文档文本内容
第02 讲 常用逻辑用语
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（24-25 高三下·浙江宁波·期中）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得.
【详解】由特称命题的否定是全称命题，
则“
”的否定为
.
故选：D
2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既
不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】由充分、必要条件的判断，结合不等式求解即可判断.
【详解】由
，可得
，
可得：
，也即
且
，
可得
，可得
，
若
，取
，显然
不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A
3．（2025 高三·全国·专题练习）定义二阶行列式
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式、计算二阶行列式
【分析】根据行列式定义解不等式，再解一元二次不等式，最后进行解集关系的判断即可
解答.
【详解】由
，得
，
当
时，
，解得
；当
时，
，解得
．
所以
的解集为
．
由
，解得
或
，
即不等式
的解集为
．
因集合
是集合
的真子集，
故“
”是“
”的必要不充分条件．
故选C．
4．（西南名校联盟2025 届“3 3 3”高考备考诊断性联考（四）数学试卷）已知命题：“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，
最后利用基本不等式求解实数
的取值范围.
【详解】已知命题“
”为假命题，根据特称命题的否定为全称命
题，
可知其否定“
”为真命题.
由
，
，移项可得
，
因为
，两边同时除以
，得到
在
上恒成立.
在
中，因为
，所以2x 和
都是正实数，则
，
当且仅当
，即
时等号成立.
因为
在
上恒成立，所以
要小于等于
的最小值
，
即
，所以实数
的取值范围是
.
实数
的取值范围是
.
故选：A.
5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由题意得到
是
的真子集，比较区间端点，即可求解.
【详解】
，
，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
是
的真子集,
可得
，等号不同时成立，结合
，解得
，
所以
的取值范围为
，
故选：B
二、多选题
6．（24-25 高三上·贵州毕节）已知命题
，那么命题p 成立的一个充分不必
要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的充分不必要条件
【分析】解不等式，只需是
或
的真子集，得到答案.
【详解】
或
，
要求命题p 成立的一个充分不必要条件，只需满足
或
的真子集即可，
其中
和
满足要求，其他选项不满足.
故选：AC
三、填空题
7．（23-24 高三上·四川绵阳·阶段练习）若命题
时，
是假命题，则
的取值范围
【答案】
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、基本不等式求和的最小值
【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再分离参数利用基本不等式求得
的取值范围.
【详解】若命题
时，
是假命题，
则命题
时，
是真命题，
则
，由于
，即
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，命题
：
，
；命题
：
，
．若命题
是假命题，
是真命题，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据
是真命题、
是真命题求出实数
的取值范围，再由若命题
是假命题、
是真命题可得答案.
【详解】若
是假命题，则
：
，
是真命题，
则
，解得
．
若命题
：
，
是真命题，
则
，解得
，此时
是假命题，
若
是真命题，可得
或
，
若命题
是假命题，
是真命题，
则实数
的取值范围为
.
故答案为：
．
9．（2025 届河南省开封市等2 地高三模拟预测数学试题）已知
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取
值范围是 .
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元
二次不等式
【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p 和q 对应的等价条件，再结合
是
的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m 的范围可求.
【详解】由
可得
，即
，
由
可得
，即
，
又因为
是
的充分不必要条件，所以
，
所以
(等号不同时成立)，解得
，
故答案为：
.
四、解答题
10．（24-25 高三上·四川眉山·期中）已知
为实数，集合
.
(1)若命题“
”是假命题，求实数
的取值范围；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二
次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式的恒成立问题
【分析】（1）根据题意，得到命题“
”是真命题，转化为
在
上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，转化为
在
上恒成立，当
时，显然成立；当
时，转化为
恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解.
【详解】（1）解：因为集合
，
由命题“
”是假命题，可得命题“
”是真命
题，
即
在
上恒成立，
因为函数
，当
时，取得最大值，最大值为，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
（2）解：因为
恒成立，即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
当
时，不等式等价于
恒成立，符合题意；
当
时，等价于
恒成立，
因为
，当且仅当
时，即
时，等号成立，所以
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
11．（23-24 高三上·云南玉溪·期中）已知集合
，非空集合
．
(1)若
是
的必要条件，求实数
的取值范围；
(2)是否存在实数
，使
是
的充分条件，若存在，求出
的取值范围，若不存
在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关
系求参数
【分析】（1）由
构造不等式即可求解；
（2）由
构造不等式即可求解；
【详解】（1）非空集合
．可得：
，解得：
由
是
的必要条件，可得：
,
所以
，解得：
，综上实数
的取值范围
；
（2）存在，由
是
的充分条件，则
,
所以
，解得：
，所以实数
的取值范围
12．（24-25 高三下·安徽马鞍山·开学考试）已知集合
，
．
(1)当
时，求
；
(2)若“
”是“
”的必要不充分条件，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由指数函数的单调性解不等式、根据必要不充分条件求参数、并集的概念及运
算、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）解指数不等式求得集合
，由此求得
；
（2）由题意可知集合B 是集合A 的真子集，对集合
是否为空集进行分类讨论，结合包含
关系列不等式，从而求得
的取值范围.
【详解】（1）因为
，解得
，所以
，
当
，
，所以
.
（2）由（1）可知：
若“
”是“
”的必要不充分条件，可知集合B 是集合A 的真子集，
且
，
若
，则
，解得
；
若
，则
，等号不同时成立，解得
；
综上所述：
的取值范围为
.
B 相遇高考
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表
示
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【知识点】判断命题的真假、全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判
断
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反
即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
C 素养提升
1．（24-25 高三下·上海·阶段练习）设三维空间中全体的点构成集合
的非空真子集V
满足：对任意P、
和任意
，存在
，使得
．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【知识点】空间向量加减运算的几何表示、判断命题的必要不充分条件
【分析】利用举反例，根据必要、充分条件的定义可得
【详解】由题意，
是线性子空间，
因为
，
若
，则
可能是一维子空间或二维子空间，
当
是x 轴时，则
是x 轴上的点，
设
，
由
，
得
，
所以
，满足题意，此时
，
所以“
”不能推出“
”
若
时，
必须包含由
和
所在平面
，
又
是
的非空真子集，所以
，
所以
能推出
，
“
”是“
”的必要非充分条件，
故选：B
2．（24-25 高三上·河南驻马店·期末）函数
在数学上称为高斯函数，也叫取整函
数，其中
表示不大于
的最大整数，如
，
，
，
，则不
等式
成立的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式、函数新定义
【分析】先解不等式可得
，从而可得
，再利用充分条件与必要条件的
定义判断即可.
【详解】因为
，所以
，
解得
，所以
，
是
充要条件，A 错；
是
充分不必要条件，B 对；
是
既不充分又不必要条件，C 错；
是
必要不充分条件，D 错；
故选：B.
3．（24-25 高三上·上海·期末）设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为
“取整函数”，如:
. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合
是单元素集: ②对于任意
成立，
则以下说法正确的是（ ）
A．①②都是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①②都是真命题
【答案】B
【知识点】判断命题的真假、函数新定义、求分段函数值
【分析】分段解方程求出集合
中元素判断①；利用不等式性质结合取整数的意义推理判
断②.
【详解】对于①，当
时，
，方程
化为
，则
；
当
时，
，方程
化为
，则
；
当
时，
，方程
化为
，无解，
因此
，①是假命题；
对于②，令
，则
，
，
当
时，
，
，
则
，
；
当
时，
，
，
则
，
，
因此对任意
，
，②是真命题，
故选：B
