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第03 讲 平面向量的数量积
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量
和
满足
，则向量
在
向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先计算向量
，再应用投影向量公式计算求解.
【详解】
，则向量
，
则
在
的投影向量为
，
故选:A．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知空间四点
满足
，
，
，
，则
的值（ ）．
A．只有一个
B．有两个
C．有四个
D．有无穷多个
【答案】A
【分析】利用向量的加法和点积公式进行推导
【详解】通过观察有
，
又
，则
，
两边平方得
，
则
，
故
，
即
，
所以
只有一个值0．
故选：A．
3．（24-25 高一下·北京大兴·期末）若向量
与
满足
，且
，则
在
上
的投影向量的模为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8
【答案】C
【分析】先根据已知条件求出
；再结合向量的投影公式，及向量模的计算即可求
解.
【详解】由
，可得：
因为
，
所以
.
又因为
在
上的投影向量为
，
所以
在
上的投影向量的模
.
故选：C.
4．（24-25 高三上·山西太原·期末）已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积的运算律将
展开，再结合向量数量积公式
求出
的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角
.
【详解】由
，可得
又
所以
解得：
所以
又
所以
所以
与
的夹角为
．
故选：C.
5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知
是边长为的等边三角形，点
，
分别是边
，
的中点，连接
并延长到点
，使得
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量
的坐标，利用数量积的坐标运算
求
的值即可.
【详解】如图，以
所在直线为
轴，
为坐标原点，
所在直线为
轴，建立直角坐
标系，
由题意可得
，
，
，
，
则
，
设
，由
得，
，
所以
所以
，所以
，
所以
.
故选：A.
6．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点
，则向量
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
，求出
即可求出向量
在
上的投影向量.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
，
所以向量
在
上的投影向量为
.
故选：D.
7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标运算先求
，最后利用数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由题意有
，又因为
，
所以
，
故选：B.
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量
则
在
上的投影向量
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，再根据投影向量的定义求解.
【详解】因
，
则
，
，
故
在
上的投影向量为
.
故选：D.
9．（多选）（24-25 高三下·河南·阶段练习）已知向量
，则（ ）
A．向量
的夹角为
B．若
，则
C．若
，则
D．向量
在向量
上的投影向量为
【答案】AC
【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成
即可验算；对于
C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解.
【详解】对于A，向量
的夹角的余弦值为
，即向量
的夹角为
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，若
，则存在实数
，使得
，
因为
，所以
不共线，所以
，故C 正确；
对于D，向量
在向量
上的投影向量为
，故D 错误.
故选：AC.
10．（多选）（2025·全国·模拟预测）设向量
，
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角为
D．
与
的夹角为钝角
【答案】AC
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，垂直的坐标表示，向量夹角的坐标公式即可判
断．
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，
，
所以
，
与
不垂直，故B 错误；
对于C，
，
，
，
，
，所以
与
夹角为
，故C 正确；
对于D，
，
与
的夹角不为钝角，故D 错误；
故选：AC．
11．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为边长为1 的等边
所在平面内一点，且满
足
，则
．
【答案】3
【分析】解法1、由
，直接进行数量积运算即可；解法2、利用
极化恒等式
计算.
【详解】解法1：如图，
，
则
．
解法2：如图，
为
的中点，
．
故答案为：3.
12．（2025 高三·全国·专题练习）在平行四边形
中，已知
，
，
，
为
的中点，点
在
与
上运动（包括端点），则
的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意分点
在
上时，点
在
上两种情况进行运算求解即可.
【详解】当点
在
上时，如图1，
，
，
，
为
的中点，
所以
为等边三角形，即
，
所以
，又
，
所以
．
当点
在
上时，如图2，
此时
，所以
，
又
，所以
．
综上，
．
故答案为：
13．（2025 高三·全国·专题练习）已知四边形
为
的中点，
，求
的取值范围．
【答案】
．
【分析】思路1：运用转化法把
和
进行拆分然后转为为其他数量积问题；
思路2：直接运用极化恒等式求解.
【详解】解法1：如图，设
为
的中点，插入分点
，则有：
，
即
的取值范围为
．
解法2：运用极化恒等式，易得
．
14．（24-25 高一下·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在直角梯形
中，
．
(1)求
；
(2)若
为边
上一点，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积；
（2）设出点
的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解.
【详解】（1）
如图，以A 为原点，
所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，
则
,因为
，
所以
.
（2）如图，设
，则
，
因为
，所以
，解得
或
，
故
或
.
B 相遇高考
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB
与
交于B，C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
，或
然后结合三角函数的性质即可确定
的最大值.
【详解】如图所示，
，则由题意可知:
，
由勾股定理可得
当点
位于直线
异侧时或PB 为直径时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值.
当点
位于直线
同侧时，设
，
则：
，
，则
当
时，
有最大值
.
综上可得，
的最大值为
.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最
值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，
解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
4．（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，用
表示
；若
，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表示出
，结合上一空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不等式
求解.
【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
C 素养提升
1．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，斜边
为
的中点，
于
D，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】结合图象，
，再利用数量积的几何意
义，设
，则
，最后利用均值不等式求最值.
【详解】如图，易知：
，
因为
在
方向上的投影向量为
，且在
中
，
所以
，
在
方向上的投影向量为
，所以
，
设
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，故所求的最大值为
．
故答案为：
2．（2025 高三·全国·专题练习）设点
是
的外心，
，
，
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】通过作出辅助线，将向量进行转化，利用中点性质将向量用已知边向量表示，再
根据数量积的几何意义最后结合已知条件求出取值范围.
【详解】如图，过点
作
、
，垂足分别为
、
，
点
是
的外心，
、
分别是
、
的中心,
，
由
得
，从而
，
的取值范围为
故答案为：
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知平面向量
满足
，其中
为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量
，恒有
，则
的夹角
的最小值是 ．
【答案】
【分析】解法1：设
的夹角为
，
，
，由
推得
，即得
，结合
，代入计算可得
在
上恒成立，由
求得
即得其最小值；解法2：由
可得
恒成立，只需
，
即
，即
，化简得
在
上恒成立，同法求得.
【详解】解法1：设
的夹角为
，
，
，由
可得
，
两边取平方，可得
，
即
，该式对任意
恒成立，
所以
，即
，
从而
，计算整理得：
，该式对任意的
恒成立，
所以
，得
，因
，则
．
故所求最小值为
．
解法2：易知
，
，则
，
即
恒成立，故只需
，即
恒成立．因
，
，则有
，
即
，由
得
，因
，
所以
．故所求最小值为
．
故答案为：
.
4．（24-25 高一下·河南焦作·阶段练习）设平面内两个非零向量
的夹角为
，
定义一种新运算“
”：
.
(1)已知向量
，求
；
(2)设向量
，且
，证明：
；
(3)已知向量
，若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由向量夹角公式求出
，再得出
，根据新定义求解；
（2）类比（1）求出
，得出
，利用新定义证明即可；
（3）根据（2）代入求解推出
，再由三角恒等变换求解.
【详解】（1）设
的夹角为
，则
，
所以
，
所以
，
故
.
（2）设
的夹角为
，
则
，
所以
，
则
，
于是，
.
（3）由题意，
，
则由（2）的公式可得：
，
又
，则得
，
故
.
5．（23-24 高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量
，
的夹角为
，定义一种运
算“
”：
试求解下列问题：
(1)已知向量
满足
，
，
，求
的值；
(2)①若
，
，用坐标
，
，
，
表示
；
②在平面直角坐标系中，已知点
，
，
，求
的值；
(3)已知向量
，
，
，求
的最小值.
【答案】(1)2
(2)①
，②7
(3)9
【分析】（1）根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可
求解.
（2）①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义
即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解.
（3）直接利用（2）的结论，结合基本不等式即可求解最值.
【详解】（1）由
，可得
，则
，
由于
，因此
，其中
为
的夹角，
故
；
（2）①由
，
，可得
，
结合
，故
，
故
，
②由
，
，
可得
，
故
（3）由
,
，结合（2）的结论可知：
，
当且仅当
，等号成立，结合
，故
时取到等号，
因此
的最小值为9.
