文档文本内容
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
（含爪子定理）
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 基底的概念及辨析..........................................................................................................4
考点二 平面向量的基本定理综合..............................................................................................4
考点三 “爪子定理”的综合应用..............................................................................................5
考点四 坐标表示..........................................................................................................................6
三阶突破训练.................................................................................................................7
基础过关........................................................................................................................................7
能力提升........................................................................................................................................8
真题感知......................................................................................................................................10
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第6 题,5 分
坐标计算向量的模
平面向量线性运算的坐标表
示
向量坐标的线性运算解决几何问题
2025 年全国二卷，第12 题,5 分
坐标计算向量的模
平面向量线性运算的坐标表
示
向量垂直的坐标表示
2024 年全国甲卷理数，第9
题,5 分
由向量共线(平行)的坐标表示
求参数
判断命题的充分不必要条件
向量垂直的坐标表示
2023 年全国乙卷文数，第6
题,5 分
用基底表示向量
数量积的运算律
数量积的坐标表示
2022 年新I 卷，第3 题,5 分
用基底表示向量
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5 分
【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量
4.会综合应用平面向量基本定理求解
5.会坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易
理解，易得分，需重点复习。
知识点1 平面向量基本定理
条件
e
→
1，e
→
2是同一平面内的两个
结论
对于这一平面内的任一向量a
→
，有且只有一对实数λ1，λ2，使
基底
若e
→
1，e
→
2不共线，把{e
→
1, e
→
2)叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
知识点2 平面向量的坐标表示
设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量⃗v =⃗OP都可用从原点O出发的有向线段⃗OP表示．原点O到
E1(1,0)，E2(0,1)的向量⃗e1=⃗O E1，⃗e2=⃗O E2分别是x轴正方向和y轴正方向上的单位向量，组成标准正
交基，则⃗v =⃗OP = x⃗e1+ y⃗e2的坐标 视为⃗v在这组基下的坐标，等于向量终点P( x , y)的坐标．
知识点3 平面向量线性运算的坐标表示
已知⃗a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2)，则：
（1）⃗a+⃗b= ，⃗a−⃗b= ，
即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
（2）若点A 坐标为(x1, y1)，点B 坐标为(x2, y2)，O 为坐标原点，
则⃗OA = ，⃗OB = ，⃗AB =⃗OB−⃗OA =(x2, y2)−(x1, y1)= ，即一个向量的坐标等于
表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 ；
(4)设向量a
→
=(x1, y1)，则λ a
→
= ．
(5)中点坐标公式：若P1, P2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段P1 P2的中点P 的坐标为(x , y)，则
{
x = x1+ x2
2
y = y1+ y2
2 )
考点一 基底的概念及辨析
典例1．下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
典例2．（2025·山西·二模）若
是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（多选）在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（多选）设
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是
（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
考点二 平面向量的基本定理综合
典例1．（2025·甘肃甘南·三模）
中，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．如图：在平行四边形
中，已知
，直线
交于O，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·辽宁·模拟预测）在
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·四川绵阳·模拟预测）设在
中，点D 为
边上一点，且
，点E 为
边上的中点. 若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 “爪子定理”的综合应用
典例1．设
为
所在平面内一点，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
典例2．如图，在
中，
，
是
上的一点，若
，则实数
的值
为（ ）
A.
B.
C.
D.
跟踪训练1．△ABC中，若⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗BD =3⃗DC，则向量⃗AD可用⃗a，⃗b表示为（ ）
A．1
4⃗a+ 3
4⃗b
B．⃗a+ 3
4⃗b
C．1
4⃗a+ 1
4⃗b
D．3
4⃗a+ 1
4⃗b
跟踪训练2．如图，已知⃗AP = 4
3⃗AB，用⃗OA，⃗OB表示⃗OP，则⃗OP等于（ ）
A．1
2⃗OA −4
3⃗OB B．1
2⃗OA + 4
3⃗OB
C．−1
3⃗OA + 4
3⃗OB
D．1
3⃗OA −4
3⃗OB
考点四 坐标表示
典例1．（2025·海南·模拟预测）已知向量
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
典例2．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量
，
，
.若
、
、
三点共线，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
或
C．
或1
D．
跟踪训练1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知向量
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练2．在平面直角坐标系
中，已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·陕西咸阳·三模）已知向量
满足
，则
＝
（ ）
A．5
B．－5
C．－11
D．11
一、单选题
1．（2025·云南·模拟预测）已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知平面向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
3．（2025·江西·模拟预测）已知向量
满足
，则
.
4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量
，
，若
与
共线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·辽宁盘锦·三模）已知
，
，
，
，若
与
共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．
或2
D．
或1
6．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
7．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知直线
的一个方向向量为
，向量
，若
与
是共线向量，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．8
8．已知
中，点
，
满足
，
，设
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知
为
所在平面内的点，且
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在
中，点D 为边BC 上一点，且
，设
，
，试用
，
表示
（ ）．
A．
B．
C．
D．
一、单选题
11．（2025·黑龙江佳木斯·三模）若向量
与向量
共线，则
是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形
中，
，
，记
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形
中，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·浙江·二模）已知向量
，
，则
，
（
，
），则下
列表述正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对
，使得
B．存在唯一的实数对
，使得
C．存在唯一的实数对
，使得
D．存在唯一的实数对
，使得
15．（2025·云南·模拟预测）在平行四边形
中，点E 是
边上的四等分点（靠近点D），则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形
中，
为边
的中点，
为边
上靠近点
的三等分点，
为
的中点，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
17．（2025·北京西城·一模）设平面向量
，
，
，且
，则使得向量
与
共线的一组值
，
．
18．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在
中，
，
，点D 在
上且
，则
的取
值范围是 ．
19．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形
中，
，
，
，E 是
的中点，若
，则
.
20．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形
的边
，
，点
，
分别在边
，
上.
若
，
，则用
和
表示
；若
，则
的最小值为
.
21．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
22．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
23．（2024·上海·高考真题）已知
，且
，则
的值为 ．
24．（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，
用
表示
；若
，则
的最大值为 ．
