文档文本内容
知识解构
知识点1 平面向量数量积的有关概念 知识点2 平面向量数量积的运算律
知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 知识点4 平面几何中的向量方法
题型破译 (含超链接）
题型
1 求平面向量的数量积
题型
2 平面向量的模长
【方法技巧】计算平面向量数量积的方法 【方法技巧】求平面向量的模的方法
题型
3 平面向量的夹角
题型
4 垂直的综合运算
题型
5 投影向量
题型
6 求参数值或取值范围问题
题型
7 求数量积的取值范围问题
【方法技巧】数量积最值（范围）的解法
题型
8 向量在几何中的应用
题型
9 向量在物理中的应用
题型
10
平面向量的新定义问题
题型
11
平面向量与圆、三角函数等融合交汇
第03 讲 平面向量数量积及其应用
内容导航
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
求平面向量的数量积
全国Ⅱ卷T3（5 分）
向量垂直的坐标表示
全国二卷T12（5 分）
全国Ⅰ卷T3（5 分）
已知数量积求模
全国Ⅱ卷T3（5 分）
考情分析
平面向量数量积的运算是高考必考的内容，一般以选择、填空形式出现．交汇命
题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查.
三年考情显示，主要考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函
数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标
1 会计算平面向量的数量积
2 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3 能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题.
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 平面向量数量积的有关概念
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量a 与b 的夹角，
向量夹角的取值范围是[0，π].
当θ＝时，a 与b 垂直，记作a⊥b；当θ＝0 时，a 与b 共线且同向；当θ＝π 时，a 与b 共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记
作a·b，即a·b＝
. 规定：0·a＝0.
3．投影向量
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A
和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换
为向量a 向向量b ，A1B1叫做向量a 在向量b 上的 ，记为
.
【注意】设a，b 是非零向量，它
的
角
们
夹
为θ，则a 在b 上的投影向量为|a|cos θ＝.
自主检测（多选）关于平面向量
，
，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．
知识点2 平面向量数量积的运算律
（1）a·b＝
(交换律). （2）λa·b＝λ(a·b)＝ (结合律).
（3）(a＋b)·c＝ 分配律).
必记结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](
式又称作极化恒等式
该
)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b 的
角
角
夹
为锐
⇔a·b＞0 且a，b 不共线；
两个向量a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且a，b 不共线.
自主检测（多选）已知
是三个向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量a 与b 的夹角．
（1）数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
（2）模：|a|＝＝.
（3）夹角：cos θ＝＝.
（4）a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
（5）|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.
自主检测（多选）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角为
D．
在
方向上的投影向量为
知识点4 平面几何中的向量方法
（1）用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
自主检测已知非零平面向量
、
、，满足
，
，若
与
的夹角为
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题●型●破●译
题型1 求平面向量的数量积
例1-1（2026·山西临汾·一模）已知向量
，
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
例1-2（2026·陕西榆林·一模）在直角坐标系xOy 中，点A，B 满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
例1-3【新考法已知平面向量
，
，均为单位向量，若
与
的夹角为60°，则
的最大值
为（ ）
A．
B．4
C．
D．5
例1-4【新思维】如图，在四边形
中，
，
，
，
为线段
的中点，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
方法技巧 计算平面向量数量积的方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
【变式训练1-1】已知向量
，
，均为单位向量，且
，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【变式训练1-2】（2026·北京延庆·一模）矩形
中，
，
，且
，则
（ ）．
A．
B．
C．6
D．3
【变式训练1-3·变载体】如图，已知矩形
的边长满足
，以
为圆心的圆与
相切于
，则
（ ）
A．
B．
C．8 D．
【变式训练1-4·变载体】已知平面向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-5】已知向量
，且向量
与向量
的夹角为
，则
．
题型2 平面向量的模长
例2-1（2026·四川巴中·一模）若
是夹角
的单位向量，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
例2-2（2026·山西朔州·一模）已知向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|=❑√a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义.
【变式训练2-1】已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式训练2-2】已知向量
，若
，则
（ ）A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】已知向量
与
的夹角为
，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式训练2-4·变考法】（2026·山东德州·一模）若平面向量
两两夹角相等，且
，
则
（ ）
A．
B．36
C．
或6
D．3 或36
题型3 平面向量的夹角
例3-1（2026·新疆·一模）设向量
为单位向量，且
，则向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 平面向量
满足
，且
，则向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-3（2026·广东江门·一模·变角度）在
中，
是
边的中点，
是
边
上的点，且
，则向量
与向量
的夹角的余弦值为___________.
【变式训练3-1】（2026·湖北黄石·一模）已知向量
，则向量
与
夹角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】（2026·河北石家庄·一模）已知平面向量
满足
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3·原创题】已知
是两个垂直的单位向量．若
，设向量
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-4】已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-5·原创题】已知非零向量
与
不共线，且满足
，
与
的夹角为
，则向量
与向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 垂直的综合运算
例4-1（2026·湖南岳阳·一模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．4
例4-2 已知向量
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1·变载体】（2026·广西南宁·一模）已知向量
，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2·变载体】已知平面向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．4
题型5 投影向量
例5-1（2026·安徽宿州·一模）已知向量
满足
，且
，则向量
在向量
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2 如图，在
中，
，
于
，
，
，则
在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1】（2026·山东菏泽·一模）已知向量
，
，
，则在
上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量
，
满足
，
，则向量
在
向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3·原创题】平面向量
，
满足
，
，
与
的夹角为
，则
在
方向上的
投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-4 变载体】已知平面内三点
，则向量
在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-5·变情境】（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子
从同一发射源发射出来，在某一时刻，
它们的位移分别为
，设此时粒子
相对粒子
的位移为，则在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 求参数值或取值范围问题
例6-1（2026·河北承德·一模）已知向量
，
，若
与
的夹角的余弦值为
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．无法确定
例6-2 在
中，向量
，
，若
为锐角，则实数x 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】已知向量
，向量
在向量
上的投影向量是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式训练6-2·变考法】已知向量
，若
在上的投影向量相等，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【变式训练6-3·变题型】已知两个非零向量
的夹角为
，且
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7 求数量积的取值范围问题
例7-1 已知
中，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2（2026·天津河西·一模）已知
是边长为2 的等边三角形，点D 在边
上，且
，则
______；若平面内动点P 满足
，则
的最小值为_____．
方法技巧 数量积最值（范围）的解法
（1）坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.
（2）向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.
【变式训练7-1 变载体】已知
三点在单位圆上运动，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2·变载体】（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形
的边长为2，
，点
在线段
上，点
在线段
上，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．－2
【变式训练7-3·变情境】（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3 的九宫格（由9 个边长为1 的小正方
形构成），九宫格中有16 个节点（如图加黑的16 个点），从这16 个点中任选互不相同的三个点
，
则
的最大值为（ ）
A．12
B．13
C．15
D．18
【变式训练7-4·变考法】已知向量
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-5·新情境】（多选）（2026·宁夏吴忠·二模）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青
花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷
则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边
形的边长为
，圆
的圆心为正六边形的中心，半径为，若点
在正六边形的边上运动，动点
，
在
圆
上运动且关于圆心
对称，则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．2
D．
题型8 向量在几何中的应用
例8-1【新思维】已知
是平面向量，是单位向量，若非零向量
与的夹角为
，向量
满足
，则
的最小值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
例8-2【新模型】（2026·江苏盐城·二模）已知向量
满足
，则
取值范围是
_______.
【变式训练8-1·变载体】已知
，则
的最大值
为 ．
【变式训练8-2·变考法】在边长为1 的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 上靠近C 的三等分点，
，则
，F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则
的最小值为
.
题型9 向量在物理中的应用
例9-1（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳OA，OB 的一端分别固定在A，B 处，同样的细绳
下端系着一个秤盘，且OB
OC
，绳子OA受力的大小为40 N，OB 受力的大小为30 N，则绳子OC 受力
的大小为（ ）
A．50 N
B．40 N
C．30 N
D．10 7 N
例9-2 一条东西方向的河流两岸平行，河宽
，河水的速度为向正东
．一艘小货船准备从河
南岸码头P 处出发，航行到河对岸Q（
与河的方向垂直）的正西方向并且与Q 相距
的码头M 处卸
货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为
，则当小货船的航程最短时，小货船航行
速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-1 变载体】某货船执行从A 港口到B 港口的航行任务，B 港口在A 港口的正北方向．已知河
水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则
该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．2m/s
B．
m/s
C．4m/s
D．
m/s
【变式训练9-2 变载体】如图所示，支座A 受
，
两个力的作用，已知
，与水平线成
角，
，沿水平方向，两个力的合力F 的大小
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 平面向量的新定义问题
例10-1【新定义】（2026·福建龙岩·一模）如图，设
是平面内相交成
角的两条数轴，
分别
是与
轴，
轴正方向同向的单位向量.若向量
，则有序实数对
叫做向量
在坐标系
中的坐标.若在该坐标系
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【变式训练10-1·新运算】已知
，
，定义新运算
，记
，
，满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-2·新运算】（2026·广东江门·一模）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦
距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点
为坐标原点，定义余弦
相似度为
（其中
为向量
的夹角），余弦距离为
.已知
，若
的余弦距离为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-3·新运算】已知向量
，且
，定义向量的新运算：
．
（1）若向量
，且
，求
；
（2）证明：
是
的充要条件，
题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇
例11-1（2026·北京密云·一模）已知向量
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．-2
D．
例11-2（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，点
为圆
上的动点，则
的最小值为______.
【变式训练11-1 变载体】（2026·湖北十堰·一模）若向量
，
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-2·融合三角】（2026·湖南常德·一模）已知平面向量
，
为单位向量，且
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式训练11-3·融合圆】（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系
中，
，
，
，则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【变式训练11-4·变载体】（（2026·江西南昌·一模）已知向量
，
，
，若向量满足
，则
的最大值为________.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1.（2026·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
6.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
8.（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
9.（2026·上海·高考真题）在
中，
、
在边
上，且
，
，
与
所成的
夹角为
，则
的最大值为____________.
10.（2025·上海·高考真题）在平面中，
和
是互相垂直的单位向量，向量
满足
，向量
满
足
，求
在
方向上的数量投影的最大值__________．
11.（2022·全国甲卷·高考真题）设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
_________．
12.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量
，若
，则
__________．
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.如果a，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
2.若
，
是夹角为60°的两个单位向量，则
与
的夹角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
3.已知等边三角形ABC 的边长为1，
，
，
，那么
( ).
A.3
B.-3
C.
D.
4.若平面向量a，b，c 两两的夹角相等，且
，
，
，则
( ).
A.2
B.5
C.2 或5
D.
或
5.已知向量a 与b 的夹角为30°，
，
，求
，
的值.
6.已知
的顶点坐标分别为
，
，
，求
，
，
的值.
7.如图，支座A 受
，
两个力的作用，已知
与水平线成
角，
，
沿水平方向，
，
与
的合力F 的大小为100N，求
以及F 与
的夹角
的余弦值.
8.已知
，向量
，
，
满足条件
，
.求证：
是等边三角形.
