文档文本内容
第14 讲：第三章 一元函数的导数及其应用 章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：求切线问题
1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数
，过点
作曲线
的切线，则此切线的方程为 ．
【答案】
或
【分析】分点P 为切点和点P 不为切点两种情况讨论，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】因为
，
当点P 为切点时，则切线的斜率为
，
所以所求切线方程为
，即
；
当P 点不为切点时，设切点坐标为
，
切线的斜率为
，
则切线方程为
，
因为切线过点
，且
，
所以
，
整理，得
，解得
或1（舍去），
则
，
所以切点坐标为
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
，
所以所求切线的方程为或
或
．
故答案为：
或
．
2．（2025·山东泰安·模拟预测）函数
在
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求出在一点的切线方程.
【详解】
，当
时，切线的斜率
，
，
所以切线方程为
，即
.
故答案为：
.
3．（2025·海南三亚·一模）曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，求得
，得到
，结合导数的几何意
义，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
所以
，即切线的斜率为
，切点坐标为
，
所以切线的方程为
，即
.
故答案为：
.
4．（2025·山东泰安·模拟预测）曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围成的三角
形的面积为 .
【答案】
/0.25
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程，进而得出截距求出面积即
可.
【详解】对函数
求导得
，故所求切线斜率为
，切点坐标为
，
所以，曲线
在
处的切线方程为
，
该切线交
轴于点
，交
轴于点
，
因此，曲线
在
处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
.
故答案为：
.
5．（24-25 高二下·福建漳州·期中）已知函数
在
及
处取得
极值．
(1)求a，b 的值；
(2)求函数
在
处的切线方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极值点以及根与系数求得
.
（2）利用切点和斜率即可求得切线方程.
【详解】（1）依题意，
在
及
处取得极值，
而
的两根为
，
，
所以
，
，
，
，
此时
，
所以
在区间
上
，
单调递增，
在区间
上
，
单调递减，
所以
及
是极值点，符合题意.
所以
.
（2）由（1）得
，
，
，
，则切线方程为
，
化简得，函数
在
处的切线方程为
.
题型二：公切线问题
1．（24-25 高二下·云南·期中）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
【答案】
【分析】先求出曲线
在
的切线方程，再设曲线
的切点求出
，利用公切线斜率相等求出
表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解
【详解】由
，得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
，得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
故切线方程为
，即
因两切线重合，则
，解得
．
故答案为：
．
2．（2025·河北·模拟预测）若函数
与
的图象有两条公切
线，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题设公切线分别切
，
于点
，由题可得
，据此可将问题化简为
有两
解，据此可得答案.
【详解】设公切线分别切
，
于点
.
则有以下关系式：
①，
②
由①得：
代入②式变形得：
，又
.
令
，原命题化为：
有两解.
，令
，
则
，
为
上的减函数.
又注意到
，则在区间
上，
，
在区间
上递增，
结合
，
，则此时
值域为
；
在区间
上，
，
在区间
上递减，
结合
，则此时
值域为
.
则当
时，存在
，使
.
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
3．（24-25 高二下·广东·期中）若曲线
与曲线
有三条公切线，则
的
取值范围是 .
【答案】
【分析】设公切线为，
、
分别是与
、
的切点，应
用导数的几何意义求切线方程，根据公切线列方程求得
，问题化为直线
与曲线
有三个不同的交点，再应用导数研究交点求参数范围.
【详解】设公切线为，
是与
的切点，由
，得
，
是与
的切点，由
，得
，
所以的方程为
，因为
，整理得
，
同理
，因为
，整理得
.
依题意两条直线重合，可得
，
两式相除得
，所以
，代入①得
，
由题意此方程有三个不等实根，设
，
，
即直线
与曲线
有三个不同的交点，
因为
，令
，则
或
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
有极小值为
，
有极大值为
，
当
趋近于0 时，
趋近于0；当
趋近于
时，
趋近于
，
所以当
，即
时，直线
与曲线
有三个交点，
故答案为：
4．（2025·福建福州·三模）曲线
与
的一条公切线的方程为 .
（只需写出其中一条公切线的方程）
【答案】
或
（写出其中一条即可）
【分析】方法一：分别设切点
，
，根据导数的几何意义写出对应切线
方程，再利用公切线斜率和截距相等形成方程组，解出方程组即可求出公切线方程；
方法二：利用特殊法，发现指对函数中的一条常用斜率为1 的切线，再验证是他们的公切
线即可.
【详解】（方法一）设
，
.公切线与
相切于点
，
与
相切于点
，因为
，
，则公切线斜率
，所以
公切线方程为
或
，
整理得
或
，
所以
，即
.
所以
，解得
或
，
所以公切线方程为
或
.
（方法二）由曲线
与直线
相切知，曲线
与直线
相切.由曲线
与直线
相切知，曲线
与直线
相切.所以直线
为曲线
与
的公切线.
故答案为：
或
.（写出其中一条即可）
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
，则与曲线
，
都相切的直线的方程是 ．
【答案】
【分析】由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为
，直线与
，
的切点分别为
，
，由导数的几何意义分别求得两
点处的切线方程，由两切线斜率及截距相等列出方程组求解即可．
【详解】由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为
，直线与
，
的切点分别为
，
，
，
，
，
，
对于
，切线方程为
，
对于
，切线方程为
，
所以
，解得
，
所以直线的方程为
，
故答案为：
．
题型三：切线条数问题
1．（24-25 高二下·湖北·阶段练习）从点
可向曲线
引三条不同切线，则a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的
斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零
点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围.
【详解】设曲线在点
处的线线过点
，
由
，求导得
，所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，
因为从点
可向曲线
引三条不同切线，
所以
有三个不同的解，即
有三个不同的解，
设
，该函数有三个不同零点，求导得
，
令
，则
或
，
当
或
，
，当
，
，
所以：函数
在
区间单调递减，在
和
区间上单调递增，
所以函数在
和
处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点，
则
，即
，解得
.
故选：B.
2．（24-25 高二下·山东青岛·期中）过点
作曲线
的切线，不同的切线条数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】设切点坐标，由斜率构造等式求解即可.
【详解】由题意设切点坐标
，
，
切线斜率：
，
，
化简可得：
，
解得：
或
，
所以满足条件的切点有两个，对应切线有2 条，
故选：C
3．（2025·全国·一模）函数
过原点的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为
，利用导数的意义得到切线方
程，再对解的情况进行讨论可得.
【详解】
，
，
设切点为
，切线方程为
，
将原点代入切线方程可得
，
所以
，
化简可得
，解得
或
，
当
时，
，
，切线方程为
；
当
时，解得
，当
为偶数时，
对应的切线
方程为
；当
为奇数时，
对应的切线方程为
；
所以共有3 条不同的切线.
故选：C
4．（24-25 高二下·山西·期中）已知函数
，过点
可向曲线
引3
条切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入
转化为三次方程有三个不同实
数根问题，构造函数
求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计
算.
【详解】设切点为
，
由
可得
，所以切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
由点
在切线上代入可得
，
即三次方程
有三个不同的实数根，
令
，则
，
所以极值点为
和
，
又极值点处函数值为
，
三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号，
所以
，解得
.
故选：B
5．（24-25 高三下·上海青浦·阶段练习）若直线
上点P 可以作曲线
的两条切线，
则点P 横坐标的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出过点
的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线
与曲线
有两个交点,借助导数研究单调性和最值，结合图像可解.
【详解】曲线
即曲线
，
在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
设点
，则
，即
.
令
，则
，
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以
．
由题意知，直线
与曲线
有两个交点，则
，
当
时，
且当t 无穷靠近0,
无穷接近0，
当
时，
恒成立，
大致图象如下：
故
.
故答案为：
.
题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）
1．（24-25 高二下·云南昭通·期中）若函数
在区间
上是减函
数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
在
上恒成立，即
在
恒成立，据此
可得答案.
【详解】因为
，
而
时，函数
单调递减，所以
在
恒成立，
即
恒成立，因为
，所以
，
即
在
恒成立，
因为
在
上单调递增，
则
，所以
.
故选：A．
2．（24-25 高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
对于
恒成立，可得
对于
恒成立，进而求解即可.
【详解】由
，则
，
因为函数
在
上单调递减，
所以
对于
恒成立，
即
对于
恒成立，
而
，则
，即
，
则实数a 的取值范围为
.
故选：D.
3．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数
在
上单调递增，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
在
上恒成立，即
，令
，求出
即可得出答案.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
所以
，因为
在
上单调递增，
所以
，所以
.
故选：B.
4．（24-25 高二下·山东淄博·期中）已知函数
在其定义域内的一个子区
间
内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得
，进而解不等式即可.
【详解】由题知函数的定义域为
，
，
所以，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
因为函数
在区间
上不单调，
所以，
，解得
，
所以，实数
的取值范围是
.
故选：D．
5．（2025·四川眉山·模拟预测）函数
在区间
上单调递
减的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数求出函数
在区间
上单调递减的等价
条件为
，再根据包含关系判断即可.
【详解】函数
，
求导得
，
函数
在区间
上单调递减，
等价于
在区间
上恒成立，
则
，等价于
，
与
，
与
，
与
不具有包含关系，
所以
，
，
不是函数
在区间
上单调递减的必要不充分条件，
因为
是
的真子集，所以
是函数
在
区间
上单调递减的必要不充分条件，
故选：A.
6．（24-25 高二下·四川广安·阶段练习）若函数
在
上单调递增，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
在
上恒成立，即
，令
，求出
即可得出答案.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
所以
，因为
在
上单调递增，
所以
，所以
.
故选：B.
7．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
，都有
成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得
在
上单调递增，令
，则
对
恒成立，求解即可.
【详解】因为
，都有
成立，
不妨设
，则有
，所以
，
所以可得
在
上单调递增，
又
，所以
，
所以
对
恒成立，所以
对
恒成立，
又对
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
8．（24-25 高二下·上海黄浦·阶段练习）若函数
存在单调递减区间 ，
则实数
的取值范围是 ．
【答案】
或
【分析】由题意转化为导数小于0 有解，利用判别式求解即可.
【详解】求导可得
，
由题意，
有解，
所以只需
，解得
或
，
故实数
的取值范围是
或
.
故答案为：
或
.
9．（24-25 高二下·天津·期中）已知函数
在
上不单调，则t 的取值范围
是 .
【答案】
【分析】求导，利用导数判断
的单调性，利用函数
在
上不单调，建立不
等式，即可求得的范围.
【详解】由题意可知：
的定义域为
，且
，
令
，解得
或
；令
，解得
；
可知
在
，
上单调递增，
上单调递减，
若
在
上不单调，
则
或
，解得
或
，
即实数的取值范围是
.
故答案为：
．
10．（24-25 高二下·天津滨海新·期中）若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围是
【答案】
【分析】先对函数求导，根据函数单调性与导数的关系，结合函数在
上不单调这一条
件，确定
的取值范围.
【详解】已知
，其定义域为
.
对
求导可得：
.
令
，即
，因为
，所以
，则
，解得
.
当
时，
，
，
，所以
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，
，
，所以
，函数
在
上单调递增.
因为函数
在
上不单调，所以
.
故实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型五：借助单调性构造函数解不等式
1．（24-25 高二下·山东日照·阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性比较大小.
【详解】令函数
，求导得
，函数
在
上单调递
增，
因此
，即
，则
，
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递
减，
因此
，即
，则
，
所以
.
故选：B
2．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）已知
，
，
，则
、
、的大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用余弦函数的单调性可得
，构造函数
，由函数
单调性可得
，即可得出大小关系.
【详解】因为余弦函数
在
上单调递减，且
，
所以
；
因为
，
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
.
故选：D．
3．（2025·重庆·三模）设
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，求导分析单调性，再结合
和对数的
性质比较可得.
【详解】令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，
又
，即
，可得
，
，所以
，
综上
.
故选：B.
4．（24-25 高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数
的定义域为R，其导函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，求导确定单调性，即可求解.
【详解】构造函数
，
R，
则
，所以函数
为R 上的减函数，
则
，即
，所以
，A 错误，B 正确；
因为
，所以
，即
，
所以
，C 错误，
因为
，可得：
，
所以
，D 错误．
故选：B.
5．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）函数
及其导函数
的定义域均为
．若
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，求导确定
在R 上单调递减，不等式
等价于
，即
，运算得解.
【详解】令
，则
，
，
，即
在R 上单调递减，
又
，则不等式
等价于
，
，即
，
，解得
.
所以不等式
的解集为
.
故选：C.
6．（24-25 高二下·浙江宁波·开学考试）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，且
,则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，对
求导，结合条件，得到
在
上单调递减，再对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】令
，则
，
又
，
，所以
，即
在
上单调递减，
对于选项A，因为
，所以
，故选项A 错误，
对于选项B，因为
，所以
，故选项B 正确，
对于选项C，因为
，所以
，故选项C 错误，
对于选项D，
，所以
，故选项D 错误，
故选：B.
7．（多选）（2025·安徽黄山·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且
图象连续
不间断，函数
的导函数为
．当
时，
，其中
为自然对数的底数，则（ ）
A．
在
上有且只有1 个零点
B．
在区间
上单调递增
C．
D．
【答案】ACD
【分析】构造
，根据已知及奇偶性定义、导数研究函数的性质得到
在R 上单调递减，且
时
，
时
，
，进而判断
各项的正误.
【详解】令
，而
是定义在
上的奇函数，则
，
，即
在R 上也是奇函数，
而
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，结合奇函数性质知：
在R 上单调递减，
综上，
时
，
时
，
，故
，
显然
时
，故
时
，
时
，
所以
在
上有且只有1 个零点，
，
，A、C、D 对；
由
，显然
在
上单调递增，且
，
在
上单调递减，在
上单调递增，且周期为
，
，
所以
在
上不一定单调，B 错.
故选：ACD
8．（24-25 高二下·江苏南京·开学考试）已知定义在
的函数
满足
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】令函数
，求导函数并根据函数符号与单调性的关系判断得出
的
单调性，再利用单调性解不等式可得结论.
【详解】构造函数
，则
，
又
，
，可得
，
因此
在
上单调递增，
原不等式可化为
，即
，
可得
，因此
，
解得
.
故答案为：
.
题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）
1．（24-25 高二下·云南·期中）已知函数
；
(1)当
时，求证
恒成立．
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，判断函数单调性，根据函数单调性判断最值，即可得证；
（2）求导，分情况讨论导函数的正负情况，进而可得函数单调性.
【详解】（1）由已知当
时，
，
则
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
；
（2）由
，
则
，
当
时，
恒成立，令
，解得
，
且当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，令
，解得
，
，
①当
时，
，且当
时，
，当
时，
，
即函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，
，即
恒成立，函数
在
上单调递增；
③当
时，
，且当
时，
，当
时，
，
即函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述，当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递
减；当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数
k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′
(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，讨论函数
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程；
（2）求导，令
，求得两根，对两根的大小分类讨论可得函数的单调性.
【详解】（1）
，所以切点为
又
，所以切线方程为
（2）
定义域为
令
，解得
或
，
①当
，即
时，在
单调递减，在
上单调递增，
②当
，即
时，
在
单调递减，
③当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
3．（2025 高二·全国·专题练习）已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设函数
，讨论
在区间
上的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）求导，分
，
两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间.
【详解】（1）当
时，
，
则
，所以
，
，
所以切线方程为；
，即
.
（2）由
，
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，令
.
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
4．（24-25 高二下·河北保定·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出
，
，代入直线的点斜式方程可得答案；
（2）分
、
、
讨论，利用导数判断可得答案.
【详解】（1）当
时
，则
，
，
所以
，则切点为
，切线的斜率
，所以切线方程为
；
（2）函数
的定义域为
，又
，
当
时，则当
时
，当
或
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
；
当
时
（当且仅当
时取等号），
所以
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，则当
时
，当
或
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
；
综上可得：
当
时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
；
当
时
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
.
5．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
.
(1)已知
在
取得极值，求a 的值，
(2)当
时，讨论
的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出导函数，利用
可得答案；
（2）求出导函数，分
，
，
三种情况讨论，分别判断导函数符号，
即可得到函数的单调性.
【详解】（1）因为
，
所以
，
因为
在
取得极值，
所以
，
经检验符合题意；
（2）由题意可知
的定义域为
，
.
由
可得
或
，
当
时，
,故
在
上单调递减.
当
时，
，故令
，解集为
，
令
，解集为
，
因此
的递增区间为
，递减区间为
，
.
当
时，
，令
，解集为
，
令
，解集为
，
因此
的递增区间为
，递减区间为
，
.
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
，
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
，
.
6．（24-25 高二下·广东·期中）已知函数
．
(1)若
，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）求导得
，分
两种情况讨论导函数的符号，可得出
原函数的单调性．
【详解】（1）若
，则
，则
，
，
，
所以
在点
处的切线方程为
．
（2）
，
①当
，令
，解得
，令
，解得
，
在
单调递增，在
单调递减；
②当
，令
，解得
，
，
当
时，令
，解得
或
，令
，解得
，
在
，
单调递增，在
单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，令
，解得
或
，令
，解得
，
在
，
单调递增，在
单调递减，
综上，当
时，
在
单调递增，在
单调递减；
当
时，
在
，
单调递增，在
单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
单调递增.在
单调递减．
7．（24-25 高二下·河北·期中）已知函数
，其导函数为
．
(1)设
．
①求
的值；
②求
在
上的最大值．
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)①
；②-7
(2)答案见解析
【分析】（1）①由题意先求导，由
即可求解；②利用导数研究函数单调性，即
可求最大值；
（2）先求导得
，对于
的取值情况分类讨论即可求解.
【详解】（1）①由题意得
，
则
，解得
．
②由①得
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，也就是最大值，最大值为
．
（2）由题意有
的定义域为
，
．
当
时，
，由
，得
，由
，得
，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，由
，得
，由
，得
或
，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
题型七：利用导数研究函数的极值
1．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数
的极小值点是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数
求导，确定导函数零点，分析函数单调性确定极值点即可.
【详解】由
，
则
令
，解得
或
或
，
所以
时，
，函数
单调递增，
时，
，函数
单调递增，
时，
，函数
单调递减，
时，
，函数
单调递增，
故函数
的极小值点是
.
故选：D.
2．（24-25 高二下·河南新乡·阶段练习）若
是函数
的极小值点，则实数
（ ）
A．6
B．3
C．2
D．4
【答案】B
【分析】求出函数
的导数，由题意得出
，求出实数
的值，并验证为函数
的极小值点，得解.
【详解】易得
，则
，解得
．
当
时，
，
所以当
和
时，
，
当
时，
，故
是
的极小值点，符合题意．
所以
.
故选：B.
3．（24-25 高二下·福建漳州·期中）函数
在
处有极小值5，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或3
【答案】A
【分析】根据极值点的导数为0 和极值点处的函数值条件求出
的值，再进行验证即可
求解.
【详解】
，由题意得
，
即
，解得
或
，
当
时，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
时，
取得极小值，符合题意；
当
时，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，，
所以
时，
取得极大值，不符合题意；
所以
，
.
故选：
.
4．（24-25 高二下·天津西青·阶段练习）函数
在
时有极值10，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】由取得极值的必要条件得
或
，再由取极值的充分条件检
验即可.
【详解】由题意
，
因为函数
在
时有极值10，
所以
，消去
可得
，解得
或
，
当
时，
，
，此时
在
上单调递增，不存
在极值，不符合题意；
当
时，
，
，
或
，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极小值
，
故
满足题意.
故选：B.
5．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数
在
处的切线与直线
垂
直，则
的极小值为 ．
【答案】
【分析】求出函数
的导数，利用导数的几何意义求出
，再求出极小值.
【详解】函数
，求导得
，依题意，
，解得
，
令
，解得
，则当
时，
；当
时，
，
所以
的极小值为
.
故答案为：
6．（24-25 高二下·江苏·阶段练习）若函数
在
上有极值，则实数
的
取值范围是
【答案】
【分析】根据题意函数在区间上有极值等价于
在该区间上有解，通过分析方程解
的存在条件，即可确定参数
的取值范围.
【详解】因为
，
，
函数
在
上有极值，则
在
有解，即
.
时，
，则
，则
.
时，
，
，不能说明函数在
上有极值，所以
；
时，
，
，不能说明函数在
上有极值，所以
.
故答案为：
.
7．（24-25 高二下·广东揭阳·阶段练习）已知函数
，若2 是
的
极小值点，则
.
【答案】3
【分析】根据函数极值点的导函数值为0，列出方程求参数值，再验证在此处为极小值点
即可.
【详解】由2 是
的极小值点可知
，
由
，得
，
因为
，则
，解得
，
当
时，
，
，
可知
在
上单调递减，在
上单调递增，所以2 是
的极小值点，
故答案为：3.
8．（24-25 高二下·河北衡水·期末）已知函数
．
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的单调区间；
(3)求
的极大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由函数求导，利用导数的几何意义，求得斜率与切点坐标，根据点斜式方
程，可得答案；
（2）由函数求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论，结合二次函数性质，可
得答案；
（3）由函数求导，利用极大值的判定条件，根据分类讨论，结合二次函数性质，可得答案
【详解】（1）由
，则
，求导可得
，
所以函数
在
处的切线斜率
，
，
故切线方程为
，化简可得
.
（2）由
，求导可得
，
化简可得
，
当
时，
，令
得
，
由
得
，由
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，令
得
，由
得
，由
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上可得
当
时，函数
的单调增区间为
，单调递减区间为
.
（3）由（2）可知当
时，
无极大值；
当
时，由导数
，则令
得
或
，
当
时，即
，
由
得
或
，由
得
，
所以函数
的极大值为
；
当
时，即
，则
，函数
在
上单调递减，无极大值；
当
时，即
，
由
得
或
，由
得
，
所以函数
的极大值为
；
综上所述，当
或
时，函数
无极大值；
当
时，函数
的极大值为
；
当
时，函数
的极大值为
.
9．（2025·广东佛山·三模）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线经过坐标原点，求
的值；
(2)若
存在两个极值点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）解法1：根据题意分离常数得
与
的图象有2 个交点，利用导数作出
的图象，数形结合求解即可；解法2：半分离可得
与
的图象
有两个交点，根据
，结合图象求解即可.
【详解】（1）由题意可得
，则
因为切线经过坐标原点，所以
，所以
；
（2）解法1：令
，因为
存在2 个极值点，所以方程
有2
个变号零点，
即
与
的图象有2 个交点
令
令
，求得
当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增，
又因为当
时，
，且
，当
时，
，作出图象如下：
结合图象，方程
有2 个变号零点的条件是
即
存在2 个极值点的条件是
解法2（半分离）：令
，因为
存在2 个极值点，
所以方程
有2 个变号零点，即
与
的图象有两个交点，
先分析两个函数图象相切的情况，设
是函数
的切点，有
，所以
作出图象如下：
由图象可知，要使得有两个交点，
，即
.
10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有极小值，且极小值大于
，求
的取值范围．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域，对函数进行求导，分
和
来讨论单调性；
（2）由（1）求出函数的极小值，列出不等式，将不等式转化为
，令
，研究函数的单调性来求解即可．
【详解】（1）
的定义域为
．
①
时，
，此时
在
上单调递减；
②
时，令
得
，令
得
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由（1）知
时，
，整理得
．
令
，则
，当且仅当
即
时取等号，
故
在
上单调递增，又
，所以
的取值范围为
．
题型八：利用导数研究函数的最值
1．（24-25 高二下·河南·期末）设函数
，若
恒成
立，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先对函数求导，然后讨论
三种不同情况下满足要求的
的最
小值，根据判断函数的单调性确定最大值即可确定
之间的关系，进而构造新函数判断
单调性即可求得最小值.
【详解】因为
，所以
.
对函数求导得：
.
①当
时，
，此时
，那么函数
在
上单调递减.
要使得
，则
并不恒成立，所以
.
②当
时，令
，则
，即
.
所以此时函数在
上单调递增；
令
，则
，即
.
所以此时函数在
上单调递减；
此时函数在
上取得最大值为
.
要使得
恒成立，则
，即
，
此时
.
令
，求导得
，
因为
，所以当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减，
此时
，所以
的最小值为
.
③当
时，因为
，则
，
所以
，所以此时函数在
上单调递减.此时函数无最大值，
那么
并不恒成立.
综上所述，只有当
时，
恒成立，此时
的最小值为
.
故答案为：
.
2．（24-25 高三上·福建漳州·期中）已知曲线C：
(1)若曲线C 过点
，求曲线C 在点P 处的切线方程；
(2)当
时，求
在
上的值域；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；
（2）由导数的正负确定单调性进而即得；
【详解】（1）依题意得，
，此时
，
，
则切线斜率为
，
故切线方程：
，即
；
（2）当
时，
，则
，
∴
，
∴
在
上单调递减，
又
，
，
故
值域为
．
3．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）已知
是函数
的极
值点.
(1)求
满足的等量关系式；
(2)若
，求
在
上最值.
【答案】(1)
，且
(2)
，
【分析】（1）求导数
，由
是
的极值点，可知
，即
，令
，解得两根，再根据
与3 的大小关系，讨论两根的关系，进而验证
是
的极值点是否成立，进一步明确对
的限制；
（2）当
时，得到
的解析式，求导数
，令
，解得两根，再列表，
判断
在各区间的单调性，计算出极值和端点值，即可求出
在
上最值.
【详解】（1）
.
因为
是
的极值点，
所以
，即
，即
，
所以
，
令
，解得
或
，
①当
时，
，
所以
在
和
上单调递减，在
单调递增，
所以当
时，
取得极小值，符合题意；
②当
时，
恒成立，所以
在
上单调递减，
此时
无极值，不符合题意；
③当
时，
，
所以
在
和
上单调递减，在
单调递增，
所以当
时，
取得极大值，符合题意.
综上，所以
，且
；
（2）因为
，所以当
时，
，
，
.
令
，解得
或
，
0
1
2
0
0
0
-2
所以
，
.
4．（24-25 高二下·陕西咸阳·期中）已知函数
(1)若函数
在区间
上单调递增，求
的取值范围.
(2)若函数
在
时取得极值
①求函数
的单调区间；
②求函数
在区间
上的最小值.
【答案】(1)
.
(2)①函数
的递增区间是
，递减区间是
;
②函数
在区间
上的最小值是
【分析】（1）由题意可得
在
恒成立，分离参数则
，令
，求出
在
的最小值即可得出答案.
（2）①先求导，由
可求出
的值，进而确定导数，由导数正负即可得解.
②由①可知函数单调性，根据单调性求出端点值和极小值，进行比较即可得解.
【详解】（1）函数
在区间
上单调递增，
所以
在
恒成立，则
在
恒成立，
所以
在
恒成立，
令
当
时，
，所以
.
故
的取值范围为：
.
（2）①由题得
，且
定义域为
.
由函数
在
时取得极值，得
，解得
，
此时
，显然
是
的变号零点，即
是极值点，
因此
，
所以当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
的递增区间是
，递减区间是
.
②由①知，函数
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
所以函数
在区间
上的最小值是
.
5．（24-25 高二下·广东中山·阶段练习）已知函数
（
），曲线
在
处与直线
相切
(1)求a，b 的值
(2)求
在
上的最大值和最小值（其中
为自然对数的底数）
【答案】(1)
(2)最小值
，最大值
【分析】(1)根据曲线在某点处的切线性质求出
的值；
(2)通过求导判断函数单调性，进而求出函数在给定区间上的最值.
【详解】（1）已知曲线
在
处与直线
相切，则
且
.
，解得
，代入
得
因
，故
.
（2）由(1)得
，求导
.
令
，得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
最小值：
.
端点值：
，
比较得
，故最大值为
6．（2025·福建·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的极值点；
(2)若函数
在区间
上的最小值为0，求实数
的值.
【答案】(1)极小值点为
，无极大值点
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极
值点；
（2）分
、
、
三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小
值，即可得解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
又
，
所以当
时
，当
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
所以
为
的极小值点，无极大值点.
（2）当
，即
时，
在
上单调递增，
所以在
处取得最小值，
，不符合题意；
当
，即
，此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
；
当
，即
，此时
在
上单调递减，
所以
，不符合题意；
综上可得
.
7．（24-25 高二下·河南·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
存在最小值，且最小值不小于
，求
的值．
【答案】(1)1
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义；
（2）求出函数的定义域与导函数，再分
、
两种情况讨论，分别求出函数的单调
区间；
（3）结合（2）中的结论，先得到
，进一步构造函数根据
函数最值，即可解题
【详解】（1）因为当
时，
，
所以
.
（2）因为
定义域为
，
，
因为当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增
当
时，由
得
，由
得
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上可得当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）由（2）知，当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增，无最小
值；
当
时，当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
又
，
因为最小值不小于
，所以
，所以
，
令
，
所以
，
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
所以
所以满足
的
，即得
.
8．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在
有最小值4，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求导，再利用导数的几何意义，求出切线的斜率，最后写出直线的点斜式
方程，化简即可；
（2）分
，
和
，讨论
的单调性，即可求出
在
上的最小
值，解方程即可得出答案.
【详解】（1）当
时，
，
，
故曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）
，
①当
时，
，因为
，所以
，此时
在
无最小值；
②当
时，
（i）若
，则在
上，
，
所以
在
上单调递增，无最小值．
（ii）若
，则
时，有
在
上单调递减，
时，有
在
上单调递增，
故
在
上的最小值为
，
即
，整理得
，解得
或
（舍去）．
综上，得
．
题型九：利用导数解决恒成立问题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即可得解；
（2）设
，利用二次求导，可求出函数的最大
值，即可得解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
由
，
所以切线斜率
，
故切线方程为
.
（2）设
，
的定义域为
，
，
设
，
则
，
故
在
单调递减，即
在
单调递减，
又
，
故当
时，
，
在
单调递增，
当
时，
，
在
单调递减，
因此
，
所以
的取值范围是
.
2．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)若
时，都有
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)1；
(2)
.
【分析】（1）利用导数分析单调性可得最小值；
（2）当
时，代入可得
；当
时，分离参数，构造
，求导分析
单调性和最值可得解.
【详解】（1）当
时，函数的解析式为
，则
，
时
恒成立，函数
在
上单调递增；
时
，则函数
在区间
上单调递减，
∴函数的最小值为：
．
（2）当
时，
成立，此时
；
当
时，由
，得
．
令
，则
．
当
时，
，函数
单调递减；当
时，
，函数
单调
递增．
所以
．因此
，即
．
综上，实数
的取值范围是
.
3．（24-25 高二下·福建漳州·期中）已知函数
在
处取
得极值，其图象在点
处的切线与直线
平行．
(1)求
的值；
(2)若对任意
，都有
恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得
，求出
，并检验；
（2）原不等式等价于
，对
恒立，令
，利
用导数可求该函数的最大值后可得的取值范围.
【详解】（1）因为
，
由题意可得
，即
，解得
，
所以
，
故当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，符合题意，
所以
，
.
（2）由
，即
，则
，对任意
，
令
，则
，
当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，故
，
所以
，解得
或
.
所以的取值范围为
.
4．（2025·海南·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
与
在
处相交，且曲线
在
处的切线与直线
平行，求
的值；
(2)若
，对于任意
，都有
，求实数
的取值范
围；
(3)若
，不等式
恒成立，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由曲线
与
在
处相交，求出
．再由曲线
在
处的切
线与直线
平行求出
；
（2）令
，利用
分
、
讨论，利用导数可得答
案；
（3）设
，求出
，分
、
讨论，利用导数可得答案．
【详解】（1）函数
的定义域为
，由曲线
与
在
处相交，
所以
，所以
．
所以
，则
，
因为曲线
在
处的切线与直线
平行，
所以
，即
，所以
；
（2）当
时，对任意
，
不等式
，
当
时，令
，求导得
，
函数
在
上递增，
，因此
，
当
时，
，即
恒成立，则
；
当
时，
，由
，得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
，不符合题意，所以实数
的取值范围是
；
（3）依题知，
，不等式
恒成立，
即
恒成立，
设
，
则
当
时，
恒成立，故
在
上单调递增，
因为
，所以不符合题意；
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
恒成立，
整理得
．
设
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增,
又
，且
，
故
的最大值为
．
5．（24-25 高一下·浙江衢州·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合对数的运算法则求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可求解；
（2）结合复合函数的单调性求出
的单调性，利用单调性求出最值，结合恒成立问题
即可求解.
【详解】（1）由
，得
，所以
的定义域为
，
，
令
，则在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
为减函数，
所以
的单调递增区间为
．
（2）由题意得当
，
，
当
时，由（1）得
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，不符合题意，
当
时，
为增函数，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
所以
，
即
，解得
，综上所述，
．
题型十：利用导数解决有解问题
1．（24-25 高二下·上海·期末）已知函数
.
(1)求
的导函数
；
(2)求
在
上的单调区间；
(3)存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
；
(2)减区间
，增区间
；
(3)
.
【分析】（1）利用商的导数法则求导即可；
（2）利用导数的正负判断单调性即可；
（3）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即
可.
【详解】（1）求导得：
（2）当
时，
，当
时，
，
所以
的减区间是
，增区间是
；
（3）由
，可得
，
题意等价于
在
上有解.
设
，求导得
，
当
时，
递增，
，
所以存在
，即
，使得
成立；
当
时，
时，
在
在递增，
时，
在
递减，
所以
，
由
得
，
所以存在
，即
，使得
成立，
综上，
.
2．（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数
为偶函数，其中e 是自
然对数的底数.
(1)求m 的值及
最小值；
(2)关于x 的不等式
在
上恒成立，求实数b 取值范围；
(3)存在
，使得
成立，其中
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）由偶函数的性质，建立方程，利用基本不等式，可得答案；
（2）根据指数函数的值域以及换元法，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案；
（3）利用函数单调性的定义，可得函数的最值，由题意建立不等式，可得答案.
【详解】（1）由函数
为偶函数，则
，即
，解得
，
由
，当且仅当
时，等号成立，则函数
的最小值为
.
（2）由
，则不等式为
，
由
，则不等式整理为
，
由
，则
，令
，则不等式为
，
令
，问题等价于不等式
在
恒成立，
当
时，由
，则函数
在
上单调递增，不符合题意；
当
时，
，则函数
在
上单调递增，不符合题意；
当
时，由
，即
，函数
在
上单调递减，
令
，解得
，故
，
由
，即
，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
令
，化简可得
，解得
或
，故
，
综上所述可得
.
（3）令
，取
，设
，
由
，当且仅当
时等号成立，则
，
易知
，则函数
在
上单调递减，所以最大值为
，
易知函数
在
上单调递增，则最小值为
，
由题意可得当
时，
，解得
.
3．（2026 高三·全国·专题练习）设函数
，
．
(1)求证：当
时，
；
(2)若存在
，使得
成立，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性，进而可得函数最值，即可证明不等式；
（2）由已知可得
，求导判断函数单调性，即可得函数正弦值，进而可得参数范
围.
【详解】（1）因为当
时，
，
所以
在
上单调递减，
又
，
所以当
时，
．
（2）因为
，
所以
，
由（1）知，当
时，
，
所以
，
所以
在
上单调递减，
所以当
时，
，
因为
在
上有解，
所以
，即
，
所以
的取值范围是
．
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
(1)求出函数
在
上的最值
(2)若关于
的不等式
存在唯一的整数解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解
最值；
（2）把不等式
化为
，由
的单调性结合端点
函数值分析求解即可；
【详解】（1）因为
，
，所以
，
令
，令
，
因为函数
，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，又
，
所以方程
得解为
，
，
的变化情况如下表所示．
x
e
+
+
0
单调递
增
单调递
减
所以，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
当
时，
有极大值
，
也是
的最大值.
又因为
，
，
所以
，所以
为
的最小值.
（2）因为
，所以不等式
可化为
，
由（1）可知
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
因为
的最大值
，
，
所以
，
时，
最大，所以不等式
，
即
存在唯一的整数解只能为1，
所以
，所以
所以a 的取值范围为
.
5．（2025·河北保定·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若关于
的不等式
有实数解，求
的取值范围.
【答案】(1)
的极大值为
，无极小值
(2)
【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值；
（2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数
的取值范
围.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值.
（2）由题得
2a），
当
时，
，不符合题意；
当
时，令
，得
；
令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
由
得
，解得
；
当
时，令
，得
；令
，得
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
由
，
得
，解得
.
综上，
的取值范围为
.
题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）首先利用导数求出函数的单调性及极值，再结合函数图象求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
则
，则
，且
，
则切点
，且切线的斜率为，
故函数
在点
处的切线方程为
；
（2）令
，
，
得
，
设
，
则
，
由
解得
或
，其中
，
；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
且当
时，
； 当
时，
；
如图作出函数
的图象，
要使函数
有3 个零点，
则方程
在
内有个根，即直线
与函数
的图象有个交点.
结合图象可知，
.
故
的取值范围为
.
2．（24-25 高二下·北京·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
的在点
处的切线方程；
(2)若函数
在定义域上恰有一个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用导函数求得切线斜率为1，再利用点斜式即可求得切线方程.
（2）利用零点的定义，构造函数
，将问题转化为求直线
与函数
的
图象只有一个交点求解.
【详解】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，即
.
（2）函数
的定义域为
，由
，得
，
令
，依题意直线
与函数
的图象只有一个交点，
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上递增，函数值集合为
，在
上递减，函数值集合为
，
在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，如图，
观察图象，当且仅当
或
时，直线
与函数
的图象只有一个交点，
所以a 的取值范围是
.
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，证明：函数
在
上单调递增；
(2)若函数
有三个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）把问题转化为证明
在
上恒成立，令
，研究其单调
性，再转化为求
最小值
，判断大于零即可；
（2）利用分类讨论的思想来求解，方法一：分
和
，设
，容易判
断
时，不成立；当
时，利用导函数研究单调性结合零点存在定理来进行讨论，
求出
的最小值为
，进行分类讨论即可求解；方法二：利用导函数研究函
数的单调性，同时利用极限的思想来求解．
【详解】（1）当
时，
，则
，
要证函数
在
上单调递增，只要证明
在
上恒成立，
令
，
因为
，令
，
解得
，
由
，得
，此时函数
单调递增，
由
，得
，此时函数
单调递减，
所以当
时，
取得最小值
，
因为
，所以
恒成立，
即
在
上单调递增；
（2）方法一：令
，等价于
，
设
，
当
时，
没有零点；
当
时，
，
当
时，
，函数
单调递增，
因为
，
所以函数
在
上有一个零点；
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
的最小值为
，
若
．即
在
上没有零点；
若
，即
在
上有一个零点；
若
，即
，
因为
，当
时，
，
所以
在
上有两个零点；
综上，当
时，
有3 个零点.
方法二：当
时，
恒成立，
没有零点，故
，
当
时，
单调递增，
单调递减，
故
在
上单调递增，
且当
时，
，
故
在
上有唯一零点，
所以
在
上有三个零点等价于
在
上有两个零点，
当
时，由
，
即
，得
，
令
，则
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
故当
时，
，
且当
时，
，当
时，
，
故要使
在
上有两个零点，
则只要
即可，解得
；
综上，当
时，
有3 个零点.
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
上有零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，根据直线的点斜式方程求
解切线即可.
（2）求出导函数，按照
、
和
分类讨论研究函数的单调性，根据
在
区间
上有零点列不等式求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，
所以切线的斜率为
．又
，
所以切线方程为
，即
．
（2）
，则
，
①当
时，
，
所以
在区间
上恒成立，
在区间
上单调递增．
所以
在区间
上恒成立，即
在区间
上无零点．
②当
时，令
，
则
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，即
．
（ⅰ）
时，
，
在区间
上单调递增，
即
在区间
上恒成立，所以
在区间
上无零点．
（ⅱ）当
时，
，又
，
所以存在
，使得
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
即当
时，
取得最小值，因为
，所以
．
因为
，所以当
时，
，
此时，
在区间
上恒成立，
在区间
上无零点．
当
时，
，故存在
，使得
，
所以实数
的取值范围是
．
5．（24-25 高二下·天津滨海新·期中）已知函数
，满足
.
(1)求实数
的值；
(2)求
的单调区间和极值.
(3)方程
无实数根， 求实数
的范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求导后根据
求解即可；
（2）求导后根据导函数的正负区间，进而求得原函数的单调区间，从而得到极值即可.
（3）由（2）可得
的最小值及取值情况，依题意
与
无交点，即可求
出参数的取值范围.
【详解】（1）因为
，
所以
，又
，解得
；
（2）由（1）
定义域为
，且
为增函数.
令
可得
，
故当
时，
，即
在
单调递减；
当
时，
，即
在
单调递增.
故
在
处有极小值
，无极大值.
综上可得
单调递减区间为
，单调递增区间为
，极小值为
，无极大
值.
（3）由（2）可得
在
单调递减，在
单调递增，
在
处有极小值
，即
，
且当
时
，
因为方程
无实数根，
所以
与
无交点，
所以
，即
，所以实数
的取值范围为
.
6．（24-25 高二下·四川绵阳·期中）已知函数
.
(1)过点
作曲线
的切线，求此切线的方程；
(2)若关于
的方程
有三个不同的实根，求的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）设过点
与曲线
相切的切线的切点为
，根据导数
的几何意义可得出关于
的等式，解出
的值，可得出切点坐标，进而可得出所求切线的
方程；
（2）求得
，利用导数分析该函数的单调性与极值，根据函数
的
零点个数可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】（1）由题
，设过点
与曲线
相切的切线的切点为
，
则切线斜率
或
，
所以切点为
或
，
当切点为
时，切线斜率为
，则切线方程为
；
当切点为
时，切线斜率为
，则切线方程为
，即
.
综上，所求切线方程为
或
；
（2）令
，
，
由
得
或
；由
得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则
和
分别为
的极大值点和极小值点.
在
处取得极大值，在
处取得极小值.
又
有三个不同的实根，所以
，
解得
，所以实数的取值范围是
.
7．（2025·江西萍乡·二模）已知函数
．
(1)证明：函数
有且只有一个极值点；
(2)若关于
的方程
在区间
上恰有两个实数根，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）求导得
，利用函数单调性和零点存在性定理即可证明；
（2）求导得
，设
，再对
分
和
讨论即
可.
【详解】（1）因为
，所以
，
显然
在
上单调递增．且
．
故根据零点存在性定理知
在
上有且仅有一个零点
，且在
上，
，在
上，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，即
在
上有且只有一个极
值点
.
（2）设
，则
，记
，
当
时，
恒成立，则函数
在
上单调递增，
此时
在
上至多存在一个零点，不合题意，
当
时，函数
的对称轴为
，则函数
在
上单调递减，
（i）当
时，
恒成立，即
恒成立，
则函数
在
上单调递增，此时函数
在
上至多存在一个零点，不合题意；
（ii）当
时，
恒成立，即
恒成立，则函数
在
上
单调递减，
此时函数
在
上至多存在一个零点，不合题意；
（iii）当
时，
，
，故存在
，使得
，
即
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又由于
，
则
，若要满足题设，只需
，解得
,
又因为
，所以
取值范围是
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
第二部分：新定义题
1．（上海市进才中学和曹杨二中2024-2025 学年高二下学期5 月联考数学试卷）函数
满足：对任意
，
恒成立（或
恒成立），则称直线
是函数
在
上的支撑线．
(1)指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：①
；②
；
(2)已知直线
是函数
在其定义域上的支撑线，求实数a 的
值；
(3)直线
是函数
在
上的支撑线，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)②
(2)1
(3)
【分析】（1）由函数新定义判断可得；
（2）结合函数新定义，分参数
的范围讨论，当
时，构造函数
，求导分析单调
性得到最值可得；
（3）由函数新定义，分
和
两类情况，当
时，构造函数
利用导数分析单调性可得.
【详解】（1）因为
或
在
不能恒成立，
所以
无支撑线；
函数
恒成立，即
是
的一条支撑线．
（2）直线
是
在定义域上的支撑线，
若
，则
时，
；
时，
，不合题意，
所以
，因为直线
是
在定义域上的支撑线，所以
恒
成立．
令
，所以
，
由
；由
，
所以
在
上递增，在
上递减，
所以
的最大值为
，
设
，则
，
所以当
时，
，函数
在
上递减，
当
时，
，
在
上递增，且
，
所以
．
（3）由（2）
，所以
，故
，当且仅当
等号成立，
直线
是函数
在
上的支撑线．
①若
在
上恒成立，
所以
，
记
，
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
符合题意；
当
时，
，符合题意．
当
时，
，
在
上单调递减，
，符合题意；
当
时，
在
上单调递增，
上单调递减，
不
符；
②若
在
上恒成立，
在
上，
不符合题意，
综上，a 的范围为
．
2．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）已知
是函数
的导函数，
是
的零
点，若在
上，
恒成立，则称
是
上的“优函数”.
(1)试判断函数
是否是
上的“优函数”，请说明理由；
(2)已知函数
，
.
①证明：
只有一个零点；
②已知
是
的零点，证明：
是
上的“优函数”.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）求导，可得
的单调性，进而可得
，从而可得结论；
（2）①求导，分
，
，
三种情况讨论可证得结论；②由①知
有唯一
零点
，分
，
，
三种情况证明即可.
【详解】（1）
，令
，解得
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
有唯一零点
，
当
时，
，
所以
是
上的“优函数”；
（2）①
，
令
，解得
或
，
（i）当
时，
m
1
0
0
因为
，
，
所以
在
无零点，
当
时，
，
令
，解得
，
所以
，所以
在
上有一个零点，
所以
在
上有一个零点，
（ii）当
时，
，所以
在
单调递减，
又
，
，所以
在
上有一个零点，
（iii）当
时，
1
m
0
0
因为
，
，
令
，
，
，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，所以
在
无零点，
当
时，
，
令
，解得
，
所以
，所以
在
上有一个零点，
所以
在
上有一个零点，
综上：
在
上只有一个零点；
②由①知
有唯一零点
，
（i）当
时，
，
，
，
，令
，
所以
在
上单调递减，所以
，
所以
.
（ii）当
时，
，
，
，
，
，
所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，
（iii）当时，
，
，
，
，
，
所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，
综上，
，所以
是
上的“优函数”.
3．（24-25 高二下·上海·阶段练习）若函数
在
处取得极值，且
，
（常数
），则称
是函数
的“
相关点”．
(1)若函数
存在“
相关点”，求
的值；
(2)若函数
（常数
）存在“1 相关点”，求k 的值；
(3)设函数
的表达式为
（常数a、b、
且
），若函数
有两个不相等且均不为零的“2 相关点”，过点
存在3 条直线与曲线
相切，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义求得函数极值点
，根据
列出方程求解即可；
（2）由题意可得
，即得
，设
，
结合导数可得函数
在
上单调递增，且
，进而求解；
（3）由
，可得
，设
，
为函数
的“2 相
关点”，则
，
，进而可得
，
，
，故
，再结合导数的几何意义求解即可．
【详解】（1）函数
的对称轴为
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
为函数
的极值点，
因为函数
存在“
相关点”，
由题意可得，
，解得
．
（2）由
，则
，
由题意可得，
，即
，即
，
设
，则
，
所以函数
在
上单调递增，且
，
所以方程
存在唯一实数根1，即
，即
，
此时
，则
，
令
，即
；令
，即
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的极值点为1，所以1 是函数
的“1 相关点”，
所以
．
（3）由
，得
，即
，
设
，
为函数
的“2 相关点”，则
，
另一方面，
，所以
，
所以
且
，解得
，
，
，
故
，则
，
因为过点
存在3 条直线与曲线
相切，
设其中一个切点为
，则
，
整理得
，
设
，且函数
有三个不同的零点，
则
，
令
，则
；令
，则
或
，
所以函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，即实数
的取值范围为
．
4．（24-25 高二下·江苏·期末）已知函数
，若其定义域为
，且满足
对一切
恒成立，则称
为一个“反比函数”．
(1)设
，判断
是否为“反比函数”，并说明理由；
(2)若
，求证：函数
是“反比函数”；
(3)已知“反比函数”
满足对任意的
，都有
，且
，求证：对任意的
，关于
的方程
无解．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)证明见析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，再利用定义直接判断.
（2）构造函数
，并证明
，再结合不等式性质证明
即可.
（3）分情况讨论，并证明对任意的
都有
，即可推出相应的结论.
【详解】（1）函数
，求导得
，
对
，
，
所以
是 “反比函数”.
（2）设
，则
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上递减，在
上递增，因此
，
依题意，
，由
，得
，
于是
即对
，
，
所以函数
是“反比函数”.
（3）设
，则
，
函数
在
上单调递增，
当
时，有
，即对任意
，
；
假设存在
，使
，由
及零点存在定理，存在
使得
，
由
，知
，矛盾，
因此对任意
，
；
假设存在
，使得
，由
及零点存在定理，存在
使得
，
从而对任意
，有
，
当
时，
，矛盾，
即对任意
，有
，
因此对任意的
，都有
成立，
所以对任意
，关于
的方程
一定无解.
5．（2025·四川泸州·模拟预测）如果函数
满足条件：①
；②
，则称
是次可加函数.次可加函数在数学的多个
领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､
控制理论等.
(1)判断
是否是次可加函数，并说明理由；若
，试判断
与
的大小关系；
(2)设函数
，若
在
上单调递减，证明：
是次可加
函数；
(3)判断
是否是次可加函数，并证明：当
时，
.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)证明见解析
(3)是，证明见解析
【分析】（1）利用三角函数的和角公式及绝对值性质，结合三角不等式及次可加函数定义
即可判断；
（2）根据函数
在
上单调递减及不等式性质可推得
，即可证明；
（3）先根据题给条件及次可加函数定义得到
是次可加函数，
利用对数的换底公式化简所求不等式，构造新函数
，利用导数判断
新函数的单调性，并求其最小值
，则
，即可得证.
【详解】（1）当
时，
，满足条件①；
对
，满足条件②.
所以
是
上的次可加函数.
由题意，得
.
由上面的论证过程，可得
.
（2）证明：对
，
（i）若
中至少有一个为0，不妨设
，则
.
由
，知
，所以
；
（ii）若
均不为0，则
.
.
又
在
上单调递减，所以
，
由不等式的性质，得
.
综上，
是次可加函数.
（3）当
时，因为
，所以
是增函数，
.满足条件①；
，所以
满足条件②.
综上，
是次可加函数.
当
时，
.
令
，则
，
显然
在
上单调递增，所以当
时，
，
因为
在
上是增函数，所以
，所以
，
所以当
时，
.
所以
在
上单调递增.
所以当
时，
，所以
.
