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第03 讲函数的奇偶性、对称性与周期性
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（四川省部分学校2025 届高三5 月联考数学试卷）函数
是定义在R 上的奇函数，
且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．6
2．（2025·江西赣州·二模）已知函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川·三模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
4．（河南省部分学校2024-2025 学年高三下学期5 月质量检测数学试题）已知奇函数
在
上单调递减，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的
导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数
的图象有对称中心，那么其导函数
的图象会有对称轴；如果函数
的图象有对称轴，那么其导函数
的图象会
有对称中心.请你运用以上性质研究函数
的对称性，并判断下列选项中正确
的是（ ）
A．
有对称中心
B．
有对称中心
C．
有对称轴
D．
有对称轴
6．（2025·云南·模拟预测）设
是定义在
上的奇函数，
，
，
则
（ ）
A．0
B．-1012
C．-2
D．1010
二、多选题
7．（24-25 高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数
满足
，且对任意的
，
，
都成立，则（ ）
A．
是偶函数
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．
是函数
的一个周期
D．
8．（24-25 高二下·山东菏泽·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
是偶函数，且
，令
，则下列说法正确的有
（ ）
A．函数
是偶函数
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．
三、填空题
9．（2025·江西新余·模拟预测）若函数
为偶函数，则
.
10．（2026 高三·全国·专题练习）定义在R 上的函数
满足
，当
时，
，当
时，
，则
．
四、解答题
11．（24-25 高一上·吉林通化·期末）已知函数
.
(1)求
的解析式；
(2)判断
的奇偶性；
(3)求函数
的值域.
12．（23-24 高一上·江苏南通·期末）已知函数
的定义域为
，且
为奇
函数.
(1)求实数
的值；
(2)若函数
.求证：
.
13．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知定义在
上的函数
图象关于原
点对称，且
(1)求
的解析式；
(2)判断
的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式
B 相遇高考
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
C 素养提升
1．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知
，函数
为奇函数，
为常数．
(1)求
的值；
(2)用定义法证明：函数
在
上单调递增；
(3)若函数
，对于
，
使得不等式
恒成
立，求实数
的取值范围．
2．（24-25 高二下·浙江宁波·期中）已知
是定义在
上的函数，对
、
都有
，且满足
.
(1)判断函数
的奇偶性，并证明之；
(2)证明：
；
(3)求
的值.
3．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）“函数
的图象关于点
对称”的充要条件
是“对于函数
定义域内的任意
，都有
”．若函数
的图象
关于点
对称，且当
时，
．
(1)求
的值；
(2)设函数
．
①证明函数
的图象关于点
对称；
②若实数
，则命题“
，使得
成立”是否为真命
题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
