文档文本内容
第02 讲 函数的单调性与最大（小）值
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................3
高频考点一：函数的单调性..................................................................................................3
角度1：求函数的单调区间.............................................................................................3
角度2：根据函数的单调性求参数..................................................................................4
角度3：复合函数的单调性.............................................................................................4
角度4：根据函数单调性解不等式..................................................................................5
高频考点二：函数的最大（小）值.......................................................................................6
角度1：利用函数单调性求最值.....................................................................................6
角度2：根据函数最值求参数.........................................................................................7
角度3：不等式恒成立问题.............................................................................................8
角度4：不等式有解问题.................................................................................................8
第四部分：典型易错题型...........................................................................................................10
第一部分：基础知识
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数
的定义域为
，如果对于定义域
内某个区间
上的任意两个自变量的值
，
；
①当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是增函数
②当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数
在区间
上是增函数或减函数，则称函数
在这一区间上具有（严格的）单调
性，区间
叫做函数
的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数
和
，如果当
时，
，且
在区间
上和
在区间
上同时具有单调性，则复合函数
在区间
上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足
①对于任意的
，都有
；
②存在
，使得
则
为最大值
（2）设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足
①对于任意的
，都有
；
②存在
，使得
则
为最小值
3、常用高频结论
（1）设
，
.
①若有
或
，则
在闭区间
上是增函数；
②若有
或
，则
在闭区间
上是减函数.此为函数
单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设
，两个函数
，
在区间
上的单调性如下表，则
在
上的单
调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减
（3）对钩函数单调性：
（
，
）的单调性：在
和
上单调
递增，在
和
上单调递减．
（4）常见对钩函数：
（
），的单调性：在
和
上单调递增，在
和
上单调递减．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的单调递增区间为 ．
精练高频考点
1．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的单调递增区间为 ．
2．（2025 高一·全国·专题练习）画出函数
的图象，根据图象写出函数
的单调减区
间 .
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2025·江西·二模）若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·山东济宁·二模）若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北保定·二模）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三下·湖北·阶段练习）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法总结：复合函数单调性遵循：同调增；异调减（同增异减）。
具体的若函数
在
内单调，
在
内单调，且集合
.
(1)若
是增函数，
是增(减)函数，则
是增(减)函数
(2)若
是减函数，
是增(减)函数，则
是减(增)函数
精练高频考点
1．（2025·广东茂名·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
和
D．
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
在定义域
上是减函数，且
，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
友情提醒：本题最容易忽视的就是定义域
，解题时很容易得到
而忽
略了定义域而造成错解，一轮复习时要特别引起注意，定义域是最容易被忽视
的错解原因之一。
例题2．（24-25 高三下·河北承德·开学考试）已知定义域为
的偶函数
满足：对任意
，
，都有
成立，则满足
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
是定义在区间
上的增函数，且
，则
的取值范围是 ．
2．（2026 高三·全国·专题练习）函数
在
上单调递增，且为奇函数，若
，则满足
的x 的取值范围是 ．
3．（24-25 高三上·上海·期中）已知定义域为
的偶函数
在
上为严格减函数，则不等式
的解集为 ．
方法总结：对于
在
上是偶函数，且在
单调递减，则
；特别提醒不能忽略定义域；另外偶函数问题对变量加
绝对值来比较大小
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6
B．1，3
C．1，4
D．1，6
例题2．（25-26 高三上·全国·课后作业）函数
的最小值是 ．
方法总结：函数单调性常涉及：
①图象法
②复合函数（同增异减）
③相加法：设
，两个函数
，
在区间
上的单调性如下表，则
在
上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减
精练高频考点
1．（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2025·广东肇庆·二模）已知函数
，则
的最小值是 .
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
且
在
上的最大值和最
小值之和为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
例题2．（23-24 高三上·广西南宁·期中）函数
在
上的值域为
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·青海·阶段练习）已知函数
在区间
上的最大值为5，则
.
2．（23-24 高三上·全国·课后作业）已知函数
.
(1)若函数在区间
上y 随x 增大而增大，求实数a 的取值范围；
(2)若函数在区间
上的最大值为1，求实数a 的值.
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
，当
时，
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（上海市2024-2025 学年高三下学期5 月调研数学试卷）设
，
.已知函数
的定义域为
，且
．
(1)若函数
是偶函数，求
的值；
(2)设
，若对任意的
，均有
，求
的取值范围．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，其中a，
．若对任意的
，
不等式
在
上恒成立，则b 的取值范围为 ．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知不等式
对满足
的一切实数m 恒成立，则x
的取值范围为 ．
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高三上·广东湛江·阶段练习）已知不等式
在
上有解，则
实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三下·浙江·期中）已知函数
．
(1)当
时，求关于
的不等式
的解；
(2)若对任意的
，存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·福建南平·期中）已知函数
，若
对
均有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·浙江杭州·期中）已知奇函数
经过
点.
(1)求函数
的解析式；
(2)判断函数
在
上的单调性并用定义进行证明；
(3)若存在
，使得不等式
成立，求实数m 的取值范围.
第四部分：典型易错题型
备注：单调区间容易忽视定义域
1．（24-25 高三上·广东广州·期中）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·天津河东·阶段练习）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较
1．（23-24 高三上·天津南开·期中）函数
是
上的减函数，则
的取值范围是
.
备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域
1．（24-25 高三上·福建泉州·阶段练习）已知定义在
上的偶函数
，且当
时，
单
调递减，则关于
的不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·广东佛山·阶段练习）已知定义在
上的偶函数
在
上单调递增，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
