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4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos_α cos
_β ＋
sin
_α sin
_β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_α cos
_β －
sin
_α sin
_β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin_α cos
_β －
cos
_α sin
_β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_α cos
_β ＋
cos
_α sin
_β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos
2 α －
1 ＝1 －
2sin
2 α ；
(3)tan 2α＝.
[常用结论]
1．两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
2．降幂公式
sin2α＝，cos2α＝.
3．升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
考点一 两角和差的应用
考点二 二倍角公式的应用
考点三 公式的逆用及变形
考点四 给角求值
考点五 给值求值
考点六 给值求角
考点一 两角和差的应用
1．（25-26 高三上·广东佛山·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
.
2．（25-26 高三上·山东日照·期中）已知
是第二象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式得出
的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为
是第二象限角，且
，
所以
，
故
.
3．（25-26 高三上·江西南昌·期中）若
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的关系，可得
的值，根据两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案.
【详解】由
，
，得
，
所以
.
4．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知
，
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数值的关系求
，
，再结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为
，
，
，
则
，
，
所以
.
5．（25-26 高三上·上海闵行·期中）已知
为第二象限角，
，则
__________.
【答案】
【详解】因为
为第二象限角，由
可得
，
所以
，则
.
6．（25-26 高三上·云南·开学考试）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得出
的值，利用二倍角的正弦公式可得出
，利用同角三角函数的基本关系
求出
的值，再利用两角差的正切公式可求得
的值.
【详解】因为
，所以
，
又
，则
，
所以
，则
，
故
.
考点二 二倍角公式的应用
7．（25-26 高三上·四川南充·期中）设
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
，因为
在
上单调递增，
所以
，又因为
，所以
即
，综上
.
8．（2026·福建龙岩·三模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【分析】结合二倍角公式和同角三角函数的基本关系求值.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
即
.
9．（25-26 高三上·甘肃临夏·期中）已知
，则
______．
【答案】
/
【详解】注意到
，令
，已知
，
由二倍角公式
，代入得
.
10．（25-26 高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知
.
(1)求
的值；
(2)求
的值
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数关系计算可得结果；
（2）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式直接计算可得结果.
【详解】（1）∵
，
，∴
，
可得
，
；
（2）易知
，
，
∴
.
11．（2026·江西·三模）已知
，且
，则
______，
______．
【答案】
/
【分析】根据题意，结合
求得
，进而结合二倍角公式求得
，再
结合
，根据正弦差角公式求解即可.
【详解】因为
，所以
．
因为
，所以
．
因为
，
所以
.
．
因为
，
所以
．
12．（2026·辽宁朝阳·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先应用两角和正弦公式得出
，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解.
【详解】由
，得
，则
，
所以
，即得
，
由
，得
．
考点三 公式的逆用及变形
13．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）（多选）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】逆用和差角公式及二倍角公式逐项化简判断.
【详解】对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误
对于C，
，C 错误；
对于D，
，D 正确.
14．（25-26 高三上·江苏淮安·期中）
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】B
【详解】
.
15．（25-26 高三上·全国·课堂例题）
___________．
【答案】
/0.5
【分析】根据诱导公式及逆用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】因为
，
，
，
所以
.
16．（25-26 高三上·甘肃天水·期中）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
.
17．（25-26 高三上·浙江·阶段检测）（多选）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】
，所以A 错误；
，所以B 正确；
，所以C 正确；
，所以D 正确.
18．（25-26 高三上·江苏南京·期中）（多选）下列等式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据两角和的余弦公式可判断A，根据二倍角的余弦公式可判断B，根据两角和的正切公式可判断C，根
据两角差的正切公式可判断D.
【详解】A，根据两角和的余弦公式：
，
代入
，可得
，
再代入
，有
，错误；
B，根据二倍角的余弦公式：
，
代入
，可得
，
再代入
，有
，错误；
C，根据两角和的正切公式：
，
代入
，可得
，
再代入
，有
，即
，
所以
，正确；
D，根据两角差的正切公式：
，
代入
，可得
，
再代入
，有
，正确.
考点四 给角求值
19．（25-26 高三上·全国·课堂例题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用两角差的正弦公式计算即可求解.
【详解】
.
故选：D.
20．（25-26 高三上·四川绵阳·期中）（多选）计算下列各式，结果为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据辅助角公式判断A，根据二倍角公式及两角和的余弦公式判断B，直接求值判断C，根据两角和的正
切公式判断D.
【详解】对于A：
，故A 正确；
对于B：
，故B 错误；
对于C：
，故C 错误；
对于D：
，故D 正确.
故选：AD
21．（25-26 高三上·广东茂名·期末）已知函数
.
(1)若
为第二象限角，且
，求
的值；
(2)若
，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)结合诱导公式化简，再利用同角的关系求值；
(2)使用换元法
化简原式后计算即可.
【详解】（1）化简得
，
因为
，所以
①，
又因为
②，
联立①②式解得：
，
因为
为第二象限角，
故
，
所以，
的值为
.
（2）由（1）可知
，因为
，所以
，
设
，则
，
，
，
由
，得
，
由
.得
，
所以
.
22．（25-26 高三上·山东淄博·期中）（多选）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式
判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D.
【详解】对于A：因为
，
则
，
所以
，故A 正确；
对于B：
，故B 正确；
对于C：
，故C 错误；
对于D：
，故D 正确；
故选：ABD
23．（25-26 高三上·四川遂宁·期中）（多选）下列各式的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断.
【详解】对于选项A：
，故A 正确；
对于选项B：
，故B 正确；
对于选项C：
，故C 错误；
对于选项D：
，故D 错误；
故选：AB.
24．（25-26 高三上·广东·期中）计算
的值为__________.
【答案】
/
【分析】利用降幂公式及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
故答案为：
考点五 给值求值
25．（2026·陕西榆林·模拟预测）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得
【详解】因为
，所以
，故
．又
，
所以
，
．所以
．
所以
．
26．（25-26 高三上·江苏南京·阶段检测）（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知角
，
，且
，
，求
和
的值．
【答案】（1）
；（2）
，
【分析】（1）先对已知式子进行平方，再相加结合正弦差角公式求解；
（2）根据题意，利用倍角公式及同角三角函数的关系求出
、
、
，再由
展开计算即可．
【详解】（1）
，
得
，
解得
；
（2）
，
，
，
，
，
，
又
，
，
．
27．（25-26 高三上·四川资阳·期中）已知
为锐角，
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【详解】因为
为锐角，
，所以
.
因为
，所以
，且
，
所以
，
所以
.
28．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知
，
，求
的值．
【答案】
【分析】通过对条件平方，再结合同角三角函数平方关系、两角差余弦公式即可求解.
【详解】由题意，
①
②
+
①②得
所以
．
29．（25-26 高三上·广东深圳·期中）已知
均为锐角，且
，
，则
________.
【答案】
/0.6
【分析】求出
的值，再利用两角和差公式展开，联立方程求出
与
的关系，即可得到
的值.
【详解】因为
均为锐角，即
，
，所以
，
.
，故
，则：
，
即
，
已知
，则
，
所以
，即
，
，即
，
所以
.
30．（2026·山东泰安·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意利用二倍角的余弦公式化为关于
的一元二次方程，即可求得
的值，结合角的象限从而求
得
．
【详解】因为
，
所以
，即
，
化简得
，解得
（舍去）或
，
因为
，所以
.
考点六 给值求角
31．（25-26 高三上·全国·课堂例题）已知
，其中
，求：
(1)
；
(2)
【答案】(1)7
(2)
【详解】（1）由题设
；
（2）由
，且
，
所以
，故
.
32．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）已知函数
.
(1)化简
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，
，且
，
均为锐角，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
.
（2）
，即
，
.
（3）因为
，
均为锐角，所以
，
因为
，
，
所以
，解得
.
33．（25-26 高三上·广东佛山·期中）已知
都是锐角，
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系式和正弦两角和公式计算即可；
（2）利用诱导公式五六，同角三角函数关系式以及两角和与差的余弦公式分析求解即可.
【详解】（1）因为
是锐角，
，所以
，
由
，解得：
，
所以
.
（2）由
得：
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
由
，
又
，所以
.
34．（25-26 高三上·江苏·期中）已知
为锐角，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由齐次式及同角三角函数的商数关系即可求解；
（2）由同角三角函数的平方关系及二倍角公式即可求解；
（3）由两角差的正弦公式及各象限三角函数的符号即可求解．
【详解】（1）
.
（2）因为
为锐角，所以
，
由
，设
，
由
得，
（舍去负值），
所以
，则
．
（3）
为锐角，则
，所以
，
又
，所以
，则
，
由
，又
，所以
，
所以
，
则
，
因为
，所以
，
所以
．
35．（25-26 高三上·北京·期中）若
，并且
均为锐角，且
，则
________．
【答案】
/
【分析】由题意知
，
，
，进而得
，
，再根据
，结合余弦差角公式求得
，最后根据余弦函数性质即可求得答案.
【详解】因为
均为锐角，且
，即
，
所以
，
，
，
所以
因为
，
所以
，
，
所以
，
因为
，
所以
36．（2026·河北沧州·二模）已知
，
，若
，
，则
______.
【答案】
【分析】借助同角三角函数基本关系计算可得
，再结合角的范围，利用两角和的正切公式计算即可得.
【详解】因为
，
，所以
，
因为
，所以
，又
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
又
，
所以
.
1．（2026·陕西榆林·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，解得
，
所以
.
2．（25-26 高三下·河南·阶段检测）已知
为第四象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得
，
因为
为第四象限角，所以
，
，
所以
.
3．（2026·福建·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得，
，所以
，
即
，即
，
因为
，所以
，
，所以
，
.
4．（25-26 高三下·广东东莞·阶段检测）已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件结合两角差的正弦公式可得
，根据平方关系求
，再根据二倍角余弦
公式及两角和余弦公式求结论.
【详解】因为
，又
，
所以
，即
，
又
，
所以
，
因为
，所以
，
，
所以
，
所以
.
5．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得.
【详解】因为
，因此
，由同角三角函数基本关系式
，
且
，得
，
根据正弦和角公式
.
6．（25-26 高三上·重庆·期中）设
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
，
，
，
，
．
7．（25-26 高三上·北京·阶段检测）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，
又
，所以
．
8．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意得
，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解.
【详解】因为
，
，所以
，
已知
，所以
，
因此
，
已知
，
，所以
，
则
.
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）下列计算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用辅助角公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的正切公式及二倍角公式即
可判断C；利用商数关系化切为弦，再结合平方关系及二倍角公式即可判断D.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
10．（25-26 高二·全国·暑假作业）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
，
，故A 正确；
，故B 正确；
，故C 错误；
，故D 正确.
11．（25-26 高三上·山东淄博·阶段检测）（多选）若
，
，且
，
，
则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由
的范围可以求出
的范围，结合
，可以将
的范围缩小到一定的范围，从而求出
的取值；再结合
的取值范围，可以求得
和
的范围，求出
值后，利用配凑法，求
出
的取值，最后结合其范围得出
的值.
【详解】因为
，所以
，且因为
，
所以
，则
，
则
，所以
正确；
由
可得
，又因为
，
利用不等式的性质可得
，
，
所以
，
则
，
又因为
，所以
，所以
正确.
故选:
12．（25-26 高三上·江西·期中）（多选）已知
、
均为第一象限角，且
，
，则下列
选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】
，
，
结合
为第一象限角可得
，故A 正确；
由
可得
，
、
均为第一象限角，
，故
，故B 正确；
，故C 正确；
由
为第一象限角可得，
，故D 错误．
13．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
，则
___________．
【答案】
【详解】
．
14．（25-26 高三上·重庆綦江·期中）已知
为锐角，
，则
__________．
【答案】
【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得.
【详解】由
，
为锐角，则
，
由
为锐角，则
，又
，故
，
则
，
故
，
又
为锐角，故
.
15．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）已知
，且
，则
______.
【答案】
【详解】由
，
，可得
，
则
，
，
则
.
16．（25-26 高三上·江苏南京·期中）若
，则
__________.
【答案】-3
【详解】由
，
则
.
17．（25-26 高三上·江苏南京·期中）已知锐角
满足，
(1)求
的值.
(2)求
的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角关系可得
，再结合倍角公式运算求解；
（2）先根据同角三角关系求
，再利用两角和差公式可求
，即可得结果.
【详解】（1）因为
，
则
所以
；
（2）因为
，则
，
则
，
且
，所以
.
18．（25-26 高三上·江西赣州·期中）已知
(1)求
的值;
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的基本关系求出
和
的值，然后利用两角差的正弦公式可求出
的
值；
（2）利用两角和的余弦公式求出
的值，并求出角
的取值范围，即可求出
的值.
【详解】（1）
且
，
.
且
，
因此，
；
（2）由（1）知
，
，
，
，
，
、
，
，
因此，
.
