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第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示............................................................................................................1
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................2
高频考点一：平面向量基本定理的应用....................................................................................................2
高频考点二：平面向量的坐标表示............................................................................................................3
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）...............................................................4
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）....................................................5
第四部分：新定义题..........................................................................................................................................5
第一部分：基础知识
1、平面向量的基本定理
1.1 定理：如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量
，有且只有一对实
数
，使
.
1.2 基底：
不共线的向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即
不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）
用基底
两种表示，即
，则
，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量
作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1 平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与
轴，
轴方向相同的两个不共线的单位向量
作为基底，存在唯一一组有
序实数对
使
,则有序数对
，叫做
的坐标，记作
.
3.2 平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若
，则
；
（2）数乘向量：若
，则
；
（3）向量数量积：若
，则
；
（4）任一向量：设
，则
.
4、平面向量共线的坐标表示
若
，则
的充要条件为
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
3．（2024·天津·高考真题）已知正方形
的边长为1，
若
，其中
为实
数，则
；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值为 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．已知D 为
的边
的中点，O 为
上一点，且满足
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．如图，在
中，设
的中点为
的中点为
的中点为
，若
，则
，
．
精练高频考点
1．已知向量
满足
，
，
，若
为线段
的中
点，并且
，则
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．1
2．如图，在
中，
，
，
，
，
交
于点
，过点
的
直线分别交
于点
，则
．
3．设
为
的内心，
，
，
，则
，
．
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（23-24 高三下·全国·自主招生）已知点
，
，点C 满足
，则C 的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）四边形
是正方形，延长
至点
，使得
，
若
为
中点，
为
中点，点
在线段
上移动（包含端点），设
，求
的
取值范围 ．
精练高频考点
1．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知点
，点
，向量
，若
，则实数
的值
是 ．
3．（23-24 高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，向量
与
的夹角为
，向量
与
的夹角为
，
，
，若
，（
，
），则
．
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）
典型例题
例题1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．8
B．4
C．2
D．
例题2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知向量
，
，
，若
，则
．
精练高频考点
1．（2025·海南·模拟预测）已知向量
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
2．（2025·重庆·三模）已知向量
若
则
的值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
3．已知平面向量
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
．
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O 为坐标原点，若不重合的三点
，
，
共线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．已知
，
，
，若
，
，
三点共线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
精练高频考点
1．（24-25 高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量
，
，若A，B，C 三点
共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无解
2．（24-25 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知
为不共线向量，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
3．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量
，
，
且实数
，
若A，B，C 三点共线．则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
第四部分：新定义题
1．（多选）（2025 高一·全国·专题练习）定义平面向量的一种新运算“
”如下：对任意的向量
，
，规定
，则对于任意的向量
，下列说法中正确的是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25 高一下·山东泰安·阶段练习）对非零向量
，定义变换
，得
到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ）
A．
B．若
，则
C．设
为线段
的中点，则
D．设
为坐标原点，
且点
构成等腰三角形，则
