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第03 讲函数的奇偶性、对称性与周期性
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（四川省部分学校2025 届高三5 月联考数学试卷）函数
是定义在R 上的奇函数，
且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．6
【答案】C
【知识点】求函数值、由奇偶性求参数
【分析】由
求得
，再由
即可求解.
【详解】由题意可得
，解得
，
则
.
故选：C
2．（2025·江西赣州·二模）已知函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】由函数周期性的定义可得出
，再结合奇函数的定义可得出
的值，
由此可得出
的值.
【详解】因为函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，则
，
又因为
，所以，
，故
，
即
.
故选：B.
3．（2025·四川·三模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】由函数的奇偶性可得
为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【详解】因为
，则
为奇函数，
所以
的图象关于原点对称，
函数
的图象可由
的图象先向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位得
到，
所以函数
的图象关于点
对称．
故选：A
4．（河南省部分学校2024-2025 学年高三下学期5 月质量检测数学试题）已知奇函数
在
上单调递减，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于
的不等式，求
出
的取值范围.
【详解】因为奇函数
在
上有定义，所以
，
所以
所以
，解得
.
所以
的取值范围为
.
故选：D.
5．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的
导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数
的图象有对称中心，那么其导函数
的图象会有对称轴；如果函数
的图象有对称轴，那么其导函数
的图象会
有对称中心.请你运用以上性质研究函数
的对称性，并判断下列选项中正确
的是（ ）
A．
有对称中心
B．
有对称中心
C．
有对称轴
D．
有对称轴
【答案】B
【知识点】判断或证明函数的对称性、简单复合函数的导数
【分析】根据已知新定义结合导函数的对称性即可计算求解.
【详解】因为函数
，定义域为
，
所以
，
导函数关于
对称，所以
关于
即
对称，
故选：B
6．（2025·云南·模拟预测）设
是定义在
上的奇函数，
，
，
则
（ ）
A．0
B．-1012
C．-2
D．1010
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性
求函数值
【分析】由题意知
且
，再根据题中所给等式求出函数的周期及一个
周期内的函数值之和，2025 项的和包含506 个周期之和及
，分别求值相加即可.
【详解】已知
为奇函数，所以
且
，
因为
，所以
，则
，函数
的
周期为4，
因为
，
，
，
，
所以
，
因为
，前2024 项和为
，
，
所以
.
故选：C
二、多选题
7．（24-25 高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数
满足
，且对任意的
，
，
都成立，则（ ）
A．
是偶函数
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．
是函数
的一个周期
D．
【答案】ABC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由抽象函
数的周期性求函数值
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性，周期性及对称性的意义逐项判
断即可.
【详解】令
，则
，解出
，故A 正确；
令
，则
，
故函数
的图象关于点
中心对称，故B 正确；
因为
所以令
可得
，
即
，
又因为
是偶函数所以
，即
，
整理可得：
，
令
，可得
，即
，
整理得
，所以
是函数
的一个周期，故C 正确；
因为
所以令
可得
，
又因为
是偶函数且周期为
，所以
，
因为
，
当
为奇数，根据周期性可知
，
当
为偶数，根据周期性可知
，故
，故D 错误.
故选:ABC
8．（24-25 高二下·山东菏泽·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
是偶函数，且
，令
，则下列说法正确的有
（ ）
A．函数
是偶函数
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．
【答案】ACD
【知识点】简单复合函数的导数、函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断、求函数
值
【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求
导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式
可求得
关系式，再求和可判定D.
【详解】对A，因为
，所以
，
所以函数
是偶函数，故A 正确；
对B，因为
为偶函数，所以
，即
，
所以
，即
，令
，得
，
所以
，故B 错误；
对C，因为
，所以
，
即
，又
，所以
，
所以
，所以
，即
，
所以函数
的图象关于点
对称，故C 正确；
对D，因为
，令
，得
，
所以
，又
，所以
，
，…，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．（2025·江西新余·模拟预测）若函数
为偶函数，则
.
【答案】
【知识点】求含sinx 的函数的奇偶性、由奇偶性求参数
【分析】由
为奇函数即可求解.
【详解】因为函数
为偶函数，
而
是偶函数，
是奇函数，
所以
为奇函数，
，得
；
若
，函数
，定义域为
,不关于原点对称，
函数不是偶函数，
若
，代入验证符合题意.
故答案为：
10．（2026 高三·全国·专题练习）定义在R 上的函数
满足
，当
时，
，当
时，
，则
．
【答案】339
【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、求函数值
【分析】利用条件可得
的周期，再利用函数解析式和周期性计算出
至
，再
利用
，从而将目标转化为一个周期内的函数值的运算.
【详解】因为
，所以
，则
，
所以
的周期
，
当
时，
，则
，
，
则
，
，
当
时，
，则
，
，
，
，
则
，
，
则
，
，
而
，
所以
．
故答案为：339.
四、解答题
11．（24-25 高一上·吉林通化·期末）已知函数
.
(1)求
的解析式；
(2)判断
的奇偶性；
(3)求函数
的值域.
【答案】(1)
(2)奇函数
(3)
【知识点】已知函数类型求解析式、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与
判断、求指数型复合函数的值域
【分析】（1）利用待定系数，代入可得方程求
，即可得函数解析式；
（2）利用定义域对称，再结合
，即可得奇函数；
（3）利用指数函数性质，分离分式即可求得值域.
【详解】（1）由
可得
，
所以
.
（2）由
的定义域为
，关于原点对称，
，故
是
奇函数.
（3）由
，
因为
，所以
，所以
，
即
，所以
，
故函数
的值域为
.
12．（23-24 高一上·江苏南通·期末）已知函数
的定义域为
，且
为奇
函数.
(1)求实数
的值；
(2)若函数
.求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】判断或证明函数的对称性、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、由
奇偶性求参数
【分析】（1）根据函数奇偶性，由
求出
，再验证函数奇偶性即可；
（2）根据题中条件，直接计算即
即可证明.
【详解】（1）因为
为定义域为
的奇函数，所以
，即
，解得
；
所以
，
则
，即
，
所以
为奇函数，符合题意，
故
；
（2）因为
，
所以
因为
为奇函数，所以则
，
因此
即
.
13．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知定义在
上的函数
图象关于原
点对称，且
(1)求
的解析式；
(2)判断
的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不
等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】（1）由
关于原点对称可得
，
，再结合代入计算即可得；
（2）借助单调性的定义证明即可；
（3）结合奇函数性质及函数单调性，列不等式求解即可.
【详解】（1）
定义在
上的函数
图象关于原点对称，
为
上的奇函数，
，解得
；
，
又
，故
，
，
其满足
，故
为奇函数，图象关于原点对称，
即
；
（2）
在
上单调递增；
证明如下：令
，
，
由
，
则
，
，
，
，
即
在
上单调递增；
（3）由题意可得
为奇函数，
故由
，
得，
，
又
在
上单调递增，
则有
，解得
，
故不等式的解集为
B 相遇高考
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx 的函数的奇偶性
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，
则
，故A 错误；
对B，设
，函数定义域为
，
且
，则
为偶函数，故B 正确；
对C，设
，
，
，则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，
因为
，且
不恒为0，
则
不是偶函数，故D 错误.
故选：B.
C 素养提升
1．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知
，函数
为奇函数，
为常数．
(1)求
的值；
(2)用定义法证明：函数
在
上单调递增；
(3)若函数
，对于
，
使得不等式
恒成
立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
.
【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得
的值；
（2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证；
（3）求出
的最大值后利用参变分离可求实数
的取值范围．.
【详解】（1）∵
，
∴
.
∴
，即
，
故
,解得
，检验
（舍），∴
.
（2）由（1）可知
，
证明：任取
，即有
，
即
，即
，
即有
，即
，
∴
在
上为增函数；
（3）由（2）可知
在
上为增函数，故
，
由题设有
在
上恒成立，
故
在
上恒成立，
设
，因为
在
上均为增函数，
故
在
上均为增函数，故
，
故
.
2．（24-25 高二下·浙江宁波·期中）已知
是定义在
上的函数，对
、
都有
，且满足
.
(1)判断函数
的奇偶性，并证明之；
(2)证明：
；
(3)求
的值.
【答案】(1)
是定义
在的偶函数；证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的定义与
判断
【分析】（1）令
得
，再令
可得出
，结合偶函数的定
义可证得结论成立；
（2）分别令
、
可得出
，结合偶函数的性质得出
，进而推导出
，结合函数周期性的定义可证得结论成
立；
（3）利用赋值法可得出
的值，
，
，
，结合函数周期性可求得所求代数式的值.
【详解】（1）因为
是定义在
上的函数，
对
、
都有
令
得
，可得
，
再令
得
，所以
是定义
在的偶函数.
（2）令
得
，
再令
得
，
两式相加得
，这里
不恒为零，
故
，即
，
又因为函数
为偶函数，则
，
所以
，所以函数
是周期为的周期函数.
（3）由（2）知
，
，
，
，
，
所以，
，
令
得
；
令
，
得
，又
，
得到
；
令
得
，
所以
.
3．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）“函数
的图象关于点
对称”的充要条件
是“对于函数
定义域内的任意
，都有
”．若函数
的图象
关于点
对称，且当
时，
．
(1)求
的值；
(2)设函数
．
①证明函数
的图象关于点
对称；
②若实数
，则命题“
，使得
成立”是否为真命
题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)①证明见解析；②不是，证明见解析
【知识点】函数对称性的应用、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域
【分析】（1）根据对称的充要条件，令
即可求解；
（2）①根据对称的充要条件计算即可证明；②设
在
上的值域为
，则命题“
，使得
成立”，即
，讨论二次函数的对称轴，
求出
在
上的值域，进行求解即可.
【详解】（1）函数
的图象关于点
对称，
所以
，
令
，得
.
（2）①
，
所以
，即满足
，
所以函数
的图象关于点
对称.
②命题“
，使得
成立”不是真命题，
证明：
在
上单调递增，
所以
，
设
在
上的值域为
，
对
，使得
成立，
则
，
当
时，
，
，
，
，
对称轴
，
当
时，
在
单调递增，
，
，
所以
，不等式组无解，
当
时，
在
单调递减，
在
单调递增，
，
，
所以
，解得
，
当
时，
在
单调递减，
在
单调递增，
，
，符合题意；
当
时，
在
单调递减，
在
单调递增，
，
，
所以
，解得
，
当
时，
在
单调递减，
，
，
所以
，不等式组无解，
综上所述：当
时，对
，使得
成立，
故命题“
，使得
成立”不是真命题.
