文档文本内容
第03 讲 平面向量的数量积
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量
和
满足
，则向量
在
向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知空间四点
满足
，
，
，
，则
的值（ ）．
A．只有一个
B．有两个
C．有四个
D．有无穷多个
3．（24-25 高一下·北京大兴·期末）若向量
与
满足
，且
，则
在
上
的投影向量的模为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8
4．（24-25 高三上·山西太原·期末）已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知
是边长为的等边三角形，点
，
分别是边
，
的中点，连接
并延长到点
，使得
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点
，则向量
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量
则
在
上的投影向量
为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）（24-25 高三下·河南·阶段练习）已知向量
，则（ ）
A．向量
的夹角为
B．若
，则
C．若
，则
D．向量
在向量
上的投影向量为
10．（多选）（2025·全国·模拟预测）设向量
，
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角为
D．
与
的夹角为钝角
11．（2025 高三·全国·专题练习）已知
为边长为1 的等边
所在平面内一点，且满
足
，则
．
12．（2025 高三·全国·专题练习）在平行四边形
中，已知
，
，
，
为
的中点，点
在
与
上运动（包括端点），则
的取
值范围是 ．
13．（2025 高三·全国·专题练习）已知四边形
为
的中点，
，求
的取值范围．
14．（24-25 高一下·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在直角梯形
中，
．
(1)求
；
(2)若
为边
上一点，且
，求
．
B 相遇高考
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB
与
交于B，C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
4．（2023·天津·高考真题）在
中，
，
，记
，用
表示
；若
，则
的最大值为
．
C 素养提升
1．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，斜边
为
的中点，
于
D，则
的最大值为 ．
2．（2025 高三·全国·专题练习）设点
是
的外心，
，
，
，则
的取值范围为 ．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知平面向量
满足
，其中
为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量
，恒有
，则
的夹角
的最小值是 ．
4．（24-25 高一下·河南焦作·阶段练习）设平面内两个非零向量
的夹角为
，
定义一种新运算“
”：
.
(1)已知向量
，求
；
(2)设向量
，且
，证明：
；
(3)已知向量
，若
，求
的值.
5．（23-24 高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量
，
的夹角为
，定义一种运
算“
”：
试求解下列问题：
(1)已知向量
满足
，
，
，求
的值；
(2)①若
，
，用坐标
，
，
，
表示
；
②在平面直角坐标系中，已知点
，
，
，求
的值；
(3)已知向量
，
，
，求
的最小值.
