文档文本内容
第02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、
最值
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视...............................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚...............................................................................................................................4
知能解码................................................................................................................................................4
知识点1 单调性........................................................................................................................4
知识点2 奇偶性........................................................................................................................6
知识点3 周期性........................................................................................................................7
知识点4 对称性........................................................................................................................8
题型破译.......................................................................................................................................................7
题型1 确定函数的单调性及求单调区间..............................................................................8
题型2 复合函数的单调性
.................................................................................................9
题型3 比较大小
...............................................................................................................10
题型4 利用单调性解函数不等式........................................................................................10
题型5 利用单调性求参数的取值范围
.........................................................................11
题型6 求最值（值域）.........................................................................................................12
题型7 判断函数的奇偶性.....................................................................................................13
题型8 根据奇偶求解析式
..............................................................................................14
题型9 利用奇偶求函数值或参数........................................................................................14
题型10 利用奇偶和单调解不等式
.................................................................................15
题型11 函数的周期性
......................................................................................................16
题型12 函数的对称性.............................................................................................................17
题型13 对称、周期的综合
..............................................................................................18
04 真题溯源·考向感知.......................................................................................................19
05 课本典例·高考素材.......................................................................................................20
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）根据分段函数的单调性求
参数
（2）求函数值
（3）抽象函数的关系
（4）函数奇偶性的定义与判断
（5）函数奇偶性的应用
（6）函数对称性的应用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第5 题，
5 分
全国二卷，第10
题，6 分
北京卷，第15 题，5
分，
天津卷，第3 题，5
分
新课标I 卷，第6 题,5
分
新课标I 卷，第8 题,5
分
新课标Ⅱ卷，第6 题,5
分
新课标Ⅱ卷，第11
题,6 分
天津卷，第4 题，5 分
上海卷，第4 题，4 分
新课标全国I 卷，第4
题,5 分
新课标全国I 卷，第
11 题,5 分
新课标全国Ⅱ卷，第4
题,5 分
全国乙卷理，第4
题，5 分
全国甲卷理，第13
题，5 分
北京卷，第4 题，4 分
考情分析：
本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是
新高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6 分.
复习目标：
1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
知识点1 单调性
一、函数的单调性
1．函数单调性的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数
的定义域为
，如果对于定义域
内某个区间
上的任
意两个自变量的值
，
[
当
时，都有
，
那么就说函数
在区间
上是
当
时，都有
，
那么就说函数
在区间
上是
图象
描述
自左向右看，图象是上升的
自左向右看，图象是下降的
设
，
，
若有
或
，则
在闭区间
上是 ；
若有
或
，则
在闭区间
上是
2．单调区间的定义
若函数
在区间
上是增函数或减函数，则称函数
在这一区间上具有（严格的）单调性，
区间
叫做函数
的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同
一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是
”与“函数在区间
上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然
.
3．函数单调性的常用结论
（1）若
均为区间A 上的增(减)函数，则
也是区间A 上的增(减)函数；
（2）复合函数的单调性：函数
在函数
的定义域上，如果
与
的单调性相同，那么
单调递增；如果
与
的单调性相反，那么
单调递减．简记：“同增异减”．
（3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性 ；
（4）一些重要函数的单调性：
①
的单调性：在
和
上单调递增，在
和
上单调递减；
②
（
，
）的单调性：在
和
上单调递增，在
和
上单调递减．
二、函数的最值
前提
设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足
条件
对于任意的
，都有
；
存在
，使得
对于任意的
，都有
；
存在
，使得
结论
为最大值
为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值
域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
自主检测（多选）下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶
性
定义
图象特点
偶函
数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于
轴对称
奇函
数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，
也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；
（2）
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）若奇函数的定义域包括
，则
．
（4）若函数
是偶函数，则
．
（5）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数
为偶函数，函数
为奇函数．
②函数
（
且
）为奇函数．
③函数
（
且
）为奇函数．
④函数
（
且
）为奇函数．
自主检测下列函数是偶函数的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
知识点3 周期性
1．周期函数
对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，
那么就称函数
为 ，称T 为这个函数的周期．
2．函数周期性的常用结论
设函数
，
.
①若
，则函数的周期为
；②若
，则函数的周期为
；
③若
，则函数的周期为
自主检测设
是以
为最小正周期的周期函数，且当
时，
，则
，
．
知识点4 对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数y=f ( x)的图像关于点A(a，b)对称的充要条件是：
f ( x)+f (2a−x)=2b ，即f (a−x)+f (a+x)=2b ；
（2）函数y=f ( x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是：
f (a+x)=f (a−x)，即f ( x)=f (2a−x)。
2．不同函数对称性
（1）函数y=f (a+x)与y=f (b−x)的图像关于直线 成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线y=x 对称。
自主检测（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数，
为
偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型1 确定函数的单调性及求单调区间
例1-1 若函数
在
上是减函数，且
，则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】（多选）已知函数
在
上是增函数，则下列说法错误的是（ ）
A．
在
上是减函数
B．
在
上是减函数
C．
在
上是增函数
D．
（a 为实数）在
上是增函数
方法技巧
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
【变式训练1-2】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】函数
的单调递增区间为 ．
题型2 复合函数的单调性
例2-1 函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-2（2025·江西·二模）若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
复合函数的单调性：函数
在函数
的定义域上，如果
与
的单调性相同，那么
单调递增；如果
与
的单调性相反，那么
单调递减．简记：“同增异减”．
【变式训练2-1】（多选）已知函数
是定义在
上的偶函数，
是定义在
上的奇函数，且
，
在
上都单调递增，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递增
【变式训练2-2·变考法】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3·变载体】（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的值域为
C．不存在
，使得
D．
在区间
上单调递减
题型3 比较大小
例3-1 若
，则以下不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点
在幂函数
的图象上，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
1.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质
3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x 轴是它的水平渐近线
4.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性
进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【变式训练3-1】已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】（2025·山西·一模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 利用单调性解函数不等式
例4-1（2025·广西桂林·一模）函数
.若
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 已知
为R 上的可导函数，其导函数为
，且对于任意的
，均有
，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练4-1】已知
是定义在区间
上的增函数，且
，则
的取值范围是
．
【变式训练4-2·变载体】（2025·河南·二模）已知函数
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 利用单调性求参数的取值范围
例5-1 已知
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2（2025·江西宜春·一模）已知函数
在
上的最小值是1，则
.
【变式训练5-1】如果函数
在区间
上是单调递增的，则实数
的取值范围
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
【变式训练5-3】已知函数
在
上单调递增，则实数
的值可以是 ．（写出满足条件
的一个值即可）
题型6 求最值（值域）
例6-1
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 已知幂函数
的图象过点
，则函数
在区间
上的最小值是 ．
方法技巧 （1）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调
性相反；
（2）一些重要函数的单调性：
①
的单调性：在
和
上单调递增，在
和
上单调递减；
②
（
，
）的单调性：在
和
上单调递增，在
和
【变式训练6-1】函数
的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6
B．1，3
C．1，4
D．1，6
【变式训练6-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数
，则
在
上的最大值为
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
题型7 判断函数的奇偶性
例7-1（多选）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧 常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
【变式训练7-1】（2025·云南曲靖·二模）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在
上单调递增的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】下列函数为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-3】（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型8 根据奇偶求解析式
例8-1 已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则当
时，
例8-2（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当且仅当
时，
，则当
时，
的解析式为 .
【变式训练8-1】已知函数
满足
，当
时，
，当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2·变考法】定义在
上的奇函数有最小正周期为2，且
时，
．
(1)求
在
上的解析式；
(2)
取何值时，方程
在
上有解．
题型9 利用奇偶求函数值或参数
例9-1 已知函数
是奇函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-2 若函数
为偶函数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式训练9-1】若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式训练9-2】（2025·湖南长沙·二模）若函数
为奇函数，则
．
【变式训练9-3】已知定义域为
的奇函数
，则
的值为
．
【变式训练9-4】（2025·浙江·三模）已知函数
，为奇函数，则
．
题型10 利用奇偶和单调解不等式
例10-1（2025·山西临汾·三模）已知
，则满足
的实数m 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例10-2 设函数
是定义在R 上的偶函数，当
时，
，则不等式
的解集为
．
【变式训练10-1】已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
单调递增，则关于x
的不等式
的解集是 ．
【变式训练10-2】已知函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递减.若实数a 满足
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-3·变考法】已知函数
，若关于
的不等式
有解，
则实数
的取值范围为 .
题型11 函数的周期性
例11-1（2025·青海海东·三模）（多选）定义在
上的函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2 为
的一个周期
例11-2 已知
是定义在
上的周期为3 的奇函数，且
，则
．
方法技巧
【变式训练11-1】已知定义在R 上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
．
【变式训练11-2·变考法】定义在R 上的函数
满足
，当
时，
，当
时，
，则
．
题型12 对称性
例12-1（2025·四川·三模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
例12-2 已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象有对称轴
B．
的图象有对称轴
C．
的图象有对称中心
D．
的图象有对称中心
方法技巧
1.中心对称结论：
（1）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（2）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（3）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
.
2.轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（2）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（3）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称；
【变式训练12-1】（2025·重庆·三模）设函数
的定义域为
，
是
的导函数.若
是奇
函数，则
的图象（ ）
A．关于
对称
B．关于
对称
C．关于
对称
D．关于
对称
【变式训练12-2】（多选）设函数
满足
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于
中心对称
C．
是函数
的图象的一条对称轴
D．
【变式训练12-3·变考法】（2025·湖北·模拟预测）若函数
的图象关于直线
对称，
则
．
题型13 对称、周期的综合
例13-1 已知定义在
上的奇函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例13-2 已知函数
的定义域为
为偶函数，
为奇函数，则
．
方法技巧 ①两中心
②两垂直轴
③一个中心
，一条轴
【变式训练13-1】已知
是定义在
上的偶函数且
，
是奇函数，则
．
【变式训练13-2】已知定义在R 上的函数
，对任意实数x 都有
，若函数
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练13-3·变考法】（2025·宁夏银川·三模）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是周期为3 的周期函数
D．
1.（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
3.（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5.．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
8．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
1．图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
(1)求
和
；
(2)求函数
的值域．
3．讨论下列函数的单调性：
(1)
；
(2)
．
4．已知函数
在定义域R 上是减函数，求实数a 的取值范围．
5．函数
是周期为2 的周期函数，且
，
．
(1)画出函数
在区间
上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求
的值；
(3)求
在区间
上的解析式，其中
．
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
．
