文档文本内容
第02 讲 等差数列及其前n 项和
目 录
模拟·基础演练.....................................................................................................................1
题型01 等差数列的基本量运算
................................................................2
题型02 等差数列的判定与证明......................................................................2
题型03 等差数列的性质
.............................................................................3
题型04 等差数列前n 项和的性质..................................................................3
题型05 等差数列前n 项和的最值
............................................................4
题型06 等差数列的实际应用及数学文化.....................................................4
题型07 等差数列奇偶项问题..........................................................................5
题型08 含绝对值的等差数列求和问题.........................................................6
题型09 等差数列中的范围与恒成立问题
................................................6
重难·创新演练.....................................................................................................................7
真题·实战演练.....................................................................................................................8
模拟·基础演练
考查重点：等差基本量运算、数列判定证明、下标与前n 项和核心性质、前n 项和最值、奇偶项计
算、绝对值求和，搭配取值范围、恒成立与实际应用题型，完整覆盖等差数列核心考点，侧重公式
运算、分类讨论与逻辑推理。
题型01 等差数列的基本量运算
1．等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．310
B．320
C．330
D．340
2．已知等差数列
的前n 项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．18
C．
D．36
3．已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．11
B．12
C．13
D．15
4．已知等差数列
的前
项和为
，且
，若
，则
可能的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
5．（多选）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
的最大值是
D．
是递减数列
题型02 等差数列的判定与证明
6．已知
是各项均为正数的数列
的前
项和，
，则
是
为等差数列的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
8．已知数列
满足
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
9．在数列
中，
.
(1)求证：数列
是等差数列；
题型03 等差数列的性质
10．已知
是等差数列，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知
是无穷等差数列，“存在正整数
，使得
”是“存在正整数，使得
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12．已知数列
为等差数列，它的前
项和为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．在等差数列
中，已知
，
，
，则
的前
项和为（ ）
A．22
B．24
C．25
D．26
14．记
为等差数列
的前
项和.已知
，
，若长为
的线段能构成三角形，
则可以构成三角形的个数为（ ）
A．24
B．25
C．26
D．27
题型04 等差数列前n 项和的性质
15．已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．在公差不为0 的等差数列
中，若
，则
（ ）
A．8
B．12
C．16
D．20
17．已知等差数列
的前
项和分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．等差数列
的通项公式是
，其前
项和为
，则数列
的前
项和为________．
20．已知首项为2 的数列
，其前
项和为
，且数列
是公差为1 的等差数列
，则数列
的前5 项和为______.
题型05 等差数列前n 项和的最值
21．已知无穷等差数列
的公差
不为0，前
项和为
．则“
有最小值”是“数列
单调递增”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
22．已知等差数列
中，
，公差为
，若该数列的前
项和
仅在
时取得最大值，则公差
的取值范围是________．
23．记等差数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的最大值以及取得最大值时的
的值；
24．设等差数列
的前
项和为
，且
.
(1)若
，求数列
的通项公式；
(2)若
，且
是数列
中最大的项，求
所有可能的值.
题型06 等差数列的实际应用及数学文化
25．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、
不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大
夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次变低）5 个人共出100 钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递
增等差数列，这5 个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出16 钱，则公士出的钱数为（ ）
A．12
B．23
C．24
D．28
26．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪
称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学
思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献现有
这样一个整除问题：将1 到2022 这2022 个整数中能被5 除余2 且被7 除余2 的数按从小到大的顺序排成一
列，构成数列
，那么此数列的项数为（ ）
A．58
B．59
C．60
D．61
27．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1 的线段
，
作一个等边
，然后以点
为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段
的延长线于点
（第一段圆
弧），再以点
为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段
的延长线于点
，再以点
为圆心，
为半
径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有7 段圆弧时，“蚊香”的长度为______．
28．某团体操队形由若干排组成，从第2 排起，每一排都比前一排多相等数目的人数．若第3 排有7 个人，
第8 排有17 个人，则第10 排有______个人．
29．Wanye 老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“
”APP 的行走打卡送大米的活动.第一天两
位老师所走的步数相同，此后Wanye 老师每天都比前一天多走700 步，张宏老师每天所走的步数不变.若张
宏老师前7 天所走的总步数与Wanye 老师前6 天所走的总步数相同，则Wanye 老师第7 天走__________步.
题型07 等差数列奇偶项问题
30．某等差数列共有13 项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（ ）
A．34
B．35
C．36
D．不能确定
31．已知项数为奇数的等差数列
共有
项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数
为
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
32．已知公差为9 的等差数列
的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数
列
的项数为（ ）
A．20
B．40
C．60
D．80
33．设
为等差数列
的前
项和.若公差
，且
，则
的值为
（ ）
A．60
B．70
C．75
D．85
34．一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公
差为________.
题型08 含绝对值的等差数列求和问题
35．在等差数列
中，
，
，设
，则
（ ）
A．41
B．50
C．61
D．74
36．已知数列
的前
项和为
，且满足
（
，
）．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前100 项和．
37．设
是公差不为零的等差数列，
，
.
(1)求
和
；
(2)求
的前
项和
.
38．已知正项数列
的前
项和为
，且
和
满足：
，
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)设
，记
，求
和
的值.
题型09 等差数列中的范围与恒成立问题
39．已知数列
的前
项和为
，
，若
恒成立，则整数
的
最大值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
40．已知正项数列
满足
（
且
），
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式；
(3)设
的前
项和为
，若
恒成立，求
的取值范围．
41．在数列
中，
，
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若
对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.
重难·创新演练
设题创新:融入调和数列等自定义数列规则，增设剔除公共项、前n 项积转化等差新颖考法，结合
递推证明、绝对值求和、恒成立与最值综合设问，打破常规套路，侧重信息提取、转化建模与分层
逻辑推理能力。
1．【新考法】（ 2026·天津河西·三模）已知等差数列
满足：对任意的
，
都有意义，且
，则
的值为（ ）
A．4049
B．
C．4051
D．
2．【新角度】（ 2026·福建漳州·三模）数列
的通项公式分别为
，在
中去掉
中含有的项得到新数列
，则
的前30 项的和为（ ）
A．407
B．429
C．465
D．525
3．【新考法】（ 2026·甘肃张掖·二模）设
为数列
的前
项和，已知
，对任意
，
，都
有
，若
，则
的值为__________．
4．【新角度】（ 2026·安徽滁州·二模）已知数列
的通项公式是
，去掉数列
中
的
后余下的项构成新的数列
，则数列
的前
项和
________．
5．【新定义】（ 2026·湖北黄冈·模拟预测）若数列
满足
（
，
为常数），则称数
列
为调和数列，已知数列
为调和数列，且
，则
的最大值为
____________.
6．【新考法】（ 2026·河北·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，k，
，且
，则
的最小值为________．（参考公式：
）
7．【新考法】（ 2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列
，对任意
，令
，
已知
，对任意整数
，均有
．
(1)证明：
，
，
三项成等差数列；
(2)证明：对任意整数
，均有
；
(3)数列
是否为等差数列?并说明理由．
8．（ 2026·云南昆明·模拟预测）已知正项数列
的前
项积为
，且满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
的前
项和为
，求使
成立的最小正整数
.
9．（ 2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列
的前n 项和为
，已知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前n 项和
；
(3)若
时，
恒成立，求正整数
的最小值．
真题·实战演练
高频考点：等差基本量运算、等差性质运用、前 n 项和计算、绝对值求和、最值与恒成立、等差
证明、跨等比综合、实际文化应用题；近三年选择填空为主，兼顾简答证明，侧重基础运算，融合
参数范围、跨数列综合热点。
1．（2024·上海·高考真题）数列
，
，c 的取值范围为___________．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·上海·高考真题）已知等差数列
中，
，公差为
，其前
项和
在区间
内至少有
两项，则公差
的取值范围是__________．
5．（2025·上海·高考真题）已知等差数列
的首项
，公差
，则该数列的前6 项和为
_________．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，则
________.
7．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
