文档文本内容
第02 讲 导数与函数的单调性
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）..............................................................................3
高频考点二：已知函数在区间上单调........................................................................................................3
高频考点三：已知函数存在单调区间........................................................................................................4
高频考点四：已知函数在区间上不单调....................................................................................................5
高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性......................................................................5
高频考点六：函数单调性之比较大小........................................................................................................7
高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式.........................................................................................8
高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型）.........................................................................................8
高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）.....................................................................10
高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）.................................................................12
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................13
第一部分：基础知识
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件
恒有
结论
函数
在区
间
上可导
在
内单调递增
在
内单调递减
在
内是常数函数
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求
的定义域
②求
③令
，解不等式，求单调增区间
④令
，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令
（或
）不跟等号.
3、由函数
的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数
在区间
上单调
①已知
在区间
上单调递增
，
恒成立.
②已知
在区间
上单调递减
，
恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数
在区间
上存在单调区间
①已知
在区间
上存在单调增区间
令
，解不等式，求单调增区间
，则
②已知
在区间
上存在单调减区间
令
，解不等式，求单调减区间
，则
（3）已知函数
在区间
上不单调
，使得
4、含参问题讨论单调性
第一步：求
的定义域
第二步：求
（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于
进行求导得到
，对
初步处理（如通分），提出
的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为
的有效部分（如：
，则记
为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定
的正负.
第四步：确定导函数有效部分
的类型：
①
为一次型（或可化为一次型）②
为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论
的单调性
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为
（ ）．
A．
B．e
C．
D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
3．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
例题1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数
的单调递减区间是 .
例题2．（24-25 高二下·江西宜春·期中）函数
的单调增区间为 ．
精练高频考点
1．（24-25 高二下·四川·期中）函数
的单调递增区间为 ．
2．（23-24 高三上·山东烟台·阶段练习）已知函数
，则
在R 上的单调递减区间是
．
高频考点二：已知函数在区间上单调
典型例题
例题1．（2024·河南·模拟预测）若函数
的减区间为
，则
的值为 .
例题2．（23-24 高三上·新疆·期中）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
．
2．（2025 高三下·山东日照·专题练习）若
在
上是减函数，则实数a 的取
值范围是 .
高频考点三：已知函数存在单调区间
典型例题
例题1．（2025·山东威海·三模）已知函数
在
上存在单调递减区间，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
在
上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为
精练高频考点
1．（24-25 高二下·福建·期中）已知函数
在
上存在单调递增区间，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·天津·阶段练习）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数
的取值范围是 .
高频考点四：已知函数在区间上不单调
典型例题
例题1．（24-25 高二下·江西南昌·期中）若函数
在区间
上不单调，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三下·重庆城口·阶段练习）已知函数
，若
在
内不单
调，则实数
的取值范围是 ．
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高三下·河北·期中）若函数
在区间
上不单调，则实数
的取值
可以是（ ）
A．e
B．
C．
D．
2．（2025·江苏苏州·三模）若
在
上不单调，则实数
的取值范围是
．
高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性
典型例题
例题1．（24-25 高二下·四川绵阳·阶段练习）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，
则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高二下·广东·阶段练习）设函数
的导函数为
，若
的图象如图所示，则
的单调递减区间为（ ）
A．
和
B．
C．
和
D．
和
精练高频考点
1．（24-25 高二下·甘肃定西·期中）如果函数
的图象如图，那么导函数
的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设函数
在定义域内可导，
的图象如图所示，则其
导函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点六：函数单调性之比较大小
典型例题
例题1．（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高二下·山东青岛·阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（山东省九五高中协作体2024-2025 学年高三下学期高考最后一卷数学试题）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·广东中山·阶段练习）已知函数
，若
，则
．
高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式
典型例题
例题1．（24-25 高三下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知定义在
上的函数
的导数为
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三下·广东·阶段练习）定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为 ．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·辽宁·阶段练习）函数
的定义域为
，若
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
，且
，则不等式
的解集为 .
高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型）
典型例题
例题1．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性．
例题2．（24-25 高二下·福建三明·期中）
(1)
，求曲线
在点
处的切线方程
(2)讨论
的单调性
精练高频考点
1．（24-25 高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数
（
，为自然对数的底数）.
(1)若曲线
在点
处的切线平行于
轴，求
的值；
(2)讨论函数
的单调性.
2．（24-25 高二下·全国·随堂练习）已知函数
，讨论
的单调性.
高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）
典型例题
例题1．（24-25 高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值.
(2)求函数
的单调区间.
例题2．（24-25 高二下·云南昆明·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
的单调性．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
2．（2025·新疆·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
的图象在
处的切线与直线
垂直，求实数a 的值；
(2)讨论函数
的单调性；
3．（2025·湖北武汉·三模）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）
典型例题
例题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
例题2．（2025·山东烟台·三模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
精练高频考点
1．（24-25 高二下·湖北黄石·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的解集；
(2)当
时，求
的单调区间．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．讨论
的单调性.
3．（2025·重庆·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却
容易误加了“等号”
1．（23-24 高二上·山西长治·期末）若函数
（
且
）在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 .
2．（2024 高三·全国·专题练习）若函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围
为 ．
备注：解不等式时容易忽视定义域
1．（24-25 高二下·上海·期中）函数
的单调减区间是 .
2．（24-25 高二下·天津武清·阶段练习）已知函数
，则
的单调减区间为 ．
