文档文本内容
【第11 讲：指数函数的图像与性质】
一．指数函数的特征及解析式（共4 小题）
二．由指数函数的解析式求解参数（共1 小题）
三．指数函数的定义域（共5 小题）
四．指数函数的值域（共2 小题）
五．指数函数图象特征与底数的关系（共6 小题）
六．指数函数及指数型复合函数的图象（共3 小题）
七．求指数函数及指数型复合函数的单调性（共4 小题）
八．由指数函数的单调性求解参数（共2 小题）
九．求指数函数及指数型复合函数的最值（共3 小题）
十．由指数函数的最值求解参数（共5 小题）
十一．指数函数的实际应用（共3 小题）
十二．指数函数综合题（共4 小题）
【知识点清单】
1．指数函数的特征及解析式
【知识点的认识】
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R，值域是
（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x 是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a 大于零且不等于1 的理由：
如果a＝0，当x＞0 时，ax恒等于0；当x≤0 时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x= 1
4 ，x= 1
2在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1 是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0 且a≠1．
题型梳理
总览
2．指数函数的定义域
【知识点的认识】
指数函数的解析式、定义、定义域、值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R，值域是
（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x 是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a 大于零且不等于1 的理由：
如果a＝0，当x＞0 时，ax恒等于0；当x≤0 时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x= 1
4 ，x= 1
2在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1 是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0 且a≠1．
3．指数函数的值域
【知识点的认识】
指数函数的解析式、定义、定义域、值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R，值域是
（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x 是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a 大于零且不等于1 的理由：
如果a＝0，当x＞0 时，ax恒等于0；当x≤0 时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x= 1
4 ，x= 1
2在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1 是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0 且a≠1．
4．指数函数的图象
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0 时，y＞1；
x＜0 时，0＜y＜1
当x＞0 时，0＜y＜1；
x＜0 时，y＞1
在R 上是增函数
在R 上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；
同样地，当0＜a＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l 时，函数y＝ a x与函数y=( 1
a )
x的图象关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
5．求指数函数及指数型复合函数的单调性
【知识点的认识】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a
＞1，0＜a＜1 的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判
断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X 的增大，Y 值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值就在不断的减
小，而内层函数的Y 值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X 的增大时，内层函数
的Y 值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X 不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复
合函数的Y 值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则
若随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X 不断增大，
又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y 值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
【解题方法点拨】
指数函数及其复合函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，是分析函数性质的重要内容．
﹣分析指数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1 时，指数函数单调递增；当0＜a＜1 时，指数函数单调
递减．
﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层指数函数确定复合函数的整体单调性．
﹣验证单调性的准确性．
6．指数函数的实际应用
【知识点的认识】
指数函数图象的应用：
函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何
与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用
指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．
22．指数函数综合题
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
0＜a＜1 a＞1
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0 时，y＞1；
x＜0 时，0＜y＜1
当x＞0 时，0＜y＜1；
x＜0 时，y＞1
在R 上是增函数
在R 上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；
同样地，当0＜a＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l 时，函数y＝ a x与函数y=( 1
a )
x的图象关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
一．指数函数的特征及解析式（共4 小题）
1．若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x3
B．f（x）＝2x
C．f（x）＝（1
2）x
D．f（x）= x
1
3
2．若函数f ( x)=( 1
3 )
| x|
+m−1的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是 ．
知识讲解与常考题型
题型分类
3．如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）满足关系式：y＝at（a＞0 且
a≠1），则浮萍面积从4m2到12m2至少需要经过 个月．（精确到0.1）
4．已知函数f ( x)=a( 1
2 )
x
+b的图象过原点，且无限接近直线y＝2 但又不与该直线相交，则f（1）＝
．
二．由指数函数的解析式求解参数（共1 小题）
5．函数y＝（2a2﹣3a+2）ax是指数函数，则a 的值为（ ）
A．1
2
B．1
C．−1
2
D．1 或1
2
三．指数函数的定义域（共5 小题）
6．函数f ( x)= ❑√1−( 1
2 )
x的定义域为（ ）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．[0，1）
D．[0，+∞）
7．已知函数f（x）的定义域为（1，+∞），则函数F( x)= f (2
x−3)+ ❑√3−x的定义域为（ ）
A．（2，3]
B．（﹣2，3]
C．[﹣2，3]
D．（0，3]
8．函数f ( x)=
❑√1−e
x+
1
❑√x +3的定义域为（ ）
A．（﹣3，0]
B．（﹣3，1]
C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]
D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]
（多选）9．已知函数f ( x)= 2
x−1
2
x+1
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的定义域为R
B．函数f（x）的值域为（﹣1，1）
C．函数f（x）的图象关于y 轴对称
D．函数f（x）在R 上为减函数
10．在(2a+1)
−1
2中，实数a 的取值范围是 ．
四．指数函数的值域（共2 小题）
11．函数y =2
2 x−x
2
的值域为（ ）
A．[2，+∞）
B．（﹣∞，2]
C．(0，1
2 ]
D．（0，2]
12．已知1
2 ≤x ≤2，求函数y =( 1
4 )
x−1
−4( 1
2 )
x
+2的值域为 ．
五．指数函数图象特征与底数的关系（共6 小题）
13．四个指数函数y＝2x，y＝3x，y =( 1
2 )
x，y =( 1
3 )
x的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为y =( 1
2 )
x，y =( 1
3 )
x，y＝2x和y＝3x
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为y =( 1
3 )
x，y =( 1
2 )
x，y＝2x和y＝3x
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为y =( 1
3 )
x，y =( 1
2 )
x，y＝3x和y＝2x
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为y =( 1
2 )
x，y =( 1
3 )
x，y＝3x和y＝2x
14．已知（x1，y1）和（x2，y2）是函数y＝2x图象上的两点，则（ ）
A．y1+ y2≥2
x1+ x2
B．y1+ y2
2
≤2
x1+ x2
2
C．y1 y2≥4
x1−1+ 4
x2−1+2
x1+ x2−1
D．y1+ y2
2
≥2
x1+ x2
2
15．已知0＜b＜1，若e
a+lnb= 1
b
2 −a，则（ ）
A．a＞b﹣1
B．a＞b﹣2
C．ea＜b﹣1
D．ea＜b﹣2
16．设a＞0，s∈R．下列各项中，能推出as＞a 的一项是（ ）
A．a＞1，且s＞0
B．a＞1，且s＜0
C．0＜a＜1，且s＞0
D．0＜a＜1，且s＜0
17．若函数f（x）＝（4mx﹣n）2的大致图象如图所示，则（ ）
A．mn＜0
B．m+n＞1
C．mn＞1
D．m+n＜0
18．若4x+3y＞2﹣y+9﹣x，则（ ）
A．2x﹣y＞0
B．2x﹣y＜0
C．x+2y＞0
D．2x+y＞0
六．指数函数及指数型复合函数的图象（共3 小题）
19．函数f（x）＝e|x|﹣3|x|﹣1 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
20 ．已知函数f （x ）＝mx﹣2 （m ＞0 ，且m≠1 ）恒过定点（a ，b ），则在直角坐标系中函数
g( x)=( 1
a )
| x +b|的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．函数f（x）＝ax﹣b的图像如图所示，其中a、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
七．求指数函数及指数型复合函数的单调性（共4 小题）
22．若函数f（x）＝a|x﹣1|（a＞0，a≠1）满足f（﹣1）＝4，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，1]
B．[1，+∞）
C．[﹣1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1]
23．若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）= 1
9，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．[﹣2，+∞）
D．（﹣∞，﹣2]
24．已知函数f ( x)=2
x
2−2 x +1，则f（x）（ ）
A．在（﹣∞，1]上单调递增且值域为[1，+∞）
B．在（﹣∞，1]上单调递减且值域为[1，+∞）
C．在（﹣∞，1]上单调递增且值域为（0，1]
D．在（﹣∞，1]上单调递减且值域为（0，1]
25．已知函数f ( x)=−( 1
3 )
| x|
+1，则不等式f（2m﹣1）＜f（m+3）成立的实数m 的取值范围为
．
八．由指数函数的单调性求解参数（共2 小题）
26．设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]
B．[﹣2，0）
C．（0，2]
D．[2，+∞）
27．设函数f ( x)=( 1
2 )
x( x−a)
在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0]
B．[﹣2，0]
C．（0，2]
D．[2，+∞）
九．求指数函数及指数型复合函数的最值（共3 小题）
28．函数f ( x)= ❑√x−1+2
x−3的值域为（ ）
A．[﹣2，+∞）
B．[﹣1，+∞）
C．[0，+∞）
D．[1，+∞）
29．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯
函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝
3．已知函数f ( x)= 2
x +1
1+2
x ，则函数y＝[f（x）]的值域是（ ）
A．{0，1}
B．（0，2）
C．（0，1）
D．{﹣1，0，1}
（多选）30．定义在R 上的函数f（x）满足f (lo g3 x)= x
2−4 x +3，则（ ）
A．函数f（x）的解析式为f（x）＝9x﹣4×3x+3
B．函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2
C．函数f（x）的单调递增区间为[log32，+∞）
D．函数|f（x）|在[ 1
2 ，1]上的最大值为4 ❑√3−6
十．由指数函数的最值求解参数（共5 小题）
31．已知函数f（x）＝|ex﹣1|，满足f（a）＝f（b）（a≠b），在区间[a，2b]上的最大值为e﹣1，则b 为
（ ）
A．1n3
B．1
3
C．1
2
D．1
32．已知奇函数f（x）＝ax+b•a﹣x（a＞0，a≠1）在[﹣1，1]上的最大值为8
3，则a＝（ ）
A．1
3或3
B．1
2或2
C．3
D．2
33．函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小值的2 倍，则a 的值是（ ）
A．1
2或❑√2
B．1
2或2
C．1
2
D．2
（多选）34．若函数y＝ax（a＞0 且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为1
2，则实数a 的值为（
）
A．2
B．3
2
C．2
3
D．1
2
35．已知函数f（x）＝ax，g（x）＝a2x+m，其中m＞0，a＞0 且a≠1．当x∈[﹣1，1]时，y＝f（x）的最大
值与最小值之和为5
2．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）＝g（x）﹣2mf（x），求当x∈[0，1]时，h（x）的最小值H（m）．
十一．指数函数的实际应用（共3 小题）
36．抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，
进而造成环境污染、危害生物体健康．已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t
（单位：年）近似满足关系式y＝λ（1﹣e﹣λt），λ≠0，其中λ 为抗生素的残留系数，当t＝10 时，
y = 3
4 λ，则λ 的值约为（参考值：ln2≈0.7）（ ）
A．0.54
B．0.34
C．0.24
D．0.14
37．碳14 具有放射性．活体生物组织内的碳14 含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14 开始衰减
已知碳14 的半衰期约为5730 年，即生物死亡t 年后，碳14 含量C(t )=C0( 1
2 )
t
5730，其中C0为活体生物
组织内碳14 的含量．科学家一般利用碳14 这一特性测定生物死亡年代.2025 年科学家在我国发现的某
生物遗体中碳14 的含量约为原始含量的0.92，已知( 1
2 )
2.12
≈0.23，则根据所给的数据可推断该生物死
亡的朝代为（ ）
A．宋（公元960～1279 年）
B．元（公元1271∼1368 年）
C．明（公元1368∼1644 年）
D．清（公元1636∼1912 年）
38．某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b 都是正常数，则该种放射性元
素的原子数由a 个减少到a
2个时所经历的时间为t1，由a
2个减少到a
4 个时所经历的时间为t2，则
t1
t2
=（
）
A．2
B．1
C．ln2
D．e
十二．指数函数综合题（共4 小题）
39．已知函数f ( x)= 2
x +1
1+2
x + x
2023+2023 x，正数a，b 满足：f（ab﹣a）+f（b﹣2）＝2，则2
a+1 +
1
b−1
的最小值为 ．
40．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5 个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1、5 个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3；
其中正确的序号是 ．
41．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）＝2x+2﹣x．
（1）试求f（x）的表达式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；
（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1 恒成立，求实数t 的取值范围．
42．设函数f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0 且a≠1）是定义域为R 的奇函数；
（1）若f（1）＞0，判断f（x）的单调性并求不等式f（x+2）+f（x﹣4）＞0 的解集；
（2）若f（1）= 3
2，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．
一、单选题
1．已知函数
，（
且
），若
在
上的最大值为
，最小值为
，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．2 或
C．
D．
或
2．已知函数
在
上为单调函数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
课后针对训练
C．
D．
3．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知偶函数
的定义域为
，且当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．25
D．15
6．设
，若满足
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设
，如果
，且
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知
是奇函数，
是偶函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．设函数
在区间
上单调递减，则a 的取值范围是 ．
11．函数
的定义域是 ．
12．已知函数
是定义域为R 的偶函数，则
．
13．若函数
的值域为
，求
的取值范围 ．
14．若函数
的值域是
，则
的取值范围是 ．
15．函数
与指数函数
（
且
）互为反函数，且
的图象过点
，则
．
四、解答题
16．若
是偶函数，求其值域和对称性．
17．求函数
的图象的对称中心．
18．设
是
的二次函数，
，且
，求函数
和
的解析式．
19．每逢节假日，汕头小公园开埠区总是游人如织，这里的骑楼风貌、非遗展演、戏亭印象、时尚潮玩，
总能让慕名而来的游客感受到“最潮最老”的潮汕文化.经统计，汕头小公园开埠区2021 年至2023 年春节
期间的游客人数如下表所示：
年份
2021 年
2022 年
2023 年
年份代码x
1
2
3
游客人数y（单位：万人）
120
180
270
根据上述数据，汕头小公园开埠区春节期间的游客人数y（万人）与年份代码x（注：记2021 年的年份代
码为
，2022 年的年份代码为
，依此类推）有两个函数模型可供选择：①
，②
(1)试判断哪个函数模型更合适（给出判断即可，不必说明理由），请根据你的判断结果以及表中数据求出
该函数模型的函数解析式；
(2)为提升游客的旅游体验，汕头市需提前做好各项准备.请问大约在哪一年，汕头小公园开埠区春节期间的
游客量约是2022 年的3 倍？（参考数据：
）
20．若关于
的方程
恰有两个实根，求
的取值范围．
21．设函数
．
(1)若
的定义域为
，求
的取值范围；
(2)若
，求
的值域．
