意可得
，再由必要不充分条件，求解即可.
【详解】不等式
，即
，解得
，
故
，
又
的一个必要条件是
，则
是
的真子集，
对于A，
，
不一定是
的子集，比如
时，A 错误；
对于B，
，
不是
的子集，B 错误；
对于C，
，
是
的真子集，C 正确；
对于D，
，
不一定是
的子集，比如
时，D 错误.
故选：C.
2．（24-25 高三上·江西·阶段练习）已知
，使得不等式
成立的一个充分不必要条件是
，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求出不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义求出范围.
【详解】不等式
，解得
，
依题意，
，则
，此时
，
所以m 的取值范围是
.
故答案为：
3．（23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习）已知命题
，当命题
为真命题时，实数
的取值集合为
．
(1)求集合
；
(2)设非空集合
，若
是
的必要条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据集合的包含关系求
参数
【分析】（1）由题意可得方程
有解，根据
求解即可；
（2）由题意可得
，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）解：由题意可得方程
有解，
所以
，解得
，
所以
；
（2）解：因为
是
的必要条件，
所以
，又因为
为非空集合，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
典型例题
例题1．（24-25 高三上·云南·期中）已知
：“
”是
：“
”的必要不
充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】首先解不等式化简
、
，结合
是
的必要不充分条件，得到不等关系，解得即可.
【详解】由
，解得
或
，
即
：“
或
”，
由
，即
，解得
，
所以
：“
”，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
或
，解得
或
，
即实数
的取值范围为
.
故选：B
本题结构为正序结构，标志词：“是”
是
的必要不充分条件，翻译为数学语言：
且
，根据小范围能推大范围，大范围不能推小范围原则，本题中，
表示的
范围比
表示的范围小。
例题2．（25-26 高三上·全国·课后作业）使
成立的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【详解】对于选项A，
是
成立的一个既不充分也不必要条件，故A 错误；对于选项B，
是
成立的一个充分条件，故B 正确；对于选项C，
是
成立的一个
必要条件，故C 错误；对于选项D，
是
成立的一个既不充分也不必要条件，故D 错
误．
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数k 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据充分不必要条件求参数、分式不等式
【详解】
，当
时，
，即
，解得
，故此时
符合题意．当
时，
，所以
，故
符合题意．由
得
，由题可知
是
的子集，所以
．
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）若
是
或
的一个既不充分也不必要条件，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
本题结构为倒序结构，标志词：“的”使
成立的一个充分不必要条件是（
），翻译成数
学语言为：
且
，注意
与
前后位置要调换。
【知识点】根据集合的包含关系求参数、既不充分也不必要条件
【详解】解法1 设
，
，由题意可知
和
都不成立，所以
．
解法2 若
，则
，故不成立，排除A，C；若
，则
，故不成立，排除D．
3．（2025·广西桂林·一模）“
，使
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】分
、
、
三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据
集合的包含关系判断即可.
【详解】当
时，
有解；
当
时，二次函数
开口向上，所以
有解；
当
时，
有解，则
，解得
；
综上可得
；
因为
真包含于
，
所以“
，使
”的一个充分不必要条件是
.
故选：C.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式
可得
，结合充分条件及必要条件的定义判断结论.
【详解】解不等式
，可得
，
所以不等式
成立的一个充分不必要条件必须为
的非空真子集，
所以可以排除选项A，B，C，
因为由
可推得
，由
不能推得
，
所以使不等式
成立的一个充分不必要条件为
．
故选：D．
5．（24-25 高三上·北京·阶段练习）若“
或
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的最大
值是 ．
【答案】
【知识点】根据必要不充分条件求参数
【分析】设
或
，
，由题意可得
是
的真子集，即可得实数
的取值范
围，可得
的最大值.
【详解】设
或
，
，
因为“
或
”是“
”的必要不充分条件，
所以
是
的真子集，则
，
即实数
的最大值是
.
故答案为：
.
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题
，
，命题
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假
【分析】判断出
、
的真假，即可得出结论.
【详解】对于命题
，不妨取
，则
，则命题
为假命题，
对于命题
，由
可得
或
，则命题
为真命题，
因此，
和
都是真命题.
故选：B.
例题2．（2025·江西宜春·模拟预测）已知命题
：
，
，命题
：
，
，则
（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假
【分析】先判断命题
的真假，再逐项判断即可.
【详解】对命题
：当
时，
不成立，所以命题
为假命题，
为真命题；
对命题
：当
时，
成立，所以命题
为真命题，
为假命题.
故选：B
精练高频考点
1．（24-25 高三上·山东菏泽·期末）已知命题
，
；命题
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、零点存在性定理的应用
【分析】取
可判断命题
，利用函数的零点存在定理可判断命题
，即可得出结论.
【详解】取
易得命题
为假命题，故命题
为真命题；
构造函数
，其中
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
所以，函数
在
上为增函数，
因为
，
，则
，
所以，函数
在
上有且只有一个零点，命题
为真命题.
因此，
和
都是真命题.
故选：B.
2．（24-25 高三上·四川·阶段练习）已知命题
，命题
，则
（ ）
A．命题
与
均为真命题
B．命题
与
均为真命题
C．命题
与
均为真命题
D．命题
与
均为真命题
【答案】B
【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、求指数函数在区间内的值域、基本不
等式求积的最大值
【分析】利用指数函数值域及基本不等式判断
，利用基本不等式求出最大值判断
即可得解.
【详解】
，则
，当且仅当
时取等号，
为真命题；
当
时，
，当且仅当
时取等号，
为假命题，
为真命题，
所以命题
与
均为真命题，B 正确.
故选：B
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
典型例题
例题1．（2025·甘肃·模拟预测）若命题
，则（ ）
A．
是真命题，且
B．
是真命题，且
C．
是假命题，且
D．
是假命题，且
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解.
【详解】当
时，
，所以
是假命题，且
.
故选：C.
例题2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“
”的否定是“
”.
故选：D
精练高频考点
1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题“
，
”为全称量词命题，
其否定为：
，
.
故选：C
2．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】由特称命题的否定定义可得答案.
【详解】命题“
”的否定是“
”.
故选:D.
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
典型例题
例题1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“
”是真命题，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由判别式
即可求解.
【详解】由题意可得：
，
解得：
，
所以实数
的取值范围为
，
故选：A
例题2．（2024·四川攀枝花·一模）命题“
”为假命题，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真
假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“
”的否定，
即命题“
”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有
，
解得
.
故选：C.
例题3．（2025 高三下·天津·专题练习）命题
：“
，使
”的否定是
，若该命题是假命题，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
，使得
【知识点】基本不等式求和的最小值、特称命题的否定及其真假判断、根据全称命题的真假求参数
【分析】由命题的否定的定义得到结果；原命题为假命题，则其否定为真命题，借助基本不等式求得实数
的取值范围.
【详解】由题意得命题
的否定为
，使得
，
若命题
为假命题，则其否定为真命题，即
，
由基本不等式得
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，实数
的取值范围为
.
故答案为：
，使得
；
精练高频考点
1．（24-25 高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“
”是假命题，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据全称命题的真假求参数
【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得
的取值范围》
【详解】命题“
”是假命题，
则
是真命题，
∴
，
解得：
或
，
即a 的范围是
故选：D.
2．（23-24 高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“
，
”是真命题，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据条件得到
，即可求解.
【详解】
命题“
，
”等价于
有两个不等的实数根，
所以
，即
，解得
或
，
故选：D.
3．（2025·辽宁·二模）命题p:“
，
”是假命题，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】根据题意，
为真命题，恒成立问题分离参数求解.
【详解】由题，
为真命题，
所以
，对
，
又
在
上的最小值为
，
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
第四部分：典型易错题型
易错点一：忽视了“的”字结构倒装
1．（24-25 高三上·广东湛江·阶段练习）不等式
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先解出一元二次不等式
，再根据充分、必要条件的定义进行判断即可.
【详解】因为
，所以解得
，即不等式
的解集为
，
由题意可知，选项对应的集合应为
的真子集.
对于选项A ，因为
，即
是
的必要不充分条件，故A 错误；
对于选项B，因为
，即
是
的充要条件，故B 错误；
对于选项C，因为
，即
是
充分不必要条件，故C 正确；
对于选项D，因为
与
不存在包含关系，即
是
的既不充分也不必要条件，
故D 错误.
故选：C
2．（24-25 高三上·安徽亳州·期末）
的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的必要不充分条件
【分析】求出不等式解集，再根据充分条件和必要条件得概念，结合选项选出答案即可.
【详解】
的充要条件是
，故
必要不充分条件是
，
故选：D．
3．（多选）（2025 高三·全国·专题练习）已知
，则使得“
”成立的一个充分条件可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小
【分析】对于A 由不等式的性质可判断；对于B 取特殊值可判断；对于C 不等式
可化为
，由
即可判断；对于D 根据
的单调性以及不等式的性质可判
断
【详解】对于A，因为
，所以
得
,故
，故A 正确；
对于B，取
，此时满足
，但
，故B 错误；
对于C，由
可得
，即
，
当
时，
，
而
，故C 错误；
对于D，由
可知，
，因为
，所以
，故D 正确．
故选：AD
易错点二：最高项系数含参数，容易忽略系数为0
1．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知“命题
，
”为真命题，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】由题意分
或
分类讨论即可求解.
【详解】由题意有：当
时，
满足题意，
当
时，
，
所以
，
故选：C.
2．（23-24 高三上·山西太原·阶段练习）
．若此命题是假命题，则实数
的取值集合
是
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】我们已知原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，然后利用不等式的恒成立求解参数范围
即可.
【详解】由题意可知，命题“
”的否定是“
”，
且是真命题，所以
或
解得
，
所以实数
的取值集合是
．
故答案为：
3．（24-25 高三上·湖南永州·阶段练习）已知命题
，
为真命题，求实数
的取值
范围.
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】分
，
，
三种情况结合二次函数的性质求解即可.
【详解】由题意得：当
时，
，不符题意；
当
时，
的对称轴为
，
所以只需
，解得
；
当
时，
表示开口向下的抛物线，满足题意.
综上所述，
的取值范围为
.
易错点三：给定的区间是非
区间，不能用判别法
1．（24-25 高三上·安徽亳州·阶段练习）若命题“
”为真命题，则实数
的最小值
是（ ）
A．
B．0
C．1
D．3
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】将恒成立问题转化为最值问题结合二次函数的性质求解即可；
【详解】若命题“
”为真命题，
则
，
恒成立，即
，
，
单调递减；
单调递增；
当
时，
，
故
，则实数
的最小值是3.
故选：D.
2．（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）若命题“
，
”为假命题，则实数
的最小值
是（ ）
A．
B．0
C．1
D．3
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求二次函数的值域或最值、根据特称（存在性）命
题的真假求参数
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“
，
”为真
命题，分离参数转化为
在
上恒成立，构造函数求解最小值即可．
【详解】因为命题“
，
”为假命题，
所以命题“
，
”为真命题，
即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
记
，
，则
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以
，所以实数
可取的最小值是．
故选：D.
3．（24-25 高三上·山西·阶段练习）若命题
，使得
为假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式、根据特称（存在
性）命题的真假求参数
【分析】问题转化为当
时，
恒成立，利用二次函数的性质，求出
在
上的最大值，解不等式求实数
的取值范围即可.
【详解】因为
为假命题，所以
为真命题，
即当
时，
恒成立.
因为函数
图象的对称轴为
，
所以当
时，
，所以
，
即
，解得
或
，
即实数
的取值范围为
.
故选：D.
易错点四：给定的区间是
区间，可用判别法
1．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“
，
”为假命题，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实
数集上恒成立问题
【分析】根据题意可得命题：“
，
”为真命题，讨论
是否为0，解不等式，即可
求得答案.
【详解】由题意知命题“
，
”为假命题，
则命题“
，
”为真命题，
故当
时，
，即为
，符合题意；
当
时，需满足
解得
.
综上，实数
的取值范围是
.
故选：D.
2．（2025 高三·全国·专题练习）若命题“
”为真命题，则实数m 的取值范围为
．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据命题为真结合二次函数值域应用判别式计算即可.
【详解】由题意可知，不等式
有解，
实数m 的取值范围为
．
故答案为：
3．（2025 高三·全国·专题练习）若“
”是假命题，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据“
”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二
次不等式的关系即可求出实数a 的取值范围.
【详解】由题意得：“
”为真命题，
所以
，解得
或
.
∴实数a 的取值范围为
故答案为：
