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第02 讲 导数与函数的单调性
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先对函数求导，然后判断函数的单调性，进而可得出对应的图象.
【详解】
，
当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，排除B，C，D.
故选：A．
2．（2025·河南·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数在
上单调递减可知
在
上恒成立，进而利用二次函数的性质
求解即可.
【详解】由题知
在
上恒成立，所以
，得
.
故选：D.
3．（23-24 高三上·山西运城·开学考试）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可.
【详解】
的定义域为
，解不等式
，可得
，
故函数
的单调递减区间为
.
故选：B.
4．（24-25 高二下·云南昆明·阶段练习）已知函数
的导函数
的图象如图所
示，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出
原函数的切线斜率变换判断A，D.
【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在
轴上方，导函数值大于0，所以原函数
的图象必然单调递增，排除B，C；
且导函数的函数值在区间
上递减，即原函数在区间
上的切线斜率递减，
导函数的函数值在区间
上递增，即原函数在区间
上的切线斜率递增，D 选项错误.
故选:A
5．（24-25 高二下·广东中山·阶段练习）若函数
在
是增函数，则常
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数为非负结合参变分离可得
在
上恒成立，构建新函
数，利用导数求出右侧函数的最小值后可得参数的范围.
【详解】因为函数
在
是增函数，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，令
，
则
，
故
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
故选：C
6．（24-25 高二下·安徽池州·期中）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断
的奇偶性，再利用导数判断其单调性即可解不等式.
【详解】
的定义域为R 且
，故
为偶函数，
则不等式可化为
，
.
设
，则
，
则
在
上单调递增，则
，
所以当
时，
恒成立，
在
上单调递增，
又因为其为偶函数，则其在
上单调递减，
∴
等价于
，两边同时平方解得
.
故选：A.
7．（24-25 高二下·辽宁·期中）已知
为定义在
上的可导函数，且
恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数并求出导数，判断函数的单调性，进而求解不等式.
【详解】令
，求导得
，而
，
则
，函数
在
上单调递减，
不等式
，即
，
因此
，解得
，所以所求解集为
.
故选：A
8．（多选）（24-25 高二下·河北邯郸·阶段练习）函数
在下列区间单调递增
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用导数先求单调增区间即可求解.
【详解】由题意有
，由
有
或
，
所以函数
的单调增区间为
，
故选：BC.
9．（24-25 高二下·四川广元·期中）已知函数
在
上单调递增，则实
数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意可得
对于
恒成立，可得
对于
恒成立，进而求解即可.
【详解】由
，则
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
对于
恒成立，
即
对于
恒成立，
因为函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递减，则
，
所以
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
10．（24-25 高二下·四川成都·期中）若函数
恰有三个单调区间，则实
数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将问题转化为
存在两个不同的零点，利用
即可.
【详解】函数
定义域为R，
因函数
恰有三个单调区间，则函数
有两个极值点，
即
在
上存在两个不同的零点，
则判别式
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
11．（23-24 高三上·浙江·开学考试）已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
，
当
时，
在
上单调递增
当
时，
，
当
，
在
单调递减，
当
，
在
单调递增．
12．（24-25 高二下·广东·阶段练习）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）对函数
求导
，分类讨论当
，
，
，
四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性.
【详解】（1）当
时，
，
，则切点坐标为
．
又因为
，
，
所以
在
处的切线方程为
．
（2）由函数
求导可得
．
定义域为
，
则①当
时，由
得
，
当
或
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
单调递增，在
上单调递减；
②当
时，
，
在
上单调递增；
③当
时，由
得
，
当
或
时，
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，在
单调递增，在
单调递减；
④当
时，由
得
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当
时，
在
递增，
上递减，
递增；
当
时，
在
上递增；
当
时，
在
递增，
递减，
递增；
当
时，
在
递减，
递增．
13．（24-25 高二上·河南许昌·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若
，试讨论
的单调性．
【答案】(1)
(2)当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
；当
时，函数
的单调递增区间
为
，单调递减区间为
．
【分析】（1）根据在点
处的切线方程为
即可求解；
（2）由题意有
，根据
的范围分类讨论即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
，
，所以切点为
，
切线方程
即
．
（2）
的定义域为
，
，
当
时，由
可得
或
；由
可得
，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，
恒成立，
函数
的单调递增区间为
；
当
时，由
可得
或
；由
可得
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
B 相遇高考
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令
,讨论导数的符号即可;
（2）构造
,计算
的最大值,然后与0 比较大小,得出
的分界点,再对
讨论即可.
【详解】（1）
令
,则
则
当
当
,即
.
当
,即
.
所以
在
上单调递增,在
上单调递减
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）因为
，定义域为
，所以
，
当
时，由于
，则
，故
恒成立，
所以
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增；
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和
切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即
在区间
上恒成立，整理变形可得
在区间
上恒成立，然后分类讨论
三种情况即可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
据此可得
，
所以函数在
处的切线方程为
，即
.
（2）由函数的解析式可得
，
满足题意时
在区间
上恒成立.
令
，则
，
令
，原问题等价于
在区间
上恒成立，
则
，
当
时，由于
，故
，
在区间
上单调递减，
此时
，不合题意;
令
，则
，
当
，
时，由于
，所以
在区间
上单调递增，
即
在区间
上单调递增，
所以
，
在区间
上单调递增，
，满足题意.
当
时，由
可得
，
当
时，
在区间
上单调递减，即
单调递减，
注意到
，故当
时，
，
单调递减，
由于
，故当
时，
，不合题意.
综上可知：实数
得取值范围是
.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成
基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求
导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间
上单调，实际上就是在该区间上
(或
)恒成立．
②函数在区间
上存在单调区间，实际上就是
(或
)在该区间上存在解
集．
C 素养提升
1．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，借助导数研究
在
上的单调性，利用单调
性得到
，
，将
变形，利用函数
在
上单调性得到
，即可得
解.
【详解】因为
，所以令
，
.
令
，解得
.
所以当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
因为
，所以
，即
；
因为
，所以
，即
.
而
和
，则
综上可知，
.
故选：D
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，由导数得出单调性即可得出
，构造
，由导数得出单调性，即可得出
．
【详解】构造函数
，
当
时，
，故
在
上单调递增，
所以
，
构造函数
，
则
，
当
在
单调递增，
所以
，即
，
所以
.
故选：B．
3．（24-25 高二下·江苏扬州·期中）已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)求
的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出导数，再根据
得出方程的根，根据
的范围讨论即可求出函数单调区
间；
【详解】（1）由
，所以
，
所以
，又
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，
即
；
（2）由
，定义域为
，
当
时，令
得
或
，
（i）
时，
，
，令
，得
，
令
，得
或
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
，
；
(ii)
时，
，所以
在
上单调递减；
（iii）当
时，即
，
，
令
，得
，
令
，得
或
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
，
；
当
时，令
，得
；令
，得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
综上所述，
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
，
；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
，
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
.
4．（24-25 高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由题意
，故
，
当
时，
，此时函数
在
上单调递增；
当
时，令
，得
，
此时函数
在
和
上
故
单调递增，
在
上
故
单调递减；
当
时，此时函数
在
上单调递减，在
上单调递
增；
