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第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
第02 讲 平面向量基本定理及坐标表示............................................................................................................1
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：平面向量基本定理的应用....................................................................................................4
高频考点二：平面向量的坐标表示............................................................................................................8
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）.............................................................10
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）..................................................12
第四部分：新定义题........................................................................................................................................14
第一部分：基础知识
1、平面向量的基本定理
1.1 定理：如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量
，有且只有一对实
数
，使
.
1.2 基底：
不共线的向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即
不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）
用基底
两种表示，即
，则
，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量
作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1 平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与
轴，
轴方向相同的两个不共线的单位向量
作为基底，存在唯一一组有
序实数对
使
,则有序数对
，叫做
的坐标，记作
.
3.2 平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若
，则
；
（2）数乘向量：若
，则
；
（3）向量数量积：若
，则
；
（4）任一向量：设
，则
.
4、平面向量共线的坐标表示
若
，则
的充要条件为
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
所以
即
，故
，
故选：D.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
3．（2024·天津·高考真题）已知正方形
的边长为1，
若
，其中
为实
数，则
；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以
为基底向量，根据向量的线性运算求
，即可得
，设
，求
，结合数量积的运算律求
的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求
，即
可得
，设
，求
，结合数量积的坐标运算求
的最小值.
【详解】解法一：因为
，即
，则
，
可得
，所以
；
由题意可知：
，
因为
为线段
上的动点，设
，
则
，
又因为
为
中点，则
，
可得
，
又因为
，可知：当
时，
取到最小值
；
解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则
，
可得
，
因为
，则
，所以
；
因为点
在线段
上，设
，
且
为
中点，则
，
可得
，
则
，
且
，所以当
时，
取到最小值为
；
故答案为：
；
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．已知D 为
的边
的中点，O 为
上一点，且满足
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意作图，然后利用向量的线性运算求解即可.
【详解】如图所示，因为D 为
的边
的中点，所以
，
因为
，所以
，
．
故选：B.
例题2．如图，在
中，设
的中点为
的中点为
的中点为
，若
，则
，
．
【答案】
【分析】求出
，求出
，求出
，求出
，求出
即可求解.
【详解】因为
，
，
，
则
，
故
．又
，
得
，
所以
．
故答案为：
；
.
精练高频考点
1．已知向量
满足
，
，
，若
为线段
的中
点，并且
，则
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】由向量模的计算可得
的关系，利用三角函数性质可得最大值.
【详解】因为向量
满足
，
，
设
，
因为
，则
，从而
.
因为
为线段
的中点，所以
由
得
，
设
，
，
，
则
，
当
时，
取最大值
．
故选：A．
2．如图，在
中，
，
，
，
，
交
于点
，过点
的
直线分别交
于点
，则
．
【答案】7
【分析】利用
和
两组三点共线把
用
表示，然后由
三点共线得
的关
系式
【详解】设
,因为
,
所以
,
又因为
三点共线,
三点共线,所以
, 解得
,
所以
，则
．
又
，
由于
与
共线，所以
，得
．
3．设
为
的内心，
，
，
，则
，
．
【答案】
/0.625
/0.3125
【分析】解法1：根据平面向量共线定理即可求解.
解法2：根据题意，以
所在直线为
轴，
的中点
为原点建立平面直角坐标系，根据坐标运算即可
求解.
【详解】解法1：
，
设
为
与
的交点，如图所示，
由角平分线的性质知
，
，
故
，
则有
，解得
.
解法2：
以
所在直线为
轴，
的中点
为原点建立平面直角坐标系，如图，
则
，
，
．
又设
，则
，
，
．
因为
是内心，
所以
，
又
，得
，即
，则
，
所以
，从而
，
解得
.
故答案为：
.
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（23-24 高三下·全国·自主招生）已知点
，
，点C 满足
，则C 的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，由向量的坐标计算求解即可.
【详解】因为点
，
，所以
，所以
，
设
，则
，所以
，解得
，
所以
，
故选：A
例题2．（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）四边形
是正方形，延长
至点
，使得
，
若
为
中点，
为
中点，点
在线段
上移动（包含端点），设
，求
的
取值范围 ．
【答案】
【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得
的范围.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设
，则
，
，
由题意设
，
则
，
由
得
，
则
，故
，
即
，
故答案为：
精练高频考点
1．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
两点的坐标求得
，由平行四边形的性质有
，求值即可.
【详解】由
，
，有
，
平行四边形
中，有
，即
，
故选：D.
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知点
，点
，向量
，若
，则实数
的值
是 ．
【答案】
【分析】根据题意求
，结合向量平行的坐标表示运算求解.
【详解】由题意可得
，
若
，且
，则
，即
.
故答案为：
.
3．（23-24 高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，向量
与
的夹角为
，向量
与
的夹角为
，
，
，若
，（
，
），则
．
【答案】
/
【分析】建立直角坐标系，结合三角函数定义，利用向量坐标运算求解即可.
【详解】以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 且向上的方向为y 轴建立平面直角坐标系，
则
．设
，
，
于是
，
，
且
，
．
由
，得
，
∴
解得
∴
．
故答案为：
.
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）
典型例题
例题1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．8
B．4
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】
，由
得
，解得
．
故选：A．
例题2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知向量
，
，
，若
，则
．
【答案】或
【分析】根据向量共线的坐标形式可求参数的值.
【详解】由题得
，
，
又
，则
，解得
或
．
故答案为：或
．
精练高频考点
1．（2025·海南·模拟预测）已知向量
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】由题意结合向量平行坐标表示可得答案.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，所以
．
故选：B．
2．（2025·重庆·三模）已知向量
若
则
的值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用平面向量的线性运算求出
，再利用向量平行的条件列方程求解即可.
【详解】因为向量
所以
，
又因为
所以
，
解得
，
故选：A.
3．已知平面向量
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
或
；
(2)
或
.
【分析】（1）由向量垂直可得数量积为零，计算即可得；
（2）借助向量平行的性质计算计算可得
，再利用坐标形式的模长公式计算即可得.
【详解】（1）若
，则
，故
或
；
（2）若
，则
，即
，
则
或
，
若
，则
，
，则
，
若
，则
，
，则
，
即
或
.
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）
典型例题
例题1．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O 为坐标原点，若不重合的三点
，
，
共线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
共线求出
，检验即可得解.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
若不重合的三点
，
，
共线，
则
，解得
或
，
当
时，
重合，矛盾，
当
时，
都不重合，故
满足题意，
所以
.
故选：A.
例题2．已知
，
，
，若
，
，
三点共线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】利用向量坐标运算求得
，然后利用共线的坐标形式列式得
，即可
得解.
【详解】根据题意，
，
则
，若
三点共线，则
，
则有
，变形可得
.
故选：A
精练高频考点
1．（24-25 高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量
，
，若A，B，C 三点
共线，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无解
【答案】A
【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可.
【详解】根据A，B，C 三点共线可知存在实数
满足
，
可知
且
，
解得
，此时
，满足题意.
故选：A
2．（24-25 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知
为不共线向量，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
【答案】A
【分析】由已知得
，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断.
【详解】由题设
，
，
，
，
与
有公共端点
，所以
三点共线，A 对；
，
，不存在
，使
，
所以
与
不共线，即
三点不共线，B 错；
，
，不存在
，使
，
所以
与
不共线，即
三点不共线，C 错；
，
，不存在
，使
，
所以
与
不共线，即
三点不共线，D 错；
故选：A
3．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量
，
，
且实数
，
若A，B，C 三点共线．则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即
共线，由向量共线的坐标表示计算．
【详解】
，
，
因为A，B，C 三点共线，所以
，
则
，解得
或
，
，
.
故选：D.
第四部分：新定义题
1．（多选）（2025 高一·全国·专题练习）定义平面向量的一种新运算“
”如下：对任意的向量
，
，规定
，则对于任意的向量
，下列说法中正确的是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据坐标运算计算出每个等式等号两侧的值可判断A、B 和C，将不等号两边同时平方结合坐标形
式下向量的模长公式，采用作差法可判断D.
【详解】设
，
，
．
对于A，
，故A 正确．
对于B，
，故B 正确．
对于C，
，
，故C 错误．
对于D，
，
，
因为
，故D 正确．
故选：ABD．
2．（多选）（24-25 高一下·山东泰安·阶段练习）对非零向量
，定义变换
，得
到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ）
A．
B．若
，则
C．设
为线段
的中点，则
D．设
为坐标原点，
且点
构成等腰三角形，则
【答案】ABD
【分析】对A，根据定义的变换
代入计算即可，对B，可设
，在代入定义变换运
算法则即可判断；对C，先求点
，然后得出
，代入定义变换直接计算即可；对D，先计算
，再得
，再利用点
构成等腰三角形，列出方程再解方程即可.
【详解】
，
，A 正确；
若
，不妨记
，由A 选项，
，∴
，B 正确；
为线段
的中点，
，C 错误；
，
，
，
，
，
，
∴
构成等腰三角形，只可能
，联立可解
，D 正确;
故选：ABD.
