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专题 7.7 《数列与数学归纳法》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2019·贵州高二学业考试）在正项等比数列 中， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
根据等比中项求解即可.
【详解】
解：因为正项等比数列 中， ，
所以 ， .
故选：C
2．（2021·北京人大附中高二期末）根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为
和 （单位：辆），其中 ， ，则该地第4个月底的共享单车的保有
量为（ ）
A．421 B．451 C．439 D．935
【答案】D
【解析】
根据题意求出前四个月的共享单车投放量，减去前四个月的损失量，即为第四个月底的共享单车的保有量.
【详解】由题意可得该地第4个月底的共享单车的保有量为
故选：D.
3．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 =（
）
A．21 B．15 C．13 D．11
【答案】A
【解析】
利用等差数列的前n项和的性质求解.
【详解】
因为数列 是等差数列，
所以 成等差数列，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
故选：A
4．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（理））设等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则当 取得最大值时， 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
【答案】D【解析】
根据 求得 ，结合 ，判断数列单减，从而判断 取得最大值时， 的值.
【详解】
由题知， ，则 ，
等差数列 的公差d满足 ，数列单减，
且 ， ，则当 取得最大值时， 的值为8或9
故选：D
5．（2021·全国高二课时练习）记数列 的前n项和为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据 与 的关系式证明数列 为等比数列，从而求 .
【详解】
依题意 ，
当n=1时，a=2a-1，解得a=1；
1 1 1
当 时，由 得 ，
两式相减，得 ，即 ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ， .
故选：A.
6．（2021·全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列{a}的前n项的和为S，a=2，且a，a，a 成
n n 1 1 3 9等比数列，则S=（ ）
8
A．56 B．72 C．88 D．40
【答案】B
【解析】
根据a，a，a 成等比数列，得到 =a a，再根据a=2，求得公差即可.
1 3 9 1 9 1
【详解】
因为a，a，a 成等比数列，
1 3 9
所以 =a a，又a=2，
1 9 1
所以(a+2d)2=a (a+8d)，
1 1 1
解得d=2或d=0(舍)，
故a=2+(n-1)×2=2n，
n
所以S= =4(2+2×8)=72.
8
故答案为：B
7．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设各项均为正项的数列 满足 ，
， 若 ，且数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【解析】
由 利用因式分解可得 ，即可判断出数列 是以 为首项， 为公
差的等差数列，从而得到数列 ，数列 的通项公式，进而求出 ．
【详解】等价于 ，而 ，
所以 ，即可知数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，即有
，所以 ，
故 ．
故选：D．
8．（2021·河南高二月考（理））定义函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，例如，
， ， ，当 时， 的值域为 ，记集合 中元素的个
数为 ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
根据题意，归纳出数列 的通项公式，结合裂项相消法即可求解.
【详解】
当 时， ， ， ，所以 的取值为0，
所以 ，所以 ；
当 时． ，若 时， ，故 ，
若 时， ， ，故 ，所以 ，所以 ；
当 时， ，若 时， ，故 ；若 时． ，故 ；
若 时， ，故 ，5，
所以 ，所以 ；
当 时， ，若 时 ，故 ；
若 时， ，故 ；
若 时， ，故 ，5，
若 时． ，故 ，10，11，
所以 ．
所以 ；
以此类推，可以归纳，得 ，所以 ，
所以
，
所以 ．
故选D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·全国高二专题练习）已知 是 的前 项和， ， ，则下列选项错
误的是（ ）A． B．
C． D． 是以 为周期的周期数列
【答案】AC
【解析】
推导出 ，利用数列的周期性可判断各选项的正误.
【详解】
因为 ， ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，D选项正确；
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误.
故选：AC.
10．（2021·湖北高二期中）已知数列 是等比数列，公比为 ，前 项和为 ，下列判断正确的有（
）
A． 为等比数列 B． 为等差数列
C． 为等比数列 D．若 ，则
【答案】AD
【解析】
A选项利用等比数列的定义判断即可，
B选项若 ，则 没意义，C选项，当 时，项为0，
D选项，把等比数列前n项和化简为 即可求出.
【详解】
A选项，设 ，则 ，所以 为等比数列，A正确；
B选项，若 ，则 没意义，故B错误；
C选项，当 时， ，等比数列的任一项都不能为0，故C错误；
D选项，由题意得 ， ，
由 得， ， ，即 ，
所以 ，故D正确；
故选：AD.
11．（2021·重庆高三其他模拟）设数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（ ）
A． B． 是等比数列
C． 是单调递增数列 D．
【答案】ACD
【解析】
由已知得出 ，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断B选项的正误；利用数列的
单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由 得 ，故 ，
对于B选项，将 ， 两式相减得 ，
即 ，
又令 ，得 ，
，所以 从第二项开始成等比数列，公比为 ，
故 时， ，即 ，所以， ，
故B选项错误；
对于C选项，因为 .
当 时， ，
当 时， .
所以， ，
令 ，
则 时， ，
即 ，而 ，所以数列 单调递增，C选项正确；
对于D选项，当 时， ，显然成立，故 恒成立，D选项正确.
故选：ACD.
12．（2021·广东高三其他模拟）已知数列 中， ，且
，设 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列 单调递增
C．
D．若 为偶数，则正整数n的最小值为8
【答案】ABC
【解析】
利用 求得 是公比为3的等比数列，利用 求得
的值，判断出选项A，根据 ，利用复合
函数单调性证得B正确；利用分组求和证得C正确；利用二项式定理证得D错误.
【详解】
解：
∴∴
则 是公比为3的等比数列.
∴
或 ，又 ，所以 ，A正确；
根据复合函数单调性，得 单调递增，故B正确；
又
，故C正确；
， 不符
故当 时， 为奇数，故D错误.故选:ABC.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·全国高二专题练习）某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存
入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息
2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一
期的利息），则每年应该存入约_______万元.（参考数据： ）
【答案】5.3
【解析】
设每年存入 万元，由每年本利和相加等于40可得答案.
【详解】
设每年存入 万元，
则2021年初存入的钱到2027年底本利和为 ，
2022年初存入的钱到2027年底本利和为 ，
……
2027年初存入的钱到2027年底本利和为 ，
则 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
14．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）已知数列 首项 ，且 ，则数列
的通项公式是 =_________________【答案】
【解析】
根据 ，取倒数整理得到 ，再利用等差数列的定义求解.
【详解】
因为数列 首项 ，且 ，
所以 ，
所以数列 是以1为首项，以2为公比的等差数列，
所以 ，
则 ，
故答案为：
15．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（理））已知 ，记数列 的前n项和为
，且对于任意的 ， ，则实数t 的最大值是________.
【答案】162
【解析】
将数列通项化为 ，裂项求和求得 ，又对于任意的 ， ，分类参数t，得到关于n的表达式，借助基本不等式求得最值.
【详解】
由题知， ，
则
，
又对于任意的 ， ，
则 ，即 ，
由 ，当 时等号成立，
则实数t 的最大值是162.
故答案为：162
16．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）定义函数 ，其中 表示不超过x的最大整数，
例如， ，当 时， 的值域为 ，记集合 中元素的
个数为 ，则（1） _________；（2） _________．
【答案】2
【解析】
当 时，先求得 的解析式，由此求得 的值.求得 在各区间中的元素个数，由此求得 ，利用裂项求和法求得 .
【详解】
(1)当 时，
根据题意得： ，进而得 ，
所以 在各区间中的元素个数分别为：1，1；所以
(2)解：根据题意得： ，进而得 ，
所以 在各区间中的元素个数为： ，
所以当 时， 的值域为 ，集合 中元素的个数为 满足：
，
所以 ，所以 ，所以
．
故答案为： ；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）已知公差为 的等差数列 的前 项和是 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 满足： ，求数列 的通项公式．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）根据 求得 即可；
（2）由（1）得到 ，再利用累加法求解.
【详解】
（1）因为
所以 ，
解得 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，即 ，
由累加法得 ，
，
，
.18．（2021·北京二十中高二期末）设数列 是各项均为正数的等比数列， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的通项公式为 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
（1）设等比数列的公比为 ，则 ，解方程组求出 ，从而可求出数列 的
通项公式；
（2）由（1）得 ，然后利用分组求和求
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为 ，
因为 ，
所以 ，则 ， ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 ，
（2）由（1）得 ，
所以19.（2021·四川成都市·成都七中高二期中（理））设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且
.
（1）求 和 ；
（2）是否存在等差数列 ，使得 对 成立？并证明你的结论.
【答案】（1） ， ， ；（2）存在，证明见解析.
【解析】
（1）设数列 的公差为 ，则 ，解方程组求出 ，从而可求出 和
；
（2）设 ，由 可得 ，由 可得 ，由此归
纳出 ， ，然后利用数学归纳法证明即可
【详解】
解：（1）设数列 的公差为 ，则 ，
解得 ， ，∴ ， ，
∴ ；
（2）设 ，由 可得 ，
由 ，可得 ，
故存在等差数列 满足条件，其中 ， ，
下面用数学归纳法证明：当 时， 对 成立，
①当 时，由上面过程可知，等式成立，
②假设 时等式成立，即 ，
则当 时，
，，
即当 时等式成立，
由①②可知 ，（其中 ）对 成立.
20．（2021·辽宁大连市·育明高中高二期中）在① ，② ，③ 这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，若
__________，数列 满足 ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ； （2） .
【解析】
（1）：由 ，得到 ，求得 ，分别选择①②③，列出方程求得 ，
即可求得数列 的通项公式，由 ，得到 ，解等比数列的通项公式，即课
求得数列 的通项公式；（2）利用错位相减求和即可.
【详解】
（1）若选①：因为 ，当 时，可得 ，因为 ， ，可得 ，
又因为 ，可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ，
则 ，可得 ，即 ，
因为 ，所以数列 表示首项为1，公比为 的等比数列，
所以数列 的通项公式为 .
若选②：因为 ，
当 时，可得 ，因为 ， ，可得 ，
又因为 ，可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ，
则 ，可得 ，即 ，
因为 ，所以数列 表示首项为1，公比为 的等比数列，
所以数列 的通项公式为 .
若选③：因为 ，
当 时，可得 ，因为 ， ，可得 ，又因为 ，可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ，
则 ，可得 ，即 ，
因为 ，所以数列 表示首项为1，公比为 的等比数列，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可得 ，
则 ，
，
两式相减，可得
，
所以
21．（2021·辽宁大连市·育明高中高二期中）已知数列 的前 项和为 ， ， 是 与 的
等差中项.
（1）证明数列 是等比数列，并求其通项公式；（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1）证明见解析； ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由等差中项定义，结合 可得 ，可知数列 为等比数列，利
用等比数列通项公式可推导得到 ，由 与 关系求得 ，可证得 ，由此证得结论，并得到通
项公式；
（2）由（1）可得 ，由 可得 ；当 时，由 可证得
，验证知当 时， 成立，由此可证得结论.
【详解】
（1） 是 与 的等差中项， ，
又 ， ，即 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
， ；
当 时， ，经检验： 满足 ；
， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，且 ；（2）由（1）得： ， ，
， ，
当 时， ，
，又 ， ；
当 时， ；
综上所述： .
22．（2021·全国高二专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求 的范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）利用 与 的关系求通项公式；（2）利用错位相减法求数列 的通项公式 ，根据 化
简，求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
所以 ，由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
